Subtrahieren Sie den Multiplikator online vom Wurzelzeichen. Vorläufige Transformation des radikalen Ausdrucks

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

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In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche es gibt Formeln für Wurzeln was sind Eigenschaften von Wurzeln, und was man mit all dem machen kann.

Wurzelformeln, Eigenschaften von Wurzeln und Regeln für die Arbeit mit Wurzeln- Das ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was mich auf jeden Fall glücklich macht! Oder besser gesagt, man kann viele verschiedene Formeln schreiben, aber für die praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln reichen nur drei. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele Menschen bei den drei Grundformeln verwirrt sind, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

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In diesem Material werden wir weiterhin darüber sprechen, wie man rationale Ausdrücke umwandelt und insbesondere darüber, wie man den Faktor unter dem Wurzelzeichen richtig entfernt. Im ersten Absatz erklären wir, warum eine solche Transformation notwendig ist, zeigen dann, wie genau sie durchgeführt wird und formulieren eine für alle Fälle gemeinsame Regel. Als nächstes zeigen wir, welche Methoden es gibt, um den radikalen Ausdruck in eine für die Transformation geeignete Form zu bringen, und analysieren Beispiele für Problemlösungen.

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Was bedeutet das Herausziehen eines Multiplikators unter dem Wurzelzeichen?

Um das Wesen einer solchen Transformation besser zu verstehen, müssen Sie zunächst formulieren, was es bedeutet, einen Faktor aus dem Zeichen der Wurzel zu entfernen. Formulieren wir eine Definition:

Definition 1

Das Entfernen des Faktors unter dem Wurzelzeichen bedeutet, den Ausdruck B n · C n durch das Produkt B · C n mit der Bedingung zu ersetzen, dass n eine ungerade Zahl ist, oder durch das Produkt B · C – wobei n eine gerade Zahl ist. und B und C sind andere Zahlen und Ausdrücke.

Wenn wir nur die Quadratwurzel meinen, also die Zahl n gleich zwei, dann lässt sich der Multiplikationsprozess darauf reduzieren, den Ausdruck B 2 · C durch das Produkt B · C zu ersetzen. Daher der Name dieser Transformation: nach ihrer Durchführung der Multiplikator Von erweist sich als frei vom Wurzelzeichen.

Lassen Sie uns Beispiele geben, um diese Definition zu verdeutlichen. Nehmen wir also an, wir haben den Ausdruck 2 2 · 3. Es ähnelt B 2 · C, wobei B zwei und C drei ist. Wenn wir diese Wurzel durch das Produkt 2 · 3 ersetzen und die Modulzeichen weglassen (dies ist möglich, da beide Faktoren positive Zahlen sind), erhalten wir 2 · 3. Wir haben den Multiplikator herausgenommen 2 2 unter dem Wurzelzeichen.

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel für eine solche Transformation geben. Wir haben den Ausdruck (x 2 - 3 x y z) 2 x = x 2 - 3 x y z x. Hier wurde nicht nur ein numerischer Faktor unter der Wurzel entfernt, sondern ein ganzer Ausdruck mit Variablen (x 2 − 3 x y z) 2.

Beide Beispiele beziehen sich auf den Fall, dass der Faktor aus der Quadratwurzel gezogen wird. Sie können diese Transformationen auch für n-te Wurzeln durchführen. Hier ist ein Beispiel mit einer Kubikwurzel: (3 a 2) 3 2 a 2 3 = 3 a 2 2 a 2 3

Ein Beispiel mit einer sechsten Wurzel: 1 2 x 2 + y 2 6 5 (x 2 + y 2) 6 kann in das Produkt 1 2 x 2 + y 2 5 (x 2 y 2) 6 umgewandelt werden, was wiederum , vereinfacht sich zu 1 2 · (x 2 + y 2) · 5 · (x 2 + y 2) 6. In diesem Fall nehmen wir den Faktor 1 2 x 2 + y 2 6 heraus.

Wir haben herausgefunden, was es bedeutet, den Multiplikator unter dem Wurzelzeichen zu entfernen. Kommen wir nun zu den Beweisen, d.h. Lassen Sie uns erklären, warum das als Ergebnis dieser Transformation erhaltene Produkt dem ursprünglichen Ausdruck entspricht.

Warum ist es möglich, die Wurzel durch ein Produkt zu ersetzen?

In diesem Abschnitt werden wir verstehen, wie eine solche Ersetzung möglich ist und warum die Wurzel B n · C n äquivalent zu den Produkten von B · C n und B · C n ist. Wenden wir uns den zuvor untersuchten theoretischen Bestimmungen zu.

Als wir uns mit der Transformation irrationaler Ausdrücke befassten, kamen wir zu einigen wichtigen Ergebnissen, die wir in einer Tabelle zusammenfassten. Hier brauchen wir nur zwei davon:

1. Der Ausdruck A · B n kann, wenn n ungerade ist, durch A n · B n ersetzt werden, und für gerade n – A n · B n.

2. Der Ausdruck A n n kann in A umgewandelt werden, wenn n ungerade ist, und in | A | .

Definition 2

Anhand dieser Ergebnisse und der Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften des Moduls können wir Folgendes ableiten:

• für gerades n: B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
• für ungerades n: B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

Diese Ausdrücke liegen den Transformationen zugrunde, die wir durchführen, indem wir den Faktor unter dem Wurzelzeichen entfernen.

Daher lassen sich zwei Formeln ableiten:

Definition 3

Mit diesen Formeln können Sie mehrere Faktoren gleichzeitig aus der Wurzel entfernen.

Die Grundregel zum Herausziehen des Multiplikators aus der Wurzel

Wenn wir Beispiele mit ähnlichen Transformationen lösen müssen, müssen wir meist zuerst den Wurzelausdruck auf die Form reduzieren B n C. Unter Berücksichtigung dieses Punktes können wir die folgenden Regeln aufschreiben.

Definition 4

Um den Faktor unter der Wurzel im Ausdruck A n zu entfernen, müssen Sie zunächst die Wurzel auf die Form B n · C n reduzieren und dann zum Produkt B · C n (für einen ungeraden Exponenten) oder zu B · C n übergehen (Für einen geraden Exponenten ggf. die Module öffnen).

Das Schema zur Lösung solcher Probleme lautet daher wie folgt:

A n → B n · C n → B · C n , wenn n ungerade ist. B · C n , wenn n gerade ist

Wenn wir mehrere Faktoren hinzufügen müssen, gehen wir folgendermaßen vor:

A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , wenn n ungerade ist B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , wenn n gerade ist

Jetzt können Sie mit der Lösung von Problemen fortfahren.

Probleme beim Entfernen eines Multiplikators unter dem Wurzelzeichen

Beispiel 1

Zustand: Führen Sie den Multiplikator über das Vorzeichen der Wurzel hinaus in drei Ausdrücken aus: 2 2 7, - 1 2 3 2 5, (- 0, 4) 7 11 7.

Lösung

Wir sehen, dass die radikalen Ausdrücke in allen drei Fällen bereits die Form haben, die wir brauchen. Da in den ersten beiden Beispielen der Wurzelexponent eine gerade Zahl und im dritten eine ungerade Zahl ist, schreiben wir Folgendes:

1. Der Wurzelexponent ist 2. Wir nehmen die Regel zum Multiplizieren eines geraden Indikators und berechnen: 2 2 7 = 2 7 = 2 7
2. Im zweiten Ausdruck ist der Exponent ebenfalls gerade, was bedeutet - 1 2 3 2 5 = - 1 2 3 5 = 1 2 3 5
   In diesem Fall können wir zunächst die Ausdrücke basierend auf den Grundeigenschaften der Wurzel transformieren:
   - 1 2 3 2 5 = - 1 2 1 2 3 2 5 = 1 2 3 2 5
   Und dann berechnen Sie den Multiplikator: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5.
3. Der letzte Ausdruck hat einen ungeraden Exponenten, daher brauchen wir eine andere Regel: (- 0, 4) 7 11 7 = - 0, 4 11 7.
   Folgende Berechnungsmöglichkeit ist ebenfalls möglich:
   - 0, 4 7 11 7 = (- 1) 7 0, 4 7 11 7 = = - 0, 4 7 11 7 = - 0, 4 7 11 7 = - 0, 4 11 7
   ​​​​​​Oder das:
   - 0, 4 7 11 7 = (- 1) 7 0, 4 7 11 7 = = - 0, 4 7 11 7 = 0, 4 7 - 11 7 = 0, 4 - 11 7 = - 0,4 11 7

Antwort: 1) 2 · 7 ; 2) 1 2 3 · 5 ; 3) - 0, 4 · 11 7.

Beispiel 2

Zustand: Transformiere den Ausdruck (- 2) 4 · (0 , 3) ​​​​4 · 7 4 · 11 4 .

Lösung:

Mithilfe des Diagramms im zweiten Absatz des Artikels können wir drei Faktoren gleichzeitig aus der Wurzel entfernen.

(- 2) 4 · (0 , 3) ​​​​4 · 7 4 · 11 4 = = - 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Sie können die Umrechnung in mehreren Schritten durchführen und dabei den Multiplikator einzeln entfernen, dies dauert jedoch viel länger.

Es geht auch anders. Lassen Sie uns den Ausdruck selbst transformieren und ihn in die Form bringen B n C. Danach werden wir die Multiplikatoren herausnehmen:

(- 2) 4 · (0 , 3) ​​​​4 · 7 4 · 11 4 = = (- 2 · 0 , 3 · 7) 4 · 11 4 = (- 4 , 2) 4 · 11 4 = = - 4 , 2 11 4 = 4, 2 11 4

Antwort:(- 2) 4 · (0, 3) 4 · 7 4 · 11 4 = - 4, 2 · 11 4 = 4, 2 · 11 4.

Lassen Sie uns den Fall genauer untersuchen, wenn der radikale Ausdruck eine vorläufige Transformation erfordert. Hier gibt es einige Punkte, die einer weiteren Klärung bedürfen.

Vorläufige Transformation des radikalen Ausdrucks

Wir haben bereits festgestellt, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht immer eine für uns geeignete Form hat. Häufig wird die Wurzel als A n angegeben und der herauszuziehende Faktor wird nicht explizit angegeben. Manchmal ist dies in der Bedingung angegeben, oft muss der Multiplikator jedoch unabhängig ermittelt werden. Mal sehen, wie man in diesen Fällen vorgeht.

Nehmen wir an, wir müssen einen vorgegebenen Faktor B berechnen. Natürlich muss der radikale Ausdruck so sein, dass diese Operation möglich ist. Um A n in B n · C n umzuwandeln, genügt es, den zweiten Faktor zu bestimmen, d. h. Berechnen Sie den Wert von C aus dem Ausdruck A = B n C.

Beispiel 3

Zustand: Es gibt einen Ausdruck 24 x 3. Entfernen Sie den Faktor unter dem Wurzelzeichen 2 3 .

Lösung

Hier gilt n = 3, A = 24 x, B 3 = 2 3 . Dann von A = B n C Berechnung C = A: (B n) = 24 x: (2 3) = 3 x.

Also 24 x 3 = 2 3 3 x 3. Der Wurzelausdruck hat die Form, die wir brauchen, und wir können die Regel für ungerade Exponenten verwenden und berechnen: 24 x 3 = 2 3 3 x 3 = 2 3 x 3.

Antwort: 24 x 3 = 2 3 x 3.

Was aber, wenn der anzuwendende Multiplikator nicht angegeben ist? Dann haben wir eine gewisse Entscheidungsfreiheit und können mehrere Ansätze zur Lösung des Problems nutzen.

Nehmen wir an, wir erhalten einen Ausdruck, dessen Wurzel ein Grad oder das Produkt mehrerer Potenzen ist. In diesem Fall können wir, wenn wir die grundlegenden Eigenschaften des Grades kennen, den Ausdruck in eine für uns geeignete Form mit klar angegebenen Subtraktionsfaktoren umwandeln.

Beispiel 4

Zustand: Es ist notwendig, den Faktor unter der Wurzel in drei Ausdrücken zu entfernen - 2 4 5 4, 2 7 5 4, 2 22 5 4.

Lösung

Das Konvertieren des ersten Ausdrucks ist nicht besonders schwierig, weil Ähnliche Beispiele haben wir uns bereits angeschaut. Rechnen wir gleich: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

Im zweiten Beispiel ist es leicht zu erraten, wie man den radikalen Ausdruck umwandelt: Man muss es sich nur vorstellen 2 7 Wie 2 4 · 2 3 .

2 7 5 4 = 2 4 2 3 5 4 = 2 4 40 4 = 2 40 4 = 2 40 4

Im letzten Beispiel müssen Sie auch mit der Transformation des Wurzelausdrucks beginnen. Beachten wir sofort, dass die endgültige Ansicht wie folgt aussehen wird:

2 5 4 2 2 5 4

Jetzt zeigen wir Ihnen genau, wie Sie diesen Look hinbekommen. Zuerst dividieren wir 22 durch 4, wir erhalten 5 mit einem Rest von 2 (ggf. wiederholen, wie man richtig mit einem Rest dividiert). Mit anderen Worten: 22 kann man sich als 4 5 + 2 vorstellen. Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden können wir schreiben:

2 22 + 2 5 4 + 2 = 2 5 4 2 2 = (2 5) 4 2 2

Auf diese Weise:

2 22 5 4 = (2 5) 4 2 2 5 4 = (2 5) 4 20 4 = 2 5 20 4 = 32 20 4

Antwort: 1) 2 4 5 4 = 2 5 4, 2) 2 7 5 4 = 2 40 4, 3) 2 22 5 4 = 32 20 4.

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel keine Potenz oder ein Produkt von Potenzen ist, sollten Sie versuchen, ihn in dieser Form darzustellen. Die häufigsten Fälle sind:

Der Wurzelausdruck ist eine natürliche zusammengesetzte Zahl. Dann können wir sofort die notwendigen Faktoren erkennen, die unter dem Wurzelzeichen entfernt werden müssen, nachdem wir die gegebene Zahl zunächst in einfache Faktoren zerlegt haben.

Beispiel 5

Zustand: Entfernen Sie den Faktor unter dem Wurzelzeichen in den folgenden Ausdrücken: 1) 45 ; 2) 135; 3) 3456 ; 4) 102.

1. Wir faktorisieren 45 in Primfaktoren.

Also 45 = 3 3 5 = 3 2 5 und 45 = 3 2 5 . In diesem Ausdruck ist klar, dass wir den Faktor herausnehmen werden 3 2 . Wir berechnen:

3 2 5 = 3 5 = 3 5

1. Stellen wir uns nun die Zahl 135 in der erforderlichen Form vor und erhalten: 135 = 3 3 3 5 = 3 3 15. Ansonsten können wir das schreiben 3 2 3 5 = 3 2 15. Daher ist 135 = 3 2 15. Wir sehen, dass der Multiplikator unter dem Wurzelzeichen entfernt werden muss 3 2 :

3 2 15 = 3 15 = 3 15

1. Zerlegen wir die Zahl 3456 in Primfaktoren:

3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

Es stellte sich heraus, dass 3456 = 2 7 3 3 und 3456 = 2 7 · 3 3 . Weil das 2 7 = 2 3 2 + 1 = (2 3) 2 2 Und 3 3 = 3 2 3, dann 2 7 3 3 = (2 3) 2 2 3 2 3 = (2 3) 2 3 2 6 = 2 3 3 6 = 24 6

1. Stellen wir uns die natürliche Zahl 102 als Produkt von Primfaktoren vor und erhalten 2 3 17. Wir sehen, dass alle Faktoren einen Exponenten gleich eins haben und der Exponent der Wurzel in diesem Beispiel gleich zwei ist. Daher muss in diesem Beispiel kein einziger Faktor unter dem Wurzelzeichen entfernt werden, d. h. eine solche Aktion für 102 ist unangemessen.

Antwort: 1) 45 = 3 · 5; 2) 135 = 3 · 15; 3) 3456 = 24 6; 4) 102.

Schauen wir uns nun an, wie man Beispiele löst, in denen der Wurzelausdruck in Form eines gewöhnlichen Bruchs dargestellt wird. In diesem Fall sollten Sie Zähler und Nenner in einfache Faktoren zerlegen und prüfen, ob einer davon aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden kann. Wenn wir einen Dezimalbruch oder eine gemischte Zahl haben, ersetzen wir sie zunächst durch gewöhnliche Brüche und gehen dann vom Wurzelverhältnis zum Verhältnis der Wurzeln über.

Beispiel 6

Zustand: Ziehen Sie den Faktor durch die Wurzel im Ausdruck 200 · 0, 000189 · x 3 und vereinfachen Sie ihn.

Lösung

Gehen wir zunächst von einem Dezimalbruch zu einem gewöhnlichen Bruch über und zerlegen dessen Zähler und Nenner in einfache Faktoren.

0, 189 = 189 1000000 = 3 3 7 2 6 5 6

Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden schreiben wir den Ausdruck wie folgt um:

3 2 2 5 2 3 7

Ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck durch den Originalausdruck und erhalten Sie:

200 0,000189 x 3 = 200 3 2 2 5 2 3 7 x 3 = 200 3 2 2 5 2 7 x 3 = 6 7 x 3

Die gleiche Antwort kann mit anderen Transformationen erreicht werden:

200 0, 000189 x 3 = 200 189 1000000 x 3 = 200 189 1000000 3 x 3 = 200 189 3 1000000 3 x 3 = 200 3 3 7 3 100 3 3 x 3 = = 200 3 7 3 100 x 3 = 6 7 3 x 3 = 6 7 x 3

Antwort: 200 0,000189 x 3 = 6 7 x 3.

Mit anderen Worten: Um einen Multiplikator zu ermitteln, der aus dem Wurzelzeichen entnommen werden kann, können Sie den Wurzelausdruck auf jede akzeptable Weise transformieren.

Beispiel 7

Zustand: Führen Sie eine Vereinfachung des irrationalen Ausdrucks 2 · (3 + 2 · 2) durch.

Lösung

Wir können den Ausdruck in Klammern als 2 + 2 2 + 1 und weiter als 2 2 + 2 2 1 + 1 2 umwandeln.

Was wir erhalten haben, kann mit der abgekürzten Multiplikationsformel zum Quadrat der Summe addiert werden: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2.

Als Ergebnis: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 · 2. Jetzt nehmen wir 2 + 1 2 aus dem Wurzelzeichen und vereinfachen den Ausdruck:

2 2 + 1 2 = 2 2 + 1 = 2 2 + 1 = 2 + 2

Antwort: 2 3 + 2 2 = 2 + 2.

Sehen wir uns nun an, wie man einen Ausdruck, der Variablen enthält, unter dem Stammzeichen entfernt. Generell lässt sich sagen, dass dabei die gleichen Methoden zum Einsatz kommen wie bei der Arbeit mit Zahlen.

Beispiel 8

Zustand: Entfernen Sie den Faktor unter dem Wurzelzeichen in den Ausdrücken (x - 5) 5 4 und (x - 5) 6 4.

Lösung

1. Wir führen die Transformation im ersten Beispiel durch.

(x - 5) 5 4 = (x - 5) 4 x - 5 4 = x - 5 x - 5 4

Das Modulzeichen kann weggelassen werden. Sehen wir uns an, welche Bedingung den Bereich zulässiger Werte einer Variablen für den ursprünglichen Ausdruck bestimmt. Diese Bedingung wird Ungleichheit sein (x − 5) 5 ≥ 0. Um es zu lösen, wählen wir die Intervallmethode und erhalten x ≥ 5. Wenn der Wert x im Bereich akzeptabler Werte liegt, ist der Wert des Ausdrucks x - 5 eine nicht negative Zahl. Wir können also Folgendes schreiben:

x - 5 x - 5 4 = x - 5 x - 5 4

1. (x - 5) 6 4 = (x - 5) 4 x - 5 2 4 = = x - 5 (x - 5) 2 4 = x - 5 x - 5 2 4

Reduzieren wir den Wurzel- und Potenzexponenten um zwei. Wenden wir uns der Ergebnistabelle des Artikels über die Transformation irrationaler Ausdrücke zu, über den wir oben gesprochen haben. Nehmen wir daraus folgendes Ergebnis: Der Ausdruck A m n · m kann durch A n ersetzt werden, vorausgesetzt, dass m und n natürliche Zahlen sind. Somit,

x - 5 x - 5 2 4 = x - 5 x - 5

Sollten wir hier das Modulzeichen entfernen? Schauen wir uns den Bereich der zulässigen Werte dieses Ausdrucks an: Er besteht seitdem aus allen reellen Zahlen (x − 5) 6 ≥ 0 für jeden X. In diesem Fall die Werte x − 5 kann größer als 0 sein, wenn x > 5 gleich 0 oder negativ. Das heißt, wir belassen den Ausdruck in der Form x - 5 x - 5 oder stellen ihn als Gleichungssystem dar

(x - 5) x - 5 , x ≥ 5 (5 - x) 5 - x , x< 5

Antwort: 1) (x - 5) 5 4 = (x - 5) x - 5 4 ; 2) (x - 5) 6 4 = x - 5 x - 5 .

Beispiel 9

Zustand: Vereinfachen Sie den Ausdruck x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .

Lösung

Lassen Sie es uns aus Klammern streichen x 3 und wir erhalten x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) . Der Ausdruck in Klammern kann als Quadrat der Summe dargestellt werden: x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) = x 3 · (x + y) 2.

Jetzt sehen wir die Faktoren, die unter der Wurzel entfernt werden müssen: x 3 · (x + y) 2 = x 2 · x · (x + y) 2 = x · x + y · x

Wir können auch die Modulzeichen entfernen, in denen x liegt, da der Bereich akzeptabler Werte durch die Bedingung bestimmt wird x 5 + 2 x 4 y + x 3 y 2 ≥ 0. Es ist gleichwertig x 3 (x + y) 2 ≥ 0, und daraus können wir schließen x ≥ 0. Wir haben das x · x + y · x .

Antwort: x 5 + 2 x 4 y + x 3 y 2 = x x + y x.

Das ist alles, was wir Ihnen über die Verschiebung des Multiplikators über das Wurzelzeichen hinaus sagen möchten. Im nächsten Artikel werden wir uns die umgekehrte Aktion ansehen – das Hinzufügen eines Multiplikators zur Wurzel.

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Anweisungen

Wählen Sie einen Multiplikator für die Grundzahl aus, dessen Entfernung von unten erfolgt Wurzel ist wirklich ein Ausdruck – andernfalls geht die Operation verloren. Zum Beispiel, wenn unter dem Schild Wurzel mit einem Exponenten gleich drei (Kubikwurzel) kostet es Nummer 128, dann können Sie unter dem Schild zum Beispiel herausnehmen, Nummer 5. Gleichzeitig das Radikale Nummer 128 muss durch 5 in Würfel geteilt werden: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Wenn das Vorzeichen eine Bruchzahl enthält Wurzel den Bedingungen des Problems nicht widerspricht, dann ist es in dieser Form möglich. Wenn Sie eine einfachere Option benötigen, zerlegen Sie zunächst den Wurzelausdruck in solche ganzzahligen Faktoren, von denen die Kubikwurzel eine ganze Zahl sein wird Nummer m. Zum Beispiel: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Verwenden Sie diese Option, um Faktoren einer Wurzelzahl auszuwählen, wenn es nicht möglich ist, die Potenzen einer Zahl im Kopf zu berechnen. Dies gilt insbesondere für Wurzel m mit einem Exponenten größer als zwei. Wenn Sie Zugang zum Internet haben, können Sie Berechnungen mit den in den Suchmaschinen Google und Nigma integrierten Rechnern durchführen. Wenn Sie beispielsweise den größten ganzzahligen Faktor finden müssen, der unter dem kubischen Vorzeichen herausgezogen werden kann Wurzel Gehen Sie für die Zahl 250 auf die Google-Website und geben Sie die Abfrage „6^3“ ein, um zu prüfen, ob es möglich ist, sie unter dem Schild zu entfernen Wurzel sechs. Die Suchmaschine zeigt ein Ergebnis von 216 an. Leider kann 250 dadurch nicht ohne Rest geteilt werden Nummer. Geben Sie dann die Abfrage 5^3 ein. Das Ergebnis ist 125, und das ermöglicht Ihnen, 250 durch die Faktoren 125 und 2 zu dividieren, was bedeutet, dass Sie es aus dem Vorzeichen herausnehmen Wurzel Nummer 5, dort abfahren Nummer 2.

Quellen:

• wie man es unter den Wurzeln hervorholt
• Quadratwurzel des Produkts

Nehmen Sie es von unten heraus Wurzel Einer der Faktoren ist in Situationen erforderlich, in denen Sie einen mathematischen Ausdruck vereinfachen müssen. Es gibt Zeiten, in denen es unmöglich ist, die notwendigen Berechnungen mit einem Taschenrechner durchzuführen. Wenn beispielsweise Buchstabenbezeichnungen für Variablen anstelle von Zahlen verwendet werden.

Anweisungen

Zerlegen Sie den radikalen Ausdruck in einfache Faktoren. Sehen Sie, welcher der Faktoren gleich oft wiederholt wird, wie in den Indikatoren angegeben Wurzel, oder mehr. Beispielsweise müssen Sie die vierte Wurzel von a ziehen. In diesem Fall kann die Zahl als a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 dargestellt werden. Indikator Wurzel in diesem Fall entspricht es Faktor a3. Es muss aus dem Schild entfernt werden.

Extrahieren Sie die Wurzel der resultierenden Radikale nach Möglichkeit separat. Extraktion Wurzel ist die zur Potenzierung inverse algebraische Operation. Extraktion Wurzel einer willkürlichen Potenz: Finden Sie eine Zahl aus einer Zahl, die, wenn sie auf diese willkürliche Potenz erhöht wird, die gegebene Zahl ergibt. Wenn Extraktion Wurzel nicht hergestellt werden kann, belassen Sie den radikalen Ausdruck unter dem Zeichen Wurzel einfach wie es ist. Als Ergebnis der oben genannten Maßnahmen werden Sie von unten entfernt Zeichen Wurzel.

Video zum Thema

beachten Sie

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie radikale Ausdrücke in Form von Faktoren schreiben – ein Fehler in dieser Phase führt zu falschen Ergebnissen.

Hilfreicher Rat

Beim Extrahieren von Wurzeln ist es praktisch, spezielle Tabellen oder Tabellen mit logarithmischen Wurzeln zu verwenden – dies verkürzt die Zeit, die zum Finden der richtigen Lösung benötigt wird, erheblich.

Quellen:

• Wurzelextraktionszeichen im Jahr 2019

Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke ist in vielen Bereichen der Mathematik erforderlich, einschließlich der Lösung von Gleichungen höherer Ordnung sowie der Differentiation und Integration. Es werden verschiedene Methoden verwendet, einschließlich der Faktorisierung. Um diese Methode anzuwenden, müssen Sie einen General finden und erstellen Faktor hinter Klammern.

Anweisungen

Durchführung des Gesamtmultiplikators Klammern- eine der gebräuchlichsten Zersetzungsmethoden. Diese Technik wird verwendet, um die Struktur langer algebraischer Ausdrücke zu vereinfachen, d. h. Polynome. Die allgemeine Zahl kann eine Zahl, ein Monom oder ein Binomial sein, und um sie zu finden, wird die Verteilungseigenschaft der Multiplikation verwendet.

Zahl. Schauen Sie sich die Koeffizienten jedes Polynoms genau an, um zu sehen, ob sie durch dieselbe Zahl geteilt werden können. Zum Beispiel im Ausdruck 12 z³ + 16 z² – 4 ist es offensichtlich Faktor 4. Nach der Transformation erhalten Sie 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Mit anderen Worten, diese Zahl ist der kleinste gemeinsame ganzzahlige Teiler aller Koeffizienten.

Monom. Bestimmen Sie, ob in jedem Term des Polynoms dieselbe Variable vorkommt. Unter der Annahme, dass dies der Fall ist, betrachten Sie nun die Koeffizienten wie im vorherigen Fall. Beispiel: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Jedes Element dieses Polynoms enthält eine Variable z. Darüber hinaus sind alle Koeffizienten Zahlen, die Vielfache von 3 sind. Daher ist der gemeinsame Faktor das Monom 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z – 1).

Binomial.Für Klammern allgemein Faktor aus zwei, einer Variablen und einer Zahl, die ein gemeinsames Polynom ist. Deshalb, wenn Faktor-Das Binomial ist nicht offensichtlich, dann müssen Sie mindestens eine Wurzel finden. Wählen Sie den freien Term des Polynoms; dies ist ein Koeffizient ohne Variable. Wenden Sie nun die Substitutionsmethode auf den allgemeinen Ausdruck aller ganzzahligen Teiler des freien Termes an.

Betrachten Sie: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Überprüfen Sie, ob einer der ganzzahligen Faktoren von 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 ist. Finden Sie durch einfache Substitution z1 = 1 und z2 = 2, was bedeutet für Klammern wir können die Binome (z – 1) und (z – 2) entfernen. Um den verbleibenden Ausdruck zu finden, verwenden Sie eine sequentielle lange Division.

Der Ausdruck sei gegeben. Wir können diese Wurzel in einer einfacheren Form darstellen, indem wir auf sie den Satz über das Ziehen der Wurzel aus einem Produkt (§ 97) anwenden:

Genau so

Diese Transformation nennt man Herausnehmen des Faktors aus dem Wurzelzeichen.

Durch die Anwendung dieser Transformation wird der gegebene Ausdruck vereinfacht und die erforderlichen Berechnungen werden häufig reduziert. Dies lässt sich an den folgenden Beispielen erkennen.

Beispiel 1. Berechnen Sie den Ausdruck mit einer Genauigkeit von 0,01

Berechnen wir jede der Wurzeln mit einer Genauigkeit von 0,01:

Wir mussten die Quadratwurzel aus drei Zahlen ziehen, und darüber hinaus können wir nicht sicher sein, dass das Ergebnis tatsächlich den Wert des Ausdrucks mit einer Genauigkeit von 0,01 ergibt (um dies sicherzustellen, müssten wir die Wurzeln mit einem berechnen Genauigkeit größer als die angegebene).

Versuchen wir, diesen Ausdruck zu vereinfachen, indem wir das Grundzeichen der möglichen Faktoren herausnehmen:

Nach der Umrechnung müssen wir also nur noch die Quadratwurzel einer Zahl ziehen.

Nachdem wir es mit einer Genauigkeit von 0,01 berechnet haben, finden wir:

Jetzt können wir sehen, dass wir bei der ersten Berechnung einen Fehler von einem Hundertstel gemacht haben, das heißt, wir haben das Ergebnis nicht mit der angegebenen Genauigkeit erhalten.

Beispiel 2: Ausdruck auswerten

Wenn wir in diesen Ausdruck einsetzen, erhalten wir:

Wir müssen die Wurzel einer sechsstelligen Zahl ziehen.

Wir werden die Berechnungen erheblich vereinfachen, wenn wir zunächst die möglichen Faktoren aus dem Wurzelzeichen entfernen. Werde haben:

Wenn wir jetzt ersetzen, können wir leicht finden:

In allen vorherigen Beispielen haben wir den Wurzelausdruck faktorisiert, diejenigen identifiziert, deren Exponent durch zwei teilbar ist, und daraus die Wurzel gezogen. In Zukunft müssen Sie sich die Fähigkeit aneignen, die notwendigen Faktoren sofort hinter dem Wurzelzeichen zu platzieren, ohne auf eine vorläufige Faktorisierung des radikalen Ausdrucks zurückgreifen zu müssen.

Wie aus den Beispielen hervorgeht, reicht es zum Entfernen von Faktoren unter dem Quadratwurzelzeichen aus, den Exponenten jedes Faktors durch zwei zu dividieren und vor dem Wurzelzeichen dieses Faktors einen Exponenten zu schreiben, der dem resultierenden Quotienten entspricht, und unter dem Wurzelzeichen desselben Faktors mit einem Exponenten, der dem resultierenden Rest entspricht.

Im vorherigen Beispiel.

2. Eingabe von Faktoren unter dem Quadratwurzelzeichen.

Manchmal ist es im Gegenteil sinnvoll, die Faktoren davor unter dem Zeichen der Wurzel zusammenzufassen.

Angenommen, Sie müssen den Ausdruck mit einer Genauigkeit von 0,001 berechnen. Wenn wir mit einer Genauigkeit von 0,001 rechnen und das Ergebnis mit 20 multiplizieren, erhalten wir:

Wir können vorab sagen, dass das Ergebnis nicht der angegebenen Genauigkeit entspricht, da wir durch die Multiplikation der ungefähren Zahl 2,646 mit 20 den Fehler um das 20-fache erhöht haben.

Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, gehen wir von einer Genauigkeit von bis zu 0,0001 aus. Wir bekommen:

Aber wir können jetzt nicht sicher sein, dass wir die erforderliche Genauigkeit erreicht haben.

Lassen Sie uns die Berechnung anders durchführen. Stellen wir diesen Ausdruck wie folgt dar:

Wenn wir mit einer Genauigkeit von 0,001 rechnen, erhalten wir:

Dies ist der tatsächliche Wert dieses Ausdrucks, berechnet auf 0,001 genau.

Die betrachtete Transformation wird als Einführung eines Faktors unter dem Vorzeichen der Wurzel bezeichnet.

Das gegebene Beispiel zeigt die Machbarkeit einer solchen Transformation in einigen Fällen.

Um die davor stehenden Faktoren unter der Quadratwurzel einzutragen, genügt es, diese Faktoren zu quadrieren und den Wurzelausdruck mit dem erhaltenen Ergebnis zu multiplizieren.

In den ersten beiden Beispielen wurde zunächst der Multiplikator vor dem Wurzelzeichen unter dem Wurzelzeichen subsumiert und anschließend die Multiplikation durchgeführt.

Im dritten Beispiel wurden beide Vorgänge gleichzeitig ausgeführt.

3. Den radikalen Ausdruck auf die Gesamtform reduzieren.

Wenn der Wurzelausdruck gebrochen ist, empfiehlt es sich oft, ihn auf eine ganze Form zu reduzieren oder, wie man sagt, den Wurzelausdruck vom Nenner zu befreien.

Lassen Sie uns anhand von Beispielen zeigen, wie das geht.

Beispiel 1.

Um die Wurzel aus dem Nenner eines Wurzelausdrucks zu ziehen, multiplizieren wir Zähler und Nenner dieses Ausdrucks mit a. Wir kriegen es hin.