Cramer-Methodenlösung in Excel. Lösen Sie Slough mit dem Add-on „Suche nach Lösung“. Optionen für individuelle Aufgaben

Excel verfügt über eine breite Palette von Werkzeugen zum Lösen unterschiedlicher Gleichungstypen mit unterschiedlichen Methoden.

Schauen wir uns einige Lösungen anhand von Beispielen an.

Lösen von Gleichungen durch Auswahl von Excel-Parametern

Das Parameterauswahl-Tool wird in Situationen verwendet, in denen das Ergebnis bekannt ist, die Argumente jedoch unbekannt sind. Excel passt die Werte an, bis die Berechnung die gewünschte Summe ergibt.

Pfad zum Befehl: „Daten“ – „Arbeiten mit Daten“ – „Was-wäre-wenn-Analyse“ – „Parameterauswahl“.

Schauen wir uns das Beispiel der Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + 3x + 2 = 0 an. Das Verfahren zum Finden der Wurzel mit Excel:

Das Programm verwendet einen zyklischen Prozess zur Auswahl eines Parameters. Um die Anzahl der Iterationen und Fehler zu ändern, müssen Sie zu den Excel-Optionen gehen. Legen Sie auf der Registerkarte „Formeln“ die maximale Anzahl der Iterationen und den relativen Fehler fest. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen „Iterative Berechnungen aktivieren“.



So lösen Sie ein Gleichungssystem mit der Matrixmethode in Excel

Das Gleichungssystem ist gegeben:

Man erhält die Wurzeln der Gleichungen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Cramer-Methode in Excel

Nehmen wir das Gleichungssystem aus dem vorherigen Beispiel:

Um sie mit der Cramer-Methode zu lösen, berechnen wir die Determinanten der Matrizen, die wir erhalten, indem wir eine Spalte in Matrix A durch die Spaltenmatrix B ersetzen.

Zur Berechnung der Determinanten verwenden wir die MOPRED-Funktion. Das Argument ist ein Bereich mit der entsprechenden Matrix.

Berechnen wir auch die Determinante der Matrix A (Array – Bereich der Matrix A).

Die Determinante des Systems ist größer als 0 – die Lösung kann mithilfe der Cramer-Formel (D x / |A|) gefunden werden.

Um X 1 zu berechnen: =U2/$U$1, wobei U2 – D1. Um X 2 zu berechnen: =U3/$U$1. Usw. Wir erhalten die Wurzeln der Gleichungen:

Lösen von Gleichungssystemen mit der Gaußschen Methode in Excel

Nehmen wir zum Beispiel das einfachste Gleichungssystem:

3a + 2b – 5c = -1
2a – b – 3c = 13
a + 2b – c = 9

Wir schreiben die Koeffizienten in Matrix A. Freie Terme - in Matrix B.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit markieren wir die freien Begriffe durch Ausfüllen. Wenn die erste Zelle der Matrix A 0 enthält, müssen Sie die Zeilen vertauschen, damit hier ein anderer Wert als 0 erscheint.

Beispiele für die Lösung von Gleichungen mit der Iterationsmethode in Excel

Die Berechnungen in der Arbeitsmappe sollten wie folgt aufgebaut sein:

Dies geschieht auf der Registerkarte „Formeln“ in „Excel-Optionen“. Finden wir die Wurzel der Gleichung x – x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) durch Iteration unter Verwendung zyklischer Referenzen. Formel:

Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – Maximalwert der Modulo-Ableitung. Um M zu finden, führen wir die Berechnungen durch:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Der resultierende Wert ist kleiner als 0. Daher hat die Funktion das umgekehrte Vorzeichen: f (x) = -x + x 3 – 1. M = 11.

In Zelle A3 geben wir den Wert ein: a = 1. Genauigkeit – drei Dezimalstellen. Um den aktuellen Wert von x in der angrenzenden Zelle (B3) zu berechnen, geben Sie die Formel ein: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

In Zelle C3 steuern wir den Wert von f (x): mithilfe der Formel =B3-POWER(B3,3)+1.

Die Wurzel der Gleichung ist 1,179. Geben wir den Wert 2 in Zelle A3 ein. Wir erhalten das gleiche Ergebnis:

In einem bestimmten Intervall gibt es nur eine Wurzel.

Mit der Cramer-Methode werden Systeme linearer algebraischer Gleichungen (SLAEs) gelöst, bei denen die Anzahl der unbekannten Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist und die Determinante der Hauptmatrix ungleich Null ist. In diesem Artikel analysieren wir, wie unbekannte Variablen mithilfe der Cramer-Methode gefunden werden, und erhalten Formeln. Danach gehen wir zu Beispielen über und beschreiben im Detail die Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer.

Seitennavigation.

Cramers Methode – Ableitung von Formeln.

Wir müssen ein System linearer Gleichungen der Form lösen

Wobei x 1, x 2, …, x n unbekannte Variablen sind, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- numerische Koeffizienten, b 1, b 2, ..., b n - freie Terme. Eine Lösung für ein SLAE ist eine solche Menge von Werten x 1 , x 2 , …, x n, für die alle Gleichungen des Systems zu Identitäten werden.

In Matrixform kann dieses System als A ⋅ X = B geschrieben werden, wobei - die Hauptmatrix des Systems, ihre Elemente sind die Koeffizienten unbekannter Variablen, - die Matrix ist eine Spalte freier Terme und - die Matrix ist eine Spalte unbekannter Variablen. Nach dem Finden der unbekannten Variablen x 1, x 2, …, x n wird die Matrix zur Lösung des Gleichungssystems und die Gleichheit A ⋅ X = B wird zur Identität.

Wir gehen davon aus, dass Matrix A nicht singulär ist, das heißt, ihre Determinante ist ungleich Null. In diesem Fall hat das System linearer algebraischer Gleichungen eine einzigartige Lösung, die mit der Methode von Cramer gefunden werden kann. (Methoden zum Lösen von Systemen für werden im Abschnitt zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen besprochen.)

Die Methode von Cramer basiert auf zwei Eigenschaften der Matrixdeterminante:

Beginnen wir also mit der Suche nach der unbekannten Variablen x 1. Dazu multiplizieren wir beide Teile der ersten Gleichung des Systems mit A 1 1, beide Teile der zweiten Gleichung mit A 2 1 usw., beide Teile der n-ten Gleichung mit A n 1 (also wir Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems mit den entsprechenden algebraischen Komplementen der ersten Matrixspalte A):

Addieren wir alle linken Seiten der Systemgleichung, gruppieren die Terme für unbekannte Variablen x 1, x 2, ..., x n und setzen diese Summe mit der Summe aller rechten Seiten der Gleichungen gleich:

Wenn wir uns den zuvor erwähnten Eigenschaften der Determinante zuwenden, haben wir

und die vorherige Gleichheit nimmt die Form an

Wo

Ebenso finden wir x 2. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der Systemgleichungen mit den algebraischen Komplementen der zweiten Spalte der Matrix A:

Wir addieren alle Gleichungen des Systems, gruppieren die Terme für unbekannte Variablen x 1, x 2, ..., x n und wenden die Eigenschaften der Determinante an:

Wo
.

Die übrigen unbekannten Variablen werden auf ähnliche Weise gefunden.

Wenn wir benennen

Dann bekommen wir Formeln zum Finden unbekannter Variablen mit der Cramer-Methode .

Kommentar.

Das heißt, wenn das System linearer algebraischer Gleichungen homogen ist , dann hat es nur eine triviale Lösung (bei ). Tatsächlich gelten für null freie Terme alle Determinanten wird gleich Null sein, da sie eine Spalte mit Nullelementen enthalten. Daher die Formeln werde geben.

Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode.

Schreiben wir es auf Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Beispiele für die Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Schauen wir uns Lösungen für mehrere Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie mit der Cramer-Methode eine Lösung für ein inhomogenes System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form. Berechnen wir seine Determinante anhand der Formel :

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, hat das SLAE eine eindeutige Lösung und kann mit der Cramer-Methode gefunden werden. Schreiben wir die Determinanten auf und . Wir ersetzen die erste Spalte der Hauptmatrix des Systems durch eine Spalte mit freien Termen und erhalten die Determinante . Ebenso ersetzen wir die zweite Spalte der Hauptmatrix durch die Spalte der freien Terme und erhalten .

Wir berechnen diese Determinanten:

Finden Sie die unbekannten Variablen x 1 und x 2 mithilfe der Formeln :

Lass uns das Prüfen. Ersetzen wir die erhaltenen Werte x 1 und x 2 in das ursprüngliche Gleichungssystem:

Beide Gleichungen des Systems werden zu Identitäten, daher wurde die Lösung richtig gefunden.

Antwort:

.

Einige Elemente der Hauptmatrix des SLAE können gleich Null sein. In diesem Fall fehlen die entsprechenden unbekannten Variablen in den Systemgleichungen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode .

Lösung.

Schreiben wir das System im Formular um , sodass die Hauptmatrix des Systems sichtbar wird . Finden wir seine Determinante mithilfe der Formel

Wir haben

Die Determinante der Hauptmatrix ist ungleich Null, daher hat das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Finden wir es mit der Cramer-Methode. Berechnen wir die Determinanten :

Auf diese Weise,

Antwort:

Die Bezeichnungen unbekannter Variablen in den Systemgleichungen können von x 1, x 2, ..., x n abweichen. Dies hat keinen Einfluss auf den Entscheidungsprozess. Die Reihenfolge der unbekannten Variablen in den Gleichungen des Systems ist jedoch sehr wichtig bei der Zusammenstellung der Hauptmatrix und der notwendigen Determinanten der Cramer-Methode. Lassen Sie uns diesen Punkt anhand eines Beispiels verdeutlichen.

Beispiel.

Finden Sie mithilfe der Cramer-Methode eine Lösung für ein System aus drei linearen algebraischen Gleichungen mit drei Unbekannten .

Lösung.

In diesem Beispiel haben die unbekannten Variablen eine andere Notation (x, y und z statt x 1, x 2 und x 3). Dies hat keinen Einfluss auf die Lösung. Seien Sie jedoch vorsichtig mit Variablenbeschriftungen. Sie können es NICHT als Hauptmatrix des Systems betrachten . Es ist notwendig, zunächst die unbekannten Variablen in allen Gleichungen des Systems zu ordnen. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem um als . Jetzt ist die Hauptmatrix des Systems deutlich sichtbar . Berechnen wir seine Determinante:

Die Determinante der Hauptmatrix ist ungleich Null, daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Finden wir es mit der Cramer-Methode. Schreiben wir die Determinanten auf (Achten Sie auf die Schreibweise) und berechnen Sie diese:

Es bleibt, die unbekannten Variablen mithilfe der Formeln zu finden :

Lass uns das Prüfen. Multiplizieren Sie dazu die Hauptmatrix mit der resultierenden Lösung (ggf. siehe Abschnitt):

Als Ergebnis erhielten wir eine Spalte mit freien Termen des ursprünglichen Gleichungssystems, sodass die Lösung korrekt gefunden wurde.

Antwort:

x = 0, y = -2, z = 3.

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode , wobei a und b einige reelle Zahlen sind.

Lösung.

Antwort:

Beispiel.

Finden Sie die Lösung des Gleichungssystems nach Cramers Methode - eine reelle Zahl.

Lösung.

Berechnen wir die Determinante der Hauptmatrix des Systems: . Ausdruck ist ein Intervall, also für alle reellen Werte. Folglich hat das Gleichungssystem eine einzigartige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann. Wir berechnen und:

Berechnen Sie die Werte der Wurzeln des gebildeten Gleichungssystems mit zwei Methoden: der inversen Matrix und der Cramer-Methode.

Geben wir diese Werte in die Zellen A2:C4 – Matrix A und Zellen D2:D4 – Matrix B ein.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Methode der inversen Matrix

Finden wir die Matrixinverse der Matrix A. Dazu geben wir in Zelle A9 die Formel =MOBR(A2:C4) ein. Wählen Sie anschließend den Bereich A9:C11 aus, beginnend mit der Zelle, die die Formel enthält. Drücken Sie die Taste F2 und dann die Tasten STRG+UMSCHALT+EINGABETASTE. Die Formel wird als Arrayformel eingefügt. =MOBR(A2:C4).
Finden wir das Produkt der Matrizen A-1 * b. Geben Sie in den Zellen F9:F11 die Formel =MULTIPLE(A9:C11,D2:D4) als Arrayformel ein. Wir bekommen in den Zellen F9:F11 Wurzeln der Gleichung:

Lösen eines Gleichungssystems mit der Cramer-Methode

Lösen wir das System mit der Cramer-Methode, dafür ermitteln wir die Determinante der Matrix.
Finden wir die Determinanten der Matrizen, die wir erhalten, indem wir eine Spalte durch Spalte b ersetzen.

Geben Sie in Zelle B16 die Formel =MOPRED(D15:F17) ein.

Geben Sie in Zelle B17 die Formel =MOPRED(D19:F21) ein.

Geben Sie in Zelle B18 die Formel =MOPRED(D23:F25) ein.

Suchen wir die Wurzeln der Gleichung, dazu geben wir in Zelle B21 ein: =B16/$B$15, in Zelle B22 geben wir ein: = =B17/$B$15, in Zelle B23 geben wir ein: ==B18/$B$15 .

Lassen Sie uns die Wurzeln der Gleichung ermitteln:

Kurze Theorie aus dem Algebrakurs:

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem (1). Die Matrixmethode zur Lösung linearer Gleichungssysteme wird in Fällen verwendet, in denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist.

Lassen Sie uns einige Notationen einführen. Lassen A– Koeffizientenmatrix für Variablen, B– Vektor freier Mitglieder, X– Vektor variabler Werte. Dann X = A -1 × B, Wo A -1– Matrix, invers A. Darüber hinaus existiert die inverse Matrix A -1, wenn die Determinante der Matrix A ungleich 0 ist. Das Produkt der ursprünglichen Matrix A und der inversen Matrix A -1 muss gleich der Identitätsmatrix sein:

A -1 A=AA -1 =E.

Übung: Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem:

Arbeitstechnik:

Für den Bereich A11:C13 sei die Anfangsmatrix A gegeben, die aus den Koeffizienten des Systems besteht. Finden Sie zunächst die Determinante der Matrix A. Dazu müssen Sie in Zelle F15 aufrufen Funktionsassistent, In der Kategorie „ Links und Arrays" Finden Sie die Funktion MOPRED() , setzen Sie sein Argument auf A11:C13. Wir haben das Ergebnis 344 erhalten. Da die Determinante der ursprünglichen Matrix A ungleich 0 ist, d.h. Da es eine inverse Matrix gibt, besteht der nächste Schritt darin, die inverse Matrix zu finden. Wählen Sie dazu den Bereich A15:C17 aus, in dem die inverse Matrix platziert wird. Berufung Funktionsassistenten, in der Kategorie „ Links und Arrays" Finden Sie die Funktion MOBR( ), setzen Sie sein Argument auf A11:C13 und drücken Sie Umschalt+Strg+Eingabetaste. Um die Gültigkeit der inversen Matrix zu überprüfen, multiplizieren Sie sie mithilfe der Funktion mit dem Original MUMSULT() . Rufen Sie diese Funktion auf, indem Sie zunächst den Bereich A19:A21 auswählen. Geben Sie als Argumente die Originalmatrix A an, d.h. Bereich A11:C13 und die inverse Matrix, d.h. Bereich A15:C17 und drücken Sie Umschalt+Strg+Eingabetaste. Wir haben die Identitätsmatrix. Somit wurde die Umkehrmatrix korrekt gefunden. Um nun das Ergebnis zu finden, wählen Sie dafür den Bereich F18:F20 aus. Rufen Sie die Funktion auf MUMSULT() verwenden Funktionsassistenten, geben Sie zwei Bereichsarrays an, die Sie multiplizieren möchten – eine inverse Matrix und eine Spalte mit freien Elementen, d. h. A15:C17 und E11:E13 und drücken Sie Umschalt+Strg+Eingabetaste. Das Ergebnis ist in Abbildung 6 dargestellt.

Jetzt können Sie die Richtigkeit der gefundenen Lösungen überprüfen x 1, x 2 Und x 3. Berechnen Sie dazu jede Gleichung anhand der gefundenen Werte x 1, x 2 Und x 3. Berechnen Sie beispielsweise in Zelle G11 den Wert , und das Ergebnis sollte gleich 3 sein. Geben wir die folgende Formel ein =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Kopieren Sie diese Formel in die beiden Zellen unten, d.h. in G12 und G13. Holen Sie sich erneut eine Kolumne mit kostenlosen Mitgliedern. Damit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems korrekt abgeschlossen (Abb. 80).

Abbildung 80 – Lösung eines linearen Gleichungssystems

Optionen für individuelle Aufgaben

Aufgabe Nr. 1. Berechnen Sie mit Microsoft Excel den Wert des Ausdrucks:

Tabelle 16 – Individuelle Möglichkeiten der Laborarbeit

Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Dadurch wird der Lösungsprozess deutlich beschleunigt.

Mit der Methode von Cramer kann ein System aus so vielen linearen Gleichungen gelöst werden, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann die Cramer-Methode in der Lösung verwendet werden, wenn sie jedoch gleich Null ist, dann nicht. Darüber hinaus kann die Methode von Cramer verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.

Definition. Eine Determinante, die aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, wird als Determinante des Systems bezeichnet und mit (Delta) bezeichnet.

Determinanten

erhält man durch Ersetzen der Koeffizienten der entsprechenden Unbekannten durch freie Terme:

;

.

Satz von Cramer. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, dann hat das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung und die Unbekannte ist gleich dem Verhältnis der Determinanten. Der Nenner enthält die Determinante des Systems, und der Zähler enthält die Determinante, die man aus der Determinante des Systems erhält, indem man die Koeffizienten dieser Unbekannten durch freie Terme ersetzt. Dieser Satz gilt für ein System linearer Gleichungen beliebiger Ordnung.

Beispiel 1. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem:

Entsprechend Satz von Cramer wir haben:

Also die Lösung zu System (2):

Online-Rechner, Lösungsmethode nach Cramer.

Drei Fälle beim Lösen linearer Gleichungssysteme

Wie aus klar hervorgeht Satz von Cramer Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Ein lineares Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(Das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(Das System ist konsistent und unsicher)

** ,

diese. Die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(Das System ist inkonsistent)

Also das System M lineare Gleichungen mit N sogenannte Variablen unvereinbar, wenn sie keine einzige Lösung hat, und gemeinsam, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein simultanes Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, heißt bestimmt, und mehr als eine – unsicher.

Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode

Das System sei gegeben

.

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

Wo
-

Systemdeterminante. Die restlichen Determinanten erhalten wir, indem wir die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Terme ersetzen:

Beispiel 2.

.

Daher ist das System eindeutig. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Mit Cramers Formeln finden wir:

Daher ist (1; 0; -1) die einzige Lösung für das System.

Um Lösungen für die Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie einen Online-Rechner verwenden, der die Lösungsmethode von Cramer verwendet.

Wenn es in einem linearen Gleichungssystem keine Variablen in einer oder mehreren Gleichungen gibt, dann sind in der Determinante die entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.

Beispiel 3. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

.

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also ungleich Null, daher ist das System definit. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Mit Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

Um Lösungen für die Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie einen Online-Rechner verwenden, der die Lösungsmethode von Cramer verwendet.

Seitenanfang

Wir lösen weiterhin gemeinsam Systeme mit der Cramer-Methode

Wie bereits erwähnt, ist das System inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen, wenn die Determinante des Systems gleich Null ist und die Determinanten der Unbekannten ungleich Null sind. Lassen Sie uns das anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 6. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Die Determinante des Systems ist gleich Null, daher ist das lineare Gleichungssystem entweder inkonsistent und eindeutig oder inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen. Zur Verdeutlichung berechnen wir Determinanten für Unbekannte

Die Determinanten der Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen.

Um Lösungen für die Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie einen Online-Rechner verwenden, der die Lösungsmethode von Cramer verwendet.

Bei Problemen mit linearen Gleichungssystemen gibt es auch solche, bei denen neben Buchstaben, die Variablen bezeichnen, auch andere Buchstaben vorkommen. Diese Buchstaben stellen eine Zahl dar, meist eine echte Zahl. In der Praxis führen solche Gleichungen und Gleichungssysteme zu Problemen bei der Suche nach allgemeinen Eigenschaften beliebiger Phänomene oder Objekte. Das heißt, Sie haben ein neues Material oder Gerät erfunden und müssen zur Beschreibung seiner Eigenschaften, die unabhängig von der Größe oder Menge der Probe gleich sind, ein System linearer Gleichungen lösen, in dem es anstelle einiger Koeffizienten für Variablen solche gibt Briefe. Nach Beispielen muss man nicht lange suchen.

Das folgende Beispiel bezieht sich auf ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine bestimmte reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.

Beispiel 8. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Determinanten für Unbekannte finden