Die Kegelfläche wird nach der Formel berechnet. Fläche der Mantel- und Gesamtfläche des Kegels

Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der Strukturen im Raum und die Beziehungen zwischen ihnen untersucht. Es besteht wiederum aus Abschnitten, und einer davon ist die Stereometrie. Dabei werden die Eigenschaften dreidimensionaler Figuren im Raum untersucht: Würfel, Pyramide, Kugel, Kegel, Zylinder usw.

Ein Kegel ist ein Körper im euklidischen Raum, der durch eine konische Oberfläche und die Ebene begrenzt wird, auf der die Enden seiner Generatoren liegen. Seine Entstehung erfolgt während der Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um eines seiner Beine, daher gehört es zu den Rotationskörpern.

Bestandteile eines Kegels

Es gibt folgende Arten von Kegeln: schräge (oder geneigte) und gerade. Schräg ist eine Achse, deren Achse die Mitte ihrer Basis nicht im rechten Winkel schneidet. Aus diesem Grund stimmt die Höhe eines solchen Kegels nicht mit der Achse überein, da es sich um ein Segment handelt, das von der Oberseite des Körpers in einem Winkel von 90° zur Ebene seiner Basis abgesenkt ist.

Der Kegel, dessen Achse senkrecht zu seiner Basis steht, heißt gerade. Achse und Höhe in einem solchen geometrischen Körper fallen zusammen, da der Scheitelpunkt darin über der Mitte des Durchmessers der Basis liegt.

Der Kegel besteht aus folgenden Elementen:

1. Der Kreis, der seine Basis ist.
2. Seitenfläche.
3. Ein Punkt, der nicht in der Ebene der Grundfläche liegt und als Scheitelpunkt des Kegels bezeichnet wird.
4. Segmente, die die Punkte des Kreises der Basis eines geometrischen Körpers und seines Scheitelpunkts verbinden.

Alle diese Segmente sind Generatoren des Kegels. Sie sind zur Basis des geometrischen Körpers geneigt, und im Fall eines geraden Kegels sind ihre Projektionen gleich, da der Scheitelpunkt von den Punkten des Basiskreises den gleichen Abstand hat. Daraus können wir schließen, dass in einem regelmäßigen (geraden) Kegel die Generatoren gleich sind, das heißt, sie haben die gleiche Länge und bilden die gleichen Winkel mit der Achse (oder Höhe) und der Basis.

Da bei einem schrägen (oder geneigten) Rotationskörper der Scheitelpunkt relativ zur Mitte der Basisebene verschoben ist, haben die Generatoren in einem solchen Körper unterschiedliche Längen und Projektionen, da jeder von ihnen einen anderen Abstand von zwei beliebigen Punkten hat der Kreis der Basis. Darüber hinaus sind auch die Winkel zwischen ihnen und die Höhe des Kegels unterschiedlich.

Länge der Erzeugenden in einem geraden Kegel

Wie bereits geschrieben, ist die Höhe in einem rechtwinkligen geometrischen Rotationskörper senkrecht zur Ebene der Grundfläche. Somit bilden Erzeugende, Höhe und Radius der Grundfläche im Kegel ein rechtwinkliges Dreieck.

Das heißt, wenn Sie den Basisradius und die Basishöhe kennen, können Sie mithilfe der Formel aus dem Satz des Pythagoras die Länge der Erzeugenden berechnen, die gleich der Summe der Quadrate des Basisradius und der Basishöhe ist:

l 2 = r 2 + h 2 oder l = √r 2 + h 2

wobei l der Generator ist;

r - Radius;

h - Höhe.

Generator in einem geneigten Kegel

Aufgrund der Tatsache, dass in einem schiefen oder geneigten Kegel die Generatoren nicht die gleiche Länge haben, ist eine Berechnung ohne zusätzliche Konstruktionen und Berechnungen nicht möglich.

Zunächst müssen Sie Höhe, Achslänge und Basisradius kennen.

r 1 = √k 2 - h 2

wobei r 1 der Teil des Radius zwischen der Achse und der Höhe ist;

k - Achsenlänge;

h - Höhe.

Durch Addition des Radius (r) und seines zwischen Achse und Höhe liegenden Teils (r 1) erhält man die vollständige erzeugte Erzeugende des Kegels, seine Höhe und einen Teil des Durchmessers:

wobei R der Schenkel eines Dreiecks ist, das durch die Höhe, den Generator und einen Teil des Durchmessers der Basis gebildet wird;

r - Radius der Basis;

r 1 - Teil des Radius zwischen der Achse und der Höhe.

Mit der gleichen Formel aus dem Satz des Pythagoras können Sie die Länge der Erzeugenden des Kegels ermitteln:

l = √h 2 + R 2

oder, ohne R separat zu berechnen, kombinieren Sie die beiden Formeln zu einer:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Unabhängig davon, ob der Kegel gerade oder schräg ist und um welche Eingabedaten es sich handelt, laufen alle Methoden zum Ermitteln der Länge der Erzeugenden immer auf ein Ergebnis hinaus – die Verwendung des Satzes des Pythagoras.

Kegelabschnitt

Axial ist eine Ebene, die entlang ihrer Achse oder Höhe verläuft. In einem geraden Kegel ist ein solcher Abschnitt ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Höhe des Dreiecks die Höhe des Körpers ist, seine Seiten die Generatoren sind und die Basis der Durchmesser der Basis ist. Bei einem gleichseitigen geometrischen Körper ist der axiale Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck, da bei diesem Kegel der Durchmesser der Basis und der Erzeugenden gleich sind.

Die Ebene des Axialschnitts in einem geraden Kegel ist die Ebene seiner Symmetrie. Der Grund dafür ist, dass seine Spitze über der Mitte seiner Basis liegt, das heißt, die Ebene des Axialschnitts teilt den Kegel in zwei identische Teile.

Da bei einem geneigten volumetrischen Körper Höhe und Achse nicht zusammenfallen, darf die axiale Schnittebene die Höhe nicht enthalten. Wenn in einem solchen Kegel viele Axialschnitte konstruiert werden können, da hierfür nur eine Bedingung erfüllt sein muss – er darf nur durch die Achse verlaufen, dann kann nur der Axialschnitt der Ebene gezeichnet werden, zu der die Höhe dieses Kegels gehört eins, weil die Zahl der Bedingungen zunimmt und bekanntlich zwei Geraden (zusammen) nur zu einer Ebene gehören können.

Querschnittsfläche

Der zuvor erwähnte axiale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck. Darauf aufbauend lässt sich seine Fläche mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks berechnen:

S = 1/2 * d * h oder S = 1/2 * 2r * h

wobei S die Querschnittsfläche ist;

d – Basisdurchmesser;

r - Radius;

h - Höhe.

Bei einem schiefen oder geneigten Kegel ist der Querschnitt entlang der Achse ebenfalls ein Dreieck, sodass die Querschnittsfläche darin auf ähnliche Weise berechnet wird.

Volumen

Da ein Kegel eine dreidimensionale Figur im dreidimensionalen Raum ist, kann sein Volumen berechnet werden. Das Volumen eines Kegels ist eine Zahl, die diesen Körper in einer Volumeneinheit, also in m3, charakterisiert. Bei der Berechnung kommt es nicht darauf an, ob er gerade oder schräg (oblique) ist, da sich die Formeln für diese beiden Körperarten nicht unterscheiden.

Wie bereits erwähnt, entsteht ein rechtwinkliger Kegel durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks entlang eines seiner Schenkel. Ein geneigter oder schräger Kegel wird anders geformt, da seine Höhe von der Mitte der Ebene der Körperbasis weg verschoben ist. Solche Strukturunterschiede haben jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Berechnung seines Volumens.

Volumenberechnung

Jeder Kegel sieht so aus:

V = 1/3 * π * h * r 2

wobei V das Volumen des Kegels ist;

h - Höhe;

r - Radius;

π ist eine Konstante von 3,14.

Um die Höhe eines Körpers zu berechnen, müssen Sie den Radius der Basis und die Länge seiner Erzeugenden kennen. Da Radius, Höhe und Generator zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengefasst werden, kann die Höhe mit der Formel aus dem Satz des Pythagoras berechnet werden (a 2 + b 2 = c 2 oder in unserem Fall h 2 + r 2 = l 2, wobei l ist der Generator). Die Höhe wird berechnet, indem man die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein zieht:

a = √c 2 - b 2

Das heißt, die Höhe des Kegels ist gleich dem Wert, den man erhält, wenn man die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Länge der Erzeugenden und dem Quadrat des Radius der Basis zieht:

h = √l 2 - r 2

Indem Sie die Höhe mit dieser Methode berechnen und den Radius seiner Basis kennen, können Sie das Volumen des Kegels berechnen. Dabei spielt der Generator eine wichtige Rolle, da er als Hilfselement bei den Berechnungen dient.

Wenn die Höhe eines Körpers und die Länge seiner Erzeugenden bekannt sind, kann man in ähnlicher Weise den Radius seiner Grundfläche ermitteln, indem man die Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Erzeugenden und dem Quadrat der Höhe zieht:

r = √l 2 - h 2

Berechnen Sie dann mit der gleichen Formel wie oben das Volumen des Kegels.

Volumen eines geneigten Kegels

Da die Formel für das Volumen eines Kegels für alle Arten von Rotationskörpern gleich ist, besteht der Unterschied in ihrer Berechnung in der Suche nach der Höhe.

Um die Höhe eines geneigten Kegels herauszufinden, müssen die Eingabedaten die Länge der Erzeugenden, den Radius der Basis und den Abstand zwischen der Mitte der Basis und dem Schnittpunkt der Höhe des Körpers mit der Ebene umfassen seiner Basis. Wenn Sie dies wissen, können Sie leicht den Teil des Basisdurchmessers berechnen, der die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks bildet (gebildet durch die Höhe, die Erzeugende und die Ebene der Basis). Berechnen Sie dann erneut unter Verwendung des Satzes des Pythagoras die Höhe des Kegels und anschließend sein Volumen.

Heute erklären wir Ihnen, wie Sie die Mantellinie eines Kegels finden, die bei Geometrieaufgaben in der Schule häufig benötigt wird.

Das Konzept einer Kegelerzeugenden

Ein rechter Kegel ist eine Figur, die man erhält, indem man ein rechtwinkliges Dreieck um eines seiner Beine dreht. Die Basis des Kegels bildet einen Kreis. Der vertikale Abschnitt des Kegels ist ein Dreieck, der horizontale Abschnitt ist ein Kreis. Die Höhe eines Kegels ist das Segment, das die Spitze des Kegels mit der Mitte der Basis verbindet. Die Erzeugende eines Kegels ist ein Segment, das den Scheitelpunkt des Kegels mit einem beliebigen Punkt auf der Linie des Grundkreises verbindet.

Da ein Kegel durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks gebildet wird, stellt sich heraus, dass der erste Schenkel eines solchen Dreiecks die Höhe, der zweite der Radius des an der Basis liegenden Kreises und die Hypotenuse die Erzeugende des Kegels ist. Es ist nicht schwer zu erraten, dass der Satz des Pythagoras für die Berechnung der Länge des Generators nützlich ist. Und nun mehr darüber, wie man die Länge der Erzeugenden des Kegels ermittelt.

Den Generator finden

Am einfachsten lässt sich anhand eines konkreten Beispiels verstehen, wie man einen Generator findet. Angenommen, die folgenden Bedingungen des Problems sind gegeben: Die Höhe beträgt 9 cm, der Durchmesser des Grundkreises beträgt 18 cm. Es ist notwendig, eine Erzeugende zu finden.

Die Höhe des Kegels (9 cm) ist also einer der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks, mit dessen Hilfe dieser Kegel geformt wurde. Der zweite Schenkel ist der Radius des Grundkreises. Der Radius beträgt die Hälfte des Durchmessers. Wir teilen also den uns gegebenen Durchmesser in zwei Hälften und erhalten die Länge des Radius: 18:2 = 9. Der Radius beträgt 9.

Jetzt ist es sehr einfach, die Erzeugende des Kegels zu finden. Da es sich um eine Hypotenuse handelt, ist das Quadrat ihrer Länge gleich der Summe der Quadrate der Schenkel, also der Summe der Quadrate von Radius und Höhe. Also ist das Quadrat der Länge des Generators = 64 (das Quadrat der Länge des Radius) + 64 (das Quadrat der Länge der Höhe) = 64x2 = 128. Jetzt ziehen wir die Quadratwurzel aus 128. Als a Als Ergebnis erhalten wir acht Wurzeln aus zwei. Dies wird die Erzeugende des Kegels sein.

Wie Sie sehen, ist daran nichts Kompliziertes. Wir haben zum Beispiel einfache Problembedingungen angenommen, in einem Schulkurs können diese jedoch komplexer sein. Denken Sie daran, dass Sie zur Berechnung der Länge der Erzeugenden den Radius des Kreises und die Höhe des Kegels ermitteln müssen. Wenn man diese Daten kennt, ist es leicht, die Länge der Generatrix zu ermitteln.

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Unterrichtsart: eine Lektion zum Erlernen neuer Materialien unter Verwendung von Elementen einer problembasierten Entwicklungslehrmethode.

Lernziele:

• lehrreich:
  • Kennenlernen eines neuen mathematischen Konzepts;
  • Gründung neuer Ausbildungszentren;
  • Ausbildung praktischer Problemlösungsfähigkeiten.
• Entwicklung:
  • Entwicklung des unabhängigen Denkens der Studierenden;
  • Entwicklung der korrekten Sprachfähigkeiten von Schulkindern.
• lehrreich:
  • Teamfähigkeit entwickeln.

Unterrichtsausrüstung: Magnettafel, Computer, Leinwand, Multimedia-Projektor, Kegelmodell, Unterrichtspräsentation, Handouts.

Unterrichtsziele (für Studierende):

• lernen Sie ein neues geometrisches Konzept kennen - Kegel;
• Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Kegels ab.
• lernen, das erworbene Wissen bei der Lösung praktischer Probleme anzuwenden.

Während des Unterrichts

Stufe I. Organisatorisch.

Abgabe von Heften mit Heimtestarbeiten zum behandelten Thema.

Die Schüler sind eingeladen, durch Lösen des Rätsels das Thema der kommenden Unterrichtsstunde herauszufinden (Folie 1):

Bild 1.

Bekanntgabe des Themas und der Ziele des Unterrichts an die Schüler (Folie 2).

Stufe II. Erläuterung des neuen Materials.

1) Vortrag des Lehrers.

Auf der Tafel befindet sich eine Tabelle mit dem Bild eines Kegels. Begleitend zum Programmmaterial „Stereometrie“ wird das neue Material erläutert. Auf dem Bildschirm erscheint ein dreidimensionales Bild eines Kegels. Der Lehrer gibt die Definition eines Kegels und spricht über seine Elemente. (Folie 3). Man sagt, ein Kegel sei ein Körper, der durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks relativ zu einem Bein entsteht. (Folien 4, 5). Es erscheint ein Bild eines Scans der Seitenfläche des Kegels. (Folie 6)

2) Praktische Arbeit.

Grundkenntnisse aktualisieren: Wiederholen Sie die Formeln zur Berechnung der Fläche eines Kreises, der Fläche eines Sektors, der Länge eines Kreises, der Länge eines Kreisbogens. (Folien 7–10)

Die Klasse wird in Gruppen eingeteilt. Jede Gruppe erhält einen Scan der Mantelfläche des aus Papier ausgeschnittenen Kegels (ein Kreissektor mit einer zugewiesenen Nummer). Die Studierenden nehmen die notwendigen Messungen vor und berechnen die Fläche des resultierenden Sektors. Anweisungen zur Arbeitsausführung, Fragen – Problemstellungen – erscheinen auf dem Bildschirm (Folien 11–14). Ein Vertreter jeder Gruppe schreibt die Ergebnisse der Berechnungen in eine an der Tafel vorbereitete Tabelle. Die Teilnehmer jeder Gruppe kleben aus der Vorlage, die sie haben, ein Modell eines Kegels zusammen. (Folie 15)

3) Darstellung und Lösung des Problems.

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels, wenn nur der Radius der Grundfläche und die Länge der Mantellinie des Kegels bekannt sind? (Folie 16)

Jede Gruppe nimmt die notwendigen Messungen vor und versucht anhand der verfügbaren Daten eine Formel zur Berechnung der benötigten Fläche abzuleiten. Bei dieser Arbeit sollten die Schüler beachten, dass der Umfang der Kegelbasis gleich der Länge des Sektorbogens ist – der Entwicklung der Mantelfläche dieses Kegels. (Folien 17–21) Anhand der notwendigen Formeln wird die gewünschte Formel abgeleitet. Die Argumente der Studierenden sollten etwa so aussehen:

Der Sektor-Sweep-Radius ist gleich lch, Gradmaß des Bogens – φ. Die Fläche des Sektors wird nach der Formel berechnet: Die Länge des diesen Sektor begrenzenden Bogens ist gleich dem Radius der Kegelbasis R. Die Länge des an der Kegelbasis liegenden Kreises beträgt C = 2πR . Beachten Sie, dass die Fläche der Seitenfläche des Kegels gleich der Entwicklungsfläche seiner Seitenfläche ist

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels wird also nach der Formel berechnet S BSB = πRl.

Nach der Berechnung der Fläche der Mantelfläche des Kegelmodells anhand einer unabhängig abgeleiteten Formel schreibt ein Vertreter jeder Gruppe das Ergebnis der Berechnungen entsprechend den Modellnummern in eine Tabelle an die Tafel. Die Berechnungsergebnisse in jeder Zeile müssen gleich sein. Auf dieser Grundlage bestimmt der Lehrer die Richtigkeit der Schlussfolgerungen jeder Gruppe. Die Ergebnistabelle sollte so aussehen:

Modellparameter:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Die Annäherung von Berechnungen ist mit Messfehlern verbunden.

Nach Überprüfung der Ergebnisse erscheint die Ausgabe der Formeln für die Flächen der Mantel- und Gesamtflächen des Kegels auf dem Bildschirm (Folien 22–26), Schüler machen Notizen in Notizbüchern.

Stufe III. Konsolidierung des untersuchten Materials.

1) Studenten werden angeboten Probleme zur mündlichen Lösung anhand vorgefertigter Zeichnungen.

Ermitteln Sie die Flächen der vollständigen Oberflächen der in den Abbildungen gezeigten Kegel (Folien 27–32).

2) Frage: Sind die Oberflächenflächen von Kegeln, die durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um verschiedene Schenkel entstehen, gleich? Die Schüler stellen eine Hypothese auf und testen diese. Die Hypothese wird durch das Lösen von Problemen überprüft und vom Schüler an die Tafel geschrieben.

Gegeben:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – Rotationskörper.

Finden: S PPK 1, S PPK 2.

Abbildung 5. (Folie 33)

Lösung:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BSB 1 + S Haupt 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BSB 2 + S Basis 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Wenn S PPK 1 = S PPK 2, dann a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Weil a, b, c – positive Zahlen (die Längen der Seiten des Dreiecks), die Gleichheit ist nur dann wahr, wenn a =B.

Abschluss: Die Oberflächen zweier Kegel sind nur dann gleich, wenn die Seiten des Dreiecks gleich sind. (Folie 34)

3) Lösung des Problems aus dem Lehrbuch: Nr. 565.

Stufe IV. Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgaben: Absätze 55, 56; Nr. 548, Nr. 561. (Folie 35)

Bekanntgabe der vergebenen Noten.

Schlussfolgerungen während des Unterrichts, Wiederholung der wichtigsten während des Unterrichts erhaltenen Informationen.

Literatur (Folie 36)

1. Geometrieklassen 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., „Prosveshchenie“, 2008.
2. „Mathematische Rätsel und Scharaden“ – N.V. Udaltsova, Bibliothek „Erster September“, Reihe „MATHEMATIK“, Ausgabe 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Hier gibt es Probleme mit Zapfen, deren Zustand mit deren Oberfläche zusammenhängt. Bei einigen Problemen geht es insbesondere darum, die Fläche zu ändern, wenn die Höhe des Kegels oder der Radius seiner Basis vergrößert (verkleinert) wird. Theorie zur Lösung von Problemen in . Betrachten wir die folgenden Aufgaben:

27135. Der Umfang der Kegelbasis beträgt 3, der Generator ist 2. Ermitteln Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

Die Mantelfläche des Kegels ist gleich:

Ersetzen der Daten:

75697. Wie oft vergrößert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn seine Erzeugende um das 36-fache vergrößert wird und der Radius der Basis gleich bleibt?

Kegelmantelfläche:

Die Erzeugende erhöht sich um das 36-fache. Der Radius bleibt gleich, das heißt, der Umfang der Basis hat sich nicht verändert.

Dies bedeutet, dass die Mantelfläche des modifizierten Kegels die Form hat:

Somit wird es um das 36-fache erhöht.

*Die Beziehung ist unkompliziert, sodass dieses Problem leicht mündlich gelöst werden kann.

27137. Wie oft verringert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn der Radius seiner Basis um das 1,5-fache verringert wird?

Die Mantelfläche des Kegels ist gleich:

Der Radius verringert sich um das 1,5-fache, das heißt:

Es wurde festgestellt, dass die Mantelfläche um das 1,5-fache abnahm.

27159. Die Höhe des Kegels beträgt 6, die Erzeugende beträgt 10. Ermitteln Sie die Fläche seiner Gesamtoberfläche geteilt durch Pi.

Vollkegelfläche:

Sie müssen den Radius ermitteln:

Höhe und Erzeugende sind bekannt, mit dem Satz des Pythagoras berechnen wir den Radius:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie die Antwort auf.

76299. Die Gesamtoberfläche des Kegels beträgt 108. Parallel zur Basis des Kegels wird ein Abschnitt gezeichnet, der die Höhe in zwei Hälften teilt. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche des abgeschnittenen Kegels.

Der Abschnitt verläuft durch die Mitte der Höhe parallel zur Basis. Das bedeutet, dass der Radius der Basis und die Erzeugende des abgeschnittenen Kegels zweimal kleiner sind als der Radius und die Erzeugende des ursprünglichen Kegels. Schreiben wir die Oberfläche des abgeschnittenen Kegels auf:

Wir haben festgestellt, dass die Oberfläche viermal kleiner ist als das Original, also 108:4 = 27.

*Da es sich bei Original- und abgeschnittenem Kegel um ähnliche Körper handelt, konnte auch die Ähnlichkeitseigenschaft genutzt werden:

27167. Der Radius der Kegelbasis beträgt 3 und die Höhe beträgt 4. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche des Kegels dividiert durch Pi.

Formel für die Gesamtoberfläche eines Kegels:

Der Radius ist bekannt, es ist notwendig, die Erzeugende zu finden.

Nach dem Satz des Pythagoras:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie die Antwort auf.

Aufgabe. Die Fläche der Mantelfläche des Kegels beträgt das Vierfache der Grundfläche. Finden Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Erzeugenden des Kegels und der Ebene der Basis.

Die Grundfläche des Kegels beträgt: