Lineare Gleichungen. Der komplette Leitfaden (2019). Gleichungen verstehen
Gleichungen sind eines der am schwierigsten zu beherrschenden Themen, aber sie sind auch ein leistungsstarkes Werkzeug zur Lösung der meisten Probleme.
Mithilfe von Gleichungen werden verschiedene in der Natur ablaufende Prozesse beschrieben. Gleichungen werden in anderen Wissenschaften häufig verwendet: Wirtschaftswissenschaften, Physik, Biologie und Chemie.
In dieser Lektion werden wir versuchen, die Essenz der einfachsten Gleichungen zu verstehen, lernen, Unbekannte auszudrücken und mehrere Gleichungen zu lösen. Wenn Sie neue Materialien erlernen, werden die Gleichungen komplexer, daher ist es sehr wichtig, die Grundlagen zu verstehen.
Vorläufige Fähigkeiten UnterrichtsinhalteWas ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist eine Gleichung, die eine Variable enthält, deren Wert Sie ermitteln möchten. Dieser Wert muss so sein, dass beim Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.
Beispielsweise ist der Ausdruck 2 + 2 = 4 eine Gleichheit. Bei der Berechnung der linken Seite ergibt sich die korrekte numerische Gleichheit 4 = 4.
Aber die Gleichheit ist 2 + X= 4 ist eine Gleichung, weil sie eine Variable enthält X, dessen Wert ermittelt werden kann. Der Wert muss so sein, dass beim Einsetzen dieses Werts in die ursprüngliche Gleichung die korrekte numerische Gleichheit erhalten wird.
Mit anderen Worten, wir müssen einen Wert finden, bei dem das Gleichheitszeichen seine Position rechtfertigen würde – die linke Seite muss gleich der rechten Seite sein.
Gleichung 2 + X= 4 ist elementar. Variablenwert X ist gleich der Zahl 2. Für jeden anderen Wert wird keine Gleichheit eingehalten
Sie sagen, dass die Nummer 2 ist Wurzel oder Lösung der Gleichung 2 + X = 4
Wurzel oder Lösung der Gleichung- Dies ist der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit übergeht.
Es können mehrere oder gar keine Wurzeln vorhanden sein. Löse die Gleichung bedeutet, seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.
Die in der Gleichung enthaltene Variable wird ansonsten aufgerufen Unbekannt. Sie haben das Recht, es so zu nennen, wie Sie möchten. Das sind Synonyme.
Notiz. Der Ausdruck „eine Gleichung lösen“ spricht für sich. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, die Gleichung „anzugleichen“ – sie ins Gleichgewicht zu bringen, sodass die linke Seite der rechten Seite entspricht.
Drücken Sie das eine durch das andere aus
Das Studium von Gleichungen beginnt traditionell damit, dass man lernt, eine in einer Gleichheit enthaltene Zahl durch eine Reihe anderer auszudrücken. Lasst uns diese Tradition nicht brechen und dasselbe tun.
Betrachten Sie den folgenden Ausdruck:
8 + 2
Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 8 und 2. Der Wert dieses Ausdrucks ist 10
8 + 2 = 10
Wir haben Gleichberechtigung. Jetzt können Sie jede Zahl aus dieser Gleichheit durch andere Zahlen ausdrücken, die in derselben Gleichheit enthalten sind. Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahl 2 ausdrücken.
Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie die Frage stellen: „Was muss mit den Zahlen 10 und 8 gemacht werden, um die Zahl 2 zu erhalten.“ Es ist klar, dass Sie die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahieren müssen, um die Zahl 2 zu erhalten.
Das ist was wir machen. Wir schreiben die Zahl 2 auf und sagen durch das Gleichheitszeichen, dass wir, um diese Zahl 2 zu erhalten, die Zahl 8 von der Zahl 10 subtrahiert haben:
2 = 10 − 8
Wir haben die Zahl 2 aus der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausgedrückt. Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, ist dies nicht kompliziert.
Beim Lösen von Gleichungen, insbesondere beim Ausdrücken einer Zahl durch andere, ist es zweckmäßig, das Gleichheitszeichen durch das Wort „ zu ersetzen. Es gibt" . Dies muss mental geschehen und nicht im Ausdruck selbst.
Wenn wir also die Zahl 2 aus der Gleichheit 8 + 2 = 10 ausdrücken, erhalten wir die Gleichheit 2 = 10 − 8. Diese Gleichheit kann wie folgt gelesen werden:
2 Es gibt 10 − 8
Das heißt, ein Zeichen = durch das Wort „ist“ ersetzt. Darüber hinaus kann die Gleichung 2 = 10 − 8 aus der mathematischen Sprache in die vollwertige menschliche Sprache übersetzt werden. Dann kann es wie folgt gelesen werden:
Nummer 2 Es gibt Unterschied zwischen Nummer 10 und Nummer 8
Nummer 2 Es gibt Unterschied zwischen Nummer 10 und Nummer 8.
Aber wir werden uns darauf beschränken, das Gleichheitszeichen nur durch das Wort „ist“ zu ersetzen, und das werden wir nicht immer tun. Elementare Ausdrücke können verstanden werden, ohne die mathematische Sprache in die menschliche Sprache zu übersetzen.
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 2 = 10 − 8 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
8 + 2 = 10
Drücken wir dieses Mal die Zahl 8 aus. Was muss mit den restlichen Zahlen gemacht werden, um die Zahl 8 zu erhalten? Das ist richtig, Sie müssen 2 von der Zahl 10 subtrahieren
8 = 10 − 2
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 10 − 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
8 + 2 = 10
Dieses Mal werden wir die Zahl 10 ausdrücken. Aber es stellt sich heraus, dass es nicht nötig ist, die Zehn auszudrücken, da sie bereits ausgedrückt ist. Es genügt, den linken und rechten Teil zu vertauschen, dann bekommen wir, was wir brauchen:
10 = 8 + 2
Beispiel 2. Betrachten Sie die Gleichung 8 − 2 = 6
Drücken wir aus dieser Gleichheit die Zahl 8 aus. Um die Zahl 8 auszudrücken, müssen die verbleibenden zwei Zahlen addiert werden:
8 = 6 + 2
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 8 = 6 + 2 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
8 − 2 = 6
Drücken wir aus dieser Gleichheit die Zahl 2 aus. Um die Zahl 2 auszudrücken, müssen Sie 6 von 8 subtrahieren
2 = 8 − 6
Beispiel 3. Betrachten Sie die Gleichheit 3 × 2 = 6
Lassen Sie uns die Zahl 3 ausdrücken. Um die Zahl 3 auszudrücken, benötigen Sie 6 geteilt durch 2
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
3 × 2 = 6
Drücken wir aus dieser Gleichheit die Zahl 2 aus. Um die Zahl 2 auszudrücken, benötigen Sie 6 geteilt durch 3
Beispiel 4. Bedenken Sie die Gleichheit
Drücken wir aus dieser Gleichheit die Zahl 15 aus. Um die Zahl 15 auszudrücken, müssen Sie die Zahlen 3 und 5 multiplizieren
15 = 3 × 5
Lassen Sie uns die resultierende Gleichheit 15 = 3 × 5 in ihren ursprünglichen Zustand zurückversetzen:
Drücken wir aus dieser Gleichheit die Zahl 5 aus. Um die Zahl 5 auszudrücken, benötigen Sie 15 geteilt durch 3
Regeln zum Auffinden von Unbekannten
Betrachten wir einige Regeln zum Auffinden von Unbekannten. Sie kommen Ihnen vielleicht bekannt vor, aber es schadet nicht, sie noch einmal zu wiederholen. In Zukunft können sie vergessen werden, da wir lernen, Gleichungen zu lösen, ohne diese Regeln anzuwenden.
Kehren wir zum ersten Beispiel zurück, das wir uns im vorherigen Thema angesehen haben, wo wir in der Gleichheit 8 + 2 = 10 die Zahl 2 ausdrücken mussten.
In der Gleichung 8 + 2 = 10 sind die Zahlen 8 und 2 die Terme und die Zahl 10 die Summe.
Um die Nummer 2 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
2 = 10 − 8
Das heißt, von der Summe 10 haben wir den Term 8 abgezogen.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichung 8 + 2 = 10 anstelle der Zahl 2 eine Variable gibt X
8 + X = 10
In diesem Fall wird die Gleichheit 8 + 2 = 10 zur Gleichung 8 + X= 10 und die Variable X unbekannter Begriff
Unsere Aufgabe ist es, diesen unbekannten Term zu finden, also die Gleichung 8 + zu lösen X= 10 . Um einen unbekannten Begriff zu finden, gilt folgende Regel:
Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren.
Das ist im Grunde das, was wir getan haben, als wir zwei in der Gleichung 8 + 2 = 10 ausgedrückt haben. Um Term 2 auszudrücken, haben wir einen weiteren Term 8 von der Summe 10 subtrahiert
2 = 10 − 8
Nun geht es darum, den unbekannten Begriff zu finden X, wir müssen den bekannten Term 8 von der Summe 10 subtrahieren:
X = 10 − 8
Wenn Sie die rechte Seite der resultierenden Gleichheit berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable ist X
X = 2
Wir haben die Gleichung gelöst. Variablenwert X gleich 2. Um den Wert einer Variablen zu überprüfen X an die ursprüngliche Gleichung 8 + gesendet X= 10 und ersetzen X. Es empfiehlt sich, dies bei jeder gelösten Gleichung zu tun, da Sie nicht absolut sicher sein können, dass die Gleichung korrekt gelöst wurde:
Ergebend
Die gleiche Regel würde gelten, wenn der unbekannte Begriff die erste Zahl 8 wäre.
X + 2 = 10
In dieser Gleichung X ist der unbekannte Term, 2 ist der bekannte Term, 10 ist die Summe. Einen unbekannten Begriff finden X, müssen Sie den bekannten Term 2 von der Summe 10 subtrahieren
X = 10 − 2
X = 8
Kehren wir zum zweiten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo in der Gleichheit 8 − 2 = 6 die Zahl 8 ausgedrückt werden musste.
In der Gleichheit 8 − 2 = 6 ist die Zahl 8 der Minuend, die Zahl 2 der Subtrahend und die Zahl 6 die Differenz
Um die Zahl 8 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
8 = 6 + 2
Das heißt, wir haben die Differenz von 6 addiert und 2 subtrahiert.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 8 eine Variable gibt X
X − 2 = 6
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle des sogenannten unbekannter Minuend
Um einen unbekannten Minuenden zu finden, gilt folgende Regel:
Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.
Das haben wir getan, als wir die Zahl 8 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um den Minuenden von 8 auszudrücken, haben wir den Subtrahend von 2 zur Differenz von 6 hinzugefügt.
Nun gilt es, den unbekannten Minuenden zu finden X, müssen wir den Subtrahend 2 zur Differenz 6 addieren
X = 6 + 2
Wenn Sie die rechte Seite berechnen, können Sie herausfinden, was die Variable ist X
X = 8
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichung 8 − 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable gibt X
8 − X = 6
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Subtrahend
Um einen unbekannten Subtrahend zu finden, gilt folgende Regel:
Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 2 in der Gleichung 8 − 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 auszudrücken, haben wir die Differenz 6 vom Minuend 8 subtrahiert.
Nun geht es darum, den unbekannten Subtrahend zu finden X, müssen Sie erneut die Differenz 6 vom Minuend 8 subtrahieren
X = 8 − 6
Wir berechnen die rechte Seite und ermitteln den Wert X
X = 2
Kehren wir zum dritten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo wir in der Gleichheit 3 × 2 = 6 versucht haben, die Zahl 3 auszudrücken.
In der Gleichung 3 × 2 = 6 ist die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt
Um die Nummer 3 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
Das heißt, wir haben das Produkt von 6 durch den Faktor 2 dividiert.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 3 eine Variable gibt X
X× 2 = 6
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Multiplikand.
Um einen unbekannten Multiplikanden zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:
Um einen unbekannten Multiplikanden zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Faktor dividieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 3 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Wir haben das Produkt 6 durch den Faktor 2 dividiert.
Nun gilt es, den unbekannten Multiplikanden zu finden X, müssen Sie das Produkt 6 durch den Faktor 2 dividieren.
Durch die Berechnung der rechten Seite können wir den Wert einer Variablen ermitteln X
X = 3
Die gleiche Regel gilt für die Variable X steht anstelle des Multiplikators, nicht des Multiplikanden. Stellen wir uns vor, dass es in der Gleichheit 3 × 2 = 6 anstelle der Zahl 2 eine Variable gibt X.
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Multiplikator. Um einen unbekannten Faktor zu finden, wird das gleiche Verfahren wie für die Suche nach einem unbekannten Multiplikanden angewendet, nämlich das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren:
Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 2 aus der Gleichung 3 × 2 = 6 ausgedrückt haben. Um die Zahl 2 zu erhalten, dividierten wir dann das Produkt von 6 durch seinen Multiplikanden 3.
Nun gilt es, den unbekannten Faktor zu finden X Wir haben das Produkt von 6 durch den Multiplikanden von 3 dividiert.
Durch die Berechnung der rechten Seite der Gleichheit können Sie herausfinden, was x ist
X = 2
Der Multiplikand und der Multiplikator zusammen werden Faktoren genannt. Da die Regeln zum Ermitteln des Multiplikanden und des Multiplikators dieselben sind, können wir eine allgemeine Regel zum Ermitteln eines unbekannten Faktors formulieren:
Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.
Lösen wir zum Beispiel die Gleichung 9 × X= 18. Variable X ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt 18 durch den bekannten Faktor 9 dividieren
Lassen Sie uns die Gleichung lösen X× 3 = 27. Variable X ist ein unbekannter Faktor. Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt 27 durch den bekannten Faktor 3 dividieren
Kehren wir zum vierten Beispiel aus dem vorherigen Thema zurück, wo wir in einer Gleichheit die Zahl 15 ausdrücken mussten. In dieser Gleichheit ist die Zahl 15 der Dividend, die Zahl 5 der Divisor und die Zahl 3 der Quotient.
Um die Zahl 15 auszudrücken, haben wir Folgendes getan:
15 = 3 × 5
Das heißt, wir haben den Quotienten von 3 mit dem Teiler von 5 multipliziert.
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 15 eine Variable gibt X
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannte Dividende.
Um eine unbekannte Dividende zu finden, gilt die folgende Regel:
Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 15 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 15 auszudrücken, multiplizieren wir den Quotienten von 3 mit dem Teiler von 5.
Nun gilt es, die unbekannte Dividende zu finden X, müssen Sie den Quotienten 3 mit dem Divisor 5 multiplizieren
X= 3 × 5
X .
X = 15
Stellen Sie sich nun vor, dass es in der Gleichheit anstelle der Zahl 5 eine Variable gibt X .
In diesem Fall die Variable Xübernimmt die Rolle unbekannter Teiler.
Um einen unbekannten Teiler zu finden, wird die folgende Regel bereitgestellt:
Dies haben wir getan, als wir die Zahl 5 aus der Gleichheit ausgedrückt haben. Um die Zahl 5 auszudrücken, dividieren wir den Dividenden 15 durch den Quotienten 3.
Nun gilt es, den unbekannten Teiler zu finden X, müssen Sie den Dividenden 15 durch den Quotienten 3 dividieren
Berechnen wir die rechte Seite der resultierenden Gleichheit. Auf diese Weise finden wir heraus, was die Variable ist X .
X = 5
Um Unbekannte zu finden, haben wir die folgenden Regeln untersucht:
- Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren;
- Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren;
- Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren;
- Um einen unbekannten Multiplikanden zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Faktor dividieren;
- Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren;
- Um einen unbekannten Dividenden zu finden, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren;
- Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.
Komponenten
Wir nennen Komponenten die in der Gleichheit enthaltenen Zahlen und Variablen
Die Komponenten der Addition sind also Bedingungen Und Summe
Die Subtraktionskomponenten sind Minuend, Subtrahend Und Unterschied
Die Komponenten der Multiplikation sind Multiplikand, Faktor Und arbeiten
Die Komponenten der Division sind Dividende, Divisor und Quotient.
Abhängig davon, um welche Komponenten es sich handelt, gelten die entsprechenden Regeln zum Auffinden von Unbekannten. Wir haben diese Regeln im vorherigen Thema untersucht. Beim Lösen von Gleichungen empfiehlt es sich, diese Regeln auswendig zu kennen.
Beispiel 1. Finden Sie die Wurzel der Gleichung 45 + X = 60
45 - Begriff, X- unbekannter Begriff, 60 - Summe. Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Addition. Wir erinnern uns, dass Sie zum Finden eines unbekannten Begriffs den bekannten Begriff von der Summe subtrahieren müssen:
X = 60 − 45
Berechnen wir die rechte Seite und ermitteln den Wert X gleich 15
X = 15
Die Wurzel der Gleichung ist also 45 + X= 60 ist gleich 15.
Meistens muss ein unbekannter Begriff auf eine Form reduziert werden, in der er ausgedrückt werden kann.
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel kann der unbekannte Term hier nicht sofort ausgedrückt werden, da er einen Koeffizienten von 2 enthält. Unsere Aufgabe besteht darin, diese Gleichung in eine Form zu bringen, in der sie ausgedrückt werden könnte X
In diesem Beispiel beschäftigen wir uns mit den Komponenten der Addition – den Termen und der Summe. 2 X ist der erste Term, 4 ist der zweite Term, 8 ist die Summe.
In diesem Fall Begriff 2 X enthält eine Variable X. Nachdem Sie den Wert der Variablen gefunden haben X Begriff 2 X wird ein anderes Aussehen haben. Daher Begriff 2 X kann völlig als unbekannter Begriff aufgefasst werden:
Nun wenden wir die Regel zum Finden des unbekannten Begriffs an. Subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe:
Berechnen wir die rechte Seite der resultierenden Gleichung:
Wir haben eine neue Gleichung. Jetzt beschäftigen wir uns mit den Komponenten der Multiplikation: dem Multiplikanden, dem Multiplikator und dem Produkt. 2 - Multiplikand, X- Multiplikator, 4 - Produkt
In diesem Fall die Variable X ist nicht nur ein Multiplikator, sondern ein unbekannter Multiplikator
Um diesen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:
Berechnen wir die rechte Seite und ermitteln den Wert der Variablen X
Um dies zu überprüfen, senden Sie die gefundene Wurzel an die ursprüngliche Gleichung und ersetzen Sie sie X
Beispiel 3. Löse die Gleichung 3X+ 9X+ 16X= 56
Bringen Sie das Unbekannte sofort zum Ausdruck X es ist verboten. Zuerst müssen Sie diese Gleichung in eine Form bringen, in der sie ausgedrückt werden kann.
Auf der linken Seite dieser Gleichung stellen wir dar:
Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. 28 - Multiplikand, X- Multiplikator, 56 - Produkt. Dabei X ist ein unbekannter Faktor. Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den Multiplikanden dividieren:
Von hier X gleich 2
Äquivalente Gleichungen
Im vorherigen Beispiel beim Lösen der Gleichung 3X + 9X + 16X = 56 haben wir ähnliche Begriffe auf der linken Seite der Gleichung angegeben. Als Ergebnis haben wir eine neue Gleichung 28 erhalten X= 56 . Alte Gleichung 3X + 9X + 16X = 56 und die daraus resultierende neue Gleichung 28 X= 56 wird aufgerufen äquivalente Gleichungen, da ihre Wurzeln zusammenfallen.
Gleichungen heißen äquivalent, wenn ihre Wurzeln übereinstimmen.
Schauen wir es uns an. Für die Gleichung 3X+ 9X+ 16X= 56 Wir haben herausgefunden, dass die Wurzel gleich 2 ist. Setzen wir zunächst diese Wurzel in die Gleichung ein 3X+ 9X+ 16X= 56 und dann in Gleichung 28 X= 56, was durch Einbringen ähnlicher Terme auf der linken Seite der vorherigen Gleichung erhalten wurde. Wir müssen die richtigen numerischen Gleichungen erhalten
Entsprechend der Reihenfolge der Operationen wird zuerst die Multiplikation durchgeführt:
Setzen wir Wurzel 2 in die zweite Gleichung 28 ein X= 56
Wir sehen, dass beide Gleichungen die gleichen Wurzeln haben. Also die Gleichungen 3X+ 9X+ 16X= 6 und 28 X= 56 sind tatsächlich gleichwertig.
Um die Gleichung zu lösen 3X+ 9X+ 16X= 56 Wir haben eine davon verwendet – die Reduzierung ähnlicher Begriffe. Die korrekte Identitätstransformation der Gleichung ermöglichte es uns, die äquivalente Gleichung 28 zu erhalten X= 56, was einfacher zu lösen ist.
Von den identischen Transformationen wissen wir derzeit nur, wie man Brüche reduziert, ähnliche Terme bringt, den gemeinsamen Faktor aus Klammern entfernt und auch Klammern öffnet. Es gibt weitere Konvertierungen, die Sie beachten sollten. Aber für eine allgemeine Vorstellung von identischen Transformationen von Gleichungen reichen die von uns untersuchten Themen völlig aus.
Betrachten wir einige Transformationen, die es uns ermöglichen, die äquivalente Gleichung zu erhalten
Wenn Sie auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl hinzufügen, erhalten Sie eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.
und ähnlich:
Wenn Sie von beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl subtrahieren, erhalten Sie eine Gleichung, die der angegebenen Gleichung äquivalent ist.
Mit anderen Worten: Die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn dieselbe Zahl zu derselben Zahl addiert (oder von beiden Seiten davon subtrahiert) wird.
Beispiel 1. Löse die Gleichung 
Subtrahieren Sie 10 von beiden Seiten der Gleichung
Wir haben Gleichung 5 X= 10 . Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Einen unbekannten Faktor finden X, müssen Sie das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 5 dividieren.
und ersetzen X Wert 2 gefunden
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Lösung der Gleichung Wir haben die Zahl 10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichung ist auch gleich 2
Beispiel 2. Lösen Sie Gleichung 4( X+ 3) = 16
Subtrahieren Sie die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung
Auf der linken Seite sind noch 4 übrig X und auf der rechten Seite die Zahl 4
Wir haben Gleichung 4 X= 4 . Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Einen unbekannten Faktor finden X, müssen Sie das Produkt 4 durch den bekannten Faktor 4 dividieren
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung 4( X+ 3) = 16 und Ersatz X Wert 1 gefunden
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Lösung von Gleichung 4( X+ 3) = 16 Wir haben die Zahl 12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert. Als Ergebnis haben wir die äquivalente Gleichung 4 erhalten X= 4 . Die Wurzel dieser Gleichung, wie Gleichung 4( X+ 3) = 16 ist auch gleich 1
Beispiel 3. Löse die Gleichung 
Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:
Addiere die Zahl 8 auf beiden Seiten der Gleichung
Lassen Sie uns auf beiden Seiten der Gleichung ähnliche Begriffe darstellen:
Auf der linken Seite sind noch 2 übrig X und auf der rechten Seite die Zahl 9
In der resultierenden Gleichung 2 X= 9 drücken wir den unbekannten Begriff aus X
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen X gefundener Wert 4,5
Wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Lösung der Gleichung Wir haben auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 8 hinzugefügt. Als Ergebnis haben wir eine äquivalente Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichung ebenfalls gleich 4,5
Die nächste Regel, die es uns ermöglicht, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, lautet wie folgt
Wenn Sie einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist.
Das heißt, die Wurzel der Gleichung ändert sich nicht, wenn wir einen Term von einem Teil der Gleichung in einen anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern. Diese Eigenschaft ist eine der wichtigsten und wird häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet.
Betrachten Sie die folgende Gleichung:
Die Wurzel dieser Gleichung ist gleich 2. Ersetzen wir X diese Wurzel und prüfen Sie, ob die numerische Gleichheit korrekt ist
Das Ergebnis ist eine korrekte Gleichheit. Das bedeutet, dass die Zahl 2 tatsächlich die Wurzel der Gleichung ist.
Versuchen wir nun, mit den Termen dieser Gleichung zu experimentieren, indem wir sie von einem Teil zum anderen verschieben und die Vorzeichen ändern.
Zum Beispiel Semester 3 X befindet sich auf der linken Seite der Gleichung. Verschieben wir es auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil:
Das Ergebnis ist eine Gleichung 12 = 9X − 3X . auf der rechten Seite dieser Gleichung:
X ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:
Von hier X= 2 . Wie Sie sehen, hat sich die Wurzel der Gleichung nicht geändert. Die Gleichungen lauten also 12 + 3 X = 9X Und 12 = 9X − 3X sind gleichwertig.
Tatsächlich handelt es sich bei dieser Transformation um eine vereinfachte Methode der vorherigen Transformation, bei der auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert (oder subtrahiert) wurde.
Das haben wir in der Gleichung 12 + 3 gesagt X = 9X Semester 3 X wurde auf die rechte Seite verschoben und änderte das Vorzeichen. In Wirklichkeit geschah Folgendes: Term 3 wurde von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert X
Dann wurden auf der linken Seite ähnliche Terme angegeben und die Gleichung erhalten 12 = 9X − 3X. Dann wurden wieder ähnliche Terme angegeben, jedoch auf der rechten Seite, und es ergab sich die Gleichung 12 = 6 X.
Für solche Gleichungen ist jedoch die sogenannte „Übersetzung“ praktischer, weshalb sie so weit verbreitet ist. Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir häufig diese spezielle Transformation.
Auch die Gleichungen 12 + 3 sind äquivalent X= 9X Und 3x− 9X= −12 . Diesmal lautet die Gleichung 12 + 3 X= 9X Term 12 wurde auf die rechte Seite verschoben, Term 9 X Nach links. Wir sollten nicht vergessen, dass die Zeichen dieser Bedingungen während der Übertragung geändert wurden
Die nächste Regel, die es uns ermöglicht, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, lautet wie folgt:
Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.
Mit anderen Worten: Die Wurzeln einer Gleichung ändern sich nicht, wenn beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden. Diese Aktion wird häufig verwendet, wenn Sie eine Gleichung lösen müssen, die Bruchausdrücke enthält.
Schauen wir uns zunächst Beispiele an, bei denen beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden.
Beispiel 1. Löse die Gleichung
Beim Lösen von Gleichungen, die gebrochene Ausdrücke enthalten, ist es üblich, die Gleichung zunächst zu vereinfachen.
In diesem Fall haben wir es mit einer solchen Gleichung zu tun. Um diese Gleichung zu vereinfachen, können beide Seiten mit 8 multipliziert werden:
Wir erinnern uns, dass wir für den Zähler eines bestimmten Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren müssen. Wir haben zwei Brüche und jeder von ihnen wird mit der Zahl 8 multipliziert. Unsere Aufgabe ist es, die Zähler der Brüche mit dieser Zahl 8 zu multiplizieren
Jetzt passiert der interessante Teil. Zähler und Nenner beider Brüche enthalten einen Faktor 8, der um 8 reduziert werden kann. Dadurch können wir den Bruchausdruck loswerden:
Als Ergebnis bleibt die einfachste Gleichung bestehen
Nun, es ist nicht schwer zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung 4 ist
X Wert 4 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichheit. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Beim Lösen dieser Gleichung haben wir beide Seiten mit 8 multipliziert. Als Ergebnis haben wir die Gleichung erhalten. Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichung 4. Das bedeutet, dass diese Gleichungen äquivalent sind.
Der Faktor, mit dem beide Seiten der Gleichung multipliziert werden, wird normalerweise vor den Teil der Gleichung geschrieben und nicht danach. Als wir die Gleichung lösten, multiplizierten wir beide Seiten mit dem Faktor 8 und erhielten den folgenden Eintrag:
An der Wurzel der Gleichung änderte sich dadurch nichts, aber wenn wir dies in der Schule getan hätten, wären wir gerügt worden, da es in der Algebra üblich ist, vor dem Ausdruck, mit dem multipliziert wird, einen Faktor anzugeben. Daher empfiehlt es sich, die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem Faktor 8 wie folgt umzuschreiben:
Beispiel 2. Löse die Gleichung 
Auf der linken Seite können die Faktoren 15 um 15 reduziert werden, auf der rechten Seite können die Faktoren 15 und 5 um 5 reduziert werden
Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung:
Verschieben wir den Begriff X von der linken Seite der Gleichung zur rechten Seite, wobei das Vorzeichen geändert wird. Und wir verschieben Term 15 von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite, wobei wir erneut das Vorzeichen ändern:
Wenn wir auf beiden Seiten ähnliche Begriffe präsentieren, erhalten wir
Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Variable X
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen X Wert 5 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichheit. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist. Bei der Lösung dieser Gleichung haben wir beide Seiten mit 15 multipliziert. Durch weitere identische Transformationen erhielten wir die Gleichung 10 = 2 X. Die Wurzel dieser Gleichung, wie die Gleichung gleich 5. Dies bedeutet, dass diese Gleichungen äquivalent sind.
Beispiel 3. Löse die Gleichung
Auf der linken Seite können Sie zwei Dreier reduzieren, auf der rechten Seite erhalten Sie 18
Es bleibt die einfachste Gleichung. Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Variable X ist ein unbekannter Faktor. Lassen Sie uns diesen bekannten Faktor finden:
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen sie X Wert 9 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichheit. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Beispiel 4. Löse die Gleichung 
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6
Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung. Auf der rechten Seite kann der Faktor 6 zum Zähler erhöht werden:
Lassen Sie uns reduzieren, was auf beiden Seiten der Gleichungen reduziert werden kann:
Schreiben wir um, was uns noch bleibt:
Nutzen wir die Begriffsübertragung. Begriffe, die das Unbekannte enthalten X, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und die Terme ohne Unbekannte - auf der rechten Seite:
Lassen Sie uns in beiden Teilen ähnliche Begriffe darstellen:
Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen ermitteln X. Teilen Sie dazu das Produkt 28 durch den bekannten Faktor 7
Von hier X= 4.
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen X Wert 4 gefunden
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichung. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Beispiel 5. Löse die Gleichung 
Öffnen wir nach Möglichkeit die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung:
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 15
Öffnen wir die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung:
Lassen Sie uns reduzieren, was auf beiden Seiten der Gleichung reduziert werden kann:
Schreiben wir um, was uns noch bleibt:
Erweitern wir die Klammern nach Möglichkeit:
Nutzen wir die Begriffsübertragung. Wir gruppieren die Terme, die die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und die Terme, die keine Unbekannten enthalten, auf der rechten Seite. Vergessen Sie nicht, dass die Begriffe während der Übertragung ihre Vorzeichen in das Gegenteil ändern:
Lassen Sie uns auf beiden Seiten der Gleichung ähnliche Begriffe darstellen:
Finden wir den Wert X
Die resultierende Antwort kann in einen ganzen Teil unterteilt werden:
Kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und ersetzen sie X Wert gefunden
Es stellt sich heraus, dass es sich um einen ziemlich umständlichen Ausdruck handelt. Lassen Sie uns Variablen verwenden. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit in eine Variable einfügen A und die rechte Seite der Gleichheit in eine Variable B
Unsere Aufgabe besteht darin, sicherzustellen, dass die linke Seite gleich der rechten ist. Mit anderen Worten: Beweisen Sie die Gleichheit A = B
Suchen wir den Wert des Ausdrucks in Variable A.
Variablenwert A gleicht. Lassen Sie uns nun den Wert der Variablen ermitteln B. Das heißt, der Wert der rechten Seite unserer Gleichheit. Wenn es auch gleich ist, wird die Gleichung korrekt gelöst
Wir sehen, dass der Wert der Variablen B, sowie der Wert der Variablen A ist . Das bedeutet, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Daraus schließen wir, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Versuchen wir nun, beide Seiten der Gleichung nicht mit derselben Zahl zu multiplizieren, sondern zu dividieren.
Betrachten Sie die Gleichung 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Lösen wir es mit der üblichen Methode: Wir gruppieren Terme, die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und Terme, die keine Unbekannten enthalten, auf der rechten Seite. Als nächstes ermitteln wir den Wert, indem wir die bekannten Identitätstransformationen durchführen X
Ersetzen wir stattdessen den gefundenen Wert 2 X in die ursprüngliche Gleichung:
Versuchen wir nun, alle Terme der Gleichung zu trennen 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 durch eine Zahl. Wir beachten, dass alle Terme dieser Gleichung einen gemeinsamen Faktor von 2 haben. Wir dividieren jeden Term durch ihn:
Führen wir in jedem Term eine Reduktion durch:
Schreiben wir um, was uns noch bleibt:
Lösen wir diese Gleichung mit den bekannten Identitätstransformationen:
Wir haben Root 2. Also die Gleichungen 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 Und 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sind gleichwertig.
Wenn Sie beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl dividieren, können Sie die Unbekannte aus dem Koeffizienten entfernen. Im vorherigen Beispiel, als wir Gleichung 7 erhielten X= 14, mussten wir das Produkt 14 durch den bekannten Faktor 7 dividieren. Hätten wir aber das Unbekannte vom Faktor 7 auf der linken Seite befreit, wäre die Wurzel sofort gefunden worden. Dazu reichte es, beide Seiten durch 7 zu dividieren
Wir werden diese Methode auch oft verwenden.
Multiplikation mit minus eins
Wenn beide Seiten der Gleichung mit minus eins multipliziert werden, erhält man eine Gleichung, die dieser entspricht.
Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass die Multiplikation (oder Division) beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl die Wurzel der gegebenen Gleichung nicht verändert. Das bedeutet, dass sich die Wurzel nicht ändert, wenn beide Teile mit −1 multipliziert werden.
Mit dieser Regel können Sie die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten ändern. Wofür ist das? Auch hier geht es darum, eine äquivalente Gleichung zu erhalten, die einfacher zu lösen ist.
Betrachten Sie die Gleichung. Was ist die Wurzel dieser Gleichung?
Addiere die Zahl 5 auf beiden Seiten der Gleichung
Schauen wir uns ähnliche Begriffe an:
Erinnern wir uns nun an. Was ist die linke Seite der Gleichung? Dies ist das Produkt aus minus eins und einer Variablen X
Das heißt, das Minuszeichen vor der Variablen X bezieht sich nicht auf die Variable selbst X, aber zu einem, was wir nicht sehen, da Koeffizient 1 normalerweise nicht angeschrieben wird. Das bedeutet, dass die Gleichung tatsächlich so aussieht:
Wir beschäftigen uns mit den Komponenten der Multiplikation. Finden X, müssen Sie das Produkt −5 durch den bekannten Faktor −1 dividieren.
oder dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch −1, was noch einfacher ist
Die Wurzel der Gleichung ist also 5. Um dies zu überprüfen, setzen wir es in die ursprüngliche Gleichung ein. Vergessen Sie nicht, dass in der ursprünglichen Gleichung das Minus vor der Variablen steht X bezieht sich auf eine unsichtbare Einheit
Das Ergebnis ist eine korrekte numerische Gleichung. Dies bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Versuchen wir nun, beide Seiten der Gleichung mit minus eins zu multiplizieren:
Nach dem Öffnen der Klammern wird auf der linken Seite der Ausdruck gebildet und auf der rechten Seite ergibt sich der Wert 10
Die Wurzel dieser Gleichung ist wie die Gleichung 5
Das bedeutet, dass die Gleichungen äquivalent sind.
Beispiel 2. Löse die Gleichung
In dieser Gleichung sind alle Komponenten negativ. Es ist bequemer, mit positiven Komponenten zu arbeiten als mit negativen, also ändern wir die Vorzeichen aller in der Gleichung enthaltenen Komponenten. Multiplizieren Sie dazu beide Seiten dieser Gleichung mit −1.
Es ist klar, dass jede Zahl bei Multiplikation mit −1 ihr Vorzeichen in das Gegenteil ändert. Daher wird der Vorgang der Multiplikation mit −1 und des Öffnens der Klammern nicht im Detail beschrieben, sondern die Komponenten der Gleichung mit entgegengesetzten Vorzeichen werden gleich notiert.
Somit kann die Multiplikation einer Gleichung mit −1 im Detail wie folgt geschrieben werden:
oder Sie ändern einfach die Vorzeichen aller Komponenten:
Das Ergebnis wird dasselbe sein, aber der Unterschied wird darin bestehen, dass wir uns Zeit sparen.
Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit −1 multiplizieren, erhalten wir die Gleichung. Lassen Sie uns diese Gleichung lösen. Subtrahiere 4 von beiden Seiten und dividiere beide Seiten durch 3
Wenn die Wurzel gefunden ist, wird die Variable normalerweise auf die linke Seite und ihr Wert auf die rechte Seite geschrieben, was wir auch getan haben.
Beispiel 3. Löse die Gleichung
Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit −1 multiplizieren. Dann ändern alle Komponenten ihre Vorzeichen in entgegengesetzte:
Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten der resultierenden Gleichung X und geben Sie ähnliche Begriffe an:
Fügen wir eins zu beiden Seiten der Gleichung hinzu und geben ähnliche Terme an: 
Entspricht Null
Wir haben kürzlich gelernt, dass wir eine Gleichung erhalten, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist, wenn wir einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern.
Was passiert, wenn Sie von einem Teil zum anderen wechseln und nicht nur einen Begriff, sondern alle Begriffe? Das ist richtig, in dem Teil, in dem alle Begriffe entfernt wurden, wird Null übrig bleiben. Mit anderen Worten: Es wird nichts mehr übrig bleiben.
Betrachten Sie als Beispiel die Gleichung. Lösen wir diese Gleichung wie gewohnt – wir gruppieren die Terme, die Unbekannte enthalten, in einem Teil und lassen die numerischen Terme im anderen Teil frei von Unbekannten. Als nächstes ermitteln wir den Wert der Variablen, indem wir die bekannten Identitätstransformationen durchführen X
Versuchen wir nun, dieselbe Gleichung zu lösen, indem wir alle ihre Komponenten mit Null gleichsetzen. Dazu verschieben wir alle Begriffe von der rechten Seite nach links und ändern dabei die Vorzeichen:
Lassen Sie uns auf der linken Seite ähnliche Begriffe darstellen:
Addiere auf beiden Seiten 77 und dividiere beide Seiten durch 7
Eine Alternative zu den Regeln zum Auffinden von Unbekannten
Da Sie über identische Transformationen von Gleichungen Bescheid wissen, müssen Sie sich die Regeln zum Finden von Unbekannten natürlich nicht merken.
Um beispielsweise das Unbekannte in einer Gleichung zu finden, haben wir das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2 dividiert
Wenn man aber beide Seiten der Gleichung durch 2 dividiert, findet man sofort die Wurzel. Auf der linken Seite der Gleichung wird im Zähler der Faktor 2 und im Nenner der Faktor 2 um 2 reduziert. Und die rechte Seite wird gleich 5 sein
Wir haben Gleichungen der Form gelöst, indem wir den unbekannten Term ausgedrückt haben:
Sie können jedoch dieselben Transformationen verwenden, die wir heute untersucht haben. In der Gleichung kann Term 4 durch Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite verschoben werden:
Auf der linken Seite der Gleichung heben sich zwei Zweier auf. Die rechte Seite wird gleich 2 sein. Daher .
Oder Sie subtrahieren 4 von beiden Seiten der Gleichung. Dann erhalten Sie Folgendes:
Bei Gleichungen der Form ist es bequemer, das Produkt durch einen bekannten Faktor zu dividieren. Vergleichen wir beide Lösungen:
Die erste Lösung ist viel kürzer und übersichtlicher. Die zweite Lösung lässt sich deutlich verkürzen, wenn man die Aufteilung im Kopf durchführt.
Allerdings ist es notwendig, beide Methoden zu kennen und erst dann die von Ihnen bevorzugte zu verwenden.
Wenn es mehrere Wurzeln gibt
Eine Gleichung kann mehrere Wurzeln haben. Zum Beispiel die Gleichung X(x+ 9) = 0 hat zwei Wurzeln: 0 und −9.
In Gl. X(x+ 9) = 0 war es notwendig, einen solchen Wert zu finden X bei dem die linke Seite gleich Null wäre. Die linke Seite dieser Gleichung enthält die Ausdrücke X Und (x+9), das sind Faktoren. Aus den Produktgesetzen wissen wir, dass ein Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (entweder der erste oder der zweite Faktor).
Das heißt, in Gl. X(x+ 9) = 0 Gleichheit wird erreicht, wenn X wird gleich Null sein oder (x+9) wird gleich Null sein.
X= 0 oder X + 9 = 0
Indem wir beide Ausdrücke auf Null setzen, können wir die Wurzeln der Gleichung finden X(x+ 9) = 0 . Die erste Wurzel wurde, wie aus dem Beispiel hervorgeht, sofort gefunden. Um die zweite Wurzel zu finden, müssen Sie die Elementargleichung lösen X+ 9 = 0 . Es ist leicht zu erraten, dass die Wurzel dieser Gleichung −9 ist. Die Überprüfung zeigt, dass der Stamm korrekt ist:
−9 + 9 = 0
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: 1 und 2. Die linke Seite der Gleichung ist das Produkt der Ausdrücke ( X− 1) und ( X− 2) . Und das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (oder der Faktor ( X− 1) oder Faktor ( X − 2) ).
Lasst uns so etwas finden X unter denen die Ausdrücke ( X− 1) oder ( X− 2) zu Null werden:
Wir setzen die gefundenen Werte einzeln in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen sicher, dass für diese Werte die linke Seite gleich Null ist:
Wenn es unendlich viele Wurzeln gibt
Eine Gleichung kann unendlich viele Wurzeln haben. Das heißt, indem wir eine beliebige Zahl in eine solche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte numerische Gleichheit.
Beispiel 1. Löse die Gleichung 
Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn man die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnet und ähnliche Terme hinzufügt, erhält man die Gleichung 14 = 14. Diese Gleichheit wird für jeden erreicht X
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Die Wurzel dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl. Wenn Sie die Klammern auf der linken Seite der Gleichung öffnen, erhalten Sie die Gleichheit 10X + 12 = 10X + 12. Diese Gleichheit wird für jeden erreicht X
Wenn es keine Wurzeln gibt
Es kommt auch vor, dass die Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, also keine Wurzeln hat. Beispielsweise hat die Gleichung keine Wurzeln, da für jeden Wert X, ist die linke Seite der Gleichung nicht gleich der rechten Seite. Lassen Sie zum Beispiel . Dann nimmt die Gleichung die folgende Form an
Beispiel 2. Löse die Gleichung
Erweitern wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:
Schauen wir uns ähnliche Begriffe an:
Wir sehen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist. Und das gilt für jeden Wert j. Lassen Sie zum Beispiel j = 3 .
Buchstabengleichungen
Eine Gleichung kann nicht nur Zahlen mit Variablen, sondern auch Buchstaben enthalten.
Die Formel zum Ermitteln der Geschwindigkeit ist beispielsweise eine wörtliche Gleichung:
Diese Gleichung beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung.
Eine nützliche Fähigkeit ist die Fähigkeit, jede in einer Buchstabengleichung enthaltene Komponente auszudrücken. Um beispielsweise den Abstand aus einer Gleichung zu bestimmen, müssen Sie die Variable ausdrücken S .
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit T
Variablen auf der rechten Seite T Lass es uns durchgehen T
In der resultierenden Gleichung vertauschen wir die linke und rechte Seite:
Wir haben eine Formel zum Ermitteln der Entfernung, die wir zuvor untersucht haben.
Versuchen wir, die Zeit aus der Gleichung zu bestimmen. Dazu müssen Sie die Variable ausdrücken T .
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit T
Variablen auf der rechten Seite T Lass es uns durchgehen T und schreiben Sie um, was uns noch bleibt:
In der resultierenden Gleichung v×t = s Teile beide Teile durch v
Variablen auf der linken Seite v Lass es uns durchgehen v und schreiben Sie um, was uns noch bleibt:
Wir haben die Formel zur Zeitbestimmung, die wir zuvor studiert haben.
Angenommen, die Zuggeschwindigkeit beträgt 50 km/h
v= 50 km/h
Und die Entfernung beträgt 100 km
S= 100 km
Dann wird der Brief die folgende Form annehmen
Die Zeit kann aus dieser Gleichung ermittelt werden. Dazu müssen Sie in der Lage sein, die Variable auszudrücken T. Sie können die Regel zum Finden eines unbekannten Teilers verwenden, indem Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren und so den Wert der Variablen bestimmen T
oder Sie können identische Transformationen verwenden. Multiplizieren Sie zunächst beide Seiten der Gleichung mit T
Dann dividiere beide Seiten durch 50
Beispiel 2 X
Subtrahieren Sie von beiden Seiten der Gleichung A
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch B
a + bx = c, dann haben wir eine fertige Lösung. Es reicht aus, die erforderlichen Werte darin einzusetzen. Diese Werte, die durch Buchstaben ersetzt werden a, b, c normalerweise aufgerufen Parameter. Und Gleichungen der Form a + bx = c angerufen Gleichung mit Parametern. Abhängig von den Parametern ändert sich die Wurzel.
Lösen wir die Gleichung 2 + 4 X= 10 . Es sieht aus wie eine Buchstabengleichung a + bx = c. Anstatt identische Transformationen durchzuführen, können wir eine vorgefertigte Lösung verwenden. Vergleichen wir beide Lösungen:
Wir sehen, dass die zweite Lösung viel einfacher und kürzer ist.
Für eine fertige Lösung ist eine kleine Bemerkung notwendig. Parameter B darf nicht gleich Null sein (b ≠ 0), da Division durch Null durch erlaubt ist.
Beispiel 3. Es wird eine wörtliche Gleichung angegeben. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus X
Öffnen wir die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung
Nutzen wir die Begriffsübertragung. Parameter, die eine Variable enthalten X, gruppieren wir auf der linken Seite der Gleichung und Parameter, die von dieser Variablen frei sind, auf der rechten Seite.
Auf der linken Seite nehmen wir den Faktor aus Klammern heraus X
Teilen wir beide Seiten durch den Ausdruck a − b
Auf der linken Seite können Zähler und Nenner um reduziert werden a − b. So wird die Variable letztendlich ausgedrückt X
Wenn wir nun auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d), dann haben wir eine fertige Lösung. Es reicht aus, die erforderlichen Werte darin einzusetzen.
Nehmen wir an, wir erhalten die Gleichung 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Es sieht aus wie eine Gleichung a(x − c) = b(x + d). Lösen wir es auf zwei Arten: mit identischen Transformationen und mit einer vorgefertigten Lösung:
Der Einfachheit halber lassen wir es aus der Gleichung heraus 4(x− 3) = 2(X+ 4) Parameterwerte A, B, C, D . Dadurch können wir beim Ersetzen keinen Fehler machen:
Wie im vorherigen Beispiel sollte der Nenner hier nicht gleich Null sein ( a − b ≠ 0) . Wenn wir auf eine Gleichung der Form stoßen a(x − c) = b(x + d) in dem die Parameter A Und B dasselbe sein wird, können wir ohne Lösung sagen, dass diese Gleichung keine Wurzeln hat, da die Differenz zwischen identischen Zahlen Null ist.
Zum Beispiel die Gleichung 2(x − 3) = 2(x + 4) ist eine Gleichung der Form a(x − c) = b(x + d). In Gl. 2(x − 3) = 2(x + 4) Optionen A Und B das gleiche. Wenn wir mit der Lösung beginnen, werden wir zu dem Schluss kommen, dass die linke Seite nicht gleich der rechten Seite sein wird:
Beispiel 4. Es wird eine wörtliche Gleichung angegeben. Drücken Sie aus dieser Gleichung aus X
Bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:
Multiplizieren Sie beide Seiten mit A
Auf der linken Seite X lasst es uns aus Klammern setzen
Teilen Sie beide Seiten durch den Ausdruck (1 − A)
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
Die in dieser Lektion besprochenen Gleichungen heißen lineare Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.
Wenn die Gleichung im ersten Grad angegeben ist, keine Division durch die Unbekannte enthält und auch keine Wurzeln aus der Unbekannten enthält, kann sie als linear bezeichnet werden. Wir haben Kräfte und Wurzeln noch nicht studiert. Um unser Leben nicht zu verkomplizieren, werden wir das Wort „linear“ als „einfach“ verstehen.
Die meisten der in dieser Lektion gelösten Gleichungen liefen letztlich auf eine einfache Gleichung hinaus, bei der man das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren musste. Dies ist zum Beispiel Gleichung 2( X+ 3) = 16 . Lass es uns lösen.
Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung, wir erhalten 2 X+ 6 = 16. Verschieben wir Term 6 auf die rechte Seite und ändern das Vorzeichen. Dann bekommen wir 2 X= 16 − 6. Berechnen Sie die rechte Seite, wir erhalten 2 X= 10. Zu finden X, dividiere das Produkt 10 durch den bekannten Faktor 2. Daher X = 5.
Gleichung 2( X+ 3) = 16 ist linear. Es kommt auf Gleichung 2 an X= 10, um die Wurzel zu finden, deren Produkt durch einen bekannten Faktor dividiert werden musste. Diese einfachste Gleichung heißt lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Das Wort „kanonisch“ ist synonym mit den Wörtern „einfach“ oder „normal“.
Eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form wird als Gleichung dieser Form bezeichnet Axt = b.
Unsere resultierende Gleichung 2 X= 10 ist eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten in kanonischer Form. Diese Gleichung hat den ersten Grad, eine Unbekannte, sie enthält keine Division durch die Unbekannte und enthält keine Wurzeln aus der Unbekannten, und sie wird in kanonischer Form dargestellt, d. h. in der einfachsten Form, in der der Wert leicht bestimmt werden kann X. Anstelle von Parametern A Und B Unsere Gleichung enthält die Zahlen 2 und 10. Eine solche Gleichung kann aber auch andere Zahlen enthalten: positiv, negativ oder gleich Null.
Wenn in einer linearen Gleichung A= 0 und B= 0, dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln. In der Tat, wenn A gleich Null und B gleich Null ist, dann ist die lineare Gleichung Axt= B wird die Form 0 annehmen X= 0 . Für jeden Wert X die linke Seite ist gleich der rechten Seite.
Wenn in einer linearen Gleichung A= 0 und B≠ 0, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. In der Tat, wenn A gleich Null und B gleich einer Zahl ist, die ungleich Null ist, sagen wir die Zahl 5, dann die Gleichung Axt = b wird die Form 0 annehmen X= 5 . Die linke Seite ist Null und die rechte Seite ist fünf. Und Null ist nicht gleich fünf.
Wenn in einer linearen Gleichung A≠ 0, und B gleich einer beliebigen Zahl ist, dann hat die Gleichung eine Wurzel. Er wird durch Division des Parameters ermittelt B pro Parameter A
In der Tat, wenn A gleich einer Zahl, die nicht Null ist, sagen wir die Zahl 3, und B gleich einer Zahl, beispielsweise der Zahl 6, dann nimmt die Gleichung die Form an.
Von hier.
Es gibt eine andere Form, eine lineare Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten zu schreiben. Es sieht aus wie das: Axt-b= 0 . Dies ist die gleiche Gleichung wie Axt = b
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Ein langer Weg, um Fähigkeiten zu entwickeln Gleichungen lösen beginnt mit der Lösung der allerersten und relativ einfachen Gleichungen. Mit solchen Gleichungen meinen wir Gleichungen, bei denen die linke Seite die Summe, Differenz, das Produkt oder den Quotienten zweier Zahlen enthält, von denen eine unbekannt ist, und die rechte Seite eine Zahl enthält. Das heißt, diese Gleichungen enthalten einen unbekannten Summanden, Minuend, Subtrahend, Multiplikator, Dividenden oder Divisor. Die Lösung solcher Gleichungen wird in diesem Artikel diskutiert.
Hier geben wir Regeln an, die es Ihnen ermöglichen, einen unbekannten Begriff, Faktor usw. zu finden. Darüber hinaus werden wir uns sofort mit der Anwendung dieser Regeln in der Praxis befassen und charakteristische Gleichungen lösen.
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Wenn wir also die Zahl 5 anstelle von x in die ursprüngliche Gleichung 3+x=8 einsetzen, erhalten wir 3+5=8 – diese Gleichheit ist richtig, daher haben wir den unbekannten Term richtig gefunden. Sollten wir bei der Überprüfung eine falsche Zahlengleichung erhalten, wäre dies für uns ein Hinweis darauf, dass wir die Gleichung falsch gelöst haben. Die Hauptgründe hierfür könnten entweder die Anwendung einer falschen Regel oder Rechenfehler sein.
Wie finde ich einen unbekannten Minuend oder Subtrahend?
Der Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion von Zahlen, den wir bereits im vorherigen Absatz erwähnt haben, ermöglicht es uns, eine Regel zum Auffinden eines unbekannten Minuenden durch einen bekannten Subtrahenden und eine Differenz zu erhalten, sowie eine Regel zum Auffinden eines unbekannten Subtrahenden durch einen bekannten Minuend und eine Differenz. Wir werden sie einzeln formulieren und sofort die Lösung der entsprechenden Gleichungen präsentieren.
Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.
Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x−2=5. Es enthält einen unbekannten Minuenden. Die obige Regel sagt uns, dass wir, um sie zu finden, den bekannten Subtrahend 2 zur bekannten Differenz 5 addieren müssen, wir haben 5+2=7. Somit ist der erforderliche Minuend gleich sieben.
Wenn wir die Erläuterungen weglassen, lautet die Lösung wie folgt:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .
Zur Selbstkontrolle führen wir eine Überprüfung durch. Wir setzen den gefundenen Minuenden in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalten die numerische Gleichheit 7−2=5. Es ist richtig, daher können wir sicher sein, dass wir den Wert des unbekannten Minuenden richtig bestimmt haben.
Sie können mit der Suche nach dem unbekannten Subtrahend fortfahren. Es wird durch Addition nach der folgenden Regel gefunden: Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.
Lösen wir eine Gleichung der Form 9−x=4 mithilfe der geschriebenen Regel. In dieser Gleichung ist die Unbekannte der Subtrahend. Um es zu finden, müssen wir die bekannte Differenz 4 vom bekannten Minuenden 9 subtrahieren, wir haben 9−4=5. Somit ist der erforderliche Subtrahend gleich fünf.
Hier ist eine Kurzversion der Lösung dieser Gleichung:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .
Es bleibt nur noch die Richtigkeit des gefundenen Subtrahends zu überprüfen. Führen wir eine Überprüfung durch, indem wir den gefundenen Wert 5 anstelle von x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, und wir erhalten die numerische Gleichheit 9−5=4. Es ist richtig, also ist der Wert des Subtrahends, den wir gefunden haben, korrekt.
Und bevor wir zur nächsten Regel übergehen, stellen wir fest, dass in der 6. Klasse die Regel zum Lösen von Gleichungen berücksichtigt wird, die es Ihnen ermöglicht, jeden Term von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit umgekehrtem Vorzeichen zu übertragen. Alle oben besprochenen Regeln zum Finden eines unbekannten Summanden, Minuenden und Subtrahends stimmen also vollständig damit überein.
Um einen unbekannten Faktor zu finden, benötigen Sie...
Werfen wir einen Blick auf die Gleichungen x·3=12 und 2·y=6. Dabei ist die unbekannte Zahl der Faktor auf der linken Seite und das Produkt und der zweite Faktor sind bekannt. Um einen unbekannten Multiplikator zu finden, können Sie die folgende Regel verwenden: Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.
Die Grundlage dieser Regel ist, dass wir der Division von Zahlen die entgegengesetzte Bedeutung zur Bedeutung der Multiplikation gegeben haben. Das heißt, es besteht ein Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division: Aus der Gleichheit a·b=c, in der a≠0 und b≠0 gilt, folgt c:a=b und c:b=c und umgekehrt.
Lassen Sie uns zum Beispiel den unbekannten Faktor der Gleichung x·3=12 ermitteln. Gemäß der Regel müssen wir das bekannte Produkt 12 durch den bekannten Faktor 3 dividieren. Führen wir aus: 12:3=4. Somit beträgt der unbekannte Faktor 4.
Kurz gesagt wird die Lösung der Gleichung als Folge von Gleichungen geschrieben:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .
Es empfiehlt sich auch, das Ergebnis zu überprüfen: Setzen wir den gefundenen Wert in die ursprüngliche Gleichung anstelle des Buchstabens ein, erhalten wir 4 3 = 12 – eine korrekte numerische Gleichheit, also haben wir den Wert des unbekannten Faktors richtig ermittelt.
Und noch ein Punkt: Gemäß der erlernten Regel dividieren wir tatsächlich beide Seiten der Gleichung durch einen bekannten Faktor ungleich Null. In der 6. Klasse wird gesagt, dass beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert und dividiert werden können. Dies hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.
Wie finde ich eine unbekannte Dividende oder einen unbekannten Divisor?
Im Rahmen unseres Themas bleibt noch herauszufinden, wie man den unbekannten Dividenden mit einem bekannten Teiler und Quotienten findet, und wie man den unbekannten Teiler mit einem bekannten Dividenden und Quotienten findet. Der bereits im vorherigen Absatz erwähnte Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division ermöglicht uns die Beantwortung dieser Fragen.
Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.
Schauen wir uns die Anwendung anhand eines Beispiels an. Lösen wir die Gleichung x:5=9. Um den unbekannten Dividenden dieser Gleichung zu finden, müssen Sie gemäß der Regel den bekannten Quotienten 9 mit dem bekannten Teiler 5 multiplizieren, das heißt, wir multiplizieren natürliche Zahlen: 9·5=45. Somit beträgt die erforderliche Dividende 45.
Lassen Sie uns eine kurze Version der Lösung zeigen:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .
Die Prüfung bestätigt, dass der Wert der unbekannten Dividende korrekt ermittelt wurde. Tatsächlich ergibt sich beim Einsetzen der Zahl 45 in die ursprüngliche Gleichung anstelle der Variablen x die korrekte numerische Gleichheit 45:5=9.
Beachten Sie, dass die analysierte Regel so interpretiert werden kann, dass beide Seiten der Gleichung mit einem bekannten Teiler multipliziert werden. Diese Transformation hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.
Kommen wir zur Regel zum Finden eines unbekannten Teilers: Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir den unbekannten Teiler aus Gleichung 18:x=3. Dazu müssen wir den bekannten Dividenden 18 durch den bekannten Quotienten 3 dividieren, wir haben 18:3=6. Somit ist der erforderliche Teiler sechs.
Die Lösung kann wie folgt geschrieben werden:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .
Überprüfen wir dieses Ergebnis auf Zuverlässigkeit: 18:6=3 ist eine korrekte numerische Gleichheit, daher wurde die Wurzel der Gleichung korrekt gefunden.
Es ist klar, dass diese Regel nur angewendet werden kann, wenn der Quotient ungleich Null ist, um nicht auf eine Division durch Null zu stoßen. Wenn der Quotient gleich Null ist, sind zwei Fälle möglich. Wenn der Dividend gleich Null ist, das heißt, die Gleichung die Form 0:x=0 hat, dann erfüllt jeder Wert des Divisors ungleich Null diese Gleichung. Mit anderen Worten: Die Wurzeln einer solchen Gleichung sind alle Zahlen, die ungleich Null sind. Wenn, wenn der Quotient gleich Null ist, der Dividend von Null verschieden ist, dann wird die ursprüngliche Gleichung für keinen Wert des Divisors zu einer korrekten numerischen Gleichheit, das heißt, die Gleichung hat keine Wurzeln. Zur Veranschaulichung stellen wir die Gleichung 5:x=0 vor, sie hat keine Lösungen.
Freigaberegeln
Durch die konsequente Anwendung der Regeln zum Finden des unbekannten Summanden, Minuenden, Subtrahend, Multiplikators, Dividenden und Divisors können Sie Gleichungen mit einer einzelnen Variablen komplexerer Form lösen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels verstehen.
Betrachten Sie die Gleichung 3 x+1=7. Zuerst können wir den unbekannten Term 3 x finden, dazu müssen wir den bekannten Term 1 von der Summe 7 subtrahieren, wir erhalten 3 x = 7−1 und dann 3 x = 6. Nun muss noch der unbekannte Faktor ermittelt werden, indem das Produkt 6 durch den bekannten Faktor 3 dividiert wird. Wir erhalten x=6:3, woraus x=2 folgt. Auf diese Weise wird die Wurzel der ursprünglichen Gleichung gefunden.
Um das Material zu festigen, präsentieren wir eine kurze Lösung einer anderen Gleichung (2·x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .
Referenzliste.
- Mathematik.. 4. Klasse. Lehrbuch für die Allgemeinbildung Institutionen. Um 14 Uhr Teil 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova usw.] – 8. Auflage. - M.: Bildung, 2011. - 112 S.: Abb. - (Schule Russlands). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 Seiten: Abb. ISBN 5-346-00699-0.
Erste Ebene
Lineare Gleichungen. Der komplette Leitfaden (2019)
Was sind „lineare Gleichungen“?
oder mündlich – drei Freunde bekamen jeweils Äpfel, weil Vasya alle Äpfel hatte, die er hatte.
Und jetzt haben Sie sich bereits entschieden Lineargleichung
Geben wir diesem Begriff nun eine mathematische Definition.
Lineare Gleichung - ist eine algebraische Gleichung, deren Gesamtgrad der sie bildenden Polynome gleich ist. Es sieht aus wie das:
Wo und sind irgendwelche Zahlen und
Für unseren Fall mit Vasya und Äpfeln schreiben wir:
- „Wenn Vasya allen drei Freunden die gleiche Anzahl Äpfel gibt, hat er keine Äpfel mehr“
„Versteckte“ lineare Gleichungen oder die Bedeutung von Identitätstransformationen
Obwohl auf den ersten Blick alles äußerst einfach ist, muss man beim Lösen von Gleichungen vorsichtig sein, denn als lineare Gleichungen werden nicht nur Gleichungen dieser Art bezeichnet, sondern auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Art reduziert werden können. Zum Beispiel:
Wir sehen, was rechts steht, was theoretisch bereits darauf hindeutet, dass die Gleichung nicht linear ist. Wenn wir außerdem die Klammern öffnen, erhalten wir zwei weitere Begriffe, in denen es heißt: Aber ziehen Sie keine voreiligen Schlüsse! Bevor beurteilt werden kann, ob eine Gleichung linear ist, müssen alle Transformationen durchgeführt und so das ursprüngliche Beispiel vereinfacht werden. In diesem Fall können Transformationen das Erscheinungsbild verändern, aber nicht das eigentliche Wesen der Gleichung.
Mit anderen Worten: Die Transformationsdaten müssen vorhanden sein identisch oder Äquivalent. Es gibt nur zwei solcher Transformationen, aber sie spielen eine sehr, SEHR wichtige Rolle bei der Lösung von Problemen. Schauen wir uns beide Transformationen anhand konkreter Beispiele an.
Übertragen von links nach rechts.
Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen:
Schon in der Grundschule wurde uns gesagt: „Mit X – nach links, ohne X – nach rechts.“ Welcher Ausdruck mit einem X steht rechts? Das ist richtig, aber nicht wie nicht. Und das ist wichtig, denn wenn diese scheinbar einfache Frage missverstanden wird, kommt die falsche Antwort heraus. Welcher Ausdruck mit einem X steht links? Rechts, .
Nachdem wir das nun herausgefunden haben, verschieben wir alle Begriffe mit Unbekannten auf die linke Seite und alles, was bekannt ist, auf die rechte Seite. Dabei bedenken wir, dass die Zahl beispielsweise positiv ist, wenn vor der Zahl kein Vorzeichen steht , das heißt, davor steht ein Schild „ „
Übertragen? Was hast du bekommen?
Es bleibt nur noch, ähnliche Begriffe einzuführen. Wir präsentieren:
Wir haben also die erste identische Transformation erfolgreich analysiert, obwohl ich sicher bin, dass Sie sie wussten und ohne mich aktiv nutzten. Die Hauptsache ist, die Vorzeichen von Zahlen nicht zu vergessen und sie bei der Übertragung durch das Gleichheitszeichen in die entgegengesetzten zu ändern!
Multiplikation-Division.
Beginnen wir gleich mit einem Beispiel
Schauen wir mal hin und überlegen: Was gefällt uns an diesem Beispiel nicht? Das Unbekannte ist alles in einem Teil, das Bekannte ist in einem anderen, aber etwas hält uns auf ... Und dieses Etwas ist eine Vier, denn wenn es nicht existierte, wäre alles perfekt – x ist gleich einer Zahl – genau wie wir es brauchen!
Wie kann man es loswerden? Wir können es nicht nach rechts verschieben, weil wir dann den gesamten Multiplikator verschieben müssen (wir können ihn nicht nehmen und wegreißen), und es macht auch keinen Sinn, den gesamten Multiplikator zu verschieben ...
Es ist Zeit, sich an die Division zu erinnern, also teilen wir alles durch! Alles – also sowohl die linke als auch die rechte Seite. So und nur so! Was machen wir?
Hier ist die Antwort.
Schauen wir uns nun ein weiteres Beispiel an:
Können Sie erraten, was in diesem Fall zu tun ist? Das ist richtig, multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit! Welche Antwort haben Sie erhalten? Rechts. .
Sicherlich wussten Sie bereits alles über Identitätstransformationen. Bedenken Sie, dass wir dieses Wissen einfach in Ihrem Gedächtnis aufgefrischt haben und es Zeit für etwas mehr ist – zum Beispiel für die Lösung unseres großen Beispiels:
Wie wir bereits sagten, kann man beim Betrachten nicht sagen, dass diese Gleichung linear ist, aber wir müssen die Klammern öffnen und identische Transformationen durchführen. Also lasst uns anfangen!
Zunächst erinnern wir uns an die Formeln der abgekürzten Multiplikation, insbesondere an das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz. Wenn Sie sich nicht erinnern, was es ist und wie die Klammern geöffnet werden, empfehle ich Ihnen dringend, das Thema zu lesen, da Ihnen diese Fähigkeiten bei der Lösung fast aller in der Prüfung vorkommenden Beispiele nützlich sein werden.
Enthüllt? Lass uns vergleichen:
Jetzt ist es an der Zeit, ähnliche Begriffe einzuführen. Erinnern Sie sich, wie uns in denselben Grundschulklassen gesagt wurde: „Kommen Sie keine Fliegen und Koteletts zusammen“? Hier möchte ich Sie daran erinnern. Wir addieren alles separat: Faktoren, die haben, Faktoren, die haben, und die übrigen Faktoren, die keine Unbekannten haben. Wenn Sie ähnliche Begriffe verwenden, verschieben Sie alle Unbekannten nach links und alles Bekannte nach rechts. Was hast du bekommen?
Wie Sie sehen können, sind die X im Quadrat verschwunden und wir sehen etwas völlig Normales. Lineargleichung. Es bleibt nur noch, es zu finden!
Und zum Schluss möchte ich noch etwas sehr Wichtiges über Identitätstransformationen sagen: Identitätstransformationen sind nicht nur auf lineare Gleichungen anwendbar, sondern auch auf quadratische, gebrochenrationale Gleichungen und andere. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass wir bei der Übertragung von Faktoren durch das Gleichheitszeichen das Vorzeichen in das Gegenteil ändern, und wenn wir mit einer Zahl dividieren oder multiplizieren, multiplizieren/dividieren wir beide Seiten der Gleichung mit der GLEICHEN Zahl.
Was haben Sie aus diesem Beispiel noch mitgenommen? Dass es durch die Betrachtung einer Gleichung nicht immer möglich ist, direkt und genau zu bestimmen, ob sie linear ist oder nicht. Es ist notwendig, den Ausdruck zunächst vollständig zu vereinfachen und erst dann zu beurteilen, was er ist.
Lineare Gleichungen. Beispiele.
Hier sind ein paar weitere Beispiele, die Sie selbst üben können: Bestimmen Sie, ob die Gleichung linear ist, und wenn ja, finden Sie ihre Wurzeln:
Antworten:
1. Ist.
2. Ist nicht.
Öffnen wir die Klammern und präsentieren wir ähnliche Begriffe:
Führen wir eine identische Transformation durch – teilen Sie die linke und rechte Seite in:
Wir sehen, dass die Gleichung nicht linear ist und daher nicht nach ihren Wurzeln gesucht werden muss.
3. Ist.
Führen wir eine identische Transformation durch – multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit, um den Nenner loszuwerden.
Denken Sie darüber nach, warum das so wichtig ist? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage kennen, fahren Sie mit der weiteren Lösung der Gleichung fort. Wenn nicht, schauen Sie sich unbedingt das Thema an, um bei komplexeren Beispielen keine Fehler zu machen. Wie Sie sehen, ist die Situation übrigens unmöglich. Warum?
Lassen Sie uns also fortfahren und die Gleichung neu ordnen:
Wenn Sie alles problemlos geschafft haben, sprechen wir über lineare Gleichungen mit zwei Variablen.
Lineare Gleichungen in zwei Variablen
Kommen wir nun zu etwas komplexeren linearen Gleichungen mit zwei Variablen.
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen haben die Form:
Wo und - beliebige Zahlen und.
Wie Sie sehen, besteht der einzige Unterschied darin, dass der Gleichung eine weitere Variable hinzugefügt wird. Und so ist alles gleich – es gibt kein x-Quadrat, keine Division durch eine Variable usw. usw.
Was für ein Lebensbeispiel kann ich Ihnen geben ... Nehmen wir denselben Vasya. Nehmen wir an, er hat beschlossen, jedem seiner drei Freunde die gleiche Anzahl Äpfel zu geben und die Äpfel für sich zu behalten. Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn er jedem Freund einen Apfel gibt? Wie wäre es mit? Was wäre, wenn bis?
Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Äpfel, die jede Person erhält, und der Gesamtzahl der Äpfel, die gekauft werden müssen, wird durch die Gleichung ausgedrückt:
- - die Anzahl der Äpfel, die eine Person erhält (, oder, oder);
- - die Anzahl der Äpfel, die Vasya für sich nehmen wird;
- - Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn man die Anzahl der Äpfel pro Person berücksichtigt?
Bei der Lösung dieses Problems stellen wir fest, dass Vasya, wenn er einem Freund einen Apfel gibt, Stücke kaufen muss, wenn er Äpfel gibt usw.
Und überhaupt. Wir haben zwei Variablen. Warum nicht diesen Zusammenhang grafisch darstellen? Wir bauen und markieren unseren Wert, also Punkte, mit Koordinaten und!
Wie Sie sehen, sind sie voneinander abhängig linear, daher der Name der Gleichungen – „ linear».
Lassen Sie uns von Äpfeln abstrahieren und verschiedene Gleichungen grafisch betrachten. Schauen Sie sich die beiden konstruierten Graphen – eine Gerade und eine Parabel, die durch beliebige Funktionen angegeben werden – genau an:
Suchen und markieren Sie die entsprechenden Punkte in beiden Bildern.
Was hast du bekommen?
Das sehen Sie im Diagramm der ersten Funktion allein entspricht eins, das heißt, sie hängen auch linear voneinander ab, was man von der zweiten Funktion nicht sagen kann. Natürlich kann man argumentieren, dass im zweiten Diagramm auch das x – entspricht, aber das ist nur ein Punkt, also ein Sonderfall, da man immer noch einen finden kann, der mehr als nur einem entspricht. Und der konstruierte Graph ähnelt in keiner Weise einer Linie, sondern ist eine Parabel.
Ich wiederhole noch einmal: Der Graph einer linearen Gleichung muss eine GERADE sein.
Mit der Tatsache, dass die Gleichung nicht linear sein wird, wenn wir bis zu irgendeinem Grad gehen – das wird am Beispiel einer Parabel deutlich, obwohl Sie zum Beispiel noch ein paar einfachere Diagramme für sich selbst erstellen können oder. Aber ich versichere Ihnen – keines davon wird eine GERADE LINIE sein.
Glaubst du nicht? Bauen Sie es und vergleichen Sie es dann mit dem, was ich habe:
Was passiert, wenn wir etwas beispielsweise durch eine Zahl dividieren? Wird es einen linearen Zusammenhang geben und? Lasst uns nicht streiten, sondern lasst uns aufbauen! Lassen Sie uns zum Beispiel einen Graphen einer Funktion erstellen.
Irgendwie sieht es nicht so aus, als wäre es eine Gerade konstruiert... dementsprechend ist die Gleichung auch nicht linear.
Fassen wir zusammen:
- Lineare Gleichung - ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad der Polynome, aus denen sie besteht, gleich ist.
- Lineare Gleichung mit einer Variablen hat die Form:
, wo und sind beliebige Zahlen;
Lineare Gleichung mit zwei Variablen:
, wo und sind beliebige Zahlen. - Es ist nicht immer möglich, sofort zu bestimmen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. Um dies zu verstehen, ist es manchmal notwendig, identische Transformationen durchzuführen, ähnliche Terme nach links/rechts zu verschieben, nicht zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern, oder beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren/dividieren.
LINEARE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
1. Lineare Gleichung
Dies ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad der Polynome, aus denen sie besteht, gleich ist.
2. Lineare Gleichung mit einer Variablen hat die Form:
Wo und sind irgendwelche Zahlen;
3. Lineare Gleichung mit zwei Variablen hat die Form:
Wo und - beliebige Zahlen.
4. Identitätstransformationen
Um festzustellen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht, müssen identische Transformationen durchgeführt werden:
- Verschieben Sie ähnliche Begriffe nach links/rechts und vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern.
- Beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren/dividieren.
Um zu lernen, Gleichungen schnell und erfolgreich zu lösen, müssen Sie mit den einfachsten Regeln und Beispielen beginnen. Zunächst müssen Sie lernen, Gleichungen zu lösen, die eine Differenz, eine Summe, einen Quotienten oder ein Produkt einiger Zahlen mit einer Unbekannten auf der linken und einer anderen Zahl auf der rechten Seite haben. Mit anderen Worten, in diesen Gleichungen gibt es einen unbekannten Term und entweder einen Minuend mit einem Subtrahend oder einen Dividenden mit einem Divisor usw. Über Gleichungen dieser Art werden wir mit Ihnen sprechen.
Dieser Artikel widmet sich den Grundregeln, mit denen Sie Faktoren, unbekannte Begriffe usw. finden können. Alle theoretischen Grundlagen erklären wir Ihnen gleich anhand konkreter Beispiele.
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Den unbekannten Begriff finden
Nehmen wir an, wir haben eine bestimmte Anzahl Kugeln in zwei Vasen, zum Beispiel 9. Wir wissen, dass sich in der zweiten Vase 4 Kugeln befinden. Wie finde ich die Menge in der Sekunde? Schreiben wir dieses Problem in mathematischer Form und bezeichnen die Zahl, die gefunden werden muss, als x. Gemäß der ursprünglichen Bedingung bildet diese Zahl zusammen mit 4 9, was bedeutet, dass wir die Gleichung 4 + x = 9 schreiben können. Links haben wir eine Summe mit einem unbekannten Term, rechts den Wert dieser Summe. Wie finde ich x? Dazu müssen Sie die Regel verwenden:
Definition 1
Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren.
In diesem Fall geben wir der Subtraktion eine Bedeutung, die das Gegenteil der Addition ist. Mit anderen Worten, es besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den Aktionen der Addition und Subtraktion, der wörtlich wie folgt ausgedrückt werden kann: Wenn a + b = c, dann c − a = b und c − b = a und umgekehrt, von Aus den Ausdrücken c − a = b und c − b = a können wir schließen, dass a + b = c.
Wenn wir diese Regel kennen, können wir mithilfe des bekannten Termes und der Summe einen unbekannten Term finden. Welchen genauen Begriff wir kennen, den ersten oder den zweiten, spielt in diesem Fall keine Rolle. Sehen wir uns an, wie man diese Regel in der Praxis anwendet.
Beispiel 1
Nehmen wir die Gleichung, die wir oben erhalten haben: 4 + x = 9. Gemäß der Regel müssen wir von einer bekannten Summe gleich 9 einen bekannten Term gleich 4 subtrahieren. Subtrahieren wir eine natürliche Zahl von einer anderen: 9 - 4 = 5. Wir haben den Term erhalten, den wir brauchten, nämlich 5.
Normalerweise werden Lösungen für solche Gleichungen wie folgt geschrieben:
- Zuerst wird die Originalgleichung geschrieben.
- Als nächstes schreiben wir die Gleichung auf, die sich ergibt, nachdem wir die Regel zur Berechnung des unbekannten Termes angewendet haben.
- Danach schreiben wir die Gleichung, die wir nach all den Manipulationen mit Zahlen erhalten haben.
Diese Form der Notation wird benötigt, um das sequentielle Ersetzen der ursprünglichen Gleichung durch äquivalente Gleichungen zu veranschaulichen und den Prozess der Wurzelfindung darzustellen. Die Lösung unserer einfachen Gleichung oben würde korrekterweise wie folgt geschrieben werden:
4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.
Wir können die Richtigkeit der erhaltenen Antwort überprüfen. Ersetzen wir das, was wir erhalten haben, in die ursprüngliche Gleichung und sehen wir, ob daraus die korrekte numerische Gleichheit resultiert. Ersetzen Sie 5 durch 4 + x = 9 und erhalten Sie: 4 + 5 = 9. Die Gleichung 9 = 9 ist richtig, das heißt, der unbekannte Begriff wurde richtig gefunden. Wenn sich herausstellt, dass die Gleichheit falsch ist, sollten wir zur Lösung zurückkehren und sie erneut überprüfen, da dies ein Zeichen für einen Fehler ist. In der Regel handelt es sich dabei meist um einen Rechenfehler oder die Anwendung einer falschen Regel.
Einen unbekannten Subtrahend oder Minuend finden
Wie wir bereits im ersten Absatz erwähnt haben, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den Prozessen der Addition und Subtraktion. Mit seiner Hilfe können wir eine Regel formulieren, die uns hilft, einen unbekannten Minuend zu finden, wenn wir die Differenz und den Subtrahend kennen, oder einen unbekannten Subtrahend durch den Minuend oder die Differenz. Schreiben wir diese beiden Regeln nacheinander auf und zeigen wir, wie man sie zur Lösung von Problemen anwendet.
Definition 2
Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.
Beispiel 2
Wir haben zum Beispiel die Gleichung x - 6 = 10. Unbekannter Minuend. Gemäß der Regel müssen wir die subtrahierte 6 zur Differenz von 10 addieren, wir erhalten 16. Das heißt, der ursprüngliche Minuend ist gleich sechzehn. Schreiben wir die gesamte Lösung auf:
x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.
Überprüfen wir das Ergebnis, indem wir die resultierende Zahl zur ursprünglichen Gleichung hinzufügen: 16 - 6 = 10. Die Gleichung 16 - 16 wird richtig sein, was bedeutet, dass wir alles richtig berechnet haben.
Definition 3
Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.
Beispiel 3
Lassen Sie uns die Regel verwenden, um die Gleichung 10 - x = 8 zu lösen. Wir kennen den Subtrahend nicht, also müssen wir die Differenz von 10 subtrahieren, d. h. 10 - 8 = 2. Das bedeutet, dass der erforderliche Subtrahend gleich zwei ist. Hier ist die gesamte Lösung:
10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.
Überprüfen wir die Richtigkeit, indem wir die beiden in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Lassen Sie uns die richtige Gleichheit 10 - 2 = 8 ermitteln und sicherstellen, dass der gefundene Wert korrekt ist.
Bevor wir zu anderen Regeln übergehen, stellen wir fest, dass es eine Regel gibt, beliebige Terme von einem Teil der Gleichung auf einen anderen zu übertragen und dabei das Vorzeichen durch das Gegenteil zu ersetzen. Alle oben genannten Regeln entsprechen voll und ganz.
Einen unbekannten Faktor finden
Schauen wir uns zwei Gleichungen an: x · 2 = 20 und 3 · x = 12. In beiden Fällen kennen wir den Wert des Produkts und einen der Faktoren; wir müssen den zweiten finden. Dazu müssen wir eine andere Regel verwenden.
Definition 4
Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.
Diese Regel basiert auf einer Bedeutung, die das Gegenteil der Bedeutung der Multiplikation ist. Zwischen Multiplikation und Division besteht folgender Zusammenhang: a · b = c, wenn a und b ungleich 0 sind, c: a = b, c: b = c und umgekehrt.
Beispiel 4
Berechnen wir den unbekannten Faktor in der ersten Gleichung, indem wir den bekannten Quotienten 20 durch den bekannten Faktor 2 dividieren. Wir dividieren natürliche Zahlen und erhalten 10. Schreiben wir die Folge der Gleichheiten auf:
x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.
Wir setzen die Zehn in die ursprüngliche Gleichheit ein und erhalten 2 · 10 = 20. Der Wert des unbekannten Multiplikators wurde korrekt eingegeben.
Lassen Sie uns klarstellen, dass diese Regel nicht angewendet werden kann, wenn einer der Multiplikatoren Null ist. Daher können wir mit ihrer Hilfe die Gleichung x · 0 = 11 nicht lösen. Diese Schreibweise macht keinen Sinn, da man zur Lösung 11 durch 0 dividieren muss und eine Division durch Null nicht definiert ist. Über solche Fälle haben wir in dem Artikel über lineare Gleichungen ausführlicher gesprochen.
Wenn wir diese Regel anwenden, dividieren wir im Wesentlichen beide Seiten der Gleichung durch einen Faktor ungleich 0. Es gibt eine separate Regel, nach der eine solche Division durchgeführt werden kann, und sie hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung, und das, worüber wir in diesem Absatz geschrieben haben, stimmt vollständig damit überein.
Finden einer unbekannten Dividende oder eines unbekannten Divisors
Ein weiterer Fall, den wir berücksichtigen müssen, ist die Ermittlung des unbekannten Dividenden, wenn wir den Divisor und den Quotienten kennen, sowie die Ermittlung des Divisors, wenn der Quotient und der Dividend bekannt sind. Diese Regel können wir über den hier bereits erwähnten Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division formulieren.
Definition 5
Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Divisor mit dem Quotienten multiplizieren.
Sehen wir uns an, wie diese Regel angewendet wird.
Beispiel 5
Lösen wir damit die Gleichung x: 3 = 5. Wir multiplizieren den bekannten Quotienten und den bekannten Divisor miteinander und erhalten 15, was die Dividende ist, die wir brauchen.
Hier ist eine Zusammenfassung der gesamten Lösung:
x: 3 = 5, x = 3 · 5, x = 15.
Eine Überprüfung zeigt, dass wir alles richtig berechnet haben, denn wenn man 15 durch 3 dividiert, ergibt sich tatsächlich 5. Korrekte numerische Gleichheit ist ein Beweis für eine korrekte Lösung.
Diese Regel kann so interpretiert werden, dass die rechte und die linke Seite der Gleichung mit derselben Zahl ungleich 0 multipliziert werden. Diese Transformation hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.
Kommen wir zur nächsten Regel.
Definition 6
Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.
Beispiel 6
Nehmen wir ein einfaches Beispiel – Gleichung 21: x = 3. Um es zu lösen, dividieren Sie den bekannten Dividenden 21 durch den Quotienten 3 und erhalten Sie 7. Dies ist der erforderliche Teiler. Lassen Sie uns nun die Lösung richtig formalisieren:
21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.
Stellen wir sicher, dass das Ergebnis korrekt ist, indem wir sieben in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. 21: 7 = 3, also wurde die Wurzel der Gleichung korrekt berechnet.
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Regel nur für Fälle gilt, in denen der Quotient ungleich Null ist, da wir sonst erneut durch 0 dividieren müssen. Wenn Null privat ist, sind zwei Optionen möglich. Wenn die Dividende ebenfalls gleich Null ist und die Gleichung wie folgt aussieht: 0: x = 0, dann ist der Wert der Variablen beliebig, das heißt, diese Gleichung hat unendlich viele Wurzeln. Aber eine Gleichung mit einem Quotienten gleich 0 und einem von 0 verschiedenen Dividenden wird keine Lösungen haben, da solche Werte des Divisors nicht existieren. Ein Beispiel wäre Gleichung 5: x = 0, die keine Wurzeln hat.
Konsequente Anwendung von Regeln
In der Praxis gibt es oft komplexere Probleme, bei denen die Regeln zum Finden von Addenden, Minuenden, Subtrahenden, Faktoren, Dividenden und Quotienten nacheinander angewendet werden müssen. Geben wir ein Beispiel.
Beispiel 7
Wir haben eine Gleichung der Form 3 x + 1 = 7. Wir berechnen den unbekannten Term 3 x, indem wir eins von 7 subtrahieren. Am Ende erhalten wir 3 x = 7 − 1, dann 3 x = 6. Diese Gleichung ist sehr einfach zu lösen: Teilen Sie 6 durch 3 und ermitteln Sie die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Hier ist eine kurze Zusammenfassung der Lösung einer anderen Gleichung (2 x − 7): 3 − 5 = 2:
(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.
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