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Der Satz ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Mathematik-Unterrichtsprojekt „Theorem invers zum Satz des Pythagoras“. Formeln des Satzes des Pythagoras

Lernziele:

Lehrreich: Formulieren und beweisen Sie den Satz des Pythagoras und den Umkehrsatz des Satzes des Pythagoras. Zeigen Sie ihre historische und praktische Bedeutung.

Entwicklung: Entwicklung der Aufmerksamkeit, des Gedächtnisses, des logischen Denkens der Schüler, der Fähigkeit zum Denken, Vergleichen und Ziehen von Schlussfolgerungen.

Lehrreich: Interesse und Liebe für das Fach, Genauigkeit und die Fähigkeit, Kameraden und Lehrern zuzuhören, zu fördern.

Ausrüstung: Porträt des Pythagoras, Poster mit Aufgaben zur Vertiefung, Lehrbuch „Geometrie“ für die Klassen 7-9 (I.F. Sharygin).

Unterrichtsplan:

I. Organisatorischer Moment – 1 Minute.

II. Hausaufgaben überprüfen – 7 Min.

III. Einführungsvortrag des Lehrers, historischer Hintergrund – 4-5 Min.

IV. Formulierung und Beweis des Satzes des Pythagoras – 7 Min.

V. Formulierung und Beweis des Satzes umgekehrt zum Satz des Pythagoras – 5 Min.

Neues Material konsolidieren:

a) mündlich – 5-6 Minuten.
b) schriftlich – 7-10 Minuten.

VII. Hausaufgabe – 1 Min.

VIII. Zusammenfassung der Lektion – 3 Min.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II. Hausaufgaben überprüfen.

Abschnitt 7.1, Nr. 3 (an der Tafel gemäß der fertigen Zeichnung).

Zustand: Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in Segmente der Länge 1 und 2. Finden Sie die Schenkel dieses Dreiecks.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = h C

Zusatzfrage: Schreiben Sie die Verhältnisse in ein rechtwinkliges Dreieck.

Abschnitt 7.1, Nr. 5. Schneiden Sie das rechtwinklige Dreieck in drei ähnliche Dreiecke.

Erklären.

ASN ~ ABC ~ SVN

(Machen Sie die Schüler auf die korrekte Schreibweise der entsprechenden Eckpunkte ähnlicher Dreiecke aufmerksam)

III. Einführungsvortrag des Lehrers, historischer Hintergrund.

Die Wahrheit wird ewig bleiben, sobald ein schwacher Mensch sie erkennt!

Und jetzt ist der Satz des Pythagoras wahr, wie in seiner fernen Zeit.

Es ist kein Zufall, dass ich meinen Unterricht mit den Worten des deutschen Schriftstellers Chamisso begann. In unserer heutigen Lektion geht es um den Satz des Pythagoras. Schreiben wir das Thema der Lektion auf.

Vor Ihnen liegt ein Porträt des großen Pythagoras. Geboren 576 v. Chr. Nachdem er 80 Jahre gelebt hatte, starb er 496 v. Chr. Bekannt als antiker griechischer Philosoph und Lehrer. Er war der Sohn des Kaufmanns Mnesarchos, der ihn oft auf Reisen mitnahm, wodurch der Junge Neugier und den Wunsch entwickelte, Neues zu lernen. Pythagoras ist ein Spitzname, der ihm wegen seiner Beredsamkeit gegeben wurde („Pythagoras“ bedeutet „überzeugend durch Sprache“). Er selbst hat nichts geschrieben. Alle seine Gedanken wurden von seinen Schülern aufgezeichnet. Als Ergebnis seiner ersten Vorlesung gewann Pythagoras 2000 Schüler, die zusammen mit ihren Frauen und Kindern eine riesige Schule gründeten und einen Staat namens „Großgriechenland“ gründeten, der auf den Gesetzen und Regeln des verehrten Pythagoras basierte als göttliche Gebote. Er war der erste, der seine Überlegungen zum Sinn des Lebens als Philosophie (Philosophie) bezeichnete. Er neigte zu Mystifizierung und demonstrativem Verhalten. Eines Tages versteckte sich Pythagoras unter der Erde und erfuhr von seiner Mutter alles, was geschah. Dann, verdorrt wie ein Skelett, erklärte er in einer öffentlichen Versammlung, er sei im Hades gewesen und zeigte ein erstaunliches Wissen über irdische Ereignisse. Dafür erkannten die berührten Bewohner ihn als Gott. Pythagoras weinte nie und war im Allgemeinen gegenüber Leidenschaften und Aufregung unzugänglich. Er glaubte, dass er aus einem Samen stammte, der besser war als der eines Menschen. Das ganze Leben von Pythagoras ist eine Legende, die bis in unsere Zeit zurückreicht und uns vom talentiertesten Mann der Antike erzählt.

IV. Formulierung und Beweis des Satzes des Pythagoras.

Die Formulierung des Satzes des Pythagoras kennen Sie aus Ihrem Algebrakurs. Erinnern wir uns an sie.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Dieser Satz war jedoch schon viele Jahre vor Pythagoras bekannt. 1500 Jahre vor Pythagoras wussten die alten Ägypter, dass ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechteckig ist, und nutzten diese Eigenschaft, um bei der Planung von Grundstücken und beim Bau von Gebäuden rechte Winkel zu konstruieren. Im ältesten uns überlieferten chinesischen mathematischen und astronomischen Werk „Zhiu-bi“, das 600 Jahre vor Pythagoras verfasst wurde, ist neben anderen Vorschlägen zum rechtwinkligen Dreieck auch der Satz des Pythagoras enthalten. Schon früher war dieser Satz den Hindus bekannt. Pythagoras hat diese Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks also nicht entdeckt; er war wahrscheinlich der Erste, der sie verallgemeinerte und bewies, um sie aus dem Bereich der Praxis auf den Bereich der Wissenschaft zu übertragen.

Seit der Antike finden Mathematiker immer mehr Beweise für den Satz des Pythagoras. Mehr als eineinhalbhundert davon sind bekannt. Erinnern wir uns an den algebraischen Beweis des Satzes des Pythagoras, den wir aus dem Algebrakurs kennen. („Mathematik. Algebra. Funktionen. Datenanalyse“ G.V. Dorofeev, M., „Drofa“, 2000).

Bitten Sie die Schüler, sich den Beweis für die Zeichnung zu merken und ihn an die Tafel zu schreiben.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Die alten Hindus, zu denen diese Argumentation gehört, schrieben sie normalerweise nicht auf, sondern begleiteten die Zeichnung nur mit einem Wort: „Schau.“

Betrachten wir in einer modernen Darstellung einen der Beweise von Pythagoras. Zu Beginn der Lektion erinnerten wir uns an den Satz über Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Fügen wir die letzten beiden Gleichungen Term für Term hinzu:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Trotz der scheinbaren Einfachheit dieses Beweises ist er bei weitem nicht der einfachste. Denn dazu war es notwendig, die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck zu zeichnen und ähnliche Dreiecke zu berücksichtigen. Bitte notieren Sie diesen Nachweis in Ihrem Notizbuch.

V. Formulierung und Beweis des Satzes umgekehrt zum Satz des Pythagoras.

Welcher Satz heißt die Umkehrung dieses Satzes? (...wenn Bedingung und Schlussfolgerung vertauscht sind.)

Versuchen wir nun, den umgekehrten Satz zum Satz des Pythagoras zu formulieren.

Wenn in einem Dreieck mit den Seiten a, b und c die Gleichheit c 2 = a 2 + b 2 erfüllt ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig und der rechte Winkel ist der Seite c entgegengesetzt.

(Beweis des Umkehrsatzes auf dem Poster)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Beweisen:

ABC - rechteckig,

Nachweisen:

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck A 1 B 1 C 1,

wobei C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Das heißt, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC auf drei Seiten ABC ist rechteckig

C = 90°, was nachgewiesen werden musste.

VI. Festigung des gelernten Stoffes (mündlich).

1. Basierend auf einem Poster mit vorgefertigten Zeichnungen.

Abb. 1: Finden Sie AD, wenn ВD = 8, ВDA = 30°.

Abb.2: Finden Sie CD, wenn BE = 5, BAE = 45°.

Abb.3: Finden Sie BD, wenn BC = 17, AD = 16.

2. Ist ein Dreieck rechteckig, wenn seine Seiten durch Zahlen ausgedrückt werden:


5 2 + 6 2 ? 7 2 (nein)	9 2 + 12 2 = 15 2 (ja)	15 2 + 20 2 = 25 2 (ja)

Wie heißen die Zahlentripel in den letzten beiden Fällen? (Pythagoräer).

VI. Probleme lösen (schriftlich).

Nr. 9. Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich a. Bestimmen Sie die Höhe dieses Dreiecks, den Radius des umschriebenen Kreises und den Radius des eingeschriebenen Kreises.

Nr. 14. Beweisen Sie, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Radius des umschriebenen Kreises gleich dem zur Hypotenuse gezogenen Median und gleich der Hälfte der Hypotenuse ist.

VII. Hausaufgaben.

Untersuchen Sie in Abschnitt 7.1, S. 175-177, Satz 7.4 (verallgemeinerter Satz des Pythagoras), Nr. 1 (mündlich), Nr. 2, Nr. 4.

VIII. Zusammenfassung der Lektion.

Was hast du heute im Unterricht Neues gelernt? …………

Pythagoras war in erster Linie ein Philosoph. Nun möchte ich Ihnen einige seiner Sprüche vorlesen, die auch in unserer Zeit für Sie und mich noch aktuell sind.

Wirbeln Sie keinen Staub auf dem Lebensweg auf.
Tun Sie nur das, was Sie später nicht verärgert und Sie nicht zur Umkehr zwingt.
Tun Sie niemals etwas, was Sie nicht wissen, sondern lernen Sie alles, was Sie wissen müssen, und dann werden Sie ein ruhiges Leben führen.
Schließen Sie nicht die Augen, wenn Sie schlafen möchten, ohne alle Ihre Handlungen des vergangenen Tages geklärt zu haben.
Lernen Sie, einfach und ohne Luxus zu leben.

Satz des Pythagoras- einer der Grundsätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung festlegt

zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Es wird angenommen, dass es vom griechischen Mathematiker Pythagoras nachgewiesen wurde, nach dem es benannt wurde.

Geometrische Formulierung des Satzes des Pythagoras.

Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der Quadrate,

auf Beinen gebaut.

Algebraische Formulierung des Satzes des Pythagoras.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Schenkel.

Das heißt, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks wird mit bezeichnet C, und die Längen der Beine durch A Und B:

Beide Formulierungen Satz des Pythagoras sind gleichwertig, aber die zweite Formulierung ist elementarer, das ist nicht der Fall

erfordert den Flächenbegriff. Das heißt, die zweite Aussage kann überprüft werden, ohne etwas über das Gebiet zu wissen und

indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Umgekehrter Satz des Pythagoras.

Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, dann

rechtwinkliges Dreieck.

Oder anders gesagt:

Für jedes Tripel positiver Zahlen A, B Und C, so dass

Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen A Und B und Hypotenuse C.

Satz des Pythagoras für ein gleichschenkliges Dreieck.

Satz des Pythagoras für ein gleichseitiges Dreieck.

Beweise des Satzes des Pythagoras.

Derzeit sind in der wissenschaftlichen Literatur 367 Beweise dieses Theorems verzeichnet. Wahrscheinlich der Satz

Pythagoras ist der einzige Satz mit einer solch beeindruckenden Anzahl an Beweisen. Eine solche Vielfalt

kann nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklärt werden.

Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon:

nachweisen Flächenmethode, axiomatisch Und exotische Beweise(Zum Beispiel,

mit Hilfe Differentialgleichung).

1. Beweis des Satzes des Pythagoras unter Verwendung ähnlicher Dreiecke.

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der konstruierten Beweise

direkt aus den Axiomen. Insbesondere wird der Begriff der Fläche einer Figur nicht verwendet.

Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe aus C und bezeichnen

seine Gründung durch H.

Dreieck ACHähnlich einem Dreieck AB C an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC.

Durch Einführung der Notation:

wir bekommen:

was entspricht -

Gefaltet A 2 und B 2, wir erhalten:

oder , was bewiesen werden musste.

2. Beweis des Satzes des Pythagoras mit der Flächenmethode.

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Alle von ihnen

Verwenden Sie Flächeneigenschaften, deren Beweise komplexer sind als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

Beweis durch Äquikomplementarität.

Ordnen wir vier gleiche Rechtecke an

Dreieck wie in der Abbildung gezeigt

rechts.

Viereck mit Seiten C- Quadrat,

da die Summe zweier spitzer Winkel 90° beträgt, und

Entfaltungswinkel - 180°.

Die Fläche der gesamten Figur ist einerseits gleich,

Fläche eines Quadrats mit Seite ( a+b), und andererseits die Summe der Flächen von vier Dreiecken und

Q.E.D.

3. Beweis des Satzes des Pythagoras mit der Infinitesimalmethode.

Betrachten Sie die in der Abbildung gezeigte Zeichnung und

den Seitenwechsel beobachtenA, wir können

Schreiben Sie die folgende Beziehung für unendlich

klein seitliche AbstufungenMit Und A(unter Verwendung von Ähnlichkeit

Dreiecke):

Mit der Variablentrennungsmethode finden wir:

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen:

Wenn wir diese Gleichung integrieren und die Anfangsbedingungen verwenden, erhalten wir:

So kommen wir zur gewünschten Antwort:

Wie leicht zu erkennen ist, entsteht die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der Linearität

Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe auf das Unabhängige bezogen ist

Beiträge aus dem Zuwachs verschiedener Beine.

Einen einfacheren Beweis erhält man, wenn man davon ausgeht, dass eines der Beine keinen Anstieg erfährt

(in diesem Fall das Bein B). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante:

Die Wiederholung von Lehrplanthemen mithilfe von Videolektionen ist eine bequeme Möglichkeit, den Stoff zu lernen und zu beherrschen. Das Video hilft dabei, die Aufmerksamkeit der Studierenden auf die wichtigsten theoretischen Konzepte zu lenken und wichtige Details nicht zu verpassen. Bei Bedarf können sich die Schüler die Videolektion jederzeit noch einmal anhören oder mehrere Themen zurückgehen.

Diese Videolektion für die 8. Klasse hilft Schülern, ein neues Thema in der Geometrie zu erlernen.

Im vorherigen Thema haben wir den Satz des Pythagoras untersucht und seinen Beweis analysiert.

Es gibt auch einen Satz, der als inverser Satz des Pythagoras bekannt ist. Schauen wir es uns genauer an.

Satz. Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn die folgende Gleichung gilt: Der Wert einer Seite des Dreiecks im Quadrat ist gleich der Summe der beiden anderen Seiten im Quadrat.

Nachweisen. Nehmen wir an, wir erhalten ein Dreieck ABC, in dem die Gleichheit AB 2 = CA 2 + CB 2 gilt. Es muss nachgewiesen werden, dass der Winkel C 90 Grad beträgt. Betrachten Sie ein Dreieck A 1 B 1 C 1, in dem der Winkel C 1 gleich 90 Grad ist, die Seite C 1 A 1 gleich CA und die Seite B 1 C 1 gleich BC ist.

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras schreiben wir das Verhältnis der Seiten im Dreieck A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Wenn wir den Ausdruck durch gleiche Seiten ersetzen, erhalten wir A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Aus den Bedingungen des Satzes wissen wir, dass AB 2 = CA 2 + CB 2. Dann können wir A 1 B 1 2 = AB 2 schreiben, woraus folgt, dass A 1 B 1 = AB.

Wir haben herausgefunden, dass in den Dreiecken ABC und A 1 B 1 C 1 drei Seiten gleich sind: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Diese Dreiecke sind also gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt, dass der Winkel C gleich dem Winkel C 1 und dementsprechend gleich 90 Grad ist. Wir haben festgestellt, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist und sein Winkel C 90 Grad beträgt. Wir haben diesen Satz bewiesen.

Als nächstes gibt der Autor ein Beispiel. Angenommen, wir erhalten ein beliebiges Dreieck. Die Größen seiner Seiten sind bekannt: 5, 4 und 3 Einheiten. Überprüfen wir die Aussage aus dem Satz, der zum Satz des Pythagoras umgekehrt ist: 5 2 = 3 2 + 4 2. Die Aussage ist wahr, das heißt, dieses Dreieck ist rechtwinklig.

In den folgenden Beispielen sind Dreiecke auch rechtwinklige Dreiecke, wenn ihre Seiten gleich sind:

5, 12, 13 Einheiten; die Gleichheit 13 2 = 5 2 + 12 2 ist wahr;

8, 15, 17 Einheiten; die Gleichheit 17 2 = 8 2 + 15 2 ist wahr;

7, 24, 25 Einheiten; die Gleichheit 25 2 = 7 2 + 24 2 ist wahr.

Das Konzept eines pythagoräischen Dreiecks ist bekannt. Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten ganze Zahlen sind. Wenn die Schenkel des pythagoräischen Dreiecks mit a und c und die Hypotenuse mit b bezeichnet werden, können die Werte der Seiten dieses Dreiecks mit den folgenden Formeln geschrieben werden:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

Dabei sind m, n, k beliebige natürliche Zahlen und der Wert von m ist größer als der Wert von n.

Interessante Tatsache: Ein Dreieck mit den Seiten 5, 4 und 3 wird auch ägyptisches Dreieck genannt; ein solches Dreieck war im alten Ägypten bekannt.

In dieser Videolektion haben wir den umgekehrten Satz zum Satz des Pythagoras gelernt. Wir haben die Beweise im Detail untersucht. Die Schüler lernten auch, welche Dreiecke Pythagoräische Dreiecke genannt werden.

Mithilfe dieser Videolektion können sich Studierende ganz einfach selbständig mit dem Thema „Der Umkehrsatz des Pythagoras“ vertraut machen.

Laut Van der Waerden ist es sehr wahrscheinlich, dass das Verhältnis in allgemeiner Form in Babylon um das 18. Jahrhundert v. Chr. bekannt war. e.

Um 400 v. Chr. Chr. gab Platon laut Proklos eine Methode zum Auffinden pythagoräischer Drillinge an, indem er Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. Chr. e. Der älteste axiomatische Beweis des Satzes des Pythagoras erschien in Euklids Elementen.

Formulierungen

Die Grundformulierung enthält algebraische Operationen – in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Längen gleich sind ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b), und die Länge der Hypotenuse ist c (\displaystyle c), ist die folgende Beziehung erfüllt:

Eine äquivalente geometrische Formulierung ist auch möglich, indem man auf den Flächenbegriff einer Figur zurückgreift: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrate Beine. Der Satz ist in dieser Form in Euklids Elementen formuliert.

Umgekehrter Satz des Pythagoras- eine Aussage über die Rechtwinkligkeit eines beliebigen Dreiecks, dessen Seitenlängen durch die Beziehung zusammenhängen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Als Konsequenz für jedes Tripel positiver Zahlen ein (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Und c (\displaystyle c), so dass a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\displaystyle c).

Nachweisen

In der wissenschaftlichen Literatur gibt es mindestens 400 Beweise für den Satz des Pythagoras, was sowohl durch seine grundlegende Bedeutung für die Geometrie als auch durch die elementare Natur des Ergebnisses erklärt wird. Die Hauptrichtungen von Beweisen sind: algebraische Verwendung von Beziehungen zwischen den Elementen eines Dreiecks (z. B. die beliebte Ähnlichkeitsmethode), die Flächenmethode, es gibt auch verschiedene exotische Beweise (z. B. mithilfe von Differentialgleichungen).

Durch ähnliche Dreiecke

Der klassische Beweis von Euklid zielt darauf ab, die Flächengleichheit zwischen Rechtecken festzustellen, die durch Zerlegen des Quadrats über der Hypotenuse durch die Höhe des rechten Winkels mit den Quadraten über den Beinen gebildet werden.

Die für den Beweis verwendete Konstruktion lautet wie folgt: für ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C (\displaystyle C), Quadrate über den Beinen und und Quadrate über der Hypotenuse A B I K (\displaystyle ABIK) Höhe wird gebaut CH und der Strahl, der es fortsetzt s (\displaystyle s), das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke teilen und . Der Beweis zielt darauf ab, die Flächengleichheit des Rechtecks festzustellen A H J K (\displaystyle AHJK) mit einem Quadrat über dem Bein A C (\displaystyle AC); Die Gleichheit der Flächen des zweiten Rechtecks, das das Quadrat über der Hypotenuse bildet, und des Rechtecks über dem anderen Schenkel wird auf ähnliche Weise hergestellt.

Flächengleichheit eines Rechtecks A H J K (\displaystyle AHJK) Und A C E D (\displaystyle ACED) entsteht durch die Kongruenz von Dreiecken △ A C K (\displaystyle \triangle ACK) Und △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche der Quadrate entspricht A H J K (\displaystyle AHJK) Und A C E D (\displaystyle ACED) dementsprechend im Zusammenhang mit der folgenden Eigenschaft: Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte der Fläche eines Rechtecks, wenn die Figuren eine gemeinsame Seite haben und die Höhe des Dreiecks zur gemeinsamen Seite die andere Seite ist das Rechteck. Die Kongruenz von Dreiecken ergibt sich aus der Gleichheit zweier Seiten (Seiten von Quadraten) und dem Winkel zwischen ihnen (bestehend aus einem rechten Winkel und einem Winkel bei). A (\displaystyle A).

Somit stellt der Beweis fest, dass die Fläche eines Quadrats über der Hypotenuse aus Rechtecken besteht A H J K (\displaystyle AHJK) Und B H J I (\displaystyle BHJI) ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Beinen.

Beweis von Leonardo da Vinci

Zur Flächenmethode gehört auch ein von Leonardo da Vinci gefundener Beweis. Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) mit rechtem Winkel C (\displaystyle C) und Quadrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Und A B H J (\displaystyle ABHJ)(siehe Bild). In diesem Beweis nebenbei HJ (\displaystyle HJ) Von letzterem ist auf der Außenseite ein Dreieck deckungsgleich aufgebaut △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), spiegelt sich außerdem sowohl relativ zur Hypotenuse als auch relativ zur Höhe dazu wider (d. h. J I = B C (\displaystyle JI=BC) Und H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Gerade C I (\displaystyle CI) spaltet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat in zwei gleiche Teile, da Dreiecke △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) Und △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) gleich im Aufbau. Der Beweis stellt die Kongruenz von Vierecken fest C. A. J. I. (\displaystyle CAJI) Und D A B G (\displaystyle DABG), deren Fläche sich einerseits als gleich der Summe der Hälfte der Flächen der Quadrate auf den Beinen und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks andererseits als die Hälfte herausstellt Fläche des Quadrats auf der Hypotenuse plus Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Insgesamt ist die halbe Summe der Flächen der Quadrate über den Beinen gleich der halben Fläche des Quadrats über der Hypotenuse, was der geometrischen Formulierung des Satzes des Pythagoras entspricht.

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Es gibt mehrere Beweise, die die Technik der Differentialgleichungen verwenden. Insbesondere wird Hardy ein Beweis zugeschrieben, der infinitesimale Beininkremente verwendet ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\displaystyle c), und die Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Rechteck beibehalten, d. h. die Erfüllung der folgenden Differentialbeziehungen sicherstellen:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Mit der Methode der Variablentrennung wird daraus eine Differentialgleichung abgeleitet c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), deren Integration die Beziehung ergibt c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Anwendung von Anfangsbedingungen a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definiert die Konstante als 0, was zur Aussage des Theorems führt.

Die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel ergibt sich aus der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe mit unabhängigen Beiträgen aus den Inkrementen verschiedener Schenkel verbunden ist.

Variationen und Verallgemeinerungen

Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des allgemeineren Kosinussatzes, der die Längen der Seiten in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

Wo ist der Winkel zwischen den Seiten? ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b). Wenn der Winkel 90° beträgt, dann cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), und die Formel vereinfacht sich zum üblichen Satz des Pythagoras.

Kostenloses Dreieck

Es gibt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf ein beliebiges Dreieck, die ausschließlich auf dem Verhältnis der Seitenlängen basiert. Es wird angenommen, dass sie erstmals vom sabischen Astronomen Thabit ibn Qurra aufgestellt wurde. Darin passt für ein beliebiges Dreieck mit Seiten ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Basis an der Seite hinein c (\displaystyle c), wobei der Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks gegenüber der Seite zusammenfällt c (\displaystyle c) und Winkel an der Basis gleich dem Winkel θ (\displaystyle \theta), gegenüberliegende Seite c (\displaystyle c). Dadurch entstehen zwei Dreiecke, ähnlich dem Original: das erste – mit Seiten ein (\displaystyle a), die am weitesten davon entfernte Seite des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks, und r (\displaystyle r)- Seitenteile c (\displaystyle c); der zweite - symmetrisch dazu von der Seite b (\displaystyle b) mit der Seite s (\displaystyle s)- der entsprechende Teil der Seite c (\displaystyle c). Damit ist die folgende Beziehung erfüllt:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

degeneriert zum Satz des Pythagoras bei θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Die Beziehung ergibt sich aus der Ähnlichkeit der gebildeten Dreiecke:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Satz von Pappus über Flächen

Nichteuklidische Geometrie

Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab und gilt nicht für die nichteuklidische Geometrie – die Erfüllung des Satzes des Pythagoras ist äquivalent zum Postulat der euklidischen Parallelität.

In der nichteuklidischen Geometrie wird die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zwangsläufig eine andere Form haben als im Satz des Pythagoras. Beispielsweise haben in der Kugelgeometrie alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den Oktanten der Einheitskugel begrenzen, eine Länge π / 2 (\displaystyle \pi /2), was dem Satz des Pythagoras widerspricht.

Darüber hinaus gilt der Satz des Pythagoras in der hyperbolischen und elliptischen Geometrie, wenn die Anforderung, dass das Dreieck rechteckig ist, durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe zweier Winkel des Dreiecks gleich dem dritten sein muss.

Kugelförmige Geometrie

Für jedes rechtwinklige Dreieck auf einer Kugel mit Radius R (\displaystyle R)(zum Beispiel, wenn der Winkel in einem Dreieck recht ist) mit Seiten a , b , c (\displaystyle a,b,c) Die Beziehung zwischen den Seiten ist:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Diese Gleichheit lässt sich als Spezialfall des sphärischen Kosinussatzes herleiten, der für alle sphärischen Dreiecke gilt:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Wo ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hyperbolischer Kosinus. Diese Formel ist ein Sonderfall des Satzes des hyperbolischen Kosinus, der für alle Dreiecke gilt:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Wo γ (\displaystyle \gamma)- ein Winkel, dessen Scheitelpunkt der Seite gegenüberliegt c (\displaystyle c).

Verwendung der Taylor-Reihe für den hyperbolischen Kosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ approx 1+x^(2)/2)) kann gezeigt werden, dass, wenn ein hyperbolisches Dreieck abnimmt (d. h. wann ein (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Und c (\displaystyle c) gegen Null tendieren), dann nähern sich die hyperbolischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck der Beziehung des klassischen Satzes des Pythagoras an.

Anwendung

Abstand in zweidimensionalen Rechtecksystemen

Die wichtigste Anwendung des Satzes des Pythagoras ist die Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem: der Distanz s (\displaystyle s) zwischen Punkten mit Koordinaten (a , b) (\displaystyle (a,b)) Und (c , d) (\displaystyle (c,d)) entspricht:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Für komplexe Zahlen gibt der Satz des Pythagoras eine natürliche Formel zum Ermitteln des Moduls einer komplexen Zahl an – für z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) es ist gleich der Länge

Typ