Stationärer Prozess. Stationäre und instationäre Zufallsprozesse

Definition. Durch einen zufälligen Prozess X(T) ist ein Prozess, dessen Wert für jeden Wert des Arguments gilt T ist eine Zufallsvariable.

In der Praxis stoßen wir häufig auf zufällige Prozesse, die über die Zeit annähernd gleichmäßig ablaufen und die Form zufälliger Schwingungen um einen bestimmten Durchschnittswert haben, wobei sich weder die durchschnittliche Amplitude noch die Art dieser Schwingungen im Laufe der Zeit wesentlich ändern. Solche Zufallsprozesse nennt man stationär. Beispiele für stationäre Zufallsprozesse sind Schwingungen eines Flugzeugs im stationären Horizontalflug, Spannungsschwankungen in einem Stromkreis, zufälliges Rauschen in einem Funkempfänger, der Prozess des Schaukelns eines Schiffes usw.

Jeder stationäre Prozess kann als zeitlich kontinuierlich über einen langen Zeitraum andauernd betrachtet werden, und bei der Untersuchung eines stationären Prozesses kann jeder beliebige Zeitpunkt als Ausgangspunkt gewählt werden. Durch die Untersuchung eines stationären Prozesses müssen wir jederzeit die gleichen Eigenschaften erhalten.

In der Regel beginnt ein zufälliger Prozess in jedem dynamischen System mit einem instationären Stadium, nach dem das System normalerweise in einen stationären Zustand übergeht und die darin ablaufenden Prozesse dann als stationär betrachtet werden können. In dieser Hinsicht ist es weit verbreitet Theorie stationärer Zufallsprozesse oder genauer gesagt, Theorie stationärer Zufallsfunktionen(da das Argument einer stationären Zufallsfunktion im allgemeinen Fall möglicherweise nicht die Zeit ist).

Definition . Zufallsfunktion X(T) wird genannt stationär , wenn nicht alle seine probabilistischen Eigenschaften davon abhängen T(Genauer gesagt, sie ändern sich nicht, wenn sich die Argumente, von denen sie abhängen, entlang der Achse verschieben T).

Im vorherigen Kapitel haben wir bei der Untersuchung von Zufallsfunktionen keine probabilistischen Merkmale wie Verteilungsgesetze verwendet: Es wurden nur die mathematische Erwartungs-, Streuungs- und Korrelationsfunktion untersucht. Formulieren wir die Definition einer stationären Zufallsfunktion anhand dieser Eigenschaften.

Da die Änderung einer stationären Zufallsfunktion zeitlich gleichmäßig erfolgen muss, ist es natürlich, dass ihr mathematischer Erwartungswert konstant sein muss:

m x(T) = m x = const.

Beachten wir jedoch, dass diese Anforderung nicht zwingend ist: Das wissen wir aus der Zufallsfunktion X(T) können Sie immer zu einer zentrierten Zufallsfunktion gehen, für die der mathematische Erwartungswert identisch Null ist. Wenn also ein Zufallsprozess nur aufgrund der mathematischen Erwartung instationär ist, dann hindert dies nicht daran, ihn als stationär zu untersuchen.

Die zweite Bedingung, die eine stationäre Zufallsfunktion offensichtlich erfüllen muss, ist die Bedingung der konstanten Varianz:

Dx(T) = Dx = const.

Lassen Sie uns nun feststellen, welche Bedingung die Korrelationsfunktion einer stationären Zufallsfunktion erfüllen muss. Betrachten Sie die Zufallsfunktion X(T) und geben Sie den Ausdruck ein K x(T 1 , T 2) T 2 = T 1 + τ . Lassen Sie uns nun überlegen K x(T 1 , T 1 + τ ) – Korrelationsmoment zweier durch ein Zeitintervall getrennter Abschnitte einer Zufallsfunktion τ . Wenn der Zufallsprozess tatsächlich stationär ist, sollte dieses Korrelationsmoment natürlich nicht davon abhängen davon, wo genau auf der Achse 0t Wir haben die Handlung übernommen τ , aber nur von der Länge dieser Bereich. Das heißt, die Korrelationsfunktion eines stationären Zufallsprozesses sollte nur von der Lücke zwischen dem ersten und dem zweiten Argument abhängen

K x(T 1 , T 1 + τ ) = k x(τ ).

Somit ist die Korrelationsfunktion eines stationären Zufallsprozesses eine Funktion eines Arguments, was Operationen an stationären Zufallsfunktionen erheblich vereinfacht.

Beachten Sie, dass die Dispersionskonstanz ein Sonderfall der obigen Formel ist, da Dx(T) = K x(T, T) = k x(0) = const.

Lassen Sie uns daher anhand der obigen Überlegungen die Definition einer stationären Zufallsfunktion neu formulieren – dies ist eine Zufallsfunktion X(T), dessen mathematischer Erwartungswert für alle Werte des Arguments konstant ist T und deren Korrelationsfunktion nur von der Differenz zwischen den Argumenten abhängt T 2 - T 1 . In diesem Fall ist die Korrelationsfunktion eine Funktion eines Arguments und die Streuung ist gleich dem Wert der Korrelationsfunktion im Ursprung (bei τ = T 2 - T 1 = 0).

Eigenschaften der Korrelationsfunktion einer stationären Funktion.

10 . Korrelationsfunktion einer stationären Zufallsfunktion – gerade Funktion: k x(τ ) = k x(-τ ). Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass K x(T 1 , T 2) = K x(T 2 , T 1).

20 . Der Absolutwert der Korrelationsfunktion einer stationären Zufallsfunktion überschreitet nicht ihren Wert im Ursprung: | k x(τ )| ≤ k x(0).

In der Praxis anstelle der Korrelationsfunktion k x(τ ) Oft benutzt normalisierte Korrelationsfunktion:

ρ x(τ ) = ,

Wo Dx = k x(0) – konstante Streuung des stationären Prozesses. Es ist klar, dass ρ x(0) ≡ 1.

Lassen Sie uns ein weiteres Konzept im Zusammenhang mit der Stationarität vorstellen.

Definition . Es werden zwei Zufallsfunktionen aufgerufen dauerhaft verbunden , wenn ihre gegenseitige Korrelationsfunktion nur von der Differenz der Argumente abhängt.

Beachten wir die Tatsache, dass nicht alle zwei stationären Funktionen stationär verbunden sind; Andererseits können zwei instationäre Funktionen stationär zusammenhängen.

Eine wichtige Klasse von Zufallsprozessen sind stationär Zufallsprozesse, also Zufallsprozesse, deren Eigenschaften sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Sie haben die Form kontinuierlicher zufälliger Schwankungen um einen bestimmten Durchschnittswert. Dies sind: Gasdruck in der Gasleitung, Vibrationen des Flugzeugs beim „Autoflug“, Spannungsschwankungen im Stromnetz usw.

Der Zufallsprozess wird aufgerufenstationär in Im weitem Sinne ,wenn es eine mathematische Erwartung ist
ist eine konstante Zahl und die Korrelationsfunktion
hängt nur vom Unterschied zwischen den Argumenten ab, d.h.

Aus dieser Definition folgt, dass die Korrelationsfunktion eines stationären Prozesses eine Funktion eines Arguments ist: Dieser Umstand vereinfacht häufig Operationen an stationären Zufallsprozessen.

Der Zufallsprozess wird aufgerufenstationär in im engeren Sinne , wenn seine Eigenschaften nicht von den Werten der Argumente abhängen, sondern nur von ihrer relativen Position. Das heißt, die Verteilungsfunktion der Prozessquerschnitte muss die folgende Gleichung erfüllen:

für jeden

Beachten Sie, dass aus der Stationarität des SP im engeren Sinne folgt, dass er im weiteren Sinne stationär ist; die umgekehrte Aussage ist nicht wahr.

Im Folgenden betrachten wir nur stationäre Zufallsprozesse im weiteren Sinne. Als nächstes stellen wir die Haupteigenschaften der Korrelationsfunktion eines zufälligen stationären Prozesses (r.s.p.) vor.

1. Dispersion s.s.p. ist konstant und gleich dem Wert der Korrelationsfunktion bei Null, d.h.

Das heißt, am Koordinatenursprung.

2. Korrelationsfunktion s.s.p. ist eine gerade Funktion, d.h.

3. Absolutwert der Korrelationsfunktion s.s.p. seinen Wert nicht überschreitet
, d.h.

Normalisierte Korrelationsfunktion r.s.p. ist eine nicht zufällige Argumentfunktion , d.h.

Darüber hinaus gilt gemäß Eigenschaft 3 die Ungleichung

Beispiel 6. Gegeben ist eine Zufallsfunktion,

gleichmäßig verteilte Zufallsvariable im Intervall

Beweise das

Lösung. Finden wir den mathematischen Erwartungswert

Basierend auf der Definition von m.o. wir erhalten (unter Berücksichtigung der gleichmäßigen Verteilung von r.v. , entsprechend der Kontrollbedingung
)

Und

Somit,

Finden wir die Korrelationsfunktion. Wenn man bedenkt, dass die zentrierte und die Zufallsfunktion gleich sind (da
), d. h. gemäß der Definition der Korrelationsfunktion (siehe Abschnitt 16.5) gilt

,

weil das ).

Übung. Zeigen Sie, dass dies unter den Bedingungen unseres Beispiels geschieht

Die mathematische Erwartung von r.v.
ist eine konstante Zahl für alle Werte des Arguments und seine Korrelationsfunktion hängt nur von der Differenz zwischen den Argumenten ab. Somit,
zufällige stationäre Funktion.

Beachten Sie das, Putten
In der Korrelationsfunktion finden wir die Varianz

Somit bleibt die Varianz für alle Werte des Arguments konstant, wie es für eine zufällige stationäre Funktion sein sollte.

Die meisten zufälligen stationären Prozesse haben das sogenannte, für die Praxis wichtige, « ergodische Eigenschaft“ , dessen Kern darin besteht, dass man anhand einer ausreichend langen separaten Implementierung eines bestimmten Prozesses alle Eigenschaften des Prozesses sowie anhand einer beliebigen Anzahl von Implementierungen beurteilen kann.

Mit anderen Worten, individuelle Merkmale der s.s.p.
können als die entsprechenden Zeitmittelwerte für eine Realisierung von ausreichend langer Dauer definiert werden.

Die Beziehung zwischen Klassen stationärer und zufälliger ergodischer Prozesse kann beispielsweise wie in Abbildung 61 charakterisiert werden.

Reis. 61 (Brief).

Eine hinreichende Bedingung für einen ergodischen S.P.
relativ zur mathematischen Erwartung und der Korrelationsfunktion ist, dass ihre Korrelationsfunktion bei Null gegen Null tendiert
.

Als Schätzungen der Eigenschaften ergodischer S.P.S. Nehmen Sie den zeitlich gemittelten Wert:

Integrale auf der rechten Seite von Gleichungen werden in der Praxis näherungsweise berechnet.

Zufällige Prozesse
Und
werden genannt stationär verwandt, wenn ihre gegenseitige Korrelationsfunktion
kommt nur auf den Unterschied an
. Als Beispiel für einen stationären Prozess können wir eine harmonische Schwingung nehmen. Das lässt sich zeigen
A

Ein stationärer Zufallsprozess ist ein Prozess, dessen probabilistische Eigenschaften nicht von der Zeit abhängen. Alle Wahrscheinlichkeitsdichten ändern sich bei keiner zeitlichen Verschiebung des betrachteten Teils des Prozesses, d. h. unter Beibehaltung einer konstanten Differenz.

Wir können sagen, dass ein stationärer Zufallsprozess in gewissem Maße gewöhnlichen stationären oder stationären Prozessen in automatischen Systemen ähnelt. Betrachtet man beispielsweise gewöhnliche stationäre periodische Schwingungen, ändert sich nichts, wenn der Ursprung der Referenz um einen gewissen Betrag verschoben wird. Gleichzeitig behalten Eigenschaften wie Frequenz, Amplitude, quadratischer Mittelwert usw. ihre Werte.

In einem stationären Zufallsprozess ist das Verteilungsgesetz für jeden Zeitpunkt dasselbe, d. h. die Wahrscheinlichkeitsdichte hängt nicht von der Zeit ab:

Von hier aus erhalten wir entlang des gesamten Zufallsprozesses. Folglich wird in einem stationären Zufallsprozess die Durchschnittslinie im Gegensatz zum allgemeinen Fall (siehe Abb. 11.12) gerade sein (Abb. 11.13), ähnlich der konstanten Verschiebung der Durchschnittslinie gewöhnlicher Perioden

Zögern. Auch die ermittelte Streuung der Werte der Variablen x in einem stationären Zufallsprozess wird immer gleich sein, ähnlich dem konstanten Wert der Standardabweichung gewöhnlicher stationärer Schwingungen von der Mittellinie.

Ebenso wird auch die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte für den gleichen Zeitraum gleich sein – zwischen beliebigen (Abb. 11.13), d.h.

und auch für die -dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte.

Die Angabe aller dieser Dichteverteilungsfunktionen definiert einen Zufallsprozess. Es ist jedoch bequemer, sich mit einigen gemittelten Merkmalen des Prozesses zu befassen.

Bevor wir zu ihnen übergehen, wollen wir zwei Eigenschaften erwähnen, die für die Praxis wichtig sind.

1. Indem wir uns nur auf stationäre Zufallsprozesse beschränken, wird es möglich sein, nur stationäre (stationäre) dynamische Fehler automatischer Systeme unter zufälligen Einflüssen zu bestimmen. Diese Technik wurde früher bei der Betrachtung regelmäßiger Stöße verwendet, als die dynamischen Eigenschaften von Steuerungssystemen durch die Größe dynamischer Fehler in einem stationären periodischen Modus bestimmt wurden.

2. Stationäre Zufallsprozesse haben eine bemerkenswerte Eigenschaft, die als Ergodenhypothese bekannt ist.

Für einen stationären Zufallsprozess mit einer Wahrscheinlichkeit gleich eins (d. h. nahezu sicher) ist insbesondere jeder Durchschnitt über die Menge gleich dem entsprechenden Durchschnitt über die Zeit

Da sich die probabilistischen Eigenschaften eines stationären Zufallsprozesses im Laufe der Zeit nicht ändern (z. B. ergibt eine Langzeitbeobachtung eines Zufallsprozesses an einem Objekt (Zeitdurchschnitt) im Durchschnitt das gleiche Bild wie eine große Anzahl durchgeführter Beobachtungen zum gleichen Zeitpunkt an einer großen Anzahl identischer Objekte (Durchschnitt über die Menge).

Für viele Fälle gibt es einen mathematischen Beweis dieser Eigenschaft. Dann reduziert es sich auf den Ergodensatz.

Der Durchschnittswert (mathematische Erwartung) für einen stationären Prozess beträgt also

Momente höherer Ordnung können auf ähnliche Weise geschrieben werden – Streuung, Standardabweichung usw.

Die Ergodenhypothese ermöglicht es uns, alle Berechnungen und Experimente erheblich zu vereinfachen. Es ermöglicht Ihnen, anstelle des parallelen Testens vieler ähnlicher Systeme zum gleichen Zeitpunkt eine Kurve zu verwenden, die Sie durch langes Testen eines Systems erhalten haben.

Eine wichtige Eigenschaft eines stationären Zufallsprozesses besteht also darin, dass seine einzelne Implementierung über einen unendlichen Zeitraum den gesamten Zufallsprozess mit all seinen unzähligen möglichen Implementierungen vollständig bestimmt. Kein anderer Zufallsprozesstyp verfügt über diese Eigenschaft.

Definition [ | ]

Wo T (\displaystyle T) eine beliebige Menge heißt Zufallsfunktion .

Terminologie [ | ]

Diese Klassifizierung ist nicht streng. Insbesondere der Begriff „Zufallsprozess“ wird oft als absolutes Synonym für den Begriff „Zufallsfunktion“ verwendet.

Einstufung [ | ]

• Zufälliger Prozess X (t) (\displaystyle X(t)) Prozess genannt zeitlich diskret, wenn das System, in dem es auftritt, seinen Zustand nur zu bestimmten Zeitpunkten ändert t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ), deren Anzahl endlich oder abzählbar ist. Der Zufallsprozess wird aufgerufen kontinuierlicher Zeitprozess, wenn der Übergang von Zustand zu Zustand jederzeit erfolgen kann.
• Der Zufallsprozess wird aufgerufen Prozess mit kontinuierlichen Zuständen, wenn der Wert des Zufallsprozesses eine kontinuierliche Zufallsvariable ist. Der Zufallsprozess wird aufgerufen Zufallsprozess mit diskreten Zuständen, wenn der Wert des Zufallsprozesses eine diskrete Zufallsvariable ist:
• Der Zufallsprozess wird aufgerufen stationär, wenn alle mehrdimensionalen Verteilungsgesetze nur von der relativen Lage der Zeitmomente abhängen t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), aber nicht auf die Werte dieser Größen selbst. Mit anderen Worten: Ein Zufallsprozess wird als stationär bezeichnet, wenn seine Wahrscheinlichkeitsmuster über die Zeit konstant sind. Ansonsten heißt es instationär.
• Die Zufallsfunktion wird aufgerufen stationär im weitesten Sinne, wenn sein mathematischer Erwartungswert und seine Varianz konstant sind und der ACF nur von der Differenz zwischen den Zeitpunkten abhängt, für die die Ordinaten der Zufallsfunktion genommen werden. Das Konzept wurde von A. Ya. Khinchin eingeführt.
• Ein Zufallsprozess wird als Prozess mit stationären Inkrementen einer bestimmten Ordnung bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeitsmuster solcher Inkremente über die Zeit konstant sind. Solche Prozesse wurden von Yaglom in Betracht gezogen.
• Wenn die Ordinaten einer Zufallsfunktion dem Normalverteilungsgesetz gehorchen, wird die Funktion selbst aufgerufen normal.
• Zufallsfunktionen, deren Koordinatenverteilungsgesetz zu einem zukünftigen Zeitpunkt vollständig durch den Wert der Ordinate des Prozesses zum aktuellen Zeitpunkt bestimmt wird und nicht von den Werten der Ordinaten des Prozesses abhängt zu früheren Zeiten aufgerufen werden Markovianer.
• Der Zufallsprozess wird aufgerufen Prozess mit unabhängigen Inkrementen, wenn für irgendeinen Satz t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), Wo n > 2 (\displaystyle n>2), A t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , zufällige Variablen (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots), (X t n − X t n − 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1)))) kollektiv unabhängig.
• Wenn bei der Bestimmung der Momentfunktionen eines stationären Zufallsprozesses die Operation der Mittelung über ein statistisches Ensemble durch eine Mittelung über die Zeit ersetzt werden kann, dann heißt ein solcher stationärer Zufallsprozess ergodisch .
• Unter den Zufallsprozessen werden impulsive Zufallsprozesse unterschieden.

Flugbahn eines zufälligen Prozesses[ | ]

Gegeben sei ein Zufallsprozess ( X t ) t ∈ T (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\in T)). Dann für jeden behoben t ∈ T (\displaystyle t\in T) X t (\displaystyle X_(t))- eine Zufallsvariable namens Querschnitt. Wenn das elementare Ergebnis festgelegt ist ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega ), Das X t: T → R (\displaystyle X_(t)\colon T\to \mathbb (R) )- deterministische Parameterfunktion t (\displaystyle t). Diese Funktion wird aufgerufen Flugbahn oder Implementierung Zufallsfunktion ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)) | ]