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Logisch wahre Aussagen sind solche, deren Wahrheit wahr ist. Logische Anweisungen und logische Operationen. Hausaufgabenkarte

Arten von Aussagen

Logische Anweisungen werden normalerweise in zwei Typen unterteilt: elementare logische Anweisungen und zusammengesetzte logische Anweisungen.

Zusammengesetzte logische Aussage ist eine Aussage, die aus anderen Aussagen unter Verwendung logischer Verknüpfungen gebildet wird.

Logischer Zusammenhang ist eine beliebige logische Operation für eine Anweisung. Zum Beispiel Wörter und Phrasen, die in der gewöhnlichen Sprache verwendet werden „nicht“, „und“, „oder“, „wenn... dann“, „dann und nur dann“ sind logische Verknüpfungen.

Elementare logische Aussagen- Dies sind Aussagen, die sich nicht auf Verbindungen beziehen.

Beispiele: „Petrov ist Arzt“, „Petrov ist Schachspieler“ – elementare logische Aussagen. „Petrov ist Arzt und Schachspieler“ ist eine zusammengesetzte logische Aussage, die aus zwei Elementaraussagen besteht, die durch die Konnektion „und“ miteinander verbunden sind.

Verbindung mit mathematischer Logik

Die gewöhnliche Logik ist zweiwertig, das heißt, sie weist Aussagen nur zwei mögliche Bedeutungen zu: wahr oder falsch.

Lass es eine Aussage sein. Wenn es wahr ist, dann schreiben Sie, wenn es falsch ist, dann.

Grundlegende Operationen an logischen Anweisungen

Negation logische Aussage – eine logische Aussage, die den Wert „wahr“ annimmt, wenn die ursprüngliche Aussage falsch ist, und umgekehrt.

Verbindung zwei logische Aussagen – eine logische Aussage, die nur dann wahr ist, wenn sie gleichzeitig wahr sind.

Disjunktion zwei logische Aussagen – eine logische Aussage, die nur dann wahr ist, wenn mindestens eine davon wahr ist.

Implikation zwei logische Aussagen A und B – eine logische Aussage, die nur dann falsch ist, wenn B falsch und A wahr ist.

Gleichwertigkeit(Äquivalenz von) zwei logischen Aussagen – eine logische Aussage, die nur dann wahr ist, wenn sie beide wahr oder falsch sind.

Quantor Universalität() ist eine logische Aussage, die nur dann wahr ist, wenn für jedes Objekt x aus einer gegebenen Population die Aussage A(x) wahr ist.

Quantor logische Aussage mit Quantor Existenz() ist eine logische Aussage, die nur dann wahr ist, wenn es in einer gegebenen Menge ein Objekt x gibt, so dass die Aussage A(x) wahr ist.

siehe auch

Stellungnahme

Anmerkungen

Literatur

Karpenko, A. S. Moderne Forschung in der philosophischen Logik // Logische Forschung. Bd. 10. - M.: Nauka, 2003. ISBN 5-02-006257-X - S. 61-93.
Kripke, S. A. Wittgenstein über Regeln und individuelle Sprache / Trans. V. A. Ladova, V. A. Surovtseva. Unter allgemein Hrsg. V. A. Surovtseva. - Tomsk: Verlag Tom. Universität, 2005. - 152 S. - (Bibliothek für Analytische Philosophie). ISBN 5-7511-1906-1
Kurbatov, V. I. Logiken. Systematischer Kurs. - Rostov n/d: Phoenix, 2001. - 512 S. ISBN 5-222-01850-4
Schumann, A. N. Moderne Logik: Theorie und Praxis. - Minsk: Econompress, 2004. - 416 S. ISBN 985-6479-35-5
Makarova, N.V. Informatik und IKT. – St. Petersburg: Peter Press, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 – S. 343–345.
Kondakow N. I. Logisches Wörterbuch / Gorsky D. P. - M.: Nauka, 1971. - 656 S.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie, was „Aussage (Logik)“ in anderen Wörterbüchern ist:

Satz: Eine Aussage (Logik) ist ein Satz, der wahr oder falsch sein kann. Eine Äußerung (Linguistik) ist ein Satz in einer bestimmten Sprechsituation. Siehe auch Urteil... Wikipedia

- (vom griechischen Logos-Wort, Konzept, Argumentation, Vernunft) oder formale Logik, die Wissenschaft von den Gesetzen und Abläufen des richtigen Denkens. Nach dem Grundprinzip von L. wird die Richtigkeit der Argumentation (Schlussfolgerung) nur durch ihre logische Form bestimmt, oder... ... Philosophische Enzyklopädie

Ein Zweig der Logik, der die Wahrheitsbeziehungen zwischen Aussagen untersucht. Im Rahmen dieses Abschnitts werden Aussagen (Propositionen, Sätze) nur aus der Perspektive betrachtet. ihre Wahrheit oder Falschheit, unabhängig von ihrer inneren Subjektivität ... Philosophische Enzyklopädie

Aussagelogik- LOGIK DER AUSSAGEN, Aussagenlogik ist ein Abschnitt der symbolischen Logik, der komplexe Aussagen untersucht, die aus einfachen Aussagen und ihren Beziehungen gebildet werden. Im Gegensatz zur Prädikatenlogik fungieren einfache Aussagen als... ... Enzyklopädie der Erkenntnistheorie und Wissenschaftstheorie

Ein grammatikalisch korrekter Aussagesatz zusammen mit der Bedeutung, die er ausdrückt. In der Logik werden mehrere Logikkonzepte verwendet, die sich deutlich voneinander unterscheiden. Dies ist zunächst einmal das Konzept des Beschreibenden oder Beschreibenden,... ... Philosophische Enzyklopädie

Burrows Abadi Needham-Logik oder BAN-Logik ist ein formales logisches Modell für die Analyse von Wissen und Vertrauen, das häufig in der Protokollanalyse verwendet wird... ... Wikipedia

Der zentrale Teil der Logik, der die subjektive Prädikatstruktur von Aussagen und die Wahrheitsbeziehungen zwischen ihnen untersucht. L.p. stellt eine sinnvolle Erweiterung der Aussagenlogik dar. Im Rahmen dieses Abschnitts kann jede Aussage... ... Philosophische Enzyklopädie

Oder die Logik der Wissenschaft, die Anwendung von Ideen, Methoden und Apparaten der Logik bei der Analyse wissenschaftlicher Erkenntnisse. Die Entwicklung der Logik war schon immer eng mit der Praxis des theoretischen Denkens und vor allem mit der Entwicklung der Wissenschaft verbunden. Konkretes Denken verleiht der Logik Material ... Philosophische Enzyklopädie

Logische Aussage- eine Aussage, die immer mit einem von zwei Dingen verbunden werden kann boolesche Werte: falsch (0, falsch, falsch) oder wahr (1, wahr, wahr). Eine logische Aussage wird normalerweise in lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. Ausdrucksstarke Form ist eine logische Anweisung, bei der eines der Objekte durch eine Variable ersetzt wird. Beim Ersetzen einer Variablen durch einen Wert wird aus der Ausdrucksform eine Aussage.

Beispiel: A(x) = „In der Stadt x regnet es.“ A ist eine Ausdrucksform, x ist ein Objekt.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was eine „logische Aussage“ ist:

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Erklärung. Aussage ist ein Begriff in der mathematischen Logik, der eine formalisierte strukturierte Aufzeichnung eines Gedankens unter Verwendung alphabetischer Symbole und logischer Verknüpfungen bezeichnet, betrachtet aus der Sicht von ... Wikipedia

Ein Urteil (Satz, Aussage, Formel), das durch deduktive Schlussfolgerung aus einigen anfänglichen Urteilen gewonnen wird. ...LOGY (vom griechischen Logos das Wort Lehre), Teil zusammengesetzter Wörter mit der Bedeutung: Wissenschaft, Wissen, Lehre, zum Beispiel Geologie,... ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Ein Urteil (Satz, Aussage, Formel), das aus den Prämissen einer Schlussfolgerung (oder aus den Prämissen einer aus einer Reihe von Schlussfolgerungen bestehenden Schlussfolgerung) logisch folgt (oder mit anderen Worten logisch folgt), d. h. aus Prämissen abgeleitet, die auf den Regeln und Gesetzen der Logik basieren ... Philosophische Enzyklopädie

Die Beziehung, die zwischen Prämissen und den vernünftigerweise daraus abgeleiteten Schlussfolgerungen besteht. PS ist eines der grundlegenden, ursprünglichen Konzepte der Logik; es gibt keine exakte universelle Definition; insbesondere ist seine Beschreibung mit Worten ableitbar ... Wörterbuch der Logikbegriffe

Logik (altgriechisch λογική „Wissenschaft des Denkens“, „Kunst des Denkens“ von λόγος „Sprache“, „Argumentation“) ist die Wissenschaft von den Formen, Methoden und Gesetzen der intellektuellen kognitiven Aktivität, formalisiert durch logische Sprache. Denn das... ... Wikipedia

Ein Urteil (Satz, Aussage, Formel), das durch deduktive Schlussfolgerung aus einigen anfänglichen Urteilen gewonnen wird. * * * LOGISCHE FOLGE LOGISCHE FOLGE, Urteil (Satz, Aussage, Formel), erhalten durch ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Ausgehend von einer gegebenen Reihe von Prämissen ist eine Aussage, die in jeder Interpretation wahr ist, unlogisch. Symbole (d. h. Namen von Objekten, Funktionen, Prädikaten), unter denen die Prämissen wahr sind. Wenn die Aussage als L. s. erscheint. aus der Menge der Aussagen von G, dann... ... Mathematische Enzyklopädie

Ein Urteil (Satz, Aussage, Formel), das aus den Prämissen einer Schlussfolgerung (oder aus den Prämissen einer aus einer Reihe von Schlussfolgerungen bestehenden Schlussfolgerung) logisch folgt (oder mit anderen Worten logisch folgt), d. h. aus den Prämissen abgeleitet wird auf der Grundlage von Regeln und... ... Große sowjetische Enzyklopädie

logischer Stress- , ICH. Isolieren, was l. mit Intonation bedeutet. Wörter in einer Aussage, die dem Sprecher am wichtigsten erscheinen, um die Aufmerksamkeit des Zuhörers darauf zu lenken. In diesem Sinne sprechen sie oft über den Ort des Intonationszentrums... ... Pädagogisches Wörterbuch stilistischer Begriffe

Das Konzept der dialektischen Logik, eingeführt vom georgischen Philosophen S.B. Zereteli (1907 1966). Laut Tseretelis Definition ist B.L. „das, dessen Leugnung es bestätigt.“ Genauer gesagt: Es ist eine Bejahung von etwas durch seine Verneinung.“ Also, nein... ... Das neueste philosophische Wörterbuch

), was einiges ausdrückt Bedeutung und ist entweder WAHR, oder FALSCH, aber nicht beides gleichzeitig. Aussagen sind in der Regel beschreibender oder beschreibender Natur und ihre Hauptaufgabe besteht darin, eine bestimmte Realität zu beschreiben. Somit ist die Aussage entweder wahr oder falsch; Manchmal wird angenommen, dass es einige „unbestimmte“ Wahrheitswerte annehmen kann, die zwischen vollständiger Wahrheit und vollständiger Falschheit liegen. Einer so verstandenen Aussage werden in der Regel Imperativ-, Frage-, bedeutungslose und allgemein alle anderen Sätze (z. B. Einschätzungen, Normen, temporäre Aussagen, die ihren Wahrheitswert im Laufe der Zeit ändern) gegenübergestellt, deren Beurteilung der Wahrheit oder Falschheit unmöglich ist . Neben der Beurteilung der Wahrheit wird die Aussage auch im Zusammenhang mit Gewissheit betrachtet Modalitäten(„wahrscheinlich“, „möglicherweise“, „unmöglich“, „notwendig“ und andere). In der modernen Logik werden Aussagen hauptsächlich bei der Anwendung logischer Berechnungen auf einen bestimmten Objektbereich formalisiert und angewendet.

Per Definition hat jede Aussage grammatikalisch Und Rätsel Aspekte. Der grammatikalische Aspekt einer Äußerung wird durch einen narrativen Satz (einfach oder komplex) ausgedrückt, der logische Aspekt durch seine Bedeutung und seinen Wahrheitswert. Eine Anweisung, die andere Anweisungen enthält, wird aufgerufen Komplex(zusammengesetzt); ohne diese - einfach(unteilbar). Jede Äußerung drückt etwas aus Gedanke, was ihm gehört Inhalt und angerufen die Bedeutung der Aussage. Diese oder jene Wahrheitseinschätzung einer Aussage nennt man ihre Wahrheitswert. Das Objekt, auf das sich die Anweisung bezieht, wird aufgerufen Gegenstand der Aussage.

Im Zusammenhang mit der Sprachpraxis werden Arten der Verwendung von Aussagen unterschieden. Es versteht sich, dass eine Aussage affirmativ verwendet wird, wenn der Zweck ihrer Verwendung darin besteht, einen wahren Gedanken auszudrücken. Die affirmative Verwendung von Aussagen ist ihre häufigste Verwendung, da Menschen bei der Äußerung ihrer Gedanken in der Regel deren Wahrheit beanspruchen. Die Aussage kann aber auch einfach als syntaktischer Ausdruck verwendet werden. Wenn der Wahrheitsgehalt einer Aussage nicht eindeutig zum Ausdruck kommt, liegt eine nicht-affirmative Verwendung der Aussage vor. Eine Möglichkeit, Aussagen nicht-affirmativ zu verwenden, besteht darin, sie indirekt zu verwenden. Ziel ist es nicht, die Wahrheit eines Gedankens zu behaupten, sondern nur seinen Inhalt zu vermitteln. Von den verschiedenen Arten der Verwendung von Aussagen sollte man ihr Zitieren unterscheiden, das darauf abzielt, den genauen Wortlaut der Aussage zu kommunizieren (und nur durch diese Botschaft den darin enthaltenen Gedanken auszudrücken). Daher werden zitierte Aussagen (die normalerweise in anderen Aussagen enthalten sind) durch bestimmte symbolische Mittel hervorgehoben (z. B. durch Anführungszeichen). Die indirekte Verwendung von Aussagen kommt in den am häufigsten verwendeten logischen Kalkülen praktisch nicht vor, da ihre Annahme zu erheblichen Schwierigkeiten bei der Formalisierung führt.

In natürlichen Sprachen hängt die Beurteilung der Wahrheit von Aussagen oft davon ab, wer, wann und in welchem Kontext eine bestimmte Aussage verwendet wurde. Ausdruck dieser Abhängigkeit sind die in Aussagen enthaltenen Indikatorwörter: „ich“, „du“, „jetzt“, „dort“ usw.; Die Bedeutung dieser Wörter variiert je nach Situation. Bei der Konstruktion künstlicher Sprachen – interpretierte Infinitesimalrechnungen der mathematischen Logik oder Zwischensprachen bei der Übersetzung von einer natürlichen Sprache in eine andere (siehe) – werden sie von der Abhängigkeit der Bewertung der Aussage von den gegebenen Umständen abgelenkt, also von ihnen Schließen Sie die Pragmatik der Sprache aus der Betrachtung aus (siehe), was es uns ermöglicht, den Begriff „Äußerung“ präziser zu gestalten.

Bei der Konstruktion des elementarsten logischen Kalküls – des zweiwertigen Aussagenkalküls – geht man nur von der Aufteilung von Aussagen in Teilaussagen aus. Diejenigen Aussagen, die nicht weiter in Komponenten zerlegt werden, werden als elementar bezeichnet. Aus ihnen werden mit Hilfe logischer Konjunktionen (in der Regel fünf bekannte grammatikalische Konnektive) dafür ausgewählt: „nicht“, „und“, „oder“, „wenn..., dann“ und „wenn... und nur“. if“) werden komplexe Aussagen zusammengestellt. Bei der Konstruktion der Prädikatenrechnung gehen sie von einer tieferen Gliederung der Aussagen in einzelne Begriffe (und andere sprachliche Gebilde) aus. Die Analyse von Aussagen (auch elementarer) der mathematischen Logik basiert auf dem Konzept eines Prädikats bzw. einer logischen Funktion, also einer Funktion, die jedem Objekt des betrachteten Objektfeldes entweder Wahrheit oder Falschheit zuordnet. Logische Funktionen entsprechen in der Logikrechnung normalerweise den Konzepten sinnvollen menschlichen Denkens. Beispielsweise entspricht eine logische Funktion, die jeder der Zahlen 1 und 2 wahr und jeder der Zahlen 3, 4, 5 usw. falsch zuweist, dem Konzept „kleiner als 3 sein“ ( der Bereich der Objekte besteht aus positiven ganzen Zahlen).

Ausdrücke, die logische Funktionen in einer Sprache darstellen, sind selbst weder wahr noch falsch, das heißt, sie sind keine Aussagen. Solche Ausdrücke enthalten Variablen und werden zu Anweisungen, wenn sie durch die Namen von Objekten aus einem bestimmten Bereich ersetzt werden (siehe). So lautet zum Beispiel der Ausdruck „ X x Es ist wahr, dass X x, der kleiner als 3 ist, der erste Wert ist falsch und der zweite Wert ist wahr.

In der logischen Analysis werden Sätze hauptsächlich dann behandelt, wenn die Analysis auf bestimmte Bereiche der Wissenschaft angewendet wird. In den Formeln der Berechnungen selbst kommen vor allem sogenannte Variablenaussagen vor. Eine variable Aussage ist keine Aussage im eigentlichen Sinne, da die Frage nach ihrer Wahrheit oder Falschheit keine Bedeutung hat; Dies ist eine Variable für eine Aussage, also ein Symbol, an dessen Stelle bestimmte Aussagen (bzw. deren Namen) eingesetzt werden können. Um den Unterschied zwischen variablen Aussagen und reellen Aussagen hervorzuheben, werden letztere oft als konstante Aussagen bezeichnet. Die Verwendung variabler Aussagen dient dem Ausdruck der Universalität: Sie ermöglicht es uns, die Gesetze der Infinitesimalrechnung für beliebige Aussagen eines bestimmten Typs zu formulieren. Einige Kalküle führen auch konstante Aussagen ein. In der axiomatischen Konstruktion der logischen Infinitesimalrechnung (siehe) haben die Konzepte einer konstanten und variablen Aussage bis zu einer Interpretation der Infinitesimalrechnung nicht den oben angegebenen Inhalt, sondern werden einfach als durch spezielle Definitionen eingeführte Symbole betrachtet. Diese Definitionen sind jedoch so gewählt, dass bei der Interpretation der Infinitesimalrechnung die formal definierten Konzepte mit den substantiellen Konzepten einer konstanten und variablen Aussage übereinstimmen.

Kein Kalkül ist in der Lage, alle logischen Eigenschaften der verschiedenen Arten von Ausdrücken in natürlichen Sprachen abzubilden. Jede logische Berechnung geht von idealisierten Vorstellungen über den zu formalisierenden Inhalt aus. Beispielsweise muss eine Aussage entweder wahr oder falsch und darüber hinaus notwendigerweise eines von beiden sein. Es gibt jedoch Vorschläge, die dieser Anforderung nicht direkt gerecht werden. Sie bedürfen einer Klärung. Dies gilt vor allem für Ausdrücke, die zwar formal grammatikalisch korrekte Sätze sind, aber keine Bedeutung haben. Normalerweise ist es in solchen Fällen möglich, die Bedeutung der Begriffe zu klären, sodass der betreffende Ausdruck wahr oder falsch wird. In der logischen Analysis und in deduktiven Theorien wird der Begriff eines bedeutungsvollen Ausdrucks normalerweise unabhängig vom Begriff eines wahren (oder falschen) Ausdrucks definiert, und Wahrheitswerte, wahr und falsch, beziehen sich nur auf bedeutungsvolle Ausdrücke, die in solchen Fällen Aussagen genannt werden .

Es ist zu beachten, dass neben dem Begriff „Aussage“ teilweise auch die Begriffe „Satz“ und „Urteil“ verwendet werden – sei es als Synonyme oder in differenzierender Bedeutung. Die Unterscheidung zwischen diesen Konzepten bezieht sich auf logische Semantik(siehe), während in der logischen und philosophischen Literatur eine Reihe von Diskussionen damit verbunden sind. Im Allgemeinen laufen diese Unterscheidungen auf Folgendes hinaus. Ein Satz als syntaktische Formation, der nur der Form nach betrachtet wird, unabhängig von Bedeutung und Einschätzungen von Wahrheit oder Modalität, wird als grammatikalischer Satz bezeichnet. Aussagen, die zu verschiedenen Sprachen und sogar zu derselben Sprache gehören, können denselben Gedanken ausdrücken. Werden Sätze, die die gleiche Bedeutung haben, sich aber in der syntaktischen Bildung unterscheiden, als ein und dieselbe Aussage betrachtet, so nennt man sie Urteile. Es ist jedoch zu bedenken, dass in der modernen Logik (siehe) üblicherweise der Begriff „Aussage“ verwendet wird, während in der traditionellen Logik (siehe) der Begriff „Urteil“ (siehe) verwendet wird. Im Allgemeinen zeigt die Liste der von der Logik untersuchten verschiedenen Arten von Aussagen, dass der Bereich des Begriffs einer Aussage heterogen ist und keine klaren Grenzen aufweist.

Algebra im weitesten Sinne des Wortes ist die Wissenschaft allgemeiner Operationen, ähnlich der Addition und Multiplikation, die an einer Vielzahl mathematischer Objekte durchgeführt werden können.

Sie studieren viele mathematische Objekte (ganzzahlige und rationale Zahlen, Polynome, Vektoren, Mengen) in einem Schulalgebrakurs, in dem Sie Zweige der Mathematik wie die Algebra der Zahlen, die Algebra der Polynome, die Algebra der Mengen usw. kennenlernen. Für die Informatik der Zweig der Mathematik namens Algebra der Logik; Die Objekte der Algebra der Logik sind Sätze.

Eine Äußerung ist ein Satz in einer beliebigen Sprache, dessen Inhalt eindeutig als wahr oder falsch bestimmt werden kann.

Beispiel:

Zu den Sätzen „Der große russische Wissenschaftler M. V. Lomonossow wurde im Jahr (1711) geboren“ und „Zwei plus sechs ist acht“ können wir beispielsweise mit Sicherheit sagen, dass sie wahr sind. Der Satz „Spatzen halten Winterschlaf“ ist falsch. Daher handelt es sich bei diesen Sätzen um Aussagen.

Im Russischen werden Aussagen durch Aussagesätze ausgedrückt.

Passt auf!

Aber nicht jeder Aussagesatz ist eine Aussage.

Beispiel:

Beispielsweise ist der Satz „Dieser Satz ist falsch“ keine Aussage, da man nicht sagen kann, ob er wahr oder falsch ist, ohne einen Widerspruch hervorzurufen. Wenn wir tatsächlich akzeptieren, dass der Satz wahr ist, dann widerspricht dies dem Gesagten. Wenn wir akzeptieren, dass der Satz falsch ist, dann folgt daraus, dass er wahr ist.

Anreiz- und Fragesätze sind keine Aussagen.

Beispielsweise sind Sätze wie: „Schreiben Sie Ihre Hausaufgaben auf“, „Wie komme ich zur Bibliothek?“, „Wer kam zu uns?“ keine Aussagen.

Aussagen können mit Zeichen aus verschiedenen formalen Sprachen konstruiert werden – Mathematik, Physik, Chemie usw.

Beispiele für Aussagen könnten sein:

„Na ist Metall“ (wahre Aussage);

„Newtons zweites Gesetz wird durch die Formel \(F = ma\) (wahre Aussage) ausgedrückt;

„Der Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\) ist gleich \(ab\)“ (falsche Aussage).

Numerische Ausdrücke sind keine Aussagen, aber aus zwei numerischen Ausdrücken kann man eine Aussage machen, indem man sie mit Gleichheits- oder Ungleichheitszeichen verbindet. Zum Beispiel:

3 + 5 = 2 ⋅ 4 (wahre Aussage);
„II + VI > VIII“ (falsche Aussage).

Gleichheiten und Ungleichungen, die Variablen enthalten, sind ebenfalls keine Aussagen.

Zum Beispiel der Satz \("x< 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: \(«5 < 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.

Über die Rechtfertigung der Wahrheit oder Falschheit einer Aussage entscheiden die Wissenschaften, zu denen sie gehören. Die Algebra der Logik abstrahiert vom semantischen Inhalt von Aussagen. Es interessiert sie nur, ob eine gegebene Aussage wahr oder falsch ist. In der logischen Algebra werden Aussagen mit Buchstaben bezeichnet und aufgerufen logische Variablen. Wenn die Aussage außerdem wahr ist, wird der Wert der entsprechenden logischen Variablen mit Eins \((A = 1)\) bezeichnet, und wenn sie falsch ist, mit Null \((B = 0)\).

\(0\) und \(1\), die die Werte logischer Variablen bezeichnen, werden aufgerufen logische Werte.

Das grundlegende (undefinierte) Konzept der mathematischen Logik ist das Konzept einer „einfachen Aussage“.

Unter einer Aussage wird üblicherweise jeder Aussagesatz verstanden, der etwas über etwas aussagt und mit dem wir gleichzeitig sagen können, ob er unter gegebenen Orts- und Zeitbedingungen wahr oder falsch ist. Die logischen Bedeutungen von Aussagen sind „wahr“ und „falsch“.

Hier sind Beispiele für Aussagen:

1) Nowgorod liegt am Wolchow.

2) Paris ist die Hauptstadt Englands.

3) Karausche ist kein Fisch.

4) Die Zahl 6 ist durch 2 und 3 teilbar.

5) Wenn ein junger Mann sein Abitur gemacht hat, erhält er eine Immatrikulationsbescheinigung.

Die Aussagen 1), 4), 5) sind wahr und 2) und 3) sind falsch.

Offensichtlich ist der Satz „Es lebe unsere Sportler!“ ist keine Aussage.

Eine Aussage, die eine einzige Aussage ist, wird normalerweise einfach oder elementar genannt. Beispiele für Elementaraussagen sind die Aussagen 1) und 2).

Aussagen, die aus elementaren Aussagen mit Hilfe der grammatikalischen Konnektive „nicht“, „und“, „oder“, „wenn ..., dann ...“, „dann und nur dann“ gewonnen werden, werden üblicherweise als komplex oder zusammengesetzt bezeichnet. So ergibt sich Aussage 3) aus der einfachen Aussage „Karausche ist ein Fisch“ unter Verwendung der Negation „nicht“, Aussage 4) wird aus Elementaraussagen „Die Zahl 6 wird durch 2 geteilt“, „Die Zahl 6 wird durch geteilt.“ 3“, verbunden durch die Konjunktion „und“. Aussage 5) ergibt sich aus einfachen Aussagen „Der junge Mann hat sein Abitur gemacht“, „Der junge Mann erhält eine Immatrikulationsbescheinigung“ unter Verwendung der grammatikalischen Konnektivierung „wenn ...,
Das …". Ebenso können komplexe Aussagen aus einfachen Aussagen mithilfe der grammatikalischen Konnektive „oder“, „dann und nur dann“ abgeleitet werden.

In der Algebra der Logik werden alle Aussagen nur unter dem Gesichtspunkt ihrer logischen Bedeutung betrachtet und ihr Alltagsinhalt abstrahiert. Es wird angenommen, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist und keine Aussage sowohl wahr als auch falsch sein kann.

Im Folgenden bezeichnen wir elementare Aussagen mit Buchstaben des lateinischen Alphabets: a,b,c,…,x,y,z,…; Der wahre Wert wird durch den Buchstaben I oder die Zahl 1 angegeben, der falsche Wert durch den Buchstaben L oder die Zahl 0.

Wenn die Aussage A stimmt, dann werden wir schreiben a=1, wenn falsch, dann a=0.

Logische Anweisungen werden normalerweise in zwei Typen unterteilt: elementare logische Anweisungen und zusammengesetzte logische Anweisungen.

Zusammengesetzte logische Aussage ist eine Aussage, die aus anderen Aussagen unter Verwendung logischer Verknüpfungen gebildet wird.

Elementare logische Aussagen- Dies sind Aussagen, die sich nicht auf Verbindungen beziehen.

Beispiele: „Ivanov ist Fußballspieler“ – elementare logische Aussagen. „Ivanov ist Fußballspieler und Schachspieler“ ist eine zusammengesetzte logische Aussage, die aus zwei Elementaraussagen besteht, die durch die Konnektion „und“ miteinander verbunden sind.

46. Elemente der Algebra der Logik

Die logische Algebra ist ein Abschnitt der mathematischen Logik, deren Werte aller Elemente (Funktionen und Argumente) in einer Zwei-Elemente-Menge definiert sind: 0 und 1. Die logische Algebra arbeitet mit logischen Aussagen.

Stellungnahme - Es handelt sich um jede Aussage, zu der es eine sinnvolle Aussage über ihre Wahrheit oder Falschheit gibt. In diesem Fall geht man davon aus, dass eine Aussage das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte erfüllt, das heißt, jede Aussage ist entweder wahr oder falsch und kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Sprüche:

– „Es schneit jetzt“ – diese Aussage kann wahr oder falsch sein;

– „Washington ist die Hauptstadt der Vereinigten Staaten“ ist eine wahre Aussage;

– „Der Quotient aus 10 dividiert durch 2 ist 3“ – falsche Aussage.

In der Algebra der Logik werden alle Aussagen mit Buchstaben bezeichnet a, b, c Es. e. Der Inhalt von Aussagen wird erst bei der Einführung ihrer Buchstabenbezeichnungen berücksichtigt und in Zukunft können alle in dieser Algebra vorgesehenen Aktionen an ihnen ausgeführt werden. Wenn darüber hinaus einige in der Algebra der Logik erlaubte Operationen an den Anfangselementen der Algebra ausgeführt werden, dann sind die Ergebnisse der Operationen auch Elemente dieser Algebra.

Die einfachsten Operationen in der Algebra der Logik sind die Operationen logische Ergänzung(auch bekannt als: Operation ODER(ODER), Disjunktionsoperation) Und logische Multiplikation(auch bekannt als: Operation UND UND),Konjunktionsoperation). Um die Operation der logischen Addition zu bezeichnen, werden die Symbole + oder V verwendet, und die Symbole oder die logische Multiplikation werden verwendet. Die Regeln für die Durchführung von Operationen in der Algebra der Logik werden durch eine Reihe von Axiomen, Theoremen und Korollaren bestimmt. Für die Algebra der Logik gelten insbesondere folgende Gesetze:

1. Konjunktiv:

47. (A + b) + c = a +(b + c),

48. (A b) mit= A(B Mit).

2. Reisen:

49. (a + b) = (b + A),

50. (A B)= (ba).

3. Verteilung:

51. a (b + c) = a b + (a Mit),

52. (a + b) c = a c + b c.

Es gelten insbesondere folgende Beziehungen:

53. a + a = aa + b = b, Wenn a ≤ b,

54. a a = aa b= A, Wenn A ≤ B,

a + a b = aa b = b, Wenn A≥ B,

a + b = a, Wenn A≥ B.

Das kleinste Element der Algebra der Logik ist 0, das größte Element ist 1. Eine weitere Operation wird auch in die Algebra der Logik eingeführt – Verweigerung(Betrieb NICHT NICHT), Umkehrung), wird durch eine Linie über dem Element angezeigt.

A-Priorat

Eine Funktion ist in der Algebra der Logik ein Ausdruck, der Elemente der Algebra der Logik enthält a, b, c und andere, die durch in dieser Algebra definierte Operationen zusammenhängen. Beispiele für logische Funktionen: