So berechnen Sie das Volumen einer Box. Wie groß ist also die Chance, dass Gefangene begnadigt werden? Doppelwellen-Schaltgetriebe: Aufbau und Funktionsprinzip

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In diesem Problem gibt es 100 Gefangene in einem Gefängnis, jeder von ihnen ist von 1 bis 100 nummeriert. Der Gefängniswärter beschließt, den Gefangenen eine Chance auf Freilassung zu geben, er teilt ihnen die Bedingungen des Tests mit und gibt an, ob alle Gefangenen den Test bestehen testen, dann werden sie freigegeben. Wenn auch nur einer von ihnen den Test nicht besteht, werden alle Gefangenen sterben.

Aufgabe

Der Gefängniswärter geht in den Geheimraum und bereitet 100 Kisten mit Deckel vor. Auf jede Schachtel schreibt er Zahlen von 1 bis 100. Dann bringt er 100 Papiertafeln, entsprechend der Anzahl der Gefangenen, und nummeriert diese Tafeln von 1 bis 100. Danach mischt er 100 Tafeln und legt eine Tafel in jede Schachtel. Schließen des Deckels. Gefangene sehen nicht, wie der Gefängniswärter all diese Handlungen durchführt.

Der Wettbewerb beginnt, der Gefängniswärter führt jeden Gefangenen einzeln in einen Raum mit Kisten und sagt den Gefangenen, dass sie eine Kiste finden müssen, in der sich ein Schild mit der Nummer des Gefangenen befindet. Gefangene versuchen, ihr Nummernschild zu finden, indem sie Kisten öffnen. Jede Person darf bis zu 50 Kartons öffnen; Wenn jeder der Gefangenen seine Nummer findet, werden die Gefangenen freigelassen. Wenn mindestens einer von ihnen seine Nummer bei 50 Versuchen nicht findet, sterben alle Gefangenen.

Damit Gefangene freigelassen werden können, müssen ALLE Gefangenen den Test bestehen.

Wie groß ist also die Chance, dass Gefangene begnadigt werden?

• Nachdem der Gefangene die Box geöffnet und das Schild überprüft hat, wird es wieder in die Box gelegt und der Deckel wieder geschlossen;
• Die Schilder können stellenweise nicht ausgetauscht werden;
• Sobald der Test beginnt, dürfen die Gefangenen einander keine Hinweise hinterlassen oder in irgendeiner Weise miteinander interagieren.
• Den Gefangenen ist es gestattet, die Strategie vor Beginn des Tests zu besprechen.

Was ist die beste Strategie für Gefangene?

Zusatzfrage:

Wenn ein Mithäftling (kein Testteilnehmer) die Möglichkeit hat, vor Beginn des Tests den geheimen Raum zu betreten, prüfen Sie alle Schilder in allen Kisten und (optional, aber nicht erforderlich) tauschen Sie zwei Schilder aus zwei Kisten aus ( In diesem Fall hat der Freund keine Möglichkeit, die Gefangenen über das Ergebnis seines Handelns zu informieren. Welche Strategie sollte er verfolgen, um die Heilschancen der Gefangenen zu erhöhen?

Ist die Lösung unwahrscheinlich?

Auf den ersten Blick erscheint diese Aufgabe nahezu aussichtslos. Es scheint, dass die Chance, dass jeder Gefangene sein eigenes Zeichen findet, mikroskopisch gering ist. Darüber hinaus ist es den Gefangenen während der Prüfung nicht möglich, untereinander Informationen auszutauschen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Gefangenen beträgt 50:50. Insgesamt gibt es 100 Kisten und er kann auf der Suche nach seinem Schild bis zu 50 Kisten öffnen. Wenn er die Kisten nach dem Zufallsprinzip öffnet und die Hälfte aller Kisten öffnet, findet er sein Schild in der offenen Hälfte der Kisten, oder sein Schild bleibt in den geschlossenen 50 Kisten. Seine Erfolgsaussichten liegen bei ½.

Machen wir zwei Gefangene. Wenn beide Kästchen zufällig auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes von ihnen ½ und für beide ½x½=¼.
(Bei zwei Gefangenen wird es in einem von vier Fällen einen Erfolg geben).

Für drei Gefangene beträgt die Wahrscheinlichkeit ½ × ½ × ½ = ⅛.

Für 100 Gefangene beträgt die Wahrscheinlichkeit: ½ × ½ × … ½ × ½ (100-fach multipliziert).

Das entspricht

Pr ≈ 0,0000000000000000000000000000008

Das heißt, dies ist eine sehr geringe Chance. In dieser Situation werden höchstwahrscheinlich alle Gefangenen tot sein.

Unglaubliche Antwort

Wenn jeder Gefangene die Kisten nach dem Zufallsprinzip öffnen würde, wäre es unwahrscheinlich, dass er den Test besteht. Es gibt eine Strategie, bei der Gefangene in mehr als 30 % der Fälle mit Erfolg rechnen können. Das ist ein verblüffend unglaubliches Ergebnis (falls Sie noch nie von dieser Matheaufgabe gehört haben).

Mehr als 30 % für alle 100 Gefangenen! Ja, das ist sogar besser als die Chancen von zwei Gefangenen, vorausgesetzt, sie öffnen die Kisten wahllos. Aber wie ist das möglich?

Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit für jeden Gefangenen nicht höher als 50 % sein kann (schließlich gibt es keine Möglichkeit zur Kommunikation zwischen Gefangenen). Vergessen Sie jedoch nicht, dass die Informationen in der Anordnung der Schilder in den Kartons gespeichert sind. Niemand tauscht die Schilder zwischen einzelnen Insassenbesuchen im Raum aus, sodass wir diese Informationen nutzen können.

Lösung

Zuerst verrate ich Ihnen die Lösung, dann erkläre ich, warum es funktioniert.

Die Strategie ist äußerst einfach. Der erste Gefangene öffnet das Kästchen mit der Nummer auf seiner Kleidung. Zum Beispiel öffnet der Häftling Nummer 78 eine Kiste mit der Nummer 78. Wenn er seine Nummer auf einem Schild in der Kiste findet, dann ist das großartig! Wenn nicht, schaut er sich die Nummer auf dem Schild in „seiner“ Box an und öffnet dann die nächste Box mit dieser Nummer. Nachdem er die zweite Kiste geöffnet hat, schaut er auf die Nummer des Schildes in dieser Kiste und öffnet die dritte Kiste mit dieser Nummer. Als nächstes übertragen wir diese Strategie einfach auf die restlichen Boxen. Schauen Sie sich zur Verdeutlichung das Bild an:

Irgendwann wird der Gefangene entweder seine Nummer finden oder die Grenze von 50 Boxen erreichen. Auf den ersten Blick erscheint dies sinnlos im Vergleich zur einfachen zufälligen Auswahl einer Kiste (was bei einem einzelnen Gefangenen der Fall ist), aber da alle 100 Gefangenen die gleichen Kisten verwenden, macht es Sinn.

Das Schöne an dieser mathematischen Aufgabe ist nicht nur, das Ergebnis zu kennen, sondern auch zu verstehen Warum Diese Strategie funktioniert.

Warum funktioniert die Strategie?

Jede Box enthält ein Schild – und dieses Schild ist einzigartig. Dies bedeutet, dass sich das Schild in einem Kästchen mit derselben Nummer befindet oder auf ein anderes Kästchen zeigt. Da alle Schilder einzigartig sind, gibt es für jedes Kästchen nur ein Hinweisschild (und nur einen Weg, zu diesem Kästchen zu gelangen).

Wenn man darüber nachdenkt, bilden die Kisten eine geschlossene kreisförmige Kette. Eine Box kann Teil nur einer Kette sein, da es innerhalb einer Box nur einen Zeiger auf die nächste und dementsprechend in der vorherigen Box nur einen Zeiger auf eine bestimmte Box gibt (Programmierer können die Analogie zu verknüpften Listen erkennen). .

Wenn das Kästchen nicht auf sich selbst zeigt (die Nummer des Kästchens ist gleich der Nummer der Platte darin), dann befindet es sich in der Kette. Manche Ketten bestehen aus zwei Kisten, andere sind länger.

Da alle Gefangenen mit einer Kiste mit der gleichen Nummer wie ihre Kleidung beginnen, werden sie per Definition an eine Kette gelegt, die ihr Schild enthält (es gibt nur ein Schild, das auf diese Kiste zeigt).

Wenn sie die Kästchen im Kreis entlang dieser Kette erkunden, werden sie garantiert irgendwann ihr Schild finden.

Bleibt nur die Frage, ob sie in 50 Zügen ihr Zeichen finden werden.

Kettenlänge

Damit alle Gefangenen die Prüfung bestehen, muss die maximale Kettenlänge weniger als 50 Kisten betragen. Wenn die Kette länger als 50 Kisten ist, werden Gefangene mit Nummern aus diesen Ketten den Test nicht bestehen – und alle Gefangenen sind tot.

Wenn die maximale Länge der längsten Kette weniger als 50 Kisten beträgt, bestehen alle Gefangenen die Prüfung!

Denken Sie eine Sekunde darüber nach. Es stellt sich heraus, dass es in jeder Anordnung der Platten nur eine Kette geben kann, die länger als 50 Kisten ist (wir haben nur 100 Kisten, wenn also eine Kette länger als 50 ist, wird der Rest am Ende kürzer als 50 sein). .

Chancen auf ein Layout mit langer Kette

Sobald Sie sich davon überzeugt haben, dass die maximale Kettenlänge kleiner oder gleich 50 sein muss, um erfolgreich zu sein, und dass es in jedem Satz nur eine lange Kette geben darf, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, den Test zu bestehen:

Noch ein bisschen Mathe

Was brauchen wir also, um die Wahrscheinlichkeit der Existenz einer langen Kette zu ermitteln?

Für eine Kette mit der Länge l ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Kästchen außerhalb dieser Kette befinden, gleich:

Es gibt (l-1) in dieser Zahlensammlung! Möglichkeiten, Schilder anzubringen.

Die restlichen Schilder können gefunden werden (100-l)! Wege (vergessen Sie nicht, dass die Länge der Kette 50 nicht überschreitet).

Vor diesem Hintergrund ist die Anzahl der Permutationen, die eine Kette mit der exakten Länge l enthalten: (>50)

Es stellt sich heraus, dass es 100(!) Möglichkeiten gibt, die Zeichen anzuordnen, sodass die Wahrscheinlichkeit der Existenz einer Kette der Länge l gleich 1/l ist. Dieses Ergebnis ist übrigens unabhängig von der Anzahl der Boxen.

Wie wir bereits wissen, kann es nur eine Option geben, bei der es eine Kette mit einer Länge > 50 gibt, daher wird die Erfolgswahrscheinlichkeit anhand dieser Formel berechnet:

Ergebnis

31,18 % – die Wahrscheinlichkeit, dass die Größe der längsten Kette weniger als 50 beträgt und jeder der Gefangenen sein Schild finden kann, wenn man die Grenze von 50 Versuchen berücksichtigt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Gefangenen ihre Schilder finden und den Test bestehen, beträgt 31,18 %

Unten ist ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeiten (auf der y-Achse) für alle Ketten der Länge l (auf der x-Achse) zeigt. Die rote Farbe stellt alle „Fehler“ dar (die hier angegebene Kurve ist nur ein 1/l-Diagramm). Grün bedeutet „Erfolg“ (die Berechnung ist für diesen Teil des Diagramms etwas komplizierter, da es mehrere Möglichkeiten gibt, die maximale Länge zu bestimmen<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Harmonische Zahl (dieser Teil des Artikels ist für Geeks)

In der Mathematik ist die n-te harmonische Zahl die Summe der Kehrwerte der ersten n aufeinanderfolgenden Zahlen in der natürlichen Reihe.

Berechnen wir den Grenzwert, wenn wir statt 100a Boxen eine beliebig große Anzahl an Boxen haben (nehmen wir an, dass wir insgesamt 2n Boxen haben).

Die Euler-Mascheroni-Konstante ist eine Konstante, die als Grenze der Differenz zwischen der Teilsumme einer harmonischen Reihe und dem natürlichen Logarithmus einer Zahl definiert ist.

Wenn die Zahl der Gefangenen zunimmt und der Aufseher den Gefangenen erlaubt, die Hälfte aller Kisten zu öffnen, tendiert die Chance auf Rettung bei 30,685 %.

(Wenn Sie eine Entscheidung getroffen haben, bei der die Gefangenen die Kästchen zufällig erraten, dann tendiert die Wahrscheinlichkeit einer Rettung mit zunehmender Anzahl der Gefangenen gegen Null!)

Zusatzfrage

Erinnert sich noch jemand an die Folgefrage? Was kann unser hilfsbereiter Begleiter tun, um unsere Überlebenschancen zu erhöhen?

Da wir die Lösung bereits kennen, ist die Strategie hier einfach: Er muss alle Schilder studieren und die längste Kistenkette finden. Wenn die längste Kette weniger als 50 beträgt, muss er die Platten überhaupt nicht wechseln oder sie so ändern, dass die längste Kette nicht länger als 50 wird. Wenn er jedoch eine Kette findet, die länger als 50 Kisten ist, muss er lediglich den Inhalt von zwei Kisten dieser Kette austauschen, um die Kette in zwei kürzere Ketten aufzuteilen.

Durch diese Strategie wird es keine langen Ketten geben und allen Gefangenen ist garantiert, dass sie ihr Zeichen und ihre Erlösung finden. Durch das Vertauschen der beiden Zeichen reduzieren wir also die Heilswahrscheinlichkeit auf 100 %!

Ich biete Habrahabr-Lesern eine Übersetzung der Veröffentlichung „100 Prisoners Escape Puzzle“ an, die ich auf der DataGenetics-Website gefunden habe. Bitte senden Sie alle Fehler zu diesem Artikel in privaten Nachrichten.

Dem Problem zufolge befinden sich 100 Gefangene im Gefängnis, von denen jeder eine persönliche Nummer von 1 bis 100 hat. Der Gefängniswärter beschließt, den Gefangenen eine Chance auf Freilassung zu geben und bietet an, einen von ihm erfundenen Test zu bestehen. Wenn alle Gefangenen Erfolg haben, sind sie frei, wenn mindestens einer scheitert, werden sie alle sterben.

Aufgabe

Der Gefängniswärter geht in den Geheimraum und bereitet 100 Kisten mit Deckel vor. Auf jede Schachtel schreibt er Zahlen von 1 bis 100. Dann bringt er 100 Papiertafeln, entsprechend der Anzahl der Gefangenen, und nummeriert diese Tafeln von 1 bis 100. Danach mischt er 100 Tafeln und legt eine Tafel in jede Schachtel. Schließen des Deckels. Gefangene sehen nicht, wie der Gefängniswärter all diese Handlungen durchführt.

Der Wettbewerb beginnt, der Gefängniswärter führt jeden Gefangenen einzeln in einen Raum mit Kisten und sagt den Gefangenen, dass sie eine Kiste finden müssen, in der sich ein Schild mit der Nummer des Gefangenen befindet. Gefangene versuchen, ihr Nummernschild zu finden, indem sie Kisten öffnen. Jede Person darf bis zu 50 Kartons öffnen; Wenn jeder der Gefangenen seine Nummer findet, werden die Gefangenen freigelassen. Wenn mindestens einer von ihnen seine Nummer bei 50 Versuchen nicht findet, sterben alle Gefangenen.

Damit Gefangene freigelassen werden können, müssen ALLE Gefangenen den Test bestehen.

Wie groß ist also die Chance, dass Gefangene begnadigt werden?

• Nachdem der Gefangene die Box geöffnet und das Schild überprüft hat, wird es wieder in die Box gelegt und der Deckel wieder geschlossen;
• Die Schilder können stellenweise nicht ausgetauscht werden;
• Sobald der Test beginnt, dürfen die Gefangenen einander keine Hinweise hinterlassen oder in irgendeiner Weise miteinander interagieren.
• Den Gefangenen ist es gestattet, die Strategie vor Beginn des Tests zu besprechen.

Was ist die optimale Strategie für Gefangene?

Zusatzfrage:

Wenn ein Mithäftling (kein Testteilnehmer) die Möglichkeit hat, vor Beginn des Tests den geheimen Raum zu betreten, prüfen Sie alle Schilder in allen Kisten und (optional, aber nicht erforderlich) tauschen Sie zwei Schilder aus zwei Kisten aus ( In diesem Fall hat der Freund keine Möglichkeit, die Gefangenen über das Ergebnis seines Handelns zu informieren. Welche Strategie sollte er verfolgen, um die Heilschancen der Gefangenen zu erhöhen?

Ist die Lösung unwahrscheinlich?

Auf den ersten Blick erscheint diese Aufgabe nahezu aussichtslos. Es scheint, dass die Chance, dass jeder Gefangene sein eigenes Zeichen findet, mikroskopisch gering ist. Darüber hinaus ist es den Gefangenen während der Prüfung nicht möglich, untereinander Informationen auszutauschen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Gefangenen beträgt 50:50. Insgesamt gibt es 100 Kisten und er kann auf der Suche nach seinem Schild bis zu 50 Kisten öffnen. Wenn er die Kisten nach dem Zufallsprinzip öffnet und die Hälfte aller Kisten öffnet, findet er sein Schild in der offenen Hälfte der Kisten, oder sein Schild bleibt in den geschlossenen 50 Kisten. Seine Erfolgsaussichten liegen bei ½.

Machen wir zwei Gefangene. Wenn beide Kästchen zufällig auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes von ihnen ½ und für beide ½x½=¼.
(Bei zwei Gefangenen wird es in einem von vier Fällen einen Erfolg geben).

Für drei Gefangene beträgt die Wahrscheinlichkeit ½ × ½ × ½ = ⅛.

Für 100 Gefangene beträgt die Wahrscheinlichkeit: ½ × ½ × … ½ × ½ (100-fach multipliziert).

Das entspricht

Pr ≈ 0,00000000000000000000000000000008

Das heißt, dies ist eine sehr geringe Chance. In dieser Situation werden höchstwahrscheinlich alle Gefangenen tot sein.

Unglaubliche Antwort

Wenn jeder Gefangene die Kisten nach dem Zufallsprinzip öffnen würde, wäre es unwahrscheinlich, dass er den Test besteht. Es gibt eine Strategie, bei der Gefangene in mehr als 30 % der Fälle mit Erfolg rechnen können. Das ist ein verblüffend unglaubliches Ergebnis (falls Sie noch nie von dieser Matheaufgabe gehört haben).

Mehr als 30 % für alle 100 Gefangenen! Ja, das ist sogar besser als die Chancen von zwei Gefangenen, vorausgesetzt, sie öffnen die Kisten wahllos. Aber wie ist das möglich?

Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit für jeden Gefangenen nicht höher als 50 % sein kann (schließlich gibt es keine Möglichkeit zur Kommunikation zwischen Gefangenen). Vergessen Sie jedoch nicht, dass die Informationen in der Anordnung der Schilder in den Kartons gespeichert sind. Niemand tauscht die Schilder zwischen einzelnen Insassenbesuchen im Raum aus, sodass wir diese Informationen nutzen können.

Lösung

Zuerst verrate ich Ihnen die Lösung, dann erkläre ich, warum es funktioniert.

Die Strategie ist äußerst einfach. Der erste Gefangene öffnet das Kästchen mit der Nummer auf seiner Kleidung. Zum Beispiel öffnet der Häftling Nummer 78 eine Kiste mit der Nummer 78. Wenn er seine Nummer auf einem Schild in der Kiste findet, dann ist das großartig! Wenn nicht, schaut er sich die Nummer auf dem Schild in „seiner“ Box an und öffnet dann die nächste Box mit dieser Nummer. Nachdem er die zweite Kiste geöffnet hat, schaut er auf die Nummer des Schildes in dieser Kiste und öffnet die dritte Kiste mit dieser Nummer. Als nächstes übertragen wir diese Strategie einfach auf die restlichen Boxen. Schauen Sie sich zur Verdeutlichung das Bild an:

Irgendwann wird der Gefangene entweder seine Nummer finden oder die Grenze von 50 Boxen erreichen. Auf den ersten Blick erscheint dies sinnlos im Vergleich zur einfachen zufälligen Auswahl einer Kiste (was bei einem einzelnen Gefangenen der Fall ist), aber da alle 100 Gefangenen die gleichen Kisten verwenden, macht es Sinn.

Das Schöne an dieser mathematischen Aufgabe ist nicht nur, das Ergebnis zu kennen, sondern auch zu verstehen Warum Diese Strategie funktioniert.

Warum funktioniert die Strategie?

Jede Box enthält ein Schild – und dieses Schild ist einzigartig. Dies bedeutet, dass sich das Schild in einem Kästchen mit derselben Nummer befindet oder auf ein anderes Kästchen zeigt. Da alle Schilder einzigartig sind, gibt es für jedes Kästchen nur ein Hinweisschild (und nur einen Weg, zu diesem Kästchen zu gelangen).

Wenn man darüber nachdenkt, bilden die Kisten eine geschlossene kreisförmige Kette. Eine Box kann Teil nur einer Kette sein, da es innerhalb einer Box nur einen Zeiger auf die nächste und dementsprechend in der vorherigen Box nur einen Zeiger auf eine bestimmte Box gibt (Programmierer können die Analogie zu verknüpften Listen erkennen). .

Wenn das Kästchen nicht auf sich selbst zeigt (die Nummer des Kästchens ist gleich der Nummer der Platte darin), dann befindet es sich in der Kette. Manche Ketten bestehen aus zwei Kisten, andere sind länger.

Da alle Gefangenen mit einer Kiste mit der gleichen Nummer wie ihre Kleidung beginnen, werden sie per Definition an eine Kette gelegt, die ihr Schild enthält (es gibt nur ein Schild, das auf diese Kiste zeigt).

Wenn sie die Kästchen im Kreis entlang dieser Kette erkunden, werden sie garantiert irgendwann ihr Schild finden.

Bleibt nur die Frage, ob sie in 50 Zügen ihr Zeichen finden werden.

Kettenlänge

Damit alle Gefangenen die Prüfung bestehen, muss die maximale Kettenlänge weniger als 50 Kisten betragen. Wenn die Kette länger als 50 Kisten ist, werden Gefangene mit Nummern aus diesen Ketten den Test nicht bestehen – und alle Gefangenen sind tot.

Wenn die maximale Länge der längsten Kette weniger als 50 Kisten beträgt, bestehen alle Gefangenen die Prüfung!

Denken Sie eine Sekunde darüber nach. Es stellt sich heraus, dass es in jeder Anordnung der Platten nur eine Kette geben kann, die länger als 50 Kisten ist (wir haben nur 100 Kisten, wenn also eine Kette länger als 50 ist, wird der Rest am Ende kürzer als 50 sein). .

Chancen auf ein Layout mit langer Kette

Sobald Sie sich davon überzeugt haben, dass die maximale Kettenlänge kleiner oder gleich 50 sein muss, um erfolgreich zu sein, und dass es in jedem Satz nur eine lange Kette geben darf, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, den Test zu bestehen:

Noch ein bisschen Mathe

Was brauchen wir also, um die Wahrscheinlichkeit der Existenz einer langen Kette zu ermitteln?

Für eine Kette mit der Länge l ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Kästchen außerhalb dieser Kette befinden, gleich:

Es gibt (l-1) in dieser Zahlensammlung! Möglichkeiten, Schilder anzubringen.

Die restlichen Schilder können gefunden werden (100-l)! Wege (vergessen Sie nicht, dass die Länge der Kette 50 nicht überschreitet).

Vor diesem Hintergrund ist die Anzahl der Permutationen, die eine Kette mit der exakten Länge l enthalten: (>50)

Es stellt sich heraus, dass es 100(!) Möglichkeiten gibt, die Zeichen anzuordnen, sodass die Wahrscheinlichkeit der Existenz einer Kette der Länge l gleich 1/l ist. Dieses Ergebnis ist übrigens unabhängig von der Anzahl der Boxen.

Wie wir bereits wissen, kann es nur eine Option geben, bei der es eine Kette mit einer Länge > 50 gibt, daher wird die Erfolgswahrscheinlichkeit anhand dieser Formel berechnet:

Ergebnis

31,18 % – die Wahrscheinlichkeit, dass die Größe der längsten Kette weniger als 50 beträgt und jeder der Gefangenen sein Schild finden kann, wenn man die Grenze von 50 Versuchen berücksichtigt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Gefangenen ihre Schilder finden und den Test bestehen, beträgt 31,18 %

Unten ist ein Diagramm, das die Wahrscheinlichkeiten (auf der y-Achse) für alle Ketten der Länge l (auf der x-Achse) zeigt. Die rote Farbe stellt alle „Fehler“ dar (die hier angegebene Kurve ist nur ein 1/l-Diagramm). Grün bedeutet „Erfolg“ (die Berechnung ist für diesen Teil des Diagramms etwas komplizierter, da es mehrere Möglichkeiten gibt, die maximale Länge zu bestimmen<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Harmonische Zahl (dieser Teil des Artikels ist für Geeks)

In der Mathematik ist die n-te harmonische Zahl die Summe der Kehrwerte der ersten n aufeinanderfolgenden Zahlen in der natürlichen Reihe.

Berechnen wir den Grenzwert, wenn wir statt 100a Boxen eine beliebig große Anzahl an Boxen haben (nehmen wir an, dass wir insgesamt 2n Boxen haben).

Die Euler-Mascheroni-Konstante ist eine Konstante, die als Grenze der Differenz zwischen der Teilsumme einer harmonischen Reihe und dem natürlichen Logarithmus einer Zahl definiert ist.

Wenn die Zahl der Gefangenen zunimmt und der Aufseher den Gefangenen erlaubt, die Hälfte aller Kisten zu öffnen, tendiert die Chance auf Rettung bei 30,685 %.

(Wenn Sie eine Entscheidung getroffen haben, bei der die Gefangenen die Kästchen zufällig erraten, dann tendiert die Wahrscheinlichkeit einer Rettung mit zunehmender Anzahl der Gefangenen gegen Null!)

Zusatzfrage

Erinnert sich noch jemand an die Folgefrage? Was kann unser hilfsbereiter Begleiter tun, um unsere Überlebenschancen zu erhöhen?

Da wir die Lösung bereits kennen, ist die Strategie hier einfach: Er muss alle Schilder studieren und die längste Kistenkette finden. Wenn die längste Kette weniger als 50 beträgt, muss er die Platten überhaupt nicht wechseln oder sie so ändern, dass die längste Kette nicht länger als 50 wird. Wenn er jedoch eine Kette findet, die länger als 50 Kisten ist, muss er lediglich den Inhalt von zwei Kisten dieser Kette austauschen, um die Kette in zwei kürzere Ketten aufzuteilen.

Durch diese Strategie wird es keine langen Ketten geben und allen Gefangenen ist garantiert, dass sie ihr Zeichen und ihre Erlösung finden. Durch das Vertauschen der beiden Zeichen reduzieren wir also die Heilswahrscheinlichkeit auf 100 %!

Bis vor Kurzem stellten Autos mit manuellem Getriebe, kurz Manual Transmission genannt, unter den Fahrzeugen verschiedener Typen die absolute Mehrheit.

Darüber hinaus ist ein manuelles (manuelles) Getriebe auch heute noch ein weit verbreitetes Gerät zum Ändern und Übertragen des Motordrehmoments. Als nächstes sprechen wir darüber, wie die „Mechanik“ aufgebaut ist und funktioniert, wie der Aufbau eines solchen Getriebes aussieht und welche Vor- und Nachteile diese Lösung hat.

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Diagramm und Funktionen des Schaltgetriebes

Beginnen wir mit der Tatsache, dass dieser Getriebetyp als mechanisch bezeichnet wird, da bei einer solchen Einheit ein manuelles Schalten erforderlich ist. Mit anderen Worten: Bei Fahrzeugen mit Schaltgetriebe schaltet der Fahrer selbst die Gänge.

Lass uns weitermachen. Das Schaltgetriebe ist gestuft, das heißt, das Drehmoment ändert sich stufenweise. Viele Autoenthusiasten wissen, dass ein Getriebe eigentlich aus Zahnrädern und Wellen besteht, aber nicht jeder versteht, wie die Einheit funktioniert.

Eine Stufe (auch bekannt als Zahnrad) ist also ein Paar Zahnräder (Antriebs- und Abtriebszahnräder), die miteinander interagieren. Jede dieser Stufen sorgt für eine Drehung mit der einen oder anderen Winkelgeschwindigkeit, das heißt, sie verfügt über ein eigenes Übersetzungsverhältnis.

Das Übersetzungsverhältnis ist das Verhältnis der Zähnezahl des angetriebenen Zahnrads zur Zähnezahl des Antriebszahnrads. Dabei erhalten unterschiedliche Getriebestufen unterschiedliche Übersetzungsverhältnisse. Die niedrigste Stufe (niedriger Gang) hat das höchste Übersetzungsverhältnis und die höchste Stufe (hoher Gang) das kleinste Übersetzungsverhältnis.

Es wird deutlich, dass die Anzahl der Schritte der Anzahl der Gänge eines bestimmten Getriebes (Vierganggetriebe, Fünfganggetriebe usw.) entspricht. Beachten Sie, dass die überwiegende Mehrheit der Autos heutzutage mit einem Fünfgang-Schaltgetriebe ausgestattet ist Getriebe mit 6 oder mehr Stufen sind seltener und durchaus üblich. Zuvor gerieten 4-Gang-Schaltgetriebe allmählich in den Hintergrund.

Mechanisches Übertragungsgerät

Obwohl es viele Designs einer solchen Box mit bestimmten Merkmalen geben kann, können im Anfangsstadium zwei Haupttypen unterschieden werden:

• Dreiwellengetriebe;
• Doppelschachtkästen;

Autos mit Hinterradantrieb sind in der Regel mit einem Dreiwellen-Schaltgetriebe ausgestattet, während bei Pkw mit Frontantrieb ein Zweiwellengetriebe verbaut ist. In diesem Fall kann sich die Konstruktion von Handschaltgetrieben sowohl des ersten als auch des zweiten Typs deutlich unterscheiden.

Beginnen wir mit einem Dreiwellen-Schaltgetriebe. Diese Box besteht aus:

• Antriebswelle, die auch Primärwelle genannt wird;
• Getriebezwischenwelle;
• angetriebene Welle (sekundär);

Auf den Wellen sind Zahnräder mit Synchronisierungen montiert. Zur Getriebevorrichtung gehört auch ein Gangschaltmechanismus. Diese Komponenten befinden sich im Getriebegehäuse, das auch Getriebegehäuse genannt wird.

Die Aufgabe der Antriebswelle besteht darin, eine Verbindung mit der Kupplung herzustellen. Die Antriebswelle verfügt über Keilverzahnungen für die von der Kupplung angetriebene Scheibe. Was das Drehmoment betrifft, so wird das vorgegebene Moment von der Antriebswelle über das Zahnrad übertragen, das mit dieser fest im Eingriff steht.

Was den Betrieb der Zwischenwelle betrifft, so ist diese Welle parallel zur Eingangswelle des Getriebes angeordnet und darauf ist eine Gruppe von Zahnrädern montiert, die in starrem Eingriff stehen. Die angetriebene Welle wiederum ist auf derselben Achse wie die Antriebswelle montiert.

Diese Montage erfolgt über ein Endlager auf der Antriebswelle. Dieses Lager umfasst die angetriebene Welle. Die Zahnradgruppe (Getriebeblock) auf der Abtriebswelle hat keinen starren Eingriff mit der Welle selbst und dreht sich daher frei auf dieser. Dabei steht die Zahnradgruppe Zwischenwelle, Abtriebswelle und Antriebswellenrad im ständigen Eingriff.

Zwischen den Zahnrädern der Abtriebswelle sind Synchronisierer (Synchronkupplungen) eingebaut. Ihre Aufgabe besteht darin, die Winkelgeschwindigkeiten der Zahnräder der angetriebenen Welle durch Reibung an die Winkelgeschwindigkeit der Welle selbst anzupassen.

Die Synchronisierer stehen in starrem Eingriff mit der angetriebenen Welle und können sich aufgrund der Keilwellenverbindung auch in Längsrichtung entlang der Welle bewegen. Moderne Getriebe verfügen in allen Gängen über Synchronkupplungen.

Betrachtet man den Gangschaltmechanismus bei Dreiwellengetrieben, so ist dieser Mechanismus häufig am Aggregategehäuse montiert. Das Design umfasst einen Steuerhebel, Schieber und Gabeln.

Der Kastenkörper (Kurbelgehäuse) besteht aus Aluminium- oder Magnesiumlegierungen und ist für den Einbau von Wellen mit Zahnrädern und Mechanismen sowie einer Reihe anderer Teile erforderlich. Im Getriebegehäuse befindet sich auch Getriebeöl (Getriebeöl).

• Um zu verstehen, wie ein mechanisches (manuelles) Getriebe mit drei Wellen funktioniert, werfen wir einen allgemeinen Blick auf das Funktionsprinzip. Wenn sich der Schalthebel in der Neutralstellung befindet, wird kein Drehmoment vom Motor auf die Antriebsräder des Fahrzeugs übertragen.

Nachdem der Fahrer den Hebel bewegt, bewegt die Gabel die Synchronkupplung eines bestimmten Gangs. Die Synchronisierung gleicht dann die Winkelgeschwindigkeiten des gewünschten Gangs und der Abtriebswelle aus. Der Kupplungszahnkranz greift dann in einen ähnlichen Zahnkranz ein und verriegelt das Zahnrad auf der Abtriebswelle.

Fügen wir noch hinzu, dass der Rückwärtsgang des Fahrzeugs durch den Rückwärtsgang des Getriebes gewährleistet wird. In diesem Fall ermöglicht das auf einer separaten Achse montierte Rückwärtsgang-Zwischenrad die Änderung der Drehrichtung.

Doppelwellen-Schaltgetriebe: Aufbau und Funktionsprinzip

Nachdem wir herausgefunden haben, woraus ein Getriebe mit drei Wellen besteht, kommen wir zu den Getrieben mit zwei Wellen. Dieser Getriebetyp hat zwei Wellen: Primär- und Sekundärwelle. Die Primärwelle ist antreibend, die Sekundärwelle ist angetrieben. An den Wellen sind Zahnräder und Synchronisierungen befestigt. Ebenfalls im Getriebegehäuse befinden sich das Hauptgetriebe und das Differenzial.

Die Antriebswelle ist für die Verbindung zur Kupplung zuständig, außerdem befindet sich auf der Welle ein Getriebeblock, der fest mit der Welle in Eingriff steht. Die angetriebene Welle liegt parallel zur Antriebswelle, während die Zahnräder der angetriebenen Welle ständig mit den Zahnrädern der Antriebswelle kämmen und sich auch frei auf der Welle selbst drehen.

Außerdem ist das Antriebsrad des Hauptgetriebes starr auf der Abtriebswelle befestigt, und zwischen den Zahnrädern der Abtriebswelle selbst befinden sich Synchronkupplungen. Fügen wir hinzu, dass zur Verkleinerung des Getriebes sowie zur Erhöhung der Anzahl der Gänge in modernen Getrieben häufig anstelle einer Abtriebswelle 2 oder sogar 3 Wellen eingebaut werden können.

Ein Hauptzahnrad ist starr an jeder dieser Wellen befestigt, und ein solches Zahnrad ist starr mit dem angetriebenen Zahnrad verbunden. Es stellt sich heraus, dass das Design tatsächlich drei Hauptzahnräder implementiert.

Das Hauptgetriebe selbst sowie das Differential im Getriebe übertragen das Drehmoment von der Sekundärwelle auf die Antriebsräder. Gleichzeitig kann das Differential auch dann für eine solche Raddrehung sorgen, wenn sich die Antriebsräder mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.

Der Schaltmechanismus ist bei Zweiwellengetrieben separat, also außerhalb des Gehäuses, angeordnet. Die Box ist über Kabel oder spezielle Stangen mit dem Schaltmechanismus verbunden. Die gebräuchlichste Verbindung ist die Verwendung von Kabeln.

Der Schaltmechanismus des 2-Wellen-Getriebes selbst verfügt über einen Hebel, der über Kabel mit dem Wählhebel und dem Schalthebel verbunden ist. Diese Hebel sind mit der zentralen Schaltstange verbunden, die ebenfalls über Gabeln verfügt.

• Wenn wir über das Funktionsprinzip eines Zweiwellen-Schaltgetriebes sprechen, ähnelt es dem Prinzip eines Dreiwellengetriebes. Die Unterschiede liegen in der Funktionsweise des Gangschaltmechanismus. Kurz gesagt: Der Hebel kann sowohl Längs- als auch Querbewegungen relativ zur Fahrzeugachse ausführen. Bei der seitlichen Bewegung wird ein Gang eingelegt, da auf das Gangwahlseil eine Kraft ausgeübt wird, die auf den Gangwahlhebel einwirkt.

Als nächstes bewegt sich der Hebel in Längsrichtung und die Kraft wird auf das Schaltkabel übertragen. Der entsprechende Hebel bewegt die Stange mit den Gabeln horizontal; die Gabel an der Stange verschiebt die Synchronisierung, was zur Blockierung des Abtriebswellenrades führt.

Abschließend weisen wir darauf hin, dass Schaltgetriebe verschiedener Bauarten auch über zusätzliche Sperrvorrichtungen verfügen, die verhindern, dass zwei Gänge gleichzeitig eingelegt oder der Gang unerwartet abgeschaltet wird.

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Kombinatorische Probleme

1 . Katya, Masha und Ira spielen mit einem Ball. Jeder von ihnen muss den Ball einmal jedem Freund zuwerfen. Wie oft sollte jedes Mädchen den Ball werfen? Wie oft wird der Ball geworfen? Bestimmen Sie, wie oft der Ball geworfen wird, wenn folgende Personen am Spiel teilnehmen: vier Kinder; fünf Kinder.

2 . Gegeben sind drei Fassaden und zwei Dächer, die die gleiche Form haben, aber in unterschiedlichen Farben gestrichen sind: Die Fassaden sind gelb, blau und rot, und die Dächer sind blau und rot. Welche Häuser können gebaut werden? Wie viele Kombinationen gibt es insgesamt?

3 . Gegeben sind drei Hausfassaden gleicher Form: blau, gelb und rot – und drei Dächer: blau, gelb und rot. Welche Häuser können gebaut werden? Wie viele Kombinationen gibt es insgesamt?

4 . Die Motive auf den Flaggen können die Form eines Kreises, eines Quadrats, eines Dreiecks oder eines Sterns haben und die Farben Grün oder Rot haben. Wie viele verschiedene Flaggen kann es geben?

5. In der Schulkantine wurden als zweite Gänge Fleisch, Schnitzel und Fisch zum Mittagessen zubereitet. Zum Nachtisch Eis, Obst und Kuchen. Sie können zwischen einem Hauptgang und einem Dessertgang wählen. Wie viele verschiedene Mittagsoptionen gibt es?

6. In der Schulkantine bereiteten sie zum Mittagessen Suppe mit Fleisch und vegetarische Suppe als ersten Gang, Fleisch, Koteletts und Fisch als zweiten Gang und Eis, Obst und Kuchen zum Nachtisch zu. Wie viele verschiedene Optionen gibt es für ein Drei-Gänge-Menü?

7. Auf wie viele Arten können drei Schüler hintereinander auf Stühlen sitzen? Schreiben Sie alle möglichen Fälle auf.

8 . Auf wie viele Arten können vier (fünf) Personen in einer Reihe stehen?

9 . Drei Wege steigen von verschiedenen Seiten den Hügel hinauf und laufen oben zusammen. Erstellen Sie mehrere Routen, um den Hügel hinauf und hinunter zu gelangen. Lösen Sie das gleiche Problem, wenn Sie auf unterschiedlichen Wegen auf und ab gehen müssen.

10 . Es gibt drei Straßen, die von Akulovo nach Rybniza führen, und vier Straßen, die von Rybniza nach Kitowo führen. Auf wie viele Arten kann man von Akulovo über Rybniza nach Kitovo reisen?

11 . Eine Silbe heißt offen, wenn sie mit einem Konsonanten beginnt und mit einem Vokal endet. Wie viele offene Silben mit zwei Buchstaben können mit den Buchstaben „a“, „b“, „c“, „d“, „e“, „i“, „o“ geschrieben werden? Schreiben Sie diese Silben auf.

12. Wie viele verschiedene Anzüge lassen sich aus einer Bluse und einem Rock herstellen, wenn es 4 Blusen und 4 Röcke gibt?

13. Wenn Petya zur Schule geht, trifft er manchmal einen oder mehrere seiner Freunde: Vasya, Lenya, Tolya. Listen Sie alle möglichen Fälle auf, die auftreten können.

14 . Schreiben Sie alle möglichen zweistelligen Zahlen mit den Zahlen 7 und 4 auf.

15 . Mischa hatte vor zu kaufen: einen Bleistift, ein Lineal, einen Notizblock und ein Notizbuch. Heute hat er nur zwei verschiedene Artikel gekauft. Was könnte Mischa kaufen, vorausgesetzt, der Laden hätte alle benötigten Lehrmaterialien?

16 . Die vier Personen schüttelten sich die Hände. Wie viele Händeschütteln gab es insgesamt?

17 . Wie viele zweistellige Zahlen gibt es, die die Ziffer 0 nicht enthalten?

18 . Schreiben Sie alle möglichen dreistelligen Zahlen auf, die sich aus den Zahlen 1 und 2 bilden lassen.

19 . Schreiben Sie alle möglichen geraden dreistelligen Zahlen auf, die aus den Ziffern 1 und 2 bestehen.

20 . Schreiben Sie alle möglichen zweistelligen Zahlen auf, die die Zahlen 2, 8 und 5 enthalten.

21 . Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen gibt es, deren Ziffern alle ungerade sind?

22 . Welche dreistelligen Zahlen lassen sich mit den Zahlen 3, 7 und 1 schreiben, sofern die Zahl keine identischen Ziffern enthalten darf? Wie viele solcher Zahlen?

23 . Wie viele dreistellige Zahlen können aus den Ziffern 1, 2, 4, 6 gebildet werden, wenn keine Ziffer mehr als einmal verwendet wird? Wie viele dieser Zahlen werden gerade sein? Wie viele ungerade?

24 . Es gibt fünf Sitzplätze im Auto. Auf wie viele Arten können fünf Personen in dieses Auto einsteigen, wenn nur zwei von ihnen den Fahrersitz einnehmen können?

25. Im Klassenzimmer gibt es 5 Einzeltische. Auf wie viele Arten können zwei (drei) neu angekommene Schulkinder darauf Platz nehmen?

26 . Erinnern Sie sich an I. Krylovs Fabel „Quartett“:

Der freche Affe, der Esel, die Ziege und der klumpfüßige Bär begannen ein Quartett zu spielen. Sie schlagen mit den Bögen, sie kämpfen, aber es hat keinen Sinn. „Hör auf, Brüder, hör auf! - Affenschreie. - Warten! Wie soll die Musik laufen? So sitzt man nicht.“ Auf wie viele verschiedene Arten können diese Musiker versuchen zu sitzen? Könnte dies die Qualität ihres Spiels verbessern?

27 . Jungen und Mädchen sitzen in einer Reihe auf aufeinanderfolgenden Sitzplätzen, wobei Jungen auf den ungeraden Sitzplätzen und Mädchen auf den geraden Sitzplätzen sitzen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen, wenn:

a) 3 Jungen und 3 Mädchen sitzen auf 6 Sitzen;

b) 5 Jungen und 5 Mädchen sitzen auf 10 Sitzplätzen?

28 . Auf einem leeren Schachbrett müssen Sie zwei Spielsteine ​​platzieren – schwarz und weiß. Wie viele verschiedene Positionen können sie im Vorstand besetzen?

29. Lassen Sie die Autonummer aus zwei Buchstaben bestehen, gefolgt von zwei Zahlen, zum Beispiel AB-53. Wie viele verschiedene Zahlen können Sie bilden, wenn Sie 5 Buchstaben und 6 Zahlen verwenden?

30 . Die Autonummer besteht aus drei Buchstaben und vier Zahlen. Wie viele verschiedene Nummernschilder gibt es (drei Buchstaben stammen aus den 29 Buchstaben des russischen Alphabets)?

31 . Nehmen wir an, Sie müssten in die Bibliothek, zur Sparkasse oder zur Post gehen und Ihre Schuhe reparieren lassen. Um den kürzesten Weg zu wählen, müssen Sie alle möglichen Optionen berücksichtigen. Wie viele mögliche Wege gibt es, wenn Bibliothek, Sparkasse, Post und Schuhmacherei weit voneinander entfernt liegen?

32. Nehmen wir an, Sie müssten in die Bibliothek, zur Sparkasse oder zur Post gehen und Ihre Schuhe reparieren lassen. Um den kürzesten Weg zu wählen, müssen Sie alle möglichen Optionen berücksichtigen. Wie viele sinnvolle Wege gibt es, wenn die Bibliothek und die Post in der Nähe liegen, die Sparkasse und der Schuhmacher aber weit voneinander entfernt sind?

33. Unter den Fahrgästen im Waggon gab es eine lebhafte Diskussion über vier Zeitschriften. Es stellte sich heraus, dass jeder zwei Zeitschriften abonniert und jede der möglichen Kombinationen zweier Zeitschriften von einer Person abonniert wird. Wie viele Personen waren in dieser Gruppe?

34 . Es gibt fünf Würfel, die sich nur in der Farbe voneinander unterscheiden: 2 rote, 1 weiße und 2 schwarze. Es gibt zwei Kästchen A und B, und A enthält 2 Würfel und B enthält 3. Auf wie viele verschiedene Arten können diese Würfel in den Kisten A und B platziert werden?

35. Um dem Zarenvater verjüngende Äpfel zu bringen, muss Iwan Zarewitsch den einzig wahren Weg zum Zaubergarten finden. Iwan Zarewitsch traf an der Gabelung dreier Straßen einen alten Raben und hörte von ihm folgenden Rat:

1) Gehen Sie jetzt den richtigen Weg;

2) Nehmen Sie an der nächsten Gabelung nicht den richtigen Weg.

3) Nehmen Sie an der dritten Gabelung nicht den linken Weg.

Eine vorbeifliegende Taube flüsterte Iwan Zarewitsch zu, dass nur einer der Ratschläge des Raben richtig sei und dass man den Wegen in verschiedene Richtungen folgen müsse. Unser Held hat die Aufgabe erfüllt und landete in einem magischen Garten. Welchen Weg nahm er?

Definition.

Dies ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei gleiche Quadrate und dessen Seitenflächen gleiche Rechtecke sind

Seitliche Rippe- ist die gemeinsame Seite zweier benachbarter Seitenflächen

Prismenhöhe- Dies ist ein Segment senkrecht zur Basis des Prismas

Prismendiagonale- ein Segment, das zwei Eckpunkte der Basen verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören

Diagonale Ebene- eine Ebene, die durch die Diagonale des Prismas und seine Seitenkanten verläuft

Diagonaler Abschnitt- die Grenzen des Schnittpunkts des Prismas und der Diagonalebene. Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck

Senkrechter Schnitt (orthogonaler Schnitt)- Dies ist der Schnittpunkt eines Prismas und einer Ebene, die senkrecht zu seinen Seitenkanten verläuft

Elemente eines regelmäßigen viereckigen Prismas

Die Abbildung zeigt zwei regelmäßige viereckige Prismen, die durch die entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet sind:

• Die Basen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind gleich und parallel zueinander
• Seitenflächen AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C und CC 1 D 1 D, die jeweils ein Rechteck sind
• Seitenfläche – die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Prismas
• Gesamtfläche – die Summe der Flächen aller Grundflächen und Seitenflächen (Summe der Fläche der Seitenfläche und Grundflächen)
• Seitenrippen AA 1, BB 1, CC 1 und DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Basisdiagonale BD
• Diagonalschnitt BB 1 D 1 D
• Senkrechter Abschnitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas

• Die Grundflächen sind zwei gleiche Quadrate
• Die Basen sind parallel zueinander
• Die Seitenflächen sind Rechtecke
• Die Seitenkanten sind einander gleich
• Seitenflächen stehen senkrecht zu den Basen
• Die seitlichen Rippen sind parallel zueinander und gleich
• Senkrechter Schnitt senkrecht zu allen Seitenrippen und parallel zu den Basen
• Winkel des senkrechten Abschnitts - gerade
• Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck
• Senkrecht (orthogonaler Schnitt) parallel zu den Basen

Formeln für ein regelmäßiges viereckiges Prisma

Anleitung zur Problemlösung

Bei der Lösung von Problemen zum Thema „ regelmäßiges viereckiges Prisma" bedeutet, dass:

Richtiges Prisma- ein Prisma, an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen. Das heißt, ein regelmäßiges viereckiges Prisma enthält an seiner Basis Quadrat. (siehe Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas oben) Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Abschnitt Stereometrie – Prisma). Hier gibt es Probleme, die schwer zu lösen sind. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Um den Vorgang des Ziehens der Quadratwurzel bei der Lösung von Problemen zu kennzeichnen, wird das Symbol verwendet√ .

Aufgabe.

Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma beträgt die Grundfläche 144 cm 2 und die Höhe 14 cm. Ermitteln Sie die Diagonale des Prismas und die Gesamtoberfläche.

Lösung.
Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat.
Dementsprechend ist die Seite der Basis gleich

√144 = 12 cm.
Von dort aus ist die Diagonale der Basis eines regelmäßigen rechteckigen Prismas gleich
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas bildet mit der Diagonale der Grundfläche und der Höhe des Prismas ein rechtwinkliges Dreieck. Dementsprechend ist nach dem Satz des Pythagoras die Diagonale eines gegebenen regelmäßigen viereckigen Prismas gleich:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Antwort: 22 cm

Aufgabe

Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas, wenn seine Diagonale 5 cm und die Diagonale seiner Seitenfläche 4 cm beträgt.

Lösung.
Da die Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas ein Quadrat ist, ermitteln wir die Seite der Grundfläche (bezeichnet als a) mithilfe des Satzes des Pythagoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Die Höhe der Seitenfläche (bezeichnet als h) ist dann gleich:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Die Gesamtoberfläche entspricht der Summe aus der Seitenoberfläche und dem Doppelten der Grundfläche

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Antwort: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.