Logarithmische Ungleichungen. Der umfassende Leitfaden (2019). Zusammenfassung der Lektion „Rationale, irrationale, exponentielle und trigonometrische Ungleichungen“

Bis zum Bestehen der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik bleibt immer weniger Zeit. Die Situation spitzt sich zu, die Nerven von Schülern, Eltern, Lehrern und Nachhilfelehrern werden zunehmend strapaziert. Tägliche, ausführliche Mathematikkurse helfen Ihnen, nervöse Anspannungen abzubauen. Denn wie wir wissen, motiviert Sie nichts so positiv und hilft Ihnen, Prüfungen zu bestehen, wie das Vertrauen in Ihre Fähigkeiten und Ihr Wissen. Heute wird Ihnen ein Mathematiklehrer etwas über das Lösen von Systemen logarithmischer und exponentieller Ungleichungen erzählen, Aufgaben, die vielen modernen Gymnasiasten traditionell Schwierigkeiten bereiten.

Um als Nachhilfelehrer für Mathematik zu lernen, wie man C3-Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik löst, empfehle ich Ihnen, die folgenden wichtigen Punkte zu beachten.

1. Bevor Sie mit der Lösung von Systemen logarithmischer und exponentieller Ungleichungen beginnen, müssen Sie lernen, wie Sie jede dieser Arten von Ungleichungen einzeln lösen. Um insbesondere zu verstehen, wie der Bereich akzeptabler Werte liegt, werden äquivalente Transformationen logarithmischer und exponentieller Ausdrücke durchgeführt. Sie können einige der damit verbundenen Geheimnisse verstehen, indem Sie die Artikel „“ und „“ lesen.

2. Gleichzeitig muss man sich darüber im Klaren sein, dass die Lösung eines Systems von Ungleichungen nicht immer darauf hinausläuft, jede Ungleichung einzeln zu lösen und die resultierenden Intervalle zu schneiden. Wenn man die Lösung für eine Ungleichung des Systems kennt, wird die Lösung für die zweite manchmal viel einfacher. Als Nachhilfelehrer für Mathematik, der Schüler auf die Abschlussprüfungen im Format des Einheitlichen Staatsexamens vorbereitet, verrate ich in diesem Artikel einige diesbezügliche Geheimnisse.

3. Es ist notwendig, den Unterschied zwischen Schnittmenge und Vereinigung von Mengen klar zu verstehen. Dies ist eines der wichtigsten mathematischen Kenntnisse, die ein erfahrener professioneller Nachhilfelehrer seinem Schüler von den ersten Unterrichtsstunden an zu vermitteln versucht. Eine visuelle Darstellung des Schnittpunkts und der Vereinigung von Mengen bieten die sogenannten „Euler-Kreise“.

Schnittmenge von Mengen ist eine Menge, die nur die Elemente enthält, die jede dieser Mengen hat.

Überschneidung

Darstellung des Schnittpunktes von Mengen mittels „Eulescher Kreise“

Erklärungen immer zur Hand. Diana hat ein „Set“ in ihrer Handtasche, bestehend aus ( Stifte, Bleistift, Lineale, Notizbücher, Kämme). Alice hat ein „Set“ in ihrer Handtasche, bestehend aus ( Notizbuch, Bleistift, Spiegel, Notizbücher, die Kiewer Schnitzel). Der Schnittpunkt dieser beiden „Mengen“ ist die „Menge“, bestehend aus ( Bleistift, Notizbücher), da sowohl Diana als auch Alice beide dieser „Elemente“ haben.

Wichtig zu beachten! Wenn die Lösung einer Ungleichung ein Intervall ist und die Lösung einer Ungleichung ein Intervall ist, dann lautet die Lösung der Systeme:

ist das Intervall, das ist Überschneidung Originalintervalle. Hier und untenbedeutet eines der Zeichen title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} und unter - es ist das umgekehrte Vorzeichen.

Vereinigung von Mengen ist eine Menge, die aus allen Elementen der Originalmengen besteht.

Mit anderen Worten, wenn zwei Mengen gegeben sind und dann ihre Vereinigung wird ein Satz der folgenden Form sein:

Illustration der Vereinigung von Mengen mithilfe von „Euleschen Kreisen“

Erklärungen immer zur Hand. Die Vereinigung der im vorherigen Beispiel genommenen „Mengen“ ist die „Menge“, bestehend aus ( Stifte, Bleistift, Lineale, Notizbücher, Kämme, Notizbuch, Spiegel, die Kiewer Schnitzel), da es aus allen Elementen der ursprünglichen „Mengen“ besteht. Eine Klarstellung, die möglicherweise nicht überflüssig ist. Ein Haufen kann nicht enthalten identische Elemente.

Wichtig zu beachten! Wenn die Lösung einer Ungleichung ein Intervall und die Lösung einer Ungleichung ein Intervall ist, dann lautet die Lösung der Grundgesamtheit:

ist das Intervall, das ist Union Originalintervalle.

Kommen wir direkt zu den Beispielen.

Beispiel 1. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung des Problems C3.

1. Lösen wir zunächst die erste Ungleichung. Mit der Substitution gelangen wir zur Ungleichung:

2. Lösen wir nun die zweite Ungleichung. Der Bereich seiner zulässigen Werte wird durch die Ungleichung bestimmt:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Im Bereich akzeptabler Werte, unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Basis des Logarithmus title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Unter Ausschluss von Lösungen, die nicht im Bereich akzeptabler Werte liegen, erhalten wir das Intervall

3. Antwort an System Es wird Ungleichheiten geben Überschneidung

Die resultierenden Intervalle auf der Zahlengeraden. Die Lösung ist ihr Schnittpunkt

Beispiel 2. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung des Problems C3.

1. Lösen wir zunächst die erste Ungleichung. Multiplizieren Sie beide Teile mit title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Kommen wir zur umgekehrten Substitution:

2.

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Grafische Darstellung des resultierenden Intervalls. Die Lösung des Systems ist ihre Schnittmenge

Beispiel 3. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung des Problems C3.

1. Lösen wir zunächst die erste Ungleichung. Multiplizieren Sie beide Teile mit title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Durch Substitution gelangen wir zu folgender Ungleichung:

Kommen wir zur umgekehrten Substitution:

2. Lösen wir nun die zweite Ungleichung. Bestimmen wir zunächst den Bereich der zulässigen Werte dieser Ungleichung:

ql-right-eqno">

Bitte beachte, dass

Unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte erhalten wir dann:

3. Wir finden eine allgemeine Lösung für die Ungleichungen. Der Vergleich der erhaltenen irrationalen Werte von Knotenpunkten ist in diesem Beispiel keineswegs eine triviale Aufgabe. Sie können dies wie folgt tun. Als

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Das und die endgültige Antwort an das System sieht so aus:

Beispiel 4. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung von Problem C3.

1. Lösen wir zunächst die zweite Ungleichung:

2. Die erste Ungleichung des ursprünglichen Systems ist eine logarithmische Ungleichung mit variabler Basis. Eine bequeme Möglichkeit, solche Ungleichungen zu lösen, wird im Artikel „Komplexe logarithmische Ungleichungen“ beschrieben. Sie basiert auf einer einfachen Formel:

Das Vorzeichen kann durch ein beliebiges Ungleichheitszeichen ersetzt werden, Hauptsache es ist in beiden Fällen dasselbe. Die Verwendung dieser Formel vereinfacht die Lösung der Ungleichung erheblich:

Lassen Sie uns nun den Bereich akzeptabler Werte dieser Ungleichung bestimmen. Es wird durch das folgende System festgelegt:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

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Es ist leicht zu erkennen, dass dieses Intervall gleichzeitig auch eine Lösung für unsere Ungleichheit sein wird.

3. Die endgültige Antwort auf das Original Systeme Es wird Ungleichheiten geben Überschneidung die resultierenden Intervalle, das heißt

Beispiel 5. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung zu Aufgabe C3.

1. Lösen wir zunächst die erste Ungleichung. Wir verwenden Substitution. Wir gehen zu der folgenden quadratischen Ungleichung über:

2. Lösen wir nun die zweite Ungleichung. Der Bereich seiner zulässigen Werte wird vom System bestimmt:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Diese Ungleichung entspricht dem folgenden gemischten System:

Im Bereich akzeptabler Werte, also mit title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte erhalten wir:

3. Die endgültige Entscheidung des Originals Systeme Ist

Lösung des Problems C3.

1. Lösen wir zunächst die erste Ungleichung. Durch äquivalente Transformationen bringen wir es auf die Form:

2. Lösen wir nun die zweite Ungleichung. Der Bereich seiner gültigen Werte wird durch das Intervall bestimmt: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Diese Antwort gehört vollständig zum Bereich akzeptabler Ungleichheitswerte.

3. Indem wir die in den vorherigen Absätzen erhaltenen Intervalle schneiden, erhalten wir die endgültige Antwort auf das Ungleichungssystem:

Heute haben wir Systeme logarithmischer und exponentieller Ungleichungen gelöst. Aufgaben dieser Art wurden im laufenden Studienjahr in Probeversionen der Einheitlichen Staatsprüfung im Fach Mathematik angeboten. Als Mathematiklehrer mit Erfahrung in der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen kann ich jedoch sagen, dass dies keineswegs bedeutet, dass es im Juni in den realen Versionen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik ähnliche Aufgaben geben wird.

Lassen Sie mich eine Warnung aussprechen, die sich in erster Linie an Nachhilfelehrer und Schullehrer richtet, die Oberstufenschüler auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vorbereiten. Es ist sehr gefährlich, Schüler strikt nach vorgegebenen Themen auf eine Prüfung vorzubereiten, da in diesem Fall die Gefahr besteht, dass sie bereits bei geringfügiger Änderung des zuvor genannten Aufgabenformats völlig durchfällt. Die Mathematikausbildung muss abgeschlossen sein. Liebe Kolleginnen und Kollegen, bitte vergleichen Sie Ihre Schüler nicht mit Robotern, indem sie ihnen die Lösung einer bestimmten Art von Problem beibringen. Schließlich gibt es nichts Schlimmeres als die Formalisierung des menschlichen Denkens.

Viel Glück und kreativen Erfolg an alle!

Sergej Walerjewitsch

Wenn Sie es versuchen, gibt es zwei Möglichkeiten: Es wird funktionieren oder es wird nicht funktionieren. Wenn Sie es nicht versuchen, gibt es nur einen.
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Alle B7-Aufgaben, die ich je gesehen habe, waren ungefähr auf die gleiche Weise formuliert: eine Gleichung lösen. In diesem Fall gehören die Gleichungen selbst zu einem von drei Typen:

1. Logarithmisch;
2. Indikativ;
3. Irrational.

Im Allgemeinen umfasst ein vollständiger Leitfaden für jede Art von Gleichung mehr als ein Dutzend Seiten und geht damit weit über den Rahmen des Einheitlichen Staatsexamens hinaus. Daher betrachten wir nur die einfachsten Fälle, die einfache Überlegungen und Berechnungen erfordern. Dieses Wissen wird völlig ausreichen, um jedes Problem B7 zu lösen.

In der Mathematik bedeutet der Begriff „eine Gleichung lösen“, die Menge aller Wurzeln einer gegebenen Gleichung zu finden oder zu beweisen, dass diese Menge leer ist. Auf dem Einheitlichen Staatsexamensformular können Sie jedoch nur Zahlen eingeben, keine Sätze. Wenn also in Aufgabe B7 mehr als eine Wurzel vorhanden war (oder umgekehrt keine), wurde in der Lösung ein Fehler gemacht.

Logarithmische Gleichungen

Eine logarithmische Gleichung ist jede Gleichung, die sich auf die Form log reduzieren lässt A F(X) = k, Wo A > 0, A≠ 1 – Logarithmusbasis, F(X) ist eine beliebige Funktion, k- einige konstant.

Diese Gleichung wird gelöst, indem die Konstante k unter dem Logarithmuszeichen eingeführt wird: k=log A A k. Die Basis des neuen Logarithmus ist gleich der Basis des ursprünglichen. Wir erhalten das Gleichungsprotokoll A F(X) = log A A k, was durch Weglassen des Logarithmus gelöst wird.

Beachten Sie, dass es sich um eine Bedingung handelt A> 0 also F(X) = A k> 0, d.h. der ursprüngliche Logarithmus existiert.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: log 7 (8 − X) = 2.

Lösung. log 7 (8 − X) = 2 ⇔ log 7 (8 − X) = log 7 7 2 ⇔ 8 − X = 49 ⇔ X = −41.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: log 0,5 (6 − X) = −2.

Lösung. log 0,5 (6 − X) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − X) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − X = 4 ⇔ X = 2.

Was aber, wenn sich herausstellt, dass die ursprüngliche Gleichung komplexer ist als das Standardprotokoll? A F(X) = k? Dann reduzieren wir es auf den Standard, indem wir auf der einen Seite alle Logarithmen und auf der anderen die Zahlen sammeln.

Wenn die ursprüngliche Gleichung mehr als einen Logarithmus enthält, müssen Sie nach dem Bereich zulässiger Werte (ADV) jeder Funktion unter dem Logarithmus suchen. Andernfalls können zusätzliche Wurzeln entstehen.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: log 5 ( X+ 1) + log 5 ( X + 5) = 1.

Da die Gleichung zwei Logarithmen enthält, finden wir die ODZ:

1. X + 1 > 0 ⇔ X > −1
2. X + 5 > 0 ⇔ X > −5

Wir finden, dass die ODZ das Intervall (−1, +∞) ist. Nun lösen wir die Gleichung:

Protokoll 5 ( X+ 1) + log 5 ( X+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( X + 1)(X + 5) = 5 ⇔ X 2 + 6X + 5 = 5 ⇔ X (X + 6) = 0 ⇔ X 1 = 0, X 2 = −6.

Aber X 2 = −6 qualifiziert nicht für DL. Was bleibt, ist die Wurzel X 1 = 0.

Exponentielle Gleichungen

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die auf die Form reduziert werden kann A F(X) = k, Wo A > 0, A≠ 1 – Gradbasis, F(X) ist eine beliebige Funktion, k- einige konstant.

Diese Definition wiederholt fast wörtlich die Definition einer logarithmischen Gleichung. Exponentielle Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als logarithmische, da hier die Funktion nicht erforderlich ist F(X) war positiv.

Um dieses Problem zu lösen, werden wir einen Ersatz herstellen k = A T, Wo T- Im Allgemeinen ist der Logarithmus ( T=log A k), aber im Einheitlichen Staatsexamen die Zahlen A Und k wird so ausgewählt, dass Sie es finden T es wird einfach sein. In der resultierenden Gleichung A F(X) = A T die Basen sind gleich, was bedeutet, dass die Indikatoren gleich sind, d.h. F(X) = T. Die Lösung der letzten Gleichung verursacht normalerweise keine Probleme.

Aufgabe. Gleichung lösen: 7 X − 2 = 49.

Lösung. 7 X − 2 = 49 ⇔ 7 X − 2 = 7 2 ⇔ X − 2 = 2 ⇔ X = 4.

Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: 6 16 − X = 1/36.

Lösung. 6 16 − X = 1/36 ⇔ 6 16 − X = 6 −2 ⇔ 16 − X = −2 ⇔ X = 18.

Ein wenig über die Transformation von Exponentialgleichungen. Wenn die ursprüngliche Gleichung abweicht A F(X) = k , wenden wir die Regeln für die Arbeit mit Graden an:

1. A N · A M = A N + M ,
2. A N / A M = A N − M ,
3. (A N) M = A N · M .

Darüber hinaus müssen Sie die Regeln zum Ersetzen von Wurzeln und Brüchen durch Potenzen mit einem rationalen Exponenten kennen:

Solche Gleichungen sind im Einheitlichen Staatsexamen äußerst selten, aber ohne sie wäre die Analyse der Aufgabe B7 unvollständig.

Aufgabe. Gleichung lösen: (5/7) X− 2 · (7/5) 2 X − 1 = 125/343

Beachte das:

1. (7/5) 2X − 1 = ((5/7) −1) 2X − 1 = (5/7) 1 − 2X ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Wir haben: (5/7) X− 2 · (7/5) 2 X − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) X− 2 · (5/7) 1 − 2 X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) X − 2 + 1 − 2X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −X − 1 = (5/7) 3 ⇔ −X − 1 = 3 ⇔ X = −4.

Irrationale Gleichungen

Unter irrational verstehen wir jede Gleichung, die ein Wurzelzeichen enthält. Von der gesamten Vielfalt irrationaler Gleichungen betrachten wir nur den einfachsten Fall, wenn die Gleichung die Form hat:

Um diese Gleichung zu lösen, quadrieren wir beide Seiten. Wir bekommen die Gleichung F(X) = A 2. In diesem Fall ist die ODZ-Anforderung automatisch erfüllt: F(X) ≥ 0, weil A 2 ≥ 0. Es bleibt die einfache Gleichung zu lösen F(X) = A 2 .

Aufgabe. Löse die Gleichung:

Wir quadrieren beide Seiten und erhalten: 5 X − 6 = 8 2 ⇔ 5X − 6 = 64 ⇔ 5X = 70 ⇔ X = 14.

Aufgabe. Löse die Gleichung:

Zuerst, wie beim letzten Mal, quadrieren wir beide Seiten. Und fügen Sie dann dem Zähler ein Minuszeichen hinzu. Wir haben:

Beachten Sie, wann X= −4 unter der Wurzel steht eine positive Zahl, d.h. Die ODZ-Anforderung wurde erfüllt.

Irrationale Ungleichheiten

Eine irrationale Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der die unbekannten Größen unter dem Radikalzeichen stehen. Die Lösung solcher Ungleichungen besteht normalerweise darin, sie mit Hilfe einiger Transformationen durch äquivalente rationale Gleichungen, Ungleichungen oder Gleichungs- und Ungleichungssysteme (häufig gemischte Systeme, d. h. solche, die sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen umfassen) zu ersetzen, und weiter kann die Lösung folgen Schritte wie oben beschrieben. Diese Transformationen erhöhen neben dem Austausch von Variablen (Einführung neuer Variablen) und der Faktorisierung auch beide Teile der Ungleichung in gleichem Maße. Es ist jedoch notwendig, die Gleichwertigkeit der Übergänge von einer Ungleichheit zur anderen zu überwachen. Bei gedankenloser Potenzierung können die Wurzeln der Ungleichheit sowohl verloren gehen als auch gewonnen werden. Quadrieren Sie beispielsweise die korrekte Ungleichung -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Die hier verwendete Hauptaussage ist jedoch wahr: Wenn beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind, dann ist sie äquivalent zu der Ungleichung, die sich daraus durch Term-für-Term-Potenzierung ergibt.

Wenn Sie Ungleichungen auf diese Weise lösen, müssen Sie darauf achten, keine überflüssigen Lösungen zu erhalten. Daher ist es nach Möglichkeit sinnvoll, den Definitionsbereich der Ungleichung sowie den Bereich möglicher Werte der Lösungen zu ermitteln.

Exponentielle und logarithmische Ungleichungen

Der Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen geht die Untersuchung der Eigenschaften der entsprechenden Funktionen voraus; Durchführung vieler Aufgaben zur Konvertierung exponentieller und logarithmischer Ausdrücke; Lösen von Gleichungen, die Logarithmen und Variablen in Exponenten enthalten. Lösen der einfachsten Ungleichungen, die berücksichtigt werden

wobei eine der Ungleichungen bedeutet<,>,.

Tatsache ist, dass dieses Thema normalerweise als völlig neues Thema eingeführt wird, das nur auf den zuvor untersuchten Eigenschaften dieser Funktionen basiert. Es empfiehlt sich meiner Meinung nach, es mit der Lösung von Ungleichungen im Allgemeinen (also mit einem bereits bekannten Algorithmus) zu verbinden. Es ist zu beachten, dass die Intervallmethode nicht direkt verwendet werden kann. Die Lösung verschiedener exponentieller und logarithmischer Ungleichungen erfolgt jedoch auf der Grundlage der folgenden Regeln:

Wenn a>1, dann

Wenn 0

Wenn a>1, dann

Wenn 0

Wobei das Zeichen das Gegenteil des Zeichens bedeutet.

Damit werden in der Regel exponentielle und logarithmische Ungleichungen auf rationale Ungleichungen zurückgeführt, die bereits mit der oben beschriebenen Intervallmethode gelöst werden können.

Ungleichungen mit trigonometrischen Funktionen

Dieses Thema wird in der pädagogischen Literatur kaum behandelt und in einigen Lehrbüchern wird es im Allgemeinen außerhalb des Rahmens des zu studierenden Kurses behandelt (wie bereits in Kapitel I dieser Arbeit besprochen). Von den trigonometrischen Ungleichungen werden in der Regel nur die einfachsten Typen berücksichtigt

Die im praktischen Teil zu diesem Punkt vorgestellten Aufgaben hingegen finden sich in Sammlungen von Wettbewerbsaufgaben, in Sammlungen für Bewerber und Materialien für Aufnahmeprüfungen an technischen Fakultäten von Universitäten. Diese. Dieses Material ist für den Unterricht in Grundschulen und weiterführenden Schulen nicht erforderlich, aber nützlich.

Die Intervallmethode ist besonders effektiv zum Lösen von Ungleichungen mit trigonometrischen Funktionen. Bei der Lösung rein trigonometrischer Ungleichungen mit dieser Methode ist es zweckmäßig, anstelle der Zahlenachse den Zahlenkreis zu verwenden, der durch die Wurzeln der entsprechenden trigonometrischen Gleichungen (Zähler und Nenner) in Bögen geteilt wird, die die gleiche Rolle wie die Intervalle spielen auf der Zahlenachse. Auf diesen Bögen hat der trigonometrische Ausdruck, der der zu lösenden Ungleichung entspricht, konstante Vorzeichen, zu deren Bestimmung Sie die Regel eines separaten „bequemen“ Punktes und die Eigenschaft der Wurzelvielfalt verwenden können. Um die Bögen selbst zu bestimmen, ist es oft überhaupt nicht notwendig, den gesamten (unendlichen) Satz von Wurzeln der entsprechenden Gleichungen zu finden; Es reicht aus, diese Gleichungen zu verwenden, um die Werte der grundlegenden trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens) zu ermitteln und die Punkte auf dem Zahlenkreis zu markieren, die diesen Werten entsprechen.

Sie können den Zahlenkreis direkt verwenden, um die ursprüngliche trigonometrische Ungleichung mit der Intervallmethode zu lösen, wenn alle Funktionen, in denen die Ungleichung geschrieben ist, eine Grundperiode (kleinste positive) Periode haben oder wenn m eine positive ganze Zahl ist. Ist die Grundperiode dieser Funktionen größer als oder, dann sollten Sie zunächst Variablen ändern und dann den Zahlenkreis verwenden.

Wenn eine Ungleichung sowohl trigonometrische als auch andere Funktionen umfasst, sollte der Zahlenstrahl verwendet werden, um sie mit der Intervallmethode zu lösen.