Wenn die Vektoren senkrecht stehen, dann. Rechtwinkligkeitsbedingung auf der Koordinatenebene

Dieser Artikel enthüllt die Bedeutung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren auf einer Ebene im dreidimensionalen Raum und das Ermitteln der Koordinaten eines Vektors senkrecht zu einem oder einem ganzen Vektorpaar. Das Thema ist auf Probleme anwendbar, die Gleichungen von Linien und Ebenen betreffen.

Wir betrachten die notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren, lösen die Methode zum Finden eines Vektors senkrecht zu einem gegebenen Vektor und gehen auf Situationen ein, in denen ein Vektor gefunden wird, der senkrecht zu zwei Vektoren steht.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren

Wenden wir die Regel über senkrechte Vektoren in der Ebene und im dreidimensionalen Raum an.

Definition 1

Vorausgesetzt, der Winkel zwischen zwei Nicht-Null-Vektoren beträgt 90 ° (π 2 Bogenmaß). aufrecht.

Was bedeutet das und in welchen Situationen ist es notwendig, ihre Rechtwinkligkeit zu kennen?

Die Herstellung der Rechtwinkligkeit ist durch die Zeichnung möglich. Wenn Sie einen Vektor auf einer Ebene aus bestimmten Punkten zeichnen, können Sie den Winkel zwischen ihnen geometrisch messen. Selbst wenn die Rechtwinkligkeit der Vektoren festgestellt wird, ist sie nicht ganz genau. Meistens ist es bei diesen Aufgaben nicht möglich, dies mit einem Winkelmesser zu tun, daher ist diese Methode nur anwendbar, wenn nichts anderes über die Vektoren bekannt ist.

Die meisten Fälle zum Nachweis der Rechtwinkligkeit zweier Nicht-Null-Vektoren in einer Ebene oder im Raum werden mithilfe von durchgeführt notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren.

Satz 1

Für ihre Rechtwinkligkeit reicht das Skalarprodukt zweier Nicht-Null-Vektoren a → und b → gleich Null aus, um die Gleichheit a → , b → = 0 zu erfüllen.

Beweis 1

Seien die gegebenen Vektoren a → und b → senkrecht, dann beweisen wir die Gleichheit a ⇀ , b → = 0 .

Aus der Definition von Skalarprodukt von Vektoren wir wissen, dass es gleich ist das Produkt der Längen gegebener Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Per Bedingung stehen a → und b → senkrecht aufeinander, was bedeutet, dass der Winkel zwischen ihnen laut Definition 90° beträgt. Dann gilt a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Zweiter Teil des Beweises

Vorausgesetzt, dass a ⇀, b → = 0, beweisen Sie die Rechtwinkligkeit von a → und b →.

Tatsächlich ist der Beweis das Gegenteil des vorherigen. Es ist bekannt, dass a → und b → ungleich Null sind, was bedeutet, dass wir aus der Gleichheit a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ den Kosinus ermitteln. Dann erhalten wir cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Da der Kosinus Null ist, können wir daraus schließen, dass der Winkel a →, b → ^ der Vektoren a → und b → gleich 90° ist. Per Definition ist dies eine notwendige und ausreichende Eigenschaft.

Rechtwinkligkeitsbedingung auf der Koordinatenebene

Kapitel Skalarprodukt in Koordinaten demonstriert die Ungleichung (a → , b →) = a x · b x + a y · by , gültig für Vektoren mit den Koordinaten a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y), in der Ebene und (a → , b → ) = a x · b x + a y · by für Vektoren a → = (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) im Raum. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren in der Koordinatenebene ist a x · b x + a y · b y = 0, für den dreidimensionalen Raum ist a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

Lassen Sie es uns in die Praxis umsetzen und uns Beispiele ansehen.

Beispiel 1

Überprüfen Sie die Eigenschaft der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Lösung

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie das Skalarprodukt finden. Wenn es gemäß der Bedingung gleich Null ist, dann stehen sie senkrecht.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Die Bedingung ist erfüllt, was bedeutet, dass die angegebenen Vektoren senkrecht zur Ebene stehen.

Antwort: ja, die gegebenen Vektoren a → und b → stehen senkrecht zueinander.

Beispiel 2

Gegeben sind die Koordinatenvektoren i → , j → , k →. Prüfen Sie, ob die Vektoren i → - j → und i → + 2 · j → + 2 · k → senkrecht sein können.

Lösung

Um sich daran zu erinnern, wie Vektorkoordinaten bestimmt werden, müssen Sie den Artikel darüber lesen Vektorkoordinaten in einem rechteckigen Koordinatensystem. Somit finden wir, dass die gegebenen Vektoren i → - j → und i → + 2 · j → + 2 · k → entsprechende Koordinaten (1, - 1, 0) und (1, 2, 2) haben. Wir ersetzen die Zahlenwerte und erhalten: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Der Ausdruck ist ungleich Null, (i → + 2 j → + 2 k →, i → – j →) ≠ 0, was bedeutet, dass die Vektoren i → – j → und i → + 2 j → + 2 k → stehen nicht senkrecht, da die Bedingung nicht erfüllt ist.

Antwort: Nein, die Vektoren i → - j → und i → + 2 · j → + 2 · k → stehen nicht senkrecht zueinander.

Beispiel 3

Gegeben sind die Vektoren a → = (1, 0, - 2) und b → = (λ, 5, 1). Finden Sie den Wert von λ, bei dem diese Vektoren senkrecht stehen.

Lösung

Wir verwenden die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren im Raum in quadratischer Form, dann erhalten wir

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Antwort: die Vektoren stehen senkrecht beim Wert λ = 2.

Es gibt Fälle, in denen die Frage der Rechtwinkligkeit selbst unter einer notwendigen und hinreichenden Bedingung unmöglich ist. Angesichts der bekannten Daten zu den drei Seiten eines Dreiecks auf zwei Vektoren ist es möglich, sie zu finden Winkel zwischen Vektoren und schau es dir an.

Beispiel 4

Gegeben sei ein Dreieck A B C mit den Seiten A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Überprüfen Sie die Vektoren A B → und A C → auf Rechtwinkligkeit.

Lösung

Wenn die Vektoren A B → und A C → senkrecht zueinander stehen, gilt das Dreieck A B C als rechteckig. Dann wenden wir den Satz des Pythagoras an, wobei B C die Hypotenuse des Dreiecks ist. Die Gleichheit B C 2 = A B 2 + A C 2 muss wahr sein. Daraus folgt, dass 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Das bedeutet, dass A B und A C Schenkel des Dreiecks A B C sind, daher stehen A B → und A C → senkrecht zueinander.

Es ist wichtig zu lernen, wie man die Koordinaten eines Vektors senkrecht zu einem bestimmten Vektor findet. Dies ist sowohl in der Ebene als auch im Raum möglich, sofern die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Einen Vektor senkrecht zu einem gegebenen Vektor in einer Ebene finden.

Ein Nicht-Null-Vektor a → kann unendlich viele senkrechte Vektoren auf der Ebene haben. Lassen Sie uns dies auf der Koordinatenlinie darstellen.

Gegeben sei ein Vektor ungleich Null a →, der auf der Geraden a liegt. Dann wird ein gegebenes b →, das sich auf einer beliebigen Geraden senkrecht zur Geraden a befindet, senkrecht zu a →. Wenn der Vektor i → senkrecht zum Vektor j → oder einem der Vektoren λ · j → steht, wobei λ einer beliebigen reellen Zahl ungleich Null entspricht, dann werden die Koordinaten des Vektors b → senkrecht zu a → = (a x , a y ermittelt ) wird auf eine unendliche Menge von Lösungen reduziert. Es ist jedoch notwendig, die Koordinaten des Vektors senkrecht zu a → = (a x , a y) zu finden. Dazu ist es notwendig, die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Vektoren in folgender Form aufzuschreiben: a x · b x + a y · b y = 0. Wir haben b x und b y, die die gewünschten Koordinaten des senkrechten Vektors sind. Wenn a x ≠ 0, ist der Wert von b y ungleich Null und b x kann aus der Ungleichung a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x berechnet werden. Für a x = 0 und a y ≠ 0 weisen wir b x einen beliebigen Wert ungleich Null zu und ermitteln b y aus dem Ausdruck b y = - a x · b x a y .

Beispiel 5

Gegeben sei ein Vektor mit den Koordinaten a → = (- 2 , 2) . Finden Sie einen Vektor senkrecht dazu.

Lösung

Bezeichnen wir den gewünschten Vektor als b → (b x , by) . Seine Koordinaten können aus der Bedingung ermittelt werden, dass die Vektoren a → und b → senkrecht zueinander stehen. Dann erhalten wir: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Weisen wir b y = 1 zu und ersetzen wir: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Daher erhalten wir aus der Formel b x = - 2 - 2 = 1 2. Das bedeutet, dass der Vektor b → = (1 2 , 1) ein Vektor senkrecht zu a → ist.

Antwort: b → = (1 2 , 1) .

Stellt sich die Frage nach dem dreidimensionalen Raum, wird das Problem nach dem gleichen Prinzip gelöst. Für einen gegebenen Vektor a → = (a x , a y , a z) gibt es unendlich viele senkrechte Vektoren. Wird dies auf einer dreidimensionalen Koordinatenebene fixieren. Gegeben sei ein →, das auf der Geraden a liegt. Die Ebene senkrecht zur Geraden a wird mit α bezeichnet. In diesem Fall ist jeder von Null verschiedene Vektor b → aus der Ebene α senkrecht zu a →.

Es ist notwendig, die Koordinaten von b → senkrecht zum Nicht-Null-Vektor a → = (a x , a y , a z) zu finden.

Sei b → mit den Koordinaten b x , by y und b z gegeben. Um sie zu finden, ist es notwendig, die Definition der Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren anzuwenden. Die Gleichung a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 muss erfüllt sein. Aus der Bedingung, dass a → ungleich Null ist, was bedeutet, dass eine der Koordinaten einen Wert ungleich Null hat. Nehmen wir an, dass a x ≠ 0, (a y ≠ 0 oder a z ≠ 0). Daher haben wir das Recht, die gesamte Ungleichung a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 durch diese Koordinate zu dividieren, wir erhalten den Ausdruck b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Wir weisen den Koordinaten b y und b x einen beliebigen Wert zu und berechnen den Wert von b x anhand der Formel b x = - a y · b y + a z · b z a x. Der gewünschte senkrechte Vektor hat den Wert a → = (a x, a y, a z).

Schauen wir uns den Beweis anhand eines Beispiels an.

Beispiel 6

Gegeben sei ein Vektor mit den Koordinaten a → = (1, 2, 3) . Finden Sie einen Vektor senkrecht zum gegebenen Vektor.

Lösung

Bezeichnen wir den gewünschten Vektor mit b → = (b x , by , b z) . Unter der Bedingung, dass die Vektoren senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt gleich Null sein.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y by y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Wenn der Wert von b y = 1, b z = 1, dann b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Daraus folgt, dass die Koordinaten des Vektors b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → ist einer der Vektoren senkrecht zum gegebenen.

Antwort: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Ermitteln der Koordinaten eines Vektors senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren

Wir müssen die Koordinaten des Vektors im dreidimensionalen Raum finden. Es steht senkrecht zu den nichtkollinearen Vektoren a → (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) . Vorausgesetzt, dass die Vektoren a → und b → kollinear sind, reicht es aus, im Problem einen Vektor senkrecht zu a → oder b → zu finden.

Beim Lösen wird das Konzept eines Vektorprodukts von Vektoren verwendet.

Vektorprodukt von Vektoren a → und b → ist ein Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu a → und b → steht. Um dieses Problem zu lösen, wird das Vektorprodukt a → × b → verwendet. Für den dreidimensionalen Raum hat es die Form a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Schauen wir uns das Vektorprodukt anhand einer Beispielaufgabe genauer an.

Beispiel 7

Gegeben sind die Vektoren b → = (0, 2, 3) und a → = (2, 1, 0). Finden Sie gleichzeitig die Koordinaten eines beliebigen Vektors senkrecht zu den Daten.

Lösung

Zur Lösung müssen Sie das Vektorprodukt von Vektoren ermitteln. (Bitte beachten Sie Absatz Berechnen der Determinante einer Matrix um den Vektor zu finden). Wir bekommen:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 – k → 1 0 – j → 2 3 – i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Antwort: (3 , - 6 , 4) - Koordinaten eines Vektors, der gleichzeitig senkrecht zu den gegebenen a → und b → steht.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Bedingung dafür, dass Vektoren senkrecht stehen

Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Gegeben sind zwei Vektoren a(xa;ya) und b(xb;yb). Diese Vektoren stehen senkrecht, wenn der Ausdruck xaxb + yayb = 0 ist.

Vektoren sind parallel, wenn ihr Kreuzprodukt Null ist

Gleichung einer Geraden in einer Ebene. Grundlegende Probleme auf einer geraden Linie im Flugzeug.

Jede gerade Linie auf der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung Ax + By + C = 0 angegeben werden, und die Konstanten A und B sind gleichzeitig ungleich Null, d. h. A2 + B2  0. Diese Gleichung erster Ordnung wird als allgemeine Geradengleichung bezeichnet. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich: - C = 0, A  0, B  0 – die Gerade geht durch den Ursprung - A = 0, B  0 , C  0 ( By

C = 0) - Gerade parallel zur Oy-Achse - B = 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - Gerade parallel zur Oy-Achse - B = C = 0, A  0 - Die Gerade fällt mit der Oy-Achse zusammen - A = C = 0, B  0 – die Gerade fällt mit der Ox-Achse zusammen. Die Gleichung der Geraden kann je nach gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Wenn mindestens einer der Koeffizienten A, B, C der Ebene Ax+By+C=0 gleich 0 ist, Ebene
angerufen unvollständig. Anhand der Form der Geradengleichung kann man deren Lage beurteilen
Ebenheit OXU. Mögliche Fälle:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) erfüllt diese Gleichung, was bedeutet, dass es gerade ist
geht durch den Ursprung
2 A=0 L: Ву+С=0 - normale Drehung n=(0,B) ist von hier aus senkrecht zur OX-Achse
Daraus folgt, dass die Gerade parallel zur OX-Achse verläuft
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - Nennwert n=(A,0) steht von hier aus senkrecht zur OY-Achse
Daraus folgt, dass die gerade Linie parallel zur Achse des Operationsverstärkers verläuft
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - geht nicht durch den Ursprung und schneidet
beide Achsen.

Gleichung einer Geraden auf einer Ebene, die durch zwei gegebene Punkte verläuft und:

Winkel zwischen Ebenen.

Berechnung von Determinanten

Die Berechnung von Determinanten basiert auf ihren bekannten Eigenschaften, die für Determinanten aller Ordnungen gelten. Dies sind die Eigenschaften:

1. Wenn Sie zwei Zeilen (oder zwei Spalten) der Determinante neu anordnen, ändert die Determinante ihr Vorzeichen.

2. Wenn die entsprechenden Elemente zweier Spalten (oder zweier Zeilen) der Determinante gleich oder proportional sind, dann ist die Determinante gleich Null.

3. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn Sie die Zeilen und Spalten vertauschen und dabei ihre Reihenfolge beibehalten.

4. Wenn alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser aus dem Determinantenzeichen entnommen werden.

5. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (oder Spalte) zu den Elementen einer Zeile (oder Spalte) addiert und mit derselben Zahl multipliziert werden.

Die Matrix und die darüber liegenden Aktionen

Matrix- ein mathematisches Objekt, das in Form einer rechteckigen Zahlentabelle (oder Elementen eines Rings) geschrieben ist und algebraische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation usw.) zwischen ihm und anderen ähnlichen Objekten ermöglicht. Typischerweise werden Matrizen als zweidimensionale (rechteckige) Tabellen dargestellt. Manchmal werden mehrdimensionale Matrizen oder nicht rechteckige Matrizen berücksichtigt.

Typischerweise wird die Matrix durch einen Großbuchstaben des lateinischen Alphabets gekennzeichnet und durch runde Klammern „(…)“ hervorgehoben (auch durch eckige Klammern „[…]“ oder doppelte gerade Linien „||…||“ gekennzeichnet).

Die Zahlen, aus denen die Matrix besteht (Matrixelemente), werden häufig mit demselben Buchstaben wie die Matrix selbst, jedoch in Kleinbuchstaben, bezeichnet (z. B. ist a11 ein Element der Matrix A).

Jedes Matrixelement hat 2 Indizes (aij) – das erste „i“ bezeichnet die Zeilennummer, in der sich das Element befindet, und das zweite „j“ bezeichnet die Spaltennummer. Sie sagen „dimensionale Matrix“, was bedeutet, dass die Matrix m Zeilen und n Spalten hat. Immer in der gleichen Matrix

Operationen auf Matrizen

Seien aij die Elemente der Matrix A und bij die Elemente der Matrix B.

Lineare Operationen:

Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Zahl λ (Symbol: λA) besteht aus der Konstruktion einer Matrix B, deren Elemente durch Multiplikation jedes Elements der Matrix A mit dieser Zahl erhalten werden, d. h. jedes Element der Matrix B ist gleich

Die Addition der Matrizen A + B ist die Operation zum Finden einer Matrix C, deren Elemente alle gleich der paarweisen Summe aller entsprechenden Elemente der Matrizen A und B sind, d. h. jedes Element der Matrix C ist gleich

Die Subtraktion der Matrizen A − B wird ähnlich wie die Addition definiert; hierbei handelt es sich um die Operation, eine Matrix C zu finden, deren Elemente

Addition und Subtraktion sind nur für Matrizen gleicher Größe zulässig.

Es gibt eine Nullmatrix Θ, so dass sich A nicht ändert, wenn man sie zu einer anderen Matrix A hinzufügt

Alle Elemente der Nullmatrix sind gleich Null.

Nichtlineare Operationen:

Die Matrixmultiplikation (Bezeichnung: AB, seltener mit einem Multiplikationszeichen) ist die Operation zur Berechnung einer Matrix C, deren Elemente gleich der Summe der Produkte der Elemente in der entsprechenden Zeile des ersten Faktors und der Spalte des zweiten sind .cij = ∑ aikbkj k

Der erste Faktor muss die gleiche Anzahl an Spalten haben wie die Anzahl an Zeilen im zweiten. Wenn Matrix A die Dimension B - hat, dann ist die Dimension ihres Produkts AB = C. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ. Nur quadratische Matrizen können potenziert werden.

Die Matrixtransposition (Symbol: AT) ist eine Operation, bei der die Matrix relativ zur Hauptdiagonale gespiegelt wird

Wenn A eine Größenmatrix ist, dann ist AT eine Größenmatrix

Ableitung einer komplexen Funktion

Die komplexe Funktion hat die Form: F(x) = f(g(x)), d.h. ist eine Funktion einer Funktion. Zum Beispiel: y = sin2x, y = ln(x2+2x) usw.

Wenn im Punkt x die Funktion g(x) die Ableitung g"(x) hat und im Punkt u = g(x) die Funktion f(u) die Ableitung f"(u) hat, dann ist die Ableitung von komplexe Funktion f(g(x)) am Punkt x existiert und ist gleich f"(u)g"(x).

Implizite Funktionsableitung

Bei vielen Problemen wird die Funktion y(x) implizit angegeben. Zum Beispiel für die folgenden Funktionen

Es ist unmöglich, die Abhängigkeit y(x) explizit zu ermitteln.

Der Algorithmus zur Berechnung der Ableitung y"(x) aus einer impliziten Funktion lautet wie folgt:

Sie müssen zunächst beide Seiten der Gleichung nach x differenzieren, indem Sie davon ausgehen, dass y eine differenzierbare Funktion von x ist, und die Regel zur Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion verwenden;

Lösen Sie die resultierende Gleichung nach der Ableitung y"(x).

Schauen wir uns zur Veranschaulichung einige Beispiele an.

Differenzieren Sie die durch die Gleichung gegebene Funktion y(x).

Differenzieren wir beide Seiten der Gleichung hinsichtlich der Variablen x:

was zum Ergebnis führt

Lapitals Regel

Die Herrschaft von L'Hopital. Die Funktionen f(x) und g(x) seien in der Umgebung vorhanden. t-ki x0 pr-nye f' und g' unter Ausschluss der Möglichkeit genau dieses t-tu x0. Sei lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0, so dass f(x)/g(x) für x®x0 0/0 ergibt. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), wenn es mit dem Grenzwert des Verhältnisses der Funktion lim(x®x0)f(x)/g(x)= übereinstimmt lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Kriterium für die Monotonie einer Funktion mit einer Ableitung nach dem Intervall) Sei die Funktion kontinuierlich an

(a,b) und hat an jedem Punkt eine Ableitung f"(x). Dann

1)f erhöht sich genau dann um (a,b), wenn

2) nimmt um (a,b) genau dann ab, wenn

2. (Ausreichende Bedingung für die strikte Monotonie einer Funktion mit einer Ableitung nach dem Intervall) Sei die Funktion ist stetig auf (a,b) und hat an jedem Punkt eine Ableitung f"(x). Dann

1) wenn dann f streng auf (a,b) zunimmt;

2) wenn dann f streng auf (a,b) abnimmt.

Das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht der Fall. Die Ableitung einer streng monotonen Funktion kann verschwinden. Allerdings muss die Menge der Punkte, an denen die Ableitung nicht Null ist, im Intervall (a,b) dicht sein. Genauer gesagt, das tut es.

3. (Kriterium für die strikte Monotonie einer Funktion mit einer Ableitung nach dem Intervall) Sei und die Ableitung f"(x) ist überall im Intervall definiert. Dann nimmt f im Intervall (a,b) genau dann streng zu, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Skalarprodukt von Vektoren. Winkel zwischen Vektoren. Die Bedingung der Parallelität oder Rechtwinkligkeit von Vektoren.

Das Skalarprodukt von Vektoren ist das Produkt ihrer Längen und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Die folgenden Aussagen werden genauso wie in der Planimetrie bewiesen:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ungleich Null ist genau dann Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Das Skalarquadrat eines Vektors, also das Skalarprodukt aus sich selbst und sich selbst, ist gleich dem Quadrat seiner Länge.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ihrer Koordinaten kann mit der Formel berechnet werden

Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Beispiel. Gegeben sind zwei Vektoren und . Diese Vektoren stehen senkrecht, wenn der Ausdruck x1x2 + y1y2 = 0 ist. Der Winkel zwischen Vektoren ungleich Null ist der Winkel zwischen geraden Linien, für die diese Vektoren als Orientierung dienen. Per Definition wird der Winkel zwischen einem beliebigen Vektor und dem Nullvektor als gleich Null betrachtet. Wenn der Winkel zwischen den Vektoren 90° beträgt, werden solche Vektoren als senkrecht bezeichnet. Den Winkel zwischen den Vektoren bezeichnen wir wie folgt:

Anweisungen

Wenn der ursprüngliche Vektor in der Zeichnung in einem rechteckigen zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt ist und dort eine Senkrechte konstruiert werden muss, fahren Sie mit der Definition der Rechtwinkligkeit von Vektoren auf einer Ebene fort. Darin heißt es, dass der Winkel zwischen einem solchen Paar gerichteter Segmente 90° betragen muss. Es können unendlich viele solcher Vektoren konstruiert werden. Zeichnen Sie daher an einer geeigneten Stelle der Ebene eine Senkrechte zum ursprünglichen Vektor, legen Sie darauf ein Segment, das der Länge eines bestimmten geordneten Punktepaars entspricht, und weisen Sie eines seiner Enden als Anfang des senkrechten Vektors zu. Tun Sie dies mit einem Winkelmesser und einem Lineal.

Wenn der ursprüngliche Vektor durch zweidimensionale Koordinaten ā = (X₁;Y₁) gegeben ist, nehmen Sie an, dass das Skalarprodukt eines Paares senkrechter Vektoren gleich Null sein muss. Das bedeutet, dass Sie für den gewünschten Vektor ō = (X₂,Y₂) solche Koordinaten auswählen müssen, dass die Gleichheit (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 gilt. Dies kann folgendermaßen erfolgen: Wählen Sie eine beliebige Geben Sie einen Wert ungleich Null für die X₂-Koordinate ein und berechnen Sie die Y₂-Koordinate mithilfe der Formel Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Zum Beispiel gibt es für den Vektor ā = (15;5) einen Vektor ō, dessen Abszisse gleich eins und dessen Ordinate gleich -(15*1)/5 = -3 ist, d. h. ō = (1;-3).

Für ein dreidimensionales und jedes andere orthogonale Koordinatensystem gilt die gleiche notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Vektoren – ihr Skalarprodukt muss gleich Null sein. Wenn also das anfängliche gerichtete Segment durch die Koordinaten ā = (X₁,Y₁,Z₁) gegeben ist, wählen Sie für das geordnete Punktepaar ō = (X₂,Y₂,Z₂) senkrecht dazu solche Koordinaten aus, die die Bedingung (ā,ō erfüllen ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Der einfachste Weg besteht darin, 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Für den Vektor ā = (3,5,4) nimmt dies beispielsweise die folgende Form an: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Nehmen Sie dann die Abszisse und die Ordinate von senkrechter Vektor als eins, und in diesem Fall ist er gleich -(3+5)/4 = -2.

Quellen:

• Finden Sie den Vektor, wenn er senkrecht ist

Sie werden senkrecht genannt Vektor, deren Winkel 90° beträgt. Senkrechte Vektoren werden mit Zeichenwerkzeugen konstruiert. Wenn ihre Koordinaten bekannt sind, kann die Rechtwinkligkeit der Vektoren überprüft oder mit analytischen Methoden gefunden werden.

Du wirst brauchen

• - Winkelmesser;
• - Kompass;
• - Herrscher.

Anweisungen

Konstruieren Sie einen Vektor senkrecht zum gegebenen Vektor. Stellen Sie dazu am Anfangspunkt des Vektors eine Senkrechte dazu wieder her. Dies kann mit einem Winkelmesser erfolgen, indem ein Winkel von 90° eingestellt wird. Wenn Sie keinen Winkelmesser haben, verwenden Sie dazu einen Zirkel.

Setzen Sie ihn auf den Startpunkt des Vektors. Zeichnen Sie einen Kreis mit einem beliebigen Radius. Konstruieren Sie dann zwei mit Mittelpunkten an den Punkten, an denen der erste Kreis die Linie schneidet, auf der der Vektor liegt. Die Radien dieser Kreise müssen einander gleich und größer als die des ersten konstruierten Kreises sein. Konstruieren Sie an den Schnittpunkten der Kreise eine Gerade, die im Ursprung senkrecht zum ursprünglichen Vektor steht, und zeichnen Sie darauf einen Vektor senkrecht zu diesem ein.