So berechnen Sie die Fläche eines Polygons unter Kenntnis des Umfangs. Was tun, wenn das Problem die Koordinaten der Eckpunkte eines Polygons angibt? Die Situation mit der falschen Figur

\[(\Large(\text(Grundlegende Fakten zur Fläche)))\]

Wir können sagen, dass die Fläche eines Polygons ein Wert ist, der den Teil der Ebene angibt, den ein bestimmtes Polygon einnimmt. Die Flächenmaßeinheit ist die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von \(1\) cm, \(1\) mm usw. (Einheitsquadrat). Dann wird die Fläche in cm\(^2\) bzw. mm\(^2\) gemessen.

Mit anderen Worten können wir sagen, dass die Fläche einer Figur eine Größe ist, deren numerischer Wert angibt, wie oft ein Einheitsquadrat in eine bestimmte Figur passt.

Bereichseigenschaften

1. Die Fläche eines Polygons ist eine positive Größe.

2. Gleiche Polygone haben gleiche Flächen.

3. Wenn ein Polygon aus mehreren Polygonen besteht, dann ist seine Fläche gleich der Summe der Flächen dieser Polygone.

4. Die Fläche eines Quadrats mit der Seite \(a\) ist gleich \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Fläche eines Rechtecks ​​und Parallelogramms)))\]

Satz: Fläche eines Rechtecks

Die Fläche eines Rechtecks ​​mit den Seiten \(a\) und \(b\) ist gleich \(S=ab\) .

Nachweisen

Lassen Sie uns das Rechteck \(ABCD\) zu einem Quadrat mit der Seite \(a+b\) zusammenbauen, wie in der Abbildung gezeigt:

Dieses Quadrat besteht aus einem Rechteck \(ABCD\), einem weiteren gleichgroßen Rechteck und zwei Quadraten mit den Seiten \(a\) und \(b\). Auf diese Weise,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multiline*)\)

Definition

Die Höhe eines Parallelogramms ist die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des Parallelogramms zu der Seite (oder zur Verlängerung der Seite) gezogen wird, die diesen Scheitelpunkt nicht enthält.
Beispielsweise fällt die Höhe \(BK\) auf die Seite \(AD\) und die Höhe \(BH\) auf die Fortsetzung der Seite \(CD\):

Satz: Fläche eines Parallelogramms

Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Höhe und der Seite, auf der diese Höhe gezeichnet wird.

Nachweisen

Zeichnen wir die Senkrechten \(AB"\) und \(DC"\), wie in der Abbildung gezeigt. Beachten Sie, dass diese Senkrechten gleich der Höhe des Parallelogramms \(ABCD\) sind.

Dann ist \(AB"C"D\) ein Rechteck, also ist \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Beachten Sie, dass die rechtwinkligen Dreiecke \(ABB"\) und \(DCC"\) kongruent sind. Auf diese Weise,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Fläche des Dreiecks)))\]

Definition

Wir nennen die Seite, zu der die Höhe im Dreieck gezeichnet wird, die Basis des Dreiecks.

Satz

Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundfläche und der zu dieser Grundfläche gezogenen Höhe.

Nachweisen

Sei \(S\) die Fläche des Dreiecks \(ABC\). Nehmen wir die Seite \(AB\) als Basis des Dreiecks und zeichnen wir die Höhe \(CH\) ein. Lasst uns das beweisen \ Erstellen wir das Dreieck \(ABC\) zum Parallelogramm \(ABDC\), wie in der Abbildung gezeigt:

Die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) sind auf drei Seiten gleich (\(BC\) ist ihre gemeinsame Seite, \(AB = CD\) und \(AC = BD\) als gegenüberliegende Seiten des Parallelogramms \ (ABDC\ )), sodass ihre Flächen gleich sind. Daher ist die Fläche \(S\) des Dreiecks \(ABC\) gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms \(ABDC\), das heißt \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Satz

Wenn zwei Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle A_1B_1C_1\) gleiche Höhen haben, dann beziehen sich ihre Flächen auf die Basen, auf die diese Höhen gezeichnet werden.

Folge

Der Median eines Dreiecks teilt es in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

Satz

Wenn zwei Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle A_2B_2C_2\) jeweils einen gleichen Winkel haben, dann beziehen sich ihre Flächen auf das Produkt der Seiten, die diesen Winkel bilden.

Nachweisen

Sei \(\angle A=\angle A_2\). Kombinieren wir diese Winkel wie in der Abbildung gezeigt (Punkt \(A\) ausgerichtet mit Punkt \(A_2\)):

Finden wir die Höhen \(BH\) und \(C_2K\) .

Die Dreiecke \(AB_2C_2\) und \(ABC_2\) haben die gleiche Höhe \(C_2K\), daher: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Die Dreiecke \(ABC_2\) und \(ABC\) haben die gleiche Höhe \(BH\), daher: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen multiplizieren, erhalten wir: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( or ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Schenkel:

Das Umgekehrte gilt auch: Wenn in einem Dreieck das Quadrat der Länge einer Seite gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist, dann ist ein solches Dreieck rechtwinklig.

Satz

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte des Produkts der Schenkel.

Satz: Herons Formel

Sei \(p\) der Halbumfang des Dreiecks, \(a\) , \(b\) , \(c\) die Längen seiner Seiten, dann beträgt seine Fläche \

\[(\Large(\text(Fläche von Raute und Trapez)))\]

Kommentar

Weil Ist eine Raute ein Parallelogramm, dann gilt für sie die gleiche Formel, d.h. Die Fläche einer Raute ist gleich dem Produkt aus der Höhe und der Seite, auf der diese Höhe gezeichnet wird.

Satz

Die Fläche eines konvexen Vierecks, dessen Diagonalen senkrecht zueinander stehen, ist gleich der Hälfte des Produkts der Diagonalen.

Nachweisen

Betrachten Sie das Viereck \(ABCD\). Bezeichnen wir \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Beachten Sie, dass dieses Viereck aus vier rechtwinkligen Dreiecken besteht, daher ist seine Fläche gleich der Summe der Flächen dieser Dreiecke:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Folgerung: Fläche einer Raute

Die Fläche einer Raute entspricht dem halben Produkt ihrer Diagonalen: \

Definition

Die Höhe eines Trapezes ist eine Senkrechte, die von der Oberseite einer Basis zur anderen Basis gezogen wird.

Satz: Fläche eines Trapezes

Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe.

Nachweisen

Betrachten Sie das Trapez \(ABCD\) mit den Basen \(BC\) und \(AD\) . Zeichnen wir \(CD"\parallel AB\) wie in der Abbildung gezeigt:

Dann ist \(ABCD"\) ein Parallelogramm.

Führen wir auch \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) aus (\(BH"=CH\) sind die Höhen des Trapezes).

Dann \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Weil Besteht ein Trapez aus einem Parallelogramm \(ABCD"\) und einem Dreieck \(CDD"\), dann ist seine Fläche gleich der Summe der Flächen des Parallelogramms und des Dreiecks, das heißt:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Inhalt:

Es ist sehr einfach, die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks (es ist ein Polygon!) zu berechnen, und im Fall eines unregelmäßigen Zehnecks (es ist auch ein Polygon!) sehr schwierig. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Fläche verschiedener Polygone berechnen.

Schritte

1 Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Vielecks mittels Apothem

1. 1 Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Polygons: Fläche = 1/2 x Umfang x Apothem.
   • Der Umfang ist die Summe der Seiten eines Polygons.
   • Ein Apothem ist ein Segment, das den Mittelpunkt eines Polygons und die Mitte einer seiner Seiten verbindet (das Apothem steht senkrecht zur Seite).
2. 2 Finden Sie das Apothem. Es wird normalerweise in der Problemstellung angegeben. Zum Beispiel sei ein Sechseck gegeben, dessen Apothem 10√3 ist.
3. 3 Finden Sie den Umfang. Wenn der Umfang in der Problemstellung nicht angegeben ist, kann er mit dem bekannten Apothem ermittelt werden.
   • Ein Sechseck kann in 6 gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Das Apothem halbiert eine Seite und bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkeln von 30-60-90 Grad.
   • In einem rechtwinkligen Dreieck ist die einem 60-Grad-Winkel gegenüberliegende Seite x√3; ein Winkel von 30 Grad ist gleich „x“; ein Winkel von 90 Grad entspricht 2x. Wenn der Wert der Seite x√3 10√3 ist, dann ist x = 10.
   • „x“ ist die halbe Länge der Basis des Dreiecks. Verdoppeln Sie es und Sie erhalten die volle Länge der Basis. In unserem Beispiel beträgt die Basis des Dreiecks 20 Einheiten. Die Basis des Dreiecks wiederum ist die Seite des Sechsecks. Somit beträgt der Umfang des Sechsecks 20 x 6 = 120.
4. 4 Setzen Sie die Apothem- und Umfangswerte in die Formel ein. In unserem Beispiel:
   • Fläche = 1/2 x 120 x 10√3
   • Fläche = 60 x 10√3
   • Fläche = 600√3
5. 5 Vereinfachen Sie Ihre Antwort. Möglicherweise müssen Sie die Antwort als Dezimalzahl schreiben (d. h. die Wurzel entfernen). Finden Sie mit einem Taschenrechner √3 und multiplizieren Sie die resultierende Zahl mit 600: √3 x 600 = 1039,2. Dies ist Ihre endgültige Antwort.

2 Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Polygons mit anderen Formeln

1. 1 . Formel: Fläche = 1/2 x Grundfläche x Höhe.
   • Wenn Sie ein Dreieck mit einer Basis von 10 und einer Höhe von 8 erhalten, dann ist seine Fläche = 1/2 x 8 x 10 = 40.
2. 2 . Um die Fläche eines Quadrats zu ermitteln, quadrieren Sie einfach die Länge einer Seite. Wenn wir die Grundfläche eines Quadrats mit seiner Höhe multiplizieren, erhalten wir das gleiche Ergebnis, da Grundfläche und Höhe gleich sind.
   • Wenn die Seite eines Quadrats 6 ist, dann ist seine Fläche = 6 x 6 = 36.
3. 3 . Formel: Fläche = Länge x Breite.
   • Wenn die Länge eines Rechtecks ​​4 und die Breite 3 beträgt, dann ist seine Fläche = 4 x 3 = 12.
4. 4 . Formel: Fläche = [(Basis1 + Basis2) x Höhe] / 2.
   • Zum Beispiel sei ein Trapez mit den Grundflächen 6 und 8 und der Höhe 10 gegeben. Seine Fläche = [(6 + 8) 10]/2 = (14 x 10)/2 = 140/2 = 70.

3 Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Polygons

1. 1 Verwenden Sie die Koordinaten der Eckpunkte des unregelmäßigen Polygons. Wenn Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte kennen, können Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons bestimmen.
2. 2 Machen Sie einen Tisch. Notieren Sie die Koordinaten der Eckpunkte (x, y) (wählen Sie die Eckpunkte nacheinander gegen den Uhrzeigersinn aus). Schreiben Sie am Ende der Liste noch einmal die Koordinaten des ersten Scheitelpunkts.
3. 3 Multiplizieren Sie den X-Koordinatenwert des ersten Scheitelpunkts mit dem Y-Koordinatenwert des zweiten Scheitelpunkts (usw.). Addieren Sie die Ergebnisse (in unserem Beispiel beträgt die Summe 82).
4. 4 Multiplizieren Sie den y-Koordinatenwert des ersten Scheitelpunkts mit dem x-Koordinatenwert des zweiten Scheitelpunkts (usw.). Addieren Sie die Ergebnisse (in unserem Beispiel beträgt die Summe -38).
5. 5 Subtrahieren Sie den Betrag, den Sie in Schritt 4 erhalten haben, von dem Betrag, den Sie in Schritt 3 erhalten haben. In unserem Beispiel: (82) - (-38) = 120.
6. 6 Teilen Sie das Ergebnis durch 2, um die Fläche des Polygons zu ermitteln: S=120/2 = 60 (quadratische Einheiten).

• Wenn Sie die Koordinaten der Eckpunkte im Uhrzeigersinn schreiben, erhalten Sie eine negative Fläche. Daher kann es verwendet werden, um den Zyklus oder die Reihenfolge einer bestimmten Menge von Eckpunkten zu beschreiben, die ein Polygon bilden.
• Diese Formel ermittelt die Fläche anhand der Form des Polygons. Wenn das Polygon die Form der Zahl 8 hat, muss die Fläche mit Eckpunkten im Uhrzeigersinn von der Fläche mit Eckpunkten gegen den Uhrzeigersinn subtrahiert werden.

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, wie man die Fläche eines Polygons, in die ein Kreis eingeschrieben werden kann, durch den Radius dieses Kreises ausdrückt. Es ist sofort erwähnenswert, dass nicht jedes Polygon in einen Kreis passt. Wenn dies jedoch möglich ist, wird die Formel, nach der die Fläche eines solchen Polygons berechnet wird, sehr einfach. Lesen Sie diesen Artikel bis zum Ende oder schauen Sie sich das beigefügte Video-Tutorial an, und Sie erfahren, wie Sie die Fläche eines Polygons durch den Radius des darin eingeschriebenen Kreises ausdrücken.

Formel für die Fläche eines Polygons ausgedrückt als Radius des eingeschriebenen Kreises

Zeichnen wir ein Polygon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, nicht unbedingt richtig, aber eine, in die sich ein Kreis einschreiben lässt. Ich möchte Sie daran erinnern, dass ein eingeschriebener Kreis ein Kreis ist, der alle Seiten des Polygons berührt. Im Bild ist es ein grüner Kreis mit einem Mittelpunkt an der Spitze Ö:

Wir haben hier das 5-Eck als Beispiel genommen. Tatsächlich ist dies jedoch nicht von wesentlicher Bedeutung, da der weitere Beweis sowohl für ein 6-Eck als auch für ein 8-Eck und im Allgemeinen für jedes beliebige „Eck“ gilt.

Wenn Sie den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises mit allen Eckpunkten des Polygons verbinden, wird es in so viele Dreiecke unterteilt, wie es Eckpunkte im gegebenen Polygon gibt. In unserem Fall: für 5 Dreiecke. Wenn wir den Punkt verbinden Ö mit allen Berührungspunkten des eingeschriebenen Kreises mit den Seiten des Polygons, dann erhält man 5 Segmente (in der Abbildung unten sind das Segmente). OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 und OH 5), die gleich dem Radius des Kreises sind und senkrecht zu den Seiten des Polygons stehen, auf die sie gezeichnet werden. Letzteres trifft zu, da der zum Berührungspunkt gezeichnete Radius senkrecht zur Tangente steht:

Wie finde ich die Fläche unseres umschriebenen Polygons? Die Antwort ist einfach. Sie müssen die Flächen aller resultierenden Dreiecke addieren:

Betrachten wir, wie groß die Fläche eines Dreiecks ist. Im Bild unten ist es gelb hervorgehoben:

Es ist gleich dem halben Produkt der Basis A 1 A 2 zur Höhe OH 1, zu dieser Basis gezogen. Aber wie wir bereits herausgefunden haben, ist diese Höhe gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises. Das heißt, die Formel für die Fläche eines Dreiecks hat die Form: , Wo R— Radius des eingeschriebenen Kreises. Die Flächen aller übrigen Dreiecke werden auf ähnliche Weise ermittelt. Infolgedessen ist die erforderliche Fläche des Polygons gleich:

Es ist ersichtlich, dass es in allen Termen dieser Summe einen gemeinsamen Faktor gibt, der aus Klammern herausgenommen werden kann. Das Ergebnis wird der folgende Ausdruck sein:

Das heißt, was in Klammern bleibt, ist einfach die Summe aller Seiten des Polygons, also sein Umfang P. Am häufigsten wird in dieser Formel der Ausdruck einfach durch ersetzt P und sie nennen diesen Buchstaben „Halbumfang“. Infolgedessen hat die endgültige Formel die Form:

Das heißt, die Fläche eines Polygons, in die ein Kreis mit bekanntem Radius eingeschrieben ist, ist gleich dem Produkt aus diesem Radius und dem halben Umfang des Polygons. Das ist das Ergebnis, das wir angestrebt haben.

Abschließend wird er darauf hinweisen, dass ein Kreis immer in ein Dreieck eingeschrieben sein kann, was ein Sonderfall eines Polygons ist. Daher kann diese Formel für ein Dreieck immer angewendet werden. Bei anderen Polygonen mit mehr als 3 Seiten müssen Sie zunächst sicherstellen, dass sich darin ein Kreis einschreiben lässt. Wenn dies der Fall ist, können Sie diese einfache Formel bedenkenlos verwenden und damit die Fläche dieses Polygons ermitteln.

Material vorbereitet von Sergey Valerievich

Fläche eines Polygons. Freunde! Hier sind ein paar Probleme mit einem Polygon und einem darin eingeschriebenen Kreis. Es gibt eine Formel, die den Radius des angegebenen Kreises und den Umfang mit der Fläche eines solchen Polygons in Beziehung setzt. Da ist sie:

Wie leitet sich diese Formel ab? Nur!

Wir haben ein Polygon und einen eingeschriebenen Kreis. *Sehen wir uns die Schlussfolgerung am Beispiel eines Fünfecks an. Teilen wir es in Dreiecke (verbinden wir den Mittelpunkt des Kreises und die Eckpunkte mit Segmenten). Es stellt sich heraus, dass die Basis jedes Dreiecks die Seite des Polygons ist und die Höhen der gebildeten Dreiecke gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises sind:

Mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks können wir schreiben:

Nehmen wir die gemeinsamen Faktoren heraus:

Ich bin sicher, dass Ihnen das Prinzip selbst klar ist.

*Bei der Ableitung der Formel spielt die Anzahl der Seiten des genommenen Polygons keine Rolle. Im Allgemeinen würde die Ausgabe der Formel so aussehen:

*Weitere Informationen!

Die Formel für den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist bekannt:

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass es sich um die Formel handelt, die wir erhalten haben (a, b, c sind die Seiten des Dreiecks):

27640. Ein Polygon mit einem Umfang von 20 wird um einen Kreis mit einem Radius von 3 beschrieben. Ermitteln Sie seine Fläche.

Wir berechnen:

Noch ein paar Probleme mit Polygonen.

27930. Winkel zwischen der rechten Seite N-Eck ist in einen Kreis eingeschrieben, und der Radius dieses Kreises, der zu einem der Eckpunkte der Seite gezogen wird, beträgt 54 0. Finden N.

Wenn der Winkel zwischen dem Radius des Kreises und der Seite des Polygons 54 0 beträgt, beträgt der Winkel zwischen den Seiten des Polygons 108 0. Hier müssen Sie sich die Formel für den Winkel eines regelmäßigen Vielecks merken:

Jetzt müssen Sie nur noch den Winkelwert in die Formel einsetzen und n berechnen:

27595. Die Umfänge zweier ähnlicher Polygone stehen im Verhältnis 2:7. Die Fläche des kleineren Polygons beträgt 28. Finden Sie die Fläche des größeren Polygons.

Hier müssen wir uns daran erinnern, dass, wenn die linearen Abmessungen einer Figur um das k-fache zunehmen, die Fläche der Figur um das k-fache zunimmt. *Eigenschaft der Ähnlichkeit von Figuren.

Der Umfang des größeren Polygons ist 7/2-mal größer als der Umfang des kleineren, was bedeutet, dass sich die Fläche um das (7/2)-2-fache vergrößert hat. Somit ist die Fläche des größeren Polygons gleich.

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen charakterisiert:

1. Benachbarte Seiten gehören nicht zur gleichen Geraden.
2. Nicht benachbarte haben keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Um zu verstehen, welche Eckpunkte benachbart sind, müssen Sie prüfen, ob sie zur gleichen Seite gehören. Wenn ja, dann benachbarte. Andernfalls können sie durch ein Segment verbunden werden, das als Diagonale bezeichnet werden muss. Sie können nur in Polygonen durchgeführt werden, die mehr als drei Eckpunkte haben. Welche Arten davon gibt es? Ein Polygon mit mehr als vier Ecken kann konvex oder konkav sein. Der Unterschied zwischen letzterem besteht darin, dass einige seiner Eckpunkte auf gegenüberliegenden Seiten einer geraden Linie liegen können, die durch eine beliebige Seite des Polygons gezogen wird.

Fläche eines Polygons

Berechnen Sie die Fläche eines Polygons mithilfe des Inkreisradius und der Seitenlänge:[ (A×P)/2 ][ Apothem(A) = Seite/(2×Tan(π/N)) ] Länge eingeben = Anzahl eingeben Seiten = Fläche Polygon = Berechnung der Fläche anhand der Seitenlänge: Fläche des Polygons = ((Seite)² * N) / (4Tan(π / N)) Umfang des Polygons = N * (Seite) Berechnung der Fläche anhand des Umkreisradius: Fläche des Polygons = ½ * R² * Sin(2π / N) Berechnung der Fläche anhand des Radius des eingeschriebenen Kreises: Fläche des Polygons = A² * N * Tan(π / N), wobei A = R * Cos(π / N) Durch den Radius des eingeschriebenen Kreises und die Länge der Seite: Fläche des Polygons = ( A * P) / 2wobei A = Seite / (2 * Tan(π / N))wo ,

• N = Anzahl der Seiten
• A = Radius des eingeschriebenen Kreises,
• R = umschriebener Radius,
• P = Umfang

Beispiele: Aufgabe 1: Finden Sie die Fläche und den Umfang des Polygons, wenn die Seitenlänge = 2 und die Anzahl der Seiten = 4 ist.

Fläche eines regelmäßigen Polygons

Daraus lässt sich leicht ein für spezielle Fälle nützliches finden:

1. Dreieck: S = (3√3)/4 * R2;
2. Quadrat: S = 2 * R2;
3. Sechseck: S = (3√3)/2 * R2.

Situation mit einer unregelmäßigen Figur Die Lösung, wie man die Fläche eines Polygons ermittelt, wenn es nicht regelmäßig ist und keiner der bisher bekannten Figuren zugeordnet werden kann, ist der Algorithmus:

• Teilen Sie es in einfache Formen, zum Beispiel Dreiecke, auf, damit sie sich nicht schneiden.
• Berechnen Sie ihre Flächen mit einer beliebigen Formel.
• Addieren Sie alle Ergebnisse.

Was tun, wenn das Problem die Koordinaten der Eckpunkte eines Polygons angibt? Das heißt, für jeden Punkt ist eine Menge von Zahlenpaaren bekannt, die die Seiten der Figur begrenzen.

Normalerweise werden sie als (x1; y1) für den ersten, (x2; y2) für den zweiten geschrieben und der n-te Scheitelpunkt hat die folgenden Werte (xn; yn).

Fläche und Umfang eines Polygons

Dann wird die Fläche des Polygons als Summe von n Termen bestimmt.

Aufmerksamkeit

Jeder von ihnen sieht so aus: ((yi+1 +yi)/2) * (xi+1 - xi).

In diesem Ausdruck variiert i von eins bis n. Es ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Ergebnisses vom Durchlauf der Figur abhängt.
Wenn Sie die obige Formel verwenden und im Uhrzeigersinn vorgehen, ist die Antwort negativ.

Beispielaufgabebedingung. Die Koordinaten der Eckpunkte werden durch die folgenden Werte angegeben (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5).

Die Info

Sie müssen die Fläche eines Polygons berechnen. Lösung.

Gemäß der obigen Formel ist der erste Term gleich (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 – 2,1). Hier müssen Sie nur die Werte für Y und X vom zweiten und ersten Punkt übernehmen. Eine einfache Rechnung führt zum Ergebnis 1,8. Der zweite Term wird auf ähnliche Weise erhalten: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Haben Sie bei der Lösung solcher Probleme keine Angst vor negativen Größen.
Alles läuft wie es soll.
Schritt 1: Ermitteln Sie den Radius des Inkreises.A = R * Cos(π / N)= 2 * Cos(3,14 / 5)= 2 * Cos(0,63)= 2 * 0,81Apothem (Radius des Inkreises) = 1.62.Schritt 2: Finden wir die Fläche.Fläche = A² * N * Tan(π / N)= 1,62² * 5 * Tan(3,14 / 5)= 2,62 * 5 * Tan(0,63)= 13,1 * 0,73Fläche = 9,5 . Aufgabe 4: Finden Sie die Fläche des Polygons mithilfe des Apothem (Radius des eingeschriebenen Kreises), wenn die Seitenlänge 2 und die Anzahl der Seiten 5 beträgt. Schritt 1: Finden Sie das Apothem. Apothem = Seitenlänge / (2 * Tan(π / N))= 2 / ( 2 * Tan(π / 4))= 2 / (2 * Tan(0,785))= 2 / (2 * 0,999)= 2 / 1,998Apothem (A) = 1 . Schritt 2: Finden Sie den Umfang. Umfang (P) = (N * (Seitenlänge) = 4 * 2 = 8 Schritt 3: Finden Sie die Fläche. Fläche = (A * P) / 2= (1 * 8) / 2 = 8 / 2Fläche = 4.

Die obigen Beispiele zeigen, wie die Fläche und der Umfang eines Polygons manuell berechnet werden.

Regelmäßiges Vieleck

S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 tan⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n tan⁡〖(180°)/n〗)) R=a/ (2 sin⁡〖(180°)/n〗)=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 sin⁡〖(180°)/n〗=√(S/( n cos⁡〖(180°)/n〗)) Es ist möglich, den Umfang eines regelmäßigen Polygons durch die Fläche zu berechnen, wenn man ihn als Produkt der Anzahl der Seiten n mit der Wurzel darstellt, die man anstelle der Seite und erhält Vereinfachen Sie dann den Ausdruck, indem Sie n als Wurzel einführen. P=na=n√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)=√(4nS tan⁡〖(180°)/n〗) Der Winkel eines regelmäßigen Vielecks kann mit einer Formel berechnet werden Das hat nur eine Variable – die Anzahl der Seiten der Figur, sodass keine Änderungen erforderlich sind.

Flächenrechner für Polygone

Indem Sie die Anzahl der Seiten der Figur anstelle von n ersetzen, können Sie eine Formel zur Bestimmung der Fläche eines beliebigen regelmäßigen Polygons erhalten, die die Fläche des Quadrats a^2 multipliziert mit einem bestimmten Koeffizienten ist.

Interessanterweise erhöht sich dieser Koeffizient mit zunehmender Winkelzahl auch, beispielsweise für ein Fünfeck auf 1,72 und für ein Sechseck auf 2,59. Da jedes regelmäßige Polygon von einem Kreis umschrieben oder eingeschrieben werden kann, können wir die entsprechenden Radien verwenden, um die Flächen von Polygonen zu berechnen.

Die Seite und der Radius des umschriebenen Kreises für jedes Polygon hängen wie folgt zusammen: a = R × 2 sin (pi/n), wobei R der Radius des umschriebenen Kreises und n die Anzahl der Seiten der geometrischen Figur ist.

Für einen in ein Polygon eingeschriebenen Kreis ändert sich das Verhältnis geringfügig und sieht wie folgt aus: a = r × 2 tg (pi/n), wobei r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist.

So berechnen Sie die Fläche eines regelmäßigen Polygons

Beispiel eines Polygons Dieser Rechner berechnet die Fläche eines Polygons anhand der eingegebenen Seiten und Diagonalen und teilt das Polygon in disjunkte Dreiecke.

Schauen wir uns das Bild an – die Fläche des Polygons ABCDE kann als Summe der Flächen der Dreiecke ABD, BCD und ADE berechnet werden.

Dazu müssen Sie natürlich neben den Längen der Seiten des Polygons auch die Längen der Diagonalen BD und AD kennen, aber das ist alles, was Sie brauchen – die Fläche jedes Dreiecks kann berechnet werden nur aus den Längen seiner Seiten, ohne die Winkel zu messen.

Und das ist beispielsweise bei Reparaturen im Haushalt sehr praktisch – Längen lassen sich einfacher messen als Winkel.

Wir messen also die Längen der Seiten des Polygons, an dem wir interessiert sind, tragen sie in die Tabelle ein, teilen das Polygon gedanklich in Dreiecke auf, messen die erforderlichen Diagonalen, tragen sie ebenfalls in die Tabelle ein, woraufhin der Rechner die Fläche berechnet ​​die gesamte Figur.

Wie finde ich die Fläche eines Polygons heraus?

Was tun mit einem regelmäßigen Polygon, das mehr als vier Eckpunkte hat? Zunächst zeichnet sich eine solche Figur dadurch aus, dass alle Seiten gleich sind. Außerdem hat das Polygon gleiche Winkel. Wenn Sie um eine solche Figur einen Kreis zeichnen, stimmt sein Radius mit dem Segment vom Mittelpunkt des Polygons bis zu einem der Eckpunkte überein. Um die Fläche eines regelmäßigen Polygons mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten zu berechnen, benötigen Sie daher die folgende Formel: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), wobei n die Zahl ist der Eckpunkte des Polygons.
Um also die Fläche eines regelmäßigen Polygons zu bestimmen, müssen Sie die Anzahl der Seiten n und einen beliebigen Parameter zur Auswahl angeben:

• Seitenlänge a;
• Radius des eingeschriebenen Kreises r;
• Radius des umschriebenen Kreises R.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, um die Fläche eines beliebigen Polygons zu ermitteln.

Beispiele aus dem Leben Waben Waben sind ein einzigartiges Naturobjekt, das aus vielen sechseckigen prismatischen Zellen besteht.

Zählen wir, wie viele dieser Sechsecke in einer Wabe sind.

Dazu müssen wir die Gesamtfläche und Fläche einer Zelle ermitteln.

Aus Wikipedia wissen wir, dass ein Standard-Wabenrahmen 435 x 300 mm misst, was eine Gesamtfläche von 130.500 Quadratmillimetern ergibt.

Darin heißt es auch, dass der horizontale Durchmesser einer Zelle etwa 5,5 mm beträgt.

Diagonale 2 Winkel α ($main.angles$) Winkel β ($main.angles$) Geben Sie 3 beliebige Werte ein. Seite A Seite B Höhe ha Höhe hb Diagonale 1 Diagonale 2 Winkel α ($main.angles $) Winkel β ( $main .angles $) Geben Sie 3 beliebige Werte ein. Basis A Basis C Höhe H Fügen Sie Seiten hinzu, um den Umfang zu finden. Seite B Seite D Geben Sie 1 Wert ein. Seite A Circumradius (R) Eingeschriebener Kreisradius (r) Anzahl der Seiten des Polygons. Geben Sie 1 Wert ein Seite A Radius umschriebener Kreis (R) Inkreisradius (r) Geben Sie 1 Wert ein. Seite A = umschriebener Kreisradius (R) Inkreisradius (r) Berechnungsergebnis

• Umfang: ($result.p|number:4$)
• Bereich: ($result.s|number:4 $)

Ein Polygon oder Polygon ist eine geometrische Figur, die eine n-te Anzahl von Winkeln aufweist.
Im Allgemeinen ist ein Polygon ein Teil einer Ebene, der durch eine geschlossene gestrichelte Linie begrenzt wird.

Geometrie von Polygonen Im Allgemeinen kann eine solche geometrische Figur absolut jede Form haben.

Beispielsweise sind Stern- und Kompasssymbole, ein Modellpolygon oder die Fläche eines Zahnrads Polygone.

Polygonale Figuren werden in zwei Gruppen unterteilt:

• nicht konvex, die eine beliebige bizarre Form mit möglichen Selbstüberschneidungen haben (das offensichtlichste Beispiel ist ein Stern);
• konvex, wobei alle Punkte auf einer Seite einer geraden Linie liegen, die durch zwei benachbarte Eckpunkte (Quadrat, Dreieck) gezogen wird.

Ein konvexes Polygon, bei dem alle Winkel gleich und alle Seiten gleich sind, gilt als regelmäßig und hat einen eigenen Namen.