heim » Dekorationsmaterialien » Was bedeutet ein Minusgrad? Zahlenleistung: Definitionen, Bezeichnung, Beispiele. Lektion und Präsentation zum Thema: „Exponent mit negativem Exponenten. Definition und Beispiele zur Problemlösung“

Was bedeutet ein Minusgrad? Zahlenleistung: Definitionen, Bezeichnung, Beispiele. Lektion und Präsentation zum Thema: „Exponent mit negativem Exponenten. Definition und Beispiele zur Problemlösung“

In diesem Material werden wir uns ansehen, was eine Potenz einer Zahl ist. Zusätzlich zu den Grunddefinitionen werden wir formulieren, was Potenzen mit natürlichem, ganzzahligem, rationalem und irrationalem Exponenten sind. Wie immer werden alle Konzepte anhand von Beispielaufgaben veranschaulicht.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulieren wir zunächst die grundlegende Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten. Dazu müssen wir uns die Grundregeln der Multiplikation merken. Lassen Sie uns vorab klarstellen, dass wir zunächst eine reelle Zahl als Basis (gekennzeichnet durch den Buchstaben a) und eine natürliche Zahl als Indikator (gekennzeichnet durch den Buchstaben n) nehmen.

Definition 1

Die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl a ist. Der Abschluss wird wie folgt geschrieben: ein, und in Form einer Formel kann seine Zusammensetzung wie folgt dargestellt werden:

Wenn der Exponent beispielsweise 1 und die Basis a ist, wird die erste Potenz von a als geschrieben eine 1. Vorausgesetzt, dass a der Wert des Faktors und 1 die Anzahl der Faktoren ist, können wir daraus schließen ein 1 = ein.

Im Allgemeinen können wir sagen, dass ein Abschluss eine bequeme Form ist, eine große Anzahl gleicher Faktoren aufzuschreiben. Also eine Aufzeichnung des Formulars 8 8 8 8 kann verkürzt werden auf 8 4 . Auf ähnliche Weise hilft uns das Produkt dabei, das Schreiben einer großen Anzahl von Begriffen zu vermeiden (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Wir haben dies bereits in dem Artikel über die Multiplikation natürlicher Zahlen besprochen.

Wie liest man den Abschlusseintrag richtig? Die allgemein akzeptierte Option ist „a hoch n“. Oder Sie können „n-te Potenz von a“ oder „anth-Potenz“ sagen. Wenn wir beispielsweise im Beispiel auf den Eintrag gestoßen sind 8 12 können wir „8 hoch 12“, „8 hoch 12“ oder „12. Potenz 8“ lesen.

Die zweite und dritte Potenz von Zahlen haben ihre eigenen etablierten Namen: Quadrat und Kubik. Wenn wir die zweite Potenz sehen, zum Beispiel die Zahl 7 (7 2), dann können wir „7 zum Quadrat“ oder „Quadrat der Zahl 7“ sagen. Ebenso liest sich der dritte Grad so: 5 3 - Dies ist der „Würfel der Zahl 5“ oder „5 gewürfelt“. Sie können jedoch auch die Standardformulierung „zur zweiten/dritten Potenz“ verwenden; dies ist kein Fehler.

Beispiel 1

Schauen wir uns ein Beispiel für einen Grad mit einem natürlichen Exponenten an: für 5 7 Fünf ist die Basis und sieben ist der Exponent.

Für den Grad muss die Basis keine ganze Zahl sein (4 , 32) 9 Die Basis ist der Bruch 4, 32 und der Exponent ist neun. Achten Sie auf die Klammern: Diese Schreibweise gilt für alle Potenzen, deren Basen von den natürlichen Zahlen abweichen.

Zum Beispiel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Wozu dienen Klammern? Sie helfen, Fehler in Berechnungen zu vermeiden. Nehmen wir an, wir haben zwei Einträge: (− 2) 3 Und − 2 3 . Die erste davon bedeutet eine negative Zahl minus zwei, potenziert mit einem natürlichen Exponenten von drei; die zweite ist die Zahl, die dem entgegengesetzten Wert des Grades entspricht 2 3 .

Manchmal findet man in Büchern eine etwas andere Schreibweise der Potenz einer Zahl – a^n(wobei a die Basis und n der Exponent ist). Das heißt, 4^9 ist dasselbe wie 4 9 . Wenn n eine mehrstellige Zahl ist, wird sie in Klammern gesetzt. Zum Beispiel 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Aber wir werden die Notation verwenden ein als häufiger.

Es ist leicht zu erraten, wie man den Wert eines Exponenten mit einem natürlichen Exponenten anhand seiner Definition berechnet: Sie müssen nur ein n-tes Mal multiplizieren. Mehr dazu haben wir in einem anderen Artikel geschrieben.

Das Konzept des Grades ist die Umkehrung eines anderen mathematischen Konzepts – der Wurzel einer Zahl. Wenn wir den Wert der Potenz und des Exponenten kennen, können wir seine Basis berechnen. Der Abschluss verfügt über einige spezifische Eigenschaften, die zur Lösung von Problemen nützlich sind, die wir in einem separaten Material besprochen haben.

Exponenten können nicht nur natürliche Zahlen umfassen, sondern auch alle ganzzahligen Werte im Allgemeinen, einschließlich negativer Einsen und Nullen, da sie ebenfalls zur Menge der ganzen Zahlen gehören.

Definition 2

Die Potenz einer Zahl mit einem positiven ganzzahligen Exponenten kann als Formel dargestellt werden: .

In diesem Fall ist n eine beliebige positive ganze Zahl.

Lassen Sie uns das Konzept des Nullgrads verstehen. Dazu verwenden wir einen Ansatz, der die Quotienteneigenschaft für Potenzen mit gleichen Basen berücksichtigt. Es ist so formuliert:

Definition 3

Gleichwertigkeit am: a n = a m − n wird unter den folgenden Bedingungen wahr sein: m und n sind natürliche Zahlen, m< n , a ≠ 0 .

Die letzte Bedingung ist wichtig, da sie eine Division durch Null vermeidet. Wenn die Werte von m und n gleich sind, erhalten wir folgendes Ergebnis: a n: a n = a n − n = a 0

Aber gleichzeitig ist a n: a n = 1 der Quotient gleicher Zahlen ein und ein. Es stellt sich heraus, dass die Nullpotenz jeder Zahl ungleich Null gleich eins ist.

Ein solcher Beweis gilt jedoch nicht für null hoch null. Dazu benötigen wir eine weitere Eigenschaft von Potenzen – die Eigenschaft von Produkten von Potenzen gleicher Basen. Es sieht aus wie das: am · a n = am + n .

Wenn n gleich 0 ist, dann a m · a 0 = a m(Diese Gleichheit beweist uns auch das a 0 = 1). Aber wenn und auch gleich Null ist, nimmt unsere Gleichheit die Form an 0 m · 0 0 = 0 m, Dies gilt für jeden natürlichen Wert von n, und es spielt keine Rolle, welchem genauen Wert der Grad entspricht 0 0 , das heißt, es kann gleich einer beliebigen Zahl sein, und dies hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der Gleichheit. Daher eine Notation der Form 0 0 hat keine eigene besondere Bedeutung und wir werden sie ihr auch nicht zuschreiben.

Bei Bedarf kann dies leicht überprüft werden a 0 = 1 konvergiert mit der Gradeigenschaft (am) n = am n vorausgesetzt, dass die Basis des Grades nicht Null ist. Somit ist die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit dem Exponenten Null eins.

Beispiel 2

Schauen wir uns ein Beispiel mit konkreten Zahlen an: Also, 5 0 - Einheit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , und der Wert 0 0 nicht definiert.

Nach dem Nullgrad müssen wir nur noch herausfinden, was ein negativer Grad ist. Dazu benötigen wir die gleiche Eigenschaft des Produkts gleicher Basen, die wir oben bereits verwendet haben: a m · a n = a m + n.

Führen wir die Bedingung ein: m = − n, dann sollte a nicht gleich Null sein. Es folgt dem a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Es stellt sich heraus, dass ein n und a−n wir haben gegenseitig reziproke Zahlen.

Folglich ist a zur negativen ganzen Potenz nichts anderes als der Bruch 1 a n.

Diese Formulierung bestätigt, dass für einen Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten dieselben Eigenschaften gelten wie für einen Grad mit einem natürlichen Exponenten (vorausgesetzt, die Basis ist ungleich Null).

Beispiel 3

Eine Potenz a mit einem negativen ganzzahligen Exponenten n kann als Bruch 1 a n dargestellt werden. Somit gilt a - n = 1 a n vorbehaltlich a ≠ 0 und n ist eine beliebige natürliche Zahl.

Lassen Sie uns unsere Idee anhand konkreter Beispiele veranschaulichen:

Beispiel 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Im letzten Teil des Absatzes werden wir versuchen, alles Gesagte klar in einer Formel darzustellen:

Definition 4

Die Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten z ist: a z = a z, e mit l und z - positive ganze Zahl 1, z = 0 und a ≠ 0, (für z = 0 und a = 0 ist das Ergebnis 0 0, die Werte des Ausdrucks 0 0 sind nicht definiert) 1 a z, wenn und z eine negative ganze Zahl ist und a ≠ 0 (wenn z eine negative ganze Zahl ist und a = 0 erhält man 0 z, egoz der Wert ist unbestimmt)

Was sind Potenzen mit rationalem Exponenten?

Wir haben Fälle untersucht, in denen der Exponent eine ganze Zahl enthält. Sie können eine Zahl jedoch auch dann potenzieren, wenn ihr Exponent eine Bruchzahl enthält. Dies nennt man Potenz mit rationalem Exponenten. In diesem Abschnitt werden wir beweisen, dass es die gleichen Eigenschaften wie andere Potenzen hat.

Was sind rationale Zahlen? Ihre Menge umfasst sowohl ganze als auch gebrochene Zahlen, und gebrochene Zahlen können als gewöhnliche Brüche (sowohl positive als auch negative) dargestellt werden. Formulieren wir die Definition der Potenz einer Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n, wobei n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl ist.

Wir haben einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten am n . Damit die Macht-zu-Kraft-Eigenschaft gilt, muss die Gleichung a m n n = a m n · n = a m wahr sein.

Angesichts der Definition der n-ten Wurzel und der Tatsache, dass a m n n = a m ist, können wir die Bedingung a m n = a m n akzeptieren, wenn a m n für die gegebenen Werte von m, n und a sinnvoll ist.

Die oben genannten Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gelten unter der Bedingung a m n = a m n .

Die wichtigste Schlussfolgerung aus unserer Überlegung ist folgende: Die Potenz einer bestimmten Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n ist die n-te Wurzel der Zahl a hoch m. Dies gilt, wenn für gegebene Werte von m, n und a der Ausdruck a m n sinnvoll bleibt.

1. Wir können den Wert der Basis des Grades begrenzen: Nehmen wir a, das für positive Werte von m größer oder gleich 0 und für negative Werte streng kleiner ist (da für m ≤ 0). wir bekommen 0 m, aber ein solcher Grad ist nicht definiert). In diesem Fall sieht die Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten wie folgt aus:

Eine Potenz mit einem gebrochenen Exponenten m/n für eine positive Zahl a ist die n-te Wurzel von a hoch m. Dies kann als Formel ausgedrückt werden:

Für eine Potenz mit Nullbasis ist diese Bestimmung ebenfalls geeignet, allerdings nur, wenn ihr Exponent eine positive Zahl ist.

Eine Potenz mit einer Basis Null und einem gebrochenen positiven Exponenten m/n kann ausgedrückt werden als

0 m n = 0 m n = 0 vorausgesetzt, m ist eine positive ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl.

Für ein negatives Verhältnis m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Beachten wir einen Punkt. Da wir die Bedingung eingeführt haben, dass a größer oder gleich Null ist, haben wir letztendlich einige Fälle verworfen.

Für einige negative Werte von a und einige m macht der Ausdruck a m n manchmal noch Sinn. Die korrekten Einträge lauten also (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, wobei die Basis negativ ist.

2. Der zweite Ansatz besteht darin, die Wurzel a m n mit geraden und ungeraden Exponenten getrennt zu betrachten. Dann müssen wir noch eine weitere Bedingung einführen: Der Grad a, in dessen Exponenten ein reduzierbarer gewöhnlicher Bruch steht, wird als Grad a betrachtet, in dessen Exponenten ein entsprechender irreduzibler Bruch steht. Später werden wir erklären, warum wir diese Bedingung brauchen und warum sie so wichtig ist. Wenn wir also die Notation a m · k n · k haben, können wir sie auf a m n reduzieren und die Berechnungen vereinfachen.

Wenn n eine ungerade Zahl ist und der Wert von m positiv ist und a eine beliebige nicht negative Zahl ist, dann ist a m n sinnvoll. Die Bedingung dafür, dass a nicht negativ ist, ist notwendig, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel geraden Grades gezogen werden kann. Wenn der Wert von m positiv ist, kann a sowohl negativ als auch null sein, weil Die ungerade Wurzel kann aus jeder reellen Zahl gezogen werden.

Fassen wir alle oben genannten Definitionen in einem Eintrag zusammen:

Dabei bedeutet m/n einen irreduziblen Bruch, m ist eine beliebige ganze Zahl und n ist eine beliebige natürliche Zahl.

Definition 5

Für jeden gewöhnlichen reduzierbaren Bruch m · k n · k kann der Grad durch a m n ersetzt werden.

Die Potenz einer Zahl a mit einem irreduziblen Bruchexponenten m / n – kann in den folgenden Fällen als a m n ausgedrückt werden: - für jedes reelle a, positive ganzzahlige Werte m und ungerade natürliche Werte n. Beispiel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Für jedes reelle a ungleich Null, negative ganzzahlige Werte von m und ungerade Werte von n, zum Beispiel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Für jedes nichtnegative a, jede positive ganze Zahl m und jedes gerade n, zum Beispiel 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Für jedes positive a, jede negative ganze Zahl m und jedes gerade n, zum Beispiel 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Bei anderen Werten wird der Grad mit gebrochenem Exponenten nicht ermittelt. Beispiele für solche Abschlüsse: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Lassen Sie uns nun die Bedeutung der oben diskutierten Bedingung erklären: Warum einen Bruch mit einem reduzierbaren Exponenten durch einen Bruch mit einem irreduziblen Exponenten ersetzen? Wenn wir dies nicht getan hätten, hätten wir beispielsweise die folgenden Situationen gehabt: 6/10 = 3/5. Dann sollte es wahr sein (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , aber - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , und (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Die Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten, die wir zuerst vorgestellt haben, ist in der Praxis bequemer zu verwenden als die zweite, daher werden wir sie weiterhin verwenden.

Definition 6

Somit ist die Potenz einer positiven Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n definiert als 0 m n = 0 m n = 0. Im Falle von negativ A die Notation a m n ergibt keinen Sinn. Potenz von Null für positive gebrochene Exponenten m/n ist definiert als 0 m n = 0 m n = 0 , für negative gebrochene Exponenten definieren wir den Grad von Null nicht.

Abschließend stellen wir fest, dass Sie jeden Bruchindikator sowohl als gemischte Zahl als auch als Dezimalbruch schreiben können: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Bei der Berechnung ist es besser, den Exponenten durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und dann die Definition des Exponenten durch einen gebrochenen Exponenten zu verwenden. Für die obigen Beispiele erhalten wir:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Was sind Potenzen mit irrationalen und reellen Exponenten?

Was sind reelle Zahlen? Ihre Menge umfasst sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Um zu verstehen, was ein Grad mit einem reellen Exponenten ist, müssen wir daher Grade mit rationalen und irrationalen Exponenten definieren. Rationale haben wir oben bereits erwähnt. Lassen Sie uns Schritt für Schritt mit irrationalen Indikatoren umgehen.

Beispiel 5

Nehmen wir an, wir haben eine irrationale Zahl a und eine Folge ihrer dezimalen Näherungen a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Nehmen wir zum Beispiel den Wert a = 1,67175331. . . , Dann

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Wir können Folgen von Näherungen einer Folge von Graden a a 0 , a a 1 , a a 2 , zuordnen. . . . Wenn wir uns daran erinnern, was wir zuvor über die Potenzierung von Zahlen zu rationalen Potenzen gesagt haben, können wir die Werte dieser Potenzen selbst berechnen.

Nehmen wir zum Beispiel a = 3, dann a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . usw.

Die Folge der Potenzen kann auf eine Zahl reduziert werden, die der Wert der Potenz mit der Basis a und dem irrationalen Exponenten a ist. Als Ergebnis: ein Grad mit einem irrationalen Exponenten der Form 3 1, 67175331. . kann auf die Zahl 6, 27 reduziert werden.

Definition 7

Die Potenz einer positiven Zahl a mit einem irrationalen Exponenten a wird als a a geschrieben. Sein Wert ist der Grenzwert der Folge a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , wobei a 0 , a 1 , a 2 , . . . sind aufeinanderfolgende dezimale Näherungen der irrationalen Zahl a. Ein Grad mit Nullbasis kann auch für positive irrationale Exponenten definiert werden, mit 0 a = 0 Also, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Dies ist jedoch bei negativen nicht möglich, da beispielsweise der Wert 0 - 5, 0 - 2 π nicht definiert ist. Eine auf eine beliebige irrationale Potenz angehobene Einheit bleibt beispielsweise eine Einheit, und 1 2, 1 5 in 2 und 1 - 5 sind gleich 1.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Die Potenzierung in eine negative Potenz ist eines der Grundelemente der Mathematik, das man häufig bei der Lösung algebraischer Probleme antrifft. Nachfolgend finden Sie detaillierte Anweisungen.

Wie man zu einer negativen Potenz erhebt – Theorie

Wenn wir eine Zahl auf eine gewöhnliche Potenz erhöhen, multiplizieren wir ihren Wert mehrmals. Zum Beispiel 3 3 = 3×3×3 = 27. Bei einem negativen Bruch ist das Gegenteil der Fall. Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt: a -n = 1/a n. Um also eine Zahl negativ zu potenzieren, müssen Sie eins durch die gegebene Zahl dividieren, allerdings positiv.

Wie man in eine negative Potenz steigert – Beispiele für gewöhnliche Zahlen

Lassen Sie uns unter Berücksichtigung der oben genannten Regel einige Beispiele lösen.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Antwort: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Antwort -4 -2 = 1/16.

Aber warum sind die Antworten im ersten und zweiten Beispiel gleich? Tatsache ist, dass das Vorzeichen positiv wird, wenn eine negative Zahl gerade potenziert wird (2, 4, 6 usw.). Wäre der Grad gerade, dann bliebe das Minus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Wie man Zahlen von 0 bis 1 negativ potenziert

Denken Sie daran, dass, wenn eine Zahl zwischen 0 und 1 positiv potenziert wird, der Wert mit zunehmender Potenz abnimmt. Also zum Beispiel 0,5 2 = 0,25. 0,25

Beispiel 3: Berechnen Sie 0,5 -2
Lösung: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Antwort: 0,5 -2 = 4

Analyse (Abfolge von Aktionen):

Wandeln Sie den Dezimalbruch 0,5 in den Bruchbruch 1/2 um. So ist es einfacher.
Erhöhen Sie 1/2 mit einer negativen Potenz. 1/(2) -2 . Teilen Sie 1 durch 1/(2) 2, wir erhalten 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Beispiel 4: Berechnen Sie 0,5 -3
Lösung: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Beispiel 5: Berechnen Sie -0,5 -3
Lösung: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Antwort: -0,5 -3 = -8

Basierend auf dem 4. und 5. Beispiel können wir mehrere Schlussfolgerungen ziehen:

Für eine positive Zahl im Bereich von 0 bis 1 (Beispiel 4), die negativ potenziert wird, spielt es keine Rolle, ob die Potenz gerade oder ungerade ist, der Wert des Ausdrucks ist positiv. Darüber hinaus ist der Wert umso größer, je größer der Grad ist.
Für eine negative Zahl im Bereich von 0 bis 1 (Beispiel 5), die negativ potenziert wird, spielt es keine Rolle, ob die Potenz gerade oder ungerade ist, der Wert des Ausdrucks ist negativ. In diesem Fall gilt: Je höher der Grad, desto niedriger der Wert.

So erhöhen Sie eine negative Potenz – eine Potenz in Form einer Bruchzahl

Ausdrücke dieses Typs haben die folgende Form: a -m/n, wobei a eine reguläre Zahl, m der Zähler des Grades und n der Nenner des Grades ist.

Schauen wir uns ein Beispiel an:
Berechnen Sie: 8 -1/3

Lösung (Handlungsfolge):

Erinnern wir uns an die Regel, eine Zahl negativ zu potenzieren. Wir erhalten: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Beachten Sie, dass der Nenner die Zahl 8 in einer gebrochenen Potenz hat. Die allgemeine Form zur Berechnung einer gebrochenen Potenz lautet wie folgt: a m/n = n √8 m.
Somit ist 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Wir erhalten die Kubikwurzel aus acht, die gleich 2 ist. Von hier aus ist 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Antwort: 8 -1/3 = 2

Aus der Schule kennen wir alle die Potenzierungsregel: Jede Zahl mit dem Exponenten N ist gleich dem Ergebnis der N-fachen Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst. Mit anderen Worten, 7 hoch 3 ist 7 multipliziert mit sich selbst dreimal, also 343. Eine andere Regel besagt, dass das Potenzieren einer beliebigen Menge mit 0 eins ergibt und das Erhöhen einer negativen Menge das Ergebnis der gewöhnlichen Potenzierung ist die Potenz, wenn sie gerade ist, und das gleiche Ergebnis mit einem Minuszeichen, wenn sie ungerade ist.

Die Regeln geben auch die Antwort darauf, wie man eine Zahl negativ potenziert. Dazu müssen Sie den erforderlichen Wert wie gewohnt um den Modul des Indikators erhöhen und dann die Einheit durch das Ergebnis dividieren.

Aus diesen Regeln wird deutlich, dass die Erfüllung realer Aufgaben mit großen Mengen die Verfügbarkeit technischer Mittel erfordert. Manuell können Sie einen maximalen Zahlenbereich von zwanzig bis dreißig selbst multiplizieren und dann nicht mehr als drei- oder viermal. Ganz zu schweigen von der Division eins durch das Ergebnis. Für diejenigen, die keinen speziellen technischen Rechner zur Hand haben, erklären wir Ihnen daher, wie Sie eine Zahl in Excel negativ potenzieren.

Probleme in Excel lösen

Um Potenzierungsprobleme zu lösen, können Sie in Excel eine von zwei Optionen verwenden.

Das erste ist die Verwendung einer Formel mit einem Standard-Deckelzeichen. Geben Sie die folgenden Daten in die Zellen des Arbeitsblatts ein:

Auf die gleiche Weise können Sie den gewünschten Wert beliebig potenzieren – negativ, gebrochen. Lassen Sie uns die folgenden Schritte ausführen und die Frage beantworten, wie man eine Zahl negativ potenziert. Beispiel:

Sie können =B2^-C2 direkt in der Formel korrigieren.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die vorgefertigte Funktion „Degree“ zu verwenden, die zwei erforderliche Argumente akzeptiert – eine Zahl und einen Exponenten. Um es zu verwenden, setzen Sie einfach das Gleichheitszeichen (=) in eine beliebige freie Zelle, um den Anfang der Formel anzuzeigen, und geben Sie die oben genannten Wörter ein. Es bleibt nur noch, zwei Zellen auszuwählen, die an der Operation teilnehmen sollen (oder bestimmte Zahlen manuell anzugeben) und die Eingabetaste zu drücken. Schauen wir uns ein paar einfache Beispiele an.

Formel

Ergebnis

ABSCHLUSS (B2; C2)

ABSCHLUSS (B3; C3)

0,002915

Wie Sie sehen, ist es nicht kompliziert, eine Zahl mit Excel negativ und regulär zu potenzieren. Um dieses Problem zu lösen, können Sie schließlich sowohl das bekannte „Deckel“-Symbol als auch die integrierte Funktion des Programms verwenden, die leicht zu merken ist. Das ist definitiv ein Plus!

Kommen wir zu komplexeren Beispielen. Erinnern wir uns an die Regel, wie man eine Zahl negativ potenziert, und wir werden sehen, dass dieses Problem in Excel sehr einfach gelöst werden kann.

Bruchindikatoren

Kurz gesagt, der Algorithmus zur Berechnung einer Zahl mit einem gebrochenen Exponenten lautet wie folgt.

Wandeln Sie einen Bruch in einen echten oder unechten Bruch um.
Erhöhen Sie unsere Zahl auf den Zähler des resultierenden umgewandelten Bruchs.
Berechnen Sie aus der im vorherigen Absatz erhaltenen Zahl die Wurzel, mit der Bedingung, dass der Exponent der Wurzel der Nenner des im ersten Schritt erhaltenen Bruchs ist.

Stimmen Sie zu, dass solche Berechnungen selbst bei kleinen Zahlen und echten Brüchen viel Zeit in Anspruch nehmen können. Es ist gut, dass es dem Excel-Tabellenkalkulationsprozessor egal ist, welche Zahl auf welche Potenz erhöht wird. Versuchen Sie, das folgende Beispiel auf einem Excel-Arbeitsblatt zu lösen:

Anhand der oben genannten Regeln können Sie überprüfen und sicherstellen, dass die Berechnung korrekt durchgeführt wurde.

Am Ende unseres Artikels stellen wir in Form einer Tabelle mit Formeln und Ergebnissen einige Beispiele vor, wie man eine Zahl negativ potenziert, sowie mehrere Beispiele für den Umgang mit Bruchzahlen und Potenzen.

Beispieltabelle

Schauen Sie sich die folgenden Beispiele in Ihrem Excel-Arbeitsblatt an. Damit alles korrekt funktioniert, müssen Sie beim Kopieren der Formel eine gemischte Referenz verwenden. Legen Sie die Nummer der Spalte fest, die die zu erhöhende Zahl enthält, und die Nummer der Zeile, die den Indikator enthält. Ihre Formel sollte etwa so aussehen: „=$B4^C$3.“

Anzahl/Abschluss

Bitte beachten Sie, dass positive Zahlen (auch nicht ganze Zahlen) für jeden Exponenten problemlos berechnet werden können. Es gibt keine Probleme mit der Erhöhung beliebiger Zahlen auf ganze Zahlen. Aber die Potenzierung einer negativen Zahl in eine gebrochene Zahl wird sich für Sie als Fehler erweisen, da es unmöglich ist, die am Anfang unseres Artikels angegebene Regel zur Potenzierung negativer Zahlen zu befolgen, da Parität ausschließlich ein Merkmal einer GANZEN Zahl ist.

Eine zur Potenz erhobene Zahl Sie nennen eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.

Potenz einer Zahl mit negativem Wert (ein) kann auf ähnliche Weise bestimmt werden, wie die Potenz derselben Zahl mit positivem Exponenten bestimmt wird (ein) . Es bedarf jedoch auch einer zusätzlichen Definition. Die Formel ist definiert als:

ein = (1/a n)

Die Eigenschaften negativer Zahlenpotenzen ähneln denen von Potenzen mit positivem Exponenten. Dargestellte Gleichung A m/a n= ein m-n kann fair sein wie

« Nirgendwo, wie in der Mathematik, erlaubt es die Klarheit und Genauigkeit der Schlussfolgerung einer Person, sich einer Antwort zu entziehen, indem man um die Frage herum redet».

A. D. Alexandrow

bei N mehr M , und mit M mehr N . Schauen wir uns ein Beispiel an: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Zuerst müssen Sie die Zahl bestimmen, die als Definition des Abschlusses dient. b=a(-n) . In diesem Beispiel -N ist ein Exponent B - der gewünschte Zahlenwert, A - die Basis des Grades in Form eines natürlichen Zahlenwertes. Bestimmen Sie dann den Modul, also den Absolutwert einer negativen Zahl, der als Exponent fungiert. Berechnen Sie den Grad einer bestimmten Zahl im Verhältnis zu einer absoluten Zahl als Indikator. Der Wert des Grades wird ermittelt, indem man eins durch die resultierende Zahl dividiert.

Reis. 1

Betrachten Sie die Potenz einer Zahl mit einem negativen Bruchexponenten. Stellen wir uns vor, dass die Zahl a eine beliebige positive Zahl ist N Und M - ganze Zahlen. Laut Definition A , der zur Macht erhoben wird - gleich eins dividiert durch die gleiche Zahl mit positiver Potenz (Abbildung 1). Wenn die Potenz einer Zahl ein Bruch ist, werden in solchen Fällen nur Zahlen mit positiven Exponenten verwendet.

Erinnernswert dass Null niemals ein Exponent einer Zahl sein kann (die Regel der Division durch Null).

Die Verbreitung eines solchen Konzepts als Zahl führte zu Manipulationen wie Messberechnungen sowie zur Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft. Die Einführung negativer Werte war auf die Entwicklung der Algebra zurückzuführen, die allgemeine Lösungen für arithmetische Probleme lieferte, unabhängig von ihrer spezifischen Bedeutung und den ursprünglichen numerischen Daten. In Indien wurden im 6.-11. Jahrhundert systematisch negative Zahlen zur Lösung von Problemen verwendet und genauso interpretiert wie heute. In der europäischen Wissenschaft wurden negative Zahlen dank R. Descartes weit verbreitet, der negative Zahlen geometrisch als Richtungen von Segmenten interpretierte. Es war Descartes, der die Bezeichnung einer potenzierten Zahl vorschlug, die als zweistöckige Formel dargestellt werden sollte ein .

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Machtausdrücke (Ausdrücke mit Kräften) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über die Konvertierung von Ausdrücken mit Potenzen sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich Potenzausdrücken, wie etwa das Öffnen von Klammern und das Einbringen ähnlicher Begriffe. Und dann analysieren wir die Transformationen, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit Basis und Exponent, Verwendung der Eigenschaften von Graden usw.

Seitennavigation.

Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Potenzausdrücke“ kommt in schulischen Mathematiklehrbüchern praktisch nicht vor, kommt aber recht häufig in Aufgabensammlungen vor, insbesondere solchen, die beispielsweise zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen bestimmt sind. Nach der Analyse der Aufgaben, bei denen es notwendig ist, beliebige Aktionen mit Machtausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Machtausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die in ihren Einträgen Kräfte enthalten. Daher können Sie die folgende Definition für sich akzeptieren:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Grade enthalten.

Geben wir Beispiele für Machtausdrücke. Darüber hinaus werden wir sie danach darstellen, wie die Entwicklung der Ansichten von einem Grad mit natürlichem Exponenten zu einem Grad mit reellem Exponenten erfolgt.

Bekanntlich lernt man zunächst die Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten kennen; in diesem Stadium entstehen die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 erscheinen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen wie den folgenden führt: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

In der High School kehren sie zu Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was das Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke mit sich bringt: , , usw. Abschließend werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache beschränkt sich nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke: Weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es entstehen beispielsweise folgende Ausdrücke: 2 x 2 +1 oder . Und nachdem man sich damit vertraut gemacht hat, tauchen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen auf, zum Beispiel x 2·lgx −5·x lgx.

Wir haben uns also mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke darstellen. Als nächstes lernen wir, sie umzuwandeln.

Haupttypen der Transformationen von Machtausdrücken

Mit Power-Ausdrücken können Sie alle grundlegenden Funktionen ausführen Identitätstransformationen von Ausdrücken. Sie können beispielsweise Klammern öffnen, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen usw. Selbstverständlich ist es notwendig, das Akzeptierte einzuhalten Reihenfolge der Aktionen. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Lösung.

Führen Sie entsprechend der Reihenfolge der Aktionsausführung zunächst die Aktionen in Klammern aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz 4 2 durch ihren Wert 16 (ggf. siehe), und zweitens berechnen wir die Differenz 16−12=4. Wir haben 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz 2 3 durch ihren Wert 8 und berechnen anschließend das Produkt 8·4=32. Dies ist der gewünschte Wert.

Also, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Antwort:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Beispiel.

Vereinfachen Sie Ausdrücke mit Potenzen 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Lösung.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Begriffe 3·a 4 ·b −7 und 2·a 4 ·b −7 , und wir können ihnen Folgendes geben: .

Antwort:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Beispiel.

Drücken Sie einen Ausdruck mit Kräften als Produkt aus.

Lösung.

Sie können die Aufgabe bewältigen, indem Sie die Zahl 9 als Potenz von 3 2 darstellen und dann verwenden abgekürzte Multiplikationsformeln Differenz der Quadrate:

Antwort:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die speziell Potenzausdrücken innewohnen. Wir werden sie weiter analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, deren Basis und/oder Exponent nicht nur Zahlen oder Variablen, sondern einige Ausdrücke sind. Als Beispiel geben wir die Einträge (2+0,3·7) 5−3,7 und (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Wenn Sie mit ähnlichen Ausdrücken arbeiten, können Sie sowohl den Ausdruck in der Basis des Grades als auch den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzen ODZ seine Variablen. Mit anderen Worten: Nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Grades und den Exponenten getrennt transformieren. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der dem Original identisch ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. Beispielsweise können Sie im oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 Operationen mit den Zahlen in der Basis und im Exponenten durchführen, wodurch Sie zur Potenz 4,1 1,3 gelangen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme zur Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) gebracht haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+ 1) .

Verwenden von Abschlusseigenschaften

Eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichheiten, die widerspiegeln. Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für alle positiven Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

a r ·a s =a r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(a·b) r =a r ·b r ;
(a:b) r =a r:b r ;
(a r) s =a r·s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Einschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für natürliche Zahlen m und n die Gleichung a m ·a n =a m+n nicht nur für positives a, sondern auch für negatives a und für a=0.

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken auf der Fähigkeit, die entsprechende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Gradbasen in der Regel positiv, was eine uneingeschränkte Nutzung der Gradeigenschaften ermöglicht. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen enthalten, in Potenzbasen – der Bereich der zulässigen Werte von Variablen ist in der Regel so, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen, was Ihnen die freie Nutzung der Potenzeigenschaften ermöglicht . Generell muss man sich ständig fragen, ob in diesem Fall eine beliebige Eigenschaft von Abschlüssen genutzt werden kann, denn eine ungenaue Nutzung der Eigenschaften kann zu einer Beeinträchtigung des pädagogischen Wertes und anderen Problemen führen. Diese Punkte werden im Artikel ausführlich und anhand von Beispielen besprochen. Konvertieren von Ausdrücken mithilfe von Potenzeigenschaften. Wir beschränken uns hier auf die Betrachtung einiger einfacher Beispiele.

Beispiel.

Drücken Sie den Ausdruck a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 als Potenz mit der Basis a aus.

Lösung.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 mithilfe der Eigenschaft, eine Potenz zu potenzieren: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Der ursprüngliche Potenzausdruck hat die Form a 2,5 ·a −6:a −5,5. Offensichtlich bleibt es weiterhin, die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit der gleichen Basis zu nutzen, wie wir sie haben
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Antwort:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Eigenschaften von Potenzen bei der Transformation von Potenzausdrücken werden sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links verwendet.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Lösung.

Die von rechts nach links angewendete Gleichheit (a·b) r =a r ·b r ermöglicht es uns, vom ursprünglichen Ausdruck zu einem Produkt der Form und weiter zu gelangen. Und wenn man Potenzen mit gleichen Basen multipliziert, addieren sich die Exponenten: .

Es war möglich, den ursprünglichen Ausdruck auf andere Weise umzuwandeln:

Antwort:

Beispiel.

Führen Sie bei gegebenem Potenzausdruck a 1,5 −a 0,5 −6 eine neue Variable t=a 0,5 ein.

Lösung.

Der Grad a 1,5 kann als a 0,5 3 dargestellt werden und dann, basierend auf der Eigenschaft des Grades zum Grad (a r) s =a r s, von rechts nach links angewendet, in die Form (a 0,5) 3 transformiert werden. Auf diese Weise, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6.

Antwort:

t 3 −t−6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder darstellen. Alle Grundprinzipien sind auf solche Brüche vollständig anwendbar Bruchumrechnungen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen. Das heißt, Brüche, die Potenzen enthalten, können reduziert, auf einen neuen Nenner reduziert, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner bearbeitet werden usw. Um diese Wörter zu veranschaulichen, betrachten Sie Lösungen für mehrere Beispiele.

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Machtausdruck .

Lösung.

Dieser Potenzausdruck ist ein Bruch. Lassen Sie uns mit Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den resultierenden Ausdruck mithilfe der Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner stellen wir ähnliche Begriffe dar:

Und ändern wir auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir vor dem Bruch ein Minus setzen: .

Antwort:

Die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner. In diesem Fall wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Bei dieser Aktion ist zu beachten, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung der VA führen kann. Um dies zu verhindern, ist es erforderlich, dass der Zusatzfaktor für keinen Wert der Variablen aus den ODZ-Variablen für den Originalausdruck auf Null geht.

Beispiel.

Reduziere die Brüche auf einen neuen Nenner: a) auf Nenner a, b) zum Nenner.

Lösung.

a) In diesem Fall lässt sich ganz einfach herausfinden, welcher zusätzliche Multiplikator zum gewünschten Ergebnis beiträgt. Dies ist ein Multiplikator von a 0,3, da a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Beachten Sie, dass im Bereich der zulässigen Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) die Potenz von a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner einer gegebenen Zahl zu multiplizieren Bruchteil durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn Sie sich den Nenner genauer ansehen, werden Sie das feststellen

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Würfel und , das heißt . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir einen zusätzlichen Faktor gefunden. Im Bereich akzeptabler Werte der Variablen x und y verschwindet der Ausdruck nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

Antwort:

A) , B) .

Auch die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, ist nichts Neues: Zähler und Nenner werden durch eine Reihe von Faktoren dargestellt, und die gleichen Faktoren des Zählers und Nenners werden reduziert.

Beispiel.

Reduziere den Bruch: a) , B) .

Lösung.

a) Zunächst können Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 reduziert werden, was 15 ergibt. Natürlich ist es auch möglich, eine Reduktion um x 0,5 +1 und um durchzuführen . Das haben wir:

b) In diesem Fall sind identische Faktoren im Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel zu faktorisieren:

Antwort:

A)

B) .

Das Umwandeln von Brüchen in einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen werden hauptsächlich verwendet, um mit Brüchen umzugehen. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, anschließend werden die Zähler addiert (subtrahiert), der Nenner bleibt jedoch derselbe. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Eine Division durch einen Bruch ist eine Multiplikation mit ihrer Umkehrung.

Beispiel.

Folge den Schritten .

Lösung.

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , danach subtrahieren wir die Zähler:

Jetzt multiplizieren wir die Brüche:

Offensichtlich ist es möglich, um eine Potenz von x 1/2 zu reduzieren, woraufhin wir haben .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Antwort:

Beispiel.

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck .

Lösung.

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 reduziert werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von X noch etwas anderes gemacht werden muss. Dazu wandeln wir den resultierenden Bruch in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilungsgewalten mit den gleichen Grundlagen auszunutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

Antwort:

Und fügen wir noch hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen und dabei das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Solche Transformationen vereinfachen oft das weitere Vorgehen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, sind neben Potenzen häufig auch Wurzeln mit gebrochenen Exponenten vorhanden. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur zu Wurzeln oder nur zu Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Kräften zu arbeiten, bewegen sie sich normalerweise von den Wurzeln zu den Kräften. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf das Modul verweisen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen (wir haben dies ausführlich besprochen in der Artikel Übergang von Wurzeln zu Potenzen und zurück Nach dem Kennenlernen des Grades mit einem rationalen Exponenten wird ein Grad mit einem irrationalen Exponenten eingeführt, der es uns ermöglicht, über einen Grad mit einem beliebigen reellen Exponenten zu sprechen. In dieser Phase beginnt die Schule Studie Exponentialfunktion, die analytisch durch eine Potenz gegeben ist, deren Basis eine Zahl und deren Exponent eine Variable ist. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis der Potenz und im Exponenten enthalten – Ausdrücke mit Variablen, und natürlich besteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sollte gesagt werden, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen Und exponentielle Ungleichheiten, und diese Konvertierungen sind recht einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen größtenteils auf die Einführung einer neuen Variable in der Zukunft ab. Die Gleichung wird es uns ermöglichen, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Erstens werden Potenzen, in deren Exponenten die Summe einer bestimmten Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl steht, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x dividiert, der auf der ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung nur positive Werte annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, wir sind es nicht). Wenn wir jetzt darüber sprechen, konzentrieren Sie sich auf die nachfolgenden Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen.

Jetzt können wir Brüche mit Potenzen aufheben, was ergibt .

Abschließend wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Relationen ersetzt, wodurch die Gleichung entsteht , was gleichwertig ist . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung reduziert

I. V. Boykov, L. D. Romanova Aufgabensammlung zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Teil 1. Pensa 2003.

Eine zur Potenz erhobene Zahl Sie nennen eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.

ein = (1/a n)

Die Eigenschaften negativer Zahlenpotenzen ähneln denen von Potenzen mit positivem Exponenten. Dargestellte Gleichung A m/a n= ein m-n kann fair sein wie

« Nirgendwo, wie in der Mathematik, erlaubt es die Klarheit und Genauigkeit der Schlussfolgerung einer Person, sich einer Antwort zu entziehen, indem man um die Frage herum redet».

A. D. Alexandrow

bei N mehr M , und mit M mehr N . Schauen wir uns ein Beispiel an: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .