Finden Sie den Wert des Real- und Imaginärteils der Funktion. Funktionen einer komplexen Variablen. Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen

Vorlesung Nr. 4.

Geometrisch gesehen eine Funktion einer komplexen Variablen w=f(z) gibt die Anzeige eines bestimmten Satzes an z– Flugzeuge zu einem bestimmten Satz w-Flugzeug. Punkt wÎ G angerufen Weg Punkte z wenn angezeigt w=f(z), Punkt zÎ D – Prototyp Punkte w.

Wenn jeder z Es stimmt nur ein Wert überein w=f(z), dann wird die Funktion aufgerufen eindeutig (w=|z|,w=,w= Re z usw.) Wenn welche z stimmt mit mehr als einem Wert überein w, die Funktion wird aufgerufen polysemantisch (w= Arg z).

Wenn (d. h. an verschiedenen Stellen in der Umgebung D(Funktion nimmt unterschiedliche Werte an), dann die Funktion w=F(z) wird genannt unifolieren im Gebiet D.

Mit anderen Worten, die einwertige Funktion w=F(z) kartiert das Gebiet eins zu eins D An G. Mit Einzelblattanzeige w=F(z) Umkehrbild eines beliebigen Punktes wÎ G besteht aus einem einzigen Element: : . Deshalb z kann als Funktion einer Variablen betrachtet werden w, definiert am G. Es wird bezeichnet und aufgerufen Umkehrfunktion .

Wenn in der Gegend D Es gibt mindestens ein Punktepaar, dann die Funktion F(z) werden genannt mehrblättrig im Gebiet D.

Wenn Anzeige w=F(z) ist mehrblättrig D(Zum Beispiel, w=z n), dann in diesem Fall einige Werte wÎ G stimmt mit mehr als einem Punkt überein zÎ D:F(z)=w. Daher ist die inverse Abbildung keine einwertige, sondern eine mehrwertige Funktion.

Einstellige Angabe zur Fläche D Funktion w=F(z) wird genannt Zweig einer mehrwertigen Funktion F, wenn Wert F an jedem Punkt zÎ D entspricht einem der Werte F an dieser Stelle.

Um einwertige Zweige einer mehrwertigen Funktion zu isolieren, gehen Sie wie folgt vor: Fläche D Unterteilen Sie Funktionen in Bereiche der Univalenz w=F(z), sodass keine zwei der Regionen gemeinsame innere Punkte haben und dass jeder Punkt zÎ D gehörte zu einem dieser Gebiete oder zur Grenze einiger davon. In jedem dieser Univalenzbereiche definiert man eine Funktion, die invers dazu ist w=F(z). Es handelt sich um einen einwertigen Zweig einer mehrwertigen Funktion.

Das Konzept der konformen Abbildung

Beispiel. Ermitteln Sie den Dehnungsfaktor und den Rotationswinkel an einem Punkt z=2ich beim Anzeigen.

■ Finden der Ableitung und sein Wert an einem bestimmten Punkt .

Dehnungsverhältnis k gleich dem Modul der Ableitung: .

Drehwinkel J ist gleich dem Argument der Ableitung. Der Punkt liegt also im vierten Viertel, . ■

Beispiel 3.5. Bestimmen Sie, welcher Teil der Ebene angezeigt werden soll w=z 2 ist gestreckt und welches ist gestaucht.

■ Finden der Ableitung w¢=2 z. Spannungsfaktor zu jedem Zeitpunkt z gleicht k=|w¢( z)|=2|z|. Die Menge der Punkte in der komplexen Ebene, für die k>1, also 2| z|>1 oder , bildet einen Teil der Ebene, die bei der Anzeige gestreckt wird. Daher bei der Anzeige w=z In 2 wird die Außenseite des Kreises gedehnt und die Innenseite gestaucht. ■

Anzeige w=F(z) wird genannt konform (d. h. seine Form beibehält) an einem Punkt, wenn es die Winkel zwischen Kurven beibehält und die Eigenschaft einer konstanten Ausdehnung der Umgebung des Punktes hat.

Jede Zuordnung, die mithilfe einer Analysefunktion erstellt wurde F(z) ist an allen Punkten konform, an denen .

Die Zuordnung wird aufgerufen konform in der Region , wenn es an jedem Punkt dieser Region konform ist.

Man nennt eine konforme Abbildung, bei der die Bezugsrichtung der Winkel erhalten bleibt konforme Abbildung erster Art . Eine konforme Abbildung, bei der die Richtung der Winkel umgekehrt wird, heißt konforme Kartierung der Gattung ΙΙ (Zum Beispiel, ).

In Theorie und Praxis konformer Abbildungen werden zwei Probleme gestellt und gelöst.

Die erste Aufgabe besteht darin, das Bild einer bestimmten Linie oder Fläche unter einer bestimmten Abbildung zu finden – direkte Aufgabe .

Die zweite besteht darin, eine Funktion zu finden, die eine gegebene Linie oder Fläche einer anderen gegebenen Linie oder Fläche zuordnet – inverses Problem .

Bei der Lösung eines direkten Problems wird berücksichtigt, dass das Bild eines Punktes z 0, wenn angezeigt w=F(z) ist ein Punkt w 0 , so dass w 0 =F(z 0), also das Ergebnis der Substitution z 0 Zoll F(z). Um das Bild einer Menge zu finden, müssen Sie daher ein System lösen, das aus zwei Beziehungen besteht. Einer davon spezifiziert die Mapping-Funktion w=F(z), das andere ist die Gleichung der Linie, wenn das Problem gelöst werden soll, das Bild der Linie zu finden, oder die Ungleichung, die die Menge der Punkte des Urbilds bestimmt, wenn das Problem der Abbildung von Bereichen gelöst werden soll. In beiden Fällen reduziert sich das Lösungsverfahren auf die Eliminierung der Variablen z aus zwei vorgegebenen Verhältnissen.

Regel 3.3. Um das Bild der durch die Gleichung gegebenen Linie zu finden F(X,j)=0 (oder explizit j=J(X)), wenn angezeigt w=F(z) notwendig:

1. Wählen Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion aus F(z): u=Re F(z), v=Ich F(z).

2. Aus dem System ausschließen X Und u. Die resultierende Beziehung ist die Gleichung des Bildes dieser Linie.

Regel 3.4. Um das Bild einer bestimmten Linie bei der Anzeige zu finden w=F(z) notwendig:

1. Schreiben Sie die Gleichung der Geraden in parametrischer Form z=z(T) oder in komplexer Form .

2. Betrachten Sie je nach Art der Geradengleichung den entsprechenden Fall:

Wenn die Linie in parametrischer Form angegeben ist, ersetzen Sie den Ausdruck z(T) V w=F(z);

Wenn die Zeile in komplexer Form angegeben ist, drücken Sie sie aus z aus w=F(z), das heißt, und . Dann sollten Sie ersetzen z und in der Geradengleichung. Die resultierende Beziehung ist die Gleichung des Bildes dieser Linie.

Regel 3.5. Um ein Bild eines bestimmten Bereichs zu finden, sollten Sie eine von zwei Methoden verwenden.

Erster Weg.

1. Schreiben Sie die Gleichung für die Grenze dieses Bereichs auf. Finden Sie das Bild der Grenze eines bestimmten Gebiets mithilfe der Regeln 3.3 oder 3.4.

2. Wählen Sie einen beliebigen internen Punkt eines bestimmten Bereichs aus und suchen Sie sein Bild unter der angegebenen Zuordnung. Die Region, zu der der resultierende Punkt gehört, ist das gewünschte Bild der angegebenen Region.

Zweiter Weg.

1. Express z aus dem Verhältnis w=F(z).

2. Ersetzen Sie das, was Sie in Schritt 1 erhalten haben. ein Ausdruck in einer Ungleichung, der einen bestimmten Bereich definiert. Das resultierende Verhältnis ist das gewünschte Bild.

Beispiel. Finden Sie das Bild eines Kreises | z|=1 bei Anzeige über eine Funktion w=z 2 .

■ 1 Weg(gemäß Regel 3.3).

1. Lass z=x+iy, w=u+iv. Dann u+iv =X 2 -j 2 +ich 2xy. Wir bekommen:

2. Lassen Sie uns ausschließen X Und bei aus diesen Gleichungen. Dazu quadrieren wir die erste und zweite Gleichung und addieren:

u 2 +v 2 =X 4 -2X 2 j 2 +j 4 +2X 2 j 2 =X 4 +2X 2 j 2 +j 4 =(X 2 +j 2) 2 .

Unter Berücksichtigung der dritten Gleichung des Systems erhalten wir: u 2 +v 2 =1 oder | w| 2 =1, also | w|=1. Also das Bild des Kreises | z|=1 ist ein Kreis | w|=1, zweimal überfahrbar. Dies folgt aus der Tatsache, dass seitdem w=z 2 dann Arg w=2Arg z+2pk. Also wenn der Punkt z beschreibt einen vollständigen Kreis | z|=1, dann beschreibt sein Bild den Kreis | w|=1 zweimal.

Methode 2(gemäß Regel 3.4).

1. Schreiben wir die Gleichung des Einheitskreises in parametrischer Form: z=e es (0£ T 2 £ P).

2. Lassen Sie uns ersetzen z=e es im Verhältnis w=z 2: w=e i 2 T=cos2 T+ich Sünde2 T. Daher | w| 2 = cos 2 2 T+Sünde 2 2 T=1, also | w|=1 – Bildgleichung. ■

Beispiel. Finden Sie die Gleichung des Bildes einer Linie y=x wenn angezeigt w=z 3 .

■ Da die Kurve explizit gegeben ist, wenden wir Regel 3.3 an.

1. w=z 3 =(X+iy) 3 =X 3 +3X 2 iy+3X(iy) 2 +(iy) 3 =X 3 - 3xy 2 +ich(3X 2 j-j 3).

Bedeutet,

2. Im resultierenden System ersetzen wir y=x: Ausschließlich X Aus diesen Gleichungen erhalten wir v=-u.

Also das Bild der Winkelhalbierenden der Koordinatenwinkel I und III des Systems xOy ist die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel II und IV des Systems uOv. ■

1. Lineare Funktion

Lineare Funktion eine Funktion der Form genannt

w=az+B, (4.1)

Wo A, B- komplexe Konstanten.

Diese Funktion ist definiert . Wenn also, dann erzeugt die lineare Funktion eine konforme Abbildung der gesamten Ebene der komplexen Variablen. In diesem Fall werden die Tangenten an allen Kurven um den gleichen Winkel Arg gedreht A, und die Dehnung ist an allen Punkten gleich. Wenn a= 1 also , was bedeutet, dass es keine Dehnung oder Rotation gibt. In diesem Fall erhalten wir w=z+b. Diese Abbildung verschiebt die gesamte Ebene um einen Vektor.

Im allgemeinen Fall erhalten wir, wenn wir zur exponentiellen Schreibweise einer komplexen Zahl übergehen. Daher ist eine lineare Abbildung eine Zusammensetzung aus drei geometrischen Transformationen:

w 1 =rz- Ähnlichkeit mit Koeffizient R=|A|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- schräg drehen J=arg A um den Punkt herum UM;

w=w 2 +B=re i j z+B- Parallele Übertragung auf einen Vektor.

Daher die Zuordnung w=az+Bändert die linearen Abmessungen jeder ebenen Figur in | A| einmal, dreht diese Figur um einen Winkel J=arg A um den Ursprung und verschiebt ihn um seinen Wert in Richtung des Vektors.

Eine lineare Abbildung hat eine kreisförmige Eigenschaft, das heißt, sie bildet Kreise ab z-Flugzeuge im Kreis w-Ebene (und umgekehrt); wandelt Geraden in Geraden um.

Beispiel. Finden Sie das Bild der Achse OU wenn angezeigt w=2iz-3i.

■ 1 Weg(gemäß Regel 3.4). Wir wählen die Achsengleichung in parametrischer Form.

1. Da in realer Form die Gleichung der Achse Oy: X=0, -¥<j<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<j<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран bei.

2. Lassen Sie uns ersetzen z=iy zum Ausdruck bringen w=2iz-3i: w=-2j-3ich, -¥<j<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (bei- Parameter). Nachdem wir den Real- und Imaginärteil isoliert haben, erhalten wir die Bildgleichung in reeller Form: u=-2j, v=-3 oder v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, parallel zur realen Achse.

Methode 2. Wir nutzen die Kreiseigenschaft einer linearen Transformation – das Bild einer Geraden ist eine Gerade. Da eine Gerade durch die Angabe zweier Punkte definiert wird, reicht diese auf der Achse aus OU Wählen Sie zwei beliebige Punkte aus und finden Sie deren Bilder. Die gerade Linie, die durch die gefundenen Punkte verläuft, ist die erforderliche. Lassen Sie uns Punkte auswählen z 1 =0, z 2 =ich, ihre Bilder w 1 =-3ich, w 2 =-2-3ich Wenn es kartiert ist, liegen Sie auf der Linie Im w= -3. Daher das Bild der Achse OU ist eine Gerade v=-3.

3-Wege(geometrisch). Aus der Beziehung w=2iz-3i folgt dem A=2ich, B=-3ich, |A|=2, . Das bedeutet, dass die gegebene Gerade (Achse OU) muss um einen Winkel relativ zum Ursprung gedreht und dann um 3 Einheiten nach unten verschoben werden. Durch die zweifache Dehnung ändert sich das geometrische Erscheinungsbild der Originallinie nicht, da diese durch den Ursprung verläuft. ■

Beispiel. Finden Sie eine lineare Funktion, die einen Kreis | darstellt z-i|=1 pro Umfang | w- 3|=2.

■ Das gestellte Problem ist das umgekehrte Problem der Abbildungstheorie: Finden Sie bei einem gegebenen Bild und Vorbild die entsprechende Abbildung. Ohne zusätzliche Bedingungen gibt es für das Problem keine eindeutige Lösung. Lassen Sie uns eine geometrische Lösung präsentieren.

1. Verschieben Sie den Mittelpunkt des Kreises zum Ursprung. Dazu wenden wir das Mapping an w 1 =z-i.

2. Im Flugzeug w 1 Lassen Sie uns eine Abbildung anwenden, die eine zweifache Streckung ergibt w 2 =2w 1 .

3. Verschieben Sie den Kreis um 3 Einheiten nach rechts: w=w 2 +3. Schließlich erhalten wir: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2ich– die gewünschte Funktion.

Sie können eine andere Reihenfolge für die Ausführung geometrischer Operationen wählen – nicht zuerst verschieben, sondern drehen oder strecken. ■

2. Gebrochene lineare Funktion

Bruchlinear eine Funktion der Form genannt

, (4.2)

Wo A, B,C,D- komplexe Zahlen mit , .

Eigenschaften der fraktionierten linearen Transformation

1°Konformität

Anzeige w=L(z) ist an allen Endpunkten der komplexen Ebene außer konform.

2° Kreisförmiges Eigentum

Das Bild einer geraden Linie oder eines Kreises in einer gebrochenen linearen Abbildung w=L(z) ist eine gerade Linie oder ein Kreis (und das Bild einer geraden Linie kann entweder ein Kreis oder eine gerade Linie sein, und das Bild eines Kreises kann sowohl eine gerade Linie als auch ein Kreis sein). Das lässt sich bei der Anzeige leicht feststellen w=L(z) Alle durch den Punkt verlaufenden Geraden und Kreise gehen in gerade Ebenen über ( w) und alle geraden Linien oder Kreise, die nicht durch den Punkt verlaufen D, - im Umfang der Ebene ( w).

3°Doppelte Relationsinvarianz

Attitüde bleibt unter einer gebrochenen linearen Abbildung erhalten, d. h. es ist seine Invariante. Diese Beziehung heißt doppeltes Verhältnis von vier Punkten. Somit wird die gebrochene lineare Transformation durch die Angabe von drei Punkten und ihren Bildern eindeutig bestimmt: . Mithilfe dieser Paare können Sie mithilfe der Formel eine gebrochene lineare Funktion ermitteln:

. (4.3)

Diese Formel kann auch bei einigen Zahlen angewendet werden z k Und Wo in ¥ verwandeln, wenn Sie die Regel anwenden: Die Differenz, in der das Symbol ¥ auftritt, sollte durch 1 ersetzt werden.

4°Symmetrie wahren

Wenn Punkte z 1 und z 2 sind symmetrisch zu einer Linie oder einem Kreis G, dann für jede gebrochene lineare Abbildung w=L(z) ihre Bilder w 1 und w 2 wird relativ zum Bild symmetrisch sein G: .

Unter Symmetrie um eine Gerade wird im üblichen Sinne verstanden.

Punkte z Und z* werden genannt symmetrisch zum Kreis |z-z 0 |=R, wenn sie auf demselben Strahl liegen, der vom Mittelpunkt des Kreises ausgeht, und das Produkt ihrer Abstände vom Mittelpunkt des Kreises gleich dem Quadrat seines Radius ist

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt z 0 – der Mittelpunkt des Kreises ist offensichtlich der Punkt im Unendlichen.

5°Boundary-Traversal-Matching-Prinzip (Anzeige von durch Linien oder Kreise begrenzten Bereichen)

Wenn es sich bei einer gebrochenen linearen Abbildung um eine gerade Linie oder einen Kreis handelt G verwandelt sich in eine gerade Linie oder einen Kreis g¢, dann die Fläche D, was begrenzt ist G, wird in einen von zwei Bereichen umgewandelt, die durch begrenzt werden g¢. In diesem Fall gilt das Entsprechungsprinzip der Grenzumfahrung: wenn während einer Linienumfahrung G Region D stellt sich als links (rechts) heraus, dann mit der entsprechenden Durchquerung der Geraden g¢ Region D¢ sollte ebenfalls links (rechts) sein.

Beispiel. Finden Sie die gebrochene lineare Funktion w=L(z), so dass w(ich)=2ich, w(¥)=1, w(-1)=¥.

■ Lassen Sie uns bezeichnen z 1 =ich, z 2 =¥, z 3 =-1 und w 1 =2ich, w 2 =1, w 3 =¥. Wenden wir Formel (4.3) an und ersetzen wir die darin enthaltenen Differenzen z 2 und w 3 bis ¥:

oder .

Lassen Sie uns konvertieren: - w-wi+ 2ich- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+ichÛ ist die erforderliche Funktion. ■

Funktionen einer komplexen Variablen.
Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen.

Dieser Artikel eröffnet eine Reihe von Lektionen, in denen ich typische Probleme im Zusammenhang mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen betrachte. Um die Beispiele erfolgreich zu meistern, müssen Sie über Grundkenntnisse komplexer Zahlen verfügen. Um das Material zu festigen und zu wiederholen, besuchen Sie einfach die Seite. Sie benötigen auch die Fähigkeiten zum Finden Partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Hier sind sie, diese partiellen Ableitungen... selbst jetzt war ich ein wenig überrascht, wie oft sie vorkommen...

Das Thema, das wir zu untersuchen beginnen, stellt keine besonderen Schwierigkeiten dar und bei den Funktionen einer komplexen Variablen ist im Prinzip alles klar und zugänglich. Die Hauptsache ist, sich an die Grundregel zu halten, die ich experimentell abgeleitet habe. Weiter lesen!

Konzept einer Funktion einer komplexen Variablen

Lassen Sie uns zunächst unser Wissen über die Schulfunktion einer Variablen auffrischen:

Funktion einer Variablen ist eine Regel, nach der jeder Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) einem und nur einem Wert der Funktion entspricht. Natürlich sind „x“ und „y“ reelle Zahlen.

Im komplexen Fall wird die funktionale Abhängigkeit ähnlich spezifiziert:

Einwertige Funktion einer komplexen Variablen- Das ist die Regel, nach der jeder umfassend Der Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) entspricht eins und nur eins umfassend Funktionswert. Die Theorie berücksichtigt auch mehrwertige und einige andere Arten von Funktionen, aber der Einfachheit halber werde ich mich auf eine Definition konzentrieren.

Was ist der Unterschied zwischen einer komplexen Variablenfunktion?

Der Hauptunterschied: komplexe Zahlen. Ich bin nicht ironisch. Solche Fragen versetzen die Leute oft in Erstaunen; am Ende des Artikels erzähle ich Ihnen eine lustige Geschichte. Im Unterricht Komplexe Zahlen für Dummies Wir haben eine komplexe Zahl in der Form betrachtet. Seitdem ist der Buchstabe „z“ geworden Variable, dann bezeichnen wir es wie folgt: , während „x“ und „y“ unterschiedlich sein können gültig Bedeutungen. Grob gesagt hängt die Funktion einer komplexen Variablen von den Variablen und ab, die „normale“ Werte annehmen. Aus dieser Tatsache ergibt sich logischerweise folgender Punkt:

Die Funktion einer komplexen Variablen kann wie folgt geschrieben werden:
, wobei und zwei Funktionen von zwei sind gültig Variablen.

Die Funktion wird aufgerufen echter Teil Funktionen
Die Funktion wird aufgerufen imaginärer Teil Funktionen

Das heißt, die Funktion einer komplexen Variablen hängt von zwei reellen Funktionen und ab. Um abschließend alles zu verdeutlichen, schauen wir uns praktische Beispiele an:

Beispiel 1

Lösung: Die unabhängige Variable „zet“ wird, wie Sie sich erinnern, in der Form geschrieben, also:

(1) Wir haben ersetzt.

(2) Für den ersten Term wurde die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet. Im Begriff wurden die Klammern geöffnet.

(3) Sorgfältig quadriert, das nicht vergessen

(4) Neuordnung der Begriffe: Zuerst schreiben wir die Begriffe neu , in dem es keine imaginäre Einheit gibt(erste Gruppe), dann die Begriffe, wo es sie gibt (zweite Gruppe). Es ist zu beachten, dass ein Mischen der Begriffe nicht erforderlich ist und dieser Schritt übersprungen werden kann (indem man ihn tatsächlich mündlich durchführt).

(5) Für die zweite Gruppe nehmen wir es aus Klammern.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass unsere Funktion in der Form dargestellt wurde

Antwort:
– Realteil der Funktion.
– Imaginärteil der Funktion.

Um welche Funktionen handelte es sich dabei? Die häufigsten Funktionen von zwei Variablen, aus denen Sie solche finden können, sind beliebt partielle Ableitungen. Ohne Gnade werden wir es finden. Aber etwas später.

Kurz gesagt lässt sich der Algorithmus für das gelöste Problem wie folgt schreiben: Wir setzen , in die ursprüngliche Funktion ein, nehmen Vereinfachungen vor und teilen alle Terme in zwei Gruppen ein – ohne imaginäre Einheit (Realteil) und mit imaginärer Einheit (Imaginärteil). .

Beispiel 2

Finden Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bevor Sie sich mit gezogenen Steinen auf dem komplexen Flugzeug in die Schlacht stürzen, möchte ich Ihnen die wichtigsten Ratschläge zu diesem Thema geben:

SEIEN SIE AUFMERKSAM! Natürlich muss man überall vorsichtig sein, aber bei komplexen Zahlen sollte man vorsichtiger denn je sein! Denken Sie daran, die Klammern vorsichtig zu öffnen, damit nichts verloren geht. Nach meinen Beobachtungen ist der häufigste Fehler der Verlust eines Schildes. Beeil dich nicht!

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Jetzt der Würfel. Mit der abgekürzten Multiplikationsformel leiten wir ab:
.

Formeln sind in der Praxis sehr praktisch, da sie den Lösungsprozess deutlich beschleunigen.

Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen.

Ich habe zwei Neuigkeiten: gute und schlechte. Ich fange mit dem Guten an. Für eine Funktion einer komplexen Variablen gelten die Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Die Ableitung erfolgt also genauso wie bei einer Funktion einer reellen Variablen.

Die schlechte Nachricht ist, dass es für viele komplexe Variablenfunktionen überhaupt keine Ableitung gibt und man sie herausfinden muss ist es differenzierbar? die eine oder andere Funktion. Und herauszufinden, wie sich Ihr Herz anfühlt, ist mit zusätzlichen Problemen verbunden.

Betrachten wir die Funktion einer komplexen Variablen. Damit diese Funktion differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend:

1) Es existieren also partielle Ableitungen erster Ordnung. Vergessen Sie diese Notationen gleich, da in der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen traditionell eine andere Notation verwendet wird: .

2) Um das sogenannte zu erfüllen Cauchy-Riemann-Bedingungen:

Nur in diesem Fall existiert die Ableitung!

Beispiel 3

Lösung ist in drei aufeinanderfolgende Phasen unterteilt:

1) Finden wir den Real- und Imaginärteil der Funktion. Diese Aufgabe wurde in früheren Beispielen besprochen, daher schreibe ich sie kommentarlos auf:

Seit damals:

Auf diese Weise:

– Imaginärteil der Funktion.

Lassen Sie mich noch einen technischen Punkt ansprechen: in welcher Reihenfolge Schreiben Sie die Begriffe im Real- und Imaginärteil? Ja, im Prinzip spielt es keine Rolle. Der Realteil kann beispielsweise so geschrieben werden: , und das imaginäre – so: .

2) Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Es gibt zwei davon.

Beginnen wir mit der Überprüfung des Zustands. Wir finden partielle Ableitungen:

Somit ist die Bedingung erfüllt.

Die gute Nachricht ist natürlich, dass partielle Ableitungen fast immer sehr einfach sind.

Wir prüfen die Erfüllung der zweiten Bedingung:

Das Ergebnis ist dasselbe, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen, d. h. die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, daher ist die Funktion differenzierbar.

3) Finden wir die Ableitung der Funktion. Auch die Ableitung ist sehr einfach und kann nach den üblichen Regeln gefunden werden:

Die imaginäre Einheit wird bei der Differentiation als Konstante betrachtet.

Antwort: – Realteil, – Imaginärteil.
Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, die Ableitung zu finden, sie werden natürlich seltener verwendet, aber die Informationen werden für das Verständnis der zweiten Lektion nützlich sein – Wie finde ich eine Funktion einer komplexen Variablen?

Die Ableitung kann mit der Formel ermittelt werden:

In diesem Fall:

Auf diese Weise

Wir müssen das inverse Problem lösen – im resultierenden Ausdruck müssen wir isolieren. Dazu ist in den Begriffen und außerhalb der Klammern Folgendes erforderlich:

Die umgekehrte Aktion ist, wie viele bemerkt haben, etwas schwieriger zu überprüfen; es ist immer besser, den Ausdruck auf einem Entwurf zu übernehmen oder die Klammern mündlich wieder zu öffnen und sicherzustellen, dass das Ergebnis genau ist

Spiegelformel zum Finden der Ableitung:

In diesem Fall: , Deshalb:

Beispiel 4

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Wenn die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind, ermitteln Sie die Ableitung der Funktion.

Eine kurze Lösung und ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs am Ende der Lektion.

Sind die Cauchy-Riemann-Bedingungen immer erfüllt? Theoretisch werden sie nicht häufiger erfüllt als erfüllt. Aber in praktischen Beispielen kann ich mich an keinen Fall erinnern, in dem sie nicht erfüllt waren =) Wenn Ihre partiellen Ableitungen also „nicht konvergieren“, können Sie mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass Sie irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Machen wir unsere Funktionen komplizierter:

Beispiel 5

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Berechnung

Lösung: Der Lösungsalgorithmus bleibt vollständig erhalten, am Ende wird jedoch ein neuer Punkt hinzugefügt: das Finden der Ableitung an einem Punkt. Für den Würfel wurde die erforderliche Formel bereits abgeleitet:

Definieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Funktion:

Achtung und nochmal Aufmerksamkeit!

Seit damals:


Auf diese Weise:
– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Überprüfung der zweiten Bedingung:

Das Ergebnis ist dasselbe, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen, d. h. die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, daher ist die Funktion differenzierbar:

Berechnen wir den Wert der Ableitung am gewünschten Punkt:

Antwort:, , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt,

Funktionen mit Würfeln sind weit verbreitet, deshalb hier ein Beispiel zur Verdeutlichung:

Beispiel 6

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Berechnung.

Lösung und Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

In der Theorie der komplexen Analysis werden auch andere Funktionen eines komplexen Arguments definiert: Exponent, Sinus, Kosinus usw. Diese Funktionen haben ungewöhnliche und sogar bizarre Eigenschaften – und das ist wirklich interessant! Ich möchte es Ihnen wirklich sagen, aber hier handelt es sich zufälligerweise nicht um ein Nachschlagewerk oder Lehrbuch, sondern um ein Lösungsbuch, daher werde ich das gleiche Problem mit einigen allgemeinen Funktionen betrachten.

Zunächst zum sogenannten Eulers Formeln:

Für jeden gültig Für Zahlen gelten folgende Formeln:

Sie können es auch als Referenzmaterial in Ihr Notizbuch kopieren.

Streng genommen gibt es nur eine Formel, aber der Einfachheit halber schreibt man in der Regel auch einen Sonderfall mit einem Minus im Exponenten. Der Parameter muss kein einzelner Buchstabe sein; es kann sich um einen komplexen Ausdruck oder eine Funktion handeln, wichtig ist nur, dass sie akzeptiert werden nur gültig Bedeutungen. Eigentlich werden wir das jetzt sehen:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung.

Lösung: Die Generallinie der Partei bleibt unerschütterlich – es gilt, den realen und den imaginären Teil der Funktion zu unterscheiden. Ich werde eine detaillierte Lösung geben und jeden Schritt unten kommentieren:

Seit damals:

(1) Ersetzen Sie stattdessen „z“.

(2) Nach der Substitution müssen Sie den Real- und den Imaginärteil auswählen zuerst im Indikator Aussteller. Öffnen Sie dazu die Klammern.

(3) Wir gruppieren den Imaginärteil des Indikators und setzen die Imaginäreinheit aus Klammern.

(4) Wir verwenden die Schulaktion mit Abschlüssen.

(5) Für den Multiplikator verwenden wir die Eulersche Formel und .

(6) Öffnen Sie die Klammern, was zu Folgendem führt:

– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Weitere Aktionen sind Standard; überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:

Beispiel 9

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Sei es so, wir werden die Ableitung nicht finden.

Lösung: Der Lösungsalgorithmus ist den beiden vorherigen Beispielen sehr ähnlich, es gibt jedoch sehr wichtige Punkte, daher werde ich die Anfangsphase noch einmal Schritt für Schritt kommentieren:

Seit damals:

1) Ersetzen Sie stattdessen „z“.

(2) Zuerst wählen wir den Real- und Imaginärteil aus im Sinus. Zu diesem Zweck öffnen wir die Klammern.

(3) Wir verwenden die Formel und .

(4) Verwendung Parität des hyperbolischen Kosinus: Und Kuriosität des hyperbolischen Sinus: . Obwohl Hyperboliken nicht von dieser Welt sind, erinnern sie in vielerlei Hinsicht an ähnliche trigonometrische Funktionen.

Zusammenfassend:
– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Aufmerksamkeit! Das Minuszeichen bezieht sich auf den Imaginärteil, und wir sollten ihn auf keinen Fall verlieren! Zur besseren Veranschaulichung kann das obige Ergebnis wie folgt umgeschrieben werden:

Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen:

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

Antwort:, , die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

Meine Damen und Herren, lassen Sie es uns selbst herausfinden:

Beispiel 10

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen.

Ich habe bewusst schwierigere Beispiele gewählt, weil scheinbar jeder mit etwas zurechtkommt, etwa mit geschälten Erdnüssen. Gleichzeitig schulen Sie Ihre Aufmerksamkeit! Nussknacker am Ende der Lektion.

Nun, abschließend werde ich mir ein weiteres interessantes Beispiel ansehen, bei dem ein komplexes Argument im Nenner steht. Das ist in der Praxis schon ein paar Mal passiert, schauen wir uns etwas Einfaches an. Äh, ich werde alt...

Beispiel 11

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion. Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen.

Lösung: Auch hier ist es notwendig, Real- und Imaginärteil der Funktion zu unterscheiden.
Wenn, dann

Es stellt sich die Frage, was zu tun ist, wenn „Z“ im Nenner steht?

Alles ist einfach – das Standardmodell hilft Methode zur Multiplikation von Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck, es wurde bereits in den Beispielen der Lektion verwendet Komplexe Zahlen für Dummies. Erinnern wir uns an die Schulformel. Wir haben es bereits im Nenner, was bedeutet, dass der konjugierte Ausdruck sein wird. Daher müssen Sie Zähler und Nenner multiplizieren mit:

Bundesamt für Bildung

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Staat St. Petersburg

Elektrotechnische Universität „LETI“

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Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen

Richtlinien

zum praktischen Unterricht

in höherer Mathematik

Sankt Petersburg

Verlag SPbSETU „LETI“

UDC 512.64(07)

TFKP: Methodische Anleitung zur Lösung von Problemen / zusammengestellt von: V.G. Dyumin, A.M. Sosnovsky: Verlag der Staatlichen Elektrotechnischen Universität St. Petersburg, 32 S.

Genehmigt

Redaktions- und Verlagsrat der Universität

als Richtlinien

© SPbSETU „LETI“, 2010

Funktionen einer komplexen Variablen unterscheiden sich im Allgemeinen von Abbildungen der realen Ebene
an sich nur durch die Form der Aufnahme. Ein wichtiges und äußerst nützliches Objekt ist die Klasse der Funktionen einer komplexen Variablen.

haben die gleiche Ableitung wie Funktionen einer Variablen. Es ist bekannt, dass Funktionen mehrerer Variablen partielle Ableitungen und Richtungsableitungen haben können, aber in der Regel fallen die Ableitungen in verschiedene Richtungen nicht zusammen und es ist nicht möglich, an einem Punkt über die Ableitung zu sprechen. Für Funktionen einer komplexen Variablen ist es jedoch möglich, die Bedingungen zu beschreiben, unter denen sie eine Differenzierung ermöglichen. Die Untersuchung der Eigenschaften differenzierbarer Funktionen einer komplexen Variablen ist Inhalt methodischer Anweisungen. Die Anleitung soll zeigen, wie die Eigenschaften solcher Funktionen zur Lösung unterschiedlicher Probleme genutzt werden können. Eine erfolgreiche Beherrschung des präsentierten Materials ist ohne Grundkenntnisse im Rechnen mit komplexen Zahlen und Vertrautheit mit den einfachsten geometrischen Objekten, die durch Ungleichungen definiert werden, die den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl verbinden, sowie deren Modul und Argument nicht möglich. Eine Zusammenfassung aller hierfür notwendigen Informationen finden Sie im Leitfaden.

Der Standardapparat der mathematischen Analyse: Grenzwerte, Ableitungen, Integrale, Reihen wird im Text der Richtlinien häufig verwendet. Wo diese Konzepte ihre eigenen Besonderheiten im Vergleich zu Funktionen einer Variablen haben, werden entsprechende Erklärungen gegeben, aber in den meisten Fällen reicht es aus, den Real- und Imaginärteil zu trennen und den Standardapparat der Realanalyse auf sie anzuwenden.

1. Elementarfunktionen einer komplexen Variablen

Es ist naheliegend, eine Diskussion der Bedingungen für die Differenzierbarkeit von Funktionen einer komplexen Variablen damit zu beginnen, herauszufinden, welche Elementarfunktionen diese Eigenschaft haben. Aus der offensichtlichen Beziehung

Daraus folgt, dass jedes Polynom differenzierbar ist. Und da eine Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzkreises Term für Term differenziert werden kann,

dann ist jede Funktion an Punkten differenzierbar, in deren Umgebung sie in einer Taylor-Reihe entwickelt werden kann. Dies ist eine hinreichende Bedingung, aber, wie sich bald zeigen wird, auch notwendig. Es ist zweckmäßig, die Untersuchung von Funktionen einer Variablen hinsichtlich ihrer Ableitung durch die Überwachung des Verhaltens des Funktionsgraphen zu unterstützen. Dies ist für Funktionen einer komplexen Variablen nicht möglich. Die Punkte des Graphen liegen in einem Raum der Dimension 4, .

Eine gewisse grafische Darstellung der Funktion kann jedoch erhalten werden, indem die Bilder relativ einfacher Mengen in der komplexen Ebene betrachtet werden
, die unter dem Einfluss einer bestimmten Funktion entstehen. Betrachten wir beispielsweise einige einfache Funktionen aus dieser Sicht.

Lineare Funktion

Diese einfache Funktion ist sehr wichtig, da jede differenzierbare Funktion einer linearen lokal ähnlich ist. Betrachten wir die Wirkung der Funktion im größtmöglichen Detail

Hier
– Modul einer komplexen Zahl Und – sein Argument. Somit führt die lineare Funktion Streckung, Rotation und Translation durch. Daher führt eine lineare Abbildung jede Menge zu einer ähnlichen Menge. Insbesondere werden unter dem Einfluss einer linearen Abbildung Geraden zu Geraden und Kreise zu Kreisen.

Funktion

Diese Funktion ist nach linear die nächstkomplexeste. Es ist schwer zu erwarten, dass sie eine beliebige Linie in eine gerade Linie umwandelt, und einfache Beispiele zeigen, dass dies nicht der Fall ist. Es kann jedoch gezeigt werden, dass diese Funktion die Menge aller Linien und Kreise in umwandelt selbst. Um dies zu überprüfen, ist es praktisch, zur tatsächlichen (Koordinaten-)Beschreibung der Zuordnung zu gehen

Der Beweis erfordert eine Beschreibung der inversen Abbildung

Betrachten Sie die Gleichung if
, dann erhalten wir die allgemeine Gleichung der Geraden. Wenn
, Das

Deshalb wann
Man erhält die Gleichung eines beliebigen Kreises.

Beachten Sie, dass wenn
Und
, dann geht der Kreis durch den Ursprung. Wenn
Und
, dann erhält man eine Gerade durch den Ursprung.

Unter der Wirkung der Inversion wird die betrachtete Gleichung in das Formular umgeschrieben

, (
)

oder . Man erkennt, dass es sich hierbei ebenfalls um eine Gleichung handelt, die entweder Kreise oder Geraden beschreibt. Die Tatsache, dass die Koeffizienten in der Gleichung Und
Vertauschte Stellen bedeuten, dass sich bei der Umkehrung gerade Linien, die durch 0 gehen, in Kreise verwandeln und Kreise, die durch 0 gehen, in gerade Linien werden.

Leistungsfunktionen

Der Hauptunterschied zwischen diesen Funktionen und den zuvor besprochenen besteht darin, dass sie nicht eins zu eins sind (
). Wir können sagen, dass die Funktion
wandelt eine komplexe Ebene in zwei Kopien derselben Ebene um. Eine genaue Behandlung dieses Themas erfordert den Einsatz des umständlichen Apparats der Riemannschen Flächen und geht über den Rahmen der hier betrachteten Fragestellungen hinaus. Es ist wichtig zu verstehen, dass die komplexe Ebene in Sektoren unterteilt werden kann, die jeweils eins zu eins auf die komplexe Ebene abgebildet werden. Dies ist die Aufschlüsselung für die Funktion
sieht beispielsweise so aus: Die obere Halbebene wird durch die Funktion eins zu eins auf die komplexe Ebene abgebildet
. Geometrische Verzerrungen sind bei solchen Bildern schwieriger zu beschreiben als bei der Inversion. Als Übung können Sie nachvollziehen, in was sich das Gitter aus rechtwinkligen Koordinaten der oberen Halbebene bei der Darstellung verändert

Es ist ersichtlich, dass sich das Gitter rechtwinkliger Koordinaten in eine Familie von Parabeln verwandelt, die in der Ebene ein System krummliniger Koordinaten bilden
. Die oben beschriebene Aufteilung der Ebene ist so, dass die Funktion
zeigt jedes an Sektoren über die gesamte Ebene. Die Beschreibung der Vorwärts- und Rückwärtszuordnung sieht folgendermaßen aus

Also die Funktion
Es hat verschiedene Umkehrfunktionen,

in verschiedenen Bereichen des Flugzeugs angegeben

In solchen Fällen spricht man von einer mehrteiligen Kartierung.

Schukowski-Funktion

Die Funktion hat einen eigenen Namen, da sie die Grundlage der von Schukowski entwickelten Theorie des Flugzeugflügels bildete (eine Beschreibung dieses Entwurfs finden Sie im Buch). Die Funktion hat eine Reihe interessanter Eigenschaften. Konzentrieren wir uns auf eine davon: Finden Sie heraus, auf welche Mengen diese Funktion eins zu eins wirkt. Bedenken Sie die Gleichheit

, Wo
.

Folglich ist die Schukowski-Funktion in jedem Bereich für jeden eins zu eins Und ihr Produkt ist nicht gleich eins. Dies sind zum Beispiel der offene Einheitskreis
und das Komplement des geschlossenen Einheitskreises
.

Betrachten Sie dann die Wirkung der Schukowski-Funktion auf einen Kreis

Durch die Trennung von Real- und Imaginärteil erhalten wir die parametrische Gleichung der Ellipse

,
.

Wenn
, dann füllen diese Ellipsen die gesamte Ebene. Auf ähnliche Weise kann überprüft werden, dass die Bilder von Segmenten Hyperbeln sind

.

Exponentialfunktion

Die Funktion kann zu einer Potenzreihe entwickelt werden, die in der gesamten komplexen Ebene absolut konvergent ist und daher überall differenzierbar ist. Beschreiben wir die Mengen, auf denen die Funktion eins zu eins ist. Offensichtliche Gleichberechtigung
zeigt, dass die Ebene in eine Familie von Streifen unterteilt werden kann, von denen jeder durch eine Funktion eins zu eins auf die gesamte komplexe Ebene abgebildet wird. Diese Unterteilung ist wichtig, um zu verstehen, wie die Umkehrfunktion, oder genauer gesagt Umkehrfunktionen, funktioniert. Auf jedem Streifen gibt es eine natürlich definierte inverse Abbildung

Die Umkehrfunktion ist in diesem Fall ebenfalls multivalent und die Anzahl der Umkehrfunktionen ist unendlich.

Die geometrische Beschreibung der Abbildung ist recht einfach: gerade Linien
in Strahlen verwandeln
, Segmente

in Kreise verwandeln
.

Wo
sind reelle Zahlen, und - ein Sonderzeichen namens imaginäre Einheit . Für eine imaginäre Einheit wird per Definition angenommen, dass
.

(4.1) – algebraische Form komplexe Zahl und
angerufen echter Teil komplexe Zahl und
-imaginärer Teil .

Nummer
angerufen komplexes Konjugat zur Nummer
.

Gegeben seien zwei komplexe Zahlen
,
.

1. Menge
komplexe Zahlen Und heißt komplexe Zahl

2. Durch Differenz
komplexe Zahlen Und heißt komplexe Zahl

3. Die Arbeit
komplexe Zahlen Und heißt komplexe Zahl

4. Privat aus der Division einer komplexen Zahl zu einer komplexen Zahl
heißt komplexe Zahl

.

Bemerkung 4.1. Das heißt, Operationen an komplexen Zahlen werden gemäß den üblichen Regeln für arithmetische Operationen an Literalausdrücken in der Algebra eingeführt.

Beispiel 4.1. Es werden komplexe Zahlen angegeben. Finden

.

Lösung. 1) .

4) Multiplizieren wir Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, erhalten wir

Trigonometrische Form komplexe Zahl:

Wo
- Modul einer komplexen Zahl,
ist das Argument einer komplexen Zahl. Ecke mehrdeutig definiert, bis auf einen Begriff
:

,
.

- der Hauptwert des Arguments, bestimmt durch die Bedingung

, (oder
).

Demonstrative Form komplexe Zahl:

.

Wurzel
Potenz der Zahl Es hat verschiedene Werte, die durch die Formel ermittelt werden

,

Wo
.

Punkte, die Werten entsprechen
, sind die Eckpunkte des Richtigen
ein Quadrat, das in einen Kreis mit Radius eingeschrieben ist
mit Mittelpunkt im Ursprung.

Beispiel 4.2. Finden Sie alle Stammwerte
.

Lösung. Stellen wir uns eine komplexe Zahl vor
in trigonometrischer Form:

,

, Wo
.

Dann
. Daher gilt nach Formel (4.2)
hat vier Bedeutungen:

,
.

Glauben
, wir finden

,
,

, .

Hier haben wir die Werte des Arguments in seinen Hauptwert umgewandelt.

Setzt auf der komplexen Ebene

Komplexe Zahl
in einem Flugzeug dargestellt
Punkt
mit Koordinaten
. Modul
und Argumentation
entsprechen den Polarkoordinaten des Punktes
.

Es ist nützlich, sich an diese Ungleichheit zu erinnern
definiert einen Kreis mit Mittelpunkt in einem Punkt Radius . Ungleichheit
definiert eine Halbebene, die rechts von der Geraden liegt
und die Ungleichheit
- Halbebene oberhalb der Geraden
. Darüber hinaus das System der Ungleichheiten
legt den Winkel zwischen den Strahlen fest
Und
, wobei der Koordinatenursprung verlassen wird.

Beispiel 4.3. Zeichnen Sie die durch die Ungleichungen definierte Fläche:
.

Lösung. Die erste Ungleichung entspricht einem Ring mit Mittelpunkt im Punkt
und zwei Radien 1 und 2, die Kreise werden nicht in die Fläche einbezogen (Abb. 4.1).

Die zweite Ungleichung entspricht dem Winkel zwischen den Strahlen
(Halbierende des 4. Koordinatenwinkels) und
(positive Achsrichtung
). Die Strahlen selbst dringen nicht in die Region ein (Abb. 4.2).

Die gesuchte Fläche ist der Schnittpunkt der beiden erhaltenen Flächen (Abb. 4.3)

4.2. Funktionen einer komplexen Variablen

Lassen Sie die einwertige Funktion
definiert und kontinuierlich in der Region
, A - Stückweise glatte geschlossene oder nicht geschlossene orientierte Kurve, die darin liegt
. Lassen Sie, wie immer,
,, Wo
,
- reelle Funktionen von Variablen Und .

Berechnen des Integrals einer Funktion
komplexe Variable reduziert sich auf die Berechnung der üblichen krummlinigen Integrale, nämlich

.

Wenn die Funktion
Analytisch in einem einfach zusammenhängenden Bereich
, enthält Punkte Und , dann gilt die Newton-Leibniz-Formel:

,

Wo
- eine Stammfunktion für die Funktion
, also
im Gebiet
.

Bei Integralen von Funktionen einer komplexen Variablen kann man eine Variablenänderung vornehmen, und die partielle Integration erfolgt ähnlich wie bei der Berechnung von Integralen von Funktionen einer reellen Variablen.

Beachten Sie auch, dass der Integrationspfad Teil einer Linie ist, die von einem Punkt ausgeht oder Teil eines Kreises mit Mittelpunkt in einem Punkt , dann ist es sinnvoll, eine variable Ersetzung des Formulars vorzunehmen
. Im ersten Fall
, A - echte Integrationsvariable; im zweiten Fall
, A - echte Integrationsvariable.

Beispiel 4.4. Berechnung
durch Parabel
vom Punkt
auf den Punkt
(Abbildung 4.4).

Lösung. Schreiben wir den Integranden in der Form um Dann , . Wenden wir Formel (4.3) an: Als , Das , . Deshalb

Beispiel 4.5. Integral berechnen
, Wo - Kreisbogen
,
(Abb. 4.5) .

Lösung. Sagen wir , Dann , , . Wir bekommen:

Funktion
, einwertig und analytisch im Ring
, zerfällt in diesem Ring in Laurent-Serie

In Formel (4.5) die Reihe
angerufen Hauptteil Laurents Serie und die Serie
angerufen der richtige Teil Laurent-Serie.

Definition 4.1. Punkt angerufenisolierter singulärer Punkt Funktionen
, wenn es eine Umgebung dieses Punktes gibt, in der die Funktion
überall analytisch, außer im Punkt selbst .

Funktion
in der Nähe eines Punktes kann zu einer Laurent-Serie erweitert werden. Dabei sind bei der Laurent-Reihe drei verschiedene Fälle möglich:

1) enthält keine Begriffe mit negativen Differenzpotenzen
, also

(Laurents Serie enthält nicht den Hauptteil). In diesem Fall angerufen abnehmbarer Einzelpunkt Funktionen
;

2) enthält eine endliche Anzahl von Termen mit negativen Differenzpotenzen
, also

,

Und
. In diesem Fall der Punkt angerufen Pol der Ordnung Funktionen
;

3) enthält unendlich viele Terme mit negativen Potenzen:

.

In diesem Fall der Punkt angerufen Im Grunde ein besonderer Punkt Funktionen
.

Bei der Bestimmung des Charakters eines isolierten singulären Punktes ist es nicht notwendig, nach einer Laurent-Reihenentwicklung zu suchen. Sie können verschiedene Eigenschaften isolierter singulärer Punkte nutzen.

1) ist ein entfernbarer singulärer Punkt der Funktion
, wenn es einen endlichen Grenzwert der Funktion gibt
am Punkt :

.

2) ist ein Pol der Funktion
, Wenn

.

3) ist ein im Wesentlichen singulärer Punkt der Funktion
, wenn bei
Eine Funktion hat keine Grenze, weder endlich noch unendlich.

Definition 4.2. Punkt angerufennull
erste Bestellung (oder Vielheit ) Funktionen
, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

…,

.

Bemerkung 4.2. Punkt genau dann, wenn Null ist
erste Bestellung Funktionen
, wenn in einer Umgebung dieses Punktes die Gleichheit gilt

,

Wo ist die Funktion?
analytisch an einem Punkt Und

4) Punkt ist der Pol der Ordnung (
) Funktionen
, wenn dieser Punkt nullter Ordnung ist für Funktion
.

5) lass - isolierter singulärer Punkt einer Funktion
, Wo
- analytische Funktionen an einem Punkt . Und lassen Sie den Punkt ist nullte Ordnung Funktionen
und nullter Ordnung Funktionen
.

Bei
Punkt ist der Pol der Ordnung
Funktionen
.

Bei
Punkt ist ein entfernbarer singulärer Punkt der Funktion
.

Beispiel 4.6. Finden Sie isolierte Punkte und bestimmen Sie deren Typ für eine Funktion
.

Lösung. Funktionen
Und
- analytisch in der gesamten komplexen Ebene. Dies bedeutet, dass die singulären Punkte der Funktion
sind die Nullstellen des Nenners, also die Punkte wo
. Es gibt unendlich viele solcher Punkte. Das ist zunächst einmal der Punkt
sowie Punkte, die die Gleichung erfüllen
. Von hier
Und
.

Bedenken Sie den Punkt
. An diesem Punkt erhalten wir:

,
,

,
.

Die Ordnung Null ist
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Also, Punkt
ist ein Pol zweiter Ordnung (
).

. Dann

,
.

Die Ordnung des Nullzählers ist
.

,
,
.

Die Nullordnung des Nenners ist
. Daher die Punkte
bei
sind Pole erster Ordnung ( einfache Stangen ).

Satz 4.1. (Satz von Cauchy über Residuen ). Wenn die Funktion
ist analytisch an der Grenze Region
und überall innerhalb der Region, mit Ausnahme einer endlichen Anzahl singulärer Punkte
, Das

.

Bei der Berechnung von Integralen lohnt es sich, sorgfältig alle singulären Punkte der Funktion zu finden
, zeichnen Sie dann die Kontur und die singulären Punkte und wählen Sie anschließend nur die Punkte aus, die innerhalb der Integrationskontur liegen. Ohne Bild ist es oft schwierig, die richtige Wahl zu treffen.

Methode zur Berechnung des Abzugs
hängt von der Art des singulären Punktes ab. Daher müssen Sie vor der Berechnung des Residuums die Art des singulären Punkts bestimmen.

1) Rest einer Funktion an einem Punkt gleich dem Koeffizienten für minus dem ersten Grad in der Laurent-Entwicklung
in der Nähe eines Punktes :

.

Diese Aussage gilt für alle Arten isolierter Punkte und daher ist es in diesem Fall nicht erforderlich, den Typ eines einzelnen Punkts zu bestimmen.

2) Der Rest an einem entfernbaren singulären Punkt ist gleich Null.

3) wenn ist ein einfacher Pol (Pol erster Ordnung) und die Funktion
kann im Formular dargestellt werden
, Wo
,
(Beachten Sie, dass in diesem Fall
), dann der Rest am Punkt gleicht

.

Insbesondere, wenn
, Das
.

4) wenn - einfache Stange also

5) wenn - Stange
Funktion erster Ordnung
, Das

Beispiel 4.7. Integral berechnen
.

Lösung. Finden singulärer Punkte des Integranden . Funktion hat zwei singuläre Punkte Und Nur ein Punkt liegt innerhalb der Kontur (Abb. 4.6). Punkt - Pol zweiter Ordnung, da ist eine Nullstelle eines Vielfachen von 2 für die Funktion .

Dann ermitteln wir mit Formel (4.7) den Rest an dieser Stelle:

Nach Satz 4.1 finden wir