Methode der Koordinaten im Raum. Normalenvektor der Linie, Koordinaten des Normalenvektors der Linie. Allgemeine Gleichung der Ebene

Um die Koordinatenmethode anwenden zu können, müssen Sie die Formeln gut kennen. Es gibt drei davon:

Auf den ersten Blick sieht es bedrohlich aus, aber nur ein wenig Übung – und alles wird wunderbar funktionieren.

Eine Aufgabe. Finde den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren a = (4; 3; 0) und b = (0; 12; 5).

Lösung. Da uns die Koordinaten der Vektoren gegeben sind, setzen wir sie in die erste Formel ein:

Eine Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für die Ebene auf, die durch die Punkte M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) und K = (2; 1; 0) geht, wenn bekannt ist, dass sie nicht durchgeht der Ursprung.

Lösung. Die allgemeine Gleichung der Ebene: Ax + By + Cz + D = 0, aber da die gewünschte Ebene nicht durch den Ursprung - den Punkt (0; 0; 0) - verläuft, setzen wir D = 1. Da diese Ebene verläuft durch die Punkte M, N und K, dann sollten die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit verwandeln.

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes M = (2; 0; 1) anstelle von x, y und z. Wir haben:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Analog erhalten wir für die Punkte N = (0; 1; 1) und K = (2; 1; 0) die Gleichungen:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Wir haben also drei Gleichungen und drei Unbekannte. Wir stellen das Gleichungssystem auf und lösen es:

Wir haben herausgefunden, dass die Gleichung der Ebene die Form hat: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Eine Aufgabe. Die Ebene ist durch die Gleichung 7x − 2y + 4z + 1 = 0 gegeben. Finden Sie die Koordinaten des Vektors senkrecht zur gegebenen Ebene.

Lösung. Mit der dritten Formel erhalten wir n = (7; − 2; 4) – das ist alles!

Berechnung der Koordinaten von Vektoren

Aber was ist, wenn das Problem keine Vektoren enthält - es gibt nur Punkte, die auf geraden Linien liegen, und es ist erforderlich, den Winkel zwischen diesen geraden Linien zu berechnen? Es ist ganz einfach: Wenn Sie die Koordinaten der Punkte kennen - den Anfang und das Ende des Vektors -, können Sie die Koordinaten des Vektors selbst berechnen.

Um die Koordinaten eines Vektors zu finden, müssen die Koordinaten des Anfangs von den Koordinaten seines Endes subtrahiert werden.

Dieser Satz gilt gleichermaßen in der Ebene und im Raum. Der Ausdruck „Koordinaten subtrahieren“ bedeutet, dass die x-Koordinate eines anderen Punktes von der x-Koordinate eines Punktes subtrahiert wird, dann muss dasselbe mit den y- und z-Koordinaten gemacht werden. Hier sind einige Beispiele:

Eine Aufgabe. Es gibt drei Punkte im Raum, gegeben durch ihre Koordinaten: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) und C = (− 4; 3; − 2). Finde die Koordinaten der Vektoren AB, AC und BC.

Betrachten Sie den Vektor AB: Sein Anfang ist bei Punkt A und sein Ende ist bei Punkt B. Um seine Koordinaten zu finden, müssen Sie daher die Koordinaten von Punkt A von den Koordinaten von Punkt B subtrahieren:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

In ähnlicher Weise ist der Anfang des Vektors AC immer noch derselbe Punkt A, aber das Ende ist Punkt C. Daher haben wir:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Um schließlich die Koordinaten des Vektors BC zu finden, müssen die Koordinaten des Punktes B von den Koordinaten des Punktes C subtrahiert werden:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Antwort: AB = (2; − 7; 4); AC = (–5;–3;–5); BC = (-7; 4; - 9)

Achten Sie auf die Berechnung der Koordinaten des letzten Vektors BC: Viele Leute machen Fehler, wenn sie mit negativen Zahlen arbeiten. Dies gilt für die Variable y: Punkt B hat die Koordinate y = − 1 und Punkt C hat y = 3. Wir erhalten genau 3 − (− 1) = 4 und nicht 3 − 1, wie viele Leute denken. Mach nicht so dumme Fehler!

Berechnung von Richtungsvektoren für gerade Linien

Wenn Sie Problem C2 sorgfältig lesen, werden Sie überrascht feststellen, dass es dort keine Vektoren gibt. Es gibt nur gerade Linien und Ebenen.

Beginnen wir mit geraden Linien. Hier ist alles einfach: Auf jeder Linie gibt es mindestens zwei verschiedene Punkte und umgekehrt definieren zwei verschiedene Punkte eine einzige Linie ...

Versteht jemand, was im vorherigen Absatz geschrieben steht? Ich habe es selbst nicht verstanden, deshalb erkläre ich es einfacher: In Aufgabe C2 sind Linien immer durch ein Paar Punkte gegeben. Führt man ein Koordinatensystem ein und betrachtet einen Vektor mit Anfang und Ende an diesen Punkten, so erhält man den sogenannten Richtvektor für eine Gerade:

Warum wird dieser Vektor benötigt? Der Punkt ist, dass der Winkel zwischen zwei Geraden der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren ist. Wir bewegen uns also von unverständlichen geraden Linien zu bestimmten Vektoren, deren Koordinaten leicht berechnet werden können. Wie einfach? Schauen Sie sich die Beispiele an:

Eine Aufgabe. Die Linien AC und BD 1 werden in den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 gezeichnet. Finden Sie die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien.

Da die Länge der Würfelkanten in der Bedingung nicht angegeben ist, setzen wir AB = 1. Wir führen ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A und den Achsen x, y, z entlang der Linien AB, AD und AA ein 1 bzw. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1.

Suchen wir nun die Koordinaten des Richtungsvektors für die Gerade AC. Wir brauchen zwei Punkte: A = (0; 0; 0) und C = (1; 1; 0). Von hier erhalten wir die Koordinaten des Vektors AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - das ist der Richtungsvektor.

Betrachten wir nun die Gerade BD 1 . Es hat auch zwei Punkte: B = (1; 0; 0) und D 1 = (0; 1; 1). Wir erhalten den Richtungsvektor BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Antwort: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Eine Aufgabe. In einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1 , dessen Kanten alle gleich 1 sind, werden gerade Linien AB 1 und AC 1 gezeichnet. Finden Sie die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien.

Führen wir ein Koordinatensystem ein: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x-Achse fällt mit AB zusammen, die z-Achse fällt mit AA 1 zusammen, die y-Achse bildet mit der x-Achse, die mit ABC zusammenfällt, die OXY-Ebene Flugzeug.

Betrachten wir zunächst die Gerade AB 1 . Hier ist alles einfach: Wir haben die Punkte A = (0; 0; 0) und B 1 = (1; 0; 1). Wir erhalten den Richtungsvektor AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Lassen Sie uns nun den Richtungsvektor für AC 1 finden. Alles ist gleich - der einzige Unterschied besteht darin, dass der Punkt C 1 irrationale Koordinaten hat. Also, A = (0; 0; 0), also haben wir:

Antwort: AB 1 = (1; 0; 1);

Eine kleine, aber sehr wichtige Anmerkung zum letzten Beispiel. Wenn der Anfang des Vektors mit dem Ursprung zusammenfällt, werden die Berechnungen stark vereinfacht: Die Koordinaten des Vektors sind einfach gleich den Koordinaten des Endes. Leider gilt dies nur für Vektoren. Wenn Sie beispielsweise mit Ebenen arbeiten, erschwert das Vorhandensein des Koordinatenursprungs auf ihnen nur die Berechnungen.

Berechnung von Normalenvektoren für Ebenen

Normale Vektoren sind keine Vektoren, denen es gut geht oder die sich gut anfühlen. Per Definition ist ein Normalenvektor (normal) zu einer Ebene ein Vektor senkrecht zu der gegebenen Ebene.

Mit anderen Worten, eine Normale ist ein Vektor senkrecht zu einem beliebigen Vektor in einer gegebenen Ebene. Sicherlich sind Sie schon einmal auf eine solche Definition gestoßen – allerdings ging es statt um Vektoren um gerade Linien. Gleich oben wurde jedoch gezeigt, dass man beim C2-Problem mit jedem geeigneten Objekt operieren kann – sogar mit einer geraden Linie, sogar mit einem Vektor.

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass jede Ebene im Raum durch die Gleichung Ax + By + Cz + D = 0 definiert ist, wobei A, B, C und D einige Koeffizienten sind. Ohne die Allgemeingültigkeit der Lösung einzuschränken, können wir D = 1 annehmen, wenn die Ebene nicht durch den Ursprung geht, oder D = 0, wenn dies der Fall ist. In jedem Fall sind die Koordinaten des Normalenvektors zu dieser Ebene n = (A; B; C).

Die Ebene kann also auch erfolgreich durch einen Vektor ersetzt werden - dieselbe Normale. Jede Ebene wird im Raum durch drei Punkte definiert. Wie man die Gleichung der Ebene (und damit die Normale) findet, haben wir bereits ganz am Anfang des Artikels besprochen. Dieser Prozess bereitet jedoch vielen Probleme, daher gebe ich ein paar weitere Beispiele:

Eine Aufgabe. Der Abschnitt A 1 BC 1 wird in den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 gezeichnet. Finden Sie den Normalenvektor für die Ebene dieses Abschnitts, wenn der Ursprung bei Punkt A liegt und die x-, y- und z-Achsen mit den Kanten AB, AD bzw. AA 1 zusammenfallen.

Da die Ebene nicht durch den Ursprung geht, sieht ihre Gleichung so aus: Ax + By + Cz + 1 = 0, d.h. Koeffizient D \u003d 1. Da diese Ebene durch die Punkte A 1, B und C 1 verläuft, verwandeln die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung der Ebene in die richtige numerische Gleichheit.

EIN 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

In ähnlicher Weise erhalten wir für die Punkte B = (1; 0; 0) und C 1 = (1; 1; 1) die Gleichungen:
EIN 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ EIN + 1 = 0 ⇒ EIN = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Aber die Koeffizienten A = − 1 und C = − 1 sind uns bereits bekannt, also bleibt noch der Koeffizient B zu finden:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Wir erhalten die Gleichung der Ebene: - A + B - C + 1 = 0, Daher sind die Koordinaten des Normalenvektors n = (- 1; 1; - 1).

Eine Aufgabe. Ein Schnitt AA 1 C 1 C wird in den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 gezeichnet. Ermitteln Sie den Normalenvektor für die Ebene dieses Schnitts, wenn der Ursprung im Punkt A liegt und die x-, y- und z-Achsen mit dem zusammenfallen Kanten AB, AD bzw. AA 1.

In diesem Fall verläuft die Ebene durch den Ursprung, also der Koeffizient D \u003d 0, und die Gleichung der Ebene sieht folgendermaßen aus: Ax + By + Cz \u003d 0. Da die Ebene durch die Punkte A 1 und C verläuft, ist die Koordinaten dieser Punkte verwandeln die Gleichung der Ebene in die richtige numerische Gleichheit.

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes A 1 = (0; 0; 1) anstelle von x, y und z. Wir haben:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Analog erhalten wir für den Punkt C = (1; 1; 0) die Gleichung:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Sei B = 1. Dann ist A = − B = − 1, und die Gleichung der gesamten Ebene lautet: − A + B = 0. Daher sind die Koordinaten des Normalenvektors n = (− 1; 1; 0).

Allgemein gesprochen ist es bei den obigen Problemen notwendig, ein Gleichungssystem aufzustellen und es zu lösen. Es gibt drei Gleichungen und drei Variablen, aber im zweiten Fall ist eine davon frei, d.h. willkürliche Werte annehmen. Deshalb haben wir das Recht, B = 1 zu setzen - unbeschadet der Allgemeingültigkeit der Lösung und der Richtigkeit der Antwort.

Sehr oft muss bei Aufgabe C2 mit Punkten gearbeitet werden, die das Segment halbieren. Die Koordinaten solcher Punkte lassen sich leicht berechnen, wenn die Koordinaten der Segmentenden bekannt sind.

Lassen Sie das Segment also durch seine Enden gegeben sein - Punkte A \u003d (x a; y a; z a) und B \u003d (x b; y b; z b). Dann können die Koordinaten der Mitte des Segments - wir bezeichnen es mit dem Punkt H - durch die Formel gefunden werden:

Mit anderen Worten, die Koordinaten der Mitte eines Segments sind das arithmetische Mittel der Koordinaten seiner Enden.

Eine Aufgabe. Der Einheitswürfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wird im Koordinatensystem so platziert, dass die x-, y- und z-Achse entlang der Kanten AB, AD bzw. AA 1 gerichtet sind und der Ursprung mit Punkt A zusammenfällt. Punkt K ist der Mittelpunkt der Kante A 1 B eins . Finde die Koordinaten dieses Punktes.

Da der Punkt K die Mitte des Segments A 1 B 1 ist, sind seine Koordinaten gleich dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der Enden. Schreiben wir die Koordinaten der Enden auf: A 1 = (0; 0; 1) und B 1 = (1; 0; 1). Lassen Sie uns nun die Koordinaten von Punkt K finden:

Eine Aufgabe. Der Einheitswürfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wird so im Koordinatensystem platziert, dass die x-, y- und z-Achse entlang der Kanten AB, AD bzw. AA 1 gerichtet sind und der Ursprung mit Punkt A zusammenfällt. Finden Sie die Koordinaten des Punktes L, wo sie die Diagonalen des Quadrats A 1 B 1 C 1 D 1 schneiden.

Aus dem Verlauf der Planimetrie ist bekannt, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eines Quadrats von allen seinen Ecken gleich weit entfernt ist. Insbesondere ist A 1 L = C 1 L, d. h. Punkt L ist der Mittelpunkt des Segments A 1 C 1 . Aber A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), also haben wir:

Antwort: L = (0,5; 0,5; 1)

Um die Gleichungen einer geraden Linie zu studieren, ist es notwendig, ein gutes Verständnis der Algebra von Vektoren zu haben. Es ist wichtig, den Richtungsvektor und den Normalenvektor der Linie zu finden. In diesem Artikel wird der Normalenvektor einer Geraden anhand von Beispielen und Zeichnungen betrachtet und seine Koordinaten ermittelt, wenn die Gleichungen der Geraden bekannt sind. Eine Detaillösung wird geprüft.

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Um das Material leichter verdaulich zu machen, müssen Sie die Konzepte von Linien, Ebenen und Definitionen verstehen, die mit Vektoren verbunden sind. Machen wir uns zunächst mit dem Konzept eines geraden Linienvektors vertraut.

Bestimmung 1

Normaler Linienvektor jeder Nicht-Null-Vektor, der auf einer Linie senkrecht zu der gegebenen liegt, wird aufgerufen.

Es ist klar, dass es eine unendliche Menge von Normalenvektoren gibt, die auf einer gegebenen Linie liegen. Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Wir erhalten, dass die Linie senkrecht zu einer der beiden gegebenen parallelen Linien steht, dann erstreckt sich ihre Rechtwinkligkeit auf die zweite parallele Linie. Daher erhalten wir, dass die Sätze von Normalenvektoren dieser parallelen Linien zusammenfallen. Wenn die Linien a und a 1 parallel sind und n → als Normalenvektor der Linie a angesehen wird, wird es auch als Normalenvektor für die Linie a 1 betrachtet. Wenn die Gerade a einen direkten Vektor hat, dann ist der Vektor t · n → für jeden Wert des Parameters t ungleich Null und auch für die Gerade a normal.

Aus der Definition von Normalen- und Richtungsvektoren kann man schließen, dass der Normalenvektor senkrecht zur Richtung steht. Betrachten Sie ein Beispiel.

Wenn die Ebene O x y gegeben ist, dann ist die Menge der Vektoren für O x der Koordinatenvektor j → . Sie wird als nicht null betrachtet und gehört zur Koordinatenachse O y senkrecht zu O x . Der gesamte Satz von Normalenvektoren bezüglich O x kann geschrieben werden als t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Das Rechtecksystem O x y z hat einen Normalenvektor i → bezogen auf die Gerade O z . Der Vektor j → wird auch als normal angesehen. Dies zeigt, dass jeder Nicht-Null-Vektor, der sich in irgendeiner Ebene und senkrecht zu O z befindet, als normal für O z angesehen wird.

Koordinaten des Normalenvektors der Linie - Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors der Linie aus den bekannten Gleichungen der Linie

Betrachtet man ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y, so stellt man fest, dass ihm die Gleichung einer Geraden in einer Ebene entspricht und die Bestimmung der Normalenvektoren durch Koordinaten erfolgt. Wenn die Gleichung einer geraden Linie bekannt ist, aber die Koordinaten des Normalenvektors gefunden werden müssen, müssen die Koeffizienten aus der Gleichung A x + B y + C = 0 identifiziert werden, die den Koordinaten von entsprechen der Normalenvektor der gegebenen Geraden.

Beispiel 1

Eine gerade Linie der Form 2 x + 7 y - 4 = 0 _ ist gegeben, finde die Koordinaten des Normalenvektors.

Lösung

Als Bedingung haben wir, dass die Gerade durch die allgemeine Gleichung gegeben ist, was bedeutet, dass es notwendig ist, die Koeffizienten auszuschreiben, die die Koordinaten des Normalenvektors sind. Die Koordinaten des Vektors haben also die Werte 2,7.

Antworten: 2 , 7 .

Es gibt Zeiten, in denen A oder B aus einer Gleichung Null ist. Betrachten wir die Lösung einer solchen Aufgabe anhand eines Beispiels.

Beispiel 2

Geben Sie den Normalenvektor für die gegebene Linie y - 3 = 0 an.

Lösung

Als Bedingung erhalten wir die allgemeine Geradengleichung, das heißt wir schreiben sie so 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Jetzt können wir deutlich die Koeffizienten sehen, die die Koordinaten des Normalenvektors sind. Wir erhalten also, dass die Koordinaten des Normalenvektors 0 , 1 sind.

Antwort: 0 , 1 .

Wenn eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b \u003d 1 oder eine Gleichung mit einer Steigung y \u003d k x + b angegeben ist, muss sie auf eine allgemeine Gleichung einer geraden Linie reduziert werden, in der Sie die Koordinaten finden können des Normalenvektors dieser Geraden.

Beispiel 3

Finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors, wenn die Geradengleichung x 1 3 - y = 1 gegeben ist.

Lösung

Zuerst müssen Sie von der Gleichung in den Intervallen x 1 3 - y = 1 zu einer allgemeinen Gleichung übergehen. Dann erhalten wir x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Dies zeigt, dass die Koordinaten des Normalenvektors den Wert 3, -1 haben.

Antworten: 3 , - 1 .

Wenn die Linie durch die kanonische Gleichung der Linie auf der Ebene x - x 1 a x = y - y 1 a y oder durch die Parametrik x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ definiert ist, dann wird das Erhalten der Koordinaten komplizierter. Gemäß diesen Gleichungen ist ersichtlich, dass die Koordinaten des Richtungsvektors a → = (a x , a y) sein werden. Die Möglichkeit, die Koordinaten des Normalenvektors n → zu finden, ist aufgrund der Bedingung möglich, dass die Vektoren n → und a → senkrecht stehen.

Es ist möglich, die Koordinaten eines Normalenvektors zu erhalten, indem man die kanonischen oder parametrischen Gleichungen einer geraden Linie auf eine allgemeine reduziert. Dann bekommen wir:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Für die Lösung können Sie jede geeignete Methode wählen.

Beispiel 4

Finden Sie den Normalenvektor der gegebenen Linie x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Lösung

Aus der Geraden x - 2 7 = y + 3 - 2 ist klar, dass der Richtungsvektor die Koordinaten a → = (7 , - 2) haben wird. Der Normalenvektor n → = (n x , n y) der gegebenen Geraden steht senkrecht auf a → = (7 , - 2) .

Lassen Sie uns herausfinden, was das Skalarprodukt gleich ist. Um das Skalarprodukt der Vektoren a → = (7 , - 2) und n → = (n x , n y) zu finden, schreiben wir a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Der Wert von n x ist beliebig, Sie sollten n y finden. Wenn n x = 1, dann erhalten wir 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Daher hat der Normalenvektor die Koordinaten 1 , 7 2 .

Der zweite Lösungsweg beruht auf der Tatsache, dass es notwendig ist, von der kanonischen zur allgemeinen Form der Gleichung zu gelangen. Dafür transformieren wir

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Das Ergebnis der Normalenvektorkoordinaten ist 2 , 7 .

Antwort: 2, 7 oder 1 , 7 2 .

Beispiel 5

Geben Sie die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden x = 1 y = 2 - 3 · λ an.

Lösung

Zuerst müssen Sie eine Transformation durchführen, um zur allgemeinen Form einer geraden Linie zu gelangen. Lass es uns tun:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Dies zeigt, dass die Koordinaten des Normalenvektors -3, 0 sind.

Antworten: - 3 , 0 .

Überlegen Sie, wie Sie die Koordinaten eines Normalenvektors in der Gleichung einer geraden Linie im Raum finden können, die durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z gegeben ist.

Wenn eine Linie durch die Gleichungen der sich schneidenden Ebenen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 gegeben ist, dann ist der Normalenvektor von die Ebene bezieht sich auf A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, dann erhalten wir die Vektoren in der Form n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) und n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Wenn die Linie unter Verwendung der kanonischen Raumgleichung mit der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z oder parametrisch mit der Form x = x 1 + a x λ y = y 1 + definiert wird a y λ z = z 1 + a z · λ , also werden a x , a y und a z als Koordinaten des Richtungsvektors der gegebenen Geraden betrachtet. Jeder Nicht-Null-Vektor kann für eine gegebene Linie normal und senkrecht zum Vektor a → = (a x , a y , a z) sein. Daraus folgt, dass die Bestimmung der Koordinaten der Normalen mit parametrischen und kanonischen Gleichungen unter Verwendung der Koordinaten des Vektors erfolgt, der senkrecht auf dem gegebenen Vektor a → = (a x, a y, a z) steht.

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Nämlich über das, was Sie im Titel sehen. Im Wesentlichen ist dies ein "räumliches Analogon". Probleme bei der Tangentenfindung und Normale zum Graphen einer Funktion einer Variablen, und daher sollten keine Schwierigkeiten auftreten.

Beginnen wir mit grundlegenden Fragen: WAS IST eine Tangentialebene und WAS IST eine Normale? Viele sind sich dieser Konzepte auf der Ebene der Intuition bewusst. Das einfachste Modell, das mir in den Sinn kommt, ist eine Kugel, auf der eine dünne flache Pappe liegt. Der Karton befindet sich möglichst nahe an der Kugel und berührt diese an einem einzigen Punkt. Zusätzlich wird es am Kontaktpunkt mit einer gerade nach oben stechenden Nadel fixiert.

Theoretisch gibt es eine ziemlich witzige Definition einer Tangentialebene. Stellen Sie sich eine Willkür vor auftauchen und der dazugehörige Punkt. Es ist offensichtlich, dass vieles durch den Punkt geht. räumliche Linien die zu dieser Oberfläche gehören. Wer hat welche Assoziationen? =) …den Oktopus habe ich persönlich vorgestellt. Angenommen, jede solche Linie hat räumliche Tangente am Punkt .

Bestimmung 1: Tangentialebene an der Oberfläche an einem Punkt ist Flugzeug, die die Tangenten an alle Kurven enthält, die zu der gegebenen Fläche gehören und durch den Punkt gehen.

Bestimmung 2: normal an der Oberfläche an einem Punkt ist gerade durch den gegebenen Punkt senkrecht zur Tangentialebene gehen.

Einfach und elegant. Übrigens, damit Sie nicht vor Langeweile durch die Einfachheit des Materials sterben, werde ich Ihnen etwas später ein elegantes Geheimnis verraten, das es Ihnen ermöglicht, das Pauken verschiedener Definitionen EIN FÜR ALLEMAL zu vergessen.

Die Arbeitsformeln und den Lösungsalgorithmus lernen wir direkt an einem konkreten Beispiel kennen. Bei den allermeisten Problemen ist es erforderlich, sowohl die Gleichung der Tangentialebene als auch die Gleichung der Normalen zu bilden:

Beispiel 1

Lösung:wenn die Oberfläche durch die Gleichung gegeben ist (d. h. implizit), dann kann die Gleichung der Tangentialebene an eine gegebene Fläche an einem Punkt durch die folgende Formel gefunden werden:

Ich achte besonders auf ungewöhnliche partielle Ableitungen - ihre sollte nicht verwechselt werden Mit partielle Ableitungen einer implizit gegebenen Funktion (obwohl die Oberfläche implizit definiert ist). Bei der Suche nach diesen Derivaten sollte man sich an ihnen orientieren Regeln zum Differenzieren einer Funktion von drei Variablen, das heißt, bei der Differenzierung nach einer beliebigen Variablen werden die beiden anderen Buchstaben als Konstanten betrachtet:

Ohne von der Registrierkasse abzuweichen, finden wir die partielle Ableitung an der Stelle:

Ähnlich:

Dies war der unangenehmste Moment der Entscheidung, in dem sich ein Fehler, wenn nicht erlaubt, ständig einbildet. Hier gibt es jedoch eine effektive Verifizierungstechnik, über die ich in der Lektion gesprochen habe. Richtungsableitung und Gradient.

Alle „Zutaten“ sind gefunden, nun geht es an die behutsame Substitution mit weiteren Vereinfachungen:

– allgemeine Gleichung gewünschte Tangentialebene.

Ich empfehle dringend, diese Phase der Entscheidung zu überprüfen. Zuerst müssen Sie sicherstellen, dass die Koordinaten des Berührungspunkts die gefundene Gleichung wirklich erfüllen:

- wahre Gleichberechtigung.

Nun „entfernen“ wir die Koeffizienten der allgemeinen Ebenengleichung und prüfen sie auf Übereinstimmung bzw. Proportionalität mit den entsprechenden Werten. In diesem Fall sind sie proportional. Wie Sie sich erinnern Kurs Analytische Geometrie, - Das normaler Vektor Tangentialebene, und er - Führungsvektor normale Gerade. Lass uns komponieren Kanonische Gleichungen Normalen nach Punkt und Richtungsvektor:

Prinzipiell können die Nenner um eine „Zwei“ gekürzt werden, es besteht jedoch keine besondere Notwendigkeit dafür.

Antworten:

Es ist aber nicht verboten, die Gleichungen wieder mit Buchstaben zu bezeichnen - warum? Hier und so ist es sehr klar, was was ist.

Die folgenden zwei Beispiele sind für unabhängige Lösungen. Ein kleiner "mathematischer Zungenbrecher":

Beispiel 2

Finden Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen zur Oberfläche am Punkt .

Und eine technisch interessante Aufgabe:

Beispiel 3

Stellen Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen in einem Punkt zusammen

Am Punkt.

Es besteht jede Möglichkeit, nicht nur verwirrt zu werden, sondern auch beim Schreiben auf Schwierigkeiten zu stoßen. Kanonische Gleichungen der Linie. Und die normalen Gleichungen werden, wie Sie wahrscheinlich verstanden haben, normalerweise in dieser Form geschrieben. Obwohl aufgrund von Vergesslichkeit oder Unkenntnis einiger Nuancen eine parametrische Form mehr als akzeptabel ist.

Beispiele für Abschlusslösungen am Ende der Lektion.

Gibt es an jedem Punkt der Oberfläche eine Tangentialebene? Generell natürlich nicht. Das klassische Beispiel ist konische Oberfläche und Punkt - die Tangenten an diesem Punkt bilden direkt eine Kegelfläche und liegen natürlich nicht in derselben Ebene. Es ist einfach, die Diskrepanz und Analytik zu überprüfen: .

Eine weitere Quelle von Problemen ist die Tatsache Nichtexistenz eine partielle Ableitung an einem Punkt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es an einem bestimmten Punkt keine einzige Tangentialebene gibt.

Aber es war eher Populärwissenschaft als praktisch bedeutsame Information, und wir kehren zu dringenden Angelegenheiten zurück:

Wie schreibt man die Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen an einem Punkt,
wenn die Oberfläche durch eine explizite Funktion gegeben ist?

Schreiben wir es implizit um:

Und nach denselben Prinzipien finden wir partielle Ableitungen:

Somit wird die Tangentenebenenformel in die folgende Gleichung umgewandelt:

Und dementsprechend die kanonischen Gleichungen der Normalen:

Wie es leicht zu erraten ist - Es ist echt" partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen an der Stelle , die wir früher mit dem Buchstaben "Z" bezeichneten und 100500 mal gefunden haben.

Beachten Sie, dass es in diesem Artikel ausreicht, sich an die allererste Formel zu erinnern, aus der sich bei Bedarf alles andere leicht ableiten lässt. (offensichtlich mit einer Grundausbildung). Dieser Ansatz sollte im Studium der exakten Wissenschaften verwendet werden, d.h. Aus einem Minimum an Informationen sollte man bestrebt sein, ein Maximum an Schlussfolgerungen und Konsequenzen „herauszuziehen“. "Soobrashalovka" und bereits vorhandenes Wissen helfen! Dieses Prinzip ist auch nützlich, weil es Sie in einer kritischen Situation, in der Sie sehr wenig wissen, sehr wahrscheinlich retten wird.

Lassen Sie uns die "modifizierten" Formeln mit ein paar Beispielen erarbeiten:

Beispiel 4

Stellen Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen auf am Punkt .

Hier stellte sich eine kleine Überlagerung mit Symbolen heraus - jetzt bezeichnet der Buchstabe einen Punkt des Flugzeugs, aber was können Sie tun - so ein beliebter Buchstabe ...

Lösung: Wir werden die Gleichung der gewünschten Tangentialebene nach der Formel zusammenstellen:

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an dem Punkt berechnen:

Berechnen partielle Ableitungen 1. Ordnung an dieser Stelle:

Auf diese Weise:

Vorsicht, keine Eile:

Schreiben wir die kanonischen Gleichungen der Normalen an den Punkt:

Antworten:

Und ein letztes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Stellen Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen zur Oberfläche an dem Punkt zusammen.

Der letzte ist, weil ich tatsächlich alle technischen Punkte erklärt habe und es nichts Besonderes hinzuzufügen gibt. Auch die in dieser Aufgabe angebotenen Funktionen selbst sind langweilig und eintönig – in der Praxis stößt man fast garantiert auf ein „Polynom“, und in diesem Sinne sieht Beispiel Nr. 2 mit dem Exponenten aus wie ein „schwarzes Schaf“. Übrigens trifft es viel eher auf eine durch eine Gleichung gegebene Fläche, und das ist ein weiterer Grund, warum die Funktion als „zweite Zahl“ in den Artikel aufgenommen wurde.

Und zum Schluss das versprochene Geheimnis: Wie vermeidet man es, Definitionen zu pauken? (ich meine natürlich nicht die Situation, wenn ein Student vor der Prüfung fieberhaft etwas paukt)

Die Definition eines beliebigen Konzepts/Phänomens/Objekts gibt zunächst einmal eine Antwort auf die folgende Frage: WAS IST ES? (wer/so/so/so). Bewusst Bei der Beantwortung dieser Frage sollten Sie versuchen zu reflektieren von Bedeutung Zeichen, bestimmt Identifizierung dieses oder jenes Konzepts/Phänomens/Objekts. Ja, es stellt sich zunächst als etwas sprachlos, ungenau und überflüssig heraus (der Lehrer wird korrigieren =)), aber mit der Zeit entwickelt sich eine durchaus würdige wissenschaftliche Rede.

Üben Sie zum Beispiel an den abstraktesten Objekten, beantworten Sie die Frage: Wer ist Cheburashka? Gar nicht so einfach ;-) Handelt es sich um eine „Märchenfigur mit großen Ohren, Augen und braunen Haaren“? Weit und sehr weit von der Definition entfernt - man weiß nie, dass es Charaktere mit solchen Eigenschaften gibt .... Aber das ist viel näher an der Definition: "Cheburashka ist eine 1966 vom Schriftsteller Eduard Uspensky erfundene Figur, die ... (Auflistung der wichtigsten Unterscheidungsmerkmale)". Achten Sie darauf, wie gut begonnen wurde

Der Normalenvektor zur Oberfläche an einem Punkt fällt mit der Normalen zur Tangentialebene an diesem Punkt zusammen.

Normaler Vektor zur Oberfläche an einem gegebenen Punkt ist der Einheitsvektor, der auf den gegebenen Punkt und parallel zur Richtung der Normalen angewendet wird. Für jeden Punkt auf einer glatten Oberfläche können Sie zwei Normalenvektoren angeben, die sich in der Richtung unterscheiden. Wenn auf einer Fläche ein kontinuierliches Feld von Normalenvektoren definiert werden kann, dann wird dieses Feld als definierend bezeichnet Orientierung Oberfläche (dh wählt eine der Seiten aus). Wenn dies nicht möglich ist, wird die Oberfläche aufgerufen nicht orientierbar.

Ähnlich definiert normaler Vektor auf die Kurve an einem bestimmten Punkt. Offensichtlich können an einem bestimmten Punkt unendlich viele nicht parallele Normalenvektoren an eine Kurve angehängt werden (ähnlich wie an eine Fläche unendlich viele nicht parallele Tangentenvektoren angehängt werden können). Unter ihnen werden zwei ausgewählt, die orthogonal zueinander sind: der Hauptnormalenvektor und der Binormalenvektor.

siehe auch

Literatur

• Pogorelov A. I. Differentialgeometrie (6. Auflage). M.: Nauka, 1974 (djvu)

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Synonyme:

• Schlacht von Trebbia (1799)
• Grammonit

Sehen Sie, was "Normal" in anderen Wörterbüchern ist:

NORMAL- (Fr.). Senkrecht zur Tangente, die an dem gegebenen Punkt an die Kurve gezogen wird, deren Normale gesucht wird. Wörterbuch der in der russischen Sprache enthaltenen Fremdwörter. Chudinov A.N., 1910. NORMALE senkrechte Linie zur Tangente, die an ... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

normal- und ... nun ja. normal f. lat. normalisiert. 1. Matte. Senkrecht zu einer Tangentenlinie oder -ebene, die durch den Tangentenpunkt verläuft. BASS 1. Normale Linie oder normal. In der analytischen Geometrie ist dies der Name einer geraden Linie senkrecht zu ... ... Historisches Wörterbuch der Gallizismen der russischen Sprache

normal- aufrecht. Ameise. paralleles Wörterbuch der russischen Synonyme. normales Substantiv, Anzahl Synonyme: 3 binormal (1) … Synonymwörterbuch

NORMAL- (von lat. normalis Gerade) zu einer gekrümmten Linie (Fläche) an ihrem gegebenen Punkt, eine Gerade, die durch diesen Punkt verläuft und senkrecht zur Tangente (Tangentenebene) an diesem Punkt ...

NORMAL- veralteter Name des Standards ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

NORMAL- NORMAL, normal, weiblich. 1. Senkrecht zu einer Tangente oder Ebene, die durch den Kontaktpunkt verläuft (mat.). 2. Detail eines werkseitig verbauten Musters (techn.). Erklärendes Wörterbuch von Ushakov. DN Uschakow. 1935 1940 ... Erklärendes Wörterbuch von Ushakov

normal- normaler vertikaler Standard real - [L.G.Sumenko. Englisch-Russisches Wörterbuch der Informationstechnologien. M.: GP TsNIIS, 2003.] Themen Informationstechnik allgemein Synonyme normal vertikal Standard real EN normal ... Handbuch für technische Übersetzer

normal- und; und. [von lat. normalis geradlinig] 1. Mat. Senkrecht zu einer Tangentenlinie oder -ebene, die durch den Tangentenpunkt verläuft. 2. Tech. Detail der etablierten Probe. * * * Normale I (von lat. normalis gerade) zu einer gekrümmten Linie (Fläche) in ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

NORMAL- (frz. normal normal, norm, von lat. normalis gerade) 1) N. im Standard und für und und veralteter Name. Standard. 2) N. in der Mathematik N. zu einer Kurve (Fläche) an einem bestimmten Punkt heißt. eine gerade Linie, die durch diesen Punkt verläuft und senkrecht zur Tangente ist. ... ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

normal- normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normaler Wok. Normale, f rus. Normal, Franken. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Bücher

• Geometry of Algebraic Equations Solvable in Radicals: With Applications in Numerical Methods and Computational Geometry, Kutishchev G.P. Diese…

Die Koordinatenmethode ist eine sehr effiziente und vielseitige Methode, um beliebige Winkel oder Abstände zwischen stereometrischen Objekten im Raum zu finden. Wenn Ihr Mathelehrer hochqualifiziert ist, dann sollte er das wissen. Ansonsten würde ich für den „C“-Teil raten, den Tutor zu wechseln. Meine Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik C1-C6 beinhaltet in der Regel eine Analyse der unten beschriebenen grundlegenden Algorithmen und Formeln.

Winkel zwischen den Linien a und b

Der Winkel zwischen Linien im Raum ist der Winkel zwischen sich schneidenden Linien parallel zu ihnen. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren dieser Linien (oder ergänzt ihn auf 180 Grad).

Welchen Algorithmus verwendet der Mathelehrer, um den Winkel zu finden?

1) Wählen Sie beliebige Vektoren und mit Richtungen der Linien a und b (parallel zu ihnen).
2) Wir bestimmen die Koordinaten der Vektoren und durch die entsprechenden Koordinaten ihrer Anfänge und Enden (die Koordinaten des Anfangs müssen von den Koordinaten des Endes des Vektors abgezogen werden).
3) Wir setzen die gefundenen Koordinaten in die Formel ein:
. Um den Winkel selbst zu finden, musst du den Arkuskosinus des Ergebnisses finden.

Normal bis plan

Eine Normale zu einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht zu dieser Ebene steht.
Wie findet man das Normale? Um die Koordinaten der Normalen zu finden, genügt es, die Koordinaten von drei beliebigen Punkten M, N und K zu kennen, die in der gegebenen Ebene liegen. Unter Verwendung dieser Koordinaten finden wir die Koordinaten der Vektoren und und fordern, dass die Bedingungen und erfüllt sind. Indem wir das Skalarprodukt von Vektoren mit Null gleichsetzen, erstellen wir ein Gleichungssystem mit drei Variablen, aus denen wir die Koordinaten der Normalen finden können.

Anmerkung des Mathelehrers : Es ist nicht notwendig, das System vollständig zu lösen, da es ausreicht, mindestens eine Normale auszuwählen. Dazu können Sie eine beliebige Zahl (z. B. Eins) anstelle einer ihrer unbekannten Koordinaten einsetzen und ein System aus zwei Gleichungen mit den verbleibenden zwei Unbekannten lösen. Wenn es keine Lösungen gibt, bedeutet dies, dass es in der Familie der Normalen niemanden gibt, der eine Einheit für die ausgewählte Variable hat. Ersetzen Sie dann eine durch eine andere Variable (eine andere Koordinate) und lösen Sie ein neues System. Wenn Sie es erneut verfehlen, hat Ihre Normale eine Einheit auf der letzten Koordinate und es stellt sich heraus, dass sie parallel zu einer Koordinatenebene verläuft (in diesem Fall ist es leicht, sie ohne System zu finden).

Nehmen wir an, wir haben eine Linie und eine Ebene mit den Koordinaten des Richtungsvektors und der Normalen
Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene wird nach folgender Formel berechnet:

Seien und zwei beliebige Normalen zu den gegebenen Ebenen. Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen gleich dem Betrag des Kosinus des Winkels zwischen den Normalen:

Gleichung einer Ebene im Raum

Punkte, die die Gleichheit erfüllen, bilden mit der Normalen eine Ebene. Der Koeffizient ist verantwortlich für die Abweichung (Parallelverschiebung) zwischen zwei Ebenen mit derselben gegebenen Normalen. Um die Gleichung einer Ebene zu schreiben, müssen Sie zuerst ihre Normale finden (wie oben beschrieben) und dann die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Ebene zusammen mit den Koordinaten der gefundenen Normale in die Gleichung einsetzen und den Koeffizienten finden .