Die Methode der Koordinaten im Raum ist der Winkel zwischen Ebenen. Koordinaten-Vektor-Verfahren zur Lösung stereometrischer Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung. Entscheidungspunkt b)

9.1 Flächenwinkel

9.2 Bestimmung des Winkels zwischen Ebenen

9.3 Beispiele für Problemlösungen

Winkel zwischen Ebenen - Definition.

Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen.

Hauptnuancen

Die Vorbereitung auf die Prüfungsprüfung zusammen mit Shkolkovo ist der Schlüssel zu Ihrem Erfolg

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Der Winkel zwischen zwei verschiedenen Ebenen kann für jede relative Lage der Ebenen bestimmt werden.

Der triviale Fall ist, wenn die Ebenen parallel sind. Dann wird der Winkel zwischen ihnen als gleich Null betrachtet.

Nichttrivialer Fall, wenn sich die Ebenen schneiden. Dieser Fall ist Gegenstand weiterer Diskussionen. Zuerst brauchen wir das Konzept eines Diederwinkels.

Ein Diederwinkel besteht aus zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen geraden Linie (die als Kante eines Diederwinkels bezeichnet wird). Auf Abb. 50 zeigt einen Flächenwinkel, der durch Halbebenen und gebildet wird; die Kante dieses Diederwinkels ist die den gegebenen Halbebenen gemeinsame Linie a.

Reis. 50. Diederwinkel

Der Flächenwinkel kann in Grad oder Bogenmaß gemessen werden, geben Sie den Winkelwert des Flächenwinkels ein. Dies geschieht auf folgende Weise.

Auf der Kante des von den Halbebenen und gebildeten Flächenwinkels nehmen wir einen beliebigen Punkt M. Zeichnen wir die Strahlen MA und MB, die jeweils in diesen Halbebenen und senkrecht zur Kante liegen (Abb. 51).

Reis. 51. Linearer Winkel Diederwinkel

Der resultierende Winkel AMB ist der lineare Winkel des Flächenwinkels. Der Winkel " = \AMB ist genau der Winkelwert unseres Flächenwinkels.

Definition. Die Winkelgröße eines Diederwinkels ist die Größe des linearen Winkels eines gegebenen Diederwinkels.

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich (schließlich werden sie durch eine Parallelverschiebung voneinander erhalten). Daher ist diese Definition richtig: Der Wert „hängt nicht von der konkreten Wahl des Punktes M am Rand des Flächenwinkels ab.

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, werden vier Flächenwinkel erhalten. Wenn sie alle denselben Wert haben (jeweils 90), werden die Ebenen als senkrecht bezeichnet; der Winkel zwischen den Ebenen beträgt dann 90°.

Wenn nicht alle Flächenwinkel gleich sind (dh es gibt zwei spitze und zwei stumpfe), dann ist der Winkel zwischen den Ebenen der Wert des spitzen Flächenwinkels (Abb. 52).

Reis. 52. Winkel zwischen Ebenen

Betrachten wir drei Aufgaben. Die erste ist einfach, die zweite und dritte liegen ungefähr auf dem Niveau C2 der Prüfung in Mathematik.

Aufgabe 1. Finde den Winkel zwischen zwei Flächen eines regelmäßigen Tetraeders.

Lösung. Sei ABCD ein regulärer Tetraeder. Zeichnen wir die Mediane AM und DM der entsprechenden Flächen sowie die Höhe des Tetraeders DH (Abb. 53).

Reis. 53. Zu Aufgabe 1

Als Mediane sind AM und DM auch die Höhen der gleichseitigen Dreiecke ABC und DBC. Daher ist der Winkel " = \AMD der lineare Winkel des Flächenwinkels, der durch die Flächen ABC und DBC gebildet wird. Wir finden ihn aus dem Dreieck DHM:

Antwort: arccos 1 3 .

Aufgabe 2. In einer regulären viereckigen Pyramide SABCD (mit der Spitze S) ist die Seitenkante gleich der Seite der Basis. Punkt K ist der Mittelpunkt der Kante SA. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen

Lösung. Die Linie BC ist parallel zu AD und damit parallel zur Ebene ADS. Daher schneidet die KBC-Ebene die ADS-Ebene entlang der geraden Linie KL parallel zu BC (Abb. 54).

Reis. 54. Zu Aufgabe 2

In diesem Fall ist KL auch parallel zur Linie AD; daher ist KL die Mittellinie des Dreiecks ADS, und Punkt L ist der Mittelpunkt von DS.

Zeichne die Höhe der Pyramide SO. Sei N der Mittelpunkt von DO. Dann ist LN die Mittellinie des Dreiecks DOS und daher LN k SO. Also steht LN senkrecht auf der Ebene ABC.

Vom Punkt N lassen wir die Senkrechte NM auf die Linie BC fallen. Die Gerade NM ist die Projektion der Schräge LM auf die Ebene ABC. Aus dem Satz der drei Senkrechten folgt dann, dass LM auch senkrecht auf BC steht.

Der Winkel " = \LMN ist also der lineare Winkel des Flächenwinkels, den die Halbebenen KBC und ABC bilden. Wir suchen diesen Winkel aus dem rechtwinkligen Dreieck LMN.

Der Rand der Pyramide sei a. Finden Sie zuerst die Höhe der Pyramide:

SO=p

Lösung. Sei L der Schnittpunkt der Linien A1 K und AB. Dann schneidet die Ebene A1 KC die Ebene ABC entlang der Geraden CL (Fig.55).

EIN C

Reis. 55. Aufgabe 3

Die Dreiecke A1 B1 K und KBL haben gleiche Schenkel und spitze Winkel. Daher sind auch die anderen Schenkel gleich: A1 B1 = BL.

Betrachten Sie das Dreieck ACL. Darin BA = BC = BL. Der CBL-Winkel beträgt 120°; also \BCL = 30 . Außerdem ist \BCA = 60 . Also \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Also LC? AC. Aber die Linie AC ist die Projektion der Linie A1 C auf die Ebene ABC. Durch den Satz der drei Senkrechten schließen wir dann, dass LC ≥ A1C.

Somit ist der Winkel A1 CA der lineare Winkel des Flächenwinkels, der durch die Halbebenen A1 KC und ABC gebildet wird. Dies ist der erforderliche Winkel. Aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck A1 AC sehen wir, dass es gleich 45 ist.

Aufgabe 1. Die Basis eines geraden viereckigen Prismas ABCD 1 B 1 C 1 D 1 ist ein Rechteck ABCD, in dem AB \u003d 5, AD \u003d 11. Finden Sie die Tangente des Winkels zwischen der Ebene der Basis des Prismas und die Ebene, die durch die Mitte der Kante AD senkrecht zur Linie BD 1 verläuft, wenn der Abstand zwischen den geraden Linien AC und B 1 D 1 12 beträgt. Lösung. Wir führen ein Koordinatensystem ein. Â(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Koordinaten der Normalen zur Schnittebene: Koordinaten der Normalen zu die Basisebene: – spitzer Winkel, dann D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N Winkel zwischen den Ebenen Antwort: 0,5. Nenasheva N. G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 2. An der Basis der dreieckigen Pyramide SABC liegt ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Winkel A ist gerade. AC \u003d 8, BC \u003d 219. Die Höhe der Pyramide SA beträgt 6. Ein Punkt M wird an der Kante AC genommen, so dass AM \u003d 2. Eine Ebene α wird durch den Punkt M, den Scheitelpunkt B und die gezogen Punkt N - die Mitte der Kante SC. Finden Sie den Flächenwinkel, der durch die Ebene α und die Ebene der Basis der Pyramide gebildet wird. A S x B C M N y z Lösung. Wir führen ein Koordinatensystem ein. Dann A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Normal zur Ebene ( ABC) Vektor Normal zur Ebene (BMN) Winkel zwischen Ebenen Antwort: 60°. Gleichung des Flugzeugs (ВМN): N. G. Nenasheva Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 3. Die Basis einer viereckigen Pyramide PABCD ist ein Quadrat mit einer Seite gleich 6, die Seitenkante PD steht senkrecht auf der Ebene der Basis und ist gleich 6. Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Ebenen (BDP) und (BCP). Lösung. 1. Zeichnen Sie den Median DF eines gleichschenkligen Dreiecks CDP (BC = PD = 6) Also DF PC. Und aus der Tatsache, dass BC (CDP), folgt, dass DF BC DF (PCB) A D C B P F 2 bedeutet. Da AC DB und AC DP, dann AC (BDP) 3. Somit ist der Winkel zwischen den Ebenen (BDP) und (BCP ) ergibt sich aus der Bedingung: Der Winkel zwischen den Ebenen Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 3. Die Basis einer viereckigen Pyramide PABCD ist ein Quadrat mit einer Seite gleich 6, die Seitenkante PD steht senkrecht auf der Ebene der Basis und ist gleich 6. Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Ebenen (BDP) und (BCP). Lösung.4. Wählen wir ein Koordinatensystem. Die Koordinaten der Punkte: 5. Dann haben die Vektoren die folgenden Koordinaten: 6. Wenn wir die Werte berechnen, finden wir:, dann A D C B P F z x y Winkel zwischen den Ebenen Antwort: Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 4. Finden Sie im Einheitswürfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 den Winkel zwischen den Ebenen (AD 1 E) und (D 1 FC), wobei die Punkte E und F die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 und sind B 1 C 1. Lösung: 1. Geben Sie ein rechteckiges Koordinatensystem ein und bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte: 2. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf (AD 1 E): 3. Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf (D 1 FC): - der Normalenvektor von das Flugzeug (AD 1 E). - Normalvektor der Ebene (D 1 FС). Winkel zwischen den Ebenen x y z Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 4. Finden Sie im Einheitswürfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 den Winkel zwischen den Ebenen (AD 1 E) und (D 1 FC), wobei die Punkte E und F die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 und sind B 1 C 1. Lösung: 4. Finden Sie den Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen mit der Formel Antwort: Der Winkel zwischen den Ebenen x y z Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 5. Das Segment, das die Mitte der Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit der Mitte der Seitenkante verbindet, ist gleich der Seite der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen der Pyramide. Lösung: x y z 1. Wir führen ein rechteckiges Koordinatensystem ein und bestimmen die Koordinaten der Punkte A, B, C: K Sei die Seite der Basis 1. Betrachten Sie zur Eindeutigkeit die Flächen SAC und SBC. 2. Finden Sie die Koordinaten des Punktes S: E Der Winkel zwischen den Ebenen Nenasheva N.G . Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 5. Das Segment, das die Mitte der Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit der Mitte der Seitenkante verbindet, ist gleich der Seite der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen der Pyramide. Lösung: x y z K E SO finden wir aus OSB: Der Winkel zwischen den Ebenen Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 5. Das Segment, das die Mitte der Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit der Mitte der Seitenkante verbindet, ist gleich der Seite der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen der Pyramide. Lösung: x y z K E 3. Gleichung der Ebene (SAC): - Normalenvektor der Ebene (SAC). 4. Gleichung der Ebene (SBC): - Normalvektor der Ebene (SBC). Winkel zwischen den Ebenen Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

Aufgabe 5. Das Segment, das die Mitte der Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit der Mitte der Seitenkante verbindet, ist gleich der Seite der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen der Pyramide. Lösung: x y z K E 5. Finden Sie den Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen gemäß der Formel Antwort: Der Winkel zwischen den Ebenen Nenasheva N.G. Mathematiklehrer GBOU Sekundarschule 985

In diesem Artikel geht es um den Winkel zwischen Ebenen und wie man ihn findet. Zunächst wird die Definition des Winkels zwischen zwei Ebenen gegeben und eine grafische Darstellung gegeben. Danach wurde das Prinzip der Bestimmung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen durch die Koordinatenmethode analysiert, eine Formel wurde erhalten, die es ermöglicht, den Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen unter Verwendung der bekannten Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen zu berechnen. Abschließend werden detaillierte Lösungen typischer Probleme aufgezeigt.

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Lassen Sie uns Argumente anführen, die es uns ermöglichen, uns allmählich der Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu nähern.

Gegeben seien zwei sich schneidende Ebenen und . Diese Ebenen schneiden sich in einer geraden Linie, die wir mit dem Buchstaben c bezeichnen. Konstruieren wir eine Ebene, die durch den Punkt M der Linie c verläuft und senkrecht zur Linie c steht. In diesem Fall schneidet die Ebene die Ebenen und . Bezeichnen Sie die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als a, und die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als b. Offensichtlich schneiden sich die Geraden a und b im Punkt M.

Es ist leicht zu zeigen, dass der Winkel zwischen den Schnittlinien a und b nicht von der Lage des Punktes M auf der Linie c abhängt, durch die die Ebene verläuft.

Konstruieren wir eine Ebene senkrecht zur Linie c und verschieden von der Ebene . Die Ebene wird von den Ebenen und entlang geraden Linien geschnitten, die wir mit a 1 bzw. b 1 bezeichnen.

Aus dem Verfahren zum Konstruieren von Ebenen und folgt, dass die Linien a und b senkrecht zur Linie c sind und die Linien a 1 und b 1 senkrecht zur Linie c sind. Da die Linien a und a 1 in derselben Ebene liegen und senkrecht zur Linie c stehen, sind sie parallel. In ähnlicher Weise liegen die Linien b und b 1 in derselben Ebene und sind senkrecht zur Linie c, daher sind sie parallel. Somit ist es möglich, eine parallele Übertragung der Ebene zu der Ebene durchzuführen, in der die Linie a 1 mit der Linie a und die Linie b mit der Linie b 1 zusammenfällt. Daher ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien a 1 und b 1 gleich dem Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b .

Dies beweist, dass der Winkel zwischen den sich schneidenden Geraden a und b in den sich schneidenden Ebenen liegt und nicht von der Wahl des Punktes M abhängt, durch den die Ebene verläuft. Daher ist es logisch, diesen Winkel als den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu nehmen.

Jetzt können Sie die Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen und aussprechen.

Definition.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen, die sich in einer geraden Linie schneiden und ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien a und b, entlang denen die Ebenen und die Ebene senkrecht zur Linie c schneiden.

Die Definition des Winkels zwischen zwei Ebenen kann etwas anders angegeben werden. Wenn Sie auf der Linie c, entlang der sich die Ebenen schneiden, den Punkt M markieren und durch ihn Linien a und b zeichnen, die senkrecht zur Linie c liegen und in den Ebenen liegen, und jeweils dann ist der Winkel zwischen den Linien a und b der Winkel zwischen den Ebenen und. Üblicherweise werden solche Konstruktionen in der Praxis durchgeführt, um den Winkel zwischen den Ebenen zu erhalten.

Da der Winkel zwischen den sich schneidenden Linien nicht größer ist, folgt aus der stimmhaften Definition, dass das Gradmaß des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen durch eine reelle Zahl aus dem Intervall ausgedrückt wird. In diesem Fall werden sich schneidende Ebenen genannt aufrecht wenn der Winkel zwischen ihnen neunzig Grad beträgt. Der Winkel zwischen parallelen Ebenen wird entweder überhaupt nicht bestimmt oder als gleich Null angesehen.

Wenn Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen finden, müssen Sie normalerweise zuerst zusätzliche Konstruktionen durchführen, um die sich schneidenden Linien zu sehen, deren Winkel gleich dem gewünschten Winkel ist, und dann diesen Winkel mit den ursprünglichen Daten unter Verwendung von Gleichheitszeichen verbinden. Ähnlichkeitszeichen, der Kosinussatz oder die Definitionen von Sinus, Kosinus und Winkeltangens. Im Geometriekurs des Gymnasiums gibt es ähnliche Probleme.

Geben wir zum Beispiel eine Lösung zur Aufgabe C2 aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik für 2012 (die Bedingung wird bewusst geändert, aber das Prinzip der Lösung wird dadurch nicht berührt). Darin musste nur der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen gefunden werden.

Beispiel.

Lösung.

Zuerst machen wir eine Zeichnung.

Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen, um den Winkel zwischen den Ebenen zu "sehen".

Lassen Sie uns zunächst eine gerade Linie definieren, entlang der sich die Ebenen ABC und BED 1 schneiden. Punkt B ist einer ihrer gemeinsamen Punkte. Finde den zweiten gemeinsamen Punkt dieser Ebenen. Die Linien DA und D 1 E liegen in derselben Ebene ADD 1 und sind nicht parallel und schneiden sich daher. Andererseits liegt die Linie DA in der Ebene ABC und die Linie D 1 E liegt in der Ebene BED 1, daher wird der Schnittpunkt der Linien DA und D 1 E ein gemeinsamer Punkt der Ebenen ABC und sein BETT 1. Wir setzen also die Linien DA und D 1 E fort, bis sie sich schneiden, und bezeichnen den Schnittpunkt mit dem Buchstaben F. Dann ist BF die Gerade, entlang der sich die Ebenen ABC und BED 1 schneiden.

Es müssen noch zwei Linien konstruiert werden, die in den Ebenen ABC bzw. BED 1 liegen und durch einen Punkt auf der Linie BF verlaufen und senkrecht zur Linie BF verlaufen - der Winkel zwischen diesen Linien ist per Definition gleich dem gewünschten Winkel zwischen den Flugzeuge ABC und BETT 1 . Machen wir das.

Punkt A ist die Projektion des Punktes E auf die Ebene ABC. Zeichne eine Linie, die die Linie BF im Punkt M im rechten Winkel schneidet. Dann ist die Linie AM die Projektion der Linie EM auf die Ebene ABC, und nach dem Satz der drei Senkrechten.

Somit ist der gewünschte Winkel zwischen den Ebenen ABC und BETT 1 .

Wir können den Sinus, Cosinus oder Tangens dieses Winkels (und damit den Winkel selbst) aus einem rechtwinkligen Dreieck AEM bestimmen, wenn wir die Längen seiner beiden Seiten kennen. Aus der Bedingung lässt sich die Länge AE leicht ermitteln: Da Punkt E die Seite AA 1 in Bezug auf 4 bis 3 teilt, gezählt von Punkt A, und die Länge der Seite AA 1 7 beträgt, ist AE \u003d 4. Lassen Sie uns die Länge von AM finden.

Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck ABF mit dem rechten Winkel A, wobei AM die Höhe ist. Durch Bedingung AB=2. Wir können die Länge der Seite AF aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke DD 1 F und AEF finden:

Nach dem Satz des Pythagoras finden wir aus dem Dreieck ABF . Wir finden die Länge AM durch die Fläche des Dreiecks ABF: Auf der einen Seite ist die Fläche des Dreiecks ABF gleich , andererseits , wo .

Somit haben wir aus dem rechtwinkligen Dreieck AEM .

Dann ist der gewünschte Winkel zwischen den Ebenen ABC und BETT 1 (beachte das ).

Antworten:

In einigen Fällen ist es zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen praktisch, Oxyz anzugeben und die Koordinatenmethode zu verwenden. Lassen Sie uns damit aufhören.

Stellen wir die Aufgabe: Finden Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen und . Lassen Sie uns den gewünschten Winkel als bezeichnen.

Wir nehmen an, dass wir in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz die Koordinaten der Normalenvektoren der sich schneidenden Ebenen kennen und/oder es möglich ist, sie zu finden. Lassen ist der Normalenvektor der Ebene, und ist der Normalenvektor der Ebene . Lassen Sie uns zeigen, wie man den Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen und durch die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen findet.

Lassen Sie uns die Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, und als c bezeichnen. Durch den Punkt M auf der Linie c zeichnen wir eine Ebene senkrecht zur Linie c. Die Ebene schneidet die Ebenen und entlang der Linien a und b schneiden sich die Linien a und b im Punkt M. Definitionsgemäß ist der Winkel zwischen sich schneidenden Ebenen und gleich dem Winkel zwischen sich schneidenden Linien a und b.

Lassen wir vom Punkt M in der Ebene die Normalenvektoren und der Ebenen und außer Acht. In diesem Fall liegt der Vektor auf einer Linie, die senkrecht zur Linie a steht, und der Vektor liegt auf einer Linie, die senkrecht zur Linie b steht. In der Ebene ist also der Vektor der Normalenvektor der Linie a, ist der Normalenvektor der Linie b.

Im Artikel Den Winkel zwischen sich schneidenden Linien finden haben wir eine Formel erhalten, mit der Sie den Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien mithilfe der Koordinaten von Normalenvektoren berechnen können. Also der Kosinus des Winkels zwischen den Linien a und b und folglich und Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Ebenen und wird durch die Formel gefunden, wo und sind die Normalenvektoren der Ebenen bzw. Dann wird es berechnet als .

Lösen wir das vorherige Beispiel mit der Koordinatenmethode.

Beispiel.

Gegeben ist ein rechteckiges Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, bei dem AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 und Punkt E die Seite AA 1 im Verhältnis 4 zu 3 teilt, gezählt von Punkt A . Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen ABC und BED 1.

Lösung.

Da die Seiten eines rechteckigen Parallelepipeds an einer Ecke paarweise senkrecht stehen, ist es zweckmäßig, ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz wie folgt einzuführen: Der Anfang ist mit der Ecke C ausgerichtet, und die Koordinatenachsen Ox, Oy und Oz sind entlang der Seiten gerichtet CD, CB bzw. CC 1.

Der Winkel zwischen den Ebenen ABC und BED 1 kann durch die Koordinaten der Normalenvektoren dieser Ebenen unter Verwendung der Formel ermittelt werden, wobei und die Normalenvektoren der Ebenen ABC bzw. BED 1 sind. Lassen Sie uns die Koordinaten von Normalenvektoren bestimmen.

Aufgabe 1.6. Würfel gegeben. M, N, P - die Mittelpunkte der Kanten, AB, BC. Finden Sie den Winkel zwischen Ebenen (MNP) und

a) Wir führen ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem wie in Abbildung 17 ein. Die Länge der Würfelkante kann beliebig gewählt werden, da sich der Winkel zwischen den Ebenen unter Homothetie nicht ändert. Es ist zum Beispiel bequem, die Kantenlänge eines Würfels gleich 2 zu nehmen.

In Bezug auf das gewählte Koordinatensystem finden wir die Koordinaten von Punkten und Vektoren:

b) Sei ein Normalenvektor der Ebene.

In diesem Fall die Bedingungen

Ebenso ist if der Normalenvektor der Ebene, dann

c) Wenn dann

Antworten:

Aufgabe 1.7. An der Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC liegt eine regelmäßige mit einer Seite gleich 2. Die Kante SA ist senkrecht zur Ebene der Basis und SA = 1. Die Punkte P, Q sind die Mittelpunkte der Kanten SB bzw. CB. Die Ebene ist parallel zu den Linien SC und AB, und die Ebene ist parallel zu den Linien AQ und CP. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Ebenen und.

a) Wir wählen ein rechteckiges kartesisches Koordinatensystem wie in Abbildung 18 gezeigt. Im gewählten Koordinatensystem haben wir:

b) ist der Normalenvektor der Ebene parallel zu den Linien SC und AB. dann sind folgende Bedingungen erfüllt:

c) Bezeichnen Sie mit einer Ebene, die parallel zu den Linien AQ und CP ist, und mit - ihrem Normalenvektor. In diesem Fall erhalten wir ein System der Form

\(\blacktriangleright\) Ein Flächenwinkel ist der Winkel, der von zwei Halbebenen und der Geraden \(a\) , die ihre gemeinsame Grenze ist, gebildet wird.

\(\blacktriangleright\) Um den Winkel zwischen den Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) zu finden, musst du den linearen Winkel finden würzig oder gerade) des von den Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) gebildeten Flächenwinkels:

Schritt 1: Sei \(\xi\cap\pi=a\) (die Schnittlinie der Ebenen). In der Ebene \(\xi\) markieren wir einen beliebigen Punkt \(F\) und zeichnen \(FA\perp a\) ;

Schritt 2: zeichne \(FG\perp \pi\) ;

Schritt 3: Gemäß TTP (\(FG\) - senkrecht, \(FA\) - schräg, \(AG\) - Projektion) haben wir: \(AG\perp a\) ;

Schritt 4: Der Winkel \(\angle FAG\) wird linearer Winkel des Flächenwinkels genannt, der von den Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) gebildet wird.

Beachten Sie, dass das Dreieck \(AG\) ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Beachten Sie auch, dass die so konstruierte Ebene \(AFG\) senkrecht zu den beiden Ebenen \(\xi\) und \(\pi\) steht. Daher kann man auch anders sagen: Winkel zwischen Ebenen\(\xi\) und \(\pi\) ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien \(c\in \xi\) und \(b\in\pi\) , die eine Ebene senkrecht zu \(\xi\ bilden ) und \(\pi\) .

Aufgabe 1 #2875

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Gegeben ist eine viereckige Pyramide, deren Kanten alle gleich sind und deren Grundfläche ein Quadrat ist. Finden Sie \(6\cos \alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den benachbarten Seitenflächen ist.

Sei \(SABCD\) eine gegebene Pyramide (\(S\) ist eine Ecke), deren Kanten gleich \(a\) sind. Daher sind alle Seitenflächen gleiche gleichseitige Dreiecke. Finde den Winkel zwischen den Flächen \(SAD\) und \(SCD\) .

Lassen Sie uns \(CH\perp SD\) zeichnen. Als \(\triangle SAD=\triangle SCD\), dann ist \(AH\) auch eine Höhe von \(\triangle SAD\) . Daher ist \(\angle AHC=\alpha\) per Definition der lineare Flächenwinkel zwischen den Flächen \(SAD\) und \(SCD\) .
Da die Basis ein Quadrat ist, ist \(AC=a\sqrt2\) . Beachten Sie auch, dass \(CH=AH\) die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite \(a\) ist, also \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Dann nach dem Kosinussatz aus \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Antwort: -2

Aufgabe 2 #2876

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Die Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) schneiden sich unter einem Winkel, dessen Kosinus gleich \(0,2\) ist. Die Ebenen \(\pi_2\) und \(\pi_3\) schneiden sich im rechten Winkel, und die Schnittlinie der Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) ist parallel zur Schnittlinie von die Ebenen \(\pi_2\) und \(\ pi_3\) . Finde den Sinus des Winkels zwischen den Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_3\) .

Die Schnittgerade von \(\pi_1\) und \(\pi_2\) sei die Gerade \(a\) , die Schnittgerade von \(\pi_2\) und \(\pi_3\) sei die Gerade \ (b\) , und die Schnittgerade \(\pi_3\) und \(\pi_1\) sind die Gerade \(c\) . Da \(a\parallel b\) , dann \(c\parallel a\parallel b\) (nach dem Satz aus dem Abschnitt der theoretischen Referenz „Geometry in space“ \(\rightarrow\) „Einführung in die Stereometrie, Parallelität").

Markieren Sie die Punkte \(A\in a, B\in b\) so, dass \(AB\perp a, AB\perp b\) (das ist möglich, weil \(a\parallel b\) ). Beachten Sie \(C\in c\), sodass \(BC\perp c\) , also \(BC\perp b\) . Dann \(AC\perp c\) und \(AC\perp a\) .
Da \(AB\perp b, BC\perp b\) tatsächlich ist, steht \(b\) senkrecht auf der Ebene \(ABC\) . Wegen \(c\parallel a\parallel b\) stehen auch die Geraden \(a\) und \(c\) senkrecht auf der Ebene \(ABC\) , also insbesondere jede Gerade aus dieser Ebene die Zeile \ (AC\) .

Daraus folgt das \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\Winkel BCA=\Winkel (\pi_3, \pi_1)\). Es stellt sich heraus, dass \(\triangle ABC\) rechteckig ist, was bedeutet \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Antwort: 0,2

Aufgabe 3 #2877

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Gegeben seien Linien \(a, b, c\), die sich in einem Punkt schneiden, und der Winkel zwischen zwei von ihnen sei gleich \(60^\circ\) . Finden Sie \(\cos^(-1)\alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen der Ebene ist, die durch die Linien \(a\) und \(c\) gebildet wird, und der Ebene, die durch die Linien gebildet wird \(b\) und \(c\) . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Die Geraden sollen sich im Punkt \(O\) schneiden. Da der Winkel zwischen je zweien gleich \(60^\circ\) ist, können nicht alle drei Geraden in derselben Ebene liegen. Markieren wir einen Punkt \(A\) auf der Geraden \(a\) und zeichnen \(AB\perp b\) und \(AC\perp c\) . Dann \(\triangle AOB=\triangle AOC\) als rechteckig in Hypotenuse und spitzem Winkel. Also \(OB=OC\) und \(AB=AC\) .
Machen wir \(AH\perp (BOC)\) . Dann gilt nach dem Drei-Senkrechten-Satz \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Da \(AB=AC\) dann \(\triangle AHB=\triangle AHC\) als rechteckig entlang der Hypotenuse und des Beins. Also \(HB=HC\) . Daher ist \(OH\) die Winkelhalbierende des Winkels \(BOC\) (da der Punkt \(H\) von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist).

Beachten Sie, dass wir auf diese Weise auch den linearen Winkel des Flächenwinkels konstruiert haben, der durch die Ebene gebildet wird, die durch die Linien \(a\) und \(c\) und die Ebene gebildet wird, die durch die Linien \(b\) und \( c\) . Dies ist der Winkel \(ACH\) .

Lassen Sie uns diese Ecke finden. Da wir den Punkt \(A\) willkürlich gewählt haben, wählen wir ihn so, dass \(OA=2\) . Dann in rechteckig \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Da \(OH\) eine Winkelhalbierende ist, ist also \(\angle HOC=30^\circ\) , also in einem Rechteck \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Dann aus rechteckig \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Antwort: 3

Aufgabe 4 #2910

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Die Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) schneiden sich entlang der Linie \(l\) , die die Punkte \(M\) und \(N\) enthält. Die Strecken \(MA\) und \(MB\) stehen senkrecht auf der Geraden \(l\) und liegen in den Ebenen \(\pi_1\) bzw. \(\pi_2\) und \(MN = 15). \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Finde \(3\cos\alpha\) , wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den Ebenen \(\pi_1\) und \(\pi_2\) ist.

Das Dreieck \(AMN\) ist rechtwinklig, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , woher \ Das Dreieck \(BMN\) ist rechtwinklig, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , woraus \ Wir schreiben den Kosinussatz für das Dreieck \(AMB\): \ Dann \ Da der Winkel \(\alpha\) zwischen den Ebenen ein spitzer Winkel ist und sich \(\angle AMB\) als stumpf herausstellte, ist \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Dann \

Antwort: 1.25

Aufgabe 5 #2911

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ist ein Parallelepiped, \(ABCD\) ist ein Quadrat mit der Seite \(a\) , Punkt \(M\) ist die Basis der Senkrechten, die vom Punkt \(A_1\) auf die Ebene \ fällt ((ABCD)\) , außerdem ist \(M\) der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats \(ABCD\) . Es ist bekannt, dass \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Finde den Winkel zwischen den Ebenen \((ABCD)\) und \((AA_1B_1B)\) . Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Wir konstruieren \(MN\) senkrecht zu \(AB\), wie in der Abbildung gezeigt.

Da \(ABCD\) ein Quadrat mit Seitenlänge \(a\) und \(MN\perp AB\) und \(BC\perp AB\) ist, ist \(MN\parallel BC\) . Da \(M\) der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats ist, dann ist \(M\) der Mittelpunkt von \(AC\) , also ist \(MN\) die Mittellinie und \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) ist die Projektion von \(A_1N\) auf die Ebene \((ABCD)\) , und \(MN\) ist senkrecht zu \(AB\) , dann ist nach dem Satz der drei Senkrechten \( A_1N\) steht senkrecht auf \(AB \) und der Winkel zwischen den Ebenen \((ABCD)\) und \(AA_1B_1B)\) ist \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rechtspfeil\qquad\Winkel A_1NM = 60^(\circ)\]

Antwort: 60

Aufgabe 6 #1854

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Im Quadrat \(ABCD\) : \(O\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen; \(S\) liegt nicht in der Ebene des Quadrats, \(SO \perp ABC\) . Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen \(ASD\) und \(ABC\) wenn \(SO = 5\) und \(AB = 10\) .

Rechtwinklige Dreiecke \(\triangle SAO\) und \(\triangle SDO\) sind in zwei Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , weil \(O\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, \(SO\) ist die gemeinsame Seite) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) ist gleichschenklig. Der Punkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \(AD\) , dann ist \(SK\) die Höhe im Dreieck \(\triangle ASD\) , und \(OK\) ist die Höhe im Dreieck \ (AOD\) \(\Rightarrow\) Ebene \(SOK\) ist senkrecht zu den Ebenen \(ASD\) und \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) ist ein linearer Winkel gleich auf den erforderlichen Flächenwinkel.

In \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Antwort: 45

Aufgabe 7 #1855

Aufgabenniveau: Schwieriger als die Prüfung

Rechtwinklige Dreiecke \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) und \(\triangle SOC\) sind in zwei Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen (\(SO \perp ABC \) \(\Rechtspfeil\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , weil \(O\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, \(SO\) ist die gemeinsame Seite) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) und \(\triangle BSC\) sind gleichschenklig. Der Punkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \(AD\) , dann ist \(SK\) die Höhe im Dreieck \(\triangle ASD\) , und \(OK\) ist die Höhe im Dreieck \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) die Ebene \(SOK\) steht senkrecht auf der Ebene \(ASD\) . Der Punkt \(L\) ist der Mittelpunkt von \(BC\) , dann ist \(SL\) die Höhe im Dreieck \(\triangle BSC\) , und \(OL\) ist die Höhe im Dreieck \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) die Ebene \(SOL\) (auch bekannt als die Ebene \(SOK\) ) ist senkrecht zur Ebene \(BSC\) . Somit erhalten wir, dass \(\angle KSL\) ein linearer Winkel ist, der gleich dem gewünschten Flächenwinkel ist.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rechtspfeil\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - Höhen in gleichschenkligen Dreiecken, die mit dem Satz des Pythagoras gefunden werden können: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Man kann sehen, dass \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) für ein Dreieck \(\triangle KSL\) gilt der umgekehrte Satz des Pythagoras \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) ist ein rechtwinkliges Dreieck \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ Kreis\) .

Antwort: 90

Die Vorbereitung der Schüler auf die Prüfung in Mathematik beginnt in der Regel mit einer Wiederholung der Grundformeln, einschließlich derjenigen, mit denen Sie den Winkel zwischen den Ebenen bestimmen können. Obwohl dieser Teil der Geometrie im Rahmen des Schullehrplans ausreichend behandelt wird, müssen viele Absolventen den Grundstoff wiederholen. Mit dem Verständnis, wie man den Winkel zwischen den Ebenen findet, können Gymnasiasten im Zuge der Lösung der Aufgabe schnell die richtige Antwort berechnen und auf der Grundlage des einheitlichen Staatsexamens mit ordentlichen Noten rechnen.

Damit die Frage, wie man den Flächenwinkel findet, keine Schwierigkeiten bereitet, empfehlen wir Ihnen, dem Lösungsalgorithmus zu folgen, der Ihnen hilft, die Aufgaben der Prüfung zu bewältigen.

Zuerst müssen Sie die Linie bestimmen, entlang der sich die Ebenen schneiden.

Dann müssen Sie auf dieser Linie einen Punkt auswählen und zwei Senkrechte zu ihm zeichnen.

Der nächste Schritt besteht darin, die trigonometrische Funktion des Flächenwinkels zu finden, der durch die Senkrechten gebildet wird. Dies geschieht am bequemsten mit Hilfe des resultierenden Dreiecks, zu dem die Ecke gehört.

Die Antwort wird der Wert des Winkels oder seine trigonometrische Funktion sein.

1 Uhr morgens

Während des Studiums am Vorabend des Bestehens der Prüfung stehen viele Studenten vor dem Problem, Definitionen und Formeln zu finden, mit denen Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen können. Ein Schulbuch ist nicht immer genau dann zur Hand, wenn es gebraucht wird. Und um die notwendigen Formeln und Beispiele für ihre korrekte Anwendung zu finden, einschließlich der Ermittlung des Winkels zwischen Ebenen im Internet online, muss manchmal viel Zeit aufgewendet werden.

Das Mathematikportal "Shkolkovo" bietet einen neuen Ansatz zur Vorbereitung auf das Staatsexamen. Der Unterricht auf unserer Website hilft den Schülern, die schwierigsten Abschnitte selbst zu identifizieren und Wissenslücken zu schließen.

Wir haben alle notwendigen Materialien vorbereitet und übersichtlich präsentiert. Grundlegende Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretische Referenz“ vorgestellt.

Um sich den Stoff besser anzueignen, empfehlen wir auch, die entsprechenden Übungen zu üben. Eine große Auswahl an Aufgabenstellungen unterschiedlicher Komplexität, zum Beispiel zum Thema, finden Sie im Katalogteil. Alle Aufgaben enthalten einen detaillierten Algorithmus zum Finden der richtigen Antwort. Die Liste der Übungen auf der Seite wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Um das Lösen von Problemen zu üben, bei denen es erforderlich ist, den Winkel zwischen zwei Ebenen zu finden, haben die Schüler die Möglichkeit, jede Aufgabe online in "Favoriten" zu speichern. Dadurch können sie so oft wie nötig zu ihm zurückkehren und den Fortschritt seiner Lösung mit einem Schullehrer oder Tutor besprechen.

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