Geben Sie die assoziative Eigenschaft der Multiplikation an. Lösung mündlicher Übungen. Eigenschaften der Division ganzer Zahlen

Zeichnen wir ein Rechteck mit den Seitenlängen 5 cm und 3 cm auf ein kariertes Papier. Teilen Sie es in Quadrate mit den Seitenlängen 1 cm (Abb. 143). Zählen wir die Anzahl der Zellen im Rechteck. Dies kann beispielsweise so erfolgen.

Die Anzahl der Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm beträgt 5 * 3. Jedes dieser Quadrate besteht aus vier Zellen. Daher beträgt die Gesamtzahl der Zellen (5 * 3) * 4.

Das gleiche Problem kann anders gelöst werden. Jede der fünf Spalten des Rechtecks ​​​​besteht aus drei Quadraten mit einer Seitenlänge von 1 cm. Daher enthält eine Spalte 3 * 4 Zellen. Daher gibt es insgesamt 5 * (3 * 4) Zellen.

Das Zählen der Zellen in Abbildung 143 verdeutlicht dies auf zwei Arten assoziative Eigenschaft der Multiplikation für die Nummern 5, 3 und 4. Wir haben: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.

(ab)c = a(bc)

Aus den kommutativen und kombinatorischen Eigenschaften der Multiplikation folgt, dass bei der Multiplikation mehrerer Zahlen die Faktoren vertauscht und in Klammern gesetzt werden können und so die Reihenfolge der Berechnungen festgelegt wird.

Beispielsweise gelten die folgenden Gleichheiten:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

In Abbildung 144 teilt das Segment AB das oben diskutierte Rechteck in ein Rechteck und ein Quadrat.

Zählen wir die Anzahl der Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm auf zwei Arten.

Einerseits enthält das resultierende Quadrat 3 * 3 davon und das Rechteck enthält 3 * 2. Insgesamt erhalten wir 3 * 3 + 3 * 2 Quadrate. Andererseits gibt es in jeder der drei Linien dieses Rechtecks ​​​​3 + 2 Quadrate. Dann beträgt ihre Gesamtzahl 3 * (3 + 2).

Gleich 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 veranschaulicht Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Um eine Zahl mit der Summe zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Summanden multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

In wörtlicher Form wird diese Eigenschaft wie folgt geschrieben:

a(b + c) = ab + ac

Aus der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition folgt dies

ab + ac = a(b + c).

Diese Gleichheit ermöglicht es, mit der Formel P = 2 a + 2 b den Umfang eines Rechtecks ​​zu ermitteln, das in dieser Form geschrieben werden kann:

P = 2 (a + b).

Beachten Sie, dass die Verteilungseigenschaft für drei oder mehr Begriffe gültig ist. Zum Beispiel:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion gilt ebenfalls: Wenn b > c oder b = c, dann

a(b − c) = ab − ac

Beispiel 1 . Berechnen Sie bequem:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Wir verwenden die kommutativen und dann die assoziativen Eigenschaften der Multiplikation:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Wir haben:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Beispiel 2 . Den Ausdruck vereinfachen:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Multiplikation erhalten wir:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Unter Verwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion erhalten wir:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Beispiel 3 . Schreiben Sie den Ausdruck 5 (2 m + 7) so, dass er keine Klammern enthält.

Gemäß der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition gilt:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Diese Transformation heißt öffnende Klammern.

Beispiel 4 . Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 125 * 24 * 283 auf bequeme Weise.

Lösung. Wir haben:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Beispiel 5 . Führen Sie die Multiplikation durch: 3 Tage 18 Stunden * 6.

Lösung. Wir haben:

3 Tage 18 Stunden * 6 = 18 Tage 108 Stunden = 22 Tage 12 Stunden.

Bei der Lösung des Beispiels wurde die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition verwendet:

3 Tage 18 Stunden * 6 = (3 Tage + 18 Stunden) * 6 = 3 Tage * 6 + 18 Stunden * 6 = 18 Tage + 108 Stunden = 18 Tage + 96 Stunden + 12 Stunden = 18 Tage + 4 Tage + 12 Stunden = 22 Tage 12 Stunden.

Lernziele:

1. Erhalten Sie Gleichungen, die die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition und Subtraktion ausdrücken.
2. Bringen Sie den Schülern bei, diese Eigenschaft von links nach rechts anzuwenden.
3. Zeigen Sie die wichtige praktische Bedeutung dieser Eigenschaft.
4. Um logisches Denken bei Schülern zu entwickeln. Computerkenntnisse stärken.

Ausrüstung: Computer, Poster mit Multiplikationseigenschaften, mit Bildern von Autos und Äpfeln, Karten.

Während des Unterrichts

1. Einführungsrede des Lehrers.

Heute werden wir uns in der Lektion mit einer weiteren Eigenschaft der Multiplikation befassen, die von großer praktischer Bedeutung ist; sie hilft, mehrstellige Zahlen schnell zu multiplizieren. Wiederholen wir die zuvor untersuchten Eigenschaften der Multiplikation. Während wir uns mit einem neuen Thema befassen, überprüfen wir unsere Hausaufgaben.

2. Lösung mündlicher Übungen.

ICH. Schreibe an die Tafel:

1 – Montag
2 – Dienstag
3 – Mittwoch
4 – Donnerstag
5 – Freitag
6 – Samstag
7 – Sonntag

Übung. Denken Sie an den Wochentag. Multiplizieren Sie die Zahl des geplanten Tages mit 2. Addieren Sie 5 zum Produkt. Multiplizieren Sie den Betrag mit 5. Erhöhen Sie das Produkt um das Zehnfache. Benennen Sie das Ergebnis. Du hast dir... einen Tag gewünscht.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. Aufgabe aus dem elektronischen Lehrbuch „Mathematik 5-11 Klassen. Neue Möglichkeiten, ein Mathematikstudium zu meistern. Werkstatt". „Drofa“ LLC 2004, „DOS“ LLC 2004, CD-ROM, NFPC.“ Abschnitt „Mathematik. Ganzzahlen". Aufgabe Nr. 8. Express-Kontrolle. Füllen Sie die leeren Zellen in der Kette aus. Variante 1.

III. Auf dem Schreibtisch:

• a+b
• (a + b) * c
• m–n
• m*c–n*c

2) Vereinfachen:

• 5*x*6*y
• 3*2*a
• a * 8 * 7
• 3 * a * b

3) Bei welchen Werten von x wird die Gleichheit wahr:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Warum?

Welche Eigenschaften der Multiplikation wurden verwendet?

3. Neues Material studieren.

An der Tafel hängt ein Poster mit Bildern von Autos.

Bild 1.

Aufgabe für 1 Schülergruppe (Jungen).

In der Garage gibt es 2 Reihen mit LKWs und Autos. Schreiben Sie Ausdrücke auf.

1. Wie viele LKWs stehen in der 1. Reihe? Wie viele Autos?
2. Wie viele LKWs befinden sich in der 2. Reihe? Wie viele Autos?
3. Wie viele Autos stehen insgesamt in der Garage?
4. Wie viele LKWs stehen in der 1. Reihe? Wie viele LKWs stehen in zwei Reihen?
5. Wie viele Autos stehen in der 1. Reihe? Wie viele Autos stehen in zwei Reihen?
6. Wie viele Autos stehen in der Garage?

Finden Sie die Werte der Ausdrücke 3 und 6. Vergleichen Sie diese Werte. Notieren Sie die Ausdrücke in Ihrem Notizbuch. Lesen Sie Gleichheit.

Aufgabe für Gruppe 2 von Schülern (Jungen).

In der Garage gibt es 2 Reihen mit LKWs und Autos. Was bedeuten die Ausdrücke:

• 4 – 3
• 4 * 2
• 3 * 2
• (4 – 3) * 2
• 4 * 2 – 3 * 2

Finden Sie die Werte der letzten beiden Ausdrücke.

Das bedeutet, dass Sie zwischen diesen Ausdrücken ein =-Zeichen setzen können.

Lesen wir die Gleichheit: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

Poster mit Bildern von roten und grünen Äpfeln.

Figur 2.

Aufgabe für Schüler der Gruppe 3 (Mädchen).

Erfinde Ausdrücke.

1. Welche Masse haben ein roter und ein grüner Apfel zusammen?
2. Wie groß ist die Masse aller Äpfel zusammen?
3. Wie groß ist die Masse aller roten Äpfel zusammen?
4. Wie groß ist die Masse aller grünen Äpfel zusammen?
5. Welche Masse haben alle Äpfel?

Finden Sie die Werte der Ausdrücke 2 und 5 und vergleichen Sie sie. Schreiben Sie diesen Ausdruck in Ihr Notizbuch. Lesen.

Aufgabe für Schüler der Gruppe 4 (Mädchen).

Die Masse eines roten Apfels beträgt 100 g, die eines grünen Apfels 80 g.

Erfinde Ausdrücke.

1. Um wie viel g ist die Masse eines roten Apfels größer als die eines grünen?
2. Welche Masse haben alle roten Äpfel?
3. Welche Masse haben alle grünen Äpfel?
4. Um wie viel Gramm ist die Masse aller roten Äpfel größer als die Masse grüner Äpfel?

Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke 2 und 5. Vergleichen Sie sie. Lesen Sie Gleichheit. Sind die Gleichheiten nur für diese Zahlen wahr?

4. Hausaufgaben überprüfen.

Übung. Stellen Sie anhand einer kurzen Beschreibung der Problembedingungen die Hauptfrage, verfassen Sie einen Ausdruck und ermitteln Sie seinen Wert für gegebene Werte der Variablen.

1 Gruppe

Finden Sie den Wert des Ausdrucks, wenn a = 82, b = 21, c = 2.

2. Gruppe

Finden Sie den Wert des Ausdrucks für a = 82, b = 21, c = 2.

3 Gruppe

Finden Sie den Wert des Ausdrucks für a = 60, b = 40, c = 3.

4 Gruppe

Finden Sie den Wert des Ausdrucks für a = 60, b = 40, c = 3.

Arbeiten Sie im Klassenzimmer.

Ausdruckswerte vergleichen.

Für Gruppen 1 und 2: (a + b) * c und a * c + b * c

Für die Gruppen 3 und 4: (a – b) * c und a * c – b * c

(a + b) * c = a * c + b * c
(a – b) * c = a * c – b * c

Für alle Zahlen a, b, c gilt also:

• Wenn Sie eine Summe mit einer Zahl multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.
• Wenn Sie die Differenz mit einer Zahl multiplizieren, können Sie Minuend und Subtrahend mit dieser Zahl multiplizieren und die Sekunde vom ersten Produkt subtrahieren.
• Bei der Multiplikation einer Summe oder Differenz mit einer Zahl wird die Multiplikation auf jede in Klammern eingeschlossene Zahl verteilt. Daher wird diese Eigenschaft der Multiplikation als Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf Addition und Subtraktion bezeichnet.

Lesen wir die Formulierung der Eigenschaft aus dem Lehrbuch.

5. Konsolidierung von neuem Material.

Schließe #548 ab. Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation an.

• (68 + a) * 2
• 17 * (14 – x)
• (b – 7) * 5
• 13 * (2 + y)

1) Wählen Sie Aufgaben zur Bewertung aus.

Aufgaben mit der Note „5“.

Beispiel 1. Ermitteln wir den Wert des Produkts 42 * 50. Stellen wir uns die Zahl 42 als Summe der Zahlen 40 und 2 vor.

Wir erhalten: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Jetzt wenden wir die Verteilungseigenschaft an:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Lösen Sie Nr. 546 auf ähnliche Weise:

a) 91 * 8
c) 6 * 52
e) 202 * 3
g) 24 * 11
h) 35 * 12
i) 4 * 505

Stellen Sie die Zahlen 91,52, 202, 11, 12, 505 als Summe von Zehnern und Einsen dar und wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition an.

Beispiel 2. Finden wir den Wert des Produkts 39 * 80.

Stellen wir uns die Zahl 39 als die Differenz zwischen 40 und 1 vor.

Wir erhalten: 39 * 80 = (40 – 1) = 40 * 80 – 1 * 80 = 3.200 – 80 = 3.120.

Lösen Sie ab Nr. 546:

b) 7 * 59
e) 397 * 5
d) 198 * 4
j) 25 * 399

Stellen Sie die Zahlen 59, 397, 198, 399 als Differenz zwischen Zehnern und Einsen dar und wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion an.

Aufgaben mit der Note „4“.

Lösen Sie nach Nr. 546 (a, c, d, g, h, i). Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition an.

Lösen Sie nach Nr. 546 (b, d, f, j). Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion an.

Aufgaben mit der Note „3“.

Lösen Sie Nr. 546 (a, c, d, g, h, i). Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition an.

Lösen Sie Nr. 546 (b, d, f, j).

Um Aufgabe Nr. 552 zu lösen, verfassen Sie einen Ausdruck und erstellen Sie eine Zeichnung.

Die Entfernung zwischen den beiden Dörfern beträgt 18 km. Zwei Radfahrer fuhren in unterschiedliche Richtungen davon. Einer legt m km pro Stunde zurück, der andere n km. Wie groß wird der Abstand zwischen ihnen nach 4 Stunden sein?

(Mündlich. Beispiele stehen auf der Rückseite der Tafel.)

Ersetzen Sie durch die fehlenden Zahlen:

Aufgabe aus dem elektronischen Lehrbuch „Mathematik 5-11 Klassen. Neue Möglichkeiten, ein Mathematikstudium zu meistern. Werkstatt". „Drofa“ LLC 2004, „DOS“ LLC 2004, CD-ROM, NFPC.“ Abschnitt „Mathematik. Ganzzahlen". Aufgabe Nr. 7. Express-Kontrolle. Fehlende Nummern wiederherstellen.

6. Zusammenfassung der Lektion.

Wir haben uns also die Verteilungseigenschaft der Multiplikation im Verhältnis zur Addition und Subtraktion angesehen. Wiederholen wir die Formulierung der Eigenschaft und lesen wir die Gleichungen, die die Eigenschaft ausdrücken. Die Anwendung der Verteilungseigenschaft der Links-nach-rechts-Multiplikation kann durch die Bedingung „offene Klammern“ ausgedrückt werden, da auf der linken Seite der Gleichheit der Ausdruck in Klammern eingeschlossen war, auf der rechten Seite jedoch keine Klammern. Bei der Lösung mündlicher Übungen zum Erraten des Wochentags haben wir auch die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition genutzt.

(Nr. * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * Nr. + 250 und löste dann eine Gleichung der Form:
100 * Nein + 250 = a

Wir haben Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division ganzer Zahlen definiert. Diese Aktionen (Operationen) haben eine Reihe charakteristischer Ergebnisse, die als Eigenschaften bezeichnet werden. In diesem Artikel betrachten wir die grundlegenden Eigenschaften des Addierens und Multiplizierens ganzer Zahlen, aus denen sich alle anderen Eigenschaften dieser Aktionen ergeben, sowie die Eigenschaften des Subtrahierens und Dividierens ganzer Zahlen.

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Die Addition ganzer Zahlen hat mehrere weitere sehr wichtige Eigenschaften.

Einer davon hängt mit der Existenz von Null zusammen. Diese Eigenschaft der Addition ganzer Zahlen besagt Folgendes Das Hinzufügen von Null zu einer Ganzzahl ändert diese Zahl nicht. Schreiben wir diese Eigenschaft der Addition mit Buchstaben: a+0=a und 0+a=a (diese Gleichheit gilt aufgrund der kommutativen Eigenschaft der Addition), a ist eine beliebige ganze Zahl. Sie hören vielleicht, dass die ganze Zahl Null zusätzlich als neutrales Element bezeichnet wird. Lassen Sie uns ein paar Beispiele nennen. Die Summe der ganzen Zahl −78 und Null ist −78; Wenn Sie die positive ganze Zahl 999 zu Null addieren, ist das Ergebnis 999.

Nun werden wir eine weitere Eigenschaft der Addition ganzer Zahlen formulieren, die mit der Existenz einer Gegenzahl für jede ganze Zahl verbunden ist. Die Summe jeder ganzen Zahl mit ihrer Gegenzahl ist Null. Geben wir die wörtliche Schreibweise dieser Eigenschaft an: a+(−a)=0, wobei a und −a entgegengesetzte ganze Zahlen sind. Beispielsweise ist die Summe 901+(−901) Null; Ebenso ist die Summe der entgegengesetzten ganzen Zahlen −97 und 97 Null.

Grundlegende Eigenschaften der Multiplikation ganzer Zahlen

Die Multiplikation ganzer Zahlen weist alle Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen auf. Lassen Sie uns die wichtigsten dieser Eigenschaften auflisten.

So wie Null in Bezug auf die Addition eine neutrale ganze Zahl ist, ist Eins in Bezug auf die ganzzahlige Multiplikation eine neutrale ganze Zahl. Also, Das Multiplizieren einer beliebigen Ganzzahl mit eins ändert nichts an der multiplizierten Zahl. Also 1·a=a, wobei a eine beliebige ganze Zahl ist. Die letzte Gleichung kann als a·1=a umgeschrieben werden. Dadurch können wir die kommutative Eigenschaft der Multiplikation erstellen. Lassen Sie uns zwei Beispiele nennen. Das Produkt der ganzen Zahl 556 mal 1 ist 556; Das Produkt aus Eins und der negativen ganzen Zahl −78 ist gleich −78.

Die nächste Eigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen bezieht sich auf die Multiplikation mit Null. Das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen ganzen Zahl a mit Null ist Null, also a·0=0 . Aufgrund der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen gilt auch die Gleichheit 0·a=0. Im Sonderfall a=0 ist das Produkt aus Null und Null gleich Null.

Für die Multiplikation ganzer Zahlen gilt auch die umgekehrte Eigenschaft zur vorherigen. Das wird behauptet Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. In wörtlicher Form kann diese Eigenschaft wie folgt geschrieben werden: a·b=0, wenn entweder a=0 oder b=0 oder sowohl a als auch b gleichzeitig gleich Null sind.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen relativ zur Addition

Die gemeinsame Addition und Multiplikation ganzer Zahlen ermöglicht es uns, die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition zu berücksichtigen, die die beiden angegebenen Aktionen verbindet. Die gemeinsame Verwendung von Addition und Multiplikation eröffnet zusätzliche Möglichkeiten, die uns entgehen würden, wenn wir die Addition getrennt von der Multiplikation betrachten würden.

Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition besagt also, dass das Produkt einer ganzen Zahl a und der Summe zweier ganzer Zahlen a und b gleich der Summe der Produkte a b und a c ist, d. h. a·(b+c)=a·b+a·c. Die gleiche Eigenschaft kann in einer anderen Form geschrieben werden: (a+b)c=ac+bc .

Die distributive Eigenschaft der Multiplikation ganzer Zahlen relativ zur Addition ermöglicht uns zusammen mit der kombinatorischen Eigenschaft der Addition, die Multiplikation einer ganzen Zahl mit der Summe von drei oder mehr ganzen Zahlen und dann die Multiplikation der Summe der ganzen Zahlen mit der Summe zu bestimmen.

Beachten Sie auch, dass alle anderen Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen aus den von uns angegebenen Eigenschaften abgeleitet werden können, das heißt, sie sind Konsequenzen der oben angegebenen Eigenschaften.

Eigenschaften der Subtraktion von ganzen Zahlen

Aus der resultierenden Gleichheit sowie aus den Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen ergeben sich die folgenden Eigenschaften der Subtraktion ganzer Zahlen (a, b und c sind beliebige ganze Zahlen):

• Die Subtraktion ganzer Zahlen hat im Allgemeinen NICHT die kommutative Eigenschaft: a−b≠b−a.
• Die Differenz gleicher ganzer Zahlen ist Null: a−a=0.
• Die Eigenschaft, die Summe zweier Ganzzahlen von einer gegebenen Ganzzahl zu subtrahieren: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Die Eigenschaft, eine ganze Zahl von der Summe zweier ganzer Zahlen zu subtrahieren: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion: a·(b−c)=a·b−a·c und (a−b)·c=a·c−b·c.
• Und alle anderen Eigenschaften der Subtraktion von ganzen Zahlen.

Eigenschaften der Division ganzer Zahlen

Bei der Diskussion über die Bedeutung der Division ganzer Zahlen haben wir herausgefunden, dass die Division ganzer Zahlen die Umkehrung der Multiplikation ist. Wir haben die folgende Definition gegeben: Beim Dividieren ganzer Zahlen wird ein unbekannter Faktor aus einem bekannten Produkt und einem bekannten Faktor ermittelt. Das heißt, wir nennen die ganze Zahl c den Quotienten der Division der ganzen Zahl a durch die ganze Zahl b, wenn das Produkt c·b gleich a ist.

Diese Definition sowie alle oben diskutierten Eigenschaften von Operationen an ganzen Zahlen ermöglichen es, die Gültigkeit der folgenden Eigenschaften der Division von ganzen Zahlen festzustellen:

• Keine ganze Zahl kann durch Null geteilt werden.
• Die Eigenschaft, Null durch eine beliebige ganze Zahl a außer Null zu dividieren: 0:a=0.
• Eigenschaft zur Division gleicher Ganzzahlen: a:a=1, wobei a eine beliebige ganze Zahl außer Null ist.
• Die Eigenschaft, eine beliebige ganze Zahl a durch eins zu dividieren: a:1=a.
• Im Allgemeinen hat die Division ganzer Zahlen NICHT die kommutative Eigenschaft: a:b≠b:a .
• Eigenschaften der Division der Summe und Differenz zweier Ganzzahlen durch eine Ganzzahl: (a+b):c=a:c+b:c und (a−b):c=a:c−b:c, wobei a, b , und c sind ganze Zahlen, sodass sowohl a als auch b durch c teilbar sind und c ungleich Null ist.
• Die Eigenschaft, das Produkt zweier ganzen Zahlen a und b durch eine ganze Zahl c ungleich Null zu dividieren: (a·b):c=(a:c)·b, wenn a durch c teilbar ist; (a·b):c=a·(b:c) , wenn b durch c teilbar ist; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) wenn sowohl a als auch b durch c teilbar sind.
• Die Eigenschaft, eine ganze Zahl a durch das Produkt zweier ganzer Zahlen b und c zu dividieren (die Zahlen a , b und c sind so beschaffen, dass eine Division von a durch b c möglich ist): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Alle anderen Eigenschaften der Division ganzer Zahlen.

Betrachten wir ein Beispiel, das die Gültigkeit der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen bestätigt. Ab Bedeutung der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen, berechnen Sie das Produkt der Zahlen 2 und 6 sowie das Produkt der Zahlen 6 und 2 und prüfen Sie die Gleichheit der Multiplikationsergebnisse. Das Produkt der Zahlen 6 und 2 ist gleich der Summe 6+6, aus der Additionstabelle ergibt sich 6+6=12. Und das Produkt der Zahlen 2 und 6 ist gleich der Summe 2+2+2+2+2+2, was gleich 12 ist (siehe ggf. das Artikelmaterial). Addieren von drei oder mehr Zahlen). Daher ist 6·2=2·6.

Hier ist ein Bild, das die kommutative Eigenschaft der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen veranschaulicht.

Kombinationseigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen.

Lassen Sie uns die kombinatorische Eigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen aussprechen: Eine gegebene Zahl mit einem gegebenen Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren ist dasselbe wie eine gegebene Zahl mit dem ersten Faktor zu multiplizieren und das resultierende Ergebnis mit dem zweiten Faktor zu multiplizieren. Also, a·(b·c)=(a·b)·c, wobei a , b und c beliebige natürliche Zahlen sein können (die Ausdrücke, deren Werte zuerst berechnet werden, sind in Klammern eingeschlossen).

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die assoziative Eigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen zu bestätigen. Berechnen wir das Produkt 4·(3·2) . Gemäß der Bedeutung der Multiplikation haben wir 3·2=3+3=6, dann 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. Jetzt multiplizieren wir (4·3)·2. Da 4·3=4+4+4=12, dann ist (4·3)·2=12·2=12+12=24. Somit ist die Gleichung 4·(3·2)=(4·3)·2 wahr und bestätigt die Gültigkeit der betreffenden Eigenschaft.

Lassen Sie uns eine Zeichnung zeigen, die die assoziative Eigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen veranschaulicht.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die assoziative Eigenschaft der Multiplikation uns eine eindeutige Bestimmung ermöglicht Multiplikation von drei oder mehr natürlichen Zahlen.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Die folgende Eigenschaft verbindet Addition und Multiplikation. Es ist wie folgt formuliert: Die Multiplikation einer gegebenen Summe zweier Zahlen mit einer gegebenen Zahl ist dasselbe wie die Addition des Produkts aus dem ersten Term und einer gegebenen Zahl mit dem Produkt aus dem zweiten Term und einer gegebenen Zahl. Dies ist die sogenannte Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Mit Buchstaben wird die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition geschrieben als (a+b)c=ac+bc(im Ausdruck a·c+b·c wird zuerst die Multiplikation durchgeführt, danach erfolgt die Addition; weitere Details dazu finden Sie im Artikel), wobei a, b und c beliebige natürliche Zahlen sind. Beachten Sie, dass die Kraft der kommutativen Eigenschaft der Multiplikation, der Verteilungseigenschaft der Multiplikation, in der folgenden Form geschrieben werden kann: a·(b+c)=a·b+a·c.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Verteilungseigenschaft der Multiplikation natürlicher Zahlen bestätigt. Überprüfen wir die Gültigkeit der Gleichung (3+4)·2=3·2+4·2. Wir haben (3+4) 2=7 2=7+7=14 und 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, daher ist die Gleichheit ( 3+ 4) 2=3 2+4 2 ist richtig.

Lassen Sie uns eine Zahl zeigen, die der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition entspricht.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion.

Wenn wir uns an die Bedeutung der Multiplikation halten, dann ist das Produkt 0·n, wobei n eine beliebige natürliche Zahl größer als eins ist, die Summe von n Termen, von denen jeder gleich Null ist. Auf diese Weise, . Eigenschaften der Addition Erlauben Sie uns zu behaupten, dass die letztgenannte Summe Null ist.

Somit gilt für jede natürliche Zahl n die Gleichung 0·n=0.

Damit die kommutative Eigenschaft der Multiplikation gültig bleibt, akzeptieren wir auch die Gültigkeit der Gleichung n·0=0 für jede natürliche Zahl n.

Also, Das Produkt aus Null und einer natürlichen Zahl ist Null, also 0 n=0 Und n·0=0, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Die letzte Aussage ist eine Formulierung der Eigenschaft der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit Null.

Abschließend geben wir einige Beispiele im Zusammenhang mit der in diesem Absatz besprochenen Multiplikationseigenschaft. Das Produkt der Zahlen 45 und 0 ist gleich Null. Wenn wir 0 mit 45.970 multiplizieren, erhalten wir ebenfalls Null.

Jetzt können Sie sicher mit dem Studium der Regeln beginnen Multiplikation natürlicher Zahlen.

Referenzliste.

• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.