Die Fläche d eines gekrümmten Trapezes wird durch das Integral bestimmt. Bestimmtes Integral (Riemann-Integral) Fläche eines gekrümmten Trapezes

Die Funktion sei im Intervall nicht negativ und stetig. Dann ist entsprechend der geometrischen Bedeutung eines bestimmten Integrals die Fläche eines krummlinigen Trapezes, die oben durch den Graphen dieser Funktion, unten durch die Achse, links und rechts durch Geraden und begrenzt wird (siehe Abb. 2). nach der Formel berechnet

Beispiel 9. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linie und die Achse begrenzt wird.

Lösung. Der Graph der Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind. Lass es uns bauen (Abb. 3). Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, ermitteln wir die Schnittpunkte der Geraden (Parabel) mit der Achse (Gerade). Dazu lösen wir das Gleichungssystem

Wir erhalten: , von, ; somit, .

Reis. 3

Wir ermitteln die Fläche der Figur mit Formel (5):

Wenn die Funktion auf einem Segment nicht positiv und stetig ist, dann wird die Fläche eines krummlinigen Trapezes, die unten durch den Graphen dieser Funktion, oben durch die Achse, links und rechts durch Geraden begrenzt wird, nach der Formel berechnet

Wenn die Funktion auf einem Segment stetig ist und an einer endlichen Anzahl von Punkten das Vorzeichen ändert, dann ist die Fläche der schattierten Figur (Abb. 4) gleich der algebraischen Summe der entsprechenden bestimmten Integrale:

Reis. 4

Beispiel 10. Berechnen Sie die Fläche der durch die Achse begrenzten Figur und den Graphen der Funktion bei.

Reis. 5

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5). Die benötigte Fläche ist die Summe der Flächen und. Lassen Sie uns jeden dieser Bereiche finden. Zuerst bestimmen wir die Grenzen der Integration, indem wir das System lösen. Somit:

Somit beträgt die Fläche der schattierten Figur

Reis. 6

Schließlich sei das krummlinige Trapez oben und unten durch die Funktionsgraphen begrenzt und auf dem Segment stetig, links und rechts durch Geraden und (Abb. 6). Dann wird seine Fläche nach der Formel berechnet

Beispiel 11. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien und begrenzt wird.

Lösung. Diese Abbildung ist in Abb. dargestellt. 7. Berechnen wir seine Fläche mit Formel (8). Beim Lösen des Gleichungssystems finden wir: ; somit, . Auf dem Segment haben wir: . Das bedeutet, dass wir in Formel (8) x als und annehmen. Wir bekommen:

Komplexere Probleme der Flächenberechnung werden gelöst, indem die Figur in nicht überlappende Teile unterteilt und die Fläche der gesamten Figur als Summe der Flächen dieser Teile berechnet wird.

Beispiel 1 . Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 und x = 2

Konstruieren wir eine Figur (siehe Abbildung). Wir konstruieren eine Gerade x + 2y – 4 = 0 aus zwei Punkten A(4;0) und B(0;2). Wenn wir y durch x ausdrücken, erhalten wir y = -0,5x + 2. Mit Formel (1), wobei f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finden wir

S = = [-0,25=11,25 qm. Einheiten

Beispiel 2. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 und y = 0.

Lösung. Konstruieren wir die Figur.

Konstruieren wir eine Gerade x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruieren wir eine Gerade x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Finden wir den Schnittpunkt der Geraden, indem wir das Gleichungssystem lösen:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Um die erforderliche Fläche zu berechnen, teilen wir das Dreieck AMC in zwei Dreiecke AMN und NMC auf, da die Fläche beim Wechsel von x von A nach N durch eine Gerade und beim Wechsel von x von N nach C durch eine Gerade begrenzt wird

Für das Dreieck AMN gilt: ; y = 0,5x + 2, d. h. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Für das Dreieck NMC gilt: y = - x + 5, d. h. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Indem wir die Fläche jedes Dreiecks berechnen und die Ergebnisse addieren, finden wir:

Quadrat. Einheiten

Quadrat. Einheiten

9 + 4, 5 = 13,5 qm. Einheiten Prüfen: = 0,5AC = 0,5 qm. Einheiten

Beispiel 3. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

IN in diesem Fall Sie müssen die Fläche eines gekrümmten Trapezes berechnen, das durch die Parabel y = x begrenzt wird 2 , Geraden x = 2 und x = 3 und die Ox-Achse (siehe Abbildung) Mit Formel (1) ermitteln wir die Fläche des krummlinigen Trapezes

= = 6 qm Einheiten

Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y = - x 2 + 4 und y = 0

Konstruieren wir die Figur. Die benötigte Fläche wird zwischen der Parabel y = - x eingeschlossen 2 + 4 und die Ox-Achse.

Finden wir die Schnittpunkte der Parabel mit der Ox-Achse. Unter der Annahme y = 0 finden wir x = Da diese Figur symmetrisch zur Oy-Achse ist, berechnen wir die Fläche der Figur rechts von der Oy-Achse und verdoppeln das erhaltene Ergebnis: = +4x]sq. Einheiten 2 = 2 qm. Einheiten

Beispiel 5. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Hier müssen Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes berechnen, das durch den oberen Ast der Parabel begrenzt wird 2 = x, Achse Ox und Geraden x = 1 è x = 4 (siehe Abbildung)

Nach Formel (1), mit f(x) = a = 1 und b = 4, haben wir = (= Quadrateinheiten.

Beispiel 6 . Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Die benötigte Fläche wird durch die Halbwelle der Sinuskurve und die Ox-Achse begrenzt (siehe Abbildung).

Wir haben - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 Quadrat. Einheiten

Beispiel 7. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = - 6x, y = 0 und x = 4.

Die Figur befindet sich unter der Ox-Achse (siehe Abbildung).

Daher ermitteln wir seine Fläche mithilfe der Formel (3)

= =

Beispiel 8. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = und x = 2. Konstruieren Sie die y =-Kurve aus den Punkten (siehe Abbildung). Somit ermitteln wir die Fläche der Figur mit Formel (4)

Beispiel 9 .

X 2 + J 2 = r 2 .

Hier müssen Sie die vom Kreis x umschlossene Fläche berechnen 2 + J 2 = r 2 , also die Fläche eines Kreises mit dem Radius r, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Finden wir den vierten Teil dieses Bereichs, indem wir die Integrationsgrenzen von 0 an nehmen

Vor; wir haben: 1 = = [

Somit, 1 =

Beispiel 10. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y= x 2 und y = 2x

Diese Zahl wird durch die Parabel y = x begrenzt 2 und die Gerade y = 2x (siehe Abbildung) Um die Schnittpunkte der gegebenen Geraden zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem: x 2 – 2x = 0 x = 0 und x = 2

Wenn wir Formel (5) verwenden, um die Fläche zu ermitteln, erhalten wir

= Fläche des durch die Funktion gebildeten gekrümmten Trapezes F, ist gleich dem Inkrement der Stammfunktion dieser Funktion:

Übung 1:

Finden Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das durch den Funktionsgraphen begrenzt wird: f(x) = x 2 und gerade y = 0, x = 1, x = 2.

Lösung: ( gemäß dem Algorithmus Folie 3)

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion und der Linien zeichnen

Finden wir eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) = x 2 :

Folien-Selbsttest

Integral

Betrachten Sie ein durch die Funktion definiertes krummliniges Trapez F auf dem Segment [ A; B]. Teilen wir dieses Segment in mehrere Teile auf. Die Fläche des gesamten Trapezes wird durch die Summe der Flächen kleinerer gebogener Trapeze geteilt. ( Folie 5). Jedes dieser Trapeze kann ungefähr als Rechteck betrachtet werden. Die Summe der Flächen dieser Rechtecke gibt eine ungefähre Vorstellung von der Gesamtfläche des gebogenen Trapezes. Je kleiner wir das Segment teilen [ A; B], desto genauer berechnen wir die Fläche.

Schreiben wir diese Argumente in Form von Formeln.

Teilen Sie das Segment [ A; B] durch Punkte in n Teile zerlegen x 0 = a, x1,…, xn = b. Länge k- Th bezeichnen mit xk = xk – xk-1. Machen wir eine Summe

Geometrisch stellt diese Summe die Fläche der in der Abbildung schattierten Figur dar ( sh.m.)

Summen der Form heißen Integralsummen für die Funktion F. (sh.m.)

Integrale Summen geben einen ungefähren Wert der Fläche an. Den genauen Wert erhält man durch den Übergang zum Grenzwert. Stellen wir uns vor, wir verfeinern die Aufteilung des Segments [ A; B], sodass die Längen aller kleinen Segmente gegen Null tendieren. Dann nähert sich die Fläche der zusammengesetzten Figur der Fläche des gebogenen Trapezes. Wir können sagen, dass die Fläche eines gekrümmten Trapezes gleich dem Grenzwert der Integralsummen ist, Sc.t. (sh.m.) oder Integral, d. h.

Definition:

Integral einer Funktion f(x) aus A Vor B wird Grenzwert ganzzahliger Summen genannt

= (sh.m.)

Newton-Leibniz-Formel.

Wir erinnern uns, dass der Grenzwert ganzzahliger Summen gleich der Fläche eines krummlinigen Trapezes ist, was bedeutet, dass wir schreiben können:

Sc.t. = (sh.m.)

Andererseits wird die Fläche eines gebogenen Trapezes durch die Formel berechnet

S k.t. (sh.m.)

Wenn wir diese Formeln vergleichen, erhalten wir:

= (sh.m.)

Diese Gleichheit wird Newton-Leibniz-Formel genannt.

Zur Vereinfachung der Berechnung wird die Formel wie folgt geschrieben:

= = (sh.m.)

Aufgaben: (sh.m.)

1. Berechnen Sie das Integral mit der Newton-Leibniz-Formel: ( Sehen Sie sich Folie 5 an)

2. Stellen Sie Integrale gemäß der Zeichnung zusammen ( Sehen Sie sich Folie 6 an)

3. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Folie 7)

Ermitteln der Flächen von ebenen Figuren ( Folie 8)

Wie finde ich die Fläche von Figuren, die keine gekrümmten Trapeze sind?

Gegeben seien zwei Funktionen, deren Graphen Sie auf der Folie sehen . (sh.m.) Finden Sie die Fläche der schattierten Figur . (sh.m.). Handelt es sich bei der Figur um ein gebogenes Trapez? Wie kann man seine Fläche mithilfe der Eigenschaft der Flächenadditivität ermitteln? Betrachten Sie zwei gekrümmte Trapeze und subtrahieren Sie die Fläche des anderen von der Fläche eines von ihnen ( sh.m.)

Erstellen wir einen Algorithmus zum Finden des Bereichs mithilfe einer Animation auf einer Folie:

1. Graphfunktionen
2. Projizieren Sie die Schnittpunkte der Diagramme auf die x-Achse
3. Schattieren Sie die Zahl, die Sie erhalten, wenn sich die Diagramme schneiden
4. Finden Sie krummlinige Trapeze, deren Schnittpunkt oder Vereinigung die gegebene Figur ist.
5. Berechnen Sie die Fläche jedes einzelnen von ihnen
6. Finden Sie die Differenz oder Summe der Flächen

Mündliche Aufgabe: So erhalten Sie die Fläche einer schattierten Figur (erzählen Sie mithilfe einer Animation, Folie 8 und 9)

Hausaufgaben: Arbeiten Sie die Notizen Nr. 353 (a), Nr. 364 (a) durch.

Referenzliste

1. Algebra und die Anfänge der Analysis: ein Lehrbuch für die Klassen 9-11 der Abend-(Schicht-)Schule / Hrsg. G.D. Glaser. - M: Aufklärung, 1983.
2. Baschmakow M.I. Algebra und die Anfänge der Analysis: ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 der Sekundarschule / Bashmakov M.I. - M: Aufklärung, 1991.
3. Baschmakow M.I. Mathematik: Lehrbuch für beginnende Institutionen. und Mittwoch Prof. Bildung / M.I. Baschmakow. - M: Akademie, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra und Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10-11. Bildungseinrichtungen / A.N. Kolmogorov. - M: Bildung, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Wie erstelle ich eine Präsentation für eine Unterrichtsstunde?/ S.L. Ostrowski. – M.: 1. September 2010.

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral

Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht habe ich gesagt, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzuführen. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral AREA.

Also, das bestimmte Integral (sofern vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer bestimmten Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral. Der Integrand definiert eine bestimmte Kurve in der Ebene (sie kann bei Bedarf immer gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Zuweisungsanweisung. Der erste und wichtigste Punkt bei der Entscheidung ist die Erstellung einer Zeichnung. Darüber hinaus muss die Zeichnung erstellt werden RECHTS.

Beim Erstellen einer Zeichnung empfehle ich folgende Reihenfolge: anfangs Es ist besser, nur alle geraden Linien (falls vorhanden) zu konstruieren Dann– Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Es ist rentabler, Funktionsgraphen zu erstellen Punkt für Punkt Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik finden Sie im Referenzmaterial.

Dort finden Sie auch sehr nützliches Material für unsere Lektion – wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Lassen Sie uns die Zeichnung zeichnen (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde das gebogene Trapez nicht beschatten; hier ist klar, um welchen Bereich es sich handelt. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion oberhalb der Achse, Deshalb:

Antwort:

Wer hat Schwierigkeiten mit der Berechnung des bestimmten Integrals und der Anwendung der Newton-Leibniz-Formel? , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen.

Nach Abschluss der Aufgabe ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir die Anzahl der Zellen in der Zeichnung „nach Augenmaß“ – nun, es werden ungefähr 9 sein, das scheint wahr zu sein. Es ist absolut klar: Wenn wir beispielsweise die Antwort bekommen: 20 Quadrateinheiten, dann ist es offensichtlich, dass irgendwo ein Fehler gemacht wurde – 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Ist die Antwort negativ, wurde die Aufgabe ebenfalls falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche einer Figur, die durch die Linien , , und die Achse begrenzt wird

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn das gebogene Trapez lokalisiert ist? unter der Achse?

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzt wird.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn ein gebogenes Trapez vollständig unter der Achse gelegen, dann kann seine Fläche mit der Formel ermittelt werden:
In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie aufgefordert werden, einfach ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung zu lösen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Aus diesem Grund erscheint in der gerade besprochenen Formel das Minus.

In der Praxis befindet sich die Figur meist sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulaufgaben zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer ebenen Figur, die durch die Linien , begrenzt wird.

Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Im Allgemeinen interessieren uns beim Erstellen einer Zeichnung bei Flächenproblemen vor allem die Schnittpunkte der Linien. Finden wir die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Die erste Methode ist analytisch. Wir lösen die Gleichung:

Dies bedeutet, dass die untere Integrationsgrenze , die obere Integrationsgrenze ist .
Es ist besser, wenn möglich, diese Methode nicht zu verwenden.

Es ist viel profitabler und schneller, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, und die Grenzen der Integration werden „von selbst“ deutlich. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik für verschiedene Diagramme wird in der Hilfe ausführlich erläutert Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dennoch muss manchmal noch auf die analytische Methode zur Bestimmung von Grenzen zurückgegriffen werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die detaillierte Konstruktion die Integrationsgrenzen (sie können gebrochen oder irrational sein) nicht erkennen lässt. Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Es ist rationaler, zuerst eine Gerade und erst dann eine Parabel zu konstruieren. Machen wir die Zeichnung:

Ich wiederhole, dass beim punktweisen Konstruieren die Grenzen der Integration meistens „automatisch“ ermittelt werden.

Und nun die Arbeitsformel: Wenn es auf einem Segment eine stetige Funktion gibt größer als oder gleich wie eine stetige Funktion, dann kann die Fläche der entsprechenden Figur mit der Formel ermittelt werden:

Hier müssen Sie nicht mehr darüber nachdenken, wo sich die Figur befindet – über der Achse oder unter der Achse, und grob gesagt Es ist wichtig, welcher Graph HÖHER ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.

Im betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der Geraden befindet und daher von ihr subtrahiert werden muss

Die fertige Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird oben durch eine Parabel und unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment gemäß der entsprechenden Formel:

Antwort:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung angegeben wird und der Graph der Funktion unterhalb der Achse liegt, dann

Und nun ein paar Beispiele für Ihre eigene Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , begrenzt wird.

Beim Lösen von Problemen, bei denen es um die Flächenberechnung mithilfe eines bestimmten Integrals geht, kommt es manchmal zu einem lustigen Vorfall. Die Zeichnung war korrekt, die Berechnungen waren korrekt, aber aus Unachtsamkeit... Der Bereich der falschen Figur wurde gefunden, genau das hat Ihr bescheidener Diener mehrmals vermasselt. Hier ist ein Fall aus dem wirklichen Leben:

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Machen wir zunächst eine Zeichnung:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert(Schauen Sie sich den Zustand genau an – wie limitiert die Figur ist!). Doch in der Praxis kommt es oft aus Unaufmerksamkeit dazu, dass man den Bereich einer Figur finden muss, der grün schattiert ist!

Dieses Beispiel ist auch deshalb nützlich, weil es die Fläche einer Figur anhand zweier bestimmter Integrale berechnet. Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Diagramm einer geraden Linie;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Graph einer Hyperbel.

Es liegt auf der Hand, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antwort:

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur.
Lassen Sie uns die Gleichungen in „schulischer“ Form darstellen und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung erstellen:

Aus der Zeichnung geht hervor, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die Untergrenze?! Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was ist das? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie dafür, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit erstellt wurde? Es kann durchaus sein, dass ... Oder die Wurzel. Was wäre, wenn wir das Diagramm falsch erstellt hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Grenzen der Integration analytisch klären.

Finden wir die Schnittpunkte einer Geraden und einer Parabel.
Dazu lösen wir die Gleichung:

Somit, .

Die weitere Lösung ist trivial, die Hauptsache ist, sich nicht bei Substitutionen und Vorzeichen zu verwirren; die Berechnungen sind hier nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Schauen wir uns zum Abschluss der Lektion zwei weitere schwierige Aufgaben an.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird

Lösung: Lassen Sie uns diese Figur in der Zeichnung darstellen.

Um eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung zu erstellen, müssen Sie das Aussehen einer Sinuskurve kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich, dies zu wissen). Graphen aller Elementarfunktionen) sowie einige Sinuswerte sind in zu finden trigonometrische Tabelle. In manchen Fällen (wie in diesem Fall) ist es möglich, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der die Graphen und Grenzen der Integration grundsätzlich korrekt dargestellt werden sollten.

Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen; sie ergeben sich direkt aus der Bedingung: „x“ ändert sich von Null zu „pi“. Treffen wir eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Funktionsgraph über der Achse, daher:

(1) In der Lektion können Sie sehen, wie Sinus und Cosinus in ungeraden Potenzen integriert werden Integrale trigonometrischer Funktionen. Dies ist eine typische Technik, bei der wir eine Nebenhöhle abklemmen.

(2) Wir verwenden die trigonometrische Hauptidentität in der Form

(3) Lassen Sie uns die Variable ändern, dann:

Neue Integrationsbereiche:

Wer wirklich schlecht mit Auswechslungen umgehen kann, sollte sich bitte eine Lektion holen. Substitutionsmethode im unbestimmten Integral. Für diejenigen, die den Ersetzungsalgorithmus in einem bestimmten Integral nicht ganz verstehen, besuchen Sie die Seite Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen.

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