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Fourier-Transformation mit endlichen Integrationsgrenzen. Fourier-Integral

I. Fourier-Transformationen.

Definition 1. Funktion

Angerufen Fourier-Transformation Funktionen

Das Integral wird hier im Sinne des Hauptwerts verstanden

und es wird angenommen, dass es existiert.

Wenn eine absolut integrierbare Funktion auf ℝ ist, dann, da Bei ist für jede solche Funktion die Fourier-Transformation (1) sinnvoll und das Integral (1) konvergiert absolut und gleichmäßig entlang der gesamten Geraden ℝ.

Definition 2. Wenn – Fourier-Transformation der Funktion
, dann das vergleichbare Integral

Im Sinne der Hauptbedeutung verstanden heißt es Fourier-Integral der Funktion .

Beispiel 1. Finden Sie die Fourier-Transformation einer Funktion

Die gegebene Funktion ist tatsächlich absolut integrierbar auf

Definition 3. Integrale werden im Sinne des Hauptwerts verstanden

Entsprechend benannt Kosinus- Und Sinus-Fourier-Transformationen der Funktion .

Glauben , , , so erhalten wir teilweise die uns bereits aus der Fourier-Reihe bekannte Beziehung

Wie aus den Beziehungen (3), (4) ersichtlich ist,

Die Formeln (5), (6) zeigen, dass die Fourier-Transformationen auf der gesamten Linie vollständig definiert sind, wenn sie nur für nichtnegative Werte des Arguments bekannt sind.

Beispiel 2. Finden Sie Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen von Funktionen

Wie in Beispiel 1 gezeigt, ist die gegebene Funktion auf absolut integrierbar.

Finden wir seinen Kosinus – die Fourier-Transformation mit Formel (3):

Ebenso ist es nicht schwer, den Sinus zu finden – die Fourier-Transformation der Funktion F(X) nach Formel (4):

Anhand der Beispiele 1 und 2 lässt sich durch direkte Substitution leicht überprüfen, dass für F(X) Beziehung (5) erfüllt ist.

Wenn die Funktion reellwertig ist, folgt aus den Formeln (5), (6) in diesem Fall

Da in diesem Fall und reelle Funktionen auf R sind, wie aus ihren Definitionen (3), (4) hervorgeht. Allerdings ist Gleichheit (7) vorgesehen ergibt sich auch direkt aus der Definition (1) der Fourier-Transformation, wobei zu berücksichtigen ist, dass das Konjugationszeichen unter dem Integralzeichen eingefügt werden kann. Die neueste Beobachtung lässt uns den Schluss zu, dass für jede Funktion die Gleichheit gilt

Es ist auch nützlich zu beachten, dass if eine reelle und gerade Funktion ist, d. h. , Das

if ist eine reelle und ungerade Funktion, d.h. , Das

Und wenn es eine rein imaginäre Funktion ist, d.h. . , Das

Beachten Sie, dass das Fourier-Integral auch in der Form geschrieben werden kann, wenn es sich um eine reellwertige Funktion handelt

Beispiel 3.
(Zählen )

da wir den Wert des Dirichlet-Integrals kennen

Die im Beispiel betrachtete Funktion ist nicht absolut integrierbar und ihre Fourier-Transformation weist Diskontinuitäten auf. Das Folgende zeigt, dass die Fourier-Transformation absolut integrierbarer Funktionen keine Diskontinuitäten aufweist:

Lemma 1. Wenn die Funktion lokal integrierbar und absolut integrierbar auf , Das

A) seine Fourier-Transformation für jeden Wert definiert

Erinnern wir uns daran, wenn– eine reelle oder komplexwertige Funktion, die auf einer offenen Menge definiert ist, dann die Funktion angerufen lokal integrierbar auf, wenn überhaupt Punkt hat eine Umgebung, in der die Funktion integrierbar ist. Insbesondere wenn , ist die Bedingung für die lokale Integrierbarkeit der Funktion offensichtlich äquivalent zu der Tatsache, dass für jedes Segment.

Beispiel 4. Finden wir die Fourier-Transformation der Funktion :

Das finden wir, wenn wir das letzte Integral nach dem Parameter differenzieren und dann nach Teilen integrieren

oder

Bedeutet, , wobei es sich um eine Konstante handelt, die wir mithilfe des Euler-Poisson-Integrals aus der Beziehung ermitteln

Also haben wir das gefunden und gleichzeitig gezeigt, dass und .

Definition 4. Sie sagen die Funktion , definiert in einer punktierten Umgebung des Punktes, erfüllt die Dini-Bedingungen am Punkt if

a) In einem Punkt existieren beide einseitigen Grenzen

b) beide Integrale

Sie sind sich absolut einig.

Absolute Konvergenz des Integrals bedeutet die absolute Konvergenz des Integrals zumindest für einen bestimmten Wert.

Ausreichende Bedingungen, damit eine Funktion durch ein Fourier-Integral darstellbar ist.

Satz 1.Wenn absolut integrierbar auf und lokal stückweise stetige Funktion Befriedigt auf den Punkt Dini-Bedingungen, dann konvergiert sein Fourier-Integral an diesem Punkt und dem Wert

gleich der Hälfte der Summe der linken und rechten Grenzen der Funktionswerte an diesem Punkt.

Folgerung 1.Wenn die Funktion kontinuierlich, hat an jedem Punkt endliche einseitige Ableitungen und absolut integrierbar auf , dann erscheint sie durch sein Fourier-Integral

Wo Fourier-Transformation einer Funktion .

Die Darstellung einer Funktion durch das Fourier-Integral kann wie folgt umgeschrieben werden:

Kommentar. Die in Satz 1 und Korollar 1 formulierten Bedingungen an die Funktion sind ausreichend, aber nicht notwendig für die Möglichkeit einer solchen Darstellung.

Beispiel 5. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar, wenn

Diese Funktion ist auf ℝ ungerade und stetig, mit Ausnahme der Punkte , , .

Aufgrund der Tatsache, dass die Funktion ungerade und reell ist, gilt:

und aus den Gleichungen (5) und (10) folgt das

An den Stetigkeitspunkten der Funktion gilt:

Aber die Funktion ist seltsam, also

da das Integral im Sinne des Hauptwertes berechnet wird.

Die Funktion ist also gerade

Wenn , . Wenn die Gleichheit erfüllt sein muss

Angenommen, von hier aus finden wir

Wenn wir den letzten Ausdruck für eingeben, dann

Vorausgesetzt, hier finden wir

Wenn eine reellwertige Funktion auf jedem Abschnitt der reellen Geraden stückweise stetig ist, auf ihr absolut integrierbar ist und an jedem Punkt endliche einseitige Ableitungen aufweist, wird die Funktion an Stetigkeitspunkten als Fourier-Integral dargestellt

und an den Diskontinuitätspunkten der Funktion sollte die linke Seite der Gleichheit (1) durch ersetzt werden

Wenn eine stetige, absolut integrierbare Funktion an jedem Punkt endliche einseitige Ableitungen hat, dann gilt die Gleichheit für den Fall, dass diese Funktion gerade ist

und im Fall einer ungeraden Funktion die Gleichheit

Beispiel 5'. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar, wenn:

Da es sich um eine stetige gerade Funktion handelt, gilt unter Verwendung der Formeln (13.2), (13.2’).

Mit dem Symbol bezeichnen wir das Integral im Sinne des Hauptwertes

Folgerung 2.Für jede Funktion , die die Bedingungen von Korollar 1 erfüllen, existieren alle Transformationen , , , und die Gleichheiten finden statt

Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen wird häufig Transformation (14) aufgerufen inverse Fourier-Transformation und stattdessen schreiben sie , und die Gleichheiten selbst werden (15) genannt Formel zur Umkehrung der Fourier-Transformation.

Beispiel 6. Lass es sein

Beachten Sie, dass wenn , dann für jede Funktion

Nehmen wir nun die Funktion. Dann

Wenn wir eine Funktion nehmen, ist das eine ungerade Fortsetzung der Funktion , also auf der gesamten Zahlenachse

Mit Satz 1 erhalten wir das

Alle Integrale werden hier im Sinne des Hauptwerts verstanden,

Wenn wir den Real- und Imaginärteil in den letzten beiden Integralen trennen, finden wir die Laplace-Integrale

Definition . Funktion

wir nennen es die normalisierte Fourier-Transformation.

Definition . Wenn es sich um die normalisierte Fourier-Transformation der Funktion handelt, dann um das vergleichbare Integral

Wir nennen die Funktion das normalisierte Fourier-Integral.

Wir betrachten die normalisierte Fourier-Transformation (16).

Der Einfachheit halber führen wir die folgende Notation ein:

(diese. ).

Im Vergleich zur bisherigen Notation handelt es sich lediglich um eine Renormierung: Das heißt, insbesondere die Relationen (15) lassen darauf schließen

oder, in kürzerer Schreibweise,

Definition 5. Wir nennen den Operator die normalisierte Fourier-Transformation und den Operator die inverse normalisierte Fourier-Transformation.

In Lemma 1 wurde darauf hingewiesen, dass die Fourier-Transformation jeder absolut integrierbaren Funktion im Unendlichen gegen Null tendiert. In den nächsten beiden Aussagen heißt es, dass die Fourier-Transformation wie Fourier-Koeffizienten schneller gegen Null tendiert, je glatter die Funktion ist, aus der sie entnommen wird (in der ersten Aussage); Eine damit zusammenhängende Tatsache wird sein, dass ihre Fourier-Transformation umso glatter ist, je schneller die Funktion, aus der die Fourier-Transformation entnommen wird, gegen Null tendiert (zweite Aussage).

Aussage 1(Über den Zusammenhang zwischen der Glätte einer Funktion und der Abnahmegeschwindigkeit ihrer Fourier-Transformation). Wenn und alle Funktionen absolut integrierbar auf , Das:

A) überhaupt

Aussage 2(über den Zusammenhang zwischen der Abnahmegeschwindigkeit einer Funktion und der Glätte ihrer Fourier-Transformation). Wenn eine lokal integrierbare Funktion : ist so, dass die Funktion absolut integrierbar A , Das:

A) Fourier-Transformation einer Funktion gehört zur Klasse

B) es gibt Ungleichheit

Lassen Sie uns die wichtigsten Hardwareeigenschaften der Fourier-Transformation vorstellen.

Lemma 2. Wenn es eine Fourier-Transformation für Funktionen gibt (bzw. eine inverse Fourier-Transformation), dann gibt es unabhängig von den Zahlen und eine Fourier-Transformation (bzw. eine inverse Fourier-Transformation) für die Funktion , Und

(jeweils ).

Diese Eigenschaft wird als Linearität der Fourier-Transformation (bzw. inverse Fourier-Transformation) bezeichnet.

Folge. .

Lemma 3. Die Fourier-Transformation ist wie die Umkehrtransformation eine Eins-zu-eins-Transformation einer Menge stetiger Funktionen, die auf der gesamten Achse absolut integrierbar sind und an jedem Punkt einseitige Ableitungen haben.

Dies bedeutet, dass if und zwei Funktionen des angegebenen Typs und if sind (bzw. wenn ), dann auf der gesamten Achse.

Aus der Aussage von Lemma 1 können wir das folgende Lemma erhalten.

Lemma 4. Wenn eine Folge absolut integrierbarer Funktionen und absolut integrierbare Funktion sind so

dann konvergiert die Folge gleichmäßig auf der gesamten Achse zur Funktion.

Lassen Sie uns nun die Fourier-Transformation von Faltungen zweier Funktionen untersuchen. Der Einfachheit halber ändern wir die Definition der Faltung, indem wir einen zusätzlichen Faktor hinzufügen

Satz 2. Dann seien die Funktionen auf der reellen Achse beschränkt, stetig und absolut integrierbar

diese. Die Fourier-Transformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformationen dieser Funktionen.

Lassen Sie uns eine Übersichtstabelle Nr. 1 der Eigenschaften der normalisierten Fourier-Transformation zusammenstellen, die bei der Lösung der unten aufgeführten Probleme nützlich ist.

Tabelle Nr. 1

Funktion	Normalisierte Fourier-Transformation

Mit den Eigenschaften 1-4 und 6 erhalten wir

Beispiel 7. Finden Sie die normalisierte Fourier-Transformation einer Funktion

In Beispiel 4 wurde das gezeigt

weil wenn

Daher gilt nach Eigenschaft 3:

Ebenso können Sie Tabelle Nr. 2 für die normalisierte inverse Fourier-Transformation erstellen:

Tabelle Nr. 2

Funktion	Normalisierte inverse Fourier-Transformation

Genau wie zuvor erhalten wir dies, indem wir die Eigenschaften 1-4 und 6 verwenden

Beispiel 8. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation einer Funktion

Wie folgt aus Beispiel 6

Wenn wir haben:

Darstellung der Funktion als

Verwenden Sie Eigenschaft 6, wenn

Optionen für Aufgaben für Berechnungen und grafische Arbeiten

1. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

2. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

3. Finden Sie die Kosinus-Fourier-Transformation der Funktion

4. Finden Sie die Kosinus-Fourier-Transformation der Funktion

5. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

6. Finden Sie die Kosinus-Fourier-Transformation der Funktion

7. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

8. Finden Sie die Cosinus-Fourier-Transformation einer Funktion

9. Finden Sie die Cosinus-Fourier-Transformation einer Funktion

10. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

11. Finden Sie die Sinus-Fourier-Transformation der Funktion

12. Finden Sie den Sinus – Transformation einer Funktion

13. Finden Sie den Sinus – Transformation einer Funktion

14. Finden Sie den Kosinus – Transformation einer Funktion

15. Kosinus ermitteln – eine Funktion transformieren

16. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion, wenn:

17. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion, wenn:

18. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion, wenn:

19. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion, wenn:

20. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion, wenn:

21. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion, wenn:

22. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

24. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

26. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

28. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

30. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

23. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

25. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

27. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

29. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

31. Finden Sie die normalisierte inverse Fourier-Transformation der Funktion

Formel verwenden

32. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

33. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

34. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

35. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

36. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

37. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

38. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

39. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

40. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

41. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

42. Stellen Sie eine Funktion durch ein Fourier-Integral dar

43. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar und erweitern Sie sie auf ungerade Weise auf das Intervall, wenn:

44. Stellen Sie die Funktion als Fourier-Integral dar und erweitern Sie sie auf ungerade Weise auf das Intervall, wenn:

FOURIER-INTEGRAL

Kontinuumsanalogon Die Fourierreihe. Für eine Funktion, die auf einem endlichen Intervall der reellen Achse definiert ist, ist ihre Darstellung als Fourier-Reihe wichtig. Für die Funktion f(x) . gegeben auf der gesamten Achse, eine ähnliche Rolle spielt die Fourier-Entwicklung von f:

Die Entwicklung (1) kann formal unter Annahmen konstruiert werden, die die Existenz der geschriebenen Integrale sicherstellen. Dies gilt beispielsweise für eine glatte endliche Funktion f(x) . Es gibt viele Merkmale, die in der einen oder anderen Hinsicht Gleichheit (1) gewährleisten. Die Substitution von (2) in (1) ergibt das sogenannte. Fourier-Integralformel

Die Schnittbegründung führt zu den genannten Merkmalen. Es ist sehr nützlich, f(x) durch ein einfaches Fourier-Integral darzustellen

was sich aus (3) ergibt, wenn wir das äußere Integral über das Intervall (0, N) schreiben und die Integrationen ändern. In den angewandten Wissenschaften wird die Darstellung (1) oft als harmonische Erweiterung interpretiert: if

dann hat (1) die Form:

und somit wird f als Überlagerung von Harmonischen dargestellt, deren Frequenzen kontinuierlich die reelle Halbachse ausfüllen und von der die Amplitude D und die Anfangsphase abhängen
In vielen Fällen (insbesondere für komplexwertige Funktionen f) lässt sich die Entwicklung (1) bequemer in Exponentialform darstellen:

Die Funktion wird aufgerufen Fourier-Transformation Funktionen F(in den angewandten Wissenschaften MIT(l) angerufen Vorausgesetzt, dass f (x) summierbar ist: Die Funktion ist beschränkt, gleichmäßig stetig auf der Achse und bei Es kann sich herausstellen, dass die Funktion nicht summierbar ist und Integral (4) nicht existiert. Gleichheit (4) ermöglicht jedoch eine vernünftige Interpretation, wenn wir die Methoden der Integralsummierung verwenden [in diesem Fall können wir nicht nur punktweise Konvergenz, sondern auch durchschnittliche Konvergenz berücksichtigen]. Zum Beispiel arithmetische Mittelwerte von abgeschnittenen f. und.

Die summierbare Funktion f(x) konvergiert gegen f(x) und im Mittel bei Vorliegen zusätzlicher Einschränkungen der Funktion f(x) erhält man spezifischere Aussagen. Zum Beispiel, wenn Sie eine begrenzte Variation in der Umgebung haben X, Das

Anwendungen nutzen häufig die Zerlegung

gilt für eine absolut integrierbare Funktion f(x), die in jedem endlichen Intervall stückweise glatt ist, wobei das Integral rechts im Sinne des Hauptwertes (6) verstanden wird. F. und. wird auch unter der Annahme der lokalen Summierbarkeit der Funktion f und unter bestimmten Anforderungen untersucht, die beispielsweise Einschränkungen für das Verhalten von f in Let auferlegen

Wobei der Grenzwert im Sinne der Konvergenz im Mittel der Ordnung verstanden wird [Der Grenzwert in (7) existiert jedoch auch fast überall im Sinne von Konvergenz]. Dieses Ergebnis nimmt bei p = 2 eine einfachere Form an (siehe. Satz von Plancherel).
Mehrere Funktionen werden auf ähnliche Weise konstruiert, wenn es um die Entwicklung einer in einem n-dimensionalen Raum definierten Funktion geht. Das Konzept von F. und. gilt auch für generische Funktionen.

Zündete.: Titchmarsh E., Einführung in die Theorie der Fourier-Integrale, trans. Englisch, M.-L., 1948; Bochner S., Vorlesungen über Fourier-Integrale, trans. aus Englisch, M., 1962; 3igmund A., Trigonometrische Reihe, trans. aus dem Englischen, Bd. 2, M., 1965.
P. I. Lizorkin.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradow. 1977-1985.

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- (Fourier-Integral) Zerlegung der Funktion f(x), spezifiziert auf der gesamten x-Achse oder auf den Halbachsen, in eine Überlagerung von Harmonischen mit Frequenzen, die die gesamte Halbachse l des FL ausfüllen, was die Zerlegung von nicht ergibt -periodisch. Funktionen auf harmonisch Komponenten, deren Frequenzen eine kontinuierliche Menge von Werten darstellen ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

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Fourier-Integral- - [L. G. Sumenko. Englisch-Russisches Wörterbuch zur Informationstechnologie. M.: Staatsunternehmen TsNIIS, 2003.] Themen Informationstechnologie im Allgemeinen EN Fourier Integral ... Leitfaden für technische Übersetzer

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Unterhaltsame Mathematik. Fourier-Analyse. Manga, Shibuya Mikio. Die Mädchen Rika, Fumika und Erina haben eine Rockband gegründet und wollen beim Festival auftreten, finden aber keine Sängerin. Und dann ist da noch der Mathetest, mit dem Fumika Probleme hat. Kluges Mädchen...

Eines der leistungsstarken Werkzeuge zur Untersuchung von Problemen der mathematischen Physik ist die Methode der Integraltransformationen. Die Funktion f(x) sei auf einem endlichen oder unendlichen Intervall (a, 6) gegeben. Eine Integraltransformation einer Funktion f(x) ist eine Funktion, bei der K(x, w) eine für eine bestimmte Transformation festgelegte Funktion ist, die als Kern der Transformation bezeichnet wird (es wird angenommen, dass das Integral (*) in seiner eigentlichen Form existiert). unpassender Sinn). §1. Fourier-Integral Jede Funktion f(x), die auf dem Intervall [-f, I] die Bedingungen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe erfüllt, kann auf diesem Intervall durch eine trigonometrische Reihe dargestellt werden. Koeffizienten a* und 6„ der Reihen ( 1) werden durch die Euler-Fourier-Formeln bestimmt: FOURIER-TRANSFORM Fourier-Integral Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation Kosinus- und Sinustransformation Amplituden- und Phasenspektren Eigenschaften Anwendungen Die Reihe auf der rechten Seite der Gleichheit (1) kann in einer anderen Form geschrieben werden . Dazu geben wir aus den Formeln (2) die Werte der Koeffizienten a" und op ein, setzen cos ^ x und sin x unter die Vorzeichen der Integrale (was möglich ist, da die Integrationsvariable m ist) O) und verwenden Sie die Formel für den Kosinus der Differenz. Wir werden haben: Wenn die Funktion /(x) ursprünglich auf einem Intervall der numerischen Achse definiert wurde, das größer als das Segment [-1,1] ist (z. B. auf der gesamten Achse), dann reproduziert die Erweiterung (3) die Werte diese Funktion gilt nur für das Segment [-1, 1] und setzt sich auf der gesamten numerischen Achse als periodische Funktion mit einer Periode von 21 fort (Abb. 1). Wenn also die Funktion f(x) (im Allgemeinen nichtperiodisch) auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert ist, kann man in Formel (3) versuchen, bis zum Grenzwert bei I +oo zu gehen. In diesem Fall ist es natürlich zu fordern, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. f(x) erfüllt die Bedingungen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe auf jedem endlichen Segment der Ox-Achse\ 2. die Funktion f(x) ist absolut integrierbar auf dem gesamten reellen Zahlenstrahl. Wenn Bedingung 2 erfüllt ist, tendiert der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (3) als I -* +oo gegen Null. Versuchen wir tatsächlich herauszufinden, wie sich die Summe auf der rechten Seite von (3) im Grenzwert bei I +oo entwickelt. Nehmen wir an, dass dann die Summe auf der rechten Seite von (3) die Form annimmt. Aufgrund der absoluten Konvergenz des Integrals unterscheidet sich diese Summe für große I kaum von dem Ausdruck, der der Integralsumme für eine Funktion der zusammengestellten Variablen £ ähnelt für das Intervall (0, +oo) der Änderung. Daher ist es natürlich zu erwarten, dass für Summe (5) in das Integral übergeht. Andererseits folgt für fest) aus Formel (3), dass wir auch erhalten die Gleichheit. Die hinreichende Bedingung für die Gültigkeit der Formel (7) wird durch den folgenden Satz ausgedrückt. Satz 1. Wenn die Funktion f(x) auf dem gesamten reellen Zahlenstrahl absolut integrierbar ist und zusammen mit ihrer Ableitung eine endliche Anzahl von Unstetigkeitspunkten erster Art auf einem beliebigen Intervall [a, 6] aufweist, dann gilt die Gleichheit : Darüber hinaus ist an jedem Punkt xq, der ein Diskontinuitätspunkt 1 der Funktion f(x) der ten Art ist, der Wert des Integrals auf der rechten Seite von (7) gleich der Formel (7), die als Fourier-Integralformel bezeichnet wird. und das Integral auf seiner rechten Seite wird Fourier-Integral genannt. Wenn wir die Formel für den Kosinus der Differenz verwenden, kann Formel (7) in der Form geschrieben werden: Die Funktionen a(ξ), b(ζ) sind Analoga der entsprechenden Fourier-Koeffizienten an und bn einer 2m-periodischen Funktion , aber letztere sind für diskrete Werte von n definiert, während und , offensichtlich eine ungerade Funktion von Aber dann Andererseits ist das Integral eine gerade Funktion der Variablen, so dass daher die Fourier-Integralformel geschrieben werden kann wie folgt: Multiplizieren Sie die Gleichheit mit der imaginären Einheit i und addieren Sie zur Gleichheit (10). Wir erhalten daraus, woher wir aufgrund der Euler-Formel erhalten. Dies ist die komplexe Form des Fourier-Integrals. Hier ist die äußere Integration über £ im Sinne des Cauchy-Hauptwerts verstanden: §2. Fourier-Transformation. Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen Die Funktion f(x) sei auf jedem endlichen Segment der Ox-Achse stückweise glatt und auf der gesamten Achse absolut integrierbar. Definition. Die Funktion, aus der wir aufgrund der Euler-Formel erhalten, wird Fourier-Transformation der Funktion /(r) (Spektralfunktion) genannt. Dies ist die Integraltransformation der Funktion f(r) im Intervall (-oo,+oo) mit dem Kernel. Unter Verwendung der Fourier-Integralformel erhalten wir Dies ist die sogenannte inverse Fourier-Transformation, die den Übergang von F ergibt (t) zu f(x). Manchmal wird die direkte Fourier-Transformation wie folgt definiert: Dann wird die inverse Fourier-Transformation durch die Formel definiert. Die Fourier-Transformation der Funktion /(x) ist auch wie folgt definiert: FOURIER-TRANSFORM Fourier-Integral Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation Kosinus und Sinus transformiert Amplituden- und Phasenspektren Eigenschaften Anwendungen Dann wiederum ist die Position des Faktors ^ in diesem Fall völlig willkürlich: Er kann entweder in Formel (1") oder in Formel (2") enthalten sein. Beispiel 1. Finden Sie die Fourier-Transformation der Funktion -4. Wir haben: Diese Gleichheit ermöglicht die Differenzierung nach £ unter dem Integralzeichen (das nach der Differenzierung erhaltene Integral konvergiert gleichmäßig, wenn ( zu einem endlichen Segment gehört): Durch partielle Integration erhalten wir Der Out-of-Integral-Term verschwindet und wir kommen von wo (C ist die Integrationskonstante). Wenn wir in (4) £ = 0 setzen, finden wir C = F(0). Aufgrund von (3) haben wir bekannt, dass wir insbesondere für) das Beispiel 2 (Entladung des Cocdemsetors durch Copropylen) erhalten. Betrachten wir die Funktion 4. Für die Spektren der Funktion F(ξ) erhalten wir Folglich (Abb. 2). Die Bedingung für die absolute Integrierbarkeit der Funktion f(x) auf der gesamten Zahlenachse ist sehr streng. Ausgenommen sind beispielsweise elementare Funktionen wie) = cos x, f(x) = e1, für die die Fourier-Transformation (in der hier betrachteten klassischen Form) nicht existiert. Nur die Funktionen, die als |x| schnell gegen Null streben, haben eine Fourier-Transformation. -+ +oo (wie in Beispiel 1 und 2). 2.1. Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen Mithilfe der Kosinus- und Differenzformel schreiben wir die Fourier-Integralformel in der folgenden Form um: Sei f(x) eine gerade Funktion. Dann haben wir Gleichheit (5). Im Fall von ungeradem f(x) erhalten wir in ähnlicher Weise: Wenn f(x) nur für (0, -foo) gegeben ist, dann erweitert Formel (6) f(x) auf das Ganze Ox-Achse gerade und Formel (7) ungerade. (7) Definition. Die Funktion wird Fourier-Cosinus-Transformation von f(x) genannt. Aus (6) folgt für eine gerade Funktion f(x). Dies bedeutet, dass f(x) wiederum eine Kosinustransformation für Fc(£) ist. Mit anderen Worten, die Funktionen / und Fc sind gegenseitige Kosinustransformationen. Definition. Die Funktion wird Fourier-Sinus-Transformation von f(x) genannt. Aus (7) erhalten wir das für eine ungerade Funktion f(x), d.h. f und Fs sind gegenseitige Sinustransformationen. Beispiel 3 (Rechteckimpuls). Sei f(t) eine gerade Funktion, die wie folgt definiert ist: (Abb. 3). Verwenden wir das erhaltene Ergebnis, um das Integral zu berechnen. Aufgrund der Formel (9) haben wir Abb. 3 0 0 Am Punkt t = 0 ist die Funktion f(t) stetig und gleich Eins. Daher erhalten wir aus (12") 2.2. Amplituden- und Phasenspektren des Fourier-Integrals. Lassen Sie die periodische Funktion /(x) mit einer Periode von 2m in eine Fourier-Reihe entwickeln. Diese Gleichheit kann in der Form geschrieben werden, in der die ist Die Amplitude der Schwingung mit der Frequenz n ist die Phase. Auf diesem Weg kommen wir zu den Konzepten der Amplituden- und Phasenspektren einer periodischen Funktion. Für eine nichtperiodische Funktion f(x), gegeben auf (-oo, +oo ), unter bestimmten Bedingungen ist es möglich, es durch das Fourier-Integral darzustellen, das die Entwicklung dieser Funktion über alle Frequenzen durchführt (Entwicklung über ein kontinuierliches Frequenzspektrum). Definition: Die Spektralfunktion oder die spektrale Dichte des Fourier Integral ist der Ausdruck (die direkte Fourier-Transformation der Funktion f wird als Amplitudenspektrum bezeichnet, und die Funktion Ф«) = -àggSfc) ist das Phasenspektrum der Funktion f(«). Das Amplitudenspektrum A(ξ) dient als Maß für den Beitrag der Frequenz ζ zur Funktion f(x). Beispiel 4. Finden Sie die Amplituden- und Phasenspektren der Funktion 4. Finden Sie die Spektralfunktion. Von hier aus Die Diagramme dieser Funktionen sind in Abb. dargestellt. 4. §3. Eigenschaften der Fourier-Transformation 1. Linearität. Wenn und G(0) die Fourier-Transformationen der Funktionen f(x) bzw. d(x) sind, dann ist für jede Konstante a und p die Fourier-Transformation der Funktion a f(x) + p d(x). Funktion a Unter Verwendung der Linearitätseigenschaft des Integrals gilt: Somit ist die Fourier-Transformation ein linearer Operator. Mit der Bezeichnung durch schreiben wir: Wenn F(ξ) die Fourier-Transformation einer Funktion f(x) ist, die absolut integrierbar ist auf der gesamten reellen Achse, dann ist F(()) für alle beschränkt. Die Funktion f(x) sei auf der gesamten Achse absolut integrierbar – die Fourier-Transformation der Funktion f(x). Dann 3«fltsJ. Sei f (x) sei eine Funktion der Toleranz der Fourier-Transformation, A ist die Eigenschaft der Zahl. Die Funktion fh(x) = f(z-h) wird als Verschiebung der Funktion f(x) bezeichnet. Unter Verwendung der definierten Fourier-Transformation , zeigen Sie das Problem. Die Funktion f(z) habe die Fourier-Transformation F(0> h ist eine reelle Zahl. Zeigen Sie, dass 3. Fourier-Transformation und Differentiationsgleichungen. Sei f eine absolut integrierbare Funktion (x) hat eine Ableitung f "(x), das auch auf der gesamten Ox-Achse absolut integrierbar ist, so dass f(x) als |x| gegen Null strebt -" +oo. Unter der Annahme, dass f"(x) eine glatte Funktion ist, schreiben wir Integrieren nach Teilen. Der Out-Integral-Term verschwindet (da, und wir erhalten). Somit entspricht die Differentiation der Funktion /(x) der Multiplikation ihrer Fourier-Bild ^Π/] um den Faktor Wenn die Funktion f (x) bis zur Ordnung m glatte, absolut intelierbare Ableitungen hat und alle, wie die Funktion f(x) selbst, bei der partiellen Integration gegen Null streben die erforderliche Anzahl von Malen erhalten wir. Die Fourier-Transformation ist gerade deshalb sehr nützlich, weil sie die Operation der Differentiation durch die Operation der Multiplikation mit einer Größe ersetzt und dadurch das Problem der Integration einiger Arten von Differentialgleichungen vereinfacht. Da die Fourier-Transformation eines absolut integrierbare Funktion f^k\x) eine beschränkte Funktion von (Eigenschaft 2), dann erhalten wir aus Beziehung (2) die folgende Schätzung für: FOURIER-TRANSFORM Fourier-Integral Komplexe Form der integralen Fourier-Transformation Kosinus- und Sinustransformation Amplituden- und Phasenspektren Eigenschaften Anwendungen Aus dieser Schätzung folgt: Je mehr die Funktion f(x) absolut integrierbare Ableitungen hat, desto schneller strebt ihre Fourier-Transformation gegen Null. Kommentar. Die Bedingung ist ganz natürlich, da sich die übliche Theorie der Fourier-Integrale mit Prozessen befasst, die in der einen oder anderen Hinsicht einen Anfang und ein Ende haben, aber nicht auf unbestimmte Zeit mit annähernd gleicher Intensität andauern. 4. Zusammenhang zwischen der Abnahmerate der Funktion f(x) als |z| -» -f oo und die Glätte seiner Fourm-Transformation. Nehmen wir an, dass nicht nur f(x), sondern auch sein Produkt xf(x) eine absolut integrierbare Funktion auf der gesamten Ox-Achse ist. Dann ist die Fourier-Transformation eine differenzierbare Funktion. Tatsächlich führt die formale Differentiation in Bezug auf den Parameter £ des Integranden zu einem Integral, das in Bezug auf den Parameter absolut und gleichmäßig konvergent ist. Daher ist die Differentiation möglich und somit die Operation der Multiplikation von f(x) mit dem Argument x geht nach der Fourier-Transformation in die Operation t . Wenn zusammen mit der Funktion f(x) die Funktionen auf der gesamten Ox-Achse absolut integrierbar sind, kann der Differenzierungsprozess fortgesetzt werden. Wir erhalten, dass die Funktion Ableitungen bis zur Ordnung m einschließlich hat, und je schneller die Funktion f(x) abnimmt, desto glatter wird die Funktion. Satz 2 (über den Bohrer). Seien die Fourier-Transformationen der Funktionen f,(x) bzw. f2(x). Dann konvergiert das Doppelintegral auf der rechten Seite absolut. Sagen wir - x. Dann haben wir oder, indem wir die Reihenfolge der Integration ändern. Die Funktion wird Faltung von Funktionen genannt und mit dem Symbol Formel (1) bezeichnet. Sie kann nun wie folgt geschrieben werden: Dies zeigt, dass die Fourier-Transformation der Faltung der Funktionen f \(x) und f2(x) ist gleich y/2x multipliziert mit dem Produkt von Fourier-Transformationen faltender Funktionen. Bemerkung. Es ist nicht schwer, die folgenden Eigenschaften der Faltung festzulegen: 1) Linearität: 2) Kommutativität: §4. Anwendungen der Fourier-Transformation 1. Sei P(^) ein linearer Differentialoperator der Ordnung m mit konstanten Koeffizienten. Unter Verwendung der Formel für die Fourier-Transformation von Ableitungen der Funktion y(x) finden wir „ Betrachten Sie die Differentialgleichung, wobei P ist der oben eingeführte Differentialoperator. Nehmen wir an, dass die gewünschte Lösung y(x) die Fourier-Transformation y (O) hat und die Funktion f(x) die Transformation /(£) hat. Wenn wir die Fourier-Transformation auf Gleichung (1) anwenden, erhalten wir anstelle einer algebraischen Differentialgleichung auf der Achse relativ zu wo also formal, wo das Symbol die inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Die Haupteinschränkung der Anwendbarkeit dieser Methode ist mit der folgenden Tatsache verbunden: Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten enthält Funktionen der Form eL*, eaz cos fix, eax sin рх. Sie sind auf der -oo-Achse nicht absolut integrierbar< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Die schon ziemlich langweilig sind. Und ich habe das Gefühl, dass der Moment gekommen ist, in dem es an der Zeit ist, aus den strategischen Reserven der Theorie neue Konserven zu holen. Ist es möglich, die Funktion auf andere Weise zu einer Serie zu erweitern? Zum Beispiel ein gerades Liniensegment durch Sinus und Cosinus ausdrücken? Es scheint unglaublich, aber solche scheinbar weit entfernten Funktionen können sein
"Wiedervereinigung". Neben den bekannten Abschlüssen in Theorie und Praxis gibt es noch weitere Ansätze, eine Funktion zu einer Reihe zu erweitern.

In dieser Lektion machen wir uns mit der trigonometrischen Fourier-Reihe vertraut, gehen auf die Frage ihrer Konvergenz und Summe ein und analysieren natürlich zahlreiche Beispiele für die Entwicklung von Funktionen in Fourier-Reihen. Eigentlich wollte ich den Artikel „Fourierreihen für Dummies“ nennen, aber das wäre unaufrichtig, da die Lösung der Probleme Kenntnisse in anderen Bereichen der mathematischen Analyse und etwas praktische Erfahrung erfordern würde. Daher wird die Präambel einem Astronautentraining ähneln =)

Zunächst sollten Sie das Studium der Seitenmaterialien in hervorragender Form angehen. Schläfrig, ausgeruht und nüchtern. Ohne starke Emotionen über ein gebrochenes Hamsterbein und zwanghafte Gedanken über die Strapazen des Lebens für Aquarienfische. Die Fourier-Reihe ist nicht schwer zu verstehen, aber praktische Aufgaben erfordern einfach eine erhöhte Konzentration der Aufmerksamkeit – idealerweise sollte man sich völlig von äußeren Reizen lösen. Erschwerend kommt hinzu, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die Lösung und Antwort zu überprüfen. Wenn Ihr Gesundheitszustand also unterdurchschnittlich ist, ist es besser, etwas Einfacheres zu tun. Ist es wahr.

Zweitens ist es vor dem Flug ins All notwendig, die Instrumententafel des Raumfahrzeugs zu studieren. Beginnen wir mit den Werten der Funktionen, die auf der Maschine angeklickt werden sollen:

Für jeden natürlichen Wert:

1) . Tatsächlich „näht“ die Sinuskurve die x-Achse durch jedes „pi“:
. Bei negativen Werten des Arguments ist das Ergebnis natürlich dasselbe: .

2) . Aber nicht jeder wusste das. Der Kosinus „pi“ entspricht einem „Blinker“:

Ein negatives Argument ändert nichts an der Sache: .

Vielleicht reicht das.

Und drittens, liebes Kosmonautenkorps, Sie müssen in der Lage sein... integrieren.
Vor allem selbstbewusst Subsumieren Sie die Funktion unter dem Differentialzeichen, Stück für Stück integrieren und sei im Frieden mit Newton-Leibniz-Formel. Beginnen wir mit den wichtigen Übungen vor dem Flug. Ich empfehle grundsätzlich nicht, darauf zu verzichten, um später nicht in der Schwerelosigkeit zu versinken:

Beispiel 1

Berechnen Sie bestimmte Integrale

Woher kommen natürliche Werte?

Lösung: Die Integration erfolgt über die Variable „x“ und in diesem Stadium wird die diskrete Variable „en“ als Konstante betrachtet. In allen Integralen Setzen Sie die Funktion unter das Differentialzeichen:

Eine Kurzversion der Lösung, die sich gut als Ziel eignet, sieht so aus:

Gewöhnen wir uns daran:

Die restlichen vier Punkte liegen bei Ihnen. Versuchen Sie, die Aufgabe gewissenhaft anzugehen und die Integrale kurz zu formulieren. Beispiellösungen am Ende der Lektion.

Nachdem wir die QUALITÄT-Übungen durchgeführt hatten, zogen wir Raumanzüge an
und bereit zum Start!

Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe über das Intervall

Betrachten Sie eine Funktion, die bestimmt zumindest für einen bestimmten Zeitraum (möglicherweise auch für einen längeren Zeitraum). Wenn diese Funktion im Intervall integrierbar ist, kann sie in eine trigonometrische Funktion erweitert werden die Fourierreihe:
, wo sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten.

In diesem Fall wird die Nummer angerufen Periode der Zersetzung, und die Zahl ist Halbwertszeit der Zersetzung.

Es ist offensichtlich, dass die Fourier-Reihe im allgemeinen Fall aus Sinus und Cosinus besteht:

Schreiben wir es im Detail auf:

Der Nullterm der Reihe wird üblicherweise in der Form geschrieben.

Fourier-Koeffizienten werden nach folgenden Formeln berechnet:

Ich verstehe vollkommen, dass denjenigen, die sich mit dem Thema beschäftigen, die neuen Begriffe noch unklar sind: Zersetzungszeitraum, Halbzyklus, Fourier-Koeffizienten usw. Keine Panik, das ist nicht vergleichbar mit der Aufregung vor einem Flug ins Weltall. Lassen Sie uns alles im folgenden Beispiel verstehen, bevor wir es ausführen. Es ist logisch, dringende praktische Fragen zu stellen:

Was müssen Sie bei den folgenden Aufgaben tun?

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe. Darüber hinaus ist es oft notwendig, einen Graphen einer Funktion, einen Graphen der Summe einer Reihe, eine Teilsumme darzustellen und im Falle anspruchsvoller Professorenphantasien etwas anderes zu tun.

Wie erweitert man eine Funktion in eine Fourier-Reihe?

Im Wesentlichen müssen Sie finden Fourier-Koeffizienten, das heißt, komponiere und berechne drei bestimmtes Integral.

Bitte kopieren Sie die allgemeine Form der Fourier-Reihe und die drei Arbeitsformeln in Ihr Notizbuch. Ich freue mich sehr, dass einige Besucher der Seite ihren Kindheitstraum, Astronaut zu werden, direkt vor meinen Augen verwirklichen =)

Beispiel 2

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall. Konstruieren Sie einen Graphen, einen Graphen der Summe der Reihe und der Teilsumme.

Lösung: Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu entwickeln.

Der Anfang ist Standard. Schreiben Sie Folgendes auf:

Bei diesem Problem ist die Expansionsperiode eine halbe Periode.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall:

Mit den entsprechenden Formeln finden wir Fourier-Koeffizienten. Jetzt müssen wir drei zusammenstellen und berechnen bestimmtes Integral. Der Einfachheit halber werde ich die Punkte nummerieren:

1) Das erste Integral ist das einfachste, erfordert jedoch auch Augäpfel:

2) Verwenden Sie die zweite Formel:

Dieses Integral ist bekannt und er nimmt es Stück für Stück:

Wird verwendet, wenn es gefunden wird Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren.

Bei der betrachteten Aufgabe ist die sofortige Verwendung bequemer Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral :

Ein paar technische Hinweise. Erstens nach der Anwendung der Formel Der gesamte Ausdruck muss in große Klammern eingeschlossen werden, da vor dem ursprünglichen Integral eine Konstante steht. Lass uns sie nicht verlieren! Die Klammern können bei jedem weiteren Schritt erweitert werden; ich habe dies als letzten Ausweg getan. Im ersten „Stück“ Wir gehen bei der Substitution mit äußerster Sorgfalt vor; wie Sie sehen können, wird die Konstante nicht verwendet und die Integrationsgrenzen werden in das Produkt eingesetzt. Diese Aktion wird in eckigen Klammern hervorgehoben. Naja, das Integral des zweiten „Teils“ der Formel kennst du aus der Trainingsaufgabe;-)

Und das Wichtigste: höchste Konzentration!

3) Wir suchen den dritten Fourier-Koeffizienten:

Es wird ein Relativwert zum vorherigen Integral erhalten, was ebenfalls der Fall ist integriert sich Stück für Stück:

Dieser Fall ist etwas komplizierter, ich werde die weiteren Schritte Schritt für Schritt kommentieren:

(1) Der Ausdruck steht vollständig in großen Klammern. Ich wollte nicht langweilig wirken, sie verlieren zu oft die Konstante.

(2) In diesem Fall habe ich diese großen Klammern sofort geöffnet. Besondere Aufmerksamkeit Wir widmen uns dem ersten „Stück“: dem ständigen Rauchen am Rande und der Teilnahme an der Substitution der Grenzen der Integration (und) in das Produkt. Aufgrund der Unübersichtlichkeit des Datensatzes empfiehlt es sich, diese Aktion wiederum durch eckige Klammern hervorzuheben. Mit dem zweiten „Stück“ Alles ist einfacher: Hier erschien der Bruch nach dem Öffnen großer Klammern und die Konstante - als Ergebnis der Integration des bekannten Integrals;-)

(3) In eckigen Klammern führen wir Transformationen und im rechten Integral die Substitution von Integrationsgrenzen durch.

(4) Wir entfernen das „Blinklicht“ aus den eckigen Klammern: und öffnen dann die inneren Klammern: .

(5) Wir streichen 1 und –1 in Klammern und nehmen letzte Vereinfachungen vor.

Schließlich werden alle drei Fourier-Koeffizienten gefunden:

Setzen wir sie in die Formel ein :

Vergessen Sie dabei nicht, es in zwei Hälften zu teilen. Im letzten Schritt wird die Konstante („minus zwei“), die nicht von „en“ abhängt, aus der Summe genommen.

Somit haben wir die Entwicklung der Funktion in eine Fourier-Reihe über das Intervall erhalten:

Lassen Sie uns die Frage der Konvergenz der Fourier-Reihe untersuchen. Ich werde insbesondere die Theorie erläutern Satz von Dirichlet, wörtlich „an den Fingern“, wenn Sie also strenge Formulierungen benötigen, lesen Sie bitte das Lehrbuch der mathematischen Analyse (zum Beispiel der 2. Band von Bohan; oder der 3. Band von Fichtenholtz, aber es ist schwieriger).

Der zweite Teil des Problems erfordert das Zeichnen eines Diagramms, eines Diagramms der Summe einer Reihe und eines Diagramms einer Teilsumme.

Der Graph der Funktion ist der übliche gerade Linie in einer Ebene, das mit einer schwarzen gepunkteten Linie gezeichnet ist:

Lassen Sie uns die Summe der Serie ermitteln. Wie Sie wissen, konvergieren Funktionsreihen zu Funktionen. In unserem Fall die konstruierte Fourier-Reihe für jeden Wert von „x“ konvergiert zu der Funktion, die rot dargestellt ist. Diese Funktion toleriert Brüche der 1. Art an Punkten, wird aber auch an ihnen definiert (rote Punkte in der Zeichnung)

Auf diese Weise: . Es ist leicht zu erkennen, dass es sich merklich von der ursprünglichen Funktion unterscheidet, weshalb im Eintrag Anstelle eines Gleichheitszeichens wird eine Tilde verwendet.

Lassen Sie uns einen Algorithmus untersuchen, der zum Konstruieren der Summe einer Reihe geeignet ist.

Im zentralen Intervall konvergiert die Fourier-Reihe gegen die Funktion selbst (das zentrale rote Segment fällt mit der schwarzen gepunkteten Linie der linearen Funktion zusammen).

Lassen Sie uns nun ein wenig über die Natur der betrachteten trigonometrischen Erweiterung sprechen. die Fourierreihe umfasst nur periodische Funktionen (Konstante, Sinus und Kosinus), also die Summe der Reihen ist auch eine periodische Funktion.

Was bedeutet das in unserem konkreten Beispiel? Und das bedeutet, dass die Summe der Serie –sicherlich periodisch und der rote Abschnitt des Intervalls muss links und rechts endlos wiederholt werden.

Ich denke, die Bedeutung des Ausdrucks „Zeitraum des Zerfalls“ ist nun endlich klar geworden. Vereinfacht ausgedrückt: Jedes Mal wiederholt sich die Situation immer wieder.

In der Praxis reicht es meist aus, drei Zersetzungsperioden darzustellen, wie es in der Zeichnung geschieht. Nun, und auch „Stümpfe“ benachbarter Perioden – damit klar ist, dass die Grafik fortgesetzt wird.

Von besonderem Interesse sind Unstetigkeitsstellen 1. Art. An solchen Punkten konvergiert die Fourier-Reihe zu isolierten Werten, die genau in der Mitte des „Sprungs“ der Diskontinuität liegen (rote Punkte in der Zeichnung). Wie finde ich die Ordinate dieser Punkte heraus? Suchen wir zunächst die Ordinate des „oberen Stockwerks“: Dazu berechnen wir den Wert der Funktion am äußersten rechten Punkt der zentralen Periode der Entwicklung: . Um die Ordinate der „unteren Etage“ zu berechnen, ist es am einfachsten, den Wert ganz links aus demselben Zeitraum zu nehmen: . Die Ordinate des Durchschnittswertes ist das arithmetische Mittel der Summe von „oben und unten“: . Erfreulich ist, dass man beim Erstellen einer Zeichnung sofort sieht, ob die Mitte richtig oder falsch berechnet ist.

Konstruieren wir eine Teilsumme der Reihe und wiederholen wir gleichzeitig die Bedeutung des Begriffs „Konvergenz“. Das Motiv ist auch aus der Lektion bekannt Summe einer Zahlenreihe. Lassen Sie uns unseren Reichtum im Detail beschreiben:

Um eine Teilsumme zu bilden, müssen Sie null + zwei weitere Terme der Reihe schreiben. Also,

In der Zeichnung ist der Graph der Funktion grün dargestellt und wie Sie sehen können, „umhüllt“ er die Gesamtsumme recht eng. Wenn wir eine Teilsumme von fünf Termen der Reihe betrachten, dann wird der Graph dieser Funktion die roten Linien noch genauer annähern; wenn es einhundert Terme sind, dann wird die „grüne Schlange“ tatsächlich vollständig mit den roten Segmenten verschmelzen, usw. Somit konvergiert die Fourier-Reihe gegen ihre Summe.

Interessant ist, dass es sich um einen beliebigen Teilbetrag handelt kontinuierliche Funktion Allerdings ist die Gesamtsumme der Serie noch diskontinuierlich.

In der Praxis ist es nicht so selten, einen Partialsummengraphen zu erstellen. Wie kann man das machen? In unserem Fall ist es notwendig, die Funktion auf dem Segment zu betrachten und ihre Werte an den Enden des Segments und an Zwischenpunkten zu berechnen (je mehr Punkte Sie berücksichtigen, desto genauer wird das Diagramm). Dann sollten Sie diese Punkte in der Zeichnung markieren und sorgfältig ein Diagramm über den Zeitraum zeichnen und es dann in benachbarte Intervalle „replizieren“. Wie sonst? Schließlich ist auch die Approximation eine periodische Funktion... ...in gewisser Weise erinnert mich ihre Grafik an einen gleichmäßigen Herzrhythmus auf dem Display eines medizinischen Geräts.

Die Konstruktion ist natürlich nicht sehr komfortabel, da man äußerst vorsichtig sein und eine Genauigkeit von mindestens einem halben Millimeter einhalten muss. Ich werde jedoch Leser erfreuen, die sich mit dem Zeichnen nicht auskennen – bei einem „echten“ Problem ist es nicht immer notwendig, eine Zeichnung auszuführen; in etwa 50 % der Fälle ist es notwendig, die Funktion in eine Fourier-Reihe zu erweitern und das war’s .

Nachdem wir die Zeichnung fertiggestellt haben, erledigen wir die Aufgabe:

Antwort:

Bei vielen Aufgaben leidet die Funktion Bruch der 1. Art direkt während der Zersetzungsperiode:

Beispiel 3

Erweitern Sie die für das Intervall angegebene Funktion in eine Fourier-Reihe. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Gesamtsumme der Reihe.

Die vorgeschlagene Funktion wird stückweise spezifiziert (und, beachten Sie, nur auf dem Segment) und hält aus Bruch der 1. Art am Punkt . Ist es möglich, Fourier-Koeffizienten zu berechnen? Kein Problem. Sowohl die linke als auch die rechte Seite der Funktion sind in ihren Intervallen integrierbar, daher sollten die Integrale in jeder der drei Formeln als Summe zweier Integrale dargestellt werden. Sehen wir uns zum Beispiel an, wie dies für einen Koeffizienten von Null geschieht:

Es stellte sich heraus, dass das zweite Integral gleich Null war, was die Arbeit reduzierte, aber das ist nicht immer der Fall.

Die anderen beiden Fourier-Koeffizienten werden ähnlich beschrieben.

Wie zeigt man die Summe einer Reihe an? Auf dem linken Intervall zeichnen wir ein gerades Liniensegment und auf dem Intervall ein gerades Liniensegment (wir markieren den Abschnitt der Achse fett und fett). Das heißt, im Erweiterungsintervall stimmt die Summe der Reihe bis auf drei „schlechte“ Punkte überall mit der Funktion überein. Am Unstetigkeitspunkt der Funktion konvergiert die Fourier-Reihe zu einem isolierten Wert, der genau in der Mitte des „Sprungs“ der Unstetigkeit liegt. Es ist nicht schwer, es mündlich zu sehen: linksseitige Grenze: , rechtsseitige Grenze: und offensichtlich ist die Ordinate des Mittelpunkts 0,5.

Aufgrund der Periodizität der Summe muss das Bild in benachbarte Perioden „multipliziert“ werden, insbesondere muss auf den Intervallen und das Gleiche abgebildet werden. Gleichzeitig konvergiert die Fourier-Reihe an Punkten zu den Medianwerten.

Tatsächlich gibt es hier nichts Neues.

Versuchen Sie, diese Aufgabe selbst zu bewältigen. Ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs und eine Zeichnung am Ende der Lektion.

Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe über einen beliebigen Zeitraum

Für eine beliebige Entwicklungsperiode, in der „el“ eine beliebige positive Zahl ist, unterscheiden sich die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten durch ein etwas komplizierteres Argument für Sinus und Cosinus:

Wenn , dann erhalten wir die Intervallformeln, mit denen wir begonnen haben.

Der Algorithmus und die Prinzipien zur Lösung des Problems bleiben vollständig erhalten, die technische Komplexität der Berechnungen steigt jedoch:

Beispiel 4

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe und zeichnen Sie die Summe auf.

Lösung: eigentlich ein Analogon von Beispiel Nr. 3 mit Bruch der 1. Art am Punkt . Bei diesem Problem ist die Expansionsperiode eine halbe Periode. Die Funktion ist nur auf dem halben Intervall definiert, aber das ändert nichts an der Sache – es ist wichtig, dass beide Teile der Funktion integrierbar sind.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe:

Da die Funktion im Ursprung unstetig ist, sollte jeder Fourier-Koeffizient offensichtlich als Summe zweier Integrale geschrieben werden:

1) Ich werde das erste Integral so detailliert wie möglich aufschreiben:

2) Wir schauen uns die Oberfläche des Mondes genau an:

Zweites Integral Nimm es Stück für Stück:

Worauf sollten wir besonders achten, nachdem wir die Fortsetzung der Lösung mit einem Sternchen geöffnet haben?

Erstens verlieren wir das erste Integral nicht , wo wir sofort ausführen Abonnieren des Differentialzeichens. Zweitens vergessen Sie nicht die unglückliche Konstante vor den großen Klammern und Lassen Sie sich nicht von den Schildern verwirren bei Verwendung der Formel . Große Klammern lassen sich im nächsten Schritt noch bequemer sofort öffnen.

Der Rest ist eine Frage der Technik; Schwierigkeiten können nur durch unzureichende Erfahrung in der Lösung von Integralen verursacht werden.

Ja, nicht umsonst waren die bedeutenden Kollegen des französischen Mathematikers Fourier empört – wie konnte er es wagen, Funktionen in trigonometrische Reihen anzuordnen?! =) Übrigens interessiert wahrscheinlich jeder die praktische Bedeutung der jeweiligen Aufgabe. Fourier selbst arbeitete an einem mathematischen Modell der Wärmeleitfähigkeit, und anschließend begann man mit der nach ihm benannten Reihe, viele periodische Prozesse zu untersuchen, die in der umgebenden Welt sichtbar und unsichtbar sind. Jetzt ertappte ich mich übrigens bei dem Gedanken, dass es kein Zufall war, dass ich die Grafik des zweiten Beispiels mit dem periodischen Rhythmus des Herzens verglichen habe. Interessierte können sich mit der praktischen Anwendung vertraut machen Fourier-Transformation in Quellen Dritter. ...Obwohl es besser ist, es nicht zu tun – es wird als Erste Liebe in Erinnerung bleiben =)

3) Betrachten wir unter Berücksichtigung der mehrfach erwähnten Schwachstellen den dritten Koeffizienten:

Lassen Sie uns nach Teilen integrieren:

Setzen wir die gefundenen Fourier-Koeffizienten in die Formel ein , nicht vergessen, den Nullkoeffizienten in zwei Hälften zu teilen:

Lassen Sie uns die Summe der Reihe grafisch darstellen. Wiederholen wir den Vorgang kurz: Wir konstruieren eine Gerade auf einem Intervall und eine Gerade auf einem Intervall. Wenn der „x“-Wert Null ist, setzen wir einen Punkt in die Mitte des „Sprungs“ der Lücke und „replizieren“ den Graphen für benachbarte Zeiträume:

An den „Verbindungspunkten“ der Perioden entspricht die Summe auch den Mittelpunkten des „Sprungs“ der Lücke.

Bereit. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Funktion selbst bedingt nur für ein halbes Intervall definiert ist und offensichtlich mit der Summe der Reihen in den Intervallen übereinstimmt

Antwort:

Manchmal ist eine stückweise gegebene Funktion über den Expansionszeitraum stetig. Das einfachste Beispiel: . Lösung (siehe Bohan Band 2) das gleiche wie in den beiden vorherigen Beispielen: trotz Kontinuität der Funktion Am Punkt wird jeder Fourier-Koeffizient als Summe zweier Integrale ausgedrückt.

Zum Zersetzungsintervall Unstetigkeitsstellen 1. Art und/oder es kann mehrere „Verbindungspunkte“ des Diagramms geben (zwei, drei und im Allgemeinen alle). Finale Menge). Wenn eine Funktion auf jedem Teil integrierbar ist, dann ist sie auch in einer Fourier-Reihe erweiterbar. Aber aus praktischer Erfahrung kann ich mich an so etwas Grausames nicht erinnern. Es gibt jedoch schwierigere Aufgaben als die gerade betrachteten, und am Ende des Artikels gibt es für alle Links zu Fourier-Reihen mit erhöhter Komplexität.

In der Zwischenzeit entspannen wir uns, lehnen uns in unseren Stühlen zurück und betrachten die endlosen Weiten der Sterne:

Beispiel 5

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall und zeichnen Sie die Summe der Reihe auf.

In diesem Problem ist die Funktion kontinuierlich auf dem Expansionshalbintervall, was die Lösung vereinfacht. Alles ist dem Beispiel Nr. 2 sehr ähnlich. Aus dem Raumschiff gibt es kein Entrinnen – du musst dich entscheiden =) Ein ungefähres Gestaltungsbeispiel am Ende der Lektion, ein Stundenplan liegt bei.

Fourier-Reihenentwicklung gerader und ungerader Funktionen

Bei geraden und ungeraden Funktionen wird die Problemlösung deutlich vereinfacht. Und deshalb. Kehren wir zur Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe mit einer Periode von „zwei pi“ zurück. und willkürlicher Punkt „two el“ .

Nehmen wir an, dass unsere Funktion gerade ist. Wie Sie sehen, enthält der allgemeine Term der Reihe gerade Kosinuswerte und ungerade Sinuswerte. Und wenn wir eine GERADE-Funktion entwickeln, warum brauchen wir dann ungerade Sinuswerte?! Lassen Sie uns den unnötigen Koeffizienten zurücksetzen: .

Auf diese Weise, Eine gerade Funktion kann in einer Fourier-Reihe nur in Kosinusreihen entwickelt werden:

Weil das Integrale gerader Funktionen entlang einer Integrationsstrecke, die symmetrisch zu Null ist, verdoppelt werden kann, dann werden die verbleibenden Fourier-Koeffizienten vereinfacht.

Für die Lücke:

Für ein beliebiges Intervall:

Lehrbuchbeispiele, die in fast jedem Lehrbuch zur mathematischen Analysis zu finden sind, umfassen Erweiterungen gerader Funktionen . Darüber hinaus sind sie in meiner Privatpraxis mehrfach angetroffen worden:

Beispiel 6

Die Funktion ist gegeben. Erforderlich:

1) Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe mit Periode, wobei eine beliebige positive Zahl ist;

2) Schreiben Sie die Entwicklung des Intervalls auf, konstruieren Sie eine Funktion und zeichnen Sie die Gesamtsumme der Reihe grafisch auf.

Lösung: Im ersten Absatz wird vorgeschlagen, das Problem in allgemeiner Form zu lösen, und das ist sehr praktisch! Bei Bedarf ersetzen Sie einfach Ihren Wert.

1) Bei diesem Problem ist die Expansionsperiode eine Halbperiode. Bei weiteren Aktionen, insbesondere bei der Integration, wird „el“ als Konstante betrachtet

Die Funktion ist gerade, was bedeutet, dass sie nur in Kosinusreihen zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden kann: .

Wir suchen nach Fourier-Koeffizienten mithilfe der Formeln . Achten Sie auf ihre unbedingten Vorteile. Erstens erfolgt die Integration über das positive Segment der Erweiterung, wodurch wir das Modul sicher loswerden , wobei nur das „X“ der beiden Teile berücksichtigt wird. Und zweitens wird die Integration spürbar vereinfacht.