Um den Unterschied zu finden, den Sie brauchen. Zertifikat für die aktive Teilnahme an der Verbesserung der Bildungsqualität gemeinsam mit dem Infourok-Projekt. Mathematische Operationen mit Zahlendifferenzen

Das Wort „Unterschied“ kann viele Bedeutungen haben. Dies kann auch einen Unterschied in etwas bedeuten, zum Beispiel in Meinungen, Ansichten, Interessen. In einigen wissenschaftlichen, medizinischen und anderen Berufsfeldern bezieht sich dieser Begriff auf verschiedene Indikatoren, beispielsweise Blutzuckerspiegel, Luftdruck und Wetterbedingungen. Es gibt auch den Begriff „Differenz“ als mathematischen Begriff.

Arithmetische Operationen mit Zahlen

Die wichtigsten Rechenoperationen in der Mathematik sind:

• Zusatz;
• Subtraktion;
• Multiplikation;
• Aufteilung.

Jedes Ergebnis dieser Aktionen hat auch einen eigenen Namen:

• Summe – das durch Addition von Zahlen erhaltene Ergebnis;
• Differenz – das Ergebnis, das durch Subtrahieren von Zahlen erhalten wird;
• Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen;
• Der Quotient ist das Ergebnis der Division.

Um die Konzepte Summe, Differenz, Produkt und Quotient in der Mathematik in einfacherer Sprache zu erklären, können wir sie einfach nur als Phrasen aufschreiben:

• Betrag - hinzufügen;
• Differenz - subtrahieren;
• Produkt - multiplizieren;
• privat - teilen.

Definitionen betrachten, was ist der Unterschied zwischen Zahlen in der Mathematik? Dieses Konzept kann auf verschiedene Arten definiert werden:

Und alle diese Definitionen sind wahr.

So finden Sie den Unterschied zwischen Mengen

Nehmen wir als Grundlage die Notation für den Unterschied, die uns der Schullehrplan bietet:

• Die Differenz ergibt sich aus der Subtraktion einer Zahl von einer anderen. Die erste dieser Zahlen, von der die Subtraktion durchgeführt wird, wird Minuend genannt, und die zweite, die von der ersten subtrahiert wird, wird Subtrahend genannt.

Wenn wir noch einmal auf den Lehrplan der Schule zurückgreifen, finden wir eine Regel, wie man den Unterschied findet:

• Um die Differenz zu ermitteln, müssen Sie den Subtrahend vom Minuend subtrahieren.

Alles klar. Aber gleichzeitig erhielten wir noch einige weitere mathematische Begriffe. Was meinen sie?

• Der Minuend ist eine mathematische Zahl, von der er subtrahiert wird und die abnimmt (kleiner wird).
• Ein Subtrahend ist eine mathematische Zahl, die vom Minuenden subtrahiert wird.

Nun ist klar, dass die Differenz aus zwei Zahlen besteht, die bekannt sein müssen, um sie zu berechnen. Und wie man sie findet, verwenden wir auch die Definitionen:

• Um den Minuend zu finden, müssen Sie die Differenz zum Subtrahend addieren.
• Um den Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuenden subtrahieren.

Mathematische Operationen mit Zahlendifferenzen

Basierend auf den abgeleiteten Regeln können wir anschauliche Beispiele betrachten. Mathematik ist eine interessante Wissenschaft. Hier werden wir nur die einfachsten Zahlen zur Lösung heranziehen. Nachdem Sie gelernt haben, sie zu subtrahieren, lernen Sie, komplexere Werte zu lösen: dreistellige, vierstellige, ganze Zahlen, Brüche, Potenzen, Wurzeln usw.

Einfache Beispiele

• Beispiel 1. Finden Sie die Differenz zwischen zwei Größen.

20 - zu reduzierender Wert,

15 - subtrahierbar.

Lösung: 20 - 15 = 5

Antwort: 5 - Werteunterschied.

• Beispiel 2. Finden Sie den Minuend.

48 - Unterschied,

32 ist der subtrahierte Wert.

Lösung: 32 + 48 = 80

• Beispiel 3. Finden Sie den Subtrahendwert.

7 - Unterschied,

17 ist der Wert, der reduziert wird.

Lösung: 17 - 7 = 10

Antwort: Subtrahieren Sie den Wert 10.

Komplexere Beispiele

In den Beispielen 1–3 werden Aktionen mit einfachen Ganzzahlen untersucht. In der Mathematik wird die Differenz jedoch nicht nur anhand zweier, sondern auch mehrerer Zahlen sowie ganzer Zahlen, Brüche, rationaler, irrationaler usw. berechnet.

• Beispiel 4. Finden Sie die Differenz zwischen drei Werten.

Die ganzzahligen Werte sind angegeben: 56, 12, 4.

56 - zu reduzierender Wert,

12 und 4 sind subtrahierte Werte.

Die Lösung kann auf zwei Arten erfolgen.

Methode 1 (sequentielle Subtraktion subtrahierter Werte):

1) 56 - 12 = 44 (hier ist 44 die resultierende Differenz der ersten beiden Größen, die in der zweiten Aktion reduziert wird);

Methode 2 (Subtrahieren von zwei Subtrahenden von der zu reduzierenden Summe, die in diesem Fall Addenden genannt werden):

1) 12 + 4 = 16 (wobei 16 die Summe zweier Terme ist, die in der nächsten Operation subtrahiert werden);

2) 56 - 16 = 40.

Antwort: 40 ist die Differenz dreier Werte.

• Beispiel 5. Finden Sie den Unterschied zwischen rationalen Brüchen.

Gegebene Brüche mit demselben Nenner, wo

4/5 - reduzierter Bruchteil,

3/5 - Selbstbehalt.

Um die Lösung zu vervollständigen, müssen Sie die Aktionen mit Brüchen wiederholen. Das heißt, Sie müssen wissen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Wie man mit Brüchen umgeht, die unterschiedliche Nenner haben. Sie müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen können.

Lösung: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Antwort: 1/5.

• Beispiel 6. Verdreifachen Sie die Zahlendifferenz.

Wie führt man ein solches Beispiel durch, wenn man die Differenz verdoppeln oder verdreifachen muss?

Nutzen wir noch einmal die Regeln:

• Das Doppelte einer Zahl ist ein mit zwei multiplizierter Wert.
• Das Dreifache einer Zahl ist ein mit drei multiplizierter Wert.
• Die doppelte Differenz ist die Größendifferenz multipliziert mit zwei.
• Eine dreifache Differenz ist eine Größendifferenz multipliziert mit drei.

7 - reduzierter Wert,

5 - subtrahierter Wert.

2) 2 * 3 = 6. Antwort: 6 ist die Differenz zwischen den Zahlen 7 und 5.

• Beispiel 7. Finden Sie die Differenz zwischen den Werten 7 und 18.

7 - reduzierter Wert;

18 - abgezogen.

Alles scheint klar. Stoppen! Ist der Subtrahend größer als der Minuend?

Und wieder gibt es eine Regel, die für einen konkreten Fall gilt:

• Ist der Subtrahend größer als der Minuend, ist die Differenz negativ.

Antwort: - 11. Dieser negative Wert ist die Differenz zwischen zwei Größen, vorausgesetzt, dass die subtrahierte Menge größer ist als die reduzierte Menge.

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Im World Wide Web finden Sie viele thematische Websites, die jede Frage beantworten. Ebenso helfen Ihnen Online-Rechner für jeden Geschmack bei allen mathematischen Berechnungen. Alle darauf durchgeführten Berechnungen sind eine hervorragende Hilfe für Eilige, Uninteressierte und Faule. Mathe für Blondinen ist eine solche Ressource. Darüber hinaus greifen wir alle darauf zurück, unabhängig von Haarfarbe, Geschlecht und Alter.

In der Schule wurde uns beigebracht, solche Operationen mit mathematischen Größen in einer Spalte und später auf einem Taschenrechner zu berechnen. Auch der Taschenrechner ist ein praktisches Hilfsmittel. Für die Entwicklung des Denkens, der Intelligenz, der Einstellung und anderer Lebensqualitäten empfehlen wir Ihnen jedoch, Rechenoperationen auf dem Papier oder sogar im Kopf durchzuführen. Die Schönheit des menschlichen Körpers ist die große Errungenschaft des modernen Fitnessplans. Aber das Gehirn ist auch ein Muskel, der manchmal gepumpt werden muss. Beginnen Sie also unverzüglich mit dem Nachdenken.

Und auch wenn die Berechnungen zu Beginn Ihrer Reise auf primitive Beispiele reduziert werden, liegt alles vor Ihnen. Und du wirst einiges meistern müssen. Wir sehen, dass es in der Mathematik viele Operationen mit unterschiedlichen Größen gibt. Daher muss zusätzlich zur Differenz untersucht werden, wie die verbleibenden Ergebnisse arithmetischer Operationen berechnet werden:

• Summe – durch Hinzufügen von Begriffen;
• Produkt - durch Multiplikation von Faktoren;
• Quotient – ​​durch Division des Dividenden durch den Divisor.

Das ist eine interessante Arithmetik.

Subtraktion ist eine zur Addition inverse Rechenoperation, mit der von einer Zahl so viele Einheiten subtrahiert (subtrahiert) werden, wie in einer anderen Zahl enthalten sind.

Die Zahl, von der sie subtrahiert wird, wird aufgerufen reduzierbar, die Zahl, die angibt, wie viele Einheiten von der ersten Zahl abgezogen werden, wird aufgerufen Selbstbehalt. Die aus der Subtraktion resultierende Zahl wird aufgerufen Unterschied(oder der Rest).

Schauen wir uns die Subtraktion anhand eines Beispiels an. Es liegen 9 Bonbons auf dem Tisch. Wenn Sie 5 Bonbons essen, bleiben noch 4 übrig. Die Zahl 9 ist der Minuend, 5 ist der Subtrahend und 4 ist der Rest (Differenz):

Um eine Subtraktion zu schreiben, verwenden Sie das Minuszeichen. Es wird zwischen Minuend und Subtrahend platziert, wobei der Minuend links vom Minuszeichen und der Subtrahend rechts vom Minuszeichen geschrieben wird. Der Eintrag 9 - 5 bedeutet beispielsweise, dass die Zahl 5 von der Zahl 9 subtrahiert wird. Rechts neben dem Subtraktionseintrag setzen Sie ein = (Gleichheitszeichen), danach wird das Ergebnis der Subtraktion geschrieben. Die vollständige Subtraktionsnotation sieht also so aus:

Dieser Eintrag lautet wie folgt: Die Differenz zwischen neun und fünf ist gleich vier oder neun minus fünf ist gleich vier.

Um durch Subtraktion eine natürliche Zahl oder 0 zu erhalten, muss der Minuend größer oder gleich dem Subtrahend sein.

Betrachten wir, wie Sie mithilfe der natürlichen Reihe eine Subtraktion durchführen und die Differenz zweier natürlicher Zahlen ermitteln können. Zum Beispiel müssen wir die Differenz zwischen den Zahlen 9 und 6 berechnen, die Zahl 9 in der natürlichen Reihe markieren und von dort aus 6 Zahlen nach links zählen. Wir erhalten die Nummer 3:

Die Subtraktion kann auch zum Vergleich zweier Zahlen verwendet werden. Wenn wir zwei Zahlen vergleichen wollen, fragen wir uns, um wie viele Einheiten eine Zahl größer oder kleiner als die andere ist. Um das herauszufinden, müssen Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Um beispielsweise herauszufinden, wie viel 10 kleiner als 25 ist (oder wie viel 25 mehr als 10 ist), müssen Sie 10 von 25 subtrahieren. Dann stellen wir fest, dass 10 um weniger als 25 ist (oder 25 mehr als 10 ist). 15 Einheiten.

Subtraktionsprüfung

Betrachten Sie den Ausdruck

Dabei ist 15 der Minuend, 7 der Subtrahend und 8 die Differenz. Um herauszufinden, ob die Subtraktion korrekt durchgeführt wurde, können Sie:

1. Addiere den Subtrahend mit der Differenz. Wenn du den Minuend erhältst, wurde die Subtraktion korrekt durchgeführt:

Grundregeln der Mathematik.

Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term vom Summenwert subtrahieren.

Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zum Differenzwert addieren.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie den Differenzwert vom Minuend subtrahieren.

Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie den Produktwert durch den bekannten Faktor dividieren

Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Wert des Quotienten dividieren.

Additionsgesetze:

Kommutativ: a + b = b + a (der Wert der Summe ändert sich nicht durch Umordnen der Terme)

Kombinativ: (a + b) + c = a + (b + c) (Um einen dritten Term zur Summe zweier Terme hinzuzufügen, können Sie die Summe des zweiten und dritten Termes zum ersten Term addieren.)

Das Gesetz zum Addieren einer Zahl mit 0: a + 0 = a (beim Addieren einer Zahl mit Null erhalten wir dieselbe Zahl).

Multiplikationsgesetze:

Kommutativ: a ∙ b = b ∙ a (der Wert des Produkts ändert sich nicht durch Umordnen der Faktoren)

Kombinativ: (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) – Um das Produkt zweier Faktoren mit dem dritten Faktor zu multiplizieren, können Sie den ersten Faktor mit dem Produkt des zweiten und dritten Faktors multiplizieren.

Distributives Multiplikationsgesetz: a ∙ (b + c) = a ∙ c + b ∙ c (Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem der Terme multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.)

Gesetz der Multiplikation mit 0: a ∙ 0 = 0 (wenn eine beliebige Zahl mit 0 multipliziert wird, ist das Ergebnis 0)

Teilungsgesetze:

a: 1 = a (Wenn eine Zahl durch 1 geteilt wird, erhält man dieselbe Zahl)

0: a = 0 (Wenn 0 durch eine Zahl geteilt wird, ist das Ergebnis 0)

Man kann nicht durch Null dividieren!

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist gleich der doppelten Summe seiner Länge und Breite. Oder: Der Umfang eines Rechtecks ​​ist gleich der Summe aus der doppelten Breite und der doppelten Länge: P = (a + b) ∙ 2,

P = a ∙ 2 + b ∙ 2

Der Umfang des Quadrats ist gleich der Länge der Seite multipliziert mit 4 (P = a ∙ 4)

1 m = 10 dm = 100 cm 1 Stunde = 60 min 1t = 1000 kg = 10 c 1m = 1000 mm

1 dm = 10 cm = 100 mm 1 min = 60 sek 1 c = 100 kg 1 kg = 1000 g

1 cm = 10 mm 1 Tag = 24 Stunden 1 km = 1000 m

Bei einem Differentialvergleich wird die kleinere Zahl von einer größeren Zahl subtrahiert; bei einem Mehrfachvergleich wird die größere Zahl durch die kleinere Zahl dividiert.

Eine Gleichung, die eine Unbekannte enthält, wird Gleichung genannt. Die Wurzel einer Gleichung ist eine Zahl, die, wenn sie anstelle von x in die Gleichung eingesetzt wird, eine echte numerische Gleichheit ergibt. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, ihre Wurzel zu finden.

Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei Hälften – in zwei gleiche Teile. Der Durchmesser entspricht zwei Radien.

Wenn ein Ausdruck ohne Klammern Aktionen der ersten (Addition, Subtraktion) und zweiten (Multiplikation, Division) Stufe enthält, werden die Aktionen der zweiten Stufe zuerst der Reihe nach ausgeführt und erst dann die Aktionen der zweiten Stufe.

12 Uhr mittags ist Mittag. 12 Uhr nachts ist Mitternacht.

Römische Ziffern: 1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII , 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX usw.

Algorithmus zur Lösung der Gleichung: Bestimmen Sie, was das Unbekannte ist, merken Sie sich die Regel zum Finden des Unbekannten, wenden Sie die Regel an, führen Sie eine Überprüfung durch.

Ein langer Weg, um Fähigkeiten zu entwickeln Gleichungen lösen beginnt mit der Lösung der allerersten und relativ einfachen Gleichungen. Mit solchen Gleichungen meinen wir Gleichungen, bei denen die linke Seite die Summe, Differenz, das Produkt oder den Quotienten zweier Zahlen enthält, von denen eine unbekannt ist, und die rechte Seite eine Zahl enthält. Das heißt, diese Gleichungen enthalten einen unbekannten Summanden, Minuend, Subtrahend, Multiplikator, Dividenden oder Divisor. Die Lösung solcher Gleichungen wird in diesem Artikel diskutiert.

Hier geben wir Regeln an, die es Ihnen ermöglichen, einen unbekannten Begriff, Faktor usw. zu finden. Darüber hinaus werden wir uns sofort mit der Anwendung dieser Regeln in der Praxis befassen und charakteristische Gleichungen lösen.

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Wenn wir also die Zahl 5 anstelle von x in die ursprüngliche Gleichung 3+x=8 einsetzen, erhalten wir 3+5=8 – diese Gleichheit ist richtig, daher haben wir den unbekannten Term richtig gefunden. Sollten wir bei der Überprüfung eine falsche Zahlengleichung erhalten, wäre dies für uns ein Hinweis darauf, dass wir die Gleichung falsch gelöst haben. Die Hauptgründe hierfür könnten entweder die Anwendung einer falschen Regel oder Rechenfehler sein.

Wie finde ich einen unbekannten Minuend oder Subtrahend?

Der Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion von Zahlen, den wir bereits im vorherigen Absatz erwähnt haben, ermöglicht es uns, eine Regel zum Auffinden eines unbekannten Minuenden durch einen bekannten Subtrahenden und eine Differenz zu erhalten, sowie eine Regel zum Auffinden eines unbekannten Subtrahenden durch einen bekannten Minuend und eine Differenz. Wir werden sie einzeln formulieren und sofort die Lösung der entsprechenden Gleichungen präsentieren.

Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x−2=5. Es enthält einen unbekannten Minuenden. Die obige Regel sagt uns, dass wir, um sie zu finden, den bekannten Subtrahend 2 zur bekannten Differenz 5 addieren müssen, wir haben 5+2=7. Somit ist der erforderliche Minuend gleich sieben.

Wenn wir die Erläuterungen weglassen, lautet die Lösung wie folgt:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Zur Selbstkontrolle führen wir eine Überprüfung durch. Wir setzen den gefundenen Minuenden in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalten die numerische Gleichheit 7−2=5. Es ist richtig, daher können wir sicher sein, dass wir den Wert des unbekannten Minuenden richtig bestimmt haben.

Sie können mit der Suche nach dem unbekannten Subtrahend fortfahren. Es wird durch Addition nach der folgenden Regel gefunden: Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Lösen wir eine Gleichung der Form 9−x=4 mithilfe der geschriebenen Regel. In dieser Gleichung ist die Unbekannte der Subtrahend. Um es zu finden, müssen wir die bekannte Differenz 4 vom bekannten Minuenden 9 subtrahieren, wir haben 9−4=5. Somit ist der erforderliche Subtrahend gleich fünf.

Hier ist eine Kurzversion der Lösung dieser Gleichung:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Es bleibt nur noch die Richtigkeit des gefundenen Subtrahends zu überprüfen. Führen wir eine Überprüfung durch, indem wir den gefundenen Wert 5 anstelle von x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, und wir erhalten die numerische Gleichheit 9−5=4. Es ist richtig, also ist der Wert des von uns gefundenen Subtrahenden korrekt.

Und bevor wir zur nächsten Regel übergehen, stellen wir fest, dass in der 6. Klasse die Regel zum Lösen von Gleichungen berücksichtigt wird, die es Ihnen ermöglicht, jeden Term von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit umgekehrtem Vorzeichen zu übertragen. Alle oben besprochenen Regeln zum Finden eines unbekannten Summanden, Minuenden und Subtrahends stimmen also vollständig damit überein.

Um einen unbekannten Faktor zu finden, benötigen Sie...

Werfen wir einen Blick auf die Gleichungen x·3=12 und 2·y=6. Dabei ist die unbekannte Zahl der Faktor auf der linken Seite und das Produkt und der zweite Faktor sind bekannt. Um einen unbekannten Multiplikator zu finden, können Sie die folgende Regel verwenden: Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Die Grundlage dieser Regel ist, dass wir der Division von Zahlen die entgegengesetzte Bedeutung zur Bedeutung der Multiplikation gegeben haben. Das heißt, es besteht ein Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division: Aus der Gleichheit a·b=c, in der a≠0 und b≠0 gilt, folgt c:a=b und c:b=c und umgekehrt.

Lassen Sie uns zum Beispiel den unbekannten Faktor der Gleichung x·3=12 ermitteln. Gemäß der Regel müssen wir das bekannte Produkt 12 durch den bekannten Faktor 3 dividieren. Führen wir aus: 12:3=4. Somit beträgt der unbekannte Faktor 4.

Kurz gesagt wird die Lösung der Gleichung als Folge von Gleichungen geschrieben:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Es ist auch ratsam, das Ergebnis zu überprüfen: Setzen wir den gefundenen Wert in die ursprüngliche Gleichung anstelle des Buchstabens ein, erhalten wir 4·3=12 – eine korrekte numerische Gleichheit, also haben wir den Wert des unbekannten Faktors richtig ermittelt.

Und noch ein Punkt: Gemäß der erlernten Regel dividieren wir tatsächlich beide Seiten der Gleichung durch einen bekannten Faktor ungleich Null. In der 6. Klasse wird gesagt, dass beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert und dividiert werden können. Dies hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.

Wie finde ich eine unbekannte Dividende oder einen unbekannten Divisor?

Im Rahmen unseres Themas bleibt noch herauszufinden, wie man den unbekannten Dividenden mit einem bekannten Teiler und Quotienten findet, und wie man den unbekannten Teiler mit einem bekannten Dividenden und Quotienten findet. Der bereits im vorherigen Absatz erwähnte Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division ermöglicht uns die Beantwortung dieser Fragen.

Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Schauen wir uns die Anwendung anhand eines Beispiels an. Lösen wir die Gleichung x:5=9. Um den unbekannten Dividenden dieser Gleichung zu finden, müssen Sie gemäß der Regel den bekannten Quotienten 9 mit dem bekannten Teiler 5 multiplizieren, das heißt, wir multiplizieren natürliche Zahlen: 9·5=45. Somit beträgt die erforderliche Dividende 45.

Lassen Sie uns eine kurze Version der Lösung zeigen:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .

Die Prüfung bestätigt, dass der Wert der unbekannten Dividende korrekt ermittelt wurde. Tatsächlich ergibt sich beim Einsetzen der Zahl 45 in die ursprüngliche Gleichung anstelle der Variablen x die korrekte numerische Gleichheit 45:5=9.

Beachten Sie, dass die analysierte Regel so interpretiert werden kann, dass beide Seiten der Gleichung mit einem bekannten Teiler multipliziert werden. Diese Transformation hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.

Kommen wir zur Regel zum Finden eines unbekannten Teilers: Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir den unbekannten Teiler aus Gleichung 18:x=3. Dazu müssen wir den bekannten Dividenden 18 durch den bekannten Quotienten 3 dividieren, wir haben 18:3=6. Somit ist der erforderliche Teiler sechs.

Die Lösung kann wie folgt geschrieben werden:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Überprüfen wir dieses Ergebnis auf Zuverlässigkeit: 18:6=3 ist eine korrekte numerische Gleichheit, daher wurde die Wurzel der Gleichung korrekt gefunden.

Es ist klar, dass diese Regel nur angewendet werden kann, wenn der Quotient ungleich Null ist, um nicht auf eine Division durch Null zu stoßen. Wenn der Quotient gleich Null ist, sind zwei Fälle möglich. Wenn der Dividend gleich Null ist, das heißt, die Gleichung die Form 0:x=0 hat, dann erfüllt jeder Wert des Divisors ungleich Null diese Gleichung. Mit anderen Worten: Die Wurzeln einer solchen Gleichung sind alle Zahlen, die ungleich Null sind. Wenn, wenn der Quotient gleich Null ist, der Dividend von Null verschieden ist, dann wird die ursprüngliche Gleichung für keinen Wert des Divisors zu einer korrekten numerischen Gleichheit, das heißt, die Gleichung hat keine Wurzeln. Zur Veranschaulichung stellen wir die Gleichung 5:x=0 vor, sie hat keine Lösungen.

Freigaberegeln

Durch die konsequente Anwendung der Regeln zum Finden des unbekannten Summanden, Minuenden, Subtrahend, Multiplikators, Dividenden und Divisors können Sie Gleichungen mit einer einzelnen Variablen komplexerer Form lösen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels verstehen.

Betrachten Sie die Gleichung 3 x+1=7. Zuerst können wir den unbekannten Term 3 x finden, dazu müssen wir den bekannten Term 1 von der Summe 7 subtrahieren, wir erhalten 3 x = 7−1 und dann 3 x = 6. Jetzt muss noch der unbekannte Faktor ermittelt werden, indem das Produkt 6 durch den bekannten Faktor 3 dividiert wird. Wir erhalten x=6:3, woraus x=2 folgt. Auf diese Weise wird die Wurzel der ursprünglichen Gleichung gefunden.

Um das Material zu festigen, präsentieren wir eine kurze Lösung einer anderen Gleichung (2·x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Referenzliste.

• Mathematik.. 4. Klasse. Lehrbuch für die Allgemeinbildung Institutionen. Um 14 Uhr Teil 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova usw.] – 8. Auflage. - M.: Bildung, 2011. - 112 S.: Abb. - (Schule Russlands). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 Seiten: Abb. ISBN 5-346-00699-0.

Um zu lernen, Gleichungen schnell und erfolgreich zu lösen, müssen Sie mit den einfachsten Regeln und Beispielen beginnen. Zunächst müssen Sie lernen, Gleichungen zu lösen, die eine Differenz, eine Summe, einen Quotienten oder ein Produkt einiger Zahlen mit einer Unbekannten auf der linken und einer anderen Zahl auf der rechten Seite haben. Mit anderen Worten, in diesen Gleichungen gibt es einen unbekannten Term und entweder einen Minuend mit einem Subtrahend oder einen Dividenden mit einem Divisor usw. Über Gleichungen dieser Art werden wir mit Ihnen sprechen.

Dieser Artikel widmet sich den Grundregeln, mit denen Sie Faktoren, unbekannte Begriffe usw. finden können. Alle theoretischen Grundlagen erklären wir Ihnen gleich anhand konkreter Beispiele.

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Den unbekannten Begriff finden

Nehmen wir an, wir haben eine bestimmte Anzahl Kugeln in zwei Vasen, zum Beispiel 9. Wir wissen, dass sich in der zweiten Vase 4 Kugeln befinden. Wie finde ich die Menge in der Sekunde? Schreiben wir dieses Problem in mathematischer Form und bezeichnen die Zahl, die gefunden werden muss, als x. Gemäß der ursprünglichen Bedingung bildet diese Zahl zusammen mit 4 9, was bedeutet, dass wir die Gleichung 4 + x = 9 schreiben können. Links haben wir eine Summe mit einem unbekannten Term, rechts den Wert dieser Summe. Wie finde ich x? Dazu müssen Sie die Regel verwenden:

Definition 1

Um den unbekannten Term zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren.

In diesem Fall geben wir der Subtraktion eine Bedeutung, die das Gegenteil der Addition ist. Mit anderen Worten, es besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den Aktionen der Addition und Subtraktion, der wörtlich wie folgt ausgedrückt werden kann: Wenn a + b = c, dann c − a = b und c − b = a und umgekehrt, von Aus den Ausdrücken c − a = b und c − b = a können wir schließen, dass a + b = c.

Wenn wir diese Regel kennen, können wir mithilfe des bekannten Termes und der Summe einen unbekannten Term finden. Welchen Begriff wir kennen, den ersten oder den zweiten, spielt in diesem Fall keine Rolle. Sehen wir uns an, wie man diese Regel in der Praxis anwendet.

Beispiel 1

Nehmen wir die Gleichung, die wir oben erhalten haben: 4 + x = 9. Gemäß der Regel müssen wir von einer bekannten Summe gleich 9 einen bekannten Term gleich 4 subtrahieren. Subtrahieren wir eine natürliche Zahl von einer anderen: 9 - 4 = 5. Wir haben den Term erhalten, den wir brauchten, nämlich 5.

Normalerweise werden Lösungen für solche Gleichungen wie folgt geschrieben:

1. Zuerst wird die Originalgleichung geschrieben.
2. Als nächstes schreiben wir die Gleichung auf, die sich ergibt, nachdem wir die Regel zur Berechnung des unbekannten Termes angewendet haben.
3. Danach schreiben wir die Gleichung, die wir nach all den Manipulationen mit Zahlen erhalten haben.

Diese Form der Notation wird benötigt, um das sequentielle Ersetzen der ursprünglichen Gleichung durch äquivalente Gleichungen zu veranschaulichen und den Prozess der Wurzelfindung darzustellen. Die Lösung unserer einfachen Gleichung oben würde korrekterweise wie folgt geschrieben werden:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

Wir können die Richtigkeit der erhaltenen Antwort überprüfen. Ersetzen wir das, was wir erhalten haben, in die ursprüngliche Gleichung und sehen wir, ob daraus die korrekte numerische Gleichheit resultiert. Ersetzen Sie 5 durch 4 + x = 9 und erhalten Sie: 4 + 5 = 9. Die Gleichung 9 = 9 ist richtig, was bedeutet, dass der unbekannte Begriff korrekt gefunden wurde. Wenn sich herausstellt, dass die Gleichheit falsch ist, sollten wir zur Lösung zurückkehren und sie erneut überprüfen, da dies ein Zeichen für einen Fehler ist. In der Regel handelt es sich dabei meist um einen Rechenfehler oder die Anwendung einer falschen Regel.

Einen unbekannten Subtrahend oder Minuend finden

Wie wir bereits im ersten Absatz erwähnt haben, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den Prozessen der Addition und Subtraktion. Mit seiner Hilfe können wir eine Regel formulieren, die uns hilft, einen unbekannten Minuend zu finden, wenn wir die Differenz und den Subtrahend kennen, oder einen unbekannten Subtrahend durch den Minuend oder die Differenz. Lassen Sie uns diese beiden Regeln der Reihe nach aufschreiben und zeigen, wie man sie zur Lösung von Problemen anwendet.

Definition 2

Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.

Beispiel 2

Wir haben zum Beispiel die Gleichung x - 6 = 10. Unbekannter Minuend. Gemäß der Regel müssen wir die subtrahierte 6 zur Differenz von 10 addieren, wir erhalten 16. Das heißt, der ursprüngliche Minuend ist gleich sechzehn. Schreiben wir die gesamte Lösung auf:

x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

Überprüfen wir das Ergebnis, indem wir die resultierende Zahl zur ursprünglichen Gleichung hinzufügen: 16 - 6 = 10. Die Gleichung 16 - 16 wird richtig sein, was bedeutet, dass wir alles richtig berechnet haben.

Definition 3

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Beispiel 3

Lassen Sie uns die Regel verwenden, um die Gleichung 10 - x = 8 zu lösen. Wir kennen den Subtrahend nicht, also müssen wir die Differenz von 10 subtrahieren, d. h. 10 - 8 = 2. Das bedeutet, dass der erforderliche Subtrahend gleich zwei ist. Hier ist die gesamte Lösung:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

Überprüfen wir die Richtigkeit, indem wir eine Zwei in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Lassen Sie uns die richtige Gleichheit 10 - 2 = 8 ermitteln und sicherstellen, dass der gefundene Wert korrekt ist.

Bevor wir zu anderen Regeln übergehen, stellen wir fest, dass es eine Regel zum Übertragen beliebiger Terme von einem Teil der Gleichung auf einen anderen gibt, indem das Vorzeichen durch das Gegenteil ersetzt wird. Alle oben genannten Regeln entsprechen voll und ganz.

Einen unbekannten Faktor finden

Schauen wir uns zwei Gleichungen an: x · 2 = 20 und 3 · x = 12. In beiden Fällen kennen wir den Wert des Produkts und einen der Faktoren, die wir benötigen, um den zweiten zu finden. Dazu müssen wir eine andere Regel verwenden.

Definition 4

Um einen unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Diese Regel basiert auf einer Bedeutung, die das Gegenteil der Bedeutung der Multiplikation ist. Zwischen Multiplikation und Division besteht folgender Zusammenhang: a · b = c, wenn a und b ungleich 0 sind, c: a = b, c: b = c und umgekehrt.

Beispiel 4

Berechnen wir den unbekannten Faktor in der ersten Gleichung, indem wir den bekannten Quotienten 20 durch den bekannten Faktor 2 dividieren. Wir dividieren natürliche Zahlen und erhalten 10. Schreiben wir die Folge der Gleichheiten auf:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

Wir setzen die Zehn in die ursprüngliche Gleichheit ein und erhalten 2 · 10 = 20. Der Wert des unbekannten Multiplikators wurde korrekt eingegeben.

Lassen Sie uns klarstellen, dass diese Regel nicht angewendet werden kann, wenn einer der Multiplikatoren Null ist. Daher können wir mit ihrer Hilfe die Gleichung x · 0 = 11 nicht lösen. Diese Notation macht keinen Sinn, da man zur Lösung 11 durch 0 dividieren muss und eine Division durch Null nicht definiert ist. Über solche Fälle haben wir in dem Artikel über lineare Gleichungen ausführlicher gesprochen.

Wenn wir diese Regel anwenden, dividieren wir im Wesentlichen beide Seiten der Gleichung durch einen Faktor ungleich 0. Es gibt eine separate Regel, nach der eine solche Division durchgeführt werden kann, und sie hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung, und das, worüber wir in diesem Absatz geschrieben haben, stimmt vollständig damit überein.

Finden einer unbekannten Dividende oder eines unbekannten Divisors

Ein weiterer Fall, den wir berücksichtigen müssen, ist die Ermittlung des unbekannten Dividenden, wenn wir den Divisor und den Quotienten kennen, sowie die Ermittlung des Divisors, wenn der Quotient und der Dividend bekannt sind. Diese Regel können wir über den hier bereits erwähnten Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division formulieren.

Definition 5

Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Divisor mit dem Quotienten multiplizieren.

Sehen wir uns an, wie diese Regel angewendet wird.

Beispiel 5

Lösen wir damit die Gleichung x: 3 = 5. Wir multiplizieren den bekannten Quotienten und den bekannten Divisor miteinander und erhalten 15, was die Dividende ist, die wir brauchen.

Hier ist eine Zusammenfassung der gesamten Lösung:

x: 3 = 5, x = 3 · 5, x = 15.

Eine Überprüfung zeigt, dass wir alles richtig berechnet haben, denn wenn man 15 durch 3 dividiert, ergibt sich tatsächlich 5. Korrekte numerische Gleichheit ist ein Beweis für eine korrekte Lösung.

Diese Regel kann so interpretiert werden, dass die rechte und die linke Seite der Gleichung mit derselben Zahl ungleich 0 multipliziert werden. Diese Transformation hat keinen Einfluss auf die Wurzeln der Gleichung.

Kommen wir zur nächsten Regel.

Definition 6

Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Beispiel 6

Nehmen wir ein einfaches Beispiel – Gleichung 21: x = 3. Um es zu lösen, dividieren Sie den bekannten Dividenden 21 durch den Quotienten 3 und erhalten Sie 7. Dies ist der erforderliche Teiler. Lassen Sie uns nun die Lösung richtig formalisieren:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

Stellen wir sicher, dass das Ergebnis korrekt ist, indem wir sieben in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. 21: 7 = 3, also wurde die Wurzel der Gleichung korrekt berechnet.

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Regel nur für Fälle gilt, in denen der Quotient ungleich Null ist, da wir sonst erneut durch 0 dividieren müssen. Wenn Null privat ist, sind zwei Optionen möglich. Wenn die Dividende ebenfalls gleich Null ist und die Gleichung wie folgt aussieht: 0: x = 0, dann ist der Wert der Variablen beliebig, das heißt, diese Gleichung hat unendlich viele Wurzeln. Aber eine Gleichung mit einem Quotienten gleich 0 und einem von 0 verschiedenen Dividenden wird keine Lösungen haben, da solche Werte des Divisors nicht existieren. Ein Beispiel wäre Gleichung 5: x = 0, die keine Wurzeln hat.

Konsequente Anwendung von Regeln

In der Praxis gibt es oft komplexere Probleme, bei denen die Regeln zum Finden von Addenden, Minuenden, Subtrahenden, Faktoren, Dividenden und Quotienten nacheinander angewendet werden müssen. Geben wir ein Beispiel.

Beispiel 7

Wir haben eine Gleichung der Form 3 x + 1 = 7. Wir berechnen den unbekannten Term 3 x, indem wir eins von 7 subtrahieren. Am Ende erhalten wir 3 x = 7 − 1, dann 3 x = 6. Diese Gleichung ist sehr einfach zu lösen: Teilen Sie 6 durch 3 und ermitteln Sie die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Hier ist eine kurze Zusammenfassung der Lösung einer anderen Gleichung (2 x − 7): 3 − 5 = 2:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.

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