Quadratisches Trinom und seine Wurzeln. So berechnen Sie die Fläche eines Kreises. So berechnen Sie die Grundfläche

Bei der Lösung von Problemen werden wir oft mit großen Zahlen konfrontiert, aus denen wir etwas extrahieren müssen Quadratwurzel. Viele Schüler entscheiden, dass dies ein Fehler ist und beginnen, das gesamte Beispiel erneut zu lösen. Auf keinen Fall sollten Sie dies tun! Dafür gibt es zwei Gründe:

1. In Problemen tauchen durchaus Wurzeln großer Zahlen auf. Besonders in Textform;
2. Es gibt einen Algorithmus, mit dem diese Wurzeln fast mündlich berechnet werden.

Wir werden diesen Algorithmus heute betrachten. Vielleicht kommt Ihnen manches unverständlich vor. Aber wenn Sie dieser Lektion Aufmerksamkeit schenken, erhalten Sie eine mächtige Waffe dagegen Quadratwurzeln.

Also der Algorithmus:

1. Beschränken Sie die erforderliche Wurzel oben und unten auf Zahlen, die ein Vielfaches von 10 sind. Daher reduzieren wir den Suchbereich auf 10 Zahlen;
2. Entfernen Sie aus diesen 10 Zahlen diejenigen, die definitiv keine Wurzeln sein können. Dadurch bleiben 1-2 Nummern übrig;
3. Quadrieren Sie diese 1-2 Zahlen. Derjenige, dessen Quadrat gleich der ursprünglichen Zahl ist, ist die Wurzel.

Bevor wir diesen Algorithmus in die Praxis umsetzen, schauen wir uns jeden einzelnen Schritt an.

Root-Beschränkung

Zunächst müssen wir herausfinden, zwischen welchen Zahlen unsere Wurzel liegt. Es ist äußerst wünschenswert, dass die Zahlen ein Vielfaches von zehn sind:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Wir erhalten eine Reihe von Zahlen:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Was sagen uns diese Zahlen? Es ist ganz einfach: Wir setzen Grenzen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 1296. Sie liegt zwischen 900 und 1600. Daher kann ihre Wurzel nicht kleiner als 30 und nicht größer als 40 sein:

[Bildunterschrift]

Das Gleiche gilt für jede andere Zahl, aus der Sie die Quadratwurzel ermitteln können. Zum Beispiel 3364:

[Bildunterschrift]

Somit erhalten wir statt einer unverständlichen Zahl einen ganz bestimmten Bereich, in dem die ursprüngliche Wurzel liegt. Um den Suchbereich weiter einzugrenzen, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.

Eliminierung offensichtlich unnötiger Zahlen

Wir haben also 10 Zahlen – Kandidaten für die Wurzel. Wir haben sie sehr schnell bekommen, ohne kompliziertes Nachdenken und Multiplizieren in einer Kolumne. Es ist Zeit weiterzugehen.

Ob Sie es glauben oder nicht, wir werden nun die Anzahl der Kandidatenzahlen auf zwei reduzieren – wiederum ohne komplizierte Berechnungen! Es reicht aus, die Sonderregel zu kennen. Hier ist es:

Die letzte Ziffer des Quadrats hängt nur von der letzten Ziffer ab Originalnummer.

Mit anderen Worten: Schauen Sie sich einfach die letzte Ziffer des Quadrats an und wir werden sofort verstehen, wo die ursprüngliche Zahl endet.

An letzter Stelle können nur 10 Ziffern stehen. Versuchen wir herauszufinden, was sie im Quadrat ergeben. Schauen Sie sich die Tabelle an:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Diese Tabelle ist ein weiterer Schritt zur Berechnung der Wurzel. Wie Sie sehen können, erwiesen sich die Zahlen in der zweiten Zeile als symmetrisch zur Fünf. Zum Beispiel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Wie Sie sehen, ist die letzte Ziffer in beiden Fällen gleich. Das bedeutet, dass beispielsweise die Wurzel von 3364 auf 2 oder 8 enden muss. Andererseits erinnern wir uns an die Einschränkung aus dem vorherigen Absatz. Wir bekommen:

[Bildunterschrift]

Rote Quadrate zeigen an, dass wir diese Zahl noch nicht kennen. Aber die Wurzel liegt im Bereich von 50 bis 60, in dem es nur zwei Zahlen gibt, die auf 2 und 8 enden:

[Bildunterschrift]

Das ist alles! Von allen möglichen Wurzeln haben wir nur zwei Optionen gelassen! Und das ist im schwierigsten Fall, denn die letzte Ziffer kann 5 oder 0 sein. Und dann gibt es nur einen Kandidaten für die Wurzeln!

Endgültige Berechnungen

Wir haben also noch 2 Kandidatennummern übrig. Woher wissen Sie, welches die Wurzel ist? Die Antwort liegt auf der Hand: Quadrieren Sie beide Zahlen. Die Zahl, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, ist die Wurzel.

Für die Zahl 3364 haben wir beispielsweise zwei Kandidatenzahlen gefunden: 52 und 58. Quadrieren wir sie:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Das ist alles! Es stellte sich heraus, dass die Wurzel 58 ist! Gleichzeitig habe ich zur Vereinfachung der Berechnungen die Formel für die Quadrate von Summe und Differenz verwendet. Dadurch musste ich die Zahlen nicht einmal in einer Spalte multiplizieren! Dies ist eine weitere Ebene der Berechnungsoptimierung, aber natürlich völlig optional :)

Beispiele für die Berechnung von Wurzeln

Die Theorie ist natürlich gut. Aber lassen Sie es uns in der Praxis überprüfen.

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, zwischen welchen Zahlen die Zahl 576 liegt:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Schauen wir uns nun die letzte Zahl an. Es ist gleich 6. Wann passiert das? Nur wenn die Wurzel auf 4 oder 6 endet. Wir erhalten zwei Zahlen:

Jetzt müssen Sie nur noch jede Zahl quadrieren und mit dem Original vergleichen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Großartig! Es stellte sich heraus, dass das erste Quadrat der ursprünglichen Zahl entsprach. Das ist also die Wurzel.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

1369 → 9;
33; 37.

Quadrieren Sie es:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Hier ist die Antwort: 37.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

2704 → 4;
52; 58.

Quadrieren Sie es:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Wir haben die Antwort erhalten: 52. Die zweite Zahl muss nicht mehr quadriert werden.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

4225 → 5;
65.

Wie Sie sehen, gibt es nach dem zweiten Schritt nur noch eine Option: 65. Dies ist die gewünschte Wurzel. Aber lassen Sie es uns trotzdem vergleichen und prüfen:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Alles ist richtig. Wir schreiben die Antwort auf.

Abschluss

Leider nicht besser. Schauen wir uns die Gründe an. Es gibt zwei davon:

• In jeder normalen Mathematikprüfung, sei es das Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen, ist die Verwendung von Taschenrechnern verboten. Und wenn man einen Taschenrechner mit in den Unterricht bringt, kann man leicht von der Prüfung ausgeschlossen werden.
• Seien Sie nicht wie dumme Amerikaner. Die nicht wie Wurzeln sind – sie können nicht zwei Primzahlen addieren. Und wenn sie Brüche sehen, werden sie im Allgemeinen hysterisch.

Wählen Sie ein Maßband oder Maßband. Wählen Sie ein Maßband oder Maßband mit der Markierung Zentimeter (cm) oder Meter (m). Dieses Gerät erleichtert die Berechnung der Fläche in Quadratmetern, da diese im gleichen Messsystem entwickelt wurden.

• Wenn Sie ein Maßband in Fuß oder Zoll finden, messen Sie die Fläche mit den verfügbaren Einheiten und fahren Sie dann mit dem Schritt fort, der beschreibt, wie Sie andere Einheiten in Quadratmeter umrechnen.

Messen Sie die Länge des von Ihnen gewählten Bereichs. Ein Quadratmeter ist eine Maßeinheit für die Fläche oder Größe eines zweidimensionalen Objekts wie eines Bodens oder Feldes. Messen Sie die Länge einer Seite von einer Ecke zur anderen und notieren Sie das Ergebnis.

• Wenn die Länge mehr als einen Meter beträgt, zählen Sie sowohl Meter als auch Zentimeter. Zum Beispiel 2 Meter 35 Zentimeter.
• Wenn das Objekt, das Sie messen, kein Rechteck oder Quadrat ist, lesen Sie den dritten Abschnitt dieses Artikels – „Messung der Fläche komplexer Formen“.

Wenn Sie die Länge nicht auf einmal messen können, führen Sie die Messung schrittweise durch. Legen Sie das Maßband aus und markieren Sie dort, wo es endet (z. B. 1 Meter oder 25 Zentimeter), legen Sie es dann erneut aus und beginnen Sie an der markierten Stelle. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis Sie die gesamte Länge gemessen haben. Anschließend addieren Sie alle Maße.

Messen Sie die Breite. Verwenden Sie dasselbe Maßband, um die Breite des Objekts zu messen. Sie müssen mit der Messung beginnen, indem Sie das Maßband in einem Winkel von 90° zur Länge des bereits gemessenen Objekts anbringen. Das heißt, zwei Linien eines Quadrats nebeneinander. Notieren Sie die resultierenden Zahlen auch auf Papier.

• Wenn die gemessene Länge etwas weniger als einen Meter beträgt, runden Sie bei der Messung auf den nächsten Zentimeter auf. Wenn die Breite beispielsweise etwas größer als die Markierung von 1 Meter 8 Zentimeter ist, dann notieren Sie einfach „1 m 8 cm“. und zählen Sie nicht Millimeter.

Konvertieren Sie Zentimeter in Meter. Messungen können in der Regel nicht exakt in Metern erfolgen. Sie erhalten Angaben sowohl in Metern als auch in Zentimetern, zum Beispiel „2 Meter 35 Zentimeter“. 1 Zentimeter = 0,01 Meter, daher können Sie Zentimeter in Meter umrechnen, indem Sie den Dezimalpunkt um 2 Stellen nach links verschieben. Hier sind einige Beispiele.

• 35 cm = 0,35 m, also 2 m 35 cm = 2 m + 0,35 m = 2,35 m
• 8cm = 0,08m, also 1m 8cm = 1,08 m

Multiplizieren Sie die Länge mit der Breite. Nachdem Sie alle Maße in Meter umgerechnet haben, multiplizieren Sie die Länge mit der Breite, um die Fläche des zu messenden Objekts zu erhalten. Benutzen Sie bei Bedarf einen Taschenrechner. Zum Beispiel:

• 2,35 m x 1,08 m = 2,538 Quadratmeter (m2).

Aufrunden. Wenn Sie viele Nachkommazahlen erhalten, zum Beispiel 2,538 Quadratmeter, dann runden Sie zum Beispiel auf 2,54 Quadratmeter. Es ist wahrscheinlich, dass Sie nicht auf den Millimeter genau gemessen haben, sodass die endgültigen Zahlen ohnehin nicht genau sind. In den meisten Fällen runden wir auf den nächsten Zentimeter (0,01 m). Wenn Sie genauere Messungen benötigen, lesen Sie dieses Material.

• Immer wenn Sie zwei Zahlen mit derselben Maßeinheit (z. B. Meter) multiplizieren, muss die Antwort in derselben Maßeinheit (m 2 oder Quadratmeter) geschrieben werden.

Nehmen wir an, Sie möchten mit der Renovierung Ihrer eigenen Wohnung beginnen. Dazu müssen Sie die Menge der benötigten Materialien und den Geldbetrag festlegen, der dafür ausgegeben wird. Das Budget für Reparaturarbeiten steht also in direktem Zusammenhang mit der Quadratur, d.h. wobei die Fläche des Raumes in Quadratmetern gemessen wird. Heute werden wir herausfinden, wie Sie die Fläche Ihres (oder eines anderen) Zimmers oder sogar einer ganzen Wohnung berechnen. Betrachten wir einige Aspekte und Nuancen.

So berechnen Sie die Quadratmeterzahl eines Raumes

Schauen wir uns nun genauer an, wie die Fläche berechnet wird. Es ist zu bedenken, dass die Form des Raumes nicht nur rechteckig ist. Es gibt andere Fälle, in denen die Berechnung jeweils anders erfolgt. Schauen wir uns verschiedene Beispiele an.

Was zur Berechnung benötigt wird

Um die benötigte Fläche schnell zu berechnen, benötigen Sie:

• Maßband (mit oder ohne Schloss);
• Papier, auf dem Sie alles aufschreiben, Bleistift und Kugelschreiber;
• Ein Taschenrechner für Berechnungen, aber Sie können dies im Kopf und in einer Spalte auf Papier tun.

Dieses gesamte Set ist in fast jedem Haushalt erhältlich. Es ist besser, die Messungen mit jemandem durchzuführen. Es wird bequemer sein, aber Sie können es auch selbst tun.

Als erstes sollten Sie die Wände ausmessen. Dies geschieht entlang dieser. Sie können auch in der Mitte messen, wenn diese mit Möbeln gefüllt sind.

3 mal 3 wie viele Quadratmeter

Um einen Raum von 3 mal 3 Quadratmetern zu berechnen, gibt es eine recht einfache Formel: Man multipliziert einfach die gemessene Länge mit der Breite. Das heißt, wir nehmen 3 und multiplizieren es mit 3 und es stellt sich heraus, dass ein Raum von 3 mal 3 Metern 9 m² groß ist.

3 mal 4

Hier wird es auf die gleiche Weise berechnet wie in der vorherigen Formel. Wir nehmen und multiplizieren die beiden Werte 3*4 und erhalten 12 Quadratmeter.

3 mal 6 Wie viele m² werden es sein?

Und hier erscheint nichts Neues. Wieder nehmen wir zwei Werte – 3 und 6 – und multiplizieren sie dann. Das Ergebnis sind 18 m².

Rechteckiger Raum

Wenn die Form des Raums stimmt, was sehr praktisch ist, und keine hervorstehenden Teile vorhanden sind, können Sie die Fläche des Raums problemlos messen.

Nehmen Sie ein Maßband und messen Sie damit die Länge und Breite des Raumes. Notieren Sie die erhaltenen Werte auf einem Blatt Papier, um sie nicht zu vergessen. Notieren Sie den Wert in Metern. Dann sollten diese Zahlen multipliziert werden, um die Fläche des Raumes in Quadratmetern zu erhalten. Übrigens empfiehlt es sich, nach dem Komma zwei Nachkommastellen stehen zu lassen. Falls etwas passiert, müssen Sie also runden.

Unregelmäßige Form des Raumes

Manchmal gibt es in Wohnungen und am häufigsten in Privathäusern Räume, die von der rechteckigen Form abweichen.

Um die Quadratmeterzahl eines Raums zu messen, der nicht rechteckig oder quadratisch ist, müssen Sie ihn in verschiedene Formen wie Rechtecke, Dreiecke usw. unterteilen.

• Wenn Sie die Fläche eines kreisförmigen Raums berechnen müssen, sollten Sie die Formel S = D2/4 verwenden, wobei D der Durchmesser des Raums ist.
• Die Fläche eines dreieckigen Abschnitts wird mit der Heron-Formel S = √ (P/2(P/2 -A) x (P/2 - B) x (P/2 - C)) berechnet, wobei die Buchstaben A, B, C bedeuten jeweils seine Seiten und P ist der Umfang.
• Um die Terrassenfläche zu berechnen, müssen Sie bei einem Privathaus die Fläche des Rechtecks ​​und des Halbkreises addieren.
• Wenn ein Segment berechnet werden muss, wird die Formel R2/2 (/180 – sin) verwendet. Das ist eine ziemlich komplizierte Rechnung. Der Buchstabe „a“ bezieht sich auf den Winkel des Segments, der in Grad ausgedrückt wird.

So berechnen Sie die Quadratmeterzahl einer Wand

Die Berechnung der Wandfläche ist beim Kauf von Materialien wie Tapeten, Putz usw. erforderlich. In diesem Fall sind zur Berechnung der Quadratmeterzahl der Wand zusätzliche Messungen erforderlich, beispielsweise wie hoch die Decke ist.

Wand, ausgenommen Fenster, Türen

Berechnen Sie die Quadratmeterzahl der Wände einfach, da die einfachste Formel verwendet wird – die Länge der Wand wird mit der Höhe multipliziert. Nehmen wir an, die Höhe beträgt 2,7 Meter und die Breite 7 Meter, dann ist S= 7 * 2,7 = 18,9 m2. So wird die Wandfläche berechnet.

So berechnen Sie die Quadratmeterzahl des Bodens

In diesem Fall kommt es auf die Geometrie des Raumes an. Wenn der Raum die richtige Form hat, sollten Sie zur Ermittlung der Grundfläche die Länge oder Breite des Rechtecks ​​oder Quadrats messen. Quadratmeter werden nach der Formel S = H*B berechnet. Dabei steht „H“ für die Länge des Raumes und „B“ für die Breite. Wenn der Raum quadratisch ist, genügt es, einfach die Seitenlänge zu quadrieren.

Etage ohne Herd, Kamin

Dazu sollten Sie diese Elemente von der Gesamtfläche ausschließen, d. h. vor der Berechnung der Gesamtfläche müssen Sie die Quadratmeter eines bestimmten Objekts ermitteln:

1. Wir berechnen die Größe Ihres Bodens.
2. Dann sollten Sie die Quadratmeterzahl der Fläche berechnen, in der der Ofen oder Kamin steht.
3. Von der Gesamtfläche müssen Sie nun die Fläche abziehen, die den Ofen oder Kamin berührt.

Raumvolumen

In manchen Fällen müssen Sie das Raumvolumen berechnen. Dies ist nicht schwer, Sie müssen lediglich drei Werte multiplizieren: Breite, Länge, Höhe. Dieser Wert wird in Kubikmetern gemessen und auch Kubikvolumen genannt. Das heißt, es gilt die gleiche Formel wie für die Berechnung der Raumfläche, nur wird ein dritter Wert hinzugefügt, und das war’s.

Abschluss

Jetzt haben Sie die Antwort auf die Frage erhalten, wie die Fläche eines Raumes berechnet wird. Auch wenn es komplex ist, ist es in Ordnung, Sie müssen es in einfache Formen zerlegen. Sie können die Quadratmeterzahl des Raums auch mit einem Online-Rechner berechnen. In manchen Fällen kann es eine große Hilfe sein. Halten Sie übrigens immer 5-10 % der Materialien auf Lager, da es zu Fehlern bei der Berechnung kommen kann.

Dieselben Online-Rechner funktionieren möglicherweise auch nicht richtig. Der beste Weg, alles zu berechnen, ist, es selbst zu tun.

Bevor es Taschenrechner gab, berechneten Schüler und Lehrer die Quadratwurzeln von Hand. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl manuell zu berechnen. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

Primfaktorzerlegung

Faktorisieren Sie die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder genaue Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren sind Zahlen, deren Multiplikation die ursprüngliche Zahl ergibt. Beispielsweise sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Quadratfaktoren sind Faktoren, also Quadratzahlen. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

• Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (von Hand). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu faktorisieren. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar – das ist eine Quadratzahl. Wenn man 400 durch 25 teilt, erhält man 16. Die Zahl 16 ist ebenfalls eine Quadratzahl. Somit kann 400 in die Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.
• Dies kann wie folgt geschrieben werden: √400 = √(25 x 16).

1. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Termes, d. h. √(a x b) = √a x √b. Verwenden Sie diese Regel, um die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors zu ziehen und die Ergebnisse zu multiplizieren, um die Antwort zu finden.

   • Ziehen Sie in unserem Beispiel die Wurzel aus 25 und 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), können Sie die genaue Antwort nicht in Form einer ganzen Zahl finden. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehen die Wurzel aus dem gemeinsamen Faktor.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 lässt sich nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegen, wohl aber in die folgenden Faktoren: 49 und 3. Lösen Sie das Problem wie folgt:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Schätzen Sie ggf. den Wert der Wurzel. Jetzt können Sie den Wert der Wurzel schätzen (einen Näherungswert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln der Quadratzahlen vergleichen, die der Grundzahl am nächsten liegen (auf beiden Seiten der Zahlenlinie). Den Wurzelwert erhalten Sie als Dezimalbruch, der mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.

   • Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Die Wurzelzahl ist 3. Die ihr am nächsten liegenden Quadratzahlen sind die Zahlen 1 (√1 = 1) und 4 (√4 = 2). Somit liegt der Wert von √3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von √3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: √3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 = 11,9. Wenn Sie mit einem Taschenrechner rechnen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.
     • Diese Methode funktioniert auch mit großen Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel √35. Die Wurzelzahl ist 35. Die ihr am nächsten kommenden Quadratzahlen sind die Zahlen 25 (√25 = 5) und 36 (√36 = 6). Somit liegt der Wert von √35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von √35 viel näher bei 6 als bei 5 liegt (weil 35 nur 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass √35 etwas kleiner als 6 ist Der Blick auf den Rechner ergibt 5,92 - wir hatten Recht.

4. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreiben Sie die Primfaktoren in eine Reihe und finden Sie Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen entnommen werden.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Grundzahl in Primfaktoren: 45 = 9 x 5 und 9 = 3 x 3. Somit ist √45 = √(3 x 3 x 5). 3 kann als Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 schätzen.
   • Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikatoren von 2 erhalten; Nehmen Sie ein paar davon und verschieben Sie sie über das Wurzelzeichen hinaus.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können Sie √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

   Quadratwurzel manuell berechnen

   Mit langer Division

   1. Diese Methode beinhaltet einen Prozess ähnlich der Langdivision und liefert eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zunächst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und zeichnen Sie dann rechts und etwas unterhalb der Oberkante des Blattes eine horizontale Linie zur vertikalen Linie. Teilen Sie nun die Grundzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Nachkommateil. Die Zahl 79520789182.47897 wird also als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“ geschrieben.

      • Berechnen wir zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie oben links die angegebene Zahl in der Form „7 80, 14“. Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel dieser Zahl) schreiben Sie oben rechts.

   2. Finden Sie für das erste Zahlenpaar (oder die einzelne Zahl) von links die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem betreffenden Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) ist. Mit anderen Worten: Finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner als dieses ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Quadratzahl. Sie erhalten die Nummer n. Schreiben Sie das n, das Sie gefunden haben, oben rechts und das Quadrat von n unten rechts.

      • In unserem Fall ist die erste Zahl links die 7. Als nächstes die 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtrahieren Sie das Quadrat der Zahl n, die Sie gerade gefunden haben, vom ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7 und erhalten Sie 3.

   4. Notieren Sie sich das zweite Zahlenpaar und notieren Sie es neben dem im vorherigen Schritt erhaltenen Wert. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreiben Sie „80“ nach der 3. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts, um 4 zu erhalten. Schreiben Sie „4_×_=" unten rechts.

   5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.

      • Wenn wir in unserem Fall die Zahl 8 anstelle von Bindestrichen eingeben, dann ist 48 x 8 = 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 reicht aus. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 = 329. Schreiben Sie oben rechts 7 – das ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.

   6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl links, ermitteln Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter den Subtrahend.

      • In unserem Beispiel subtrahieren Sie 329 von 380, was 51 ergibt.

   7. Wiederholen Sie Schritt 4. Handelt es sich bei dem übertragenen Zahlenpaar um den Bruchteil der ursprünglichen Zahl, dann setzen Sie in der erforderlichen Quadratwurzel oben rechts ein Trennzeichen (Komma) zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen. Bringen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das nächste zu entfernende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14. Platzieren Sie daher das Trennzeichen für den ganzzahligen Teil und den Bruchteil in der gewünschten Quadratwurzel oben rechts. Notieren Sie sich 14 und schreiben Sie sie unten links auf. Das Doppelte der Zahl oben rechts (27) ist 54, also schreiben Sie unten rechts „54_×_=".

   8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Suchen Sie anstelle der Bindestriche auf der rechten Seite die größte Zahl (anstelle der Bindestriche müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Ergebnis der Multiplikation kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.

      • In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, was kleiner ist als die aktuelle Zahl links (5114). Schreiben Sie oben rechts eine 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.

   9. Wenn Sie weitere Dezimalstellen für die Quadratwurzel finden müssen, schreiben Sie ein paar Nullen links von der aktuellen Zahl und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die Antwortgenauigkeit (Anzahl der Dezimalstellen) erhalten brauchen.

      Den Prozess verstehen

      1. Um diese Methode zu beherrschen, stellen Sie sich die Zahl, deren Quadratwurzel Sie finden müssen, als Fläche des Quadrats S vor. In diesem Fall suchen Sie nach der Länge der Seite L eines solchen Quadrats. Wir berechnen den Wert von L so, dass L² = S.

         Geben Sie für jede Zahl in der Antwort einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit A die erste Ziffer im Wert von L (der gewünschten Quadratwurzel). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.

         Geben Sie für jedes Paar erster Ziffern einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit S a das erste Ziffernpaar im Wert von S, mit S b das zweite Ziffernpaar und so weiter.

         Verstehen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Methode und der Langdivision. Genau wie bei der Division, bei der wir jedes Mal nur an der nächsten Ziffer der Zahl interessiert sind, die wir dividieren, arbeiten wir bei der Berechnung einer Quadratwurzel nacheinander durch ein Ziffernpaar (um die nächste Ziffer im Quadratwurzelwert zu erhalten). .

      2. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (in unserem Beispiel Sa = 7) und ermitteln Sie deren Quadratwurzel. In diesem Fall ist die erste Ziffer A des gewünschten Quadratwurzelwerts eine Ziffer, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (das heißt, wir suchen nach einem A, für das die Ungleichung A² ≤ Sa gilt< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die bei Multiplikation mit 7 einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Stellen Sie sich im Geiste ein Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, also der Seitenlänge eines Quadrats, dessen Fläche gleich S ist. A, B, C sind die Zahlen in der Zahl L. Sie können es auch anders schreiben: 10A + B = L (für eine zweistellige Zahl) oder 100A + 10B + C = L (für eine dreistellige Zahl) und so weiter.

         • Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der die Ziffer B für Einer und die Ziffer A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann ist 10A+B gleich der Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Platzes, 100A²- Fläche des großen inneren Platzes, B²- Fläche des kleinen inneren Platzes, 10A×B- die Fläche jedes der beiden Rechtecke. Durch Addition der Flächen der beschriebenen Figuren erhalten Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.

METHODE 1 ZERLEGUNG IN EINFACHE FAKTOREN 2. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Termes, das heißt √(a x b) = √a x √b Jetzt schreiben wir es so: √ 400 = √(25 x 16) (Ziehen Sie mithilfe dieser Regel die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors und multiplizieren Sie die Ergebnisse, um die Antwort zu finden.)

Src="https://present5.com/presentation/167355482_437013212/image-4.jpg" alt="METHOD 1 PRIME FACTORING 3. Weil 5*5=25 => √ 25= 5 4*4= 16"> МЕТОД 1 РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 3. Т. к. 5*5=25 => √ 25=5 4*4=16 => √ 16=4 Значит √ 400=5*4=20 Это важно! -20² тоже дает 400, поэтому ответ надо записать так: √ 400=± 20!}

Finden Sie die Quadratwurzel von: 45; 147; 294; 1573. Mit dieser Formel: √(a x b) = √a x √b

METHODE 2: MANUELLE BERECHNUNG DER QUADRATWURZEL Diese Methode beinhaltet einen Prozess ähnlich der Langdivision und liefert ein genaues Ergebnis. 1. Teilen Sie die Grundzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Bruchteil nach dem Dezimalpunkt. Die Zahl 79520789182, 47897 wird also als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“ geschrieben. Berechnen wir zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780, 14

METHODE 2: MANUELLES BERECHNEN DER QUADRATWURZEL 2. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie die angegebene Zahl als „7 80, 14“ oben links. Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel dieser Zahl) schreiben Sie oben rechts.

METHODE 2 MANUELLES BERECHNEN DER QUADRATWURZEL Die Zahl 780, 14 wird in drei Paare geteilt, was bedeutet, dass es drei Ziffern 3 gibt. Suchen Sie für das erste Zahlenpaar (oder eine Zahl) von links die größte ganze Zahl n, deren Quadrat ist kleiner oder gleich dem betreffenden Zahlenpaar (oder einer Zahl) ist. Mit anderen Worten: Finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner als dieses ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Quadratzahl. Sie erhalten die Nummer n. Schreiben Sie das n, das Sie gefunden haben, oben rechts und das Quadrat von n unten rechts.

METHODE 2: MANUELLE BERECHNUNG DER QUADRATWURZEL In unserem Fall ist die erste Zahl links die Zahl 7. Als nächstes 4

METHODE 2: MANUELLES BERECHNEN EINER QUADRATWURZEL 4. Subtrahieren Sie das Quadrat der Zahl n, die Sie gerade gefunden haben, vom ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n). Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7 und erhalten Sie 3.

METHODE 2: MANUELLES BERECHNEN DER QUADRATWURZEL 5. Notieren Sie sich das zweite Zahlenpaar und notieren Sie es in der Nähe des im vorherigen Schritt erhaltenen Wertes. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=". In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreiben Sie „80“ nach der 3. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts, um 4 zu erhalten. Schreiben Sie „4_×_=" unten rechts.

METHODE 2: MANUELLES BERECHNEN DER QUADRATWURZEL 6. Suchen Sie anstelle der Bindestriche auf der rechten Seite die größte Zahl (anstelle der Bindestriche müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Ergebnis der Multiplikation kleiner oder gleich der aktuellen Zahl ist auf der Linken. Wenn wir in unserem Fall die Zahl 8 anstelle von Bindestrichen eingeben, dann ist 48 x 8 = 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 reicht aus. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 = 329. Schreiben Sie oben rechts 7 – das ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780, 14.