Die Tangentenebene verläuft mit der Kugel. Oberfläche und Volumen eines Pyramidenstumpfes. Fläche in der Differentialgeometrie

Die Geschichte vom Ursprung des Balls

Eines Tages, allein zu Hause gelassen, verbrachte der hübsche Halbkreis lange Zeit damit, sich zu verkleiden und vor einem kleinen Spiegel in Blechrahmen zu simulieren, und konnte nicht aufhören, sich selbst zu bewundern.

„Warum wollen die Leute verkünden, dass ich gut bin?“ sagte er. „Die Leute lügen, ich bin überhaupt nicht gut.“ Warum haben die Mädchen verkündet, dass es im Dorf Khatanga nie einen besseren Mann gegeben hat und auch nie einen besseren geben wird?“

Der Halbkreis wusste und hörte alles, was über ihn gesagt wurde, und war launisch wie ein gutaussehender Mann. Er konnte sich den ganzen Tag vor dem Spiegel bewundern und sich von allen Seiten begutachten. Und plötzlich geschah ein Wunder, als sich der Halbkreis vor dem Spiegel umdrehte und sein eigenes Spiegelbild in Form einer Kugel im Spiegel sah.

Aus der Entstehungsgeschichte

Eine Kugel wird üblicherweise als durch eine Kugel begrenzter Körper bezeichnet, das heißt, eine Kugel und eine Kugel sind unterschiedliche geometrische Körper. Die beiden Wörter „Kugel“ und „Kugel“ stammen jedoch vom gleichen griechischen Wort „sphaira“ – Kugel. Darüber hinaus entstand das Wort „Ball“ aus dem Übergang von Konsonanten sf V w.

Im Buch XI der Elemente definiert Euklid eine Kugel als eine Figur, die durch einen Halbkreis beschrieben wird, der sich um einen festen Durchmesser dreht. In der Antike genoss die Sphäre hohes Ansehen. Astronomische Beobachtungen des Firmaments riefen stets das Bild einer Kugel hervor.

Die Kugel wird seit jeher häufig in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie eingesetzt.

Definition

• Eine Kugel ist eine Fläche, die aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.
• Ein von einer Kugel begrenzter Körper wird Kugel genannt.

Allgemeine Konzepte

• Dieser Punkt wird als Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dieser Abstand wird als Radius der Kugel bezeichnet.
• Ein Segment, das zwei Punkte einer Kugel verbindet und durch deren Mittelpunkt verläuft, wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet.
• Der Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel wird auch Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel genannt.

Tangentialebene zu einer Kugel

Eine Ebene, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einer Kugel hat, wird als Tangentenebene an die Kugel bezeichnet, und ihr gemeinsamer Punkt wird als Tangentenpunkt zwischen der Ebene und der Kugel bezeichnet.

Schnitt einer Kugel durch eine Ebene

• Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt.
• Der durch die Mitte der Kugel verlaufende Abschnitt ist ein großer Kreis. (diametraler Abschnitt).

Problem am Themenball (d/z)

Auf der Oberfläche des Balls befinden sich drei Punkte. Die geradlinigen Abstände zwischen ihnen betragen 6 cm, 8 cm, 10 cm. Der Radius der Kugel beträgt 13 cm. Finden Sie den Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene, die durch diese Punkte verläuft. (1,7 cm, 2,15 cm, 3,12 cm, 4,20 cm)

TEXTTRANSKRIPT DER LEKTION:

Wir setzen unsere Bekanntschaft mit der Sphäre und ihren Elementen fort.

In der letzten Lektion haben Sie die Fälle der relativen Position einer Ebene und einer Kugel untersucht.

Es ist zu beachten, dass der Schnitt der Kugel durch diese Ebene ein Kreis ist, wenn der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene kleiner als der Radius der Kugel ist.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene größer ist als der Radius der Kugel, dann haben Ebene und Kugel keine gemeinsamen Punkte.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene gleich dem Radius der Kugel ist, dann haben Ebene und Kugel einen einzigen gemeinsamen Punkt.

Betrachten wir im Detail den Fall, dass die Ebene und die Kugel einen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

Eine Tangentialebene ist eine Ebene, die nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat; dieser gemeinsame Punkt wird Tangentialpunkt genannt.

Betrachten Sie die Tangentenebene α an die Kugel mit dem Mittelpunkt im Punkt O.

Beweisen wir, dass der Radius der Kugel senkrecht zur Tangentenebene α steht.

1. Führen wir den Widerspruchsbeweis durch, d. h. wir gehen davon aus, dass der Radius OA nicht senkrecht zur Tangentenebene α steht.

2. Folglich ist OA zur Ebene α geneigt, was bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene α kleiner ist als der Radius von OA.

3. Somit haben wir erhalten, dass sich die Kugel und die Ebene α entlang eines Kreises schneiden, was im Widerspruch zu der Bedingung steht, dass die Ebene α und die Kugel einen gemeinsamen Punkt haben.

Daher steht der Radius OA senkrecht zur Ebene α.

Wir haben also einen Satz über die Eigenschaft einer Tangentenebene an eine Kugel bewiesen: Der Radius einer Kugel steht senkrecht zur Tangentenebene, wenn sie zum Kontaktpunkt zwischen der Ebene und der Kugel gezogen wird.

Diese Eigenschaft ähnelt der Eigenschaft einer Tangente an einen Kreis.

Beweisen wir den umgekehrten Satz.

1. Zeichnen wir den Radius der Kugel senkrecht zu der Ebene, die durch ihr Ende verläuft.

2. Daher ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene gleich dem Radius der Kugel, was bedeutet, dass die Ebene und die Kugel nur einen gemeinsamen Punkt haben, diese Ebene also tangential zur Kugel ist.

Damit haben wir bewiesen, dass, wenn der Radius einer Kugel senkrecht zu der durch ihr Ende verlaufenden Ebene steht, diese Ebene die Kugel tangiert.

Lassen Sie uns das erworbene Wissen anwenden, um Probleme zu lösen.

Der Radius der Kugel beträgt 112 cm. Ein Punkt, der auf der Tangente zur Kugel liegt, ist 15 cm vom Berührungspunkt entfernt. Bestimmen Sie den Abstand von diesem Punkt zum nächstgelegenen Punkt der Kugel.

1) Beweisen wir, dass Punkt A, der zum Segment OP gehört, Punkt P am nächsten liegt.

Wählen wir einen beliebigen Punkt N auf der Kugel.

Zeichnen wir die Segmente NO und NP.

Aus der Dreiecksungleichung ONP folgt:

OA+AP=OP also

ON+NP OA+AP, wobei ON und OA Radien sind.

Daher R+ NP R+AP oder NP AP.

AP ist also NP, und da Punkt N willkürlich gewählt wird, liegt Punkt A, der zum Segment OP gehört, dem Punkt P am nächsten.

2. Ermitteln wir die Länge des erforderlichen Segments AR als Differenz zwischen den Segmenten OP und OA, wobei OA der Radius der Kugel R ist.

Nach dem bekannten Theorem steht der Radius einer Kugel senkrecht zur Tangentenebene. Wenn man sie zum Kontaktpunkt zwischen der Ebene und der Kugel zieht, ergibt sich, dass das OCR-Dreieck rechteckig ist.

Das Segment OP ist die Hypotenuse dieses Dreiecks; wir finden es mit dem Satz des Pythagoras:

ODER=√OK2+KR2=√1122+152=√12544+225=√12769=113 cm

Also AR=OP-OA=113-112=1 cm.

Somit beträgt der Abstand von einem Punkt, der auf der Tangentenebene an die Kugel liegt, zu dem Punkt der Kugel, der ihm am nächsten liegt, 1 cm.

Items 64 – 67, Studienitems 576, 578

Hausaufgaben prüfen I Schüler: Herleitung der Kugelgleichung II Schüler: 581 III Schüler: 586 (b) IV Schüler: Was nennt man eine Kugel? 2. Wie nennt man den Durchmesser einer Kugel? 3. Erzählen Sie uns von der relativen Position der Kugel und der Ebene. 581, 586(b), 587

O Eigenschaft einer Tangentenebene Gegeben: Kugel (O; R), R = OA, - Tangentenebene, A – Tangentialpunkt Beweisen Sie: OA. Ein Beweis. Nehmen wir das Gegenteil an: Sei OA, also ist OA zur Ebene geneigt, was bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene kleiner als OA ist, also kleiner als der Radius R: d

O Vorzeichen einer Tangentenebene Gegeben: Kugel (O; R), R = OA, OA, A. Beweisen Sie: - Tangentenebene. Ein Beweis. OA, was bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene gleich dem Radius der Kugel ist: d = R, daher haben Kugel und Ebene nur einen gemeinsamen Punkt, d.h. diese Ebene ist eine Tangente. Wenn der Radius einer Kugel senkrecht zu der Ebene steht, die durch ihr auf der Kugel liegendes Ende verläuft, dann ist diese Ebene Tangente an die Kugel.

Flugzeug, die durch den Punkt A der Kugeloberfläche verläuft und senkrecht zum zum Punkt A gezogenen Radius verläuft, wird als Tangentenebene bezeichnet. Punkt A wird als Kontaktpunkt bezeichnet (Abb. 457).

Die Tangentenebene hat mit der Kugel nur einen gemeinsamen Punkt – den Berührungspunkt.

53) Volumen ist die Oberfläche des Prismas.

Ein Prisma ist ein Polyeder, dessen zwei Flächen n-Ecke sind und die restlichen n Flächen Parallelogramme sind.

Oberfläche und Volumen eines Prismas

Lassen H- Höhe des Prismas, - Seitenkante des Prismas, - Umfang der Basis des Prismas, Fläche der Basis des Prismas, - Fläche der Seitenfläche des Prismas, - Fläche des Gesamtoberfläche des Prismas, - Volumen des Prismas, - Umfang des senkrechten Abschnitts des Prismas, - Fläche des senkrechten Abschnitts des Prismas. Dann gelten folgende Beziehungen:

Für gerades Prisma, bei dem die Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basen stehen, werden die Seitenoberfläche und das Volumen durch die Formeln angegeben:

54) Das Volumen und die Fläche der Oberfläche der Pyramide.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche ein beliebiges Polygon ist und die übrigen Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Oberfläche und Volumen der Pyramide

Sei die Höhe der Pyramide, sei der Umfang der Basis der Pyramide, sei die Fläche der Basis der Pyramide, sei die Fläche der Seitenfläche der Pyramide, sei die Fläche der Gesamtoberfläche der Pyramide und sei das Volumen der Pyramide. Dann gelten folgende Beziehungen:

Wenn alle Diederwinkel an der Basis der Pyramide gleich sind und die Höhen aller Seitenflächen der Pyramide, die von der Spitze der Pyramide aus gezeichnet werden, gleich sind, dann ist dies der Fall

55) Das Volumen und die Ebenheit der Oberfläche der geschnittenen Pyramide.

Ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder, dessen Eckpunkte die Eckpunkte der Basis und die Eckpunkte seines Schnitts durch eine zur Basis parallele Ebene sind.

Oberfläche und Volumen eines Pyramidenstumpfes

Sei die Höhe des Pyramidenstumpfes und seien die Umfänge der Grundflächen des Pyramidenstumpfes, und seien die Flächen der Grundflächen des Pyramidenstumpfes, sei die Fläche der Seitenfläche des Pyramidenstumpfes, sei die Fläche der Gesamtoberfläche des Pyramidenstumpfes und sei das Volumen des Pyramidenstumpfes. Dann gelten folgende Beziehungen:

Wenn alle Diederwinkel an der Basis eines Pyramidenstumpfes gleich sind und die Höhen aller Seitenflächen der Pyramide gleich sind, dann

56) Volumen ist die Fläche des Zylindervolumens.

Ein Zylinder ist ein Körper, der aus zwei Kreisen besteht, die nicht in derselben Ebene liegen und durch Parallelverschiebung kombiniert werden, wobei alle Segmente die entsprechenden Punkte der Kreise verbinden.

Die Mantelfläche eines runden Zylinders ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe:

Die Gesamtoberfläche eines Kreiszylinders ist gleich der Summe der Mantelflächen des Kreiszylinders und dem Doppelten der Grundfläche. Die Grundfläche eines runden Zylinders ist ein Kreis und seine Fläche wird nach der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet:

2. S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r)

Formeln zur Berechnung des Volumens eines Zylinders:

1) Das Volumen eines Zylinders ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

2) Das Volumen des Zylinders ist gleich dem Produkt von pi (3,1415) mal dem Quadrat des Radius der Basis und der Höhe.

57) Volumen ist die Fläche des Volumens eines Kegels, eines geschnittenen Kegels.

Einen Kegelstumpf erhält man, wenn man in den Kegel einen Schnitt parallel zur Grundfläche einzeichnet. Der durch diesen Abschnitt, die Basis und die Mantelfläche des Kegels begrenzte Körper wird Kegelstumpf genannt. Siehe auch Oberfläche eines Kegelstumpfes

58) Volumen der Teile. Bereich der Kugel

1) Das Volumen der Kugel wird mit der folgenden Formel berechnet.

Datum: 02.02.2016

Thema: Tangente an eine Kugel einer Ebene.

Zweck der Lektion: Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler zum Thema entwickeln und Theoreme berücksichtigen

o, lehren Sie, wie man Probleme zu diesem Thema löst.
Kultivieren Sie Aufmerksamkeit, gewissenhafte Einstellung zum Lernen und Genauigkeit

Entwickeln Sie Gedächtnis, Denken, räumliches Vorstellungsvermögen und Sprache

Unterrichtsstruktur

Zeit organisieren

Ein Unterrichtsziel festlegen

Hausaufgaben überprüfen

Schutz der Präsentationen von Studierenden

Individuelles selbstständiges Arbeiten

Probleme zu zweit lösen

Probleme in einer Gruppe lösen

Achtsamkeitsspiel

Ausgabe von Hausaufgaben

Zusammenfassung der Lektion
Während des Unterrichts

Zu Beginn des Unterrichts wird eine mündliche Arbeit durchgeführt. Wiederholung grundlegender Konzepte im Zusammenhang mit Ball und Kugel.

Hausaufgabe Nr. 26 (Seite 61), Nr. 34

Die Tafeldienstleistenden (in der Pause) fertigen Hausaufgabenzeichnungen an. Während des Unterrichts ruft der Lehrer zwei Schüler an die Tafel, um ihre Hausaufgaben zu überprüfen. Nach der Beantwortung an der Tafel geben sich die Studierenden auf Bewertungsbögen selbst Noten.

Präsentationsschutz:

Gruppe I: Geschichte des Balls

Gruppe II: Gegenseitige Anordnung von Kugel und Ebene

Gruppe III: Kugel und Kugel in der belebten Natur

Selbstständige Arbeit

1. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und des Radius der Kugel, die durch die Gleichung gegeben sind:

1 Option

(x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 = 25

Option 2

(x+3) 2 + y 2 + ( z-1) 2 = 16

2. Schreiben Sie die Gleichung einer Kugel mit RadiusRmit dem Mittelpunkt des Kreises im Punkt A, wenn:

1 Option

A (2; 0; -1), R = 7

Option 2

A (-2; 1; 0) , R = 6

3. Überprüfen Sie, ob Punkt A auf der durch die Gleichung gegebenen Kugel liegt:

1 Option

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 + ( z– 3) 2 = 1 wenn A (-2; 1; 4)

Option 2

(x - 3) 2 + (y + 1) 2 + ( z- 4) 2 = 4 wenn A (5; - 1; 4)

4. Beweisen Sie, dass diese Gleichung die Gleichung einer Kugel ist:

1 Option

x 2 + y 2 + z 2 + 2 z- 2у= 2

Arbeiten zu zweit

Option 2

x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2 z = 7

Der Radius der Kugel beträgt 112 cm. Ein Punkt, der auf einer Ebene liegt, die die Kugel tangiert, ist 15 cm vom Tangentialpunkt entfernt. Bestimmen Sie den Abstand von diesem Punkt zum nächstgelegenen Punkt der Kugel.

Gruppenarbeit

Alle Seiten des Dreiecks ABC berühren eine Kugel mit einem Radius von 5 cm. Ermitteln Sie den Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene des Dreiecks, wenn AB = 13 cm, BC = 14 cm, CA = 15 cm

Spiel der Aufmerksamkeit

Die Grundformeln für die Flächen von Polyedern und Rotationskörpern sind auf farbigem Papier niedergeschrieben. Diese Karten werden an einer Magnettafel befestigt. Der Lehrer bittet Sie, sich die Formeln genau anzusehen und sich diese zu merken. Natürlich beginnen die Schüler, sich die Formeln selbst zu merken. Nachdem er die Tafel geschlossen hat, stellt der Lehrer folgende Fragen: „Welche Farbe hat die Karte, auf der die Formel für die Fläche der Seitenfläche der Pyramide steht?“ usw. Mit einer solchen Frage hatten die Studierenden natürlich nicht gerechnet. Der Lehrer gibt eine weitere Gelegenheit, aber dieses Mal versuchen die Schüler, sich an die Farbe der Karte zu erinnern.

Zusammenfassung der Lektion.

Bewertungsskala

„5“ für 8-9 Punkte

„4“ – für 6-7 Punkte

„3“ – für 4-5 Punkte

Hausaufgaben: Nr. 28 (Seite 61), Nr. 29 (Seite 62)