Multiplizieren eines Polynoms mit einer Monom-Lektion. Ein Polynom mit einem Monom multiplizieren: Regel, Beispiele. II. Die Phase der Vorbereitung der Schüler auf das aktive und bewusste Erlernen neuer Materialien

In dieser Lektion werden wir die Operation der Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom untersuchen, die die Grundlage für das Studium der Multiplikation von Polynomen bildet. Erinnern wir uns an das Verteilungsgesetz der Multiplikation und formulieren wir die Regel für die Multiplikation eines beliebigen Polynoms mit einem Monom. Erinnern wir uns auch an einige Eigenschaften von Graden. Darüber hinaus werden typische Fehler beim Durchführen verschiedener Beispiele formuliert.

Thema:Polynome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom. Typische Aufgaben

Die Operation der Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom ist die Grundlage für die Betrachtung der Operation der Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom. Um die Multiplikation von Polynomen zu verstehen, müssen Sie zunächst lernen, wie man ein Polynom mit einem Monom multipliziert.

Grundlage dieser Operation ist das Verteilungsgesetz der Multiplikation. Erinnern wir ihn daran:

Im Wesentlichen sehen wir die Regel für die Multiplikation eines Polynoms, in diesem Fall eines Binomials, mit einem Monom, und diese Regel kann wie folgt formuliert werden: Um ein Polynom mit einem Monom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term des Polynoms mit multiplizieren dieses Monom. Addieren Sie die algebraisch erhaltenen Produkte und führen Sie dann die erforderlichen Aktionen am Polynom aus – bringen Sie es nämlich in die Standardform.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Kommentar: Dieses Beispiel wird durch genaues Befolgen der Regel gelöst: Jeder Term eines Polynoms wird mit einem Monom multipliziert. Um das Verteilungsgesetz gut zu verstehen und zu assimilieren, wurden in diesem Beispiel die Terme des Polynoms durch x bzw. y und das Monom durch c ersetzt, woraufhin eine Elementaraktion gemäß dem Verteilungsgesetz und dem ausgeführt wurde Anfangswerte wurden ersetzt. Man sollte mit den Vorzeichen vorsichtig sein und richtig mit minus eins multiplizieren.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Multiplikation eines Trinoms mit einem Monom an und stellen wir sicher, dass es sich nicht von derselben Operation mit einem Binomial unterscheidet:

Fahren wir mit der Lösung von Beispielen fort:

Kommentar: Dieses Beispiel wird nach dem Distributivgesetz gelöst und ähnelt dem vorherigen Beispiel – jeder Term des Polynoms wird mit einem Monom multipliziert, das resultierende Polynom ist bereits in Standardform geschrieben und kann daher nicht vereinfacht werden.

Beispiel 2 – Führen Sie die Aktionen aus und erhalten Sie das Polynom in Standardform:

Kommentar: Um dieses Beispiel zu lösen, multiplizieren wir zunächst das erste und zweite Binomial gemäß dem Verteilungsgesetz und bringen dann das resultierende Polynom in eine Standardform – wir werden ähnliche Begriffe präsentieren.

Lassen Sie uns nun die Hauptprobleme formulieren, die mit der Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom verbunden sind, und Beispiele für ihre Lösung geben.

Aufgabe 1 – Vereinfachen Sie den Ausdruck:

Kommentar: Dieses Beispiel wird ähnlich wie das vorherige gelöst, nämlich zunächst die Polynome mit den entsprechenden Monomen zu multiplizieren und dann ähnliche zu reduzieren.

Aufgabe 2 – Vereinfachen und berechnen:

Beispiel 1:;

Kommentar: Dieses Beispiel wird ähnlich wie das vorherige gelöst, mit dem einzigen Zusatz, dass Sie nach dem Einbringen ähnlicher Terme ihren spezifischen Wert anstelle der Variablen einsetzen und den Wert des Polynoms berechnen müssen. Zur Erinnerung: Um eine Dezimalzahl einfach mit zehn zu multiplizieren, müssen Sie die Dezimalstelle um eine Stelle nach rechts verschieben.

Werden die Nummern mit unterschiedlichen Buchstaben bezeichnet, so kann man nur das Produkt bezeichnen; Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Zahl a mit der Zahl b multiplizieren – wir können dies entweder als a ∙ b oder ab bezeichnen, aber es kommt nicht in Frage, diese Multiplikation irgendwie durchzuführen. Wenn es sich jedoch um Monome handelt, kann man dank 1) des Vorhandenseins von Koeffizienten und 2) der Tatsache, dass diese Monome Faktoren enthalten können, die mit denselben Buchstaben bezeichnet werden, von der Multiplikation von Monomen sprechen; Diese Möglichkeit ist für Polynome noch größer. Schauen wir uns eine Reihe von Fällen an, in denen eine Multiplikation möglich ist, beginnend mit dem einfachsten.

1. Potenzen mit gleichen Basen multiplizieren. Es sei beispielsweise eine 3 ∙ eine 5 erforderlich. Schreiben wir, da wir die Bedeutung der Potenzierung kennen, dasselbe detaillierter:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Wenn wir uns diese detaillierte Notation ansehen, sehen wir, dass wir a als Faktor 8 mal geschrieben haben, oder kurz gesagt, a 8 . Also, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Es sei b 42 ∙ b 28 erforderlich. Wir müssten zuerst den Faktor b 42-mal und dann noch einmal den Faktor b 28-mal schreiben – im Allgemeinen würden wir erhalten, dass b 70-mal als Faktor angenommen wird. d.h. b 70. Also, b 42 ∙ b 28 = b 70. Hieraus ist bereits klar, dass bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis die Basis des Grades unverändert bleibt und die Exponenten der Potenzen addiert werden. Wenn wir a 8 ∙ a haben, müssen wir bedenken, dass der Faktor a einen Exponenten von 1 („a zur ersten Potenz“) impliziert – also a 8 ∙ a = a 9.

Beispiele: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 usw.

Manchmal muss man sich mit Potenzen auseinandersetzen, deren Exponenten durch Buchstaben angegeben werden, zum Beispiel xn (x hoch n). An den Umgang mit solchen Ausdrücken muss man sich gewöhnen. Hier sind Beispiele:

Lassen Sie uns einige dieser Beispiele erklären: b n – 3 ∙ b 5 Sie müssen die Basis b unverändert lassen und die Exponenten hinzufügen, d. h. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Von Natürlich müssen Sie lernen, solche Ergänzungen schnell im Kopf durchzuführen.

Ein weiteres Beispiel: x n + 2 ∙ x n – 2, – die Basis x sollte unverändert bleiben und der Exponent hinzugefügt werden, also (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Sie können nun die oben gefundene Reihenfolge zum Durchführen der Multiplikation von Potenzen mit denselben Basen durch die Gleichheit ausdrücken:

a m ∙ a n = a m + n

2. Ein Monom mit einem Monom multiplizieren. Nehmen wir zum Beispiel an, dass 3a²b³c ∙ 4ab²d² erforderlich ist. Wir sehen, dass hier eine Multiplikation durch einen Punkt angezeigt wird, aber wir wissen, dass das gleiche Multiplikationszeichen zwischen 3 und a², zwischen a² und b³, zwischen b³ und c, zwischen 4 und a, zwischen a und b², zwischen b² und impliziert wird d². Daher sehen wir hier das Produkt von 8 Faktoren und können diese mit beliebigen Gruppen in beliebiger Reihenfolge multiplizieren. Ordnen wir sie so um, dass die Koeffizienten und Potenzen mit den gleichen Basen nahe beieinander liegen, d.h.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Dann können wir 1) Koeffizienten und 2) Potenzen mit den gleichen Basen multiplizieren und erhalten 12a³b5cd².

Wenn wir also ein Monom mit einem Monom multiplizieren, können wir die Koeffizienten und Potenzen mit den gleichen Basen multiplizieren, aber die restlichen Faktoren müssen ohne Änderungen umgeschrieben werden.

Mehr Beispiele:

3. Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom. Angenommen, Sie müssen zunächst ein Polynom, zum Beispiel a – b – c + d, mit einer positiven ganzen Zahl, zum Beispiel +3, multiplizieren. Da positive Zahlen als dasselbe angesehen werden wie arithmetische Zahlen, ist dies dasselbe wie (a – b – c + d) ∙ 3, d. h. nehmen Sie a – b – c + d dreimal als Term, oder

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

d. h. als Ergebnis musste jeder Term des Polynoms mit 3 (oder mit +3) multipliziert werden.

Daraus folgt:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

das heißt, jeder Term des Polynoms musste durch (+3) geteilt werden. Verallgemeinernd erhalten wir außerdem:

usw.

Jetzt müssen wir (a – b – c + d) mit einem positiven Bruch multiplizieren, zum Beispiel mit +. Dies ist dasselbe wie die Multiplikation mit einem arithmetischen Bruch, was bedeutet, Teile von (a – b – c + d) zu nehmen. Es ist einfach, ein Fünftel dieses Polynoms zu nehmen: Sie müssen (a – b – c + d) durch 5 teilen, und wir wissen bereits, wie das geht, und wir erhalten . Es bleibt das Ergebnis dreimal zu wiederholen oder mit 3 zu multiplizieren, d.h.

Daraus sehen wir, dass wir jeden Term des Polynoms mit oder mit + multiplizieren mussten.

Jetzt müssen wir (a – b – c + d) mit einer negativen Zahl, einer ganzen Zahl oder einem Bruch multiplizieren.

d. h. in diesem Fall musste jeder Term des Polynoms mit – multipliziert werden.

Unabhängig von der Zahl m gibt es also immer (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Da jedes Monom eine Zahl ist, sehen wir hier einen Hinweis darauf, wie man ein Polynom mit einem Monom multipliziert – wir müssen jeden Term des Polynoms mit diesem Monom multiplizieren.

4. Multiplizieren eines Polynoms mit einem Polynom. Es sei (a + b + c) ∙ (d + e). Da d und e Zahlen bedeuten, drückt (d + e) ​​​​eine beliebige Zahl aus.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​​​= a(d + e) ​​​​+ b(d + e) ​​​​+ c(d + e)

(Wir können das so erklären: Wir haben das Recht, vorübergehend d + e als Monom zu nehmen).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

In diesem Ergebnis können Sie die Reihenfolge der Mitglieder ändern.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​\u003d ad + bd + ed + ae + be + ce,

Das heißt, um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss jeder Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multipliziert werden. Es ist zweckmäßig (zu diesem Zweck wurde oben die Reihenfolge der erhaltenen Terme geändert), jeden Term des ersten Polynoms zuerst mit dem ersten Term des zweiten (mit +d) und dann mit dem zweiten Term des zweiten (mit +d) zu multiplizieren e), dann, wenn es einen gab, durch den dritten usw. .d.; Danach sollte die Reduzierung ähnlicher Begriffe erfolgen.

In diesen Beispielen wird das Binomial mit dem Binomial multipliziert; In jedem Binomial sind die Begriffe in absteigenden Potenzen des Buchstabens angeordnet, der beiden Binomialen gemeinsam ist. Es ist einfach, solche Multiplikationen im Kopf durchzuführen und sofort das Endergebnis aufzuschreiben.

Durch Multiplikation des führenden Termes des ersten Binomials mit dem führenden Term des zweiten, also 4x² mit 3x, erhalten wir 12x³ den führenden Term des Produkts – offensichtlich wird es keine ähnlichen geben. Als nächstes suchen wir nach der Multiplikation, welche Terme Terme mit einem um 1 kleineren Grad des Buchstabens x, also mit x², ergeben. Wir können leicht erkennen, dass solche Terme durch Multiplikation des 2. Termes des ersten Faktors mit dem 1. Term des zweiten und durch Multiplikation des 1. Termes des ersten Faktors mit dem 2. Term des zweiten (die Klammern am unteren Rand) erhalten werden Beispiel deuten darauf hin). Diese Multiplikationen im Kopf durchzuführen und auch die Reduktion dieser beiden ähnlichen Terme durchzuführen (nachdem wir den Term –19x² erhalten), ist nicht schwierig. Dann stellen wir fest, dass der nächste Term, der den Buchstaben x bis zu einem um 1 kleineren Grad enthält, also x bis zum 1. Grad, nur durch Multiplikation des zweiten Termes mit dem zweiten erhalten wird und es keine ähnlichen Terme geben wird.

Ein weiteres Beispiel: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Es ist auch einfach, Beispiele wie die folgenden im Kopf durchzugehen:

Der führende Term wird durch Multiplikation des führenden Termes mit dem führenden Term ermittelt. Es gibt keine ähnlichen Terme und es ist = 2a³. Dann suchen wir, welche Multiplikationen Terme mit a² ergeben – aus der Multiplikation des 1. Termes (a²) mit dem 2. (–5) und aus der Multiplikation des zweiten Termes (–3a) mit dem 1. (2a) – dies ist unten in Klammern angegeben ; Nachdem wir diese Multiplikationen durchgeführt und die resultierenden Terme zu einem zusammengefasst haben, erhalten wir –11a². Dann suchen wir, welche Multiplikationen Terme mit a im ersten Grad ergeben – diese Multiplikationen sind oben mit Klammern gekennzeichnet. Nachdem wir sie vervollständigt und die resultierenden Terme zu einem zusammengefasst haben, erhalten wir +11a. Schließlich stellen wir fest, dass der niedrigste Term des Produkts (+10), der überhaupt kein a enthält, durch Multiplikation des unteren Termes (–2) eines Polynoms mit dem niedrigen Term (–5) des anderen erhalten wird.

Ein weiteres Beispiel: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Aus allen vorherigen Beispielen erhalten wir auch ein allgemeines Ergebnis: Der führende Term des Produkts ergibt sich immer aus der Multiplikation der führenden Terme der Faktoren, und es kann keine ähnlichen Terme geben; Außerdem wird der niedrigste Term des Produkts durch Multiplikation der Terme niedriger Ordnung der Faktoren erhalten, und es kann auch keine ähnlichen Terme dazu geben.

Die verbleibenden Terme, die man durch Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom erhält, können ähnlich sein, und es kann sogar vorkommen, dass alle diese Terme gegenseitig zerstört werden und nur der ältere und der jüngste übrig bleiben.

Hier sind Beispiele:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (wir schreiben nur das Ergebnis)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 usw.

Diese Ergebnisse sind bemerkenswert und nützlich, um sich daran zu erinnern.

Besonders wichtig ist folgender Fall der Multiplikation:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
oder (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
oder (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 usw.

In all diesen Beispielen haben wir bei der Anwendung auf die Arithmetik das Produkt der Summe zweier Zahlen und ihrer Differenz, und das Ergebnis ist die Differenz der Quadrate dieser Zahlen.

Wenn wir einen ähnlichen Fall sehen, ist es nicht erforderlich, die Multiplikation wie oben beschrieben im Detail durchzuführen, sondern wir können das Ergebnis sofort aufschreiben.

Zum Beispiel (3a + 1) ∙ (3a – 1). Hier ist der erste Faktor aus arithmetischer Sicht die Summe zweier Zahlen: Die erste Zahl ist 3a und die zweite 1, und der zweite Faktor ist die Differenz derselben Zahlen; daher sollte das Ergebnis sein: das Quadrat der ersten Zahl (d. h. 3a ∙ 3a = 9a²) minus das Quadrat der zweiten Zahl (1 ∙ 1 = 1), d. h.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Auch

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 usw.

Erinnern wir uns also

(a + b) (a – b) = a² – b²

das heißt, das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und ihrer Differenz ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Zahlen.

>>Mathe: Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom

Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom

Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Kapitel 4 bisher dem gleichen Plan wie Kapitel 3 folgt. In beiden Kapiteln wurden zunächst grundlegende Konzepte eingeführt: In Kapitel 3 waren dies ein Monom, eine Standardform eines Monoms, ein Koeffizient eines Monoms; in Kapitel 4 - Polynom, die Standardform eines Polynoms. Dann haben wir uns in Kapitel 3 mit der Addition und Subtraktion von Monomen befasst; ähnlich in Kapitel 4 – Addition und Subtraktion von Polynomen.

Was geschah als nächstes in Kapitel 3? Als nächstes sprachen wir über die Multiplikation von Monomen. Worüber sollten wir nun analog sprechen? Zur Multiplikation von Polynomen. Aber hier müssen wir langsam vorgehen: Zuerst (in diesem Abschnitt) betrachten wir die Multiplikation eines Polynoms mit Monom(oder ein Monom mit einem Polynom, es ist alles das Gleiche) und dann (im nächsten Absatz) - Multiplikation beliebiger Polynome. Als Sie in der Grundschule das Multiplizieren von Zahlen gelernt haben, haben Sie auch schrittweise vorgegangen: Zuerst haben Sie gelernt, eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl zu multiplizieren, und erst dann die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl.

(a + b)с =ас + bс.

Beispiel 1. Führen Sie eine Multiplikation durch 2a 2 - Зab) (-5а).

Lösung. Lassen Sie uns neue Variablen einführen:

x = 2a 2, y = Zab, z = - 5a.

Dann wird dieses Produkt in die Form (x + y)z umgeschrieben, die nach dem Verteilungsgesetz gleich xr + yz ist. Kommen wir nun zurück zu den alten Variablen:

xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Зab) (- 5a).
Wir müssen lediglich die Produkte von Monomen finden. Wir bekommen:

- 10a 3 + 15a 2 b

Hier ist eine kurze Notation der Lösung (so werden wir sie in Zukunft schreiben, ohne neue Variablen einzuführen):

(2a 2 - Zab) (- 5a) = 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) = -10a 3 +15a 2 b.

Nun können wir die entsprechende Regel zur Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom formulieren.

Die gleiche Regel gilt für die Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom:

- 5a(2a 2 - Zab) = (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) = 10a 3 + 15a 2 b

(Wir haben Beispiel 1 genommen, aber die Faktoren vertauscht).

Beispiel 2. Stellen Sie ein Polynom als Produkt eines Polynoms und eines Monoms dar, wenn:

a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;

b) p 2 (x, y) = x 2 + 3 2.

Lösung.

a) Beachten Sie, dass 2x 2 y = 2x xy und 4a: = 2x 2. Das bedeutet

2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x

b) In Beispiel a) ist es uns gelungen, viele Terme p 1 (x, y) = 2x 2 y + 4a in jeden Term aufzunehmen: Wählen Sie den gleichen Teil (den gleichen Faktor) 2x aus. Einen solchen gemeinsamen Teil gibt es hier nicht. Das bedeutet, dass das Polynom p 2 (x, y) = x 2 + 3 2 nicht als Produkt eines Polynoms und eines Monoms dargestellt werden kann.

Tatsächlich kann das Polynom p 2 (x, y) beispielsweise wie folgt als Produkt dargestellt werden:

x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0,5
oder so:

x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- das Produkt einer Zahl mit einem Polynom, aber dies ist eine künstliche Transformation und wird nur verwendet, wenn dies unbedingt erforderlich ist.

Übrigens kommt die Anforderung, ein bestimmtes Polynom in Form eines Produkts aus einem Monom und einem Polynom darzustellen, in der Mathematik recht häufig vor, weshalb diesem Verfahren ein besonderer Name gegeben wird: das Setzen des gemeinsamen Faktors aus Klammern.

Die Aufgabe, den gemeinsamen Faktor aus Klammern herauszunehmen, kann richtig sein (wie in Beispiel 2a), oder sie ist möglicherweise nicht ganz richtig (wie in Beispiel 26). Wir werden uns im nächsten Kapitel speziell mit diesem Thema befassen.

Am Ende dieses Abschnitts werden wir Probleme lösen, die zeigen, wie man damit umgeht Mathematische Modelle In realen Situationen müssen Sie eine algebraische Summe von Polynomen bilden und ein Polynom mit einem Monom multiplizieren. Es ist also nicht umsonst, dass wir diese Operationen studieren.

Beispiel 3. Die Punkte A, B und C liegen auf der Autobahn, wie in Abbildung 3 dargestellt. Die Entfernung zwischen A und B beträgt 16 km. Ein Fußgänger verließ B in Richtung C. 2 Stunden später verließ ein Radfahrer A in Richtung C, dessen Geschwindigkeit um 6 km/h höher war als die Geschwindigkeit eines Fußgängers. 4 Stunden nach der Abfahrt holte der Radfahrer den Fußgänger am Punkt C ein. Wie groß ist die Entfernung von B nach C?

Lösung.
Erste Stufe. Erstellen eines mathematischen Modells. Sei x km/h die Geschwindigkeit eines Fußgängers, dann ist (x + 6) km/h die Geschwindigkeit eines Radfahrers.

Der Radfahrer hat die Strecke von A nach C in 4 Stunden zurückgelegt, was bedeutet, dass diese Strecke durch die Formel 4 (x + 6) km ausgedrückt wird; mit anderen Worten, AC = 4 (x + 6).

Der Fußgänger hat die Strecke von B nach C in 6 Stunden zurückgelegt (schließlich war er vor der Abfahrt des Radfahrers bereits 2 Stunden unterwegs), daher wird diese Strecke durch die Formel 6x km ausgedrückt; mit anderen Worten, BC = 6x

Achten Sie nun auf Abbildung 3: AC - BC = AB, also AC - BC = 16. Dies ist die Grundlage für die Erstellung eines mathematischen Modells des Problems. Denken Sie daran, dass AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; somit,

4 (x + 6) -6x = 16.

A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

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Bei der Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom verwenden wir eines der Multiplikationsgesetze. In der Mathematik nennt man es das Verteilungsgesetz der Multiplikation. Verteilungsgesetz der Multiplikation:

1. (a + b)*c = a*c + b*c

2. (a - b)*c = a*c - b*c

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, reicht es aus, jeden Term des Polynoms mit einem Monom zu multiplizieren. Anschließend addieren Sie die resultierenden Produkte. Die folgende Abbildung zeigt ein Diagramm zur Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom.

Die Reihenfolge der Multiplikation ist nicht wichtig; wenn Sie beispielsweise ein Polynom mit einem Monom multiplizieren müssen, müssen Sie dies genauso tun. Somit gibt es keinen Unterschied zwischen den Einträgen 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) und (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.

Lassen Sie uns das oben beschriebene Polynom und Monom multiplizieren. Und wir zeigen Ihnen anhand eines konkreten Beispiels, wie Sie es richtig machen:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

Unter Verwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation bilden wir das Produkt:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.

In der resultierenden Summe reduzieren wir jedes der Monome auf die Standardform und erhalten:

20*x^3*y - 16*x^2*y.

Dies ist das Produkt eines Monoms und eines Polynoms: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.

Beispiele:

1. Multiplizieren Sie das Monom 4*x^2 mit dem Polynom (5*x^2+4*x+3). Mithilfe des Verteilungsgesetzes der Multiplikation bilden wir das Produkt. Wir haben
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

Dies ist das Produkt eines Monoms und eines Polynoms: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. Multiplizieren Sie das Monom (-3*x^2) mit dem Polynom (2*x^3-5*x+7).

Ich verwende das Verteilungsgesetz der Multiplikation und erstelle ein Produkt. Wir haben:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

In der resultierenden Summe reduzieren wir jedes der Monome auf seine Standardform. Wir bekommen:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

Dies ist das Produkt eines Monoms und eines Polynoms: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* x^2.

§ 1 Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom

Bei der Multiplikation von Polynomen gibt es zwei Arten von Operationen: die Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom und die Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom. In dieser Lektion lernen wir, wie man ein Polynom mit einem Monom multipliziert.

Die Grundregel, die bei der Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom verwendet wird, ist die Verteilungseigenschaft der Multiplikation. Lass uns erinnern:

Um eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Diese Eigenschaft der Multiplikation gilt auch für die Subtraktion. In wörtlicher Schreibweise sieht die Verteilungseigenschaft der Multiplikation folgendermaßen aus:

(a + b) ∙ c = ac + bc

(a - b) ∙ c = ac - bc

Betrachten Sie ein Beispiel: Multiplizieren Sie das Polynom (5ab - 3a2) mit dem Monom 2b.

Wir führen neue Variablen ein und bezeichnen 5ab mit dem Buchstaben x, 3a2 mit dem Buchstaben y, 2b mit dem Buchstaben c. Dann sieht unser Beispiel so aus:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (x - y) ∙с

Nach dem Verteilungsgesetz ist dies gleich xc – yc. Kommen wir nun zur ursprünglichen Bedeutung der neuen Variablen zurück. Wir bekommen:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Lassen Sie uns nun das resultierende Polynom in die Standardform bringen. Wir erhalten den Ausdruck:

Somit lässt sich die Regel formulieren:

Um ein Polynom mit einem Monom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term des Polynoms mit diesem Monom multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Die gleiche Regel gilt für die Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom.

§ 2 Beispiele zum Unterrichtsthema

Bei der praktischen Multiplikation von Polynomen empfiehlt es sich, um Verwechslungen bei der Bestimmung der resultierenden Vorzeichen zu vermeiden, zunächst das Vorzeichen des Produkts zu ermitteln und sofort aufzuschreiben und erst dann das Produkt aus Zahlen und Variablen zu ermitteln und aufzuschreiben. So sieht es anhand konkreter Beispiele aus.

Beispiel 1. (4a2b - 2a) ∙ (-5ab).

Hier muss das Monom - 5ab mit zwei Monomen multipliziert werden, aus denen das Polynom 4a2b und - 2a besteht. Das erste Stück hat ein „-“-Zeichen und das zweite Stück ein „+“-Zeichen. Die Lösung wird also so aussehen:

(4a2b - 2a) ∙ (-5ab) = - 4a2b ∙ 5ab + 2a ∙ 5ab = -20a3b2 + 10a2b

Beispiel 2. -xy(2x - 3y +5).

Hier müssen wir drei Multiplikationsoperationen durchführen, wobei das Vorzeichen des ersten Produkts „-“, das Vorzeichen des zweiten „+“ und das Vorzeichen des dritten „-“ ist. Die Lösung sieht so aus:

Xy(2x - 3y + 5) = -xy∙2x + xy∙3y - xy∙5 = -2x2y + 3xy2 - 5xy.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. Klasse in 2 Teilen, Teil 1, Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / A.G. Mordkowitsch. – 10. Auflage, überarbeitet – Moskau, „Mnemosyne“, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. Klasse in 2 Teilen, Teil 2, Problembuch für Bildungseinrichtungen / [A.G. Mordkovich und andere]; herausgegeben von A.G. Mordkovich – 10. Auflage, überarbeitet – Moskau, „Mnemosyne“, 2007
3. IHR. Tulchinskaya, Algebra 7. Klasse. Blitz-Umfrage: Ein Handbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen, 4. Auflage, überarbeitet und erweitert, Moskau, „Mnemosyne“, 2008
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5. Alexandrova L.A. Algebra 7. Klasse. Unabhängige Werke für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich – 6. Auflage, stereotyp, Moskau, „Mnemosyne“, 2010