Unendliche „Zahlen“. Nicht in der Aufsatzsammlung enthalten

10 hoch 3003

Streitigkeiten darüber, was die größte Zahl der Welt ist, dauern an. Verschiedene Rechensysteme bieten unterschiedliche Optionen und die Menschen wissen nicht, was sie glauben sollen und welche Zahl sie als die größte betrachten sollen.

Diese Frage beschäftigt Wissenschaftler seit der Zeit des Römischen Reiches. Das größte Problem liegt in der Definition, was eine „Zahl“ und was eine „Ziffer“ ist. Früher hielt man die größte Zahl lange Zeit für eine Dezillion, also 10 hoch 33. Doch nachdem Wissenschaftler begonnen hatten, das amerikanische und das englische metrische System aktiv zu studieren, wurde entdeckt, dass die größte Zahl auf der Welt 10 hoch 3003 ist – eine Million. Die Menschen im Alltag glauben, dass die größte Zahl eine Billion ist. Darüber hinaus ist dies recht formal, da nach einer Billion Namen einfach nicht mehr genannt werden, weil die Zählung zu komplex wird. Rein theoretisch lässt sich die Anzahl der Nullen jedoch unbegrenzt addieren. Daher ist es fast unmöglich, sich eine Billion und das, was darauf folgt, auch nur rein visuell vorzustellen.

In römischen Ziffern

Andererseits ist die Definition von „Zahl“, wie sie von Mathematikern verstanden wird, etwas anders. Eine Zahl ist ein allgemein akzeptiertes Zeichen und dient zur Angabe einer Größe, die in einem numerischen Äquivalent ausgedrückt wird. Der zweite Begriff „Zahl“ bedeutet den Ausdruck quantitativer Merkmale in einer geeigneten Form durch die Verwendung von Zahlen. Daraus folgt, dass Zahlen aus Ziffern bestehen. Wichtig ist auch, dass die Zahl symbolische Eigenschaften hat. Sie sind bedingt, erkennbar, unveränderlich. Auch Zahlen haben Vorzeicheneigenschaften, diese ergeben sich jedoch aus der Tatsache, dass Zahlen aus Ziffern bestehen. Daraus können wir schließen, dass eine Billion überhaupt keine Zahl, sondern eine Zahl ist. Was ist dann die größte Zahl der Welt, wenn es nicht eine Billion ist, was eine Zahl ist?

Wichtig ist, dass Zahlen als Komponenten von Zahlen verwendet werden, aber nicht nur das. Eine Zahl ist jedoch dieselbe Zahl, wenn wir über bestimmte Dinge sprechen und sie von null bis neun zählen. Dieses Merkmalssystem gilt nicht nur für die bekannten arabischen Ziffern, sondern auch für die römischen Ziffern I, V, X, L, C, D, M. Dabei handelt es sich um römische Ziffern. Andererseits ist V I I I eine römische Zahl. In der arabischen Analysis entspricht sie der Zahl Acht.

In arabischen Ziffern

Es stellt sich also heraus, dass Zähleinheiten von null bis neun als Zahlen gelten und alles andere als Zahlen. Daher die Schlussfolgerung, dass die größte Zahl auf der Welt neun ist. 9 ist ein Zeichen und eine Zahl ist eine einfache quantitative Abstraktion. Eine Billion ist eine Zahl und überhaupt keine Zahl und kann daher nicht die größte Zahl der Welt sein. Eine Billion kann als die größte Zahl der Welt bezeichnet werden, und das ist rein nominell, da Zahlen bis ins Unendliche gezählt werden können. Die Anzahl der Ziffern ist streng begrenzt – von 0 bis 9.

Es sollte auch daran erinnert werden, dass die Ziffern und Ziffern verschiedener Ziffern nicht übereinstimmen, wie wir an den Beispielen mit arabischen und römischen Ziffern und Ziffern gesehen haben. Dies geschieht, weil Zahlen und Zahlen einfache Konzepte sind, die vom Menschen selbst erfunden wurden. Daher kann eine Zahl in einem Zahlensystem leicht eine Zahl in einem anderen sein und umgekehrt.

Somit ist die größte Zahl unzählbar, da sie immer wieder aus Ziffern addiert werden kann. Was die Zahlen selbst betrifft, gilt im allgemein anerkannten System 9 als die größte Zahl.

Zwei Dinge sind wirklich endlos:
Das Universum und die menschliche Dummheit.
Allerdings habe ich etwas über das Universum
es gibt einige Zweifel.
Albert Einstein

Wir haben dieses Thema bereits kürzlich angesprochen, aber es ist so wichtig, dass es sich lohnt, näher darauf einzugehen.

Wenn manchmal über ein Objekt dieselben Worte wie über ein anderes gesagt werden, bedeutet dies nicht, dass diese Objekte dieselben Eigenschaften haben.

Das ist ein langer und unverständlicher Satz, deshalb erkläre ich es anhand eines Beispiels:
Sie können „Rufen Sie das Telefon an“ oder „Klingeln“ sagen – sehr unterschiedliche Aktionen, aber ein Verb. Daraus können wir nicht schließen, dass alle anderen Aktionen mit dem Telefon (SMS empfangen, 200 Nummern speichern usw.) charakteristisch für die Klingel sind. Das ist so offensichtlich, dass dieser Absatz absurd erscheint.

Aber warum operieren viele Menschen dann so leichtfertig mit dem Wort Unendlichkeit, als wäre es eine Zahl? Ja, Sie können einige Aktionen auf die Unendlichkeit anwenden, die erfolgreich mit Zahlen funktionieren ( die notwendigen Reservierungen vorzunehmen):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (außerdem wird die Reihe der reellen Zahlen oft um ein Elementpaar +∞ und -∞ erweitert, aber streng vorschreiben wie damit umgegangen werden kann).

Das bedeutet, dass man mit solchen „Unendlichkeiten“ nicht alles machen kann. Zum Beispiel: ∞ - ∞ = ? (Hier haben wir Unsicherheit, da wir keine Antwort geben können, ohne die Natur dieser beiden „Unendlichkeiten“ zu kennen). Auf jeden Fall ist es naiv, sofort zu sagen, dass die Differenz Null sein wird.

Und wenn man darüber redet, dass eine bestimmte Größe gegen Null oder Unendlich tendiert, dann kommt es sehr oft nie zu einer richtigen Argumentation. Übrigens haben wir uns vor einem halben Jahr mit der alltäglichen Verwendung des Begriffs Unendlichkeit beschäftigt. Dann gelang es uns zu „beweisen“, dass die Summe der Schenkel eines Dreiecks immer gleich der Hypotenuse ist. Dies war kein sehr einfaches Beispiel, aber es war ein nützliches Beispiel. Es gibt viel ältere und berühmtere Konstruktionen, die so einfach aussehen, dass überhaupt nicht klar ist, wie es zu Problemen mit ihnen kommen kann.

Erinnern wir uns an Zenos klassische Aporie:
Wenn bekannt ist, dass Achilles zehnmal schneller läuft als eine Schildkröte und sich in einer Entfernung von 1 Kilometer von ihr befindet, dann kriecht die Schildkröte während der Zeit, die Achilles auf diesem Kilometer verbringt, 100 Meter weit. Wenn Achilles weitere 100 Meter läuft, kriecht die Schildkröte dementsprechend 10 Meter und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit andauern und Achilles wird die Schildkröte nie einholen können, obwohl er sich schneller bewegt.

Die Fähigkeit, verständliche Dinge zu solchen Problemen zu sagen, ist notwendig, um die Überlegungen zu Anspruch, Grenze, Unendlichkeit und anderen intuitiv klaren, aber ziemlich komplexen Konzepten zumindest irgendwie zu verstehen. Ohne dies dreht sich das Gespräch normalerweise um die Frage, „wer die lautere Stimme hat“, obwohl es in der Mathematik keineswegs darum geht, sich um jeden Preis davon abzuhalten, überzeugt zu werden. Leider unterscheiden in den letzten Jahrzehnten immer weniger Menschen das Richtige vom Wissenschaftlichen, weshalb es oft als wichtiger erachtet wird, mit dem Gebrüll aufzuhören und zu überzeugen, als der Wahrheit näher zu kommen.

Wie können wir also das Problem von Achilles und der Schildkröte lösen? Bitte schreiben Sie nicht, dass Achilles, sobald er den zweiten Kilometer läuft, die Schildkröte weit hinter sich lassen wird. Das ist für jeden offensichtlich, aber es hilft überhaupt nicht. Hier müssen Sie das Problem in der ursprünglichen Lösung spüren und dürfen sich nicht eine eigene Meinung über denselben Zustand bilden.

Einen schönen Tag noch!

Es gibt auch längere Zifferngruppen, die am Ende der Zahlen stehen und daher auch in ihrem Produkt erhalten bleiben. Die Zahl solcher Zahlengruppen ist, wie wir zeigen werden, unendlich groß.

Wir kennen zweistellige Zahlengruppen, die diese Eigenschaft haben: Das sind 25 und 76. Um dreistellige Gruppen zu finden, müssen Sie vor der Zahl 25 oder 76 eine Ziffer hinzufügen, sodass die resultierende dreistellige Zahl entsteht Auch die Zahlengruppe verfügt über die erforderliche Eigenschaft.

Welche Ziffer soll der Zahl 76 zugeordnet werden? Bezeichnen wir es mit k. Anschließend wird die gewünschte dreistellige Zahl angezeigt:

100.000 + 76.

Der allgemeine Ausdruck für Zahlen, die mit dieser Zifferngruppe enden, lautet:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 usw.

Lassen Sie uns zwei Zahlen dieses Typs multiplizieren. wir bekommen:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Alle Terme, außer den letzten beiden, haben am Ende mindestens drei Nullen. Daher endet das Produkt bei der Differenz bei 1006+76

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

ist durch 1000 teilbar. Dies wird offensichtlich nur für k = 3 passieren.

Die erforderliche Zahlengruppe hat also die Form 376. Daher endet jede Potenz der Zahl 376 auf 376. Beispiel:

376 2 = 141376.

Wenn wir nun eine vierstellige Zifferngruppe finden wollen, die die gleiche Eigenschaft hat, müssen wir vor 376 eine weitere Ziffer hinzufügen. Wenn wir diese Zahl mit l bezeichnen, dann kommen wir zu dem Problem: wofür l das Produkt

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

endet mit 1000l + 376? Wenn wir in diesem Produkt die Klammern öffnen und alle Begriffe verwerfen, die mit 4 oder mehr Nullen enden, bleiben die Begriffe bestehen

752000l + 141376.

Das Produkt endet bei 1000l + 376 bei Differenz

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

ist durch 10000 teilbar. Dies wird natürlich nur dann passieren, wenn l = 9.

Die erforderliche vierstellige Zahlengruppe ist 9376.

Die resultierende vierstellige Zahlengruppe kann durch eine weitere Zahl ergänzt werden, wofür Sie genauso wie oben argumentieren müssen. Wir erhalten 09376. Wenn wir noch einen Schritt weitergehen, finden wir eine Gruppe von Zahlen 109376, dann 7109376 usw.

Diese Zahlenzuordnung nach links kann beliebig oft durchgeführt werden. Als Ergebnis erhalten wir eine „Zahl“, die unendlich viele Ziffern hat:

7109376.

Solche „Zahlen“ können nach den üblichen Regeln addiert und multipliziert werden: Schließlich wird von rechts nach links geschrieben, und Addition und Multiplikation („Spalte“) werden ebenfalls von rechts nach links durchgeführt, sodass Summe und Produkt entstehen Aus zwei solchen Zahlen kann man eine Ziffer nach der anderen berechnen – so viele Zahlen man mag

Es ist interessant, dass die oben beschriebene unendliche „Zahl“ die Gleichung erfüllt, so unglaublich es auch erscheinen mag

X 2 = x.

Tatsächlich endet das Quadrat dieser „Zahl“ (d. h. ihr Produkt mit sich selbst) bei 76, da jeder der Faktoren am Ende 76 hat; aus dem gleichen Grund endet das Quadrat der geschriebenen „Zahl“ mit 376; endet auf 9376 usw. Mit anderen Worten, indem wir nacheinander die Ziffern der „Zahl“ x 2 berechnen, wobei x =... 7109376, erhalten wir die gleichen Ziffern wie in der Zahl x, also x 2 = X.

Wir haben uns Zahlengruppen angesehen, die auf 76 * enden. Wenn ähnliche Überlegungen für Zahlengruppen durchgeführt werden, die auf 5 enden, erhalten wir die folgenden Zahlengruppen:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 usw.

* (Beachten Sie, dass die zweistellige Zifferngruppe 76 mit ähnlichen Überlegungen wie oben gefunden werden kann: Es reicht aus, die Frage zu lösen, welche Ziffer der Vorderseite der Zahl 6 zugeordnet werden muss, damit die resultierende zweistellige Zifferngruppe entsteht digits hat die betreffende Eigenschaft. Daher kann die „Zahl“ ... 7109376 erhalten werden, indem man die Zahlen nacheinander vor die Sechs addiert.)

Als Ergebnis können wir eine weitere unendliche „Zahl“ schreiben.

2890625,

auch die Gleichung x 2 = x erfüllen. Man könnte zeigen, dass diese unendliche „Zahl“ „gleich“ ist

5 2 2 2...

Das in der Sprache der unendlichen „Zahlen“ erhaltene interessante Ergebnis lässt sich wie folgt formulieren: Die Gleichung x 2 = x hat (zusätzlich zu den üblichen x = 0 und x = 1) zwei „unendliche“ Lösungen:

X = ...7109376 und x = ...2890625,

und hat keine anderen Lösungen (im dezimalen Zahlensystem) *.

* (Unendliche „Zahlen“ können nicht nur im Dezimalsystem, sondern auch in anderen Zahlensystemen betrachtet werden. Solche Zahlen, die im Zahlensystem mit der Basis p betrachtet werden, werden p-adische Zahlen genannt. Sie können etwas über diese Zahlen im Buch „Mathematical Conversations“ von E. B. Dynkin und V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952) lesen.)

Als Kind lernten wir einmal, bis zehn, dann bis hundert und dann bis tausend zu zählen. Was ist also die größte Zahl, die Sie kennen? Tausend, eine Million, eine Milliarde, eine Billion ... Und dann? Petallion, wird jemand sagen, und er wird sich irren, weil er das SI-Präfix mit einem völlig anderen Konzept verwechselt.

Tatsächlich ist die Frage nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Erstens geht es darum, die Namen der Tausenderkräfte zu benennen. Und hier ist die erste Nuance, die viele aus amerikanischen Filmen kennen, dass sie unsere Milliarde eine Milliarde nennen.

Darüber hinaus gibt es zwei Arten von Skalen – lange und kurze. In unserem Land wird eine kurze Skala verwendet. In dieser Skala erhöht sich die Mantisse bei jedem Schritt um drei Größenordnungen, d. h. mit Tausend multiplizieren - Tausend 10 3, Million 10 6, Milliarde/Milliarde 10 9, Billion (10 12). Im langen Maßstab kommt nach einer Milliarde 10 9 eine Milliarde 10 12, und anschließend erhöht sich die Mantisse um sechs Größenordnungen, und die nächste Zahl, die Billion genannt wird, bedeutet bereits 10 18.

Aber kehren wir zu unserem ursprünglichen Maßstab zurück. Möchten Sie wissen, was nach einer Billion kommt? Bitte:

10 3 Tausend
10 6 Millionen
10 9 Milliarden
10 12 Billionen
10 15 Billiarden
10 18 Trillionen
10 21 Sextillionen
10 24 Septillionen
10 27 Oktillionen
10 30 Nonillionen
10 33 Dezillionen
10 36 Undezillionen
10 39 Dodezillionen
10 42 Billionen
10 45 Quattoordecillion
10 48 Quindezillionen
10 51 Cedezillionen
10 54 Septdezillion
10 57 Duodevigintillion
10 60 undevigintillion
10 63 Vigintillion
10 66 Anvigintillion
10 69 Duovigintillion
10 72 Trevigintillion
10 75 Quattorvigintillion
10 78 Quinvigintillion
10 81 Sexvigintillionen
10 84 Septemvigintillion
10 87 Oktovigintillion
10 90 Novemvigintillion
10 93 Trigintillionen
10 96 Antigintillion

Bei dieser Zahl kann unser kleiner Schuppen nicht aushalten, und in der Folge vermehrt sich die Gottesanbeterin zunehmend.

10 100 Googol
10.123 Quadragintillionen
10.153 Quinquagintillionen
10.183 Sexagintillionen
10.213 Septuagintillionen
10.243 Oktogintillionen
10.273 Nonagintillionen
10.303 Centmillion
10.306 Centunillionen
10.309 Centullion
10.312 Centtrillionen
10.315 Centbilliarden
10.402 Zentrumtrigintillion
10.603 Dezmilliarden
10.903 Billionen
10 1203 Quadringentillion
10 1503 Quintillionen
10 1803 Seszmilliarden
10 2103 Septingentillion
10 2403 oxtingentillion
10 2703 Nichtgentillionen
10 3003 Millionen
10 6003 Duo-Millionen
10 9003 drei Millionen
10 3000003 Millionen
10 6000003 Duomimillionen
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 Zillionen

Google(aus dem Englischen googol) – eine Zahl, die im Dezimalzahlensystem durch eine Einheit gefolgt von 100 Nullen dargestellt wird:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Im Jahr 1938 ging der amerikanische Mathematiker Edward Kasner (1878-1955) mit seinen beiden Neffen im Park spazieren und diskutierte mit ihnen über große Zahlen. Im Gespräch sprachen wir über eine Zahl mit hundert Nullen, die keinen eigenen Namen hatte. Einer der Neffen, der neunjährige Milton Sirotta, schlug vor, diese Nummer „Googol“ zu nennen. Im Jahr 1940 schrieb Edward Kasner zusammen mit James Newman das populärwissenschaftliche Buch „Mathematik und Imagination“ („Neue Namen in der Mathematik“), in dem er Mathematikliebhabern von der Googol-Zahl erzählte.
Der Begriff „Googol“ hat keine ernsthafte theoretische oder praktische Bedeutung. Kasner schlug es vor, um den Unterschied zwischen einer unvorstellbar großen Zahl und der Unendlichkeit zu veranschaulichen, und der Begriff wird im Mathematikunterricht manchmal zu diesem Zweck verwendet.

Googolplex(vom englischen Googolplex) – eine Zahl, die durch eine Einheit mit einem Googol aus Nullen dargestellt wird. Wie das Googol wurde auch der Begriff „Googolplex“ vom amerikanischen Mathematiker Edward Kasner und seinem Neffen Milton Sirotta geprägt.
Die Anzahl der Googols ist größer als die Anzahl aller Teilchen in dem uns bekannten Teil des Universums, die zwischen 1079 und 1081 liegt. Daher kann die Zahl Googolplex, bestehend aus (Googol + 1) Ziffern, nicht in die geschrieben werden klassische „Dezimal“-Form, selbst wenn alle Materie in den bekannten Teilen des Universums in Papier und Tinte oder Speicherplatz auf der Computerfestplatte umgewandelt würde.

Zillion(englisch zillion) – eine allgemeine Bezeichnung für sehr große Zahlen.

Für diesen Begriff gibt es keine strenge mathematische Definition. 1996 veröffentlichten Conway (dt. J. H. Conway) und Guy (dt. R. K. Guy) ihr Buch English. Das Buch der Zahlen definierte eine Zillion hoch n als 10 3×n+3 für das Zahlenbenennungssystem mit kurzer Skala.

Es gibt Zahlen, die so unglaublich, unglaublich groß sind, dass es das gesamte Universum erfordern würde, sie überhaupt aufzuschreiben. Aber das wirklich Verrückte ist: Einige dieser unfassbar großen Zahlen sind entscheidend für das Verständnis der Welt.

Wenn ich „die größte Zahl im Universum“ sage, meine ich wirklich die größte bedeutsam Zahl, die maximal mögliche Zahl, die in irgendeiner Weise nützlich ist. Es gibt viele Anwärter auf diesen Titel, aber ich warne Sie gleich: Es besteht wirklich die Gefahr, dass der Versuch, alles zu verstehen, Sie umhauen wird. Und außerdem wird man mit zu viel Mathe nicht viel Spaß haben.

Googol und Googolplex

Edward Kasner

Wir könnten mit den beiden größten Zahlen beginnen, von denen Sie je gehört haben, und das sind tatsächlich die beiden größten Zahlen, für die es in der englischen Sprache allgemein akzeptierte Definitionen gibt. (Es gibt eine ziemlich genaue Nomenklatur zur Bezeichnung beliebig großer Zahlen, aber diese beiden Zahlen findet man heutzutage nicht mehr in Wörterbüchern.) Googol, seitdem es weltberühmt wurde (wenn auch mit Fehlern, beachten Sie. Tatsächlich ist es Googol ) in Form von Google, das 1920 ins Leben gerufen wurde, um Kinder für große Zahlen zu begeistern.

Zu diesem Zweck machte Edward Kasner (im Bild) mit seinen beiden Neffen Milton und Edwin Sirott einen Spaziergang durch die New Jersey Palisades. Er forderte sie auf, Ideen einzubringen, und dann schlug der neunjährige Milton „googol“ vor. Woher er dieses Wort hat, ist unbekannt, aber Kasner hat das entschieden oder eine Zahl, bei der einhundert Nullen auf die Einheit folgen, wird fortan Googol genannt.

Aber der junge Milton hörte hier nicht auf; er schlug eine noch größere Zahl vor, den Googolplex. Dies ist laut Milton eine Zahl, bei der die erste Stelle eine 1 und dann so viele Nullen ist, wie Sie schreiben können, bevor Sie müde werden. Obwohl die Idee faszinierend ist, entschied Kasner, dass eine formellere Definition erforderlich sei. Wie er 1940 in seinem Buch Mathematics and the Imagination erklärte, lässt Miltons Definition die riskante Möglichkeit offen, dass ein zufälliger Trottel ein Albert Einstein überlegener Mathematiker werden könnte, nur weil er über eine größere Ausdauer verfügt.

Also entschied Kasner, dass ein Googolplex , oder 1 und dann ein Googol aus Nullen sein würde. Andernfalls und in einer Schreibweise ähnlich der, mit der wir uns für andere Zahlen befassen werden, werden wir sagen, dass ein Googolplex ist. Um zu zeigen, wie faszinierend das ist, bemerkte Carl Sagan einmal, dass es physikalisch unmöglich sei, alle Nullstellen eines Googolplex aufzuschreiben, weil es einfach nicht genug Platz im Universum gebe. Wenn wir das gesamte Volumen des beobachtbaren Universums mit kleinen Staubpartikeln mit einer Größe von etwa 1,5 Mikrometern füllen, dann entspricht die Anzahl der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten dieser Partikel ungefähr einem Googolplex.

Sprachlich gesehen sind Googol und Googolplex wahrscheinlich die beiden größten signifikanten Zahlen (zumindest in der englischen Sprache), aber wie wir jetzt feststellen werden, gibt es unendlich viele Möglichkeiten, „Signifikanz“ zu definieren.

Echte Welt

Wenn wir über die größte signifikante Zahl sprechen, gibt es ein vernünftiges Argument dafür, dass dies tatsächlich bedeutet, dass wir die größte Zahl mit einem Wert finden müssen, die es tatsächlich auf der Welt gibt. Wir können mit der aktuellen menschlichen Bevölkerung beginnen, die derzeit etwa 6920 Millionen beträgt. Das weltweite BIP im Jahr 2010 wurde auf etwa 61.960 Milliarden US-Dollar geschätzt, aber beide Zahlen sind im Vergleich zu den etwa 100 Billionen Zellen, aus denen der menschliche Körper besteht, unbedeutend. Natürlich kann keine dieser Zahlen mit der Gesamtzahl der Teilchen im Universum verglichen werden, die allgemein als ungefähr angenommen wird, und diese Zahl ist so groß, dass es in unserer Sprache kein Wort dafür gibt.

Wir können ein wenig mit den Maßsystemen spielen und die Zahlen immer größer machen. Somit wird die Masse der Sonne in Tonnen geringer sein als in Pfund. Eine gute Möglichkeit, dies zu erreichen, ist die Verwendung des Planck-Einheitensystems, bei dem es sich um die kleinstmöglichen Maße handelt, für die die Gesetze der Physik noch gelten. Beispielsweise beträgt das Alter des Universums in der Planck-Zeit etwa . Wenn wir zur ersten Planck-Zeiteinheit nach dem Urknall zurückkehren, werden wir sehen, dass die Dichte des Universums damals betrug. Wir werden immer mehr, aber wir haben noch nicht einmal Googol erreicht.

Die größte Zahl aller realweltlichen Anwendungen – oder in diesem Fall realweltlicher Anwendungen – ist wahrscheinlich eine der neuesten Schätzungen der Anzahl der Universen im Multiversum. Diese Zahl ist so groß, dass das menschliche Gehirn buchstäblich nicht in der Lage sein wird, alle diese verschiedenen Universen wahrzunehmen, da das Gehirn nur zu ungefähren Konfigurationen fähig ist. Tatsächlich ist diese Zahl wahrscheinlich die größte Zahl, die einen praktischen Sinn ergibt, sofern man nicht die Idee des Multiversums als Ganzes berücksichtigt. Allerdings lauern dort noch viel größere Zahlen. Aber um sie zu finden, müssen wir in den Bereich der reinen Mathematik vordringen, und es gibt keinen besseren Ausgangspunkt als Primzahlen.

Mersenne-Primzahlen

Ein Teil der Herausforderung besteht darin, eine gute Definition dessen zu finden, was eine „signifikante“ Zahl ist. Eine Möglichkeit besteht darin, in Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen zu denken. Eine Primzahl ist, wie Sie sich wahrscheinlich aus der Schulmathematik erinnern, jede natürliche Zahl (Anmerkung ungleich eins), die nur durch und selbst teilbar ist. Also, und sind Primzahlen, und und sind zusammengesetzte Zahlen. Dies bedeutet, dass jede zusammengesetzte Zahl letztendlich durch ihre Primfaktoren dargestellt werden kann. In mancher Hinsicht ist die Zahl wichtiger als beispielsweise, weil es keine Möglichkeit gibt, sie als Produkt kleinerer Zahlen auszudrücken.

Natürlich können wir noch etwas weiter gehen. ist beispielsweise tatsächlich gerecht, was bedeutet, dass ein Mathematiker in einer hypothetischen Welt, in der unser Wissen über Zahlen auf beschränkt ist, die Zahl immer noch ausdrücken kann. Aber die nächste Zahl ist eine Primzahl, was bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, sie auszudrücken, darin besteht, direkt über ihre Existenz Bescheid zu wissen. Das bedeutet, dass die größten bekannten Primzahlen eine wichtige Rolle spielen, aber beispielsweise ein Googol – das letztlich nur eine Ansammlung von Zahlen und , miteinander multipliziert ist – eigentlich nicht. Und da Primzahlen grundsätzlich zufällig sind, gibt es keine bekannte Möglichkeit vorherzusagen, dass eine unglaublich große Zahl tatsächlich eine Primzahl sein wird. Bis heute ist die Entdeckung neuer Primzahlen ein schwieriges Unterfangen.

Mathematiker im antiken Griechenland hatten mindestens schon 500 v. Chr. ein Konzept für Primzahlen, und 2000 Jahre später wussten die Menschen nur bis etwa 750, welche Zahlen Primzahlen waren. Denker zu Euklids Zeiten sahen die Möglichkeit einer Vereinfachung, aber das war nicht der Fall Bis zur Renaissance konnten Mathematiker es nicht wirklich in der Praxis anwenden. Diese Zahlen sind als Mersenne-Zahlen bekannt, benannt nach dem französischen Wissenschaftler Marin Mersenne aus dem 17. Jahrhundert. Die Idee ist ganz einfach: Eine Mersenne-Zahl ist eine beliebige Zahl der Form . Wenn also beispielsweise , und diese Zahl eine Primzahl ist, gilt das Gleiche auch für .

Mersenne-Primzahlen lassen sich viel schneller und einfacher bestimmen als jede andere Art von Primzahl, und Computer haben in den letzten sechs Jahrzehnten hart daran gearbeitet, nach ihnen zu suchen. Bis 1952 war die größte bekannte Primzahl eine Zahl – eine Zahl mit Ziffern. Im selben Jahr berechnete der Computer, dass die Zahl eine Primzahl ist und diese Zahl aus Ziffern besteht, was sie viel größer als ein Googol macht.

Seitdem sind Computer auf der Jagd, und derzeit ist die Mersenne-Zahl die größte Primzahl, die die Menschheit kennt. Bei der Entdeckung im Jahr 2008 handelt es sich um eine Zahl mit fast Millionen Stellen. Es ist die größte bekannte Zahl, die nicht durch kleinere Zahlen ausgedrückt werden kann. Wenn Sie Hilfe bei der Suche nach einer noch größeren Mersenne-Zahl benötigen, können Sie (und Ihr Computer) jederzeit an der Suche unter http://www.mersenne.org teilnehmen /.

Skewes-Nummer

Stanley Skews

Schauen wir uns noch einmal die Primzahlen an. Wie gesagt, sie verhalten sich grundlegend falsch, was bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, vorherzusagen, wie die nächste Primzahl aussehen wird. Mathematiker waren gezwungen, auf einige ziemlich fantastische Messungen zurückzugreifen, um eine Möglichkeit zu finden, zukünftige Primzahlen vorherzusagen, auch wenn dies auf unklare Weise geschieht. Der erfolgreichste dieser Versuche ist wahrscheinlich die Primzahlzählfunktion, die Ende des 18. Jahrhunderts vom legendären Mathematiker Carl Friedrich Gauß erfunden wurde.

Ich erspare Ihnen die kompliziertere Mathematik – wir haben sowieso noch viel mehr vor uns –, aber der Kern der Funktion ist dieser: Für jede ganze Zahl können Sie abschätzen, wie viele Primzahlen es gibt, die kleiner als sind. Wenn zum Beispiel sagt die Funktion voraus, dass es Primzahlen geben sollte, wenn es Primzahlen geben sollte, die kleiner als sind, und wenn, dann sollte es kleinere Zahlen geben, die Primzahlen sind.

Die Anordnung der Primzahlen ist tatsächlich unregelmäßig und stellt nur eine Annäherung an die tatsächliche Anzahl der Primzahlen dar. Tatsächlich wissen wir, dass es Primzahlen kleiner als , Primzahlen kleiner als und Primzahlen kleiner als gibt. Das ist zwar eine ausgezeichnete Schätzung, aber es ist immer nur eine Schätzung ... und genauer gesagt eine Schätzung von oben.

In allen bekannten Fällen bis , überschätzt die Funktion, die die Anzahl der Primzahlen ermittelt, die tatsächliche Anzahl der Primzahlen, die kleiner als sind, geringfügig. Mathematiker dachten einst, dass dies immer bis ins Unendliche der Fall sein würde und dass dies sicherlich auf einige unvorstellbar große Zahlen zutreffen würde, doch 1914 bewies John Edensor Littlewood, dass diese Funktion für eine unbekannte, unvorstellbar große Zahl beginnen würde, weniger Primzahlen zu erzeugen , und dann wechselt es unendlich oft zwischen der oberen und der unteren Schätzung.

Die Jagd galt dem Startpunkt der Rennen, und dann erschien Stanley Skewes (siehe Foto). Im Jahr 1933 bewies er, dass die Obergrenze, wenn eine Funktion, die die Anzahl der Primzahlen annähert, zunächst einen kleineren Wert erzeugt, die Zahl ist. Selbst im abstraktesten Sinne ist es schwierig, wirklich zu verstehen, was diese Zahl tatsächlich darstellt, und aus dieser Sicht war es die größte Zahl, die jemals in einem ernsthaften mathematischen Beweis verwendet wurde. Seitdem ist es Mathematikern gelungen, die Obergrenze auf eine relativ kleine Zahl zu reduzieren, die ursprüngliche Zahl wird jedoch weiterhin als Skewes-Zahl bezeichnet.

Wie groß ist also die Zahl, die selbst den mächtigen Googolplex in den Schatten stellt? In „The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers“ beschreibt David Wells eine Möglichkeit, wie der Mathematiker Hardy die Größe der Skuse-Zahl konzeptualisieren konnte:

„Hardy meinte, es sei „die größte Zahl, die jemals für einen bestimmten Zweck in der Mathematik verwendet wurde“, und schlug vor, dass, wenn eine Schachpartie mit allen Teilchen des Universums als Figuren gespielt würde, ein Zug darin bestehen würde, zwei Teilchen zu vertauschen, und das „Das Spiel würde aufhören, wenn dieselbe Position ein drittes Mal wiederholt würde, dann wäre die Anzahl aller möglichen Spiele ungefähr gleich der Anzahl von Skuse.“

Eine letzte Sache, bevor wir weitermachen: Wir haben über die kleinere der beiden Skewes-Zahlen gesprochen. Es gibt eine weitere Skuse-Zahl, die der Mathematiker 1955 entdeckte. Die erste Zahl leitet sich aus der Tatsache ab, dass die sogenannte Riemann-Hypothese wahr ist – eine besonders schwierige Hypothese in der Mathematik, die unbewiesen bleibt und sehr nützlich ist, wenn es um Primzahlen geht. Wenn die Riemann-Hypothese jedoch falsch ist, stellte Skuse fest, dass der Startpunkt der Sprünge auf steigt.

Problem der Größenordnung

Bevor wir zu der Zahl kommen, die selbst die Skewes-Zahl winzig erscheinen lässt, müssen wir ein wenig über die Skalierung sprechen, denn sonst haben wir keine Möglichkeit abzuschätzen, wohin wir gehen werden. Nehmen wir zunächst eine Zahl – es ist eine winzige Zahl, so klein, dass die Menschen tatsächlich intuitiv verstehen können, was sie bedeutet. Es gibt nur sehr wenige Zahlen, die dieser Beschreibung entsprechen, da Zahlen größer als sechs keine separaten Zahlen mehr sind und zu „mehreren“, „vielen“ usw. werden.

Nehmen wir nun , d.h. . Obwohl wir eigentlich nicht intuitiv verstehen können, was es ist, wie wir es bei der Zahl getan haben, ist es sehr einfach, es sich vorzustellen. So weit, ist es gut. Aber was passiert, wenn wir umziehen? Dies ist gleich , oder . Wir sind weit davon entfernt, uns diese Menge wie jede andere sehr große vorstellen zu können – wir verlieren die Fähigkeit, einzelne Teile irgendwo bei einer Million zu begreifen. (Zugegebenermaßen würde es wahnsinnig lange dauern, tatsächlich bis auf eine Million zu zählen, aber der Punkt ist, dass wir immer noch in der Lage sind, diese Zahl wahrzunehmen.)

Obwohl wir es uns nicht vorstellen können, sind wir zumindest in der Lage, allgemein zu verstehen, was 7600 Milliarden sind, vielleicht indem wir es mit etwas wie dem US-BIP vergleichen. Wir sind von der Intuition zur Repräsentation und zum einfachen Verständnis übergegangen, aber zumindest haben wir immer noch eine gewisse Lücke in unserem Verständnis dessen, was eine Zahl ist. Das wird sich ändern, wenn wir eine weitere Sprosse auf der Leiter nach oben schieben.

Dazu müssen wir zu einer von Donald Knuth eingeführten Notation übergehen, die als Pfeilnotation bekannt ist. Diese Notation kann als geschrieben werden. Wenn wir dann zu gehen, erhalten wir die Nummer . Dies entspricht der Summe der Dreier. Wir haben jetzt alle anderen Zahlen, über die wir bereits gesprochen haben, bei weitem übertroffen. Schließlich hatten selbst die größten von ihnen nur drei oder vier Begriffe in der Indikatorenreihe. Beispielsweise ist selbst die Super-Skuse-Zahl „nur“ – selbst unter Berücksichtigung der Tatsache, dass sowohl die Basis als auch die Exponenten viel größer sind als , ist sie immer noch absolut nichts im Vergleich zur Größe eines Zahlenturms mit einer Milliarde Mitgliedern .

Offensichtlich gibt es keine Möglichkeit, solch große Zahlen zu begreifen ... und dennoch kann der Prozess, durch den sie entstehen, verstanden werden. Wir konnten die tatsächliche Menge, die ein Turm von Mächten mit einer Milliarde Tripeln angibt, nicht verstehen, aber wir können uns grundsätzlich einen solchen Turm mit vielen Begriffen vorstellen, und ein wirklich anständiger Supercomputer wäre in der Lage, solche Türme selbst dann im Speicher zu speichern, wenn dies der Fall wäre konnte ihre tatsächlichen Werte nicht berechnen.

Das wird immer abstrakter, aber es wird nur noch schlimmer. Man könnte meinen, dass es sich um einen Turm aus Graden handelt, dessen Exponentenlänge gleich ist (tatsächlich habe ich in der vorherigen Version dieses Beitrags genau diesen Fehler gemacht), aber es ist einfach. Mit anderen Worten, stellen Sie sich vor, Sie könnten den genauen Wert eines Energieturms aus Drillingen berechnen, der aus Elementen besteht, und dann würden Sie diesen Wert nehmen und einen neuen Turm mit so vielen darin erschaffen, wie ... das ergibt .

Wiederholen Sie diesen Vorgang mit jeder weiteren Nummer ( Notiz von rechts beginnend), bis du es mal machst, und dann endlich bekommst du . Das ist eine Zahl, die einfach unglaublich groß ist, aber zumindest die Schritte, um sie zu erreichen, erscheinen verständlich, wenn man alles sehr langsam macht. Wir können die Zahlen nicht mehr verstehen oder uns das Verfahren vorstellen, mit dem sie ermittelt werden, aber zumindest den grundlegenden Algorithmus können wir nur über einen ausreichend langen Zeitraum verstehen.

Jetzt lasst uns den Geist darauf vorbereiten, es wirklich zu vermasseln.

Graham-Zahl (Graham)

Ronald Graham

So erhalten Sie Grahams Zahl, die im Guinness-Buch der Rekorde als größte Zahl steht, die jemals in einem mathematischen Beweis verwendet wurde. Es ist absolut unmöglich, sich vorzustellen, wie groß es ist, und ebenso schwierig ist es, genau zu erklären, was es ist. Grundsätzlich taucht Grahams Zahl auf, wenn es um Hyperwürfel geht, bei denen es sich um theoretische geometrische Formen mit mehr als drei Dimensionen handelt. Der Mathematiker Ronald Graham (siehe Foto) wollte herausfinden, bei wie wenig Dimensionen bestimmte Eigenschaften eines Hyperwürfels stabil bleiben. (Entschuldigen Sie die vage Erklärung, aber ich bin mir sicher, dass wir alle mindestens zwei Abschlüsse in Mathematik haben müssen, um die Aussage genauer zu machen.)

In jedem Fall ist die Graham-Zahl eine obere Schätzung dieser Mindestanzahl an Dimensionen. Wie groß ist diese Obergrenze? Kehren wir zu der Zahl zurück, die so groß ist, dass wir den Algorithmus zu ihrer Ermittlung nur vage verstehen können. Anstatt nun einfach eine weitere Ebene nach oben zu springen, zählen wir die Zahl, bei der sich zwischen den ersten und letzten drei Pfeilen befindet. Mittlerweile verstehen wir bei weitem nicht mehr, was diese Zahl ist oder was wir tun müssen, um sie zu berechnen.

Nun wiederholen wir diesen Vorgang einmal ( Notiz Bei jedem nächsten Schritt schreiben wir die Anzahl der Pfeile, die der im vorherigen Schritt erhaltenen Anzahl entspricht.

Das, meine Damen und Herren, ist Grahams Zahl, die etwa eine Größenordnung über dem menschlichen Verständnis liegt. Es ist eine Zahl, die so viel größer ist als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können – sie ist so viel größer als jede Unendlichkeit, die Sie sich jemals vorstellen können –, sie widersetzt sich einfach selbst der abstraktesten Beschreibung.

Aber hier ist etwas Seltsames. Da die Graham-Zahl im Grunde nur aus miteinander multiplizierten Tripeln besteht, kennen wir einige ihrer Eigenschaften, ohne sie tatsächlich zu berechnen. Wir können die Graham-Zahl nicht mit irgendeiner bekannten Schreibweise darstellen, selbst wenn wir das gesamte Universum zum Aufschreiben nutzen würden, aber ich kann Ihnen jetzt die letzten zwölf Ziffern der Graham-Zahl nennen: . Und das ist noch nicht alles: Wir kennen zumindest die letzten Ziffern von Grahams Nummer.

Man sollte natürlich bedenken, dass diese Zahl in Grahams ursprünglichem Problem nur eine Obergrenze darstellt. Es ist durchaus möglich, dass die tatsächliche Anzahl der Messungen, die zum Erreichen der gewünschten Eigenschaft erforderlich sind, viel, viel geringer ist. Tatsächlich glaubt man seit den 1980er Jahren nach Ansicht der meisten Experten auf diesem Gebiet, dass es tatsächlich nur sechs Dimensionen gibt – eine Zahl, die so klein ist, dass wir sie intuitiv verstehen können. Die Untergrenze wurde inzwischen auf angehoben, aber es besteht immer noch eine sehr gute Chance, dass die Lösung des Graham-Problems nicht annähernd bei einer so großen Zahl wie Grahams Zahl liegt.

Der Unendlichkeit entgegen

Gibt es also Zahlen, die größer als Grahams Zahl sind? Da gibt es natürlich zunächst einmal die Graham-Zahl. Was die signifikante Zahl betrifft ... nun, es gibt einige unglaublich komplexe Bereiche der Mathematik (insbesondere der als Kombinatorik bekannten Bereich) und der Informatik, in denen Zahlen vorkommen, die sogar größer als Grahams Zahl sind. Aber wir haben fast die Grenze dessen erreicht, was meiner Hoffnung nach jemals rational erklärt werden kann. Für diejenigen, die mutig genug sind, noch weiter zu gehen, empfehlen wir die weitere Lektüre auf eigene Gefahr.

Nun, nun ein erstaunliches Zitat, das Douglas Ray zugeschrieben wird ( Notiz Ehrlich gesagt klingt es ziemlich lustig:

„Ich sehe Ansammlungen vager Zahlen, die dort in der Dunkelheit verborgen sind, hinter dem kleinen Lichtfleck, den die Kerze der Vernunft gibt. Sie flüstern miteinander; Verschwörung darüber, wer weiß was. Vielleicht mögen sie uns nicht besonders dafür, dass wir ihre kleinen Brüder in unseren Gedanken festhalten. Oder vielleicht führen sie dort draußen einfach ein einstelliges Leben, das über unser Verständnis hinausgeht.