Hauptsymmetrieachsen. Rechteck, Raute und Quadrat. Axiale und zentrale Symmetrien. Zentrale und axiale Symmetrien

Du wirst brauchen

• - Eigenschaften symmetrischer Punkte;
• - Eigenschaften symmetrischer Figuren;
• - Herrscher;
• - Quadrat;
• - Kompass;
• - Bleistift;
• - Blatt Papier;
• - ein Computer mit einem Grafikeditor.

Anweisungen

Zeichnen Sie eine gerade Linie a, die die Symmetrieachse sein wird. Wenn seine Koordinaten nicht angegeben sind, zeichnen Sie es willkürlich. Platzieren Sie einen beliebigen Punkt A auf einer Seite dieser Linie. Sie müssen einen symmetrischen Punkt finden.

Hilfreicher Rat

Symmetrieeigenschaften werden in AutoCAD ständig verwendet. Nutzen Sie dazu die Option „Spiegeln“. Um ein gleichschenkliges Dreieck oder gleichschenkliges Trapez zu konstruieren, reicht es aus, die untere Basis und den Winkel zwischen dieser und der Seite zu zeichnen. Spiegeln Sie sie mit dem angegebenen Befehl und erweitern Sie die Seiten auf die erforderliche Größe. Bei einem Dreieck ist dies der Schnittpunkt, bei einem Trapez ein vorgegebener Wert.

In Grafikeditoren stößt man immer wieder auf Symmetrie, wenn man die Option „vertikal/horizontal spiegeln“ verwendet. In diesem Fall wird als Symmetrieachse eine Gerade angenommen, die einer der vertikalen oder horizontalen Seiten des Bilderrahmens entspricht.

Quellen:

• Wie zeichnet man eine zentrale Symmetrie?

Den Querschnitt eines Kegels zu konstruieren, ist keine so schwierige Aufgabe. Die Hauptsache ist, eine strikte Abfolge von Aktionen einzuhalten. Dann ist diese Aufgabe leicht zu bewältigen und erfordert nicht viel Arbeit von Ihnen.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff;
• - Kreis;
• - Herrscher.

Anweisungen

Bei der Beantwortung dieser Frage müssen Sie zunächst entscheiden, welche Parameter den Abschnitt definieren.
Dies sei die Schnittlinie der Ebene l mit der Ebene und dem Punkt O, der der Schnittpunkt mit ihrem Abschnitt ist.

Der Aufbau ist in Abb. 1 dargestellt. Der erste Schritt beim Konstruieren eines Abschnitts erfolgt durch die Mitte des Abschnitts mit seinem Durchmesser, der senkrecht zu dieser Linie auf l verlängert wird. Das Ergebnis ist Punkt L. Als nächstes zeichnen Sie eine Gerade LW durch Punkt O und konstruieren zwei Leitkegel, die im Hauptabschnitt O2M und O2C liegen. Am Schnittpunkt dieser Hilfslinien liegen Punkt Q sowie der bereits gezeigte Punkt W. Dies sind die ersten beiden Punkte des gewünschten Abschnitts.

Zeichnen Sie nun eine Senkrechte MS an der Basis des Kegels BB1 ​​und konstruieren Sie Erzeuger des senkrechten Abschnitts O2B und O2B1. Zeichnen Sie in diesem Abschnitt durch Punkt O eine gerade Linie RG parallel zu BB1. Т.R und Т.G sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn der Querschnitt der Kugel bekannt wäre, könnte sie bereits zu diesem Zeitpunkt gebaut werden. Dabei handelt es sich jedoch überhaupt nicht um eine Ellipse, sondern um etwas Elliptisches, das Symmetrie bezüglich der Strecke QW aufweist. Daher sollten Sie möglichst viele Schnittpunkte bilden, um diese später mit einer glatten Kurve zu verbinden und so eine möglichst zuverlässige Skizze zu erhalten.

Konstruieren Sie einen beliebigen Schnittpunkt. Zeichnen Sie dazu einen beliebigen Durchmesser AN an der Basis des Kegels und konstruieren Sie die entsprechenden Führungen O2A und O2N. Zeichnen Sie durch t.O eine gerade Linie, die durch PQ und WG verläuft, bis sie die neu konstruierten Hilfslinien an den Punkten P und E schneidet. Dies sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn Sie auf die gleiche Weise fortfahren, können Sie so viele Punkte finden, wie Sie möchten.

Zwar kann das Verfahren zu ihrer Ermittlung durch Symmetrie in Bezug auf QW etwas vereinfacht werden. Dazu können Sie in der Ebene des gewünschten Abschnitts gerade Linien SS‘ parallel zu RG zeichnen, bis sie die Kegeloberfläche schneiden. Die Konstruktion wird durch Abrunden der konstruierten Polylinie aus Akkorden abgeschlossen. Aufgrund der bereits erwähnten Symmetrie bezüglich QW reicht es aus, die Hälfte des gewünschten Abschnitts zu konstruieren.

Video zum Thema

Tipp 3: So zeichnen Sie eine trigonometrische Funktion grafisch auf

Du musst zeichnen Zeitplan trigonometrisch Funktionen? Beherrschen Sie den Aktionsalgorithmus am Beispiel der Konstruktion einer Sinuskurve. Um das Problem zu lösen, verwenden Sie die Forschungsmethode.

Du wirst brauchen

• - Herrscher;
• - Bleistift;
• - Kenntnisse der Grundlagen der Trigonometrie.

Anweisungen

Video zum Thema

beachten Sie

Wenn die beiden Halbachsen eines Einstreifen-Hyperboloids gleich sind, kann die Figur durch Drehen einer Hyperbel mit Halbachsen erhalten werden, von denen eine die obige und die andere von den beiden gleichen verschieden ist imaginäre Achse.

Hilfreicher Rat

Wenn man diese Figur relativ zu den Oxz- und Oyz-Achsen untersucht, wird deutlich, dass ihre Hauptabschnitte Hyperbeln sind. Und wenn diese räumliche Rotationsfigur durch die Oxy-Ebene geschnitten wird, ist ihr Schnitt eine Ellipse. Die Halsellipse eines Einstreifen-Hyperboloids verläuft durch den Koordinatenursprung, weil z=0.

Die Halsellipse wird durch die Gleichung x²/a² +y²/b²=1 beschrieben, und die anderen Ellipsen setzen sich aus der Gleichung x²/a² +y²/b²=1+h²/c² zusammen.

Quellen:

• Ellipsoide, Paraboloide, Hyperboloide. Geradlinige Generatoren

Die Form eines fünfzackigen Sterns wird vom Menschen seit der Antike häufig verwendet. Wir halten seine Form für schön, weil wir in ihm unbewusst die Zusammenhänge des Goldenen Schnitts erkennen, also Die Schönheit des fünfzackigen Sterns ist mathematisch begründet. Euklid war der erste, der in seinen Elementen den Aufbau eines fünfzackigen Sterns beschrieb. Lassen Sie uns an seiner Erfahrung teilhaben.

Du wirst brauchen

• Herrscher;
• Bleistift;
• Kompass;
• Winkelmesser.

Anweisungen

Bei der Konstruktion eines Sterns kommt es auf die Konstruktion und anschließende Verbindung seiner Spitzen miteinander nacheinander durch eins an. Um den richtigen Kreis zu bilden, müssen Sie den Kreis in fünf Teile teilen.
Konstruieren Sie mit einem Zirkel einen beliebigen Kreis. Markieren Sie seinen Mittelpunkt mit Punkt O.

Markieren Sie Punkt A und zeichnen Sie mit einem Lineal das Liniensegment OA. Jetzt müssen Sie das Segment OA in zwei Hälften teilen. Zeichnen Sie dazu vom Punkt A aus einen Bogen mit dem Radius OA, bis er den Kreis in zwei Punkten M und N schneidet. Konstruieren Sie das Segment MN. Der Punkt E, an dem MN OA schneidet, halbiert das Segment OA.

Stellen Sie die Senkrechte OD auf den Radius OA wieder her und verbinden Sie die Punkte D und E. Machen Sie eine Kerbe B auf OA vom Punkt E aus mit dem Radius ED.

Markieren Sie nun mithilfe des Liniensegments DB den Kreis in fünf gleiche Teile. Beschriften Sie die Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks der Reihe nach mit Zahlen von 1 bis 5. Verbinden Sie die Punkte in der folgenden Reihenfolge: 1 mit 3, 2 mit 4, 3 mit 5, 4 mit 1, 5 mit 2. Hier ist das regelmäßige Fünfeck Stern, in ein regelmäßiges Fünfeck. Genau so habe ich es gebaut

Seit der Antike hat der Mensch Vorstellungen von Schönheit entwickelt. Alle Schöpfungen der Natur sind wunderschön. Menschen sind auf ihre Art schön, Tiere und Pflanzen sind erstaunlich. Der Anblick eines Edelsteins oder eines Salzkristalls erfreut das Auge; es fällt schwer, nicht eine Schneeflocke oder einen Schmetterling zu bewundern. Aber warum passiert das? Es scheint uns, dass das Erscheinungsbild von Objekten korrekt und vollständig ist, deren rechte und linke Hälfte wie in einem Spiegelbild gleich aussehen.

Anscheinend waren die Kunstschaffenden die ersten, die über das Wesen der Schönheit nachdachten. Antike Bildhauer, die bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. die Struktur des menschlichen Körpers untersuchten. Das Konzept der „Symmetrie“ wurde verwendet. Dieses Wort ist griechischen Ursprungs und bedeutet Harmonie, Proportionalität und Ähnlichkeit in der Anordnung der Bestandteile. Platon argumentierte, dass nur das schön sein kann, was symmetrisch und verhältnismäßig ist.

In der Geometrie und Mathematik werden drei Arten von Symmetrie berücksichtigt: Achsensymmetrie (relativ zu einer Geraden), Zentralsymmetrie (relativ zu einem Punkt) und Spiegelsymmetrie (relativ zu einer Ebene).

Wenn jeder Punkt eines Objekts relativ zu seinem Mittelpunkt eine eigene exakte Abbildung aufweist, liegt zentrale Symmetrie vor. Sein Beispiel sind geometrische Körper wie ein Zylinder, eine Kugel, ein regelmäßiges Prisma usw.

Die Achsensymmetrie der Punkte relativ zu einer Geraden sieht vor, dass diese Gerade die Mitte des die Punkte verbindenden Segments schneidet und senkrecht dazu steht. Beispiele sind die Winkelhalbierende eines nicht entwickelten Winkels eines gleichschenkligen Dreiecks, jede durch den Mittelpunkt eines Kreises gezogene Linie usw. Wenn Achsensymmetrie charakteristisch ist, kann die Definition von Spiegelpunkten visualisiert werden, indem man sie einfach entlang der Achse biegt und gleiche Hälften „gegenüber“ legt. Die gewünschten Punkte berühren sich.

Bei der Spiegelsymmetrie liegen die Punkte eines Objekts relativ zu der Ebene, die durch seinen Mittelpunkt verläuft, gleich.

Die Natur ist weise und rational, daher haben fast alle ihre Schöpfungen eine harmonische Struktur. Dies gilt sowohl für Lebewesen als auch für unbelebte Objekte. Die Struktur der meisten Lebensformen ist durch eine von drei Arten von Symmetrie gekennzeichnet: bilateral, radial oder sphärisch.

Am häufigsten kann eine axiale Entwicklung bei Pflanzen beobachtet werden, die sich senkrecht zur Bodenoberfläche entwickeln. In diesem Fall ist Symmetrie das Ergebnis der Drehung identischer Elemente um eine gemeinsame Achse in der Mitte. Der Winkel und die Häufigkeit ihrer Position können unterschiedlich sein. Beispiele sind Bäume: Fichte, Ahorn und andere. Bei einigen Tieren kommt es auch zu einer Achsensymmetrie, die jedoch seltener vorkommt. Natürlich zeichnet sich die Natur selten durch mathematische Präzision aus, dennoch ist die Ähnlichkeit der Elemente eines Organismus verblüffend.

Biologen berücksichtigen oft nicht die Achsensymmetrie, sondern die bilaterale (bilaterale) Symmetrie. Ein Beispiel hierfür sind die Flügel eines Schmetterlings oder einer Libelle, Pflanzenblätter, Blütenblätter usw. In jedem Fall sind der rechte und der linke Teil des lebenden Objekts gleich und spiegelbildlich voneinander.

Kugelsymmetrie ist charakteristisch für die Früchte vieler Pflanzen, einiger Fische, Weichtiere und Viren. Beispiele für radiale Symmetrie sind einige Arten von Würmern und Stachelhäutern.

Im menschlichen Auge wird Asymmetrie am häufigsten mit Unregelmäßigkeit oder Minderwertigkeit in Verbindung gebracht. Daher sind in den meisten Schöpfungen menschlicher Hände Symmetrie und Harmonie erkennbar.

DREIECKE.

§ 17. SYMMETRIE BEZÜGLICH DER RECHTEN GERADE.

1. Figuren, die zueinander symmetrisch sind.

Zeichnen wir mit Tinte eine Figur auf ein Blatt Papier und mit einem Bleistift außerhalb davon eine beliebige gerade Linie. Dann biegen wir das Blatt Papier entlang dieser geraden Linie, ohne die Tinte trocknen zu lassen, sodass ein Teil des Blattes den anderen überlappt. Dieser andere Teil des Blattes wird somit einen Abdruck dieser Figur erzeugen.

Wenn Sie das Blatt Papier dann wieder gerade richten, dann befinden sich darauf zwei Figuren, die aufgerufen werden symmetrisch relativ zu einer bestimmten Linie (Abb. 128).

Zwei Figuren heißen symmetrisch zu einer bestimmten Geraden, wenn sie beim Biegen der Zeichenebene entlang dieser Geraden ausgerichtet werden.

Die Gerade, zu der diese Figuren symmetrisch sind, wird als ihre bezeichnet Symmetrieachse.

Aus der Definition symmetrischer Figuren folgt, dass alle symmetrischen Figuren gleich sind.

Sie können symmetrische Figuren erhalten, ohne die Ebene zu biegen, sondern mit Hilfe der geometrischen Konstruktion. Es sei notwendig, einen Punkt C zu konstruieren, der symmetrisch zu einem gegebenen Punkt C relativ zur Geraden AB ist. Lassen Sie uns eine Senkrechte vom Punkt C fallen lassen
CD zur Geraden AB und als Fortsetzung legen wir das Segment DC" = DC fest. Wenn wir die Zeichenebene entlang AB biegen, dann wird Punkt C mit Punkt C" ausgerichtet: Die Punkte C und C" sind symmetrisch (Abb. 129). ).

Angenommen, wir müssen nun ein Segment C „D“ konstruieren, das symmetrisch zu einem gegebenen Segment CD relativ zur Geraden AB ist. Konstruieren wir die Punkte C“ und D“, symmetrisch zu den Punkten C und D. Wenn wir die Zeichenebene entlang AB biegen, fallen die Punkte C und D jeweils mit den Punkten C“ und D“ zusammen (Zeichnung 130). Daher Segmente CD und C „D“ werden zusammenfallen, sie werden symmetrisch sein.

Konstruieren wir nun eine Figur symmetrisch zum gegebenen Polygon ABCDE relativ zur gegebenen Symmetrieachse MN (Abb. 131).

Um dieses Problem zu lösen, lassen wir die Senkrechten A fallen A, IN B, MIT Mit, D D und E e zur Symmetrieachse MN. Dann zeichnen wir auf den Verlängerungen dieser Senkrechten die Segmente ein
A A" = A A, B B" = B B, Mit C" = Cs; D D"" =D D Und e E" = E e.

Das Polygon A"B"C"D"E" ist symmetrisch zum Polygon ABCDE. Wenn Sie die Zeichnung tatsächlich entlang einer geraden Linie MN biegen, werden die entsprechenden Eckpunkte beider Polygone ausgerichtet, und daher werden die Polygone selbst ausgerichtet ; Dies beweist, dass die Polygone ABCDE und A" B"C"D"E" symmetrisch zur Geraden MN sind.

2. Figuren bestehend aus symmetrischen Teilen.

Oftmals gibt es geometrische Figuren, die durch eine gerade Linie in zwei symmetrische Teile geteilt werden. Solche Figuren nennt man symmetrisch.

So ist beispielsweise ein Winkel eine symmetrische Figur und die Winkelhalbierende ist seine Symmetrieachse, da beim Biegen entlang dieser ein Teil des Winkels mit dem anderen kombiniert wird (Abb. 132).

In einem Kreis ist die Symmetrieachse sein Durchmesser, da beim Biegen entlang desselben ein Halbkreis mit einem anderen verbunden wird (Abb. 133). Die Figuren in den Zeichnungen 134, a, b sind exakt symmetrisch.

Symmetrische Figuren finden sich häufig in der Natur, im Baugewerbe und im Schmuck. Die auf den Zeichnungen 135 und 136 platzierten Bilder sind symmetrisch.

Es ist zu beachten, dass symmetrische Figuren nur in einigen Fällen durch einfaches Verschieben entlang einer Ebene kombiniert werden können. Um symmetrische Figuren zu kombinieren, ist es in der Regel notwendig, eine davon mit der gegenüberliegenden Seite zu drehen,

Der Zweck der Lektion:

• Bildung des Konzepts der „symmetrischen Punkte“;
• Bringen Sie Kindern bei, symmetrische Punkte zu Daten zu konstruieren.
• lernen, Segmente symmetrisch zu Daten zu konstruieren;
• Festigung des Gelernten (Ausbildung der Rechenkompetenz, Division einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl).

Auf dem Stand „für den Unterricht“ liegen Karten:

1. Organisatorischer Moment

Grüße.

Der Lehrer macht auf den Stand aufmerksam:

Kinder, beginnen wir die Lektion mit der Planung unserer Arbeit.

Heute unternehmen wir im Mathematikunterricht eine Reise in drei Reiche: das Reich der Arithmetik, der Algebra und der Geometrie. Beginnen wir die Lektion mit dem Wichtigsten für uns heute, mit der Geometrie. Ich erzähle Ihnen ein Märchen, aber „Ein Märchen ist eine Lüge, aber es gibt einen Hinweis darin – eine Lektion für gute Leute.“

": Ein Philosoph namens Buridan hatte einen Esel. Einmal, als er für längere Zeit wegging, legte der Philosoph zwei identische Arme voll Heu vor den Esel. Er stellte eine Bank auf, und zwar links von der Bank und rechts davon Im gleichen Abstand platzierte er völlig identische Heuarme.

Abbildung 1 auf der Tafel:

Der Esel ging von einem Arm voll Heu zum anderen, wusste aber immer noch nicht, mit welchem ​​Arm voll Heu er beginnen sollte. Und am Ende starb er an Hunger.

Warum hat der Esel nicht entschieden, mit welchem ​​Arm voll Heu er beginnen soll?

Was können Sie zu diesen Armen voll Heu sagen?

(Die Heuarme sind genau gleich, sie hatten den gleichen Abstand von der Bank, sind also symmetrisch).

2. Lassen Sie uns ein wenig recherchieren.

Nehmen Sie ein Blatt Papier (jedes Kind hat ein Blatt farbiges Papier auf seinem Schreibtisch) und falten Sie es in der Mitte. Durchstechen Sie es mit dem Schenkel eines Zirkels. Expandieren.

Was hast du bekommen? (2 symmetrische Punkte).

Wie können Sie sicher sein, dass sie wirklich symmetrisch sind? (Lass uns das Blatt falten, die Punkte stimmen überein)

3. Auf dem Schreibtisch:

Denken Sie, dass diese Punkte symmetrisch sind? (Nein). Warum? Wie können wir uns dessen sicher sein?

Figur 3:

Sind diese Punkte A und B symmetrisch?

Wie können wir das beweisen?

(Messen Sie den Abstand von der Geraden zu den Punkten)

Kehren wir zu unseren farbigen Papierstücken zurück.

Messen Sie den Abstand von der Faltlinie (Symmetrieachse) zuerst zu einem und dann zu dem anderen Punkt (aber verbinden Sie diese zuerst mit einem Segment).

Was können Sie zu diesen Entfernungen sagen?

(Das gleiche)

Finden Sie die Mitte Ihres Segments.

Wo ist es?

(Ist der Schnittpunkt der Strecke AB mit der Symmetrieachse)

4. Achten Sie auf die Ecken, entsteht durch den Schnittpunkt des Segments AB mit der Symmetrieachse. (Wir finden es mit Hilfe eines Quadrats heraus, jedes Kind arbeitet an seinem eigenen Arbeitsplatz, eines lernt an der Tafel).

Fazit der Kinder: Das Segment AB steht im rechten Winkel zur Symmetrieachse.

Ohne es zu wissen, haben wir nun eine mathematische Regel entdeckt:

Wenn die Punkte A und B symmetrisch zu einer geraden Linie oder Symmetrieachse sind, dann steht das diese Punkte verbindende Segment im rechten Winkel oder senkrecht zu dieser geraden Linie. (Das Wort „senkrecht“ ist separat auf dem Ständer angegeben). Wir sagen im Refrain laut das Wort „senkrecht“.

5. Achten wir darauf, wie diese Regel in unserem Lehrbuch geschrieben ist.

Arbeiten Sie nach dem Lehrbuch.

Finden Sie symmetrische Punkte relativ zur Geraden. Werden die Punkte A und B symmetrisch zu dieser Linie sein?

6. Arbeite an neuem Material.

Lassen Sie uns lernen, wie man Punkte konstruiert, die symmetrisch zu Daten relativ zu einer geraden Linie sind.

Der Lehrer lehrt das Denken.

Um einen Punkt symmetrisch zu Punkt A zu konstruieren, müssen Sie diesen Punkt von der Geraden um den gleichen Abstand nach rechts verschieben.

7. Wir werden lernen, Segmente zu konstruieren, die symmetrisch zu Daten relativ zu einer geraden Linie sind. Arbeiten Sie nach dem Lehrbuch.

Die Schüler argumentieren an der Tafel.

8. Mündliches Zählen.

Hier beenden wir unseren Aufenthalt im „Geometrie“-Königreich und machen eine kleine mathematische Aufwärmübung, indem wir das „Arithmetik“-Königreich besuchen.

Während alle mündlich arbeiten, arbeiten zwei Studierende an einzelnen Tafeln.

A) Division mit Verifizierung durchführen:

B) Nachdem Sie die erforderlichen Zahlen eingegeben haben, lösen Sie das Beispiel und prüfen Sie:

Verbales Zählen.

1. Die Lebensdauer einer Birke beträgt 250 Jahre, die einer Eiche ist viermal länger. Wie lange lebt eine Eiche?
2. Ein Papagei lebt im Durchschnitt 150 Jahre und ein Elefant dreimal weniger. Wie viele Jahre lebt ein Elefant?
3. Der Bär lud Gäste zu sich ein: einen Igel, einen Fuchs und ein Eichhörnchen. Und als Geschenk überreichten sie ihm einen Senftopf, eine Gabel und einen Löffel. Was hat der Igel dem Bären gegeben?

Diese Frage können wir beantworten, wenn wir diese Programme ausführen.

• Senf - 7
• Gabel - 8
• Löffel - 6

(Der Igel gab einen Löffel)

4) Berechnen. Finden Sie ein anderes Beispiel.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) Finden Sie ein Muster und helfen Sie beim Notieren der erforderlichen Nummer:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. Jetzt ruhen wir uns ein wenig aus.

Hören wir uns Beethovens Mondscheinsonate an. Eine Minute klassische Musik. Die Schüler legen ihre Köpfe auf den Schreibtisch, schließen die Augen und hören Musik.

10. Reise in das Reich der Algebra.

Erraten Sie die Wurzeln der Gleichung und überprüfen Sie:

Die Schüler lösen Aufgaben an der Tafel und in Notizbüchern. Sie erklären, wie sie es erraten haben.

11. "Blitzturnier“ .

a) Asya kaufte 5 Bagels für a Rubel und 2 Brote für b Rubel. Wie viel kostet der gesamte Kauf?

Lass uns das Prüfen. Teilen wir unsere Meinungen.

12. Zusammenfassend.

Damit haben wir unsere Reise in das Reich der Mathematik abgeschlossen.

Was war für Sie im Unterricht das Wichtigste?

Wem hat unsere Lektion gefallen?

Es war ein Vergnügen mit Ihnen zu arbeiten

Vielen Dank für die Lektion.

ICH . Symmetrie in der Mathematik :

Grundlegende Konzepte und Definitionen.

Achsensymmetrie (Definitionen, Bauplan, Beispiele)

Zentralsymmetrie (Definitionen, Bauplan, wannMaßnahmen)

Übersichtstabelle (alle Eigenschaften, Features)

II . Anwendungen der Symmetrie:

1) in Mathematik

2) in der Chemie

3) in Biologie, Botanik und Zoologie

4) in Kunst, Literatur und Architektur

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Grundbegriffe der Symmetrie und ihrer Typen.

Das Konzept der Symmetrie R geht durch die gesamte Geschichte der Menschheit zurück. Es findet sich bereits am Ursprung des menschlichen Wissens. Es entstand im Zusammenhang mit der Erforschung eines lebenden Organismus, nämlich des Menschen. Und es wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. von Bildhauern verwendet. e. Das Wort „Symmetrie“ ist griechisch und bedeutet „Verhältnismäßigkeit, Verhältnismäßigkeit, Gleichheit in der Anordnung der Teile“. Es wird ausnahmslos in allen Bereichen der modernen Wissenschaft weit verbreitet verwendet. Viele großartige Menschen haben über dieses Muster nachgedacht. Zum Beispiel sagte L. N. Tolstoi: „Als ich vor einer Tafel stand und mit Kreide verschiedene Figuren darauf zeichnete, kam mir plötzlich der Gedanke: Warum ist Symmetrie für das Auge klar?“ Was ist Symmetrie? Das ist ein angeborenes Gefühl, antwortete ich mir. Worauf basiert es?" Die Symmetrie ist wirklich eine Augenweide. Wer hat nicht die Symmetrie der Naturschöpfungen bewundert: Blätter, Blumen, Vögel, Tiere; oder menschliche Schöpfungen: Gebäude, Technik, alles, was uns seit unserer Kindheit umgibt, alles, was nach Schönheit und Harmonie strebt. Hermann Weyl sagte: „Symmetrie ist die Idee, durch die der Mensch im Laufe der Jahrhunderte versucht hat, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen.“ Hermann Weyl ist ein deutscher Mathematiker. Seine Aktivitäten umfassen die erste Hälfte des 20. Jahrhunderts. Er war es, der die Definition von Symmetrie formulierte und festlegte, anhand welcher Kriterien man in einem bestimmten Fall das Vorhandensein oder umgekehrt das Fehlen von Symmetrie feststellen kann. So entstand erst vor relativ kurzer Zeit – zu Beginn des 20. Jahrhunderts – ein mathematisch strenges Konzept. Es ist ziemlich kompliziert. Schauen wir uns um und erinnern wir uns noch einmal an die Definitionen, die uns im Lehrbuch gegeben wurden.

2. Axiale Symmetrie.

2.1 Grundlegende Definitionen

Definition. Zwei Punkte A und A 1 heißen symmetrisch bezüglich der Geraden a, wenn diese Gerade durch die Mitte des Segments AA 1 verläuft und senkrecht dazu steht. Jeder Punkt einer Geraden a gilt als symmetrisch zu sich selbst.

Definition. Die Figur soll symmetrisch zu einer geraden Linie sein A, wenn es für jeden Punkt der Figur einen Punkt gibt, der relativ zur Geraden symmetrisch dazu ist A gehört ebenfalls zu dieser Figur. Gerade A wird als Symmetrieachse der Figur bezeichnet. Die Figur soll auch axialsymmetrisch sein.

2.2 Bauplan

Um also eine symmetrische Figur relativ zu einer geraden Linie zu konstruieren, zeichnen wir von jedem Punkt aus eine Senkrechte zu dieser geraden Linie, verlängern sie um den gleichen Abstand und markieren den resultierenden Punkt. Wir machen das mit jedem Punkt und erhalten symmetrische Eckpunkte einer neuen Figur. Dann verbinden wir sie in Reihe und erhalten eine symmetrische Figur einer gegebenen relativen Achse.

2.3 Beispiele für Figuren mit Achsensymmetrie.

3. Zentrale Symmetrie

3.1 Grundlegende Definitionen

Definition. Zwei Punkte A und A 1 heißen symmetrisch zum Punkt O, wenn O die Mitte des Segments AA 1 ist. Punkt O gilt als symmetrisch zu sich selbst.

Definition. Eine Figur heißt symmetrisch zum Punkt O, wenn zu jedem Punkt der Figur auch ein Punkt symmetrisch zum Punkt O zu dieser Figur gehört.

3.2 Bauplan

Konstruktion eines Dreiecks symmetrisch zum gegebenen Dreieck relativ zum Mittelpunkt O.

Einen Punkt symmetrisch zu einem Punkt konstruieren A relativ zum Punkt UM, es reicht aus, eine gerade Linie zu zeichnen OA(Abb. 46 ) und auf der anderen Seite des Punktes UM Legen Sie ein Segment beiseite, das dem Segment entspricht OA. Mit anderen Worten , Punkte A und ; In und ; C und symmetrisch um einen Punkt O. In Abb. 46 Es wird ein Dreieck konstruiert, das symmetrisch zu einem Dreieck ist ABC relativ zum Punkt UM. Diese Dreiecke sind gleich.

Konstruktion symmetrischer Punkte relativ zum Mittelpunkt.

In der Abbildung sind die Punkte M und M 1, N und N 1 symmetrisch relativ zu Punkt O, aber die Punkte P und Q sind nicht symmetrisch relativ zu diesem Punkt.

Im Allgemeinen sind Figuren, die zu einem bestimmten Punkt symmetrisch sind, gleich .

3.3 Beispiele

Lassen Sie uns Beispiele für Figuren mit zentraler Symmetrie geben. Die einfachsten Figuren mit Zentralsymmetrie sind der Kreis und das Parallelogramm.

Punkt O wird als Symmetriezentrum der Figur bezeichnet. In solchen Fällen weist die Figur eine zentrale Symmetrie auf. Das Symmetriezentrum eines Kreises ist der Mittelpunkt des Kreises, und das Symmetriezentrum eines Parallelogramms ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Eine gerade Linie hat auch zentrale Symmetrie, aber im Gegensatz zu einem Kreis und einem Parallelogramm, die nur einen Symmetriemittelpunkt haben (Punkt O in der Abbildung), hat eine gerade Linie unendlich viele davon – jeder Punkt auf der geraden Linie ist ihr Mittelpunkt der Symmetrie.

Die Bilder zeigen einen Winkel symmetrisch zum Scheitelpunkt, ein Segment symmetrisch zu einem anderen Segment relativ zur Mitte A und ein um seinen Scheitelpunkt symmetrisches Viereck M.

Ein Beispiel für eine Figur ohne Symmetriezentrum ist ein Dreieck.

4. Zusammenfassung der Lektion

Fassen wir die gewonnenen Erkenntnisse zusammen. Heute haben wir im Unterricht zwei Haupttypen der Symmetrie kennengelernt: zentrale und axiale Symmetrie. Schauen wir auf den Bildschirm und systematisieren wir die gewonnenen Erkenntnisse.

Übersichtstabelle

	Axiale Symmetrie	Zentrale Symmetrie
Besonderheit	Alle Punkte der Figur müssen relativ zu einer geraden Linie symmetrisch sein.	Alle Punkte der Figur müssen symmetrisch zu dem als Symmetriezentrum gewählten Punkt sein.
Eigenschaften	1. Symmetrische Punkte liegen auf Senkrechten zu einer Linie. 3. Geraden werden zu Geraden, Winkel zu gleichen Winkeln. 4. Die Größen und Formen der Figuren bleiben erhalten.	1. Symmetrische Punkte liegen auf einer Linie, die durch den Mittelpunkt und einen bestimmten Punkt der Figur verläuft. 2. Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist gleich dem Abstand von einer Geraden zu einem symmetrischen Punkt. 3. Die Größen und Formen der Figuren bleiben erhalten.

II. Anwendung der Symmetrie

Mathematik	Im Algebraunterricht haben wir die Graphen der Funktionen y=x und y=x studiert Die Bilder zeigen verschiedene Bilder, die anhand der Äste von Parabeln dargestellt wurden. (a) Oktaeder, (b) rhombisches Dodekaeder, (c) hexagonales Oktaeder.
Russisch	Auch die gedruckten Buchstaben des russischen Alphabets weisen unterschiedliche Arten von Symmetrien auf. Es gibt „symmetrische“ Wörter in der russischen Sprache – Palindrome, die in beide Richtungen gleichermaßen gelesen werden kann.	A D L M P T F W- vertikale Achse V E Z K S E Y - horizontale Achse F N O X- sowohl vertikal als auch horizontal B G I Y R U C CH SCHY- keine Achse Radarhütte Alla Anna
Literatur	Sätze können auch palindromisch sein. Bryusov schrieb ein Gedicht „Die Stimme des Mondes“, in dem jede Zeile ein Palindrom ist. Schauen Sie sich die Vierlinge von A.S. Puschkin „Der eherne Reiter“ an. Wenn wir nach der zweiten Linie eine Linie zeichnen, können wir Elemente der Achsensymmetrie erkennen	Und die Rose fiel auf Azors Pfote. Ich komme mit dem Schwert des Richters. (Derzhavin) „Suche nach einem Taxi“ „Argentinien lockt den Neger“ „Der Argentinier schätzt den Schwarzen“ „Lesha hat einen Käfer im Regal gefunden.“ Die Newa ist mit Granit verkleidet; Brücken hingen über dem Wasser; Dunkelgrüne Gärten Inseln bedeckten es...

Biologie

Der menschliche Körper ist auf dem Prinzip der bilateralen Symmetrie aufgebaut. Die meisten von uns betrachten das Gehirn als eine einzige Struktur; in Wirklichkeit ist es in zwei Hälften geteilt. Diese beiden Teile – zwei Halbkugeln – passen eng aneinander. In voller Übereinstimmung mit der allgemeinen Symmetrie des menschlichen Körpers ist jede Hemisphäre ein nahezu exaktes Spiegelbild der anderen Die Steuerung der Grundbewegungen des menschlichen Körpers und seiner Sinnesfunktionen ist gleichmäßig auf die beiden Gehirnhälften verteilt. Die linke Hemisphäre steuert die rechte Gehirnhälfte und die rechte Hemisphäre steuert die linke Seite.

Botanik

Eine Blüte gilt als symmetrisch, wenn jede Blütenhülle aus gleich vielen Teilen besteht. Blumen mit gepaarten Teilen gelten als Blumen mit doppelter Symmetrie usw. Die dreifache Symmetrie ist bei einkeimblättrigen Pflanzen üblich, die fünffache bei zweikeimblättrigen Pflanzen. Ein charakteristisches Merkmal der Struktur von Pflanzen und ihrer Entwicklung ist die Spiralität. Achten Sie auf die Blattanordnung der Triebe – auch hier handelt es sich um eine besondere Art der Spirale – eine spiralförmige. Schon Goethe, der nicht nur ein großer Dichter, sondern auch ein Naturwissenschaftler war, betrachtete die Spiralität als eines der charakteristischen Merkmale aller Organismen, als Manifestation des innersten Wesens des Lebens. Die Ranken von Pflanzen drehen sich spiralförmig, das Gewebewachstum in Baumstämmen erfolgt spiralförmig, die Samen einer Sonnenblume sind spiralförmig angeordnet und beim Wachstum von Wurzeln und Trieben werden Spiralbewegungen beobachtet.

Ein charakteristisches Merkmal der Struktur von Pflanzen und ihrer Entwicklung ist die Spiralität. Schauen Sie sich den Tannenzapfen an. Die Schuppen auf seiner Oberfläche sind streng regelmäßig angeordnet – entlang zweier Spiralen, die sich ungefähr im rechten Winkel schneiden. Die Anzahl solcher Spiralen in Tannenzapfen beträgt 8 und 13 oder 13 und 21.

Zoologie

Symmetrie bei Tieren bedeutet Übereinstimmung in Größe, Form und Umriss sowie die relative Anordnung von Körperteilen, die sich auf gegenüberliegenden Seiten der Trennlinie befinden. Bei radialer oder radialer Symmetrie hat der Körper die Form eines kurzen oder langen Zylinders oder Gefäßes mit einer Mittelachse, von der sich Teile des Körpers radial erstrecken. Dies sind Hohltiere, Stachelhäuter und Seesterne. Bei der bilateralen Symmetrie gibt es drei Symmetrieachsen, aber nur ein Paar symmetrischer Seiten. Denn die anderen beiden Seiten – Bauch- und Rückenseite – sind einander nicht ähnlich. Diese Art von Symmetrie ist charakteristisch für die meisten Tiere, darunter Insekten, Fische, Amphibien, Reptilien, Vögel und Säugetiere.

Axiale Symmetrie

	Verschiedene Arten der Symmetrie physikalischer Phänomene: Symmetrie elektrischer und magnetischer Felder (Abb. 1) In zueinander senkrechten Ebenen ist die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen symmetrisch (Abb. 2)	Abb.1 Abb.2
Kunst	Bei Kunstwerken ist häufig Spiegelsymmetrie zu beobachten. „Spiegel“-Symmetrie ist in Kunstwerken primitiver Zivilisationen und in antiken Gemälden weit verbreitet. Auch mittelalterliche religiöse Gemälde zeichnen sich durch diese Art von Symmetrie aus. Eines von Raffaels besten Frühwerken, „Die Verlobung Mariens“, entstand 1504. Unter einem sonnigen blauen Himmel liegt ein Tal, das von einem weißen Steintempel gekrönt wird. Im Vordergrund steht die Verlobungszeremonie. Der Hohepriester bringt die Hände Marias und Josefs zusammen. Hinter Maria steht eine Gruppe Mädchen, hinter Josef eine Gruppe junger Männer. Beide Teile der symmetrischen Komposition werden durch die gegenläufige Bewegung der Figuren zusammengehalten. Für den modernen Geschmack ist die Komposition eines solchen Gemäldes langweilig, da die Symmetrie zu offensichtlich ist.

Chemie	Ein Wassermolekül hat eine Symmetrieebene (gerade vertikale Linie). DNA-Moleküle (Desoxyribonukleinsäure) spielen in der Welt der belebten Natur eine äußerst wichtige Rolle. Es handelt sich um ein doppelkettiges hochmolekulares Polymer, dessen Monomer Nukleotide sind. DNA-Moleküle haben eine Doppelhelixstruktur, die auf dem Prinzip der Komplementarität basiert.
ArchitektKultur	Der Mensch nutzt seit langem die Symmetrie in der Architektur. Die antiken Architekten nutzten die Symmetrie in architektonischen Strukturen besonders brillant. Darüber hinaus waren die antiken griechischen Architekten davon überzeugt, dass sie sich bei ihren Arbeiten von den Gesetzen der Natur leiten ließen. Durch die Wahl symmetrischer Formen brachte der Künstler sein Verständnis von natürlicher Harmonie als Stabilität und Gleichgewicht zum Ausdruck. Die Stadt Oslo, die Hauptstadt Norwegens, verfügt über ein ausdrucksstarkes Ensemble aus Natur und Kunst. Das ist der Frogner Park – ein Komplex landschaftsgärtnerischer Skulpturen, der im Laufe von 40 Jahren entstanden ist.	Paschkow-Haus Louvre (Paris)

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009.