Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit der Spitze m. Lektion „Volumen eines Kegels. Ellipse, Hyperbel und Parabel als Kegelschnitte

Die diagnostische Arbeit besteht aus zwei Teilen, darunter 19 Aufgaben. Teil 1 enthält 8 Aufgaben einer einfachen Schwierigkeitsstufe mit einer kurzen Antwort. Teil 2 enthält 4 Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad mit kurzer Antwort und 7 Aufgaben mit erhöhtem und hohem Schwierigkeitsgrad mit ausführlicher Antwort.
3 Stunden 55 Minuten (235 Minuten) stehen für diagnostische Arbeiten in Mathematik zur Verfügung.
Die Antworten auf die Aufgaben 1-12 werden als ganze Zahl oder als letzter Dezimalbruch geschrieben. Schreiben Sie die Zahlen in die Antwortfelder im Text der Arbeit und übertragen Sie sie dann auf den Antwortbogen Nr. 1. Wenn Sie die Aufgaben 13-19 erledigen, müssen Sie die vollständige Lösung und die Antwort auf den Antwortbogen Nr. 2.
Alle Formulare sind mit hellschwarzer Tinte ausgefüllt. Die Verwendung von Gel-, Kapillar- oder Füllfederhaltern ist erlaubt.
Beim Abschließen von Aufgaben können Sie einen Entwurf verwenden. Entwürfe zählen nicht zur Bewertung der Arbeit.
Die Punkte, die Sie für abgeschlossene Aufgaben erhalten, werden summiert.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Aufgabenbedingungen

1. Finde wenn
2. Um im Labor ein vergrößertes Bild einer Glühbirne auf dem Bildschirm zu erhalten, wird eine Sammellinse mit einer Hauptbrennweite = 30 cm verwendet, wobei der Abstand von der Linse zur Glühbirne von 40 bis 65 cm und der Abstand variieren kann vom Objektiv zum Bildschirm - im Bereich von 75 bis 100 cm Das Bild auf dem Bildschirm ist klar, wenn das Verhältnis eingehalten wird. Geben Sie den größten Abstand zum Objektiv an, in dem die Glühbirne platziert werden kann, damit ihr Bild auf dem Bildschirm klar ist. Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.
3. Das Schiff fährt 300 km entlang des Flusses zum Ziel und kehrt nach dem Parken zum Abfahrtsort zurück. Finden Sie die Strömungsgeschwindigkeit, wenn die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser 15 km / h beträgt, das Parken 5 Stunden dauert und das Schiff 50 Stunden nach dem Verlassen zum Abfahrtsort zurückkehrt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.
4. Finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment
5. a) Lösen Sie die Gleichung b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zu dem Segment gehören
6. Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einer Spitze M. Axialschnitt des Kegels - ein Dreieck mit einem Winkel von 120 ° an der Spitze M. Der Kegelgenerator ist . Durch den Punkt M Ein Abschnitt des Kegels wird senkrecht zu einem der Generatoren gezeichnet.
   a) Beweisen Sie, dass das resultierende Dreieck ein stumpfes Dreieck ist.
   b) Finden Sie den Abstand vom Mittelpunkt UM der Basis des Kegels zur Ebene des Schnitts.
7. Löse die Gleichung
8. Kreis mit Mittelpunkt UM berührt die Seite AB gleichschenkligen Dreiecks ABC, seitliche Erweiterungen AC und Fortführung der Stiftung Sonne am Punkt N. Punkt M- Mitte der Basis Sonne.
   a) Beweisen Sie das MN=AC.
   b) Finden Betriebssystem, wenn die Seiten des Dreiecks ABC sind 5, 5 und 8.
9. Das Geschäftsvorhaben „A“ geht von einer Steigerung der darin investierten Beträge um jährlich 34,56 % in den ersten zwei Jahren und um jährlich 44 % in den nächsten zwei Jahren aus. Projekt B geht von einem Wachstum um eine konstante ganze Zahl aus N Prozent jährlich. Finden Sie den kleinsten Wert N, wonach das Projekt "B" in den ersten vier Jahren rentabler sein wird als das Projekt "A".
10. Finden Sie alle Werte der Parameter , , für die jeweils das Gleichungssystem hat die einzige Lösung
11. Anya spielt ein Spiel: Auf dem Brett sind zwei verschiedene natürliche Zahlen geschrieben und , beide sind kleiner als 1000. Wenn beide natürliche Zahlen sind, macht Anya einen Zug - sie ersetzt die vorherigen durch diese beiden Zahlen. Wenn mindestens eine dieser Zahlen keine natürliche Zahl ist, endet das Spiel.
    a) Kann das Spiel genau drei Züge lang gehen?
    b) Gibt es zwei Anfangszahlen, sodass das Spiel mindestens 9 Züge dauert?
    c) Anya hat den ersten Zug im Spiel gemacht. Finden Sie das größtmögliche Verhältnis des Produkts der erhaltenen zwei Zahlen zum Produkt

TEXT ERLÄUTERUNG DER LEKTION:

Wir studieren weiterhin den Abschnitt der Festkörpergeometrie "Körper der Revolution".

Zu den Rotationskörpern gehören: Zylinder, Kegel, Kugeln.

Erinnern wir uns an die Definitionen.

Die Höhe ist der Abstand von der Oberseite einer Figur oder eines Körpers zur Basis der Figur (Körper). Andernfalls ein Segment, das die Ober- und Unterseite der Figur verbindet und senkrecht dazu steht.

Denken Sie daran, um die Fläche eines Kreises zu finden, multiplizieren Sie Pi mit dem Quadrat des Radius.

Die Fläche des Kreises ist gleich.

Erinnern Sie sich, wie Sie die Fläche eines Kreises finden und den Durchmesser kennen? Als

setzen wir es in die Formel:

Ein Kegel ist auch ein Rotationskörper.

Ein Kegel (genauer gesagt ein Kreiskegel) ist ein Körper, der aus einem Kreis besteht – der Basis des Kegels, einem Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt – der Spitze des Kegels und allen Segmenten, die die Spitze verbinden der Kegel mit den Spitzen der Basis.

Machen wir uns mit der Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels vertraut.

Satz. Das Volumen eines Kegels entspricht einem Drittel der Grundfläche multipliziert mit der Höhe.

Beweisen wir diesen Satz.

Gegeben: ein Kegel, S ist die Fläche seiner Basis,

h ist die Höhe des Kegels

Beweisen Sie: V=

Beweis: Betrachten Sie einen Kegel mit Volumen V, Basisradius R, Höhe h und Spitze im Punkt O.

Lassen Sie uns die Achse Ox durch OM, die Achse des Kegels, einführen. Ein beliebiger Schnitt eines Kegels durch eine Ebene senkrecht zur x-Achse ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt

M1 - der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Ox. Lassen Sie uns den Radius dieses Kreises als R1 und die Querschnittsfläche als S(x) bezeichnen, wobei x die Abszisse des Punktes M1 ist.

Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke OM1A1 und OMA (ے OM1A1 = ے OMA - gerade Linien, ےMOA-gemeinsam, was bedeutet, dass die Dreiecke in zwei Winkeln ähnlich sind) folgt das

Die Figur zeigt, dass OM1=x, OM=h

oder woraus wir durch die Eigenschaft der Proportionen R1 = finden.

Da der Schnitt ein Kreis ist, dann S (x) \u003d πR12, ersetzen wir den vorherigen Ausdruck anstelle von R1, die Schnittfläche ist gleich dem Verhältnis des Produkts von Quadrat zu Quadrat x zum Quadrat der Höhe:

Wenden wir die Grundformel an

Berechnung der Körpervolumina mit a=0, b=h erhalten wir den Ausdruck (1)

Da die Basis des Kegels ein Kreis ist, ist die Fläche S der Basis des Kegels gleich dem Quadrat des Pfeilers

In der Formel zur Berechnung des Volumens eines Körpers ersetzen wir den Wert des Quadrats des Pfeilers durch die Fläche der Basis und erhalten, dass das Volumen des Kegels einem Drittel des Flächenprodukts entspricht der Basis und der Höhe

Der Satz ist bewiesen.

Korollar des Satzes (Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes)

Das Volumen V eines Kegelstumpfes, dessen Höhe h ist, und die Flächen der Basen S und S1, werden durch die Formel berechnet

Ve ist gleich einem Drittel der Asche multipliziert mit der Summe der Grundflächen und der Quadratwurzel des Produkts der Grundflächen.

Probleme lösen

Ein rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln von 3 cm und 4 cm dreht sich um die Hypotenuse. Bestimmen Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Wenn sich das Dreieck um die Hypotenuse dreht, erhalten wir einen Kegel. Bei der Lösung dieses Problems ist es wichtig zu verstehen, dass zwei Fälle möglich sind. In jedem von ihnen wenden wir die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels an: Das Volumen eines Kegels ist gleich einem Drittel des Produkts aus der Basis und der Höhe

Im ersten Fall sieht die Zeichnung so aus: Ein Kegel ist gegeben. Sei Radius r = 4, Höhe h = 3

Die Fläche der Basis ist gleich dem Produkt aus π mal dem Quadrat des Radius

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus π mal dem Quadrat des Radius mal der Höhe.

Ersetzen Sie den Wert in der Formel, es stellt sich heraus, dass das Volumen des Kegels 16π beträgt.

Im zweiten Fall etwa so: einen Kegel gegeben. Sei Radius r = 3, Höhe h = 4

Das Volumen eines Kegels ist gleich einem Drittel der Grundfläche multipliziert mit der Höhe:

Die Fläche der Basis ist gleich dem Produkt aus π mal dem Quadrat des Radius:

Dann ist das Volumen des Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus π mal dem Quadrat des Radius mal der Höhe:

Ersetzen Sie den Wert in der Formel, es stellt sich heraus, dass das Volumen des Kegels 12π beträgt.

Antwort: Das Volumen des Kegels V ist 16 π oder 12 π

Aufgabe 2. Gegeben sei ein gerader Kreiskegel mit einem Radius von 6 cm, Winkel BCO = 45 .

Finde das Volumen des Kegels.

Lösung: Für diese Aufgabe wird eine fertige Zeichnung mitgegeben.

Schreiben wir die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Kegels:

Wir drücken es durch den Radius der Basis R aus:

Wir finden h \u003d BO konstruktionsbedingt, - rechteckig, weil Winkel BOC=90 (die Summe der Winkel eines Dreiecks), die Winkel an der Basis sind gleich, also ist das Dreieck ΔBOC gleichschenklig und BO=OC=6 cm.

V-Zylinder \u003d S Haupt. H

Beispiel 2 Bei einem gleichseitigen geraden Kreiskegel ABC ist BO = 10. Finde das Volumen des Kegels.

Lösung

Finden Sie den Radius der Basis des Kegels. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Lassen Sie OS = A, dann BC = 2 A. Nach dem Satz des Pythagoras:

Antworten: .

Beispiel 3. Berechnen Sie die Volumen der Figuren, die durch die Drehung der durch die angegebenen Linien begrenzten Bereiche gebildet werden.

y2=4x; y=0; x=4.

Integrationsgrenzen a = 0, b = 4.

V= | =32π

Aufgaben

Variante 1

1. Der Axialschnitt des Zylinders ist ein Quadrat, dessen Diagonale 4 dm beträgt. Berechne das Volumen des Zylinders.

2. Der Außendurchmesser der Hohlkugel beträgt 18 cm, die Wandstärke 3 cm, ermittle das Volumen der Kugelwände.

X Figur begrenzt durch Linien y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Option 2

1. Die Radien von drei Kugeln sind 6 cm, 8 cm, 10 cm Bestimmen Sie den Radius der Kugel, deren Volumen gleich der Summe der Volumina dieser Kugeln ist.

2. Die Grundfläche des Kegels beträgt 9 cm 2, seine Gesamtfläche 24 cm 2. Finde das Volumen des Kegels.

3. Berechnen Sie das Volumen des durch Rotation um die O-Achse gebildeten Körpers X Figur begrenzt durch Linien y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Kontrollfragen:

1. Schreiben Sie die Eigenschaften von Volumen von Körpern.

2. Schreiben Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers um die Oy-Achse.

Städtische Bildungseinrichtung

Alekseevskaya-Sekundarschule

"Bildungszentrum"

Unterrichtsentwicklung

Betreff: DIREKTER KREISKEGEL.

ABSCHNITT EINES KEGELS DURCH FLUGZEUGE

Mathematiklehrer

Schuljahr

Betreff: DIREKTER KREISKEGEL.

ABSCHNITT EINES KEGELS DURCH FLUGZEUGE.

Das Ziel des Unterrichts: die Definitionen eines Kegels und untergeordneter Konzepte (Scheitel, Basis, Generatoren, Höhe, Achse) zu analysieren;

Betrachten Sie Abschnitte des Kegels, die durch den Scheitelpunkt verlaufen, einschließlich der axialen;

die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler zu fördern.

Lernziele:

Lehrreich: die grundlegenden Konzepte eines Rotationskörpers (Kegel) zu studieren.

Entwicklung: die Bildung der Analyse- und Vergleichsfähigkeiten fortzusetzen; Fähigkeit, die Hauptsache hervorzuheben, Schlussfolgerungen zu formulieren.

Lehrreich: Förderung des Interesses der Schüler am Lernen, Vermittlung von Kommunikationsfähigkeiten.

Unterrichtstyp: Vorlesung.

Lehrmethoden: reproduktiv, problematisch, teilweise suchen.

Ausrüstung: Tisch, Modelle von Revolutionskörpern, Multimedia-Ausstattung.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren.

In den vorherigen Lektionen haben wir uns bereits mit den Rotationskörpern vertraut gemacht und uns ausführlicher mit dem Konzept eines Zylinders beschäftigt. Auf dem Tisch sehen Sie zwei Zeichnungen und formulieren in Zweierarbeit die richtigen Fragen zum behandelten Thema.

P. Überprüfung der Hausaufgaben.

Arbeiten Sie zu zweit anhand einer thematischen Tabelle (ein in einen Zylinder eingeschriebenes Prisma und ein in der Nähe des Zylinders beschriebenes Prisma).

Beispielsweise können die Schüler zu zweit und einzeln die folgenden Fragen stellen:

Was ist ein Kreiszylinder (Zylindermantel, Zylinderfuß, Zylinderseitenfläche)?

Welches Prisma wird in der Nähe eines Zylinders eingeschrieben genannt?

Welche Ebene heißt Tangente an den Zylinder?

Welche Formen sind Polygone? ABC, A1 B1 C1 , ABCDEUndA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Was für ein Prisma ist ein Prisma? ABCDEABCDE? (GeradeMein.)

- Beweisen Sie, dass es sich um ein gerades Prisma handelt.

(wahlweise erledigen 2 Schülerpaare an der Tafel die Arbeit)

III. Aktualisierung des Grundwissens.

Nach dem Material der Planimetrie:

Satz von Thales;

Eigenschaften der Mittellinie eines Dreiecks;

Fläche eines Kreises.

Nach dem Material der Stereometrie:

Konzept Homothetie;

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene.

IV.Neues Material lernen.

(Bildungs- und Methodenset „Mathematik leben », Anhang 1.)

Nach der Präsentation des Materials wird ein Arbeitsplan vorgeschlagen:

1. Definition eines Kegels.

2. Definition eines geraden Kegels.

3. Elemente eines Kegels.

4. Entwicklung des Kegels.

5. Erhalt eines Kegels als Rotationskörper.

6. Arten von Abschnitten des Kegels.

Antworten auf diese Fragen finden die Schülerinnen und Schüler selbstständig.Kinder in den Absätzen 184-185, begleitet von Zeichnungen.

Valeologische Pause: Müde? Ruhen wir uns aus vor dem nächsten praktischen Arbeitsschritt!

Massage der Reflexzonen an der Ohrmuschel, die für die Arbeit der inneren Organe verantwortlich sind;

· Massage der Reflexzonen an den Handinnenflächen;

Augengymnastik (Augen schielen und scharf öffnen);

Dehnung der Wirbelsäule (Heben Sie Ihre Arme hoch, ziehen Sie sich mit der rechten und dann mit der linken Hand hoch)

Atemübungen, die darauf abzielen, das Gehirn mit Sauerstoff zu sättigen (5 Mal scharf durch die Nase einatmen)

Eine thematische Tabelle wird erstellt (zusammen mit dem Lehrer), die das Ausfüllen der Tabelle mit Fragen und Materialien aus verschiedenen Quellen (Lehrbuch und Computerpräsentation) begleitet.

"Kegel. Frust".

ThematischTisch 1. Kegel (gerade, kreisförmig) wird der Körper genannt, den man erhält, wenn man ein rechtwinkliges Dreieck um eine gerade Linie dreht, die ein Bein enthält. Punkt M - Scheitel Kegel, Kreis mit Mittelpunkt UM – BaseKegel, Liniensegment MA=l umEntwicklung Kegel, Segment MO= H - Kegelhöhe, Liniensegment OA= R - Basisradius, Abschnitt Sonne= 2 R - Basisdurchmesservanija, Dreieck MVS -Axialschnitt, < BMC - Ecke am oberen Ende des Axialschnitts, < MBO - Eckedie Neigung der Erzeugenden zur EbeneGrundknochen _________________________________________ 2. Kegelentwicklung- Sektor Kreis und Kreis. < BMBl = A - Sweep-Winkel. Sweep-Bogenlänge BCV1 =2π R = la . Seitenfläche S. = π R l Gesamtfläche (Kehrfläche) S= π R ( l + R )	Kegel Körper genannt, der aus einem Kreis besteht - Gründe Kegel, ein Punkt, der nicht in der Ebene dieses Kreises liegt, - Spitzen Kegel und alle Segmente, die die Spitze des Kegels mit den Spitzen der Basis verbinden - Generatoren ______________________________
3. Kegelschnitte durch Ebenen
Schnitt eines Kegels durch eine durchlaufende Ebene durch die Spitze des Kegels, - gleichschenkliges Dreieck AMB: AM=VM - Generatoren des Kegels, AB - Sehne; Axialschnitt- gleichschenkliges Dreieck AMB: AM=BM - Generatoren des Kegels, AB - Durchmesser der Basis.
Der Schnitt des Kegels durch eine Ebene senkrecht zur Kegelachse, - Kreis; schräg zur Kegelachse - Ellipse.
Kegelstumpf bezeichnet den Teil des Kegels, der zwischen der Basis und dem Abschnitt des Kegels parallel zur Basis eingeschlossen ist. Kreise mit Zentren 01 Und Ö2 - obere und untere Basis Kegelstumpf, d undR - Grundradien, Liniensegment AB= l - Erzeugende, ά - Steigungswinkel der Erzeugendenzum Flugzeug untere Basis, Liniensegment 01O2 -Höhe(Abstand zwischen WohnungGründe), Trapez A B C D - Axialschnitt.

v.Fixieren des Materials.

Frontarbeit.

· Mündlich (unter Verwendung einer fertigen Zeichnung) Nr. 9 und Nr. 10 sind gelöst.

(zwei Schüler erklären die Lösung von Aufgaben, der Rest kann sich in Heften kurze Notizen machen)

Nr. 9. Der Radius der Basis des Kegels beträgt 3 m, die Höhe des Kegels 4 m. finden Sie die Erzeugende.

(Lösung:l=√ R2 + H2 =√32+42=√25=5m.)

Nr. 10 Einen Kegel bilden l in einem Winkel von 30° zur Grundebene geneigt. Finden Sie die Höhe.

(Lösung:H = l Sünde 30◦ = l|2.)

· Lösen Sie das Problem gemäß der fertigen Zeichnung.

Die Höhe des Kegels ist h. Durch Generatoren MA Und MB Es wird eine Ebene gezeichnet, die einen Winkel bildet A mit der Ebene der Basis des Kegels. Akkord AB verengt einen Bogen mit einem Gradmaß R.

1. Beweisen Sie, dass der Schnitt eines Kegels durch eine Ebene MAV- gleichschenkligen Dreiecks.

2. Erklären Sie, wie man den linearen Winkel eines Flächenwinkels konstruiert, der durch die Sekantenebene und die Ebene der Kegelbasis gebildet wird.

3. Finden MS.

4. Erstellen (und erklären) Sie einen Plan zur Berechnung der Akkordlänge AB und Schnittfläche MAV.

5. Zeigen Sie in der Abbildung, wie Sie von einem Punkt aus eine Senkrechte ziehen können UM zur Schnittebene MAV(begründen Sie die Konstruktion).

· Wiederholung:

untersuchtes Material aus der Planimetrie:

Definition eines gleichschenkligen Dreiecks;

Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks;

Fläche eines Dreiecks

untersuchtes Material aus der Stereometrie:

Bestimmung des Winkels zwischen Ebenen;

Ein Verfahren zum Konstruieren eines linearen Winkels eines Diederwinkels.

Selbsttest

1. Zeichnen Sie Rotationskörper, die durch die Drehung der in der Abbildung gezeigten flachen Figuren gebildet werden.

2. Geben Sie die Rotation an, aus der die flache Figur den abgebildeten Rotationskörper hervorgebracht hat.