Mathematische Erwartung und Varianz des Poisson-Verteilungsgesetzes. Poisson-Verteilungsgesetz. Generierung von Zufallszahlen und λ-Schätzung

Wobei λ gleich der durchschnittlichen Anzahl des Auftretens von Ereignissen in denselben unabhängigen Versuchen ist, d. h. λ = n × p, wobei p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Versuch ist, e = 2,71828 .

Die Verteilungsreihe des Poissonschen Gesetzes hat die Form:

Dienstzuweisung. Der Online-Rechner wird verwendet, um die Poisson-Verteilung zu erstellen und alle Merkmale der Reihe zu berechnen: mathematischer Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Der Bericht mit der Entscheidung wird im Word-Format erstellt.

Anzahl von Versuchen: n= , Wahrscheinlichkeit p =
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für: m =
wird kommen einmal
weniger einmal
nicht weniger einmal
mehr einmal
nicht mehr einmal
nicht weniger und nicht mehr einmal
komm wenigstens einmal

In dem Fall, wenn n groß ist und λ = pn > 10 ist, ergibt die Poisson-Formel eine sehr grobe Annäherung, und die lokalen und integralen Moivre-Laplace-Theoreme werden verwendet, um Pn(m) zu berechnen.

Numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen X

Die mathematische Erwartung der Poisson-Verteilung
M[X] = λ

Varianz der Poisson-Verteilung
D[X] = λ

Beispiel 1. Die Samen enthalten 0,1 % Unkraut. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 5 Unkrautsamen in einer zufälligen Auswahl von 2000 Samen zu finden?
Lösung.
Die Wahrscheinlichkeit p ist klein, und die Zahl n ist groß. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Erwarteter Wert: M[X] = λ = 2
Streuung: D[X] = λ = 2

Beispiel #2. Unter Roggensamen sind 0,4 % Unkrautsamen enthalten. Stellen Sie das Verteilungsgesetz der Unkrautzahl mit einer zufälligen Auswahl von 5000 Samen auf. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.
Lösung. Erwartung: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Varianz: D[X] = λ = 20
Vertriebsrecht:

X	0	1	2	…	m	…
P	e-20	20e-20	200e-20	…	20 Meter -20 / Meter!	…

Beispiel #3. Bei der Telefonzentrale kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/200 zu einer Fehlverbindung. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es unter 200 Verbindungen gibt:
a) genau eine falsche Verbindung;
b) weniger als drei falsche Verbindungen;
c) mehr als zwei falsche Verbindungen.
Lösung. Je nach Bedingung des Problems ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses klein, daher verwenden wir die Poisson-Formel (15).
a) Gegeben: n = 200, p = 1/200, k = 1. Finde P 200 (1).
Wir bekommen: . Dann ist P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Gegeben: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Wir haben: a = 1.

c) Gegeben: n = 200, p = 1/200, k > 2. Finde P 200 (k > 2).
Dieses Problem kann einfacher gelöst werden: um die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu finden, da Sie in diesem Fall weniger Terme berechnen müssen. Unter Berücksichtigung des vorherigen Falls haben wir

Betrachten Sie den Fall, in dem n groß genug und p klein genug ist; wir setzen np = a, wobei a eine Zahl ist. In diesem Fall wird die gewünschte Wahrscheinlichkeit durch die Poisson-Formel bestimmt:

Die Eintrittswahrscheinlichkeit von k Ereignissen in einer Zeit der Dauer t kann auch mit der Poisson-Formel ermittelt werden:
wobei λ die Intensität des Ereignisflusses ist, d. h. die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen, die pro Zeiteinheit auftreten.

Beispiel Nr. 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil defekt ist, beträgt 0,005. 400 Teile werden geprüft. Geben Sie die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass mehr als 3 Teile defekt sind.

Beispiel Nummer 5. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens fehlerhafter Teile in ihrer Massenproduktion ist gleich p. bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Charge von N Teilen a) genau drei Teile enthält; b) nicht mehr als drei fehlerhafte Teile.
p = 0,001; N=4500
Lösung.
Die Wahrscheinlichkeit p ist klein, und die Zahl n ist groß. n p = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Die Zufallsvariable X hat den Wertebereich (0,1,2,...,m). Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte können durch die Formel gefunden werden:

Lassen Sie uns die Verteilungsserie X finden.
Hier ist λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e – λ = e –4,5 = 0,01111
P(1) = λe - λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Charge von N Teilen genau drei Teile enthält, gleich:

Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Charge von N Teilen nicht mehr als drei fehlerhafte Teile enthält:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Beispiel Nummer 6. Eine automatische Telefonzentrale nimmt durchschnittlich N Anrufe pro Stunde entgegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einer bestimmten Minute: a) genau zwei Anrufe erhält; b) mehr als zwei Anrufe.
N = 18
Lösung.
In einer Minute empfängt der ATS im Mittel λ = 18/60 min. = 0,3
Angenommen, eine zufällige Anzahl X von Anrufen, die in einer Minute an der PBX eingehen,
gehorcht dem Gesetz von Poisson, durch die Formel finden wir die gewünschte Wahrscheinlichkeit

Lassen Sie uns die Verteilungsserie X finden.
Hier ist λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe - λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einer bestimmten Minute genau zwei Anrufe erhält, ist:
P(2) = 0,03334
Die Wahrscheinlichkeit, dass sie mehr als zwei Anrufe in einer bestimmten Minute erhält, ist:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Beispiel Nummer 7. Wir betrachten zwei Elemente, die unabhängig voneinander arbeiten. Die Betriebsdauer ist exponentiell verteilt mit den Parametern λ1 = 0,02 für das erste Element und λ2 = 0,05 für das zweite Element. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 10 Stunden: a) beide Elemente einwandfrei funktionieren; b) nur Wahrscheinlichkeit, dass Element #1 in 10 Stunden nicht ausfällt:
Lösung.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 \u003d 0,8187

Die Wahrscheinlichkeit, dass Element Nr. 2 in 10 Stunden nicht ausfällt, ist:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 \u003d 0,6065

a) beide Elemente funktionieren einwandfrei;
P(2) = P1(0)*P2(0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) nur ein Element wird ausfallen.
P(1) = P1(0)*(1-P2(0)) + (1-P1(0))*P2(0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Beispiel Nummer 7. Die Produktion gibt 1% der Ehe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 1100 zu Forschungszwecken entnommenen Produkten nicht mehr als 17 abgelehnt werden?
Notiz: da hier n*p =1100*0.01=11 > 10 ist, muss verwendet werden

In vielen praktisch wichtigen Anwendungen spielt die Poisson-Verteilung eine wichtige Rolle. Viele der numerischen diskreten Größen sind Implementierungen des Poisson-Prozesses, der die folgenden Eigenschaften hat:

• Uns interessiert, wie oft ein Ereignis in einem bestimmten Bereich möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments auftritt. Der Bereich möglicher Ergebnisse kann ein Zeitintervall, ein Segment, eine Oberfläche usw. sein.
• Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist für alle Bereiche möglicher Ergebnisse gleich.
• Die Anzahl der Ereignisse, die in einem Bereich möglicher Ergebnisse auftreten, hängt nicht von der Anzahl der Ereignisse ab, die in anderen Bereichen auftreten.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebenes Ereignis mehr als einmal im selben Bereich möglicher Ergebnisse auftritt, geht gegen Null, wenn der Bereich möglicher Ergebnisse abnimmt.

Um die Bedeutung des Poisson-Prozesses besser zu verstehen, nehmen wir an, wir untersuchen die Anzahl der Kunden, die während der Mittagspause eine Bankfiliale im zentralen Geschäftsviertel besuchen, d. h. von 12 bis 13 Stunden. Angenommen, Sie möchten die Anzahl der pro Minute ankommenden Kunden ermitteln. Hat diese Situation die oben aufgeführten Merkmale? Erstens ist das Ereignis, an dem wir interessiert sind, die Ankunft des Kunden, und der Bereich möglicher Ergebnisse ist ein Ein-Minuten-Intervall. Wie viele Kunden kommen in einer Minute zur Bank – keiner, einer, zwei oder mehr? Zweitens ist es vernünftig anzunehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde innerhalb einer Minute ankommt, für alle Ein-Minuten-Intervalle gleich ist. Drittens ist die Ankunft eines Clients während eines beliebigen Ein-Minuten-Intervalls unabhängig von der Ankunft eines anderen Clients während eines beliebigen anderen Ein-Minuten-Intervalls. Und schließlich wird die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Kunde zur Bank kommt, gegen Null gehen, wenn das Zeitintervall gegen Null geht, beispielsweise kleiner als 0,1 s. Die Anzahl der Kunden, die während des Mittagessens innerhalb einer Minute in die Bank kommen, wird also durch die Poisson-Verteilung beschrieben.

Die Poisson-Verteilung hat einen Parameter, der mit dem Symbol λ (griechischer Buchstabe „Lambda“) bezeichnet wird – die durchschnittliche Anzahl erfolgreicher Versuche in einem bestimmten Bereich möglicher Ergebnisse. Die Varianz der Poisson-Verteilung ist ebenfalls λ und ihre Standardabweichung ist . Anzahl erfolgreicher Versuche X Poisson-Zufallsvariable variiert von 0 bis unendlich. Die Poisson-Verteilung wird durch die Formel beschrieben:

wo P(X)- Wahrscheinlichkeit X erfolgreiche Versuche, λ ist die erwartete Anzahl von Erfolgen, e- die Basis des natürlichen Logarithmus, gleich 2,71828, X- die Anzahl der Erfolge pro Zeiteinheit.

Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Nehmen wir an, in der Mittagspause kommen durchschnittlich drei Kunden pro Minute zur Bank. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Minute zwei Kunden zur Bank kommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei Kunden zur Bank kommen?

Wenden wir Formel (1) mit dem Parameter λ = 3 an. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kunden in einer bestimmten Minute zur Bank kommen, gleich

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei Kunden zur Bank kommen, ist P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) . Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 sein sollte, stellen die Mitglieder der Reihe auf der rechten Seite der Formel die Wahrscheinlichkeit der Addition zum Ereignis X ≤ 2 dar. Mit anderen Worten, die Summe dieser Reihe ist 1 - P (X ≤ 2). Somit ist P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Mit Formel (1) erhalten wir nun:

So beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute nicht mehr als zwei Kunden zur Bank kommen, 0,423 (bzw. 42,3 %) und die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute mehr als zwei Kunden zur Bank kommen, 0,577 (bzw. 57,7 %).

Solche Berechnungen können langwierig erscheinen, insbesondere wenn der Parameter λ groß genug ist. Um komplexe Berechnungen zu vermeiden, sind viele Poisson-Wahrscheinlichkeiten in speziellen Tabellen zu finden (Abb. 1). Beispielsweise liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kunden in einer bestimmten Minute zur Bank kommen, wenn im Durchschnitt drei Kunden pro Minute zur Bank kommen, am Schnittpunkt der Linie X= 2 und Spalte λ = 3. Somit ist es gleich 0,2240 oder 22,4 %.

Reis. 1. Poisson-Wahrscheinlichkeit für λ = 3

Nun ist es unwahrscheinlich, dass jemand Tabellen verwendet, wenn Excel mit seiner Funktion =POISSON.DIST() (Abb. 2) zur Hand ist. Diese Funktion hat drei Parameter: Anzahl erfolgreicher Versuche X, durchschnittlich erwartete Anzahl erfolgreicher Versuche λ, Parameter Integral, die zwei Werte annehmen kann: FALSCH - in diesem Fall wird die Wahrscheinlichkeit der Anzahl erfolgreicher Versuche berechnet X(nur X), TRUE - in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der erfolgreichen Versuche von 0 bis X.

Reis. 2. Berechnung in Excel von Poisson-Verteilungswahrscheinlichkeiten für λ = 3

Approximation der Binomialverteilung mit der Poisson-Verteilung

Wenn Zahl n groß, und die Zahl R- klein, die Binomialverteilung kann mit der Poisson-Verteilung angenähert werden. Je größer die Zahl n und weniger Zahl R, desto höher ist die Näherungsgenauigkeit. Das folgende Poisson-Modell wird verwendet, um die Binomialverteilung zu approximieren.

wo P(X)- Wahrscheinlichkeit X Erfolg mit den gegebenen Parametern n und R, n- Probengröße, R- wahre Erfolgswahrscheinlichkeit, e ist die Basis des natürlichen Logarithmus, X- Anzahl der Erfolge in der Stichprobe (X = 0, 1, 2, …, n).

Theoretisch nimmt eine Zufallsvariable mit einer Poisson-Verteilung Werte von 0 bis ∞ an. In Situationen, in denen die Poisson-Verteilung zur Annäherung an die Binomialverteilung verwendet wird, ist die Poisson-Zufallsvariable jedoch die Anzahl der Erfolge unter ihnen n Beobachtungen - darf die Anzahl nicht überschreiten n. Aus Formel (2) folgt das mit zunehmender Zahl n und eine Abnahme der Zahl R die Wahrscheinlichkeit, viele Erfolge zu finden, nimmt ab und geht gegen Null.

Wie oben erwähnt, sind der mathematische Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 der Poisson-Verteilung gleich λ. Daher sollte bei der Annäherung der Binomialverteilung unter Verwendung der Poisson-Verteilung Formel (3) verwendet werden, um die mathematische Erwartung anzunähern.

(3) µ = …(Х) = λ =np

Formel (4) wird verwendet, um die Standardabweichung anzunähern.

Beachten Sie, dass die nach Formel (4) berechnete Standardabweichung zur Standardabweichung im Binomialmodell tendiert - wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit p gegen Null tendiert und dementsprechend die Ausfallwahrscheinlichkeit 1 - p neigt zur Einigkeit.

Nehmen Sie an, dass 8 % der in einem bestimmten Werk produzierten Reifen defekt sind. Um die Verwendung der Poisson-Verteilung zur Annäherung an die Binomialverteilung zu veranschaulichen, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, einen defekten Reifen in einer Stichprobe von 20 Reifen zu finden. Wenden wir Formel (2) an, erhalten wir

Wenn wir die wahre Binomialverteilung anstelle ihrer Annäherung berechnen würden, würden wir das folgende Ergebnis erhalten:

Diese Berechnungen sind jedoch ziemlich langwierig. Wenn Sie zur gleichen Zeit Excel verwenden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wird die Verwendung der Poisson-Verteilungsnäherung überflüssig. Auf Abb. 3 zeigt, dass die Komplexität der Berechnungen in Excel die gleiche ist. Dieser Abschnitt ist meiner Meinung nach jedoch hilfreich, um zu verstehen, dass die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung unter bestimmten Bedingungen ähnliche Ergebnisse liefern.

Reis. 3. Vergleich der Komplexität von Berechnungen in Excel: (a) Poisson-Verteilung; (b) Binomialverteilung

In dieser und zwei vorherigen Anmerkungen wurden also drei diskrete numerische Verteilungen betrachtet: , und Poisson. Um besser zu verstehen, wie diese Verteilungen zueinander in Beziehung stehen, stellen wir einen kleinen Fragenbaum vor (Abb. 4).

Reis. 4. Klassifikation diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es werden Materialien aus dem Buch Levin et al. Statistics for Managers verwendet. - M.: Williams, 2004. - p. 320–328

Grundgesetze der Verteilung einer Zufallsvariablen

VORTRAG 9

(Fortsetzung)

Lass es produzieren n unabhängige Studien, in denen jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER ist gleich R . Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen k – Eintreten des Ereignisses ABER Bei diesen Tests wird, wie Sie bereits wissen, die Bernoulli-Formel verwendet. Was wäre jedoch, wenn n groß, und die Wahrscheinlichkeit R Entwicklungen ABER klein genug (). In solchen Fällen greift man auf die asymptotische Poisson-Formel zurück.

Stellen wir also unsere Aufgabe Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass für eine sehr große Anzahl von Versuchen, in denen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses jeweils sehr gering ist, das Ereignis genau eintrittk einmal.

Gehen wir von einer wichtigen Annahme aus: Lassen Sie das Produkt einen konstanten Wert behalten, nämlich . Dies bedeutet die durchschnittliche Anzahl des Auftretens eines Ereignisses in verschiedenen Testreihen, dh für verschiedene Werte n , bleibt unverändert.

Wir verwenden die Bernoulli-Formel, um die für uns interessante Wahrscheinlichkeit zu berechnen:

Unter Berücksichtigung dessen n ist sehr wichtig, stattdessen finden wir . In diesem Fall wird nur ein ungefährer Wert der gesuchten Wahrscheinlichkeit gefunden: n obwohl groß, aber immer noch endlich, und wir werden uns bemühen, die Grenze zu finden n zur Unendlichkeit.

Als Ergebnis (der Einfachheit halber wird das ungefähre Gleichheitszeichen weggelassen) schreiben wir

.

Diese Formel drückt die Poisson-Verteilung von Massenwahrscheinlichkeiten aus ( n großartig) selten ( R wenige) Veranstaltungen.

Daher werden wir sagen, dass eine diskrete Zufallsvariable , das eine zählbare Menge von Werten annimmt, gehorcht dem Poisson-Verteilungsgesetz, wenn die Wahrscheinlichkeiten seiner möglichen Werte durch den Ausdruck gegeben sind:

Eigenschaften der Poisson-Verteilung:

Wirklich:

2. .

3. Wenn , dann folgt das Poisson-Verteilungsgesetz aus der Binomialverteilung.

BEISPIEL 1.Das Werk schickte 5.000 hochwertige Produkte an die Basis. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt beim Transport beschädigt wird, beträgt 0,0002. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Folgendes an der Basis ankommt: a) drei wertlose Gegenstände; b) nicht mehr als drei beschädigte Produkte.

Lösung: nach Zustand n =5000, p =0,0002. Lass uns finden .

a) k = 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach der Poisson-Formel ist ungefähr gleich

.

b) Sei die Zufallsvariable X - die Anzahl der beim Transport beschädigten Produkte . Offensichtlich ist diese Zufallsvariable nach dem Binomialgesetz verteilt. Daher kann die gewünschte Wahrscheinlichkeit durch die Formel berechnet werden

Aber da , dann können wir nach Eigenschaft 3 o das Poisson-Verteilungsgesetz anwenden, das heißt, wir können schreiben.

Betrachten Sie die Poisson-Verteilung, berechnen Sie ihren mathematischen Erwartungswert, ihre Varianz und ihren Modus. Unter Verwendung der MS EXCEL-Funktion POISSON.DIST() zeichnen wir die Diagramme der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichte. Lassen Sie uns den Verteilungsparameter, seinen mathematischen Erwartungswert und seine Standardabweichung schätzen.

Zuerst geben wir eine trockene formale Definition der Verteilung, dann geben wir Beispiele für Situationen, in denen Poisson-Verteilung(Englisch) PoissonVerteilung) ist ein adäquates Modell zur Beschreibung einer Zufallsvariablen.

Wenn in einem bestimmten Zeitraum (oder in einem bestimmten Materievolumen) zufällige Ereignisse mit einer mittleren Häufigkeit λ( Lambda), dann die Anzahl der Ereignisse x, in diesem Zeitraum eingetreten sind Poisson-Verteilung.

Anwendung der Poisson-Verteilung

Beispiele wann Poisson-Verteilung ist ein adäquates Modell:

• die Anzahl der Anrufe, die während eines bestimmten Zeitraums bei der Telefonzentrale eingegangen sind;
• die Anzahl der Teilchen, die in einem bestimmten Zeitraum radioaktiv zerfallen sind;
• die Anzahl der Fehler in einem Stück Stoff mit fester Länge.

Poisson-Verteilung ist ein adäquates Modell, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Ereignisse treten unabhängig voneinander auf, d.h. die Wahrscheinlichkeit eines nachfolgenden Ereignisses hängt nicht vom vorherigen ab;
• die durchschnittliche Häufigkeit der Ereignisse ist konstant. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses proportional zur Länge des Beobachtungsintervalls;
• zwei Ereignisse können nicht gleichzeitig stattfinden;
• die Anzahl der Ereignisse muss den Wert 0 annehmen; eines; 2…

Notiz: Ein guter Anhaltspunkt, den die beobachtete Zufallsvariable hat Poisson-Verteilung, ist die Tatsache, dass ungefähr gleich (siehe unten).

Im Folgenden finden Sie Beispiele für Situationen, in denen Poisson-Verteilung kann nicht angewendet werden:

• die Anzahl der Studenten, die die Universität innerhalb einer Stunde verlassen (weil der durchschnittliche Studentenstrom nicht konstant ist: während des Unterrichts gibt es wenige Studenten, und die Anzahl der Studenten steigt zwischen den Vorlesungen stark an);
• die Anzahl der Erdbeben mit einer Amplitude von 5 Punkten pro Jahr in Kalifornien (weil ein Erdbeben wiederholte Erschütterungen ähnlicher Amplitude verursachen kann - die Ereignisse sind nicht unabhängig);
• die Anzahl der Tage, die Patienten auf der Intensivstation verbringen (weil die Anzahl der Tage, die Patienten auf der Intensivstation verbringen, immer größer als 0 ist).

Notiz: Poisson-Verteilung ist eine Annäherung genauerer diskreter Verteilungen: und .

Notiz: Über Beziehung Poisson-Verteilung und Binomialverteilung ist im Artikel nachzulesen. Über Beziehung Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung finden Sie im Artikel über .

Poisson-Verteilung in MS EXCEL

In MS EXCEL, ab Version 2010, z Ausschüttungen Poisson Es gibt eine Funktion POISSON.DIST() , der englische Name ist POISSON.DIST() , mit der Sie nicht nur die Wahrscheinlichkeit berechnen können, die über einen bestimmten Zeitraum eintreten wird X Ereignisse (Funktion Wahrscheinlichkeitsdichte p(x), siehe Formel oben), sondern auch (Wahrscheinlichkeit, dass in einem bestimmten Zeitraum mindestens x Veranstaltungen).

Vor MS EXCEL 2010 hatte EXCEL die Funktion POISSON(), mit der Sie auch rechnen können Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte p(x). POISSON() wird aus Kompatibilitätsgründen in MS EXCEL 2010 belassen.

Die Beispieldatei enthält Diagramme Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte und integrale Verteilungsfunktion.

Poisson-Verteilung hat eine schiefe Form (ein langes Ende rechts von der Wahrscheinlichkeitsfunktion), aber wenn der Parameter λ zunimmt, wird es immer symmetrischer.

Notiz: Durchschnitt und Streuung(Quadrat) sind gleich dem Parameter Poisson-Verteilung– λ (vgl Beispiel Datei Blatt Beispiel).

Eine Aufgabe

Typische Anwendung Poisson-Verteilungen in der Qualitätskontrolle, ist ein Modell der Anzahl von Fehlern, die in einem Gerät oder Gerät auftreten können.

Wenn zum Beispiel die durchschnittliche Anzahl von Defekten in einem Chip λ (Lambda) 4 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Chip 2 oder weniger Defekte hat, gleich: = POISSON.ABSTAND(2,4,WAHR)=0,2381

Der dritte Parameter in der Funktion wird = TRUE gesetzt, sodass die Funktion zurückkehrt integrale Verteilungsfunktion, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Zufallsereignisse im Bereich von 0 bis einschließlich 4 liegt.

Berechnungen erfolgen in diesem Fall nach der Formel:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Chip genau 2 Defekte hat, ist: POISSON.ABSTAND(2,4,FALSCH)=0,1465

Der dritte Parameter in der Funktion ist auf FALSE gesetzt, sodass die Funktion die Wahrscheinlichkeitsdichte zurückgibt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Chip mehr als 2 Defekte aufweist, ist gleich: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, WAHR) \u003d 0,8535

Notiz: Wenn ein x keine ganze Zahl ist, dann bei der Berechnung der Formel . Formeln =POISSON.ABSTAND( 2 ; vier; FALSCH) und =POISSON.ABSTAND( 2,9 ; vier; FALSCH) wird das gleiche Ergebnis zurückgeben.

Generierung von Zufallszahlen und λ-Schätzung

Für Werte λ >15 , Poisson-Verteilung gut angenähert Normalverteilung mit folgenden Parametern: μ =λ , σ 2 =λ .

Sie können mehr über die Beziehung zwischen diesen Verteilungen im Artikel lesen. Dort werden auch Beispiele für Annäherungen gegeben und Bedingungen erläutert, wann und mit welcher Genauigkeit sie möglich sind.

RAT: Weitere Distributionen von MS EXCEL können Sie im Artikel nachlesen .

Poisson-Verteilung.

Betrachten Sie die typischste Situation, in der die Poisson-Verteilung auftritt. Lassen Sie die Veranstaltung ABER erscheint eine bestimmte Anzahl von Malen in einem festen Raumbereich (Intervall, Fläche, Volumen) oder einem Zeitraum mit konstanter Intensität. Betrachten Sie zur Sicherheit das sequentielle zeitliche Auftreten von Ereignissen, das als Ereignisfluss bezeichnet wird. Grafisch kann der Ablauf von Ereignissen durch eine Reihe von Punkten dargestellt werden, die sich auf der Zeitachse befinden.

Dies kann ein Anruffluss im Dienstleistungsbereich sein (Reparatur von Haushaltsgeräten, Anruf eines Krankenwagens usw.), ein Anruffluss an eine Telefonanlage, der Ausfall einiger Teile des Systems, radioaktiver Zerfall, Stoffstücke oder Bleche und die Anzahl der Fehler auf jedem von ihnen usw. Die Poisson-Verteilung erweist sich als am nützlichsten bei den Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, nur die Anzahl der positiven Ergebnisse („Erfolge“) zu bestimmen.

Stellen Sie sich ein Brötchen mit Rosinen vor, das in gleich große Stücke geteilt ist. Aufgrund der zufälligen Verteilung der Rosinen ist nicht zu erwarten, dass alle Scheiben gleich viele Rosinen enthalten. Wenn die durchschnittliche Anzahl der in diesen Scheiben enthaltenen Rosinen bekannt ist, gibt die Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit an, dass eine bestimmte Scheibe Rosinen enthält X=k(k= 0,1,2,...,) die Anzahl der Rosinen.

Mit anderen Worten, die Poisson-Verteilung bestimmt, wie viel einer langen Reihe von Stücken 0 oder 1 oder 2 oder so weiter enthält. Reihe von Höhepunkten.

Lassen Sie uns die folgenden Annahmen treffen.

1. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum hängt nur von der Länge dieses Zeitraums ab und nicht von seiner Position auf der Zeitachse. Dies ist die Eigenschaft der Stationarität.

2. das Eintreten von mehr als einem Ereignis in ausreichend kurzer Zeit praktisch unmöglich ist; die bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses im gleichen Intervall geht bei ® 0 gegen Null. Dies ist die Eigenschaft der Gewöhnlichkeit.

3. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum hängt nicht von der Anzahl von Ereignissen ab, die in anderen Zeiträumen auftreten. Dies ist die Eigenschaft ohne Nachwirkung.

Der Ereignisfluss, der die aufgelisteten Sätze erfüllt, wird aufgerufen das einfachste.

Betrachten Sie ein ziemlich kleines Zeitintervall. Basierend auf Eigenschaft 2 kann das Ereignis in diesem Intervall einmal oder überhaupt nicht erscheinen. Bezeichnen wir die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit R, und Nichterscheinen - durch q = 1-p. Wahrscheinlichkeit R ist konstant (Eigenschaft 3) und hängt nur von der Größe ab (Eigenschaft 1). Die mathematische Erwartung der Anzahl des Auftretens des Ereignisses im Intervall ist gleich 0× q+ 1× p = p. Dann wird die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit als Intensität der Strömung bezeichnet und mit bezeichnet a, diese. a = .

Betrachten Sie ein endliches Zeitintervall t und teile es auf n Teile = . Das Auftreten von Ereignissen in jedem dieser Intervalle ist unabhängig (Eigenschaft 2). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall t bei konstanter Durchflussmenge a das Ereignis wird genau angezeigt X=k sobald es nicht angezeigt wird n–k. Da kann ein Event in jedem von n Lücken erscheinen nicht mehr als 1 Mal, dann für das Erscheinen k Zeiten auf einem Segment der Dauer t es sollte in jedem erscheinen k Intervalle von der Gesamtzahl n. Es gibt insgesamt solche Kombinationen, und die Wahrscheinlichkeit jeder ist gleich . Daher erhalten wir nach dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz für die gesuchte Wahrscheinlichkeit die bekannte Bernoulli-Formel

Diese Gleichheit wird als ungefähr geschrieben, da Eigenschaft 2 als Ausgangsprämisse bei ihrer Ableitung diente, je genauer sie ist, desto weniger . Um eine exakte Gleichheit zu erhalten, gehen wir zum Grenzwert als ® 0 über oder, was dasselbe ist, n® . Nach Austausch erhalten

P = a= und q = 1 – .

Lassen Sie uns einen neuen Parameter = einführen bei, was die durchschnittliche Anzahl der Vorkommen des Ereignisses im Segment bedeutet t. Nach einfachen Umformungen und Grenzübergang in den Faktoren erhalten wir.

= 1, = ,

Endlich bekommen wir

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2,718... ist die Basis des natürlichen Logarithmus.

Definition. Zufallswert X, die nur ganzzahlige, positive Werte 0, 1, 2, ... annimmt, hat ein Poisson-Verteilungsgesetz mit einem Parameter if

zum k = 0, 1, 2, ...

Die Poisson-Verteilung wurde vom französischen Mathematiker S.D. Poisson (1781-1840). Es dient zur Lösung von Problemen bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten relativ seltener, zufälliger, voneinander unabhängiger Ereignisse pro Zeit-, Längen-, Flächen- und Volumeneinheit.

Für den Fall, dass a) groß ist und b) k= , gilt die Stirling-Formel:

Zur Berechnung nachfolgender Werte wird die rekursive Formel verwendet

P(k + 1) = P(k).

Beispiel 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 1000 Menschen an einem bestimmten Tag geboren wurden: a) keine, b) eine, c) zwei, d) drei Menschen?

Lösung. Als p= 1/365, dann q\u003d 1 - 1/365 \u003d 364/365 "1.

Dann

a) ,

b) ,

in) ,

G) .

Wenn es also Stichproben von 1000 Personen gibt, beträgt die durchschnittliche Anzahl von Personen, die an einem bestimmten Tag geboren wurden, jeweils 65; 178; 244; 223.

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Wert für die mit Wahrscheinlichkeit R Das Ereignis ist mindestens einmal aufgetreten.

Lösung. Vorfall ABER= (erscheint mindestens einmal) und = (erscheint nicht einmal). Folglich .

Von hier und .

Zum Beispiel für R= 0,5 , z R= 0,95 .

Beispiel 3. Auf Webstühlen, die von einem Weber betrieben werden, treten innerhalb einer Stunde 90 Fadenbrüche auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 4 Minuten mindestens ein Fadenbruch auftritt.

Lösung. Nach Zustand t = 4min. und die durchschnittliche Anzahl von Unterbrechungen pro Minute, woher . Die benötigte Wahrscheinlichkeit ist .

Eigenschaften. Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen, die eine Poisson-Verteilung mit einem Parameter hat, sind:

M(X) = D(X) = .

Diese Ausdrücke werden durch direkte Berechnungen erhalten:

Hier der Ersatz n = k– 1 und nutzen die Tatsache, dass .

Indem Transformationen durchgeführt werden, die denen ähneln, die bei der Ableitung verwendet wurden M(X), wir bekommen

Die Poisson-Verteilung wird verwendet, um die Binomialverteilung insgesamt anzunähern n