Welches Viereck kann einen Kreis beschreiben? Beschriftetes Viereck. Regelmäßige n-Eck-Formeln

Eingeschriebene und kreisförmige Polygone,

§ 106. Eigenschaften von eingeschriebenen und beschriebenen Vierecken.

Satz 1. Die Summe der entgegengesetzten Winkel eines zyklischen Vierecks beträgt 180°.

Ein Viereck ABCD sei in einen Kreis mit Mittelpunkt O einbeschrieben (Abb. 412). Dies ist nachzuweisen / A+ / C = 180° und / B + / D = 180°.

/ A, wie im Kreis O eingeschrieben, misst 1/2 BCD.
/ C, wie im gleichen Kreis eingeschrieben, misst 1/2 BAD.

Folglich wird die Summe der Winkel A und C durch die Halbsumme der Bögen BCD und BAD gemessen; in der Summe ergeben diese Bögen einen Kreis, d. h. sie haben 360°.
Von hier / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Ebenso ist es bewiesen / B + / D = 180°. Dies lässt sich jedoch auch auf andere Weise ableiten. Wir wissen, dass die Summe der Innenwinkel eines konvexen Vierecks 360° beträgt. Die Summe der Winkel A und C beträgt 180°, was bedeutet, dass die Summe der anderen beiden Winkel des Vierecks ebenfalls 180° bleibt.

Satz 2(umkehren). Wenn in einem Viereck die Summe zweier entgegengesetzter Winkel gleich ist 180° , dann lässt sich um ein solches Viereck ein Kreis beschreiben.

Die Summe der entgegengesetzten Winkel des Vierecks ABCD sei nämlich gleich 180°
/ A+ / C = 180° und / B + / D = 180° (Zeichnung 412).

Beweisen wir, dass um ein solches Viereck ein Kreis beschrieben werden kann.

Nachweisen. Durch drei beliebige Eckpunkte dieses Vierecks können Sie einen Kreis zeichnen, beispielsweise durch die Punkte A, B und C. Wo wird Punkt D liegen?

Punkt D kann nur eine der folgenden drei Positionen einnehmen: innerhalb des Kreises liegen, außerhalb des Kreises liegen, auf dem Umfang des Kreises liegen.

Nehmen wir an, dass der Scheitelpunkt innerhalb des Kreises liegt und die Position D" einnimmt (Abb. 413). Dann erhalten wir im Viereck ABCD":

/ B + / D" = 2 D.

Wenn wir die Seite „AD“ bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis am Punkt E fortsetzen und die Punkte E und C verbinden, erhalten wir das zyklische Viereck ABCE, in dem nach dem direkten Satz

/ B+ / E = 2 D.

Aus diesen beiden Gleichheiten folgt:

/ D" = 2 D - / B;
/ E=2 D - / B;

/ D" = / E,

aber das kann nicht sein, denn / Da D" relativ zum Dreieck CD"E außerhalb liegt, muss er größer als der Winkel E sein. Daher kann Punkt D nicht innerhalb des Kreises liegen.

Es ist auch bewiesen, dass der Scheitelpunkt D nicht die Position D“ außerhalb des Kreises einnehmen kann (Abb. 414).

Es bleibt zu erkennen, dass der Scheitelpunkt D auf dem Umfang des Kreises liegen muss, also mit dem Punkt E zusammenfällt, was bedeutet, dass ein Kreis um das Viereck ABCD beschrieben werden kann.

Folgen. 1. Um jedes Rechteck lässt sich ein Kreis beschreiben.

2. Um ein gleichschenkliges Trapez lässt sich ein Kreis beschreiben.

In beiden Fällen beträgt die Summe der entgegengesetzten Winkel 180°.

Satz 3. In einem umschriebenen Viereck sind die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich. Das Viereck ABCD sei um einen Kreis beschrieben (Abb. 415), das heißt, seine Seiten AB, BC, CD und DA tangieren diesen Kreis.

Es muss nachgewiesen werden, dass AB + CD = AD + BC. Bezeichnen wir die Tangentenpunkte mit den Buchstaben M, N, K, P. Basierend auf den Eigenschaften von Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden (§ 75), haben wir:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Fügen wir diese Gleichheiten Term für Term hinzu. Wir bekommen:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

d. h. AB + CD = AD + BC, was bewiesen werden musste.

Übungen.

1. In einem beschrifteten Viereck stehen zwei entgegengesetzte Winkel im Verhältnis 3:5,
und die anderen beiden stehen im Verhältnis 4:5. Bestimmen Sie die Größe dieser Winkel.

2. Im beschriebenen Viereck beträgt die Summe zweier gegenüberliegender Seiten 45 cm, die übrigen beiden Seiten stehen im Verhältnis 0,2:0,3. Finden Sie die Länge dieser Seiten.

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• In der euklidischen Geometrie gilt beschriftetes Viereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte alle auf demselben Kreis liegen. Dieser Kreis heißt umschriebener Kreis Viereck, und die Eckpunkte sollen auf demselben Kreis liegen. Der Mittelpunkt dieses Kreises und sein Radius werden jeweils genannt Center Und Radius umschriebener Kreis. Andere Bezeichnungen für dieses Viereck: Ein Viereck liegt auf einem Kreis, die Seiten des letzten Vierecks sind Sehnen des Kreises. Ein konvexes Viereck wird üblicherweise als konvexes Viereck angenommen. Die unten angegebenen Formeln und Eigenschaften gelten im konvexen Fall.
• Sie sagen das, wenn Um ein Viereck kann ein Kreis gezeichnet werden, Das In diesen Kreis ist das Viereck eingeschrieben, umgekehrt.

Allgemeine Kriterien für die Beschriftung eines Vierecks

• Um ein konvexes Viereck $\backslash Pi$ Bogenmaß), das heißt:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

oder in der Figurenschreibweise:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Es ist möglich, einen Kreis um jedes Viereck zu beschreiben, bei dem sich die vier Mittelsenkrechten seiner Seiten in einem Punkt schneiden (oder Mittelsenkrechten seiner Seiten, d. h. Senkrechte zu den Seiten, die durch ihre Mittelpunkte verlaufen).
• Sie können einen Kreis um jedes Viereck beschreiben, an das ein Außenwinkel angrenzt gegebener Innenwinkel, ist genau gleich dem anderen gegenüberliegenden Innenwinkel gegebene Innenecke. Im Wesentlichen handelt es sich bei dieser Bedingung um die Bedingung der Antiparallelität zweier gegenüberliegender Seiten des Vierecks. In Abb. Unten sind die äußeren und angrenzenden inneren Ecken eines grünen Fünfecks dargestellt.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Überschneidung X kann innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen. Im ersten Fall erhalten wir das zyklische Viereck is A B C D, und im letzteren Fall erhalten wir ein eingeschriebenes Viereck ABDC. Beim Schnitt innerhalb eines Kreises besagt die Gleichheit, dass das Produkt der Längen der Segmente, in denen sich der Punkt befindet X teilt eine Diagonale, ist gleich dem Produkt der Längen der Segmente, in denen der Punkt liegt X teilt eine andere Diagonale. Diese Bedingung ist als „Schnittakkordsatz“ bekannt. In unserem Fall sind die Diagonalen des eingeschriebenen Vierecks die Sehnen des Kreises.
• Ein weiteres Aufnahmekriterium. Konvexes Viereck A B C D Ein Kreis ist genau dann eingeschrieben, wenn

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Besondere Kriterien für die Beschriftung eines Vierecks

Ein einfaches eingeschriebenes (ohne sich selbst schneidendes) Viereck ist konvex. Ein Kreis kann genau dann um ein konvexes Viereck beschrieben werden, wenn die Summe seiner entgegengesetzten Winkel gleich 180° ist ( $\backslash Pi$ Bogenmaß). Sie können einen Kreis beschreiben um:

• irgendein Antiparallelogramm
• jedes Rechteck (ein Sonderfall ist ein Quadrat)
• jedes gleichschenklige Trapez
• jedes Viereck, das zwei gegenüberliegende rechte Winkel hat.

Eigenschaften

Formeln mit Diagonalen

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

In der letzten Formel des Paares benachbarter Seiten des Zählers A Und D, B Und C Legen Sie ihre Enden auf eine diagonale Länge e. Eine ähnliche Aussage gilt für den Nenner.

• Formeln für Diagonallängen(Folgen ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ Und $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Formeln mit Winkeln

Für ein zyklisches Viereck mit einer Folge von Seiten A , B , C , D, mit Halbumfang P und Winkel A zwischen den Parteien A Und D, trigonometrische Winkelfunktionen A werden durch Formeln angegeben

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Ecke θ zwischen den Diagonalen steht:S.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Wenn gegenüberliegende Seiten A Und C sich in einem Winkel schneiden φ , dann ist es gleich

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Wo P Es gibt einen Halbumfang. :S.31

Radius eines um ein Viereck umschriebenen Kreises

Parameshvara-Formel

Wenn es sich um ein Viereck mit aufeinanderfolgenden Seiten handelt A , B , C , D und Halbumfang P in einen Kreis eingeschrieben, dann ist sein Radius gleich Parameshwars Formel:P. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Es wurde im 15. Jahrhundert (ca. 1380–1460) vom indischen Mathematiker Parameshwar abgeleitet.

• Konvexes Viereck (siehe Abbildung rechts), gebildet aus vier Daten Mikels gerade Linien, ist genau dann in einen Kreis eingeschrieben, wenn der Mikel-Punkt M eines Vierecks liegt auf einer Linie, die zwei der sechs Schnittpunkte der Linien verbindet (diejenigen, die keine Eckpunkte des Vierecks sind). Das ist wenn M liegt auf E.F..

Ein Kriterium dafür, dass ein aus zwei Dreiecken bestehendes Viereck in einen bestimmten Kreis eingeschrieben ist

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Die letzte Bedingung gibt den Ausdruck für die Diagonale an F ein Viereck, das durch die Länge seiner vier Seiten in einen Kreis eingeschrieben ist ( A, B, C, D). Diese Formel folgt unmittelbar beim Multiplizieren und Gleichsetzen des linken und rechten Teils von Formeln, die das Wesentliche ausdrücken Der erste und zweite Satz des Ptolemäus(siehe oben).

Ein Kriterium dafür, dass ein durch eine gerade Linie aus einem Dreieck geschnittenes Viereck in einen bestimmten Kreis eingeschrieben ist

• Eine gerade Linie, die antiparallel zur Seite des Dreiecks verläuft und diese schneidet, schneidet daraus ein Viereck ab, um das sich immer ein Kreis beschreiben lässt.
• Folge. Um ein Antiparallelogramm herum, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten antiparallel sind, ist es immer möglich, einen Kreis zu beschreiben.

Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks

Variationen der Brahmagupta-Formel

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ wobei p der Halbumfang des Vierecks ist. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Andere Flächenformeln

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Wo θ jeder Winkel zwischen den Diagonalen. Vorausgesetzt, der Winkel A Da es sich nicht um eine gerade Linie handelt, kann die Fläche auch wie folgt ausgedrückt werden: S. 26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Wo R ist der Radius des Umkreises. Als direkte Konsequenz haben wir die Ungleichung

$S\backslash le\; 2R^2,$

wobei Gleichheit genau dann möglich ist, wenn dieses Viereck ein Quadrat ist.

Brahmagupta-Vierecke

Brahmagupta-Viereck ist ein in einen Kreis eingeschriebenes Viereck mit ganzzahligen Seitenlängen, ganzzahligen Diagonalen und ganzzahliger Fläche. Alle möglichen Brahmagupta-Vierecke mit Seiten A , B , C , D, mit Diagonalen e , F, mit Fläche S und der Radius des umschriebenen Kreises R kann durch Entfernen der Nenner der folgenden Ausdrücke mit rationalen Parametern erhalten werden T , u, Und v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=UV$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Beispiele

• Besondere in einen Kreis eingeschriebene Vierecke sind: Rechteck, Quadrat, gleichschenkliges oder gleichschenkliges Trapez, Antiparallelogramm.

In einen Kreis eingeschriebene Vierecke mit senkrechten Diagonalen (eingeschriebene orthodiagonale Vierecke)

Eigenschaften von Vierecken, die in einen Kreis mit senkrechten Diagonalen eingeschrieben sind

Umkreisradius und Fläche

Nehmen Sie für ein Viereck, das in einen Kreis mit senkrechten Diagonalen eingeschrieben ist, an, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eine Diagonale in Längensegmente unterteilt P 1 und P 2 und teilt die andere Diagonale in Längensegmente Q 1 und Q 2. Dann (Die erste Gleichheit ist Satz 11 von Archimedes) Buch der Lemmas)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Wo D- Durchmesser des Kreises. Dies ist wahr, weil die Diagonalen senkrecht zur Kreissehne verlaufen. Aus diesen Gleichungen folgt der Radius des umschriebenen Kreises R kann geschrieben werden als

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

oder in Bezug auf die Seiten eines Vierecks in der Form

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Daraus folgt auch

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Für eingeschriebene ordiagonale Vierecke gilt der Satz von Brahmagupta:

Wenn ein zyklisches Viereck senkrechte Diagonalen hat, die sich in einem Punkt schneiden $M$, dann zwei Paare davon antimediatris durch einen Punkt gehen $M$.

Kommentar. In diesem Satz unter Anti-Mediatrix das Segment verstehen $F.E.$ Viereck in der Abbildung rechts (analog zur Mittelsenkrechten (Mediatrix) zur Seite des Dreiecks). Es steht senkrecht auf einer Seite und verläuft gleichzeitig durch die Mitte der gegenüberliegenden Seite des Vierecks.

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Anmerkungen

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30. .
31. .
32. .

siehe auch

Nach Anzahl der Seiten Richtig Dreiecke Vierecke siehe auch

Der Artikel enthält kurze („Harvard“) Verweise auf Veröffentlichungen, die im bibliografischen Teil nicht aufgeführt oder falsch beschrieben sind. Liste defekter Links: , , , , , , , , , – Nun, was, mein Kosak? (Marya Dmitrievna nannte Natascha eine Kosakin) - sagte sie und streichelte Natascha mit ihrer Hand, die sich ihrer Hand ohne Angst und fröhlich näherte. – Ich weiß, dass der Zaubertrank ein Mädchen ist, aber ich liebe sie. Sie holte birnenförmige Yakhon-Ohrringe aus ihrem riesigen Retikül und gab sie Natasha, die zu ihrem Geburtstag strahlte und errötete, wandte sich sofort von ihr ab und wandte sich an Pierre. - Äh, äh! Art! „Komm her“, sagte sie mit gespielt leiser und dünner Stimme. - Komm schon, mein Lieber... Und sie krempelte bedrohlich ihre Ärmel noch höher. Pierre kam näher und sah sie naiv durch seine Brille an. - Komm, komm, mein Lieber! Ich war der Einzige, der deinem Vater die Wahrheit gesagt hat, als er die Gelegenheit dazu hatte, aber Gott befiehlt es dir. Sie hielt inne. Alle schwiegen, warteten darauf, was passieren würde, und hatten das Gefühl, dass es sich nur um ein Vorwort handelte. - Gut, nichts zu sagen! Guter Junge!... Der Vater liegt auf seinem Bett und vergnügt sich damit, den Polizisten auf einen Bären zu setzen. Es ist eine Schande, Vater, es ist eine Schande! Es wäre besser, in den Krieg zu ziehen. Sie wandte sich ab und reichte dem Grafen die Hand, der sich ein Lachen kaum verkneifen konnte. - Nun, komm an den Tisch, ich trinke Tee, ist es Zeit? - sagte Marya Dmitrievna. Der Graf ging mit Marya Dmitrievna voran; dann die Gräfin, die von einem Husarenoberst angeführt wurde, der richtigen Person, mit der Nikolai das Regiment einholen sollte. Anna Michailowna – mit Shinshin. Berg schüttelte Vera die Hand. Eine lächelnde Julie Karagina ging mit Nikolai an den Tisch. Hinter ihnen kamen weitere Paare, die sich über den gesamten Saal erstreckten, und hinter ihnen standen nacheinander Kinder, Erzieher und Gouvernanten. Die Kellner begannen sich zu rühren, die Stühle klapperten, im Chor begann Musik zu spielen und die Gäste nahmen ihre Plätze ein. Die Klänge der Hausmusik des Grafen wurden durch die Geräusche von Messern und Gabeln, das Geplapper der Gäste und die leisen Schritte der Kellner ersetzt. An einem Ende des Tisches saß die Gräfin am Kopfende. Rechts ist Marya Dmitrievna, links Anna Michailowna und andere Gäste. Am anderen Ende saßen der Graf, links der Husarenoberst, rechts Shinshin und weitere männliche Gäste. Auf der einen Seite des langen Tisches stehen ältere junge Leute: Vera neben Berg, Pierre neben Boris; auf der anderen Seite - Kinder, Erzieher und Gouvernanten. Hinter dem Kristall, den Flaschen und Vasen mit Obst blickte der Graf auf seine Frau und ihre hohe Mütze mit blauen Bändern und schenkte seinen Nachbarn fleißig Wein ein, ohne dabei sich selbst zu vergessen. Auch die Gräfin warf hinter den Ananas hervor, ihre Pflichten als Hausfrau nicht vergessend, bedeutungsvolle Blicke auf ihren Mann, dessen Glatze und Gesicht sich, wie es ihr schien, durch die Rötung deutlicher von seinen grauen Haaren unterschieden. Bei den Damen gab es ein ständiges Geplapper; In der Herrentoilette wurden die Stimmen immer lauter, besonders die des Husarenobersten, der so viel aß und trank und dabei immer erröteter wurde, dass der Graf ihn den anderen Gästen bereits als Vorbild aufstellte. Mit einem sanften Lächeln sagte Berg zu Vera, dass Liebe kein irdisches, sondern ein himmlisches Gefühl sei. Boris nannte seinen neuen Freund Pierre die Gäste am Tisch und tauschte Blicke mit Natascha, die ihm gegenüber saß. Pierre sprach wenig, schaute neue Gesichter an und aß viel. Ausgehend von zwei Suppen, aus denen er a la Tortue, [Schildkröte] und Kulebyaki bis hin zu Haselhuhn wählte, ließ er kein einziges Gericht und keinen einzigen Wein aus, den ihm der Butler auf geheimnisvolle Weise in einer in eine Serviette gewickelten Flasche hinhielt hinter der Schulter seines Nachbarn hervorrufen und „drey Madeira“, „Ungarisch“ oder „Rheinwein“ sagen. Er stellte das erste der vier Kristallgläser mit dem gräflichen Monogramm vor jedes Gerät und trank genüsslich, wobei er die Gäste mit zunehmend freundlichem Gesichtsausdruck ansah. Natascha, die ihm gegenüber saß, sah Boris an, wie dreizehnjährige Mädchen einen Jungen ansehen, den sie gerade zum ersten Mal geküsst hatten und in den sie verliebt sind. Derselbe Blick von ihr wandte sich manchmal Pierre zu, und unter dem Blick dieses lustigen, lebhaften Mädchens wollte er selbst lachen, ohne zu wissen warum. Nikolai saß weit entfernt von Sonya neben Julie Karagina und sprach wieder mit demselben unwillkürlichen Lächeln zu ihr. Sonya lächelte großartig, wurde aber offenbar von Eifersucht gequält: Sie wurde blass, dann errötete sie und hörte mit aller Kraft zu, was Nikolai und Julie einander sagten. Die Gouvernante blickte sich ruhelos um, als wollte sie sich wehren, falls jemand beschloss, die Kinder zu beleidigen. Der Deutschlehrer versuchte, sich alle möglichen Gerichte, Desserts und Weine einzuprägen, um in einem Brief an seine Familie in Deutschland alles ausführlich zu beschreiben, und war sehr beleidigt darüber, dass der Butler eine in eine Serviette gewickelte Flasche trug ihn herum. Der Deutsche runzelte die Stirn, versuchte zu zeigen, dass er diesen Wein nicht erhalten wollte, war aber beleidigt, weil niemand verstehen wollte, dass er den Wein nicht brauchte, um seinen Durst zu löschen, nicht aus Gier, sondern aus gewissenhafter Neugier. Am männlichen Ende des Tisches wurde das Gespräch immer lebhafter. Der Oberst sagte, dass das Kriegserklärungsmanifest bereits in St. Petersburg veröffentlicht worden sei und dass die Kopie, die er selbst gesehen habe, nun per Kurier dem Oberbefehlshaber zugestellt worden sei. - Und warum fällt es uns schwer, gegen Bonaparte zu kämpfen? - sagte Shinshin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [Er hat bereits die Arroganz Österreichs niedergeschlagen. Ich fürchte, dass wir jetzt nicht an der Reihe sein würden.] Der Oberst war ein untersetzter, großer und sanguinischer Deutscher, offensichtlich ein Diener und Patriot. Er war durch Shinshins Worte beleidigt. „Und dann sind wir ein guter Herrscher“, sagte er und sprach e statt e und ъ statt ь aus. „Dann weiß der Kaiser das. Er sagte in seinem Manifest, dass er den Gefahren, die Russland bedrohen, gleichgültig gegenüberstehen kann und dass die Sicherheit des Reiches, seine Würde und die Heiligkeit seiner Bündnisse wichtig sind“, sagte er und betonte dabei aus irgendeinem Grund besonders das Wort „Gewerkschaften“, als ob dies der Kern der Sache wäre. Und mit seinem charakteristischen unfehlbaren, offiziellen Gedächtnis wiederholte er die einleitenden Worte des Manifests ... „Und der Wunsch, das einzige und unverzichtbare Ziel des Souveräns: den Frieden in Europa auf soliden Grundlagen zu errichten – sie beschlossen, einen Teil davon zu entsenden.“ Armee im Ausland und unternehmen neue Anstrengungen, um dieses Ziel zu erreichen“. „Deshalb sind wir ein guter Herrscher“, schloss er, trank erbaulich ein Glas Wein und blickte ermutigend auf den Grafen zurück. – Connaissez vous le proverbe: [Du kennst das Sprichwort:] „Erema, Erema, du solltest zu Hause sitzen und deine Spindeln schärfen“, sagte Shinshin, zuckte zusammen und lächelte. – Cela nous convient a merveille. [Das ist praktisch für uns.] Warum Suworow – sie haben ihn zerhackt, einen Teller Couture, [auf seinem Kopf] und wo sind unsere Suworows jetzt? „Je vous requeste un peu, [Ich frage dich]“, sagte er und sprang ständig vom Russischen ins Französische. „Wir müssen bis zum letzten Blutstropfen kämpfen“, sagte der Oberst und schlug auf den Tisch, „und für unseren Kaiser sterben, und dann wird alles gut.“ Und so viel wie möglich zu streiten (beim Wort „möglich“ hat er seine Stimme besonders in die Länge gezogen), so wenig wie möglich“, endete er und wandte sich wieder an den Grafen. „So beurteilen wir die alten Husaren, das ist alles.“ Wie urteilen Sie, junger Mann und junger Husar? - fügte er hinzu und wandte sich an Nikolai, der, als er hörte, dass es um Krieg ging, seinen Gesprächspartner verließ und den Oberst mit allen Augen ansah und mit allen Ohren zuhörte. „Ich stimme Ihnen voll und ganz zu“, antwortete Nikolai ganz errötet, drehte den Teller und ordnete die Gläser mit einem so entschlossenen und verzweifelten Blick, als wäre er in diesem Moment einer großen Gefahr ausgesetzt, „ich bin überzeugt, dass die Russen sterben müssen.“ „Oder gewinnen“, sagte er. Wie andere empfand er, nachdem das Wort schon gesagt war, dass es für den jetzigen Anlass zu enthusiastisch und pompös und daher umständlich sei. „C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Wunderbar! Was du gesagt hast, ist wunderbar]", sagte Julie, die neben ihm saß, seufzend. Sonya zitterte am ganzen Körper und errötete bis zu den Ohren, hinter den Ohren und bis zum Nacken und den Schultern, in Während Nikolai sprach, hörte Pierre den Reden des Obersten zu und nickte zustimmend mit dem Kopf. „Das ist schön“, sagte er. „Ein echter Husar, junger Mann“, rief der Oberst und schlug erneut auf den Tisch. -Worüber machst du da Lärm? – Plötzlich war Marya Dmitrievnas Bassstimme über den Tisch zu hören. -Warum klopfst du auf den Tisch? - Sie wandte sich an den Husaren, - Über wen regen Sie sich auf? Richtig, du denkst, dass die Franzosen vor dir sind? „Ich sage die Wahrheit“, sagte der Husar lächelnd. „Alles über den Krieg“, rief der Graf über den Tisch. - Schließlich kommt mein Sohn, Marya Dmitrievna, mein Sohn kommt. - Und ich habe vier Söhne in der Armee, aber das ist mir egal. Alles ist Gottes Wille: Du wirst auf dem Herd sterben, und im Kampf wird Gott gnädig sein“, ertönte Marya Dmitrievnas dicke Stimme mühelos vom anderen Ende des Tisches. - Ist das so. Und das Gespräch konzentrierte sich wieder – die Damen an ihrem Ende des Tisches, die Männer an seinem. „Aber du wirst nicht fragen“, sagte der kleine Bruder zu Natascha, „aber du wirst nicht fragen!“ „Ich werde fragen“, antwortete Natasha. Ihr Gesicht errötete plötzlich und drückte verzweifelte und fröhliche Entschlossenheit aus. Sie stand auf, forderte Pierre, der ihr gegenüber saß, auf, zuzuhören, und wandte sich an ihre Mutter: - Mama! – ihre kindliche, brustige Stimme ertönte über den Tisch. - Was willst du? – fragte die Gräfin voller Angst, aber als sie am Gesicht ihrer Tochter sah, dass es sich um einen Streich handelte, winkte sie streng mit der Hand und machte eine drohende und ablehnende Geste mit dem Kopf. Das Gespräch verstummte. - Mama! Was für ein Kuchen wird es sein? – Natashas Stimme klang noch entschiedener, ohne zusammenzubrechen. Die Gräfin wollte die Stirn runzeln, konnte es aber nicht. Marya Dmitrievna schüttelte ihren dicken Finger. „Kosak“, sagte sie drohend. Die meisten Gäste blickten die Ältesten an und wussten nicht, wie sie diesen Trick annehmen sollten. - Hier bin ich! - sagte die Gräfin. - Mama! was für einen Kuchen wird es geben? - schrie Natasha jetzt kühn und launisch fröhlich, schon im Vorfeld zuversichtlich, dass ihr Streich gut ankommen würde. Sonya und die dicke Petja versteckten sich vor Lachen. „Deshalb habe ich gefragt“, flüsterte Natasha ihrem kleinen Bruder und Pierre zu, den sie erneut ansah. „Eis, aber sie geben es dir nicht“, sagte Marya Dmitrievna. Natasha sah, dass es nichts gab, wovor sie Angst haben musste, und hatte deshalb keine Angst vor Marya Dmitrievna. - Marya Dmitrievna? was für ein Eis! Ich mag keine Sahne. - Karotte. - Nein, welches? Marya Dmitrievna, welche? – Sie hätte fast geschrien. - Ich möchte wissen! Marya Dmitrievna und die Gräfin lachten, und alle Gäste folgten ihnen. Alle lachten nicht über Marya Dmitrievnas Antwort, sondern über den unfassbaren Mut und die Geschicklichkeit dieses Mädchens, das wusste, wie und es wagte, Marya Dmitrievna so zu behandeln. Natasha geriet erst in Rückstand, als ihr gesagt wurde, dass es Ananas geben würde. Vor dem Eis wurde Champagner serviert. Die Musik begann wieder zu spielen, der Graf küsste die Gräfin, und die Gäste standen auf und gratulierten der Gräfin und stießen mit dem Grafen, den Kindern und untereinander Gläser an. Wieder rannten Kellner herein, Stühle klapperten, und in der gleichen Reihenfolge, aber mit röteren Gesichtern, kehrten die Gäste in den Salon und in das Büro des Grafen zurück. Die Bostoner Tische wurden auseinandergeschoben, die Gesellschaften aufgestellt und die Gäste des Grafen ließen sich in zwei Wohnzimmern, einem Sofazimmer und einer Bibliothek nieder. Der Graf, der seine Karten ausbreitete, konnte der Angewohnheit, einen Mittagsschlaf zu halten, kaum widerstehen und lachte über alles. Der Jüngling versammelte sich, von der Gräfin angeregt, um das Clavichord und die Harfe. Julie spielte auf Wunsch aller als erste ein Stück mit Variationen auf der Harfe und begann zusammen mit anderen Mädchen, Natascha und Nikolai, die für ihre Musikalität bekannt sind, zu bitten, etwas zu singen. Darauf war Natasha, die als großes Mädchen angesprochen wurde, offenbar sehr stolz, gleichzeitig aber auch schüchtern. - Was werden wir singen? - Sie fragte. „Der Schlüssel“, antwortete Nikolai. - Nun, beeilen wir uns. „Boris, komm her“, sagte Natascha. - Wo ist Sonya? Sie sah sich um und rannte hinter ihr her, als sie sah, dass ihre Freundin nicht im Zimmer war. Natasha rannte in Sonyas Zimmer und fand ihre Freundin dort nicht vor. Sie rannte ins Kinderzimmer – und Sonya war nicht da. Natasha erkannte, dass Sonya im Korridor auf der Brust lag. Die Truhe im Flur war der Ort der Sorgen der jüngeren weiblichen Generation des Rostower Hauses. Tatsächlich legte sich Sonya in ihrem luftigen rosa Kleid, das es zerdrückte, mit dem Gesicht nach unten auf das schmutzige, gestreifte Federbett ihres Kindermädchens, auf die Brust und weinte bitterlich, während sie ihr Gesicht mit den Fingern bedeckte, und schüttelte ihre nackten Schultern. Natashas Gesicht, belebt, mit einem Geburtstag den ganzen Tag, veränderte sich plötzlich: Ihr Blick blieb stehen, dann zitterte ihr breiter Hals, ihre Lippenwinkel hingen herab. - Sonya! Was bist du?... Was, was ist los mit dir? Wow wow!… Und Natasha öffnete ihren großen Mund und wurde völlig dumm und begann wie ein Kind zu brüllen, ohne den Grund zu kennen und nur, weil Sonya weinte. Sonya wollte den Kopf heben, wollte antworten, aber sie konnte nicht und versteckte sich noch mehr. Natasha weinte, setzte sich auf das blaue Federbett und umarmte ihre Freundin. Nachdem Sonya ihre Kräfte gesammelt hatte, stand sie auf, wischte sich die Tränen weg und erzählte die Geschichte. - Nikolenka geht in einer Woche, sein ... Papier ... kam heraus ... er sagte es mir selbst ... Ja, ich würde immer noch nicht weinen ... (sie zeigte den Zettel, den sie in der Hand hielt ihre Hand: Es war ein Gedicht von Nikolai) Ich wollte immer noch nicht weinen, aber du hast es nicht geschafft... niemand kann verstehen... was für eine Seele er hat. Und sie fing wieder an zu weinen, weil seine Seele so gut war. „Du fühlst dich gut... Ich beneide dich nicht... Ich liebe dich und Boris auch“, sagte sie und sammelte ein wenig Kraft, „er ist süß... es gibt keine Hindernisse für dich.“ Und Nikolai ist mein Cousin... Ich brauche... den Metropoliten selbst... und das ist unmöglich. Und dann, wenn Mama... (Sonja dachte an die Gräfin und rief ihre Mutter an), wird sie sagen, dass ich Nikolais Karriere ruiniere, ich habe kein Herz, dass ich undankbar bin, aber wirklich... um Gottes willen... (sie bekreuzigt sich) Ich liebe sie auch so sehr, und euch alle, nur Vera... Wofür? Was habe ich ihr angetan? Ich bin dir so dankbar, dass ich gerne alles opfern würde, aber ich habe nichts... Sonya konnte nicht mehr sprechen und versteckte ihren Kopf wieder in ihren Händen und dem Federbett. Natasha begann sich zu beruhigen, aber ihr Gesicht zeigte, dass sie die Bedeutung der Trauer ihrer Freundin verstand. - Sonya! - sagte sie plötzlich, als hätte sie den wahren Grund für die Trauer ihrer Cousine erraten. – Richtig, Vera hat nach dem Mittagessen mit dir gesprochen? Ja? – Ja, Nikolai selbst hat diese Gedichte geschrieben, und ich habe andere abgeschrieben; Sie fand sie auf meinem Tisch und sagte, dass sie sie Mama zeigen würde, und sagte auch, dass ich undankbar sei, dass Mama ihm niemals erlauben würde, mich zu heiraten, und dass er Julie heiraten würde. Du siehst, wie er den ganzen Tag mit ihr zusammen ist... Natasha! Wofür?… Und wieder weinte sie bitterer als zuvor. Natasha hob sie hoch, umarmte sie und begann, unter Tränen zu lächeln, sie zu beruhigen. - Sonya, glaub ihr nicht, Liebling, glaub ihr nicht. Erinnern Sie sich, wie wir alle drei im Sofazimmer mit Nikolenka gesprochen haben? Erinnerst du dich nach dem Abendessen? Schließlich haben wir alles so entschieden, wie es sein würde. Ich kann mich nicht erinnern, wie, aber du erinnerst dich, wie alles gut war und alles möglich war. Onkel Shinshins Bruder ist mit einem Cousin verheiratet und wir sind Cousins ​​zweiten Grades. Und Boris sagte, dass dies sehr gut möglich sei. Weißt du, ich habe ihm alles erzählt. Und er ist so klug und so gut“, sagte Natasha ... „Du, Sonya, weine nicht, mein lieber Schatz, Sonya.“ - Und sie küsste sie lachend. - Glaube ist böse, Gott segne sie! Aber alles wird gut, und sie wird es Mama nicht sagen; Nikolenka wird es selbst sagen, und er hat nicht einmal an Julie gedacht. Und sie küsste sie auf den Kopf. Sonya stand auf, und das Kätzchen wurde munter, seine Augen funkelten, und es schien bereit zu sein, mit dem Schwanz zu wedeln, auf seine weichen Pfoten zu springen und wieder mit dem Ball zu spielen, wie es sich für ihn gehörte. - Denkst du? Rechts? Von Gott? – sagte sie und strich schnell ihr Kleid und ihre Haare glatt. - Wirklich, bei Gott! – antwortete Natasha und glättete eine verirrte Haarsträhne unter dem Zopf ihrer Freundin. Und sie lachten beide. - Nun, lasst uns „The Key“ singen gehen. - Lass uns gehen. „Weißt du, dieser dicke Pierre, der mir gegenüber saß, ist so lustig!“ – sagte Natascha plötzlich und blieb stehen. - Ich habe viel Spaß! Und Natasha rannte den Korridor entlang. Sonya schüttelte den Flaum ab und versteckte die Gedichte in ihrem Busen, bis zum Hals mit hervorstehenden Brustknochen, mit leichten, fröhlichen Schritten, mit gerötetem Gesicht, rannte Natascha den Flur entlang zum Sofa hinterher. Auf Wunsch der Gäste sangen die Jugendlichen das „Key“-Quartett, das allen sehr gut gefiel; dann sang Nikolai noch einmal das Lied, das er gelernt hatte. In einer angenehmen Nacht, im Mondlicht, Stellen Sie sich vor, Sie wären glücklich Dass es noch jemanden auf der Welt gibt, Wer denkt auch an dich! Als sie mit ihrer schönen Hand Entlang der goldenen Harfe gehen, Mit seiner leidenschaftlichen Harmonie Ruft sich selbst an, ruft dich! Noch ein oder zwei Tage, und der Himmel wird kommen ... Aber ah! Dein Freund wird nicht leben! Und er hatte die letzten Worte noch nicht zu Ende gesungen, als die jungen Leute im Saal sich zum Tanzen bereit machten und die Musiker im Chor anfingen, mit den Füßen zu klopfen und zu husten. Pierre saß im Wohnzimmer, wo Shinshin, wie mit einem Besucher aus dem Ausland, mit ihm ein für Pierre langweiliges politisches Gespräch begann, dem sich andere anschlossen. Als die Musik zu spielen begann, betrat Natasha das Wohnzimmer und ging lachend und errötend direkt zu Pierre und sagte: - Mama hat mir gesagt, ich soll dich zum Tanzen bitten. „Ich habe Angst, die Zahlen zu verwechseln“, sagte Pierre, „aber wenn du mein Lehrer sein willst ...“ Und er reichte dem dünnen Mädchen seine dicke Hand und senkte sie tief. Während sich die Paare niederließen und die Musiker Schlange standen, setzte sich Pierre mit seiner kleinen Dame zusammen. Natasha war rundum glücklich; Sie tanzte mit einem Großen, mit jemandem, der aus dem Ausland kam. Sie saß vor allen und redete mit ihm wie ein großes Mädchen. Sie hatte einen Fächer in der Hand, den ihr eine junge Dame zum Halten geschenkt hatte. Und indem sie die weltlichste Pose einnahm (Gott weiß, wo und wann sie das gelernt hatte), sprach sie, indem sie sich Luft zufächelte und durch den Fächer lächelte, zu ihrem Herrn. - Was ist das, was ist das? Schau, schau“, sagte die alte Gräfin, ging durch die Halle und zeigte auf Natascha. Natasha errötete und lachte. - Nun, was ist mit dir, Mama? Nun, welche Art von Jagd suchen Sie? Was ist hier überraschend? Mitten in der dritten Öko-Sitzung begannen sich die Stühle im Wohnzimmer, in dem der Graf und Marya Dmitrievna spielten, zu bewegen, und die meisten Ehrengäste und alten Leute streckten sich nach langem Sitzen und steckten Brieftaschen und Geldbörsen hinein In ihren Taschen gingen sie aus der Halle. Marya Dmitrievna ging mit dem Grafen voraus – beide mit fröhlichen Gesichtern. Der Graf reichte Marya Dmitrievna mit spielerischer Höflichkeit wie in einem Ballett seine runde Hand. Er richtete sich auf, und sein Gesicht erstrahlte in einem besonders mutigen, verschlagenen Lächeln, und sobald die letzte Figur der Ecosaise getanzt war, klatschte er den Musikern in die Hände und rief dem Chor zu, wobei er sich an die erste Geige wandte: - Semjon! Kennen Sie Danila Kupor? Dies war der Lieblingstanz des Grafen, den er in seiner Jugend getanzt hatte. (Danilo Kupor war tatsächlich eine Figur der Angles.) „Schau dir Papa an“, rief Natasha dem ganzen Saal zu (ganz vergessend, dass sie mit einem Großen tanzte), beugte ihren Lockenkopf auf die Knie und brach im ganzen Saal in ihr schallendes Gelächter aus. Tatsächlich blickte jeder im Saal mit einem freudigen Lächeln auf den fröhlichen alten Mann, der neben seiner würdevollen Frau Marya Dmitrievna, die größer war als er, seine Arme umrundete, sie im richtigen Moment schüttelte, seine Schultern streckte und seine verdrehte Mit leicht aufstampfenden Füßen und einem immer strahlenderen Lächeln im runden Gesicht bereitete er das Publikum auf das Kommende vor. Sobald die fröhlichen, trotzigen Geräusche von Danila Kupor, ähnlich einer fröhlichen Plauderei, zu hören waren, waren alle Türen der Halle plötzlich auf der einen Seite mit Männergesichtern und auf der anderen Seite mit lächelnden Frauengesichtern von Dienern gefüllt, die herauskamen Schau dir den fröhlichen Meister an. - Vater gehört uns! Adler! – sagte das Kindermädchen laut von einer Tür. Der Graf tanzte gut und wusste es, aber seine Dame wusste nicht wie und wollte nicht gut tanzen. Ihr riesiger Körper stand aufrecht und ihre kräftigen Arme hingen herab (sie reichte der Gräfin das Taschentuch); nur ihr strenges, aber schönes Gesicht tanzte. Was sich in der gesamten runden Figur des Grafen ausdrückte, drückte sich bei Marya Dmitrievna nur in einem zunehmend lächelnden Gesicht und einer zuckenden Nase aus. Aber wenn der Graf, der immer unzufriedener wurde, das Publikum mit der Überraschung geschickter Drehungen und leichter Sprünge seiner weichen Beine fesselte, lehnte Marya Dmitrievna mit dem geringsten Eifer, ihre Schultern zu bewegen oder ihre Arme abwechselnd zu drehen und zu stampfen, ab weniger ein Eindruck von Verdiensten, die jeder für ihre Fettleibigkeit und allgegenwärtige Strenge schätzte. Der Tanz wurde immer lebhafter. Die Gegenspieler konnten keine Minute auf sich aufmerksam machen und versuchten es auch gar nicht erst. Alles war vom Grafen und Marya Dmitrievna besetzt. Natasha zog an den Ärmeln und Kleidern aller Anwesenden, die bereits die Tänzer im Blick hatten, und forderte sie auf, Papa anzusehen. Während der Tanzpausen holte der Graf tief Luft, winkte und rief den Musikern zu, schnell zu spielen. Schneller, schneller und schneller, schneller und schneller und schneller entfaltete sich der Graf, mal auf Zehenspitzen, mal auf Fersen, stürmte um Marya Dmitrievna herum und drehte schließlich seine Dame zu ihrem Platz, machte den letzten Schritt und hob sein weiches Bein an hinten, beugte seinen verschwitzten Kopf mit einem lächelnden Gesicht und wedelte rundherum mit der rechten Hand unter lautem Applaus und Gelächter, besonders von Natasha. Beide Tänzer blieben stehen, keuchten schwer und wischten sich mit Batisttaschentüchern ab. „So haben sie in unserer Zeit getanzt, ma chere“, sagte der Graf. - Oh ja, Danila Kupor! - sagte Marya Dmitrievna, ließ den Geist schwer und lange aus und krempelte die Ärmel hoch. Während die Rostows im Saal zu den Klängen müder, verstimmter Musiker die sechste Anglaise tanzten und müde Kellner und Köche das Abendessen zubereiteten, traf Graf Bezukhy der sechste Schlag. Die Ärzte erklärten, dass es keine Hoffnung auf Genesung gebe; dem Patienten wurde eine stille Beichte und die Kommunion abgelegt; Sie bereiteten sich auf die Salbung vor, und im Haus herrschte die Hektik und Erwartungsangst, die in solchen Momenten üblich sind. Vor dem Haus, hinter den Toren, drängten sich Bestatter, versteckten sich vor den herannahenden Kutschen und warteten auf einen reichen Auftrag für die Beerdigung des Grafen. Der Oberbefehlshaber von Moskau, der ständig Adjutanten schickte, um sich nach der Position des Grafen zu erkundigen, kam an diesem Abend selbst, um sich vom berühmten Adligen Katharinas, Graf Bezukhim, zu verabschieden. Der prächtige Empfangsraum war voll. Alle standen respektvoll auf, als der Oberbefehlshaber, der etwa eine halbe Stunde mit dem Patienten allein war, herauskam, die Verbeugungen leicht erwiderte und versuchte, so schnell wie möglich an den Blicken von Ärzten, Geistlichen und Angehörigen vorbeizukommen auf ihn fixiert. Prinz Wassili, der in diesen Tagen an Gewicht verloren und blass geworden war, verabschiedete sich vom Oberbefehlshaber und wiederholte ihm mehrmals leise etwas. Nachdem er den Oberbefehlshaber verabschiedet hatte, setzte sich Prinz Wassili allein auf einen Stuhl im Flur, kreuzte die Beine, stützte den Ellbogen auf das Knie und schloss die Augen mit der Hand. Nachdem er einige Zeit so gesessen hatte, stand er auf und ging mit ungewöhnlich hastigen Schritten, sich mit erschrockenen Augen umsehend, durch den langen Korridor zur hinteren Hälfte des Hauses, zur ältesten Prinzessin. Die Menschen in dem schwach beleuchteten Raum unterhielten sich ungleichmäßig im Flüsterton, verstummten jedes Mal und schauten mit fragenden und erwartungsvollen Augen zurück zur Tür, die zu den Gemächern des Sterbenden führte, und gaben ein leises Geräusch von sich, als jemand herauskam davon entfernt oder eingegeben haben. „Die menschliche Grenze“, sagte der alte Mann, ein Geistlicher, zu der Dame, die sich neben ihn setzte und ihm naiv zuhörte, „die Grenze ist gesetzt, aber man kann sie nicht überschreiten.“ „Ich frage mich, ob es zu spät ist, eine Salbung durchzuführen?“ - Die Dame fügte den spirituellen Titel hinzu und fragte, als hätte sie zu diesem Thema keine eigene Meinung.

Beispiele für beschriebene Vierecke sind Deltamuskeln, zu denen Rauten gehören, die wiederum Quadrate umfassen. Deltamuskeln sind genau jene umschriebenen Vierecke, die auch orthodiagonal sind. Wenn ein Viereck ein umschriebenes und zyklisches Viereck ist, heißt es bizentrale.

Eigenschaften

In einem umschriebenen Viereck schneiden sich vier Winkelhalbierende im Mittelpunkt des Kreises. Umgekehrt muss ein konvexes Viereck, bei dem sich vier Winkelhalbierende in einem Punkt schneiden, umschrieben werden, und der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.

Wenn gegenüberliegende Seiten in einem konvexen Viereck A B C D(kein Trapez) schneiden sich in Punkten E Und F, dann tangieren sie den Kreis genau dann, wenn

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E − E C = A F − F C . (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

Die zweite Gleichheit ist fast dieselbe wie die Gleichheit in Satz von Urquhart. Der einzige Unterschied besteht in den Vorzeichen – im Urquhartschen Summensatz und hier in den Unterschieden (siehe Abbildung rechts).

Eine weitere notwendige und hinreichende Bedingung ist ein konvexes Viereck A B C D wird genau dann beschrieben, wenn sie in Dreiecke eingeschrieben ist ABC Und ADC Die Kreise berühren sich.

Beschreibung der durch die Diagonale gebildeten Winkel BD mit den Seiten eines Vierecks A B C D, gehört Iosifescu. Er bewies 1954, dass ein konvexes Viereck genau dann einen Inkreis hat, wenn

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\angle ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\angle BDC)(2))=\tan (\frac (\angle ADB)(2))\cdot \tan (\frac (\angle DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

Wo R A , R B , R C , R D sind die Radien von Kreisen, die außen tangential zu den Seiten sind A, B, C, D bzw. die Fortsetzungen benachbarter Seiten auf jeder Seite.

Einige andere Beschreibungen sind für vier Dreiecke bekannt, die durch Diagonalen gebildet werden.

Spezielle Abschnitte

Acht Tangentensegmente des beschriebenen Vierecks sind die Segmente zwischen den Eckpunkten und die Berührungspunkte an den Seiten. Jeder Scheitelpunkt hat zwei gleiche Tangentensegmente.

Die Tangentenpunkte bilden ein eingeschriebenes Viereck.

Quadrat

Nichttrigonometrische Formeln

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^(2)))),

Geben Sie die Fläche in Diagonalen an P, Q und Partys A, B, C, D Tangentenviereck.

Die Fläche kann auch in Form von Tangentensegmenten dargestellt werden (siehe oben). Wenn wir sie mit bezeichnen e, F, G, H, dann hat das Tangentenviereck eine Fläche

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).)

Darüber hinaus kann die Fläche eines Tangentenvierecks in Seiten ausgedrückt werden A B C D und die entsprechenden Längen der Tangentensegmente E f G H

K = a b c d − (e g − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(eg-fh)^(2))).)

Weil das z.B = fh genau dann, wenn es auch eingeschrieben ist, erhalten wir die maximale Fläche a b c d (\displaystyle (\sqrt (abcd))) kann nur auf Vierecken erreicht werden, die gleichzeitig umschrieben und eingeschrieben sind.

Trigonometrische Formeln

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

Für ein gegebenes Seitenprodukt ist die Fläche maximal, wenn das Viereck ebenfalls zyklisch ist. In diesem Fall K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))) weil entgegengesetzte Winkel komplementär sind. Dies kann auf andere Weise durch mathematische Analyse nachgewiesen werden.

Eine andere Formel für die Fläche eines umschriebenen Vierecks A B C D, unter Verwendung zweier entgegengesetzter Winkel

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin (\frac (A+C)(2) )),

Wo Ö ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

Tatsächlich kann die Fläche nur durch zwei benachbarte Seiten und zwei gegenüberliegende Winkel ausgedrückt werden

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B)(2))\csc (\frac (D)(2))\sin (\frac (B+D)(2)).) K = 1 2 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

Wo θ Winkel (beliebig) zwischen Diagonalen. Die Formel ist nicht auf den Fall der Deltamuskeln anwendbar, da in diesem Fall θ gleich 90° und die Tangente ist nicht definiert.

Ungleichheiten

Wie oben nebenbei erwähnt, ist die Fläche eines tangentialen Polygons mit Seiten A, B, C, D erfüllt die Ungleichung

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

und Gleichheit wird genau dann erreicht, wenn das Viereck vorhanden ist bizentrale.

Nach T. A. Ivanova (1976), Semiperimeter S des beschriebenen Vierecks die Ungleichung erfüllt

s ≥ 4 r (\displaystyle s\geq 4r),

Wo R- Radius des eingeschriebenen Kreises. Ungleichheit wird genau dann zur Gleichheit, wenn das Viereck ein Quadrat ist. Das bedeutet für die Gegend K = rs, gilt die Ungleichung

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

mit dem Übergang zur Gleichheit genau dann, wenn das Viereck ein Quadrat ist.

Eigenschaften von Teilen eines Vierecks

Vier gerade Liniensegmente zwischen dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises und den Tangentialpunkten teilen das Viereck in vier Teile rechteckiger Deltamuskel.

Wenn eine gerade Linie ein umschriebenes Viereck in zwei Polygone mit gleicher Fläche und gleichem Umfang teilt, dann verläuft diese Linie durch den Mittelpunkt.

Eingeschriebener Kreisradius

Radius des eingeschriebenen Kreises eines umschriebenen Vierecks mit Seiten A, B, C, D ergibt sich aus der Formel

r = K s = K a + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( b+d))),

Wo K ist die Fläche des Vierecks und S- Halbumfang. Bei umschriebenen Vierecken mit einem gegebenen Halbumfang ist der Radius des eingeschriebenen Kreises maximal, wenn das Viereck auch ein eingeschriebenes Viereck ist.

In Bezug auf Tangentensegmente der Radius des eingeschriebenen Kreises.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h. (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h))).)

Der Radius des eingeschriebenen Kreises kann auch als Abstand vom Mittelpunkt ausgedrückt werden Ö zu den Eckpunkten des umschriebenen Vierecks A B C D. Wenn u = AO, v = BO, x = CO Und y = DO, Das

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) (\displaystyle r=2(\sqrt (\ frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

Wo σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\displaystyle \sigma =(\tfrac (1)(2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

Formeln für Winkel

Wenn e, F, G Und H Tangentensegmente von Eckpunkten A, B, C Und D bzw. zu den Berührungspunkten des Kreises durch das Viereck A B C D, dann können die Winkel des Vierecks mit den Formeln berechnet werden

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h)))),) sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) ​​​​(f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h)))),) sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) ​​​​(g + f) (g + h) , (\displaystyle \sin (\frac (C)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h)))),) sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) ​​​​(h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g)))) .)

Winkel zwischen Akkorden K.M. Und LN ergibt sich aus der Formel (siehe Abbildung)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) ​​​​​​. (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+ h )(h+e)))).)

Diagonalen

Wenn e, F, G Und H sind Tangentensegmente von A, B, C Und D zu den Berührungspunkten des eingeschriebenen Kreises durch das Viereck A B C D, dann die Längen der Diagonalen p = AC Und q = BD gleich

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ Big ()(e+g)(f+h)+4fh(\Big)))),) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

Akkorde von Tangentenpunkten

Wenn e, F, G Und H Sind Segmente von den Scheitelpunkten bis zu den Tangentialpunkten, dann sind die Längen der Sehnen zu den gegenüberliegenden Tangentialpunkten gleich

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ ghe +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))),) l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ ghe +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h)))),)

Wo ist der Akkord? k verbindet Seiten mit Längen A = e + F Und C = G + H, und der Akkord l verbindet Seiten mit Länge B = F + G Und D = H + e. Das Quadrat des Akkordverhältnisses erfüllt die Beziehung

k 2 l 2 = b d a c . (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

Zwei Akkorde

Akkord zwischen den Seiten AB Und CD in einem umschriebenen Viereck A B C D länger als die Sehne zwischen den Seiten B.C. Und D.A. genau dann, wenn die Mittellinie zwischen den Seiten AB Und CD kürzer als die Mittellinie zwischen den Seiten B.C. Und D.A. .

Wenn das umschriebene Viereck A B C D hat Berührungspunkte M An AB Und N An CD und Akkord MN kreuzt die Diagonale BD am Punkt P, dann das Verhältnis der Tangentensegmente B M D N (\displaystyle (\tfrac (BM)(DN))) gleich dem Verhältnis B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP))) diagonale Segmente BD.

Kollineare Punkte

Wenn M 1 Und M 2 sind die Mittelpunkte der Diagonalen A.C. Und BD jeweils im umschriebenen Viereck A B C D Ö, und Paare gegenüberliegender Seiten schneiden sich in Punkten E Und F Und M 3- die Mitte des Segments E.F., dann die Punkte M 3, M 1, Ö, Und M 2 liegen auf derselben Geraden. Die Gerade, die diese Punkte verbindet, wird Newton-Gerade des Vierecks genannt.

E Und F und die Verlängerungen der gegenüberliegenden Seiten des durch die Tangentenpunkte gebildeten Vierecks schneiden sich in den Punkten T Und S, dann vier Punkte E, F, T Und S liegen auf derselben Geraden

AB, B.C., CD, D.A. an Punkten M, K, N Und L entsprechend, und wenn T M, TK, T N, T L sind isotomisch konjugierte Punkte dieser Punkte (d. h. AT M = B.M. usw.), dann Nagel-Punkt definiert als der Schnittpunkt von Linien T N T M Und T K T L. Beide Linien teilen den Umfang des Vierecks in zwei gleiche Teile. Noch wichtiger ist jedoch der Nagel-Punkt Q, „Flächenschwerpunkt“ G und der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises Ö liegen auf derselben geraden Linie und zur gleichen Zeit QG = 2GEHEN. Diese Zeile heißt Nagels gerade Linie umschriebenes Viereck.

Im umschriebenen Viereck A B C D mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises Ö P, lassen H M, H K, H N, H L sind die Orthozentren der Dreiecke AOB, BOC, KABELJAU. Und DOA jeweils. Dann die Punkte P, H M, H K, H N Und H L liegen auf derselben Geraden.

Konkurrierende und senkrechte Linien

Zwei Diagonalen eines Vierecks und zwei Sehnen, die gegenüberliegende Tangentialpunkte (entgegengesetzte Eckpunkte eines eingeschriebenen Vierecks) verbinden, sind konkurrierend (d. h. sie schneiden sich in einem Punkt). Um dies zu zeigen, können wir einen Sonderfall des Satzes von Brianchon verwenden, der besagt, dass ein Sechseck, dessen alle Seiten einen Kegelschnitt berühren, drei Diagonalen hat, die sich in einem Punkt schneiden. Aus dem beschriebenen Viereck lässt sich leicht ein Sechseck mit zwei 180°-Winkeln erhalten, indem man an gegenüberliegenden Berührungspunkten zwei neue Eckpunkte einfügt. Alle sechs Seiten des resultierenden Sechsecks berühren den Inkreis, sodass sich seine Diagonalen in einem Punkt schneiden. Aber zwei Diagonalen eines Sechsecks fallen mit den Diagonalen eines Vierecks zusammen, und die dritte Diagonale verläuft durch entgegengesetzte Tangentenpunkte. Wenn wir die gleiche Argumentation für die anderen beiden Kontaktpunkte wiederholen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis.

Wenn der Inkreis die Seiten berührt AB, B.C., CD Und D.A. an Punkten M, K, N, L entsprechend, dann gerade MK, LN Und A.C. wettbewerbsfähig.

Wenn sich die Verlängerungen gegenüberliegender Seiten eines umschriebenen Vierecks in Punkten schneiden E Und F, und die Diagonalen schneiden sich im Punkt P, dann gerade E.F. senkrecht zur Fortsetzung OP, Wo Ö- Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

Eigenschaften des Incircles

Die Beziehung zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines umschriebenen Vierecks kann als Abstand vom Mittelpunkt des Inkreises ausgedrückt werden Ö an die relevanten Parteien

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).)

Produkt zweier benachbarter Seiten eines umschriebenen Vierecks A B C D mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises Ö erfüllt die Beziehung

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

Wenn Ö- Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines Vierecks A B C D, Das

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).)

Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises Ö fällt genau dann mit dem „Schwerpunkt der Eckpunkte“ des Vierecks zusammen, wenn

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

Wenn M 1 Und M 2 sind die Mittelpunkte der Diagonalen A.C. Und BD dementsprechend also

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h)),)

Wo e, F, G Und H- Tangentensegmente an Eckpunkten A, B, C Und D jeweils. Wenn wir die erste Gleichung mit der letzten kombinieren, erhalten wir, dass der „Schwerpunkt der Eckpunkte“ des umschriebenen Vierecks genau dann mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises zusammenfällt, wenn der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises in der Mitte zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen liegt .

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1 )(r_(4))).)

Diese Eigenschaft wurde fünf Jahre zuvor von Weinstein nachgewiesen. Bei der Lösung ihres Problems gaben Wassiljew und Senderow eine ähnliche Eigenschaft an. Wenn durch H M, H K, H N und H L bezeichnen die Höhen gleicher Dreiecke (im Schnittpunkt der Diagonalen weggelassen). P), dann ist das Viereck genau dann umschrieben, wenn

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1 )(h_(L))).)

Eine weitere ähnliche Eigenschaft gilt für die Radien von Exkreisen R M , R K , R N Und R L für die gleichen vier Dreiecke (vier Exkreise berühren jede der Seiten des Vierecks und die Verlängerungen der Diagonalen). Ein Viereck ist genau dann umschrieben, wenn

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1 )(r_(L))).)

Wenn R M, R K, R N und R L – Umkreisradien von Dreiecken APB, BPC, CPD Und DPA dementsprechend dann das Dreieck A B C D wird genau dann beschrieben, wenn

R M + R N = R K + R L . (\displaystyle R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

Weinstein scheint 1996 der erste gewesen zu sein, der eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft umschriebener Vierecke nachgewiesen hat, die später in mehreren Zeitschriften und auf Websites erschien. Die Eigenschaft besagt, dass, wenn ein konvexes Viereck durch seine Diagonalen in vier sich nicht überlappende Dreiecke geteilt wird, die Mittelpunkte dieser Dreiecke genau dann auf demselben Kreis liegen, wenn das Viereck umschrieben ist. Tatsächlich bilden die Mittelpunkte der eingeschriebenen Kreise ein ordiagonales eingeschriebenes Viereck. Hier können eingeschriebene Kreise durch Exkreise (tangentiale Seiten und Verlängerungen der Diagonalen des Vierecks) ersetzt werden. Dann ist ein konvexes Viereck genau dann umschrieben, wenn die Mittelpunkte der Exkreise die Eckpunkte des eingeschriebenen Vierecks sind.

Konvexes Viereck A B C D, in dem sich die Diagonalen im Punkt schneiden P, ist genau dann umschrieben, wenn die vier Mittelpunkte der Exkreise der Dreiecke APB, BPC, CPD Und DPA liegen auf demselben Kreis (hier schneiden die Exkreise die Seiten des Vierecks, im Gegensatz zu der ähnlichen Aussage oben, wo die Exkreise außerhalb des Vierecks liegen). Wenn R m, Rn, Rk Und R l- Radien von Exkreisen APB, BPC, CPD Und DPA jeweils gegenüber den Eckpunkten B Und D, dann ist eine weitere notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das Viereck umschrieben ist

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1 )(R_(l))).) m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) (\displaystyle (\frac (m)(\triangle (APB)))+(\frac (n)(\triangle (CPD)))=(\frac (k)(\triangle (BPC)))+(\frac (l)(\triangle (DPA))))

hier sind m, k, n, l die Längen der Seiten AB, BC, CD und DA und ∆( APB) - Fläche eines Dreiecks APB.

Bezeichnen wir die Segmente, auf denen der Punkt liegt P teilt die Diagonale A.C. Wie AP = P ein und PC = P C. In der gleichen Weise P Teilen Sie die Diagonale BD in Segmente B.P. = P b und P.D. = P D. Dann wird das Viereck genau dann beschrieben, wenn eine der Gleichungen gilt:

(m + p a − p b) (n + p c − p d) (m − p a + p b) (n − p c + p d) = (k + p c − p b) (l + p a − p d) (k − p c + p b) (l − p a + p d) . (\displaystyle (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d)))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d))))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d)))).)

Bedingungen dafür, dass ein beschriebenes Viereck eine andere Art von Viereck ist.

Ein umschriebenes Viereck ist genau dann bizentrisch (d. h. gleichzeitig umschrieben und eingeschrieben), wenn der Radius des Inkreises der größte unter allen umschriebenen Vierecken mit derselben Folge von Seitenlängen ist, genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:

• Die Fläche ist gleich dem halben Produkt der Diagonalen
• Diagonalen stehen senkrecht
• Zwei Segmente, die gegenüberliegende Tangentialpunkte verbinden, sind gleich lang
• Ein Paar gegenüberliegender Segmente vom Scheitelpunkt bis zum Tangentialpunkt haben die gleiche Länge
LEBENSLAUF. Durell, A. Robson. Fortgeschrittene Trigonometrie // Dover-Nachdruck. - 2003.
• Victor Bryant, John Duncan. Räder in Rädern // Mathematical Gazette. - 2010. - Ausgabe. 94, November.
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• Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. Wenn Vierecke eingeschriebene Kreise haben (Lösung zu Aufgabe 10698) // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107, Heft. 7. - DOI:10.2307/2589133.
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Larry Hoehn. Eine neue Formel bezüglich der Diagonalen und Seiten eines Vierecks. - 2011. - T. 11 T. 10.

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Martin Josefsson. Die Fläche eines bizentrischen Vierecks // Forum Geometricorum. - 2011c. - T. 11.

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Für ein Dreieck sind immer sowohl ein eingeschriebener Kreis als auch ein umschriebener Kreis möglich.

Bei einem Viereck kann ein Kreis nur dann eingeschrieben werden, wenn die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind. Von allen Parallelogrammen können nur eine Raute und ein Quadrat mit einem Kreis umschrieben werden. Sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Diagonalen.

Ein Kreis um ein Viereck kann nur beschrieben werden, wenn die Summe der entgegengesetzten Winkel 180° beträgt. Von allen Parallelogrammen können nur ein Rechteck und ein Quadrat als Kreis beschrieben werden. Sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Diagonalen.

Es ist möglich, einen Kreis um ein Trapez zu beschreiben, oder ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, wenn das Trapez gleichschenklig ist.

Umkreis

Satz. Der Mittelpunkt eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks.

Der Mittelpunkt eines um ein Polygon umschriebenen Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten dieses Polygons.

In der Mitte eingeschriebener Kreis

Definition. Ein in ein konvexes Polygon eingeschriebener Kreis ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Polygons berührt (d. h. jede Seite des Polygons tangiert den Kreis).

Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises liegt innerhalb des Polygons.

Ein Polygon, in das ein Kreis eingeschrieben ist, heißt umschrieben.

Ein Kreis kann in ein konvexes Polygon eingeschrieben werden, wenn Die Winkelhalbierenden aller Innenwinkel schneiden sich in einem Punkt.

Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Polygon eingeschrieben ist- der Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist von den Seiten des Polygons gleich weit entfernt. Der Abstand vom Mittelpunkt zu jeder Seite ist gleich dem Radius des eingeschriebenen Kreises. Gemäß der Eigenschaft von Tangenten, die von einem Punkt gezogen werden, ist jeder Scheitelpunkt des umschriebenen Polygons gleich weit von den Tangentenpunkten entfernt, die auf den von diesem Scheitelpunkt ausgehenden Seiten liegen.

Ein Kreis kann in jedes Dreieck eingeschrieben werden. Der Mittelpunkt eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises wird als Mittelpunkt bezeichnet.

Ein Kreis kann genau dann in ein konvexes Viereck eingeschrieben werden, wenn die Summen der Längen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind. Insbesondere kann ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden, wenn die Summe seiner Grundflächen gleich der Summe seiner Seiten ist.

Ein Kreis kann in jedes regelmäßige Vieleck eingeschrieben werden. Sie können auch einen Kreis um jedes regelmäßige Vieleck beschreiben. Der Mittelpunkt des In- und Umkreises liegt im Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks.

Für jedes umschriebene Polygon kann der Radius des eingeschriebenen Kreises mithilfe der Formel ermittelt werden

Wobei S die Fläche des Polygons ist, p sein Halbumfang.

Regelmäßige n-Eck-Formeln

Formeln für die Seitenlänge eines regelmäßigen n-Ecks

1. Formel für die Seite eines regelmäßigen N-Ecks in Bezug auf den Radius des eingeschriebenen Kreises:

2. Formel für die Seite eines regelmäßigen n-Ecks in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises:

Formel für den Inkreisradius eines regelmäßigen N-Ecks

Formel für den Radius des eingeschriebenen Kreises eines n-Ecks unter Verwendung der Seitenlänge:

4. Formel für den Umkreisradius eines regelmäßigen Dreiecks in Bezug auf die Seitenlänge:

6. Formel für die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks in Bezug auf den Radius des eingeschriebenen Kreises: S = r 2 3√3

7. Formel für die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises:

4. Formel für den Umkreisradius eines regelmäßigen Vierecks in Bezug auf die Seitenlänge:

2. Formel für die Seite eines regelmäßigen Sechsecks in Bezug auf den Umkreisradius: a = R

3. Formel für den Radius des eingeschriebenen Kreises eines regelmäßigen Sechsecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge:

6. Formel für die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks in Bezug auf den Radius des eingeschriebenen Kreises: S = r 2 2√3

7. Formel für die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks bezogen auf den Radius des Umkreises:

S=	R 2 3√3

8. Winkel zwischen den Seiten eines regelmäßigen Sechsecks: α = 120°

Zahlenbedeutung(ausgesprochen "Pi") ist eine mathematische Konstante, die dem Verhältnis entspricht

Wenn man den Umfang eines Kreises mit der Länge seines Durchmessers verrechnet, wird er als unendlicher Dezimalbruch ausgedrückt.

Bezeichnet mit dem Buchstaben „pi“ des griechischen Alphabets. Was ist Pi gleich? In einfachen Fällen reicht es aus, die ersten 3 Zeichen (3.14) zu kennen.

53. Bestimmen Sie die Länge des Kreisbogens mit dem Radius R, der dem Mittelpunktswinkel von n° entspricht

Der Mittelpunktswinkel, den ein Bogen einschließt, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist, wird als Winkel von 1 Bogenmaß bezeichnet.

Das Gradmaß eines Winkels von 1 Bogenmaß ist:

Da die Bogenlänge π R (Halbkreis), begrenzt den Mittelpunktswinkel auf 180 ° , dann erstreckt sich ein Bogen der Länge R über den Winkel π mal kleiner, d.h.

Umgekehrt

Als π = 3,14, dann 1 rad = 57,3°

Wenn der Winkel enthält A Bogenmaß, dann ist sein Gradmaß

Umgekehrt

Normalerweise wird bei der Angabe des Winkelmaßes im Bogenmaß der Name „rad“ weggelassen.

Zum Beispiel 360° = 2π rad, sie schreiben 360° = 2π

Die Tabelle zeigt die häufigsten Winkel in Grad und Bogenmaß.

Du wirst brauchen

• - ein Viereck mit vorgegebenen Parametern;
• - Kompass;
• - Herrscher;
• - Winkelmesser;
• - Taschenrechner;
• - Blatt Papier.

Anweisungen

Messen Sie alle Winkel des Ihnen gegebenen Vierecks. Finden Sie die Summe der entgegengesetzten Winkel. Passen Sie das Viereck ein Kreis ist nur möglich, wenn die Summen der entgegengesetzten Winkel gleich 180° sind. Konstruieren Sie also das beschriebene Kreis Sie können immer um ein Quadrat oder ein Trapez herumgehen.

Ziehen Kreis mit Radius R. Bestimmen Sie seinen Mittelpunkt. Es wird beispielsweise mit O bezeichnet. Suchen Sie einen beliebigen Punkt auf dem Kreis selbst und benennen Sie ihn mit einem beliebigen Buchstaben. Nehmen wir an, dies ist Punkt A. Ihr weiteres Vorgehen hängt davon ab, dass Ihnen das Viereck gegeben wird. Die Diagonalen eines Quadrats stehen senkrecht zueinander und sind die Radien des umschriebenen Kreises. Konstruieren Sie daher zwei Durchmesser, deren Winkel zwischen 90° beträgt. Die Punkte ihrer Schnittmenge mit Kreis Verbinden Sie sie mit geraden Linien in Reihe.

Um ein Rechteck einzupassen, müssen Sie den Winkel zwischen den Diagonalen oder die Abmessungen der Seiten kennen. Im zweiten Fall kann der Winkel mit dem Satz des Pythagoras, Sinus oder Cosinus verwendet werden. Zeichnen Sie einen der Durchmesser. Bezeichnen Sie es beispielsweise durch die Punkte A und C. Von Punkt O, der auch die Mitte der Diagonale ist, legen Sie den Winkel zwischen den Diagonalen beiseite. Zeichnen Sie einen zweiten Durchmesser durch die Mitte und den neuen Punkt. Verbinden Sie auf die gleiche Weise wie bei einem Quadrat die Schnittpunkte der Durchmesser mit in Reihe Kreis Yu.

Um ein gleichschenkliges Trapez zu konstruieren, suchen Sie einen beliebigen Punkt auf dem Kreis. Konstruieren Sie daraus einen Akkord, der der oberen oder unteren Basis entspricht. Finden Sie seinen Mittelpunkt und zeichnen Sie durch ihn und den Mittelpunkt des Kreises einen Durchmesser senkrecht zu . Berücksichtigen Sie den Durchmesser und die Höhe des Trapezes. Zeichnen Sie eine Senkrechte durch diesen Punkt in beide Richtungen, bis sie mit schneidet Kreis Yu. Verbinden Sie die Enden paarweise.

Hilfreicher Rat

Wenn Sie in AutoCAD eingeschriebene Polygone konstruieren, suchen Sie zunächst im Hauptmenü nach dem Dropdown-Fenster „Zeichnen“ und darin nach der Funktion „Polygon“. Die Anzahl der Seiten des Quadrats wird sofort festgelegt. Sobald es auf dem Bildschirm erscheint, gehen Sie zur Funktion „Beschriftetes/umschriebenes Polygon“. Die gewünschte Formation erscheint sofort auf dem Bildschirm.

Um in diesem Programm ein Trapez oder Rechteck zu konstruieren, ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen. Es wird auch der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises sein.

Ein Trapez ist eine flache viereckige Figur, bei der zwei Seiten (Grundflächen) parallel sind und die anderen beiden (Seiten) nicht parallel sein dürfen. Liegen alle vier Eckpunkte eines Trapezes auf demselben Kreis, so sagt man, dass dieses Viereck darin eingeschrieben ist. Es ist nicht schwer, eine solche Figur zu bauen.

Du wirst brauchen

• Papier, Bleistift, Quadrat, Kompass.

Anweisungen

Wenn keine zusätzlichen Anforderungen an das beschriftete Trapez gestellt werden, können die Seiten beliebig lang sein. Beginnen Sie daher mit dem Bau mit einem beliebigen, beispielsweise im unteren linken Viertel. Beschriften Sie es mit dem Buchstaben A – hier wird einer der Eckpunkte eingeschrieben Kreis Trapeze.

Zeichnen Sie eine horizontale Linie, die bei A beginnt und am Schnittpunkt mit endet Kreis yu unten rechts. Beschriften Sie diesen Schnittpunkt mit dem Buchstaben B. Das konstruierte Segment AB ist die untere Basis des Trapezes.

Zeichnen Sie mit einer geeigneten Methode ein Segment parallel zur unteren Basis über der Mitte. Wenn Sie beispielsweise eines zur Verfügung haben, können Sie es so machen: Befestigen Sie es an der Basis AB und zeichnen Sie eine senkrechte Hilfslinie. Platzieren Sie dann das Werkzeug auf der Hilfslinie über dem Mittelpunkt des Kreises und zeichnen Sie auf beiden Seiten des Kreises Senkrechte, die jeweils am Schnittpunkt mit enden Kreis Yu. Diese beiden Senkrechten müssen auf einer liegen und bilden dann die obere Basis des Trapezes. Beschriften Sie den linken äußersten Punkt dieser Basis mit dem Buchstaben D und den rechten äußersten Punkt mit dem Buchstaben C.

Wenn kein Quadrat, aber ein Zirkel vorhanden ist, ist der Aufbau der oberen Basis noch einfacher. Platzieren Sie einen beliebigen Punkt im oberen linken Viertel des Kreises. Die einzige Bedingung ist, dass es nicht streng vertikal über Punkt A liegen darf, sonst ist die konstruierte Figur ein Quadrat. Beschriften Sie den Punkt mit dem Buchstaben D und markieren Sie den Abstand zwischen den Punkten A und D auf dem Kompass. Platzieren Sie dann den Kompass bei Punkt B und markieren Sie den Punkt im oberen rechten Viertel des Kreises, der dem markierten Abstand entspricht. Beschriften Sie es mit dem Buchstaben C und zeichnen Sie die obere Basis, indem Sie die Punkte D und C verbinden.

Zeichnen Sie die Seiten des beschrifteten Trapezes, indem Sie die Segmente AD und BC zeichnen.

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Gemäß der Definition beschrieben Kreis muss durch alle Eckpunkte eines bestimmten Polygons verlaufen. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, um welche Art von Polygon es sich handelt – ein Dreieck, Quadrat, Rechteck, Trapez oder etwas anderes. Es spielt auch keine Rolle, ob das Polygon regelmäßig oder unregelmäßig ist. Sie müssen nur berücksichtigen, dass es Polygone gibt, um die herum Kreis lässt sich nicht beschreiben. Beschreiben kann man immer Kreis um das Dreieck herum. Was also Vierecke betrifft Kreis kann um ein Quadrat oder Rechteck oder ein gleichschenkliges Trapez beschrieben werden.

Du wirst brauchen

• Angegebenes Polygon
• Herrscher
• Quadrat
• Bleistift
• Kompass
• Winkelmesser
• Sinus- und Cosinustabellen
• Mathematische Konzepte und Formeln
• Satz des Pythagoras
• Satz der Sinus
• Kosinussatz
• Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken

Anweisungen

Konstruieren Sie ein Polygon mit gegebenen Parametern und ob es möglich ist, es zu beschreiben Kreis. Wenn Sie ein Viereck erhalten, berechnen Sie die Summe seiner entgegengesetzten Winkel. Jeder von ihnen sollte 180° betragen.

Beschreiben Kreis, müssen Sie seinen Radius berechnen. Denken Sie daran, wo der Mittelpunkt des Kreises in verschiedenen Polygonen liegt. In einem Dreieck liegt er am Schnittpunkt aller Höhen eines gegebenen Dreiecks. Bei einem Quadrat und Rechtecken - am Schnittpunkt der Diagonalen, bei einem Trapez - am Schnittpunkt der Symmetrieachse mit der Linie, die die Mittelpunkte der Seiten verbindet, und bei jedem anderen konvexen Polygon - am Punkt Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten.

Berechnen Sie den Durchmesser eines Kreises, der ein Quadrat und ein Rechteck umschreibt, mithilfe des Satzes des Pythagoras. Sie entspricht der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Seiten des Rechtecks. Bei einem Quadrat mit gleichen Seiten ist die Diagonale gleich der Quadratwurzel aus dem Doppelten des Seitenquadrats. Wenn man den Durchmesser durch 2 teilt, erhält man den Radius.

Berechnen Sie den Umkreisradius des Dreiecks. Da die Parameter des Dreiecks in den Bedingungen angegeben sind, berechnen Sie den Radius mit der Formel R = a/(2·sinA), wobei a eine der Seiten des Dreiecks ist, ? - der Winkel dazu. Anstelle dieser Seite können Sie auch die Seite und den ihr gegenüberliegenden Winkel nehmen.

Berechnen Sie den Radius des Kreises, der das Trapez umschreibt. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) In dieser Formel sind a und b die Basen des aus den Bedingungen bekannten Trapezes, h ist die Höhe, d ist die Diagonale, p = 1/ 2*(a+d+c) . Berechnen Sie fehlende Werte. Die Höhe kann mit dem Sinus- oder Kosinussatz berechnet werden; die Längen der Seiten des Trapezes und die Winkel sind in den Bedingungen angegeben. Berechnen Sie die Diagonale, indem Sie die Höhe kennen und die Ähnlichkeiten der Dreiecke berücksichtigen. Danach muss noch der Radius mit der obigen Formel berechnet werden.

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Hilfreicher Rat

Um den Radius eines um ein anderes Polygon umschriebenen Kreises zu berechnen, führen Sie eine Reihe zusätzlicher Konstruktionen durch. Erhalten Sie einfachere Figuren, deren Parameter Sie kennen.

Die Aufgabe besteht darin, sich anzupassen Kreis Polygon kann einen Erwachsenen oft verwirren. Ihre Entscheidung muss einem Schulkind erklärt werden, und so begeben sich die Eltern auf die Suche nach einer Lösung im World Wide Web.

Anweisungen

Ziehen Kreis. Platzieren Sie die Kompassnadel auf der Seite des Kreises, aber verändern Sie den Radius nicht. Zeichnen Sie zwei sich kreuzende Bögen Kreis, den Kompass nach rechts und links drehen.

Bewegen Sie die Kompassnadel entlang des Kreises bis zu dem Punkt, an dem der Bogen ihn schneidet. Drehen Sie den Kompass erneut und zeichnen Sie zwei weitere Bögen, die die Kontur des Kreises kreuzen. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis er den ersten Punkt schneidet.

Ziehen Kreis. Zeichnen Sie den Durchmesser durch die Mitte, die Linie sollte horizontal sein. Konstruieren Sie eine Senkrechte durch den Mittelpunkt des Kreises und erhalten Sie eine vertikale Linie (z. B. CB).

Teilen Sie den Radius in zwei Hälften. Markieren Sie diesen Punkt auf der Durchmesserlinie (beschriften Sie ihn mit A). Bauen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt A und Radius AC. Wenn es eine horizontale Linie schneidet, erhalten Sie einen weiteren Punkt (z. B. D). Dadurch wird das Segment CD die Seite des Fünfecks sein, die beschriftet werden muss.

Legen Sie Halbkreise, deren Radius gleich CD ist, entlang der Kreiskontur. Also das Original Kreis wird in fünf gleiche Teile geteilt. Verbinde die Punkte mit einem Lineal. Das Problem der Einschreibung eines Fünfecks Kreis auch abgeschlossen.

Das Folgende wird durch Einpassen beschrieben Kreis Quadrat. Zeichnen Sie eine Durchmesserlinie. Nehmen Sie einen Winkelmesser. Platzieren Sie es an dem Punkt, an dem der Durchmesser die Seite des Kreises schneidet. Öffnen Sie den Kompass auf die Länge des Radius.

Zeichnen Sie zwei Bögen, bis sie sich schneiden Kreis yu, drehe den Kompass in die eine oder andere Richtung. Bewegen Sie den Zirkelschenkel zum gegenüberliegenden Punkt und zeichnen Sie zwei weitere Bögen mit derselben Lösung. Verbinde die resultierenden Punkte.

Quadrieren Sie den Durchmesser, teilen Sie ihn durch zwei und ziehen Sie die Wurzel. Als Ergebnis erhalten Sie eine Seite eines Quadrats, die problemlos hineinpasst Kreis. Öffnen Sie den Kompass auf diese Länge. Setzen Sie seine Nadel auf Kreis und zeichne einen Bogen, der eine Seite des Kreises schneidet. Bewegen Sie den Kompassschenkel zum resultierenden Punkt. Zeichnen Sie den Bogen erneut.

Wiederholen Sie den Vorgang und zeichnen Sie zwei weitere Punkte. Verbinde alle vier Punkte. Dies ist eine einfachere Möglichkeit, ein Quadrat einzupassen Kreis.

Betrachten Sie die Aufgabe, sich anzupassen Kreis. Ziehen Kreis. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt auf dem Kreis – er wird der Scheitelpunkt des Dreiecks sein. Zeichnen Sie von diesem Punkt aus mit einem Kompass einen Bogen, bis er ihn schneidet Kreis Yu. Dies wird der zweite Höhepunkt sein. Konstruieren Sie daraus auf ähnliche Weise einen dritten Scheitelpunkt. Verbinde die Punkte mit einem Lineal. Die Lösung ist gefunden.

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Mithilfe von Zeichenwerkzeugen können Sie ganz einfach ein Quadrat in einen Kreis einfügen. Aber dieses Problem kann auch in ihrer völligen Abwesenheit gelöst werden. Sie müssen sich nur einige Eigenschaften eines Quadrats merken.

Du wirst brauchen

• -Kompass
• -Bleistift
• -Quadrat
• -Schere

Anweisungen

Gehen Sie auf das Problem ein. Offensichtlich ist der Durchmesser des Kreises die Diagonale des darin eingeschriebenen Kreises. Erinnern Sie sich an die bekannte Eigenschaft eines Quadrats: Seine Diagonalen stehen senkrecht zueinander. Verwenden Sie diese Diagonalbeziehung, wenn Sie ein bestimmtes Quadrat konstruieren.

Zeichnen Sie den Durchmesser in den Kreis ein. Zeichnen Sie von der Mitte aus mit einem Quadrat einen zweiten Durchmesser im 90-Grad-Winkel zum ersten. Verbinden Sie die Schnittpunkte der senkrechten Durchmesser mit dem Kreis und erhalten Sie ein in diesen Kreis eingeschriebenes Quadrat.

Wenn das einzige Zeichenwerkzeug, das Sie haben, ein Zirkel ist, zeichnen Sie einen Kreis. Markieren Sie einen beliebigen Punkt auf dem Kreis und zeichnen Sie mit einem Lineal einen Durchmesser durch ihn. Jetzt müssen Sie mit einem Zirkel den halben Kreis zwischen den Enden des Durchmessers in zwei gleiche Teile teilen. Machen Sie an den Schnittpunkten des Durchmessers mit dem Kreis zwei Kerben und lassen Sie dabei die Kompassöffnung unverändert. Zeichnen Sie einen zweiten Durchmesser durch den Schnittpunkt dieser Kerben und den Mittelpunkt des Kreises. Offensichtlich wird es senkrecht zum ersten sein.

Wenn Sie keine Zeichenwerkzeuge haben, können Sie einen Kreis ausschneiden, der durch einen bestimmten Umfang begrenzt ist. Falten Sie die ausgeschnittene Form genau in der Mitte. Wiederholen Sie den Vorgang. Sie müssen die Enden der Faltlinie ausrichten, dann passen die gebogenen Abschnitte ohne zusätzlichen Aufwand zusammen. Fixieren Sie die Faltlinien. Erweitern Sie nun den Kreis. Die Faltlinien sind deutlich sichtbar. Falten Sie die Kreissegmente zwischen den Schnittpunkten der Faltlinien mit dem Kreis und schneiden Sie diese Segmente ab. Die Schnittlinien sind die Seiten des gewünschten Quadrats. Platzieren Sie das ausgeschnittene Quadrat im vorgegebenen Kreis und richten Sie seinen Mittelpunkt am Schnittpunkt der Faltlinien des Kreises aus. Die Eckpunkte des Quadrats scheinen auf dem Kreis zu liegen, was auch erforderlich war.

Ein Kreis gilt als in ein Polygon eingeschrieben, wenn er vollständig im Polygon enthalten ist. Jede Seite der beschriebenen Figur hat einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis.