Ermitteln der größten und kleinsten Werte in einem Segment. Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment

Der Standardalgorithmus zur Lösung solcher Probleme besteht darin, nach dem Finden der Nullstellen der Funktion die Vorzeichen der Ableitung auf den Intervallen zu bestimmen. Dann erfolgt die Berechnung der Werte an den gefundenen Maximal- (oder Minimal-)Punkten und an der Grenze des Intervalls, je nachdem, um welche Frage es sich in der Bedingung handelt.

Ich rate Ihnen, die Dinge etwas anders zu machen. Warum? Ich habe darüber geschrieben.

Ich schlage vor, solche Probleme wie folgt zu lösen:

1. Finden Sie die Ableitung.
2. Finden Sie die Nullstellen der Ableitung.
3. Bestimmen Sie, welche davon zu diesem Intervall gehören.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den Grenzen des Intervalls und an den Punkten von Schritt 3.
5. Wir ziehen eine Schlussfolgerung (beantworten Sie die gestellte Frage).

Beim Lösen der vorgestellten Beispiele wird das Lösen quadratischer Gleichungen nicht im Detail besprochen; Sie müssen dazu in der Lage sein. Sie sollten es auch wissen.

Schauen wir uns Beispiele an:

77422. Finden Sie den größten Wert der Funktion y=x 3 –3x+4 auf dem Segment [–2;0].

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

Der Punkt x = –1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir berechnen die Werte der Funktion an den Punkten –2, –1 und 0:

Der größte Wert der Funktion ist 6.

Antwort: 6

77425. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y = x 3 – 3x 2 + 2 auf dem Segment.

Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

Das in der Bedingung angegebene Intervall enthält den Punkt x = 2.

Wir berechnen die Werte der Funktion an den Punkten 1, 2 und 4:

Der kleinste Wert der Funktion ist –2.

Antwort: –2

77426. Finden Sie den größten Wert der Funktion y = x 3 – 6x 2 auf der Strecke [–3;3].

Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung:

Der Punkt x = 0 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir berechnen die Werte der Funktion an den Punkten –3, 0 und 3:

Der kleinste Wert der Funktion ist 0.

Antwort: 0

77429. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y = x 3 – 2x 2 + x +3 auf dem Segment.

Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Wir erhalten die Wurzeln: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Das in der Bedingung angegebene Intervall enthält nur x = 1.

Suchen wir die Werte der Funktion an den Punkten 1 und 4:

Wir haben herausgefunden, dass der kleinste Wert der Funktion 3 ist.

Antwort: 3

77430. Finden Sie den größten Wert der Funktion y = x 3 + 2x 2 + x + 3 auf der Strecke [– 4; -1].

Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung und lösen wir die quadratische Gleichung:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Kommen wir zu den Wurzeln:

Die Wurzel x = –1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.

Wir finden die Werte der Funktion an den Punkten –4, –1, –1/3 und 1:

Wir haben herausgefunden, dass der größte Wert der Funktion 3 ist.

Antwort: 3

77433. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y = x 3 – x 2 – 40x +3 auf dem Segment.

Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:

Finden wir die Nullstellen der Ableitung und lösen wir die quadratische Gleichung:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Kommen wir zu den Wurzeln:

Das in der Bedingung angegebene Intervall enthält die Wurzel x = 4.

Finden Sie die Funktionswerte an den Punkten 0 und 4:

Wir haben herausgefunden, dass der kleinste Wert der Funktion –109 ist.

Antwort: –109

Betrachten wir eine Möglichkeit, die größten und kleinsten Werte von Funktionen ohne Ableitung zu bestimmen. Dieser Ansatz kann verwendet werden, wenn Sie große Probleme bei der Bestimmung der Ableitung haben. Das Prinzip ist einfach: Wir ersetzen alle ganzzahligen Werte aus dem Intervall in der Funktion (Tatsache ist, dass in allen solchen Prototypen die Antwort eine ganze Zahl ist).

77437. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y=7+12x–x 3 auf der Strecke [–2;2].

Ersatzpunkte von –2 bis 2: Lösung ansehen

77434. Finden Sie den größten Wert der Funktion y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 auf dem Segment [–2;0].

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Ein kleines und ziemlich einfaches Problem, wie es einem schwimmenden Studenten als Lebensretter dient. In der Natur ist es Mitte Juli, also ist es Zeit, sich mit Ihrem Laptop am Strand niederzulassen. Am frühen Morgen begann der Sonnenstrahl der Theorie zu spielen, um sich bald auf die Praxis zu konzentrieren, die trotz der erklärten Leichtigkeit Glasscherben im Sand enthält. In diesem Zusammenhang empfehle ich Ihnen, sich gewissenhaft mit den wenigen Beispielen dieser Seite auseinanderzusetzen. Um praktische Probleme zu lösen, muss man dazu in der Lage sein Derivate finden und den Inhalt des Artikels verstehen Monotonieintervalle und Extrema der Funktion.

Zunächst kurz zum Wesentlichen. In der Lektion über Kontinuität der Funktion Ich habe die Kontinuität an einem Punkt und die Kontinuität in einem Intervall definiert. Das beispielhafte Verhalten einer Funktion auf einem Segment wird ähnlich formuliert. Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn:

1) es ist im Intervall stetig;
2) kontinuierlich an einem Punkt rechts und zwar auf den Punkt links.

Im zweiten Absatz haben wir über das sogenannte gesprochen einseitige Kontinuität Funktionen an einem Punkt. Es gibt verschiedene Ansätze, es zu definieren, aber ich bleibe bei der Linie, die ich zuvor begonnen habe:

Die Funktion ist im Punkt stetig rechts, wenn sie an einem bestimmten Punkt definiert ist und ihr rechter Grenzwert mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt: . Es ist an der Stelle kontinuierlich links, wenn an einem bestimmten Punkt definiert und sein linker Grenzwert gleich dem Wert an diesem Punkt ist:

Stellen Sie sich vor, dass die grünen Punkte Nägel sind, an denen ein magisches Gummiband befestigt ist:

Nehmen Sie die rote Linie gedanklich in die Hand. Offensichtlich bleibt die Funktion erhalten, egal wie weit wir den Graphen nach oben und unten (entlang der Achse) strecken begrenzt– oben ein Zaun, unten ein Zaun und schon weidet unser Produkt auf der Koppel. Auf diese Weise, Eine auf einem Intervall stetige Funktion ist darauf beschränkt. Im Zuge der mathematischen Analyse wird diese scheinbar einfache Tatsache dargelegt und streng bewiesen. Der erste Satz von Weierstrass....Viele Menschen ärgern sich darüber, dass elementare Aussagen in der Mathematik mühsam begründet werden, aber das hat eine wichtige Bedeutung. Angenommen, ein bestimmter Bewohner des Frottee-Mittelalters zog einen Graphen in den Himmel, der über die Grenzen der Sichtbarkeit hinausging, und dieser wurde eingefügt. Vor der Erfindung des Teleskops war die eingeschränkte Funktion im Weltraum überhaupt nicht offensichtlich! Woher wissen Sie wirklich, was uns hinter dem Horizont erwartet? Schließlich galt die Erde einst als flach, sodass heute selbst eine gewöhnliche Teleportation einen Beweis erfordert =)

Entsprechend Der zweite Satz von Weierstrass, kontinuierlich auf einem Segmentdie Funktion erreicht ihr Ziel genaue Obergrenze und deins exakte Unterkante .

Die Nummer wird auch angerufen der maximale Wert der Funktion auf dem Segment und werden mit bezeichnet, und die Zahl ist der minimale Wert der Funktion auf dem Segment markiert.

In unserem Fall:

Notiz : Theoretisch sind Aufnahmen üblich .

Grob gesagt ist der größte Wert dort, wo sich der höchste Punkt im Diagramm befindet, und der kleinste Wert dort, wo sich der niedrigste Punkt befindet.

Wichtig! Wie bereits im Artikel über betont Extrema der Funktion, größter Funktionswert Und kleinster Funktionswert – NICHT DAS GLEICHE, Was maximale Funktion Und minimale Funktion. Im betrachteten Beispiel ist die Zahl also das Minimum der Funktion, aber nicht der Minimalwert.

Was passiert übrigens außerhalb des Segments? Ja, selbst eine Überschwemmung interessiert uns im Kontext des betrachteten Problems überhaupt nicht. Die Aufgabe besteht lediglich darin, zwei Zahlen zu finden und alle!

Darüber hinaus ist die Lösung daher rein analytisch Es ist nicht nötig, eine Zeichnung anzufertigen!

Der Algorithmus liegt an der Oberfläche und ergibt sich aus der obigen Abbildung:

1) Finden Sie die Werte der Funktion in kritische Punkte, die zu diesem Segment gehören.

Ein weiterer Vorteil: Hier ist es nicht erforderlich, die hinreichende Bedingung für ein Extremum zu prüfen, da, wie gerade gezeigt, das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums erforderlich ist garantiert noch nicht, was ist der minimale oder maximale Wert? Die Demonstrationsfunktion erreicht ein Maximum und durch den Willen des Schicksals ist dieselbe Zahl der größte Wert der Funktion auf dem Segment. Aber natürlich kommt ein solcher Zufall nicht immer vor.

Im ersten Schritt ist es also schneller und einfacher, die Werte der Funktion an kritischen Punkten des Segments zu berechnen, ohne sich darum zu kümmern, ob sie Extrema enthalten oder nicht.

2) Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments.

3) Wählen Sie unter den im 1. und 2. Absatz gefundenen Funktionswerten die kleinste und größte Zahl aus und notieren Sie die Antwort.

Wir setzen uns ans Ufer des blauen Meeres und schlagen mit den Absätzen ins flache Wasser:

Beispiel 1

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment

Lösung:
1) Berechnen wir die Werte der Funktion an kritischen Punkten, die zu diesem Segment gehören:

Berechnen wir den Wert der Funktion am zweiten kritischen Punkt:

2) Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

3) „Fette“ Ergebnisse wurden mit Exponenten und Logarithmen erhalten, was ihren Vergleich erheblich erschwert. Aus diesem Grund bewaffnen wir uns mit einem Taschenrechner oder Excel und berechnen ungefähre Werte. Vergessen wir dabei nicht:

Jetzt ist alles klar.

Antwort:

Bruchrational-Instanz für unabhängige Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie die Maximal- und Minimalwerte einer Funktion auf einem Segment

Lassen Sie die Funktion y =F(X) ist stetig im Intervall [ a, b]. Bekanntlich erreicht eine solche Funktion auf diesem Segment ihre Maximal- und Minimalwerte. Die Funktion kann diese Werte entweder am internen Punkt des Segments annehmen [ a, b] oder an der Grenze des Segments.

Um den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment zu finden [ a, b] notwendig:

1) Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion im Intervall ( a, b);

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den gefundenen kritischen Punkten;

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion am Ende des Segments, also wann X=A und x = B;

4) Wählen Sie aus allen berechneten Werten der Funktion den größten und kleinsten aus.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment.

Kritische Punkte finden:

Diese Punkte liegen innerhalb des Segments; j(1) = ‒ 3; j(2) = ‒ 4; j(0) = ‒ 8; j(3) = 1;

am Punkt X= 3 und an der Stelle X= 0.

Untersuchung einer Funktion für Konvexität und Wendepunkt.

Funktion j = F (X) angerufen konvex zwischen (A, B) , wenn sein Graph unter der an irgendeinem Punkt in diesem Intervall gezogenen Tangente liegt und aufgerufen wird konvex nach unten (konkav), wenn sein Graph über der Tangente liegt.

Der Punkt, durch den Konvexität durch Konkavität ersetzt wird oder umgekehrt, wird aufgerufen Wendepunkt.

Algorithmus zur Untersuchung von Konvexität und Wendepunkt:

1. Finden Sie kritische Punkte zweiter Art, also Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert.

2. Zeichnen Sie kritische Punkte auf der Zahlenlinie ein und teilen Sie sie in Intervalle auf. Finden Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall. Wenn, dann ist die Funktion nach oben konvex, wenn, dann ist die Funktion nach unten konvex.

3. Wenn sich beim Durchlaufen eines kritischen Punktes zweiter Art das Vorzeichen ändert und an diesem Punkt die zweite Ableitung gleich Null ist, dann ist dieser Punkt die Abszisse des Wendepunktes. Finden Sie seine Ordinate.

Asymptoten des Graphen einer Funktion. Untersuchung einer Funktion für Asymptoten.

Definition. Die Asymptote des Graphen einer Funktion heißt gerade, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand von jedem Punkt im Diagramm zu dieser Linie gegen Null tendiert, wenn sich der Punkt im Diagramm auf unbestimmte Zeit vom Ursprung entfernt.

Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikal, horizontal und geneigt.

Definition. Die Gerade heißt vertikale Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x), wenn mindestens einer der einseitigen Grenzen der Funktion an diesem Punkt gleich unendlich ist, also

Wo ist der Diskontinuitätspunkt der Funktion, das heißt, sie gehört nicht zum Definitionsbereich?

Beispiel.

D ( j) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – Bruchpunkt.

Definition. Gerade y =A angerufen horizontale Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x) bei , wenn

Beispiel.

Definition. Gerade y =kx +B (k≠ 0) heißt schräge Asymptote Funktionsgrafiken y = f(x) bei , wo

Allgemeines Schema zum Studieren von Funktionen und zum Erstellen von Graphen.

Funktionsforschungsalgorithmusy = f(x) :

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D (j).

2. Finden Sie (falls möglich) die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen (falls möglich). X= 0 und bei j = 0).

3. Untersuchen Sie die Gleichmäßigkeit und Ungeradeheit der Funktion ( j (‒ X) = j (X) ‒ Parität; j(‒ X) = ‒ j (X) ‒ seltsam).

4. Finden Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie der Funktion.

6. Finden Sie die Extrema der Funktion.

7. Finden Sie die Konvexitätsintervalle (Konkavität) und Wendepunkte des Funktionsgraphen.

8. Erstellen Sie auf der Grundlage der durchgeführten Untersuchungen einen Graphen der Funktion.

Beispiel. Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.

1) D (j) =

X= 4 – Bruchpunkt.

2) Wann X = 0,

(0; ‒ 5) – Schnittpunkt mit Oh.

Bei j = 0,

3) j(‒ X)= eine Funktion allgemeiner Form (weder gerade noch ungerade).

4) Wir untersuchen auf Asymptoten.

a) vertikal

b) horizontal

c) Finden Sie die schrägen Asymptoten wo

‒schräge Asymptotengleichung

5) In dieser Gleichung ist es nicht notwendig, Intervalle der Monotonie der Funktion zu finden.

6)

Diese kritischen Punkte unterteilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion in die Intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) und (10; +∞). Es ist zweckmäßig, die erzielten Ergebnisse in Form der folgenden Tabelle darzustellen.

Der Prozess der Suche nach den kleinsten und größten Werten einer Funktion auf einem Segment erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (Graph einer Funktion) in einem Hubschrauber, bei dem man mit einer Langstreckenkanone auf bestimmte Punkte feuert und sehr viel auswählt Spezielle Punkte von diesen Punkten für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Art und Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden weiter darüber sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in geschehen Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich im Intervall [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Angenommen, Sie möchten den größten Wert der Funktion ermitteln F(X) auf dem Segment [ A, B] . Dazu müssen Sie alle kritischen Punkte finden, die auf [ A, B] .

Kritischer Punkt nennt man den Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder gleich Null oder nicht vorhanden. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an den kritischen Punkten berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B)). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Segment [A, B] .

Probleme beim Finden kleinste Funktionswerte .

Wir suchen gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion. Setzen wir die Ableitung mit Null () gleich und erhalten zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2]. Diese Funktionswerte sind: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot angezeigt), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(in der Grafik ebenfalls rot), beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann darf es unter den Werten der Funktion nicht den kleinsten und den größten geben. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten gezeigte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Segment [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an Punkt und Höchster Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach den kleinsten und größten Werten der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern beim Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine Lösungsbeispiele geben, die komplexer sind als die gerade besprochenen, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder a ist Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es solche, die die Schüler gerne zum vollständigen Denken zwingen (die Ableitungstabelle). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, am Punkt und am Punkt und Höchster Wert, gleich e², an der Stelle.

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und Höchster Wert, gleich , an der Stelle .

Bei angewandten Extremalproblemen kommt es beim Finden der kleinsten (maximalen) Werte einer Funktion in der Regel darauf an, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit: das Zusammenstellen von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Welche Größe sollte der Tank haben, damit möglichst wenig Material zur Abdeckung verbraucht wird?

Lösung. Lassen X- Basisseite, H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S Als Funktion einer Variablen nutzen wir die Tatsache, dass , von wo . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Lassen Sie uns diese Funktion bis zum Äußersten untersuchen. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

.

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Wenn die Ableitung nicht existiert, ist dieser Wert außerdem nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Das ist also der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir anhand des zweiten ausreichenden Zeichens, ob ein Extremum vorliegt. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Seit dem Minimum ist das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe 2 m betragen.

Beispiel 9. Von Punkt A Liegt direkt an der Bahnstrecke, bis zum Punkt MIT, in einiger Entfernung davon gelegen l Es muss Fracht transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit betragen auf der Schiene , auf der Autobahn . Bis zu welchem ​​Punkt M Die Bahnstrecke sollte als Autobahn ausgebaut werden, damit Güter transportiert werden können A V MIT war am wirtschaftlichsten (Abschnitt AB wird davon ausgegangen, dass die Eisenbahnlinie gerade ist)?

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen Algorithmus zum Finden des größten und kleinsten Werts Funktionen, minimale und maximale Punkte.

Theoretisch wird es uns auf jeden Fall nützlich sein Ableitungstabelle Und Differenzierungsregeln. Es ist alles auf diesem Teller:

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte.

Für mich ist es bequemer, dies anhand eines konkreten Beispiels zu erklären. Halten:

Beispiel: Finden Sie den größten Wert der Funktion y=x^5+20x^3–65x auf dem Segment [–4;0].

Schritt 1. Wir nehmen die Ableitung.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Schritt 2. Extrempunkte finden.

Extremumpunkt Wir nennen diejenigen Punkte, an denen die Funktion ihren größten oder minimalen Wert erreicht.

Um die Extrempunkte zu finden, müssen Sie die Ableitung der Funktion mit Null gleichsetzen (y" = 0).

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Jetzt lösen wir diese biquadratische Gleichung und die gefundenen Wurzeln sind unsere Extrempunkte.

Ich löse solche Gleichungen, indem ich t = x^2 ersetze, dann 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduzieren wir die Gleichung um 5, erhalten wir: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Wir machen die umgekehrte Änderung x^2 = t:

X_(1 und 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 und 4) = ±sqrt(-13) (wir schließen aus, dass unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen können, es sei denn natürlich, es handelt sich um komplexe Zahlen)

Gesamt: x_(1) = 1 und x_(2) = -1 – das sind unsere Extrempunkte.

Schritt 3. Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert.

Substitutionsmethode.

In der Bedingung wurde uns das Segment [b][–4;0] gegeben. Der Punkt x=1 ist in diesem Segment nicht enthalten. Deshalb denken wir nicht darüber nach. Aber zusätzlich zum Punkt x=-1 müssen wir auch die linken und rechten Grenzen unseres Segments berücksichtigen, also die Punkte -4 und 0. Dazu ersetzen wir alle diese drei Punkte in der ursprünglichen Funktion. Beachten Sie, dass das Original dasjenige ist, das in der Bedingung (y=x^5+20x^3–65x) angegeben ist. Einige Leute beginnen, es in die Ableitung zu ersetzen ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Das bedeutet, dass der größte Wert der Funktion [b]44 ist und am Punkt [b]-1 erreicht wird, der als Maximalpunkt der Funktion auf dem Segment [-4; 0].

Wir haben uns entschieden und eine Antwort erhalten, es geht uns gut, Sie können sich entspannen. Aber hör auf! Finden Sie nicht, dass die Berechnung von y(-4) irgendwie zu schwierig ist? Bei begrenzter Zeit ist es besser, eine andere Methode zu verwenden, ich nenne sie so:

Durch Intervalle der Zeichenkonstanz.

Diese Intervalle werden für die Ableitung der Funktion, also für unsere biquadratische Gleichung, gefunden.

So mach ich es. Ich zeichne ein gerichtetes Segment. Ich platziere die Punkte: -4, -1, 0, 1. Obwohl 1 nicht im angegebenen Segment enthalten ist, sollte es dennoch beachtet werden, um die Intervalle der Vorzeichenkonstanz korrekt zu bestimmen. Nehmen wir eine Zahl, die um ein Vielfaches größer als 1 ist, sagen wir 100, und setzen wir sie gedanklich in unsere biquadratische Gleichung 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ein. Auch ohne etwas zu zählen, wird es offensichtlich, dass bei Punkt 100 die Funktion hat ein Pluszeichen. Das bedeutet, dass es für Intervalle von 1 bis 100 ein Pluszeichen hat. Beim Durchlaufen von 1 (wir gehen von rechts nach links) ändert die Funktion das Vorzeichen in Minus. Beim Durchgang durch Punkt 0 behält die Funktion ihr Vorzeichen, da dies nur die Grenze des Segments und nicht die Wurzel der Gleichung ist. Beim Durchlaufen von -1 ändert die Funktion das Vorzeichen erneut in Plus.

Aus der Theorie wissen wir, wo die Ableitung der Funktion liegt (und wir haben diese genau dafür gezeichnet) ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus (Punkt -1 in unserem Fall) Funktion erreicht sein lokales Maximum (y(-1)=44, wie zuvor berechnet) auf diesem Segment (das ist logisch sehr verständlich, die Funktion hörte auf zu wachsen, weil sie ihr Maximum erreichte und begann abzunehmen).

Dementsprechend ist dort die Ableitung der Funktion ändert das Vorzeichen von Minus auf Plus, erreicht lokales Minimum einer Funktion. Ja, ja, wir haben auch herausgefunden, dass der lokale Minimalpunkt 1 ist und y(1) der Minimalwert der Funktion auf dem Segment ist, beispielsweise von -1 bis +∞. Bitte beachten Sie, dass es sich dabei nur um ein LOKALES MINIMUM handelt, also um ein Minimum auf einem bestimmten Segment. Da das reale (globale) Minimum der Funktion irgendwo dort ankommt, bei -∞.

Meiner Meinung nach ist die erste Methode theoretisch einfacher, und die zweite ist aus Sicht der arithmetischen Operationen einfacher, aber aus theoretischer Sicht viel komplexer. Schließlich gibt es manchmal Fälle, in denen die Funktion beim Durchlaufen der Gleichungswurzel das Vorzeichen nicht ändert, und im Allgemeinen kann man mit diesen lokalen, globalen Maxima und Minima verwechselt werden, obwohl man dies sowieso gut beherrschen muss, wenn man dies tut Planen Sie, eine technische Universität zu besuchen (und warum sonst nehmen Sie das einheitliche Staatsexamen ab und lösen Sie diese Aufgabe). Aber durch Übung und nur durch Übung werden Sie lernen, solche Probleme ein für alle Mal zu lösen. Und Sie können auf unserer Website trainieren. Hier .

Wenn Sie Fragen haben oder etwas unklar ist, stellen Sie diese unbedingt. Gerne antworte ich Ihnen und nehme Änderungen und Ergänzungen zum Artikel vor. Denken Sie daran, dass wir diese Website gemeinsam erstellen!