Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds. Rechteckiges Parallelepiped. Beispiele für die Lösung typischer Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens

Ein rechteckiges Parallelepiped (PP) ist nichts anderes als ein Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Bei einem PP sind alle Diagonalen gleich, was bedeutet, dass jede seiner Diagonalen nach der Formel berechnet wird:

• a, in Richtung der Basis des PP;

  mit seiner Höhe.

Eine weitere Definition kann durch Betrachtung des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems gegeben werden:

Die PP-Diagonale ist der Radiusvektor eines beliebigen Punkts im Raum, der durch x-, y- und z-Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem angegeben wird. Dieser Radiusvektor zum Punkt wird vom Ursprung aus gezeichnet. Und die Koordinaten des Punktes sind die Projektionen des Radiusvektors (Diagonalen des PP) auf die Koordinatenachsen. Die Projektionen fallen mit den Eckpunkten dieses Parallelepipeds zusammen.



Ein rechteckiges Parallelepiped ist eine Art Polyeder, das aus 6 Flächen besteht, an deren Basis sich ein Rechteck befindet. Eine Diagonale ist ein Liniensegment, das gegenüberliegende Eckpunkte eines Parallelogramms verbindet.

Die Formel zum Ermitteln der Länge einer Diagonale lautet: Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate der drei Dimensionen des Parallelogramms.



Ich habe im Internet eine gute Diagrammtabelle mit einer vollständigen Auflistung aller Dinge im Parallelepiped gefunden. Es gibt eine Formel zum Ermitteln der Diagonale, die mit d bezeichnet wird.

Es gibt ein Bild der Kante, des Scheitelpunkts und anderer wichtiger Dinge für das Parallelepiped.



Wenn Länge, Höhe und Breite (a,b,c) eines rechteckigen Parallelepipeds bekannt sind, sieht die Formel zur Berechnung der Diagonale wie folgt aus:



Typischerweise bieten Lehrer ihren Schülern keine bloße Formel an, sondern bemühen sich, diese selbst abzuleiten, indem sie Leitfragen stellen:

• Was müssen wir wissen, welche Daten haben wir?
• Welche Eigenschaften hat ein rechteckiges Parallelepiped?
• Gilt hier der Satz des Pythagoras? Wie?
• Gibt es genügend Daten, um den Satz des Pythagoras anzuwenden, oder sind andere Berechnungen erforderlich?

Normalerweise können Studierende diese Formel nach Beantwortung der gestellten Fragen problemlos selbst ableiten.

Die Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich. Sowie die Diagonalen seiner gegenüberliegenden Flächen. Die Länge der Diagonale kann berechnet werden, indem man die Länge der Kanten des Parallelogramms kennt, die von einem Scheitelpunkt ausgehen. Diese Länge ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Kantenlängen.



Ein Quader ist eines der sogenannten Polyeder, das aus 6 Flächen besteht, von denen jede ein Rechteck ist. Eine Diagonale ist ein Segment, das gegenüberliegende Eckpunkte eines Parallelogramms verbindet. Wenn die Länge, Breite und Höhe eines rechteckigen Parallelepipeds als a, b bzw. c angenommen werden, dann sieht die Formel für seine Diagonale (D) wie folgt aus: D^2=a^2+b^2+c ^2.



Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist ein Segment, das seine gegenüberliegenden Eckpunkte verbindet. Also haben wir Quader mit Diagonale d und Seiten a, b, c. Eine der Eigenschaften eines Parallelepipeds ist, dass es quadratisch ist Diagonale Länge d ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen a, b, c. Daher lautet die Schlussfolgerung: Diagonale Länge lässt sich ganz einfach mit der folgenden Formel berechnen:



Auch:

Wie finde ich die Höhe eines Parallelepipeds?

• Diagonales Quadrat, eines quadratischen Parallelepipeds (siehe Eigenschaften eines quadratischen Parallelepipeds) ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei verschiedenen Seiten (Breite, Höhe, Dicke), und dementsprechend sind die Diagonalen eines quadratischen Parallelepipeds gleich der Wurzel von diese Summe.

  Ich erinnere mich an den Lehrplan der Schule in Geometrie, wir können Folgendes sagen: Die Diagonale eines Parallelepipeds ist gleich der Quadratwurzel, die sich aus der Summe seiner drei Seiten ergibt (sie werden mit den Kleinbuchstaben a, b, c bezeichnet).

  Die Länge der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Seiten.

  Soweit ich aus dem Lehrplan der 9. Klasse weiß, ist, wenn ich mich nicht irre und wenn ich mich recht erinnere, die Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate aller drei Seiten.

  Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate der Breite, Höhe und Länge. Basierend auf dieser Formel erhalten wir die Antwort: Die Diagonale ist gleich der Quadratwurzel der Summe ihrer drei verschiedenen Abmessungen, mit den Buchstaben sie bezeichnen ncz abc

Definition

Polyeder Wir werden eine geschlossene Fläche nennen, die aus Polygonen besteht und einen bestimmten Teil des Raums begrenzt.

Die Segmente, die die Seiten dieser Polygone darstellen, werden aufgerufen Rippen Polyeder, und die Polygone selbst sind Kanten. Die Eckpunkte von Polygonen werden Polyederecken genannt.

Wir betrachten nur konvexe Polyeder (dies ist ein Polyeder, das sich auf einer Seite jeder Ebene befindet, die ihre Fläche enthält).

Die Polygone, aus denen ein Polyeder besteht, bilden seine Oberfläche. Der Teil des Raumes, der von einem gegebenen Polyeder begrenzt wird, wird sein Inneres genannt.

Definition: Prisma

Betrachten Sie zwei gleiche Polygone \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\), die in parallelen Ebenen liegen, so dass die Segmente \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallel. Ein Polyeder, das aus den Polygonen \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) sowie Parallelogrammen besteht \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), heißt (\(n\)-gonal) Prisma.

Die Polygone \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) werden Prismenbasen, Parallelogramme genannt \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– Seitenflächen, Segmente \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- seitliche Rippen.
Somit sind die Seitenkanten des Prismas parallel und gleich zueinander.

Schauen wir uns ein Beispiel an – ein Prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), an dessen Basis ein konvexes Fünfeck liegt.

Höhe Prismen sind Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Grundfläche zur Ebene einer anderen Grundfläche fallen.

Stehen die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem solchen Prisma geneigt(Abb. 1), sonst – gerade. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenkanten Höhen und die Seitenflächen gleich große Rechtecke.

Liegt ein regelmäßiges Vieleck an der Basis eines geraden Prismas, so heißt das Prisma richtig.

Definition: Begriff des Volumens

Die Einheit der Volumenmessung ist ein Einheitswürfel (ein Würfel mit den Maßen \(1\times1\times1\) Einheiten\(^3\), wobei Einheit eine bestimmte Maßeinheit ist).

Wir können sagen, dass das Volumen eines Polyeders die Menge an Raum ist, die dieses Polyeder begrenzt. Ansonsten: Dies ist eine Größe, deren Zahlenwert angibt, wie oft ein Einheitswürfel und seine Teile in ein gegebenes Polyeder passen.

Volumen hat die gleichen Eigenschaften wie Fläche:

1. Die Volumina gleicher Figuren sind gleich.

2. Wenn ein Polyeder aus mehreren sich nicht schneidenden Polyedern besteht, dann ist sein Volumen gleich der Summe der Volumina dieser Polyeder.

3. Das Volumen ist eine nicht negative Größe.

4. Das Volumen wird in cm\(^3\) (Kubikzentimeter), m\(^3\) (Kubikmeter) usw. gemessen.

Satz

1. Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.
Die Mantelfläche ist die Summe der Flächen der Seitenflächen des Prismas.

2. Das Volumen des Prismas ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe des Prismas: \

Definition: Parallelepiped

Parallelepiped ist ein Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis.

Alle Flächen des Parallelepipeds (es gibt \(6\): \(4\) Seitenflächen und \(2\) Basen) sind Parallelogramme, und die gegenüberliegenden Flächen (parallel zueinander) sind gleiche Parallelogramme (Abb. 2) .

Diagonale eines Parallelepipeds ist ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Parallelepipeds verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen (es gibt \(8\) davon: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) usw.).

Rechteckiges Parallelepiped ist ein rechtwinkliges Parallelepiped mit einem Rechteck an der Basis.
Weil Da es sich um ein rechtwinkliges Parallelepiped handelt, sind die Seitenflächen Rechtecke. Dies bedeutet, dass im Allgemeinen alle Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds Rechtecke sind.

Alle Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich (dies folgt aus der Gleichheit der Dreiecke). \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) usw.).

Kommentar

Somit hat ein Parallelepiped alle Eigenschaften eines Prismas.

Satz

Die Mantelfläche eines rechteckigen Parallelepipeds beträgt \

Die Gesamtoberfläche eines rechteckigen Parallelepipeds beträgt \

Satz

Das Volumen eines Quaders ist gleich dem Produkt seiner drei Kanten, die von einem Scheitelpunkt ausgehen (drei Dimensionen des Quaders): \

Nachweisen

Weil Bei einem rechteckigen Parallelepiped stehen die Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche, dann sind sie auch seine Höhen, also \(h=AA_1=c\) Denn Die Grundfläche ist also ein Rechteck \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Daher kommt diese Formel.

Satz

Die Diagonale \(d\) eines rechteckigen Parallelepipeds wird mithilfe der Formel ermittelt (wobei \(a,b,c\) die Abmessungen des Parallelepipeds sind) \

Nachweisen

Schauen wir uns Abb. an. 3. Weil die Grundfläche ein Rechteck ist, dann ist \(\triangle ABD\) rechteckig, also nach dem Satz des Pythagoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Weil Alle Seitenkanten stehen dann senkrecht zu den Basen \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) senkrecht zu jeder Geraden in dieser Ebene, d.h. \(BB_1\perp BD\) . Das bedeutet, dass \(\triangle BB_1D\) rechteckig ist. Dann nach dem Satz des Pythagoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definition: Würfel

Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Flächen alle gleiche Quadrate sind.

Somit sind die drei Dimensionen einander gleich: \(a=b=c\) . Das Folgende ist also wahr

Theoreme

1. Das Volumen eines Würfels mit der Kante \(a\) ist gleich \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Die Diagonale des Würfels wird mit der Formel \(d=a\sqrt3\) ermittelt.

3. Gesamtoberfläche eines Würfels \(S_(\text(voller Würfel))=6a^2\).

In dieser Lektion kann sich jeder mit dem Thema „Rechteckiges Parallelepiped“ befassen. Zu Beginn der Lektion werden wir wiederholen, was beliebige und gerade Parallelepipede sind, und uns an die Eigenschaften ihrer gegenüberliegenden Flächen und Diagonalen des Parallelepipeds erinnern. Dann schauen wir uns an, was ein Quader ist und besprechen seine grundlegenden Eigenschaften.

Thema: Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen

Lektion: Quader

Eine Fläche bestehend aus zwei gleichen Parallelogrammen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 und vier Parallelogrammen ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 heißt Parallelepiped(Abb. 1).

Reis. 1 Parallelepiped

Das heißt: Wir haben zwei gleiche Parallelogramme ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 (Basen), sie liegen in parallelen Ebenen, so dass die Seitenkanten AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 parallel sind. So nennt man eine aus Parallelogrammen zusammengesetzte Fläche Parallelepiped.

Somit ist die Oberfläche eines Parallelepipeds die Summe aller Parallelogramme, aus denen das Parallelepiped besteht.

1. Die gegenüberliegenden Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich.

(die Formen sind gleich, d. h. sie können durch Überlappung kombiniert werden)

Zum Beispiel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (per Definition gleiche Parallelogramme),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (da AA 1 B 1 B und DD 1 C 1 C gegenüberliegende Flächen des Parallelepipeds sind),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (da AA 1 D 1 D und BB 1 C 1 C gegenüberliegende Flächen des Parallelepipeds sind).

2. Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt halbiert.

Die Diagonalen des Parallelepipeds AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B schneiden sich in einem Punkt O, und jede Diagonale wird durch diesen Punkt in zwei Hälften geteilt (Abb. 2).

Reis. 2 Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich und werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.

3. Es gibt drei Quadrupel gleicher und paralleler Kanten eines Parallelepipeds: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definition. Ein Parallelepiped heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen.

Die Seitenkante AA 1 sei senkrecht zur Basis (Abb. 3). Dies bedeutet, dass die Gerade AA 1 senkrecht zu den Geraden AD und AB steht, die in der Ebene der Grundfläche liegen. Das bedeutet, dass die Seitenflächen Rechtecke enthalten. Und die Basen enthalten beliebige Parallelogramme. Bezeichnen wir ∠BAD = φ, der Winkel φ kann beliebig sein.

Reis. 3 Rechter Parallelepiped

Ein rechtwinkliges Parallelepiped ist also ein Parallelepiped, bei dem die Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen des Parallelepipeds stehen.

Definition. Das Parallelepiped heißt rechteckig, wenn seine Seitenkanten senkrecht zur Basis stehen. Die Grundflächen sind Rechtecke.

Das Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ist rechteckig (Abb. 4), wenn:

1. AA 1 ⊥ ABCD (Seitenkante senkrecht zur Grundebene, also ein gerades Parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, d. h. die Grundfläche ist ein Rechteck.

Reis. 4 Rechteckiges Parallelepiped

Ein rechteckiges Parallelepiped hat alle Eigenschaften eines beliebigen Parallelepipeds. Es gibt aber noch weitere Eigenschaften, die sich aus der Definition eines Quaders ableiten.

Also, Quader ist ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen. Die Grundfläche eines Quaders ist ein Rechteck.

1. Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke.

ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind per Definition Rechtecke.

2. Die seitlichen Rippen stehen senkrecht zur Basis. Dies bedeutet, dass alle Seitenflächen eines rechteckigen Parallelepipeds Rechtecke sind.

3. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechtwinklig.

Betrachten wir zum Beispiel den Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds mit der Kante AB, also den Diederwinkel zwischen den Ebenen ABC 1 und ABC.

AB ist eine Kante, Punkt A 1 liegt in einer Ebene – in der Ebene ABB 1 und Punkt D in der anderen – in der Ebene A 1 B 1 C 1 D 1. Dann kann der betrachtete Diederwinkel auch wie folgt bezeichnet werden: ∠A 1 ABD.

Nehmen wir Punkt A auf der Kante AB. AA 1 ist senkrecht zur Kante AB in der Ebene АВВ-1, AD ist senkrecht zur Kante AB in der Ebene ABC. Dies bedeutet, dass ∠A 1 AD der lineare Winkel eines gegebenen Diederwinkels ist. ∠A 1 AD = 90°, was bedeutet, dass der Diederwinkel an der Kante AB 90° beträgt.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Ebenso wird bewiesen, dass alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds richtig sind.

Das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen.

Notiz. Die Längen der drei Kanten, die von einer Ecke eines Quaders ausgehen, sind die Maße des Quaders. Sie werden manchmal als Länge, Breite und Höhe bezeichnet.

Gegeben: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rechteckiges Parallelepiped (Abb. 5).

Beweisen: .

Reis. 5 Rechteckiges Parallelepiped

Nachweisen:

Die Gerade CC 1 steht senkrecht zur Ebene ABC und damit zur Geraden AC. Das bedeutet, dass das Dreieck CC 1 A rechtwinklig ist. Nach dem Satz des Pythagoras:

Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck ABC. Nach dem Satz des Pythagoras:

Aber BC und AD sind gegenüberliegende Seiten des Rechtecks. Also BC = AD. Dann:

Als , A , Das. Da CC 1 = AA 1, musste dies bewiesen werden.

Die Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich.

Bezeichnen wir die Abmessungen des Parallelepipeds ABC als a, b, c (siehe Abb. 6), dann AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

In der Geometrie werden folgende Arten von Parallelepipeden unterschieden: rechteckiges Parallelepiped (die Flächen des Parallelepipeds sind Rechtecke); ein rechtwinkliges Parallelepiped (seine Seitenflächen wirken wie Rechtecke); geneigtes Parallelepiped (seine Seitenflächen wirken als Senkrechte); Ein Würfel ist ein Parallelepiped mit absolut identischen Abmessungen und die Flächen des Würfels sind Quadrate. Parallelepipede können entweder geneigt oder gerade sein.

Die Hauptelemente eines Parallelepipeds bestehen darin, dass zwei Flächen der dargestellten geometrischen Figur, die keine gemeinsame Kante haben, gegenüberliegend sind und diejenigen, die eine gemeinsame Kante haben, benachbart sind. Die Eckpunkte des Parallelepipeds, die nicht zur gleichen Fläche gehören, wirken einander entgegengesetzt. Ein Parallelepiped hat eine Dimension – das sind drei Kanten, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Das Liniensegment, das gegenüberliegende Eckpunkte verbindet, wird Diagonale genannt. Die vier Diagonalen eines Parallelepipeds, die sich in einem Punkt schneiden, werden gleichzeitig in zwei Hälften geteilt.

Um die Diagonale eines Parallelepipeds zu bestimmen, müssen Sie die Seiten und Kanten bestimmen, die aus den Bedingungen des Problems bekannt sind. Mit drei bekannten Rippen A , IN , MIT Zeichne eine Diagonale im Parallelepiped. Gemäß der Eigenschaft eines Parallelepipeds, die besagt, dass alle seine Winkel richtig sind, wird die Diagonale bestimmt. Konstruieren Sie eine Diagonale aus einer der Flächen des Parallelepipeds. Die Diagonalen müssen so gezeichnet werden, dass die Diagonale der Fläche, die gewünschte Diagonale des Parallelepipeds und die bekannte Kante ein Dreieck ergeben. Nachdem ein Dreieck gebildet wurde, ermitteln Sie die Länge dieser Diagonale. Die Diagonale im anderen resultierenden Dreieck fungiert als Hypotenuse und kann daher mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden, der unter der Quadratwurzel gezogen werden muss. Auf diese Weise kennen wir den Wert der zweiten Diagonale. Um die erste Diagonale des Parallelepipeds im gebildeten rechtwinkligen Dreieck zu finden, ist es auch notwendig, die unbekannte Hypotenuse zu finden (mithilfe des Satzes des Pythagoras). Finden Sie anhand desselben Beispiels nacheinander die verbleibenden drei im Parallelepiped vorhandenen Diagonalen, führen Sie zusätzliche Konstruktionen von Diagonalen durch, die rechtwinklige Dreiecke bilden, und lösen Sie sie mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Ein rechteckiges Parallelepiped (PP) ist nichts anderes als ein Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Bei einem PP sind alle Diagonalen gleich, was bedeutet, dass jede seiner Diagonalen nach der Formel berechnet wird:

a, c - Seiten der Basis des PP;

c ist seine Höhe.

Eine weitere Definition kann durch Betrachtung des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems gegeben werden:

Die PP-Diagonale ist der Radiusvektor eines beliebigen Punkts im Raum, der durch x-, y- und z-Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem angegeben wird. Dieser Radiusvektor zum Punkt wird vom Ursprung aus gezeichnet. Und die Koordinaten des Punktes sind die Projektionen des Radiusvektors (Diagonalen des PP) auf die Koordinatenachsen. Die Projektionen fallen mit den Eckpunkten dieses Parallelepipeds zusammen.

Parallelepiped und seine Typen

Wenn wir seinen Namen wörtlich aus dem Altgriechischen übersetzen, stellt sich heraus, dass es sich um eine Figur handelt, die aus parallelen Ebenen besteht. Es gibt die folgenden äquivalenten Definitionen eines Parallelepipeds:

• ein Prisma mit einer Basis in Form eines Parallelogramms;
• ein Polyeder, dessen jede Seite ein Parallelogramm ist.

Seine Typen werden unterschieden, je nachdem, welche Figur an seiner Basis liegt und wie die seitlichen Rippen ausgerichtet sind. Im Allgemeinen reden wir darüber geneigtes Parallelepiped, dessen Basis und alle Flächen Parallelogramme sind. Wenn die Seitenflächen der vorherigen Ansicht zu Rechtecken werden, muss sie aufgerufen werden Direkte. Und rechteckig und die Basis hat auch 90°-Winkel.

Darüber hinaus versucht man in der Geometrie, Letzteres so darzustellen, dass auffällt, dass alle Kanten parallel sind. Hier liegt übrigens der Hauptunterschied zwischen Mathematikern und Künstlern. Für letztere ist es wichtig, den Körper im Einklang mit dem Gesetz der Perspektive zu vermitteln. Und in diesem Fall ist die Parallelität der Rippen völlig unsichtbar.

Über die eingeführten Notationen

In den folgenden Formeln gelten die in der Tabelle angegebenen Notationen.

Formeln für ein geneigtes Parallelepiped

Erstens und zweitens für Bereiche:

Die dritte besteht darin, das Volumen eines Parallelepipeds zu berechnen:

Da es sich bei der Basis um ein Parallelogramm handelt, müssen Sie zur Berechnung seiner Fläche die entsprechenden Ausdrücke verwenden.

Formeln für ein rechteckiges Parallelepiped

Ähnlich wie beim ersten Punkt – zwei Formeln für Flächen:

Und noch etwas zur Lautstärke:

Erste Aufgabe

Zustand. Gegeben sei ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Volumen ermittelt werden muss. Bekannt ist die Diagonale – 18 cm – und die Tatsache, dass sie mit der Ebene der Seitenfläche bzw. der Seitenkante Winkel von 30 und 45 Grad bildet.

Lösung. Um die Problemfrage zu beantworten, müssen Sie alle Seiten in drei rechtwinkligen Dreiecken kennen. Sie geben die notwendigen Werte der Kanten an, anhand derer Sie das Volumen berechnen müssen.

Zuerst müssen Sie herausfinden, wo der 30°-Winkel liegt. Dazu müssen Sie eine Diagonale der Seitenfläche vom gleichen Scheitelpunkt aus zeichnen, von dem aus die Hauptdiagonale des Parallelogramms gezeichnet wurde. Der Winkel zwischen ihnen wird das sein, was benötigt wird.

Das erste Dreieck, das einen der Seitenwerte der Basis angibt, ist das folgende. Es enthält die erforderliche Seite und zwei gezeichnete Diagonalen. Es ist rechteckig. Jetzt müssen Sie das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins (Seite der Basis) und der Hypotenuse (Diagonale) verwenden. Er entspricht dem Sinus von 30°. Das heißt, die unbekannte Seite der Basis wird als Diagonale multipliziert mit dem Sinus von 30° oder ½ bestimmt. Lassen Sie es mit dem Buchstaben „a“ bezeichnen.

Das zweite wird ein Dreieck sein, das eine bekannte Diagonale und eine Kante enthält, mit der es einen 45°-Winkel bildet. Es ist auch rechteckig, und Sie können wieder das Verhältnis von Bein zu Hypotenuse verwenden. Mit anderen Worten: Seitenkante zur Diagonale. Er entspricht dem Kosinus von 45°. Das heißt, „c“ wird als Produkt aus der Diagonale und dem Kosinus von 45° berechnet.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Im selben Dreieck müssen Sie ein weiteres Bein finden. Dies ist notwendig, um dann die dritte Unbekannte – „in“ – zu berechnen. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben „x“. Es lässt sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Jetzt müssen wir ein weiteres rechtwinkliges Dreieck betrachten. Es enthält die bereits bekannten Seiten „c“, „x“ und die zu zählende Seite „b“:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Alle drei Größen sind bekannt. Sie können die Formel für das Volumen verwenden und es berechnen:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Antwort: das Volumen des Parallelepipeds beträgt 729√2 cm 3.

Zweite Aufgabe

Zustand. Sie müssen das Volumen eines Parallelepipeds ermitteln. Darin sind die Seiten des an der Basis liegenden Parallelogramms mit 3 und 6 cm sowie sein spitzer Winkel mit 45° bekannt. Die Seitenrippe hat eine Neigung zur Basis von 30° und beträgt 4 cm.

Lösung. Um die Frage des Problems zu beantworten, müssen Sie die Formel verwenden, die für das Volumen eines geneigten Parallelepipeds geschrieben wurde. Aber beide Größen sind darin unbekannt.

Die Fläche der Basis, also eines Parallelogramms, wird durch eine Formel bestimmt, in der Sie die bekannten Seiten und den Sinus des spitzen Winkels zwischen ihnen multiplizieren müssen.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Die zweite unbekannte Größe ist die Höhe. Es kann von jedem der vier Eckpunkte über der Basis aus gezeichnet werden. Es kann aus einem rechtwinkligen Dreieck ermittelt werden, in dem die Höhe das Bein und die Seitenkante die Hypotenuse ist. In diesem Fall liegt der unbekannten Höhe ein Winkel von 30° gegenüber. Dies bedeutet, dass wir das Verhältnis von Bein zu Hypotenuse verwenden können.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Nun sind alle Werte bekannt und das Volumen kann berechnet werden:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Antwort: das Volumen beträgt 18 √2 cm 3.

Dritte Aufgabe

Zustand. Ermitteln Sie das Volumen eines Parallelepipeds, wenn bekannt ist, dass es gerade ist. Die Seiten seiner Basis bilden ein Parallelogramm und betragen 2 und 3 cm. Der spitze Winkel zwischen ihnen beträgt 60°. Die kleinere Diagonale des Parallelepipeds ist gleich der größeren Diagonale der Grundfläche.

Lösung. Um das Volumen eines Parallelepipeds herauszufinden, verwenden wir die Formel mit Grundfläche und Höhe. Beide Größen sind unbekannt, aber leicht zu berechnen. Der erste ist die Höhe.

Da die kleinere Diagonale des Parallelepipeds in der Größe mit der größeren Grundfläche übereinstimmt, können sie mit dem gleichen Buchstaben d bezeichnet werden. Der größte Winkel eines Parallelogramms beträgt 120°, da er mit dem spitzen Winkel 180° bildet. Die zweite Diagonale der Basis sei mit dem Buchstaben „x“ gekennzeichnet. Nun können wir für die beiden Diagonalen der Basis die Kosinussätze schreiben:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Es macht keinen Sinn, Werte ohne Quadrate zu finden, da diese später wieder in die zweite Potenz erhoben werden. Nach dem Ersetzen der Daten erhalten wir:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Jetzt wird die Höhe, die gleichzeitig die Seitenkante des Parallelepipeds ist, ein Bein im Dreieck sein. Die Hypotenuse ist die bekannte Diagonale des Körpers und das zweite Bein ist „x“. Wir können den Satz des Pythagoras schreiben:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Daher: n = √12 = 2√3 (cm).

Die zweite unbekannte Größe ist nun die Fläche der Basis. Sie kann mit der in der zweiten Aufgabe genannten Formel berechnet werden.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Wenn wir alles in die Volumenformel kombinieren, erhalten wir:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Antwort: V = 18 cm 3.

Vierte Aufgabe

Zustand. Es ist erforderlich, das Volumen eines Parallelepipeds zu ermitteln, das die folgenden Bedingungen erfüllt: Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 cm; die Seitenflächen sind Rauten; Einer der über der Basis liegenden Scheitelpunkte ist von allen an der Basis liegenden Scheitelpunkten gleich weit entfernt.

Lösung. Zuerst müssen Sie den Zustand verstehen. Beim ersten Punkt zum Platz gibt es keine Fragen. Der zweite, über Rauten, macht deutlich, dass das Parallelepiped geneigt ist. Darüber hinaus sind alle Kanten gleich 5 cm, da die Seiten der Raute gleich sind. Und ab der dritten wird deutlich, dass die drei daraus gezogenen Diagonalen gleich sind. Dies sind zwei, die auf den Seitenflächen liegen, und die letzte befindet sich im Inneren des Parallelepipeds. Und diese Diagonalen sind gleich der Kante, das heißt sie haben auch eine Länge von 5 cm.

Um das Volumen zu bestimmen, benötigen Sie eine Formel für ein geneigtes Parallelepiped. Auch hier sind keine Mengen bekannt. Da es sich jedoch um ein Quadrat handelt, lässt sich die Fläche der Grundfläche leicht berechnen.

So = 5 2 = 25 (cm 2).

Etwas komplizierter ist die Situation mit der Höhe. In drei Figuren wird es so aussehen: einem Parallelepiped, einer viereckigen Pyramide und einem gleichschenkligen Dreieck. Dieser letzte Umstand sollte ausgenutzt werden.

Da es sich um die Höhe handelt, handelt es sich um ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse darin ist eine bekannte Kante und der zweite Schenkel entspricht der halben Diagonale des Quadrats (die Höhe ist auch der Median). Und die Diagonale der Basis ist leicht zu finden:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Antwort: 62,5 √2 (cm 3).