Definieren Sie die Höhe eines Kegelstumpfes. Kegel. Frustum

Kegel. Frustum

Konische Oberfläche ist die Fläche, die von allen geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt einer gegebenen Kurve und einen Punkt außerhalb der Kurve verlaufen (Abb. 32).

Diese Kurve heißt Führung , gerade - Bildung , Punkt - Spitze konische Oberfläche.

Gerade kreisförmige konische Oberfläche ist die Fläche, die von allen geraden Linien gebildet wird, die durch jeden Punkt eines gegebenen Kreises verlaufen, und einem Punkt auf einer geraden Linie, die senkrecht zur Kreisebene steht und durch deren Mittelpunkt verläuft. Im Folgenden nennen wir diese Fläche kurz konische Oberfläche (Abb. 33).

Kegel (gerader kreisförmiger Kegel ) ist ein geometrischer Körper, der durch eine konische Oberfläche und eine Ebene begrenzt wird, die parallel zur Ebene des Führungskreises verläuft (Abb. 34).

Reis. 32 Abb. 33 Abb. 34

Ein Kegel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Achse entsteht, die einen der Schenkel des Dreiecks enthält.

Den Kreis, der einen Kegel umschließt, nennt man ihn Basis . Der Scheitelpunkt einer Kegelfläche wird aufgerufen Spitze Kegel Das Segment, das die Spitze eines Kegels mit der Mitte seiner Basis verbindet, heißt Höhe Kegel Die Segmente, die eine konische Oberfläche bilden, werden genannt Bildung Kegel Achse eines Kegels ist eine gerade Linie, die durch die Spitze des Kegels und die Mitte seiner Basis verläuft. Axialschnitt nennt man den Abschnitt, der durch die Achse des Kegels verläuft. Seitenflächenentwicklung Ein Kegel wird als Sektor bezeichnet, dessen Radius gleich der Länge der Mantellinie des Kegels und die Länge des Bogens des Sektors gleich dem Umfang der Kegelbasis ist.

Die richtigen Formeln für einen Kegel sind:

Wo R– Basisradius;

H- Höhe;

l– Länge der Erzeugenden;

S-Basis- Grundfläche;

S-Seite

S voll

V– Volumen des Kegels.

Kegelstumpf wird der Teil des Kegels genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis des Kegels eingeschlossen ist (Abb. 35).

Ein Kegelstumpf kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines rechteckigen Trapezes um eine Achse entsteht, die die Seite des Trapezes enthält, die senkrecht zu den Grundflächen steht.

Die beiden Kreise, die einen Kegel umschließen, heißen sein Gründe dafür . Höhe eines Kegelstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Basen. Die Segmente, die die konische Oberfläche eines Kegelstumpfes bilden, werden genannt Bildung . Eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft, heißt Achse Kegelstumpf. Axialschnitt nennt man den Abschnitt, der durch die Achse eines Kegelstumpfes verläuft.

Für einen Kegelstumpf lauten die richtigen Formeln:

(8)

Wo R– Radius der unteren Basis;

R– Radius der oberen Basis;

H– Höhe, l – Länge der Erzeugenden;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

S voll– Gesamtfläche;

V– Volumen eines Kegelstumpfes.

Beispiel 1. Der zur Grundfläche parallele Querschnitt des Kegels teilt die Höhe im Verhältnis 1:3, gerechnet von oben. Finden Sie die Mantelfläche eines Kegelstumpfes, wenn der Radius der Basis und die Höhe des Kegels 9 cm und 12 cm betragen.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 36).

Um die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes zu berechnen, verwenden wir Formel (8). Lassen Sie uns die Radien der Basen ermitteln Ungefähr 1 A Und Ungefähr 1 V und formen AB.

Betrachten Sie ähnliche Dreiecke SO2B Und SO 1 A, Ähnlichkeitskoeffizient also

Von hier

Seit damals

Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich:

Antwort: .

Beispiel 2. Ein Viertelkreis mit Radius wird zu einer Kegelfläche gefaltet. Finden Sie den Radius der Basis und die Höhe des Kegels.

Lösung. Der Quadrant des Kreises ist die Abwicklung der Mantelfläche des Kegels. Bezeichnen wir R– Radius seiner Basis, H - Höhe. Berechnen wir die Mantelfläche mit der Formel: . Sie entspricht der Fläche eines Viertelkreises: . Wir erhalten eine Gleichung mit zwei Unbekannten R Und l(einen Kegel bilden). In diesem Fall ist die Erzeugende gleich dem Radius des Viertelkreises R, was bedeutet, dass wir die folgende Gleichung erhalten: , woraus wir den Radius der Basis und des Generators kennen und so die Höhe des Kegels ermitteln:

Antwort: 2cm, .

Beispiel 3. Ein rechteckiges Trapez mit einem spitzen Winkel von 45°, einer kleineren Grundfläche von 3 cm und einer geneigten Seite gleich , dreht sich um die Seite senkrecht zu den Grundflächen. Bestimmen Sie das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 37).

Als Ergebnis der Drehung erhalten wir einen Kegelstumpf; um sein Volumen zu ermitteln, berechnen wir den Radius der größeren Basis und die Höhe. Im Trapez O 1 O 2 AB wir werden dirigieren AC^O 1 B. B gilt: Das bedeutet, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist A.C.=B.C.=3 cm.

Antwort:

Beispiel 4. Ein Dreieck mit den Seitenlängen 13 cm, 37 cm und 40 cm dreht sich um eine äußere Achse, die parallel zur größeren Seite verläuft und sich in einem Abstand von 3 cm von dieser befindet (die Achse liegt in der Ebene des Dreiecks). Finden Sie die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers.

Lösung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 38).

Die Oberfläche des resultierenden Rotationskörpers besteht aus den Mantelflächen zweier Kegelstümpfe und der Mantelfläche eines Zylinders. Um diese Flächen zu berechnen, ist es notwendig, die Radien der Grundflächen der Kegel und des Zylinders zu kennen ( SEI Und O.C.), Kegel bildend ( B.C. Und A.C.) und Zylinderhöhe ( AB). Das einzige Unbekannte ist CO. Dies ist der Abstand von der Seite des Dreiecks zur Drehachse. Wir werden finden Gleichstrom. Die Fläche des Dreiecks ABC auf einer Seite ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Seite AB und der darauf bezogenen Höhe Gleichstrom Da wir hingegen alle Seiten des Dreiecks kennen, berechnen wir dessen Fläche mithilfe der Heron-Formel.

und eine Ebene parallel zur Basis ( Reis. ). Das Volumen des Vereinigten Königreichs ist gleich , Wo R 1 und R 2 – Grundradien, H - Höhe.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

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ABGESCHNITTEN, abgeschnitten, abgeschnitten; abgeschnitten, abgeschnitten, abgeschnitten. 1. Abs. leiden Vergangenheit vr. von truncate (Buch). 2. Eines, bei dem der obere Teil durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird (etwa ein Kegel, eine Pyramide; mat.). Frustum. Pyramidenstumpf... Uschakows erklärendes Wörterbuch

gekürzt- oh, oh.; Mathematik. Eine, bei der der obere Teil durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird. Frustum. Die Pyramide... Wörterbuch vieler Ausdrücke

ABGESCHNITTEN, oh, oh. In der Mathematik: einer, bei dem der apikale Teil abgetrennt ist, abgeschnitten durch eine Ebene parallel zur Basis. U. Kegel. Pyramidenstumpf. Ozhegovs erklärendes Wörterbuch. S.I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992 … Ozhegovs erklärendes Wörterbuch

Aya, oh. 1. Abs. leiden Vergangenheit von abschneiden. 2. in der Bedeutung adj. Matte. Eines, bei dem der obere Teil durch eine Ebene parallel zur Basis abgeschnitten wird. Frustum. Pyramidenstumpf. 3. in der Bedeutung adj. Gramm., lit. Mit Kürzung (2 Ziffern), was bedeutet... Kleines wissenschaftliches Wörterbuch

Gerader kreisförmiger Kegel. Direkt und... Wikipedia

- (lateinisch conus, von griech. konos) konische Oberfläche ist eine Menge gerader Linien (Generatoren) des Raumes, die alle Punkte einer bestimmten Linie (Führung) mit einem gegebenen Punkt (Scheitelpunkt) des Raumes verbinden. Das einfachste K. ist rund oder gerade kreisförmig und richtet sich nach ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

- (lateinisch conus, von griech. konos) (Mathematik), 1) K. oder konische Oberfläche, der geometrische Ort gerader Linien (Generatoren) des Raums, die alle Punkte einer bestimmten Linie (Führung) mit einem gegebenen Punkt (Scheitelpunkt) verbinden. Raum.… … Große sowjetische Enzyklopädie

Die Welt um uns herum ist dynamisch und vielfältig und nicht jedes Objekt lässt sich einfach mit einem Lineal messen. Für eine solche Übertragung kommen spezielle Techniken zum Einsatz, beispielsweise die Triangulation. Die Notwendigkeit, komplexe Entwicklungen zusammenzustellen, ist in der Regel ... ... Wikipedia

- Dies ist ein Teil eines Kegels, der zwischen zwei parallelen Grundflächen senkrecht zu seiner Symmetrieachse begrenzt ist. Die Grundflächen des Kegels sind geometrische Kreise.

Einen Kegelstumpf erhält man, indem man ein rechteckiges Trapez um seine Seite dreht, die seiner Höhe entspricht. Der Rand des Kegels ist ein Kreis mit dem Radius R, ein Kreis mit dem Radius r und die Mantelfläche des Kegels. Die Mantelfläche des Kegels wird bei seiner Drehung durch die Mantelfläche des Trapezes beschrieben.

Die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes durch die Führung und die Radien seiner Grundflächen

Bei der Ermittlung der Fläche ist es sinnvoller, die Mantelfläche eines Kegelstumpfes als Differenz zwischen der Mantelfläche des Kegels und der Mantelfläche des abgeschnittenen Kegels zu betrachten.

Von einem gegebenen Kegel AMB sei der Kegel A`MB` abgeschnitten. Es ist notwendig, die Seitenfläche des Kegelstumpfes AA`B`B zu berechnen. Es ist bekannt, dass die Radien seiner Basen AO=R, A`O` =r sind, der Generator ist gleich L. Bezeichnen wir MB` als x. Dann ist die Mantelfläche des Kegels A`MB` gleich πrx. Und die Mantelfläche des Kegels AMB wird gleich πR(L+x) sein.
Dann kann die Mantelfläche des Kegelstumpfes AA`B`B durch die Differenz zwischen der Mantelfläche des Kegels AMB und dem Kegel A`MB` ausgedrückt werden:

Die Dreiecke OMB und O`MB` sind hinsichtlich der Winkelgleichheit ∠(MOB) = ∠(MO`B`) und ∠(OMB) = ∠(O`MB`) ähnlich. Aus der Ähnlichkeit dieser Dreiecke folgt:
Verwenden wir die Ableitung des Anteils. Wir haben:
Von hier aus finden wir x:
Wenn wir diesen Ausdruck in die Mantelflächenformel einsetzen, erhalten wir:
Somit ist die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes gleich dem Produkt der Zahl π durch seine Führung und der Summe der Radien seiner Grundflächen.

Ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche eines Kegelstumpfes, wenn dessen Radius und Mantellinie bekannt sind
Der Radius der größeren Basis, des Generators und die Höhe des Kegelstumpfes betragen jeweils 7, 5 und 4 cm. Finden Sie die Mantelfläche des Kegels.
Der axiale Abschnitt des Kegelstumpfes ist ein gleichschenkliges Trapez mit den Grundflächen 2R und 2r. Die Mantellinie des Kegelstumpfes, die die Seite des Trapezes darstellt, die Höhe der Behaarung an der großen Basis und der Unterschied in den Radien der Basis des Kegelstumpfes bilden ein ägyptisches Dreieck. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Seitenverhältnis von 3:4:5. Gemäß den Bedingungen des Problems beträgt die Erzeugende 5 und die Höhe 4, dann beträgt der Unterschied in den Radien der Basis des Kegelstumpfes 3.
Wir haben:
L=5
R=7
R=4
Die Formel für die Mantelfläche eines Kegelstumpfes lautet wie folgt:

Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:

Mantelfläche eines Kegelstumpfes durch eine Führung und mittleren Radius

Der durchschnittliche Radius eines Kegelstumpfes ist gleich der Hälfte der Summe der Radien seiner Grundflächen:


Dann lässt sich die Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes wie folgt darstellen:

Die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Mittelteils und seiner Erzeugenden.

Die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes durch die Radien seiner Grundfläche und den Neigungswinkel der Erzeugenden zur Grundebene

Wenn die kleinere Basis orthogonal auf die größere Basis projiziert wird, hat die Projektion der Mantelfläche des Kegelstumpfs die Form eines Rings, dessen Fläche nach folgender Formel berechnet wird:

Dann:

Mantelfläche eines Kegelstumpfes nach Archimedes

Die Fläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich der Fläche eines Kreises, dessen Radius das durchschnittliche Verhältnis zwischen der Erzeugenden und der Summe der Radien seiner Grundflächen ist

Vollständige Oberfläche eines Kegelstumpfes

Die Gesamtoberfläche eines Kegels ist die Summe der Fläche seiner Mantelfläche und der Fläche der Kegelbasen:

Die Grundflächen des Kegels sind Kreise mit den Radien R und r. Ihre Fläche ist gleich dem Produkt aus der Zahl mal dem Quadrat ihres Radius:


Die Mantelfläche wird nach folgender Formel berechnet:

Dann beträgt die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfs:

Die Formel sieht so aus:

Ein Beispiel für die Berechnung der Gesamtoberfläche eines Kegelstumpfes, wenn dessen Radius und Mantellinie bekannt sind
Der Radius der Basis des Kegelstumpfes beträgt 1 und 7 dm, und die Diagonalen des Axialschnitts stehen senkrecht zueinander. Finden Sie die Gesamtfläche eines Kegelstumpfes
Der axiale Abschnitt des Kegelstumpfes ist ein gleichschenkliges Trapez mit den Grundflächen 2R und 2r. Das heißt, die Grundflächen des Trapezes betragen 2 bzw. 14 dm. Da die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander stehen, ist die Höhe gleich der Hälfte der Summe seiner Grundflächen. Dann:

Die Mantellinie des Kegelstumpfes, also die Seite des Trapezes, die Höhe der Behaarung an der großen Grundfläche und der Unterschied in den Radien der Grundfläche des Kegelstumpfes bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir die Erzeugende eines Kegelstumpfes:

Die Formel für die Gesamtoberfläche eines Kegelstumpfes lautet wie folgt:

Wenn wir die Werte aus den Problembedingungen und den gefundenen Werten ersetzen, erhalten wir: