Platonische Körpereigenschaften und geometrische Eigenschaften. Platonische Körper. Einzelnes Netzwerkfeld

Was ist der Da Vinci-Kodex?

Platonische Körper

Archimedische Körper

Das Geheimnis des ägyptischen Kalenders

Quasikristalle von Dan Shekhtman

Penrose-Fliesen

Fullerene

Die künstlerische Welt der slowenischen Künstlerin Matyushka Teja Krašek

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Regelmäßige Polyeder haben seit der Antike die Aufmerksamkeit von Philosophen, Baumeistern, Architekten, Künstlern und Mathematikern auf sich gezogen. Sie waren erstaunt über die Schönheit, Perfektion und Harmonie dieser Figuren.

Ein regelmäßiges Polyeder ist eine dreidimensionale konvexe geometrische Figur, deren Flächen alle identische regelmäßige Vielecke sind und alle Polyederwinkel an den Eckpunkten einander gleich sind. Es gibt viele regelmäßige Vielecke, aber nur fünf regelmäßige Polyeder. Die Namen dieser Polyeder stammen aus dem antiken Griechenland und geben die Anzahl („Tetra“ – 4, „Hexa“ – 6, „Octa“ – 8, „Dodeca“ – 12, „Icos“ – 20) der Flächen an („ hedra") .

Diese regelmäßigen Polyeder wurden nach dem antiken griechischen Philosophen Platon Platonische Körper genannt, der ihnen eine mystische Bedeutung verlieh. Sie waren jedoch schon vor Platon bekannt. Das Tetraeder verkörperte das Feuer, da seine Spitze wie eine lodernde Flamme nach oben zeigt; Ikosaeder – als das stromlinienförmigste – Wasser; Der Würfel ist die stabilste der Figuren – die Erde, und das Oktaeder ist die Luft. Das Dodekaeder wurde mit dem gesamten Universum identifiziert und galt als das wichtigste.

Regelmäßige Polyeder kommen in der belebten Natur vor. Beispielsweise hat das Skelett des Einzellers Feodaria die Form eines Ikosaeders. Der Pyritkristall (Pyritschwefel, FeS2) hat die Form eines Dodekaeders.

Das Tetraeder ist eine regelmäßige dreieckige Pyramide und das Hexaeder ein Würfel – Figuren, denen wir im wirklichen Leben ständig begegnen. Um die Form anderer platonischer Körper besser zu spüren, sollten Sie sie selbst aus dickem Papier oder Pappe herstellen. Es ist nicht schwierig, eine flache Entwicklung von Figuren zu erstellen. Die Schaffung regelmäßiger Polyeder ist im Prozess der Formung selbst äußerst interessant.

Vollständige und bizarre Formen regelmäßiger Polyeder werden häufig in der dekorativen Kunst verwendet. Dreidimensionale Figuren können interessanter gestaltet werden, wenn flache regelmäßige Vielecke durch andere Figuren dargestellt werden, die in das Vieleck passen. Beispiel: Ein regelmäßiges Fünfeck kann durch einen Stern ersetzt werden. Eine solche dreidimensionale Figur wird keine Kanten haben. Sie können es zusammenbauen, indem Sie die Enden der Sternenstrahlen zusammenbinden. Und 10 Sterne sind im Flachscan zusammengesetzt. Nach dem Sichern der restlichen 2 Sterne erhält man eine dreidimensionale Figur.

Wenn Ihr Kind gerne mit seinen eigenen geschickten Händen bastelt, laden Sie es ein, aus flachen Plastiksternen eine dreidimensionale Polyeder-Dodekaeder-Figur zusammenzusetzen. Das Ergebnis der Arbeit wird Ihr Kind begeistern: Es wird mit seinen eigenen Händen ein originelles dekoratives Design anfertigen, das zur Dekoration eines Kinderzimmers verwendet werden kann. Aber das Bemerkenswerteste ist, dass die durchbrochene Kugel im Dunkeln leuchtet. Kunststoffsterne werden unter Zusatz einer modernen harmlosen Substanz – Phosphor – hergestellt.

Stakhov A.P.

„Der Da Vinci-Code“, platonische und archimedische Körper, Quasikristalle, Fullerene, Penrose-Gitter und die künstlerische Welt von Mutter Teia Krashek

Anmerkung

Das Werk der slowenischen Künstlerin Matyushka Teja Krašek ist dem russischsprachigen Leser wenig bekannt. Gleichzeitig wird es im Westen als „osteuropäischer Escher“ und „slowenisches Geschenk“ an die Weltkulturgemeinschaft bezeichnet. Ihre künstlerischen Kompositionen sind inspiriert von neuesten wissenschaftlichen Entdeckungen (Fullerene, Dan-Shechtman-Quasikristalle, Penrose-Kacheln), die wiederum auf regelmäßigen und halbregulären Polygonen (platonische und archimedische Körper), dem Goldenen Schnitt und Fibonacci-Zahlen basieren.

Sicherlich hat jeder Mensch mehr als einmal über die Frage nachgedacht, warum die Natur in der Lage ist, so erstaunliche harmonische Strukturen zu schaffen, die das Auge erfreuen und erfreuen. Warum Künstler, Dichter, Komponisten und Architekten von Jahrhundert zu Jahrhundert erstaunliche Kunstwerke schaffen. Was ist das Geheimnis ihrer Harmonie und welche Gesetze liegen diesen harmonischen Geschöpfen zugrunde?

Die Suche nach diesen Gesetzen, den „Gesetzen der Harmonie des Universums“, begann in der antiken Wissenschaft. In dieser Zeit der Menschheitsgeschichte machten Wissenschaftler eine Reihe erstaunlicher Entdeckungen, die sich durch die gesamte Wissenschaftsgeschichte ziehen. Die erste davon gilt zu Recht als eine wunderbare mathematische Proportion, die Harmonie ausdrückt. Es heißt anders: „Goldener Schnitt“, „Goldene Zahl“, „Goldener Durchschnitt“, „Goldener Schnitt“ und selbst „göttliche Proportion“ Der Goldene Schnitt wird auch genannt Anzahl der PHI zu Ehren des großen antiken griechischen Bildhauers Phidias, der diese Zahl in seinen Skulpturen verwendete.

Der Thriller „The Da Vinci Code“ des bekannten englischen Schriftstellers Dan Brown ist zu einem Bestseller des 21. Jahrhunderts geworden. Aber was bedeutet der Da Vinci-Kodex? Auf diese Frage gibt es unterschiedliche Antworten. Es ist bekannt, dass der berühmte „Goldene Schnitt“ für Leonardo da Vinci große Aufmerksamkeit und Faszination erregte. Darüber hinaus wurde der Name „Goldener Schnitt“ von Leonardo da Vinci in die europäische Kultur eingeführt. Auf Leonardos Initiative veröffentlichte der berühmte italienische Mathematiker und wissenschaftliche Mönch Luca Pacioli, ein Freund und wissenschaftlicher Berater von Leonardo da Vinci, das Buch „Divina Proportione“, das erste mathematische Werk der Weltliteratur über den Goldenen Schnitt, das der Autor „Göttlich“ nannte Anteil". Es ist auch bekannt, dass Leonardo selbst dieses berühmte Buch illustrierte und 60 wundervolle Zeichnungen dafür zeichnete. Es sind diese Tatsachen, die der allgemeinen wissenschaftlichen Gemeinschaft nicht sehr bekannt sind, die uns das Recht geben, die Hypothese aufzustellen, dass der „Da Vinci-Kodex“ nichts anderes als der „Goldene Schnitt“ ist. Und eine Bestätigung dieser Hypothese findet sich in einer Vorlesung für Studenten der Harvard University, an die sich die Hauptfigur des Buches „The Da Vinci Code“, Prof. Langdon:

„Trotz ihres fast mystischen Ursprungs spielte die PHI-Nummer auf ihre Art eine einzigartige Rolle. Die Rolle eines Ziegelsteins beim Aufbau allen Lebens auf der Erde. Alle Pflanzen, Tiere und sogar Menschen sind mit physischen Proportionen ausgestattet, die ungefähr der Wurzel des Verhältnisses der PHI-Zahl zu 1 entsprechen. Diese Allgegenwärtigkeit von PHI in der Natur ... weist auf die Verbindung aller Lebewesen hin. Früher glaubte man, dass die PHI-Nummer vom Schöpfer des Universums vorgegeben wurde. Wissenschaftler der Antike nannten ein Komma sechshundertachtzehntausendstel das „göttliche Verhältnis“.

Somit ist die berühmte irrationale Zahl PHI = 1,618, die Leonardo da Vinci den „Goldenen Schnitt“ nannte, der „Da Vinci-Code“!

Eine weitere mathematische Entdeckung der antiken Wissenschaft ist regelmäßige Polyeder die benannt wurden „Platonische Körper“ Und „semireguläre Polyeder“, angerufen „Archimedische Körper“. Es sind diese erstaunlich schönen räumlichen geometrischen Figuren, die zwei der größten wissenschaftlichen Entdeckungen des 20. Jahrhunderts zugrunde liegen – Quasikristalle(Der Autor der Entdeckung ist der israelische Physiker Dan Shekhtman) und Fullerene(Nobelpreis 1996). Diese beiden Entdeckungen sind die bedeutendste Bestätigung der Tatsache, dass es sich bei dem Goldenen Schnitt um den universellen Naturcode („Da Vinci-Code“) handelt, der dem Universum zugrunde liegt.

Die Entdeckung von Quasikristallen und Fullerenen hat viele zeitgenössische Künstler dazu inspiriert, Werke zu schaffen, die die wichtigsten physikalischen Entdeckungen des 20. Jahrhunderts in künstlerischer Form darstellen. Einer dieser Künstler ist der slowenische Künstler Mutter Teia Krashek. Dieser Artikel stellt die künstlerische Welt von Mutter Teia Krashek durch das Prisma der neuesten wissenschaftlichen Entdeckungen vor.

Der Mensch zeigt während seiner gesamten bewussten Tätigkeit Interesse an regelmäßigen Vielecken und Polyedern – vom zweijährigen Kind, das mit Holzklötzen spielt, bis zum reifen Mathematiker. Einige der regelmäßigen und halbregelmäßigen Körper kommen in der Natur in Form von Kristallen vor, andere in Form von Viren, die mit einem Elektronenmikroskop untersucht werden können.

Was ist ein regelmäßiges Polyeder? Ein regelmäßiges Polyeder ist ein solches Polyeder, dessen Flächen alle gleich (oder kongruent) sind und gleichzeitig regelmäßige Vielecke sind. Wie viele regelmäßige Polyeder gibt es? Auf den ersten Blick ist die Antwort auf diese Frage sehr einfach: Es gibt so viele regelmäßige Vielecke wie es gibt. Dies ist jedoch nicht der Fall. In Euklids Elementen finden wir einen strengen Beweis dafür, dass es nur fünf konvexe regelmäßige Polyeder gibt und ihre Flächen nur drei Arten regelmäßiger Polyeder sein können: Dreiecke, Quadrate Und Fünfecke (regelmäßige Fünfecke).

Viele Bücher widmen sich der Theorie der Polyeder. Eines der bekanntesten ist das Buch des englischen Mathematikers M. Wenniger „Models of Polyhedra“. Dieses Buch wurde 1974 im Mir-Verlag in russischer Übersetzung veröffentlicht. Das Epigraph des Buches ist eine Aussage von Bertrand Russell: „Die Mathematik besitzt nicht nur Wahrheit, sondern auch hohe Schönheit – Schönheit, die geschärft und streng, erhaben rein und nach wahrer Vollkommenheit strebend ist, die nur für die größten Beispiele der Kunst charakteristisch ist.“

Das Buch beginnt mit einer Beschreibung des sogenannten regelmäßige Polyeder, also Polyeder, die aus den einfachsten regelmäßigen Vielecken desselben Typs bestehen. Diese Polyeder werden üblicherweise aufgerufen Platonische Körper(Abb. 1) , benannt nach dem antiken griechischen Philosophen Platon, der in seinem Werk regelmäßige Polyeder verwendete Kosmologie.

Bild 1. Platonische Körper: (a) Oktaeder („Feuer“), (b) Hexaeder oder Würfel („Erde“),

Wir beginnen unsere Betrachtung mit regelmäßige Polyeder, deren Gesichter sind gleichseitige Dreiecke. Der erste ist Tetraeder(Abb.1-a). In einem Tetraeder treffen sich drei gleichseitige Dreiecke an einem Eckpunkt; gleichzeitig bilden ihre Basen ein neues gleichseitiges Dreieck. Das Tetraeder hat die kleinste Anzahl an Flächen unter den platonischen Körpern und ist das dreidimensionale Analogon eines flachen regelmäßigen Dreiecks, das unter den regelmäßigen Vielecken die kleinste Anzahl an Seiten hat.

Der nächste Körper, der aus gleichseitigen Dreiecken besteht, wird aufgerufen Oktaeder(Abb. 1-b). In einem Oktaeder treffen sich vier Dreiecke an einer Ecke; Das Ergebnis ist eine Pyramide mit viereckiger Grundfläche. Wenn man zwei solcher Pyramiden mit ihren Grundflächen verbindet, erhält man einen symmetrischen Körper mit acht dreieckigen Flächen – Oktaeder.

Jetzt können Sie versuchen, fünf gleichseitige Dreiecke an einem Punkt zu verbinden. Das Ergebnis wird eine Figur mit 20 dreieckigen Flächen sein - Ikosaeder(Abb.1-d).

Die folgende regelmäßige Polygonform ist: Quadrat. Wenn wir drei Quadrate an einem Punkt verbinden und dann drei weitere hinzufügen, erhalten wir eine perfekte Form mit sechs Seiten namens Hexaeder oder Würfel(Abb. 1-c).

Schließlich gibt es noch eine weitere Möglichkeit, ein regelmäßiges Polyeder zu konstruieren, basierend auf der Verwendung des folgenden regelmäßigen Polyeders: Pentagon. Wenn wir 12 Fünfecke so zusammenfassen, dass sich in jedem Punkt drei Fünfecke treffen, erhalten wir einen weiteren platonischen Körper, genannt Dodekaeder(Abb.1-e).

Das nächste reguläre Polygon ist Hexagon. Wenn wir jedoch drei Sechsecke an einem Punkt verbinden, erhalten wir eine Fläche, das heißt, es ist unmöglich, aus Sechsecken eine dreidimensionale Figur zu bauen. Alle anderen regulären Polygone über einem Sechseck können überhaupt keine Körper bilden. Aus diesen Überlegungen folgt, dass es nur fünf regelmäßige Polyeder gibt, deren Flächen nur gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Fünfecke sein können.

Es gibt erstaunliche geometrische Verbindungen zwischen allen regelmäßige Polyeder. Zum Beispiel, Würfel(Abb.1-b) und Oktaeder(Abb. 1-c) sind dual, d.h. erhält man voneinander, wenn man die Schwerpunkte der Flächen der einen als Eckpunkte der anderen nimmt und umgekehrt. Ebenso dual Ikosaeder(Abb.1-d) und Dodekaeder(Abb.1-e) . Tetraeder(Abb. 1-a) ist zu sich selbst dual. Ein Dodekaeder entsteht aus einem Würfel, indem auf seinen Flächen „Dächer“ konstruiert werden (euklidische Methode); die Eckpunkte eines Tetraeders sind alle vier Eckpunkte des Würfels, die nicht paarweise entlang einer Kante benachbart sind, d. h. alle anderen regulären Polyeder können es sein aus dem Würfel gewonnen. Allein die Tatsache, dass es nur fünf wirklich regelmäßige Polyeder gibt, ist überraschend – schließlich gibt es unendlich viele regelmäßige Polyeder auf der Ebene!

Numerische Eigenschaften platonischer Körper

Wichtigste numerische Merkmale Platonische Körper ist die Anzahl der Seiten des Gesichts M, die Anzahl der Flächen, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen, M, Anzahl der Gesichter G, Anzahl der Eckpunkte IN, Anzahl der Rippen R und Anzahl der flachen Winkel U Auf der Oberfläche eines Polyeders entdeckte und bewies Euler die berühmte Formel

B P + G = 2,

verbindende Anzahl von Eckpunkten, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders. Die oben genannten numerischen Eigenschaften sind in der Tabelle angegeben. 1.

Tabelle 1

Numerische Eigenschaften platonischer Körper

Goldener Schnitt im Dodekaeder und Ikosaeder

Eine Sonderstellung nehmen das Dodekaeder und sein duales Ikosaeder (Abb. 1-d,e) ein Platonische Körper. Zunächst muss betont werden, dass die Geometrie Dodekaeder Und Ikosaeder steht in direktem Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt. Tatsächlich Kanten Dodekaeder(Abb.1-e) sind Fünfecke, d.h. regelmäßige Fünfecke basierend auf dem Goldenen Schnitt. Wenn man genau hinschaut Ikosaeder(Abb. 1-d), dann können Sie sehen, dass an jedem seiner Eckpunkte fünf Dreiecke zusammenlaufen, deren Außenseiten sich bilden Pentagon. Allein diese Fakten reichen aus, um uns davon zu überzeugen, dass der Goldene Schnitt eine wichtige Rolle bei der Gestaltung dieser beiden spielt Platonische Körper.

Aber es gibt tiefere mathematische Beweise für die grundlegende Rolle, die der Goldene Schnitt dabei spielt Ikosaeder Und Dodekaeder. Es ist bekannt, dass diese Körper drei spezifische Sphären haben. Die erste (innere) Kugel ist in den Körper eingeschrieben und berührt dessen Gesichter. Bezeichnen wir den Radius dieser inneren Kugel mit R i. Die zweite oder mittlere Kugel berührt ihre Rippen. Bezeichnen wir den Radius dieser Kugel mit Rm. Schließlich wird die dritte (äußere) Sphäre um den Körper herum beschrieben und verläuft durch seine Scheitelpunkte. Bezeichnen wir seinen Radius mit Rc. In der Geometrie wurde nachgewiesen, dass die Werte der Radien der angegebenen Kugeln für Dodekaeder Und Ikosaeder, dessen Kante eine Einheitslänge hat, wird durch den goldenen Anteil t ausgedrückt (Tabelle 2).

Tabelle 2

Goldener Schnitt in den Sphären von Dodekaeder und Ikosaeder


Ikosaeder
Dodekaeder

Beachten Sie, dass das Verhältnis der Radien = das gleiche ist wie für Ikosaeder, und für Dodekaeder. Also, wenn Dodekaeder Und Ikosaeder haben identische eingeschriebene Kugeln, dann sind auch ihre umschriebenen Kugeln einander gleich. Der Beweis dieses mathematischen Ergebnisses ist in angegeben Anfänge Euklid.

In der Geometrie sind andere Beziehungen bekannt Dodekaeder Und Ikosaeder, was ihre Verbindung mit dem Goldenen Schnitt bestätigt. Wenn wir zum Beispiel nehmen Ikosaeder Und Dodekaeder mit einer Kantenlänge gleich eins, und berechnen Sie ihre äußere Fläche und ihr Volumen, dann werden sie durch den goldenen Anteil ausgedrückt (Tabelle 3).

Tisch 3

Goldener Schnitt in der Außenfläche und im Volumen des Dodekaeders und Ikosaeders

	Ikosaeder	Dodekaeder
Außenbereich

Somit gibt es eine große Anzahl von Beziehungen, die von alten Mathematikern ermittelt wurden, was die bemerkenswerte Tatsache genau bestätigt Der Goldene Schnitt ist der Hauptanteil von Dodekaeder und Ikosaeder, und diese Tatsache ist aus der Sicht der sogenannten besonders interessant „Dodekaeder-Ikosaeder-Lehre“ die wir uns weiter unten ansehen werden.

Platons Kosmologie

Die oben besprochenen regelmäßigen Polyeder heißen Platonische Körper, da sie einen wichtigen Platz in Platons philosophischem Konzept der Struktur des Universums einnahmen.

Platon (427-347 v. Chr.)

Vier Polyeder verkörperten darin vier Essenzen oder „Elemente“. Tetraeder symbolisiert Feuer, da seine Oberseite nach oben gerichtet ist; Ikosaeder Wasser, da es das „stromlinienförmigste“ Polyeder ist; Würfel Erde, als das „stabilste“ Polyeder; Oktaeder Luft, als das „luftigste“ Polyeder. Das fünfte Polyeder Dodekaeder, verkörperte „alle Dinge“, „Universeller Geist“, symbolisierte das gesamte Universum und wurde berücksichtigt die wichtigste geometrische Figur des Universums.

Die alten Griechen betrachteten harmonische Beziehungen als die Grundlage des Universums, daher wurden ihre vier Elemente durch das folgende Verhältnis verbunden: Erde/Wasser = Luft/Feuer. Die Atome der „Elemente“ wurden von Platon in perfekten Konsonanzen gestimmt, wie die vier Saiten einer Leier. Denken wir daran, dass Konsonanz eine angenehme Konsonanz ist. Im Zusammenhang mit diesen Körpern wäre es angebracht zu sagen, dass ein solches Elementsystem, das die vier Elemente Erde, Wasser, Luft und Feuer umfasste, von Aristoteles heiliggesprochen wurde. Diese Elemente blieben viele Jahrhunderte lang die vier Eckpfeiler des Universums. Es ist durchaus möglich, sie mit den vier uns bekannten Materiezuständen zu identifizieren: fest, flüssig, gasförmig und Plasma.

So verbanden die alten Griechen die Idee der „End-to-End“-Harmonie der Existenz mit ihrer Verkörperung in den platonischen Körpern. Auch der Einfluss des berühmten griechischen Denkers Platon wirkte sich aus Anfänge Euklid. Dieses Buch, das jahrhundertelang das einzige Lehrbuch der Geometrie war, beschreibt „ideale“ Linien und „ideale“ Figuren. Die „idealste“ Linie ist gerade, und das „idealste“ Polygon ist regelmäßiges Vieleck, gleiche Seiten und gleiche Winkel haben. Es kann das einfachste regelmäßige Vieleck betrachtet werden gleichseitiges Dreieck, da es die geringste Anzahl von Seiten hat, die einen Teil der Ebene begrenzen können. I frage mich, was Anfänge Euklid beginnt mit einer Beschreibung der Konstruktion regelmäßiges Dreieck und enden mit einer Studie von fünf Platonische Körper. beachte das Platonische Körper dem Finale, also dem 13. Buch, ist gewidmet Begann Euklid. Übrigens ist dies eine Tatsache, nämlich die Platzierung der Theorie der regulären Polyeder im letzten (also sozusagen wichtigsten) Buch Begann Euklid brachte den antiken griechischen Mathematiker Proklos, der Euklid kommentierte, dazu, eine interessante Hypothese über die wahren Ziele aufzustellen, die Euklid bei der Erstellung seines Buches verfolgte Anfänge. Laut Proklos schuf Euklid Anfänge nicht um die Geometrie als solche darzustellen, sondern um eine vollständig systematisierte Theorie der Konstruktion „idealer“ Figuren, insbesondere der fünf, zu geben Platonische Körper und hebt gleichzeitig einige der neuesten Errungenschaften der Mathematik hervor!

Es ist kein Zufall, dass einer der Autoren der Entdeckung der Fullerene, Nobelpreisträger Harold Kroto, in seiner Nobelvorlesung seine Geschichte über Symmetrie als „die Grundlage unserer Wahrnehmung der physischen Welt“ und ihre „Rolle bei Erklärungsversuchen“ beginnt es umfassend“ genau mit Platonische Körper und „Elemente aller Dinge“: „Das Konzept der strukturellen Symmetrie reicht bis in die Antike zurück …“ Die berühmtesten Beispiele finden sich natürlich in Platons Timaios, wo er in Abschnitt 53 über die Elemente schreibt: „Zuerst zu jedem (! ) „Natürlich ist es klar, dass Feuer und Erde, Wasser und Luft Körper sind und jeder Körper fest ist“ (!!) Platon diskutiert die Probleme der Chemie in der Sprache dieser vier Elemente und verbindet sie mit den vier platonischen Körper (damals nur vier, bis Hipparchos nicht den fünften entdeckte – das Dodekaeder). Obwohl eine solche Philosophie auf den ersten Blick etwas naiv erscheinen mag, zeugt sie doch von einem tiefen Verständnis dafür, wie die Natur tatsächlich funktioniert.“

Halbregelmäßige Polyeder

Es sind viele weitere perfekte Körper bekannt, genannt semireguläre Polyeder oder Archimedische Körper. Außerdem sind bei ihnen alle Polyederwinkel gleich und alle Flächen sind regelmäßige Polygone, jedoch unterschiedlicher Art. Es gibt 13 semireguläre Polyeder, deren Entdeckung Archimedes zugeschrieben wird.

Archimedes (287 v. Chr. – 212 v. Chr.)

Ein Haufen Archimedische Körper lassen sich in mehrere Gruppen einteilen. Der erste von ihnen besteht aus fünf Polyedern, die aus erhalten werden Platonische Körper als Ergebnis ihrer Kürzung. Ein abgeschnittener Körper ist ein Körper, bei dem die Oberseite abgeschnitten ist. Für Platonische Körper Die Kürzung kann so erfolgen, dass sowohl die resultierenden neuen Flächen als auch die verbleibenden Teile der alten regelmäßige Polygone sind. Z.B, Tetraeder(Abb. 1-a) kann abgeschnitten werden, sodass aus seinen vier dreieckigen Flächen vier sechseckige werden und ihnen vier regelmäßige dreieckige Flächen hinzugefügt werden. Auf diese Weise können fünf erhalten werden Archimedische Körper: Tetraederstumpf, Hexaederstumpf (Würfel), Oktaederstumpf, Dodekaederstumpf Und abgeschnittenes Ikosaeder(Abb. 2).


(A)	(B)	(V)


(G)	(D)

Abbildung 2. Archimedische Körper: (a) Tetraederstumpf, (b) Würfelstumpf, (c) Oktaederstumpf, (d) Dodekaederstumpf, (e) Ikosaederstumpf

Der amerikanische Wissenschaftler Smalley, einer der Autoren der experimentellen Entdeckung von Fullerenen, spricht in seiner Nobelvorlesung von Archimedes (287-212 v. Chr.) als dem ersten Forscher insbesondere von abgeschnittenen Polyedern. abgeschnittenes Ikosaeder, jedoch mit dem Vorbehalt, dass dies vielleicht Archimedes zugeschrieben wird und dass Ikosaeder möglicherweise schon lange vor ihm abgeschnitten wurden. Es genügt, die in Schottland gefundenen Funde aus der Zeit um 2000 v. Chr. zu erwähnen. Hunderte von Steinobjekten (anscheinend für rituelle Zwecke) in Form von Kugeln und verschiedenen Polyeder(Körper auf allen Seiten durch flache begrenzt Kanten), einschließlich Ikosaeder und Dodekaeder. Das Originalwerk von Archimedes ist leider nicht erhalten und seine Ergebnisse sind, wie man so sagt, „aus zweiter Hand“ zu uns gekommen. Während der Renaissance alles Archimedische Körper eine nach der anderen wurden wieder „entdeckt“. Schließlich gab Kepler 1619 in seinem Buch „Weltharmonie“ („Harmonice Mundi“) eine umfassende Beschreibung der gesamten Menge archimedischer Körper – Polyeder, deren jede Fläche darstellt regelmäßiges Vieleck, und alles Gipfel befinden sich in äquivalenter Position (wie Kohlenstoffatome im C 60-Molekül). Archimedische Körper bestehen aus mindestens zwei verschiedenen Arten von Polygonen, im Gegensatz zu fünf Platonische Körper, deren Flächen alle identisch sind (wie zum Beispiel im C 20-Molekül).

Abbildung 3. Konstruktion des archimedischen Ikosaederstumpfes
vom platonischen Ikosaeder

Also, wie man gestaltet Archimedes abgeschnittenes Ikosaeder aus Platonisches Ikosaeder? Die Antwort wird anhand von Abb. veranschaulicht. 3. Tatsächlich, wie aus der Tabelle ersichtlich ist. 1, 5 Flächen konvergieren an jedem der 12 Eckpunkte des Ikosaeders. Wenn an jedem Scheitelpunkt 12 Teile des Ikosaeders mit einer Ebene abgeschnitten werden, entstehen 12 neue fünfeckige Flächen. Zusammen mit den vorhandenen 20 Flächen, die sich nach einem solchen Schnitt von dreieckig in sechseckig verwandelt haben, bilden sie 32 Flächen des Ikosaederstumpfes. In diesem Fall gibt es 90 Kanten und 60 Scheitelpunkte.

Eine andere Gruppe Archimedische Körper bestehen aus zwei Körpern namens quasi regelmäßig Polyeder. Das „Quasi“-Partikel betont, dass die Flächen dieser Polyeder regelmäßige Polygone von nur zwei Typen sind, wobei jede Fläche eines Typs von Polygonen eines anderen Typs umgeben ist. Diese beiden Körper werden aufgerufen Rhombikuboktaeder Und Ikosidodekaeder(Abb. 4).

Abbildung 5. Archimedische Körper: (a) Rhombokuboktaeder, (b) Rhombikosidodekaeder

Schließlich gibt es noch zwei sogenannte „Snub“-Modifikationen – eine für den Würfel ( Stupswürfel), das andere für das Dodekaeder ( Stupsdodekaeder) (Abb. 6).


(A)	(B)

Abbildung 6. Archimedische Körper: (a) Stumpfwürfel, (b) Stumpfdodekaeder

In dem oben erwähnten Buch von Wenniger, Models of Polyhedra (1974), findet der Leser 75 verschiedene Modelle regelmäßiger Polyeder. „Die Theorie der Polyeder, insbesondere der konvexen Polyeder, ist eines der faszinierendsten Kapitel der Geometrie“ Dies ist die Meinung des russischen Mathematikers L.A. Lyusternak, der in diesem Bereich der Mathematik viel geleistet hat. Die Entwicklung dieser Theorie ist mit den Namen herausragender Wissenschaftler verbunden. Johannes Kepler (1571-1630) leistete einen großen Beitrag zur Entwicklung der Polyedertheorie. Einmal schrieb er einen Sketch „Über eine Schneeflocke“, in dem er folgende Bemerkung machte: „Unter den regelmäßigen Körpern ist der Würfel der allererste, der Anfang und Stammvater der übrigen, und sein Partner ist, wenn ich so sagen darf, der Oktaeder, denn der Oktaeder hat so viele Winkel, wie der Würfel Flächen hat.“ Kepler war der erste, der eine vollständige Liste der dreizehn veröffentlichte Archimedische Körper und gab ihnen die Namen, unter denen sie heute bekannt sind.

Kepler war der erste, der das sogenannte untersuchte Sternpolyeder, die im Gegensatz zu den platonischen und archimedischen Körpern regelmäßige konvexe Polyeder sind. Zu Beginn des letzten Jahrhunderts entwickelte der französische Mathematiker und Mechaniker L. Poinsot (1777-1859), dessen geometrische Arbeiten sich auf Sternpolyeder bezogen, das Werk von Kepler weiter und entdeckte die Existenz von zwei weiteren Arten regelmäßiger nichtkonvexer Polyeder. Dank der Arbeit von Kepler und Poinsot wurden vier Arten solcher Figuren bekannt (Abb. 7). Im Jahr 1812 bewies O. Cauchy, dass es keine anderen regelmäßigen Sternpolyeder gibt.

Abbildung 7. Regelmäßige Sternpolyeder (Poinsot-Körper)

Viele Leser fragen sich vielleicht: „Warum überhaupt reguläre Polyeder studieren?“ Was nützen sie? Diese Frage kann beantwortet werden: „Was nützt Musik oder Poesie?“ Ist alles Schöne nützlich? Modelle von Polyedern in Abb. 1-7 machen vor allem einen ästhetischen Eindruck auf uns und können als dekorative Dekoration verwendet werden. Tatsächlich hat das weit verbreitete Auftreten regelmäßiger Polyeder in natürlichen Strukturen in der modernen Wissenschaft ein enormes Interesse an diesem Zweig der Geometrie geweckt.

Was ist ein Kalender?

Ein russisches Sprichwort sagt: „Die Zeit ist das Auge der Geschichte.“ Alles, was im Universum existiert: Sonne, Erde, Sterne, Planeten, bekannte und unbekannte Welten und alles, was in der Natur lebender und nicht lebender Dinge existiert, alles hat eine Raum-Zeit-Dimension. Zeit wird gemessen, indem man sich periodisch wiederholende Vorgänge einer bestimmten Dauer beobachtet.

Schon in der Antike bemerkten die Menschen, dass der Tag immer in die Nacht übergeht und die Jahreszeiten in einer strengen Reihenfolge verlaufen: Nach dem Winter kommt der Frühling, nach dem Frühling kommt der Sommer, nach dem Sommer kommt der Herbst. Auf der Suche nach einer Lösung für diese Phänomene achtete der Mensch auf die Himmelskörper – die Sonne, den Mond, die Sterne – und die strenge Periodizität ihrer Bewegungen am Himmel. Dies waren die ersten Beobachtungen, die der Geburt einer der ältesten Wissenschaften vorausgingen – der Astronomie.

Die Astronomie basiert die Zeitmessung auf der Bewegung von Himmelskörpern, die drei Faktoren widerspiegelt: die Rotation der Erde um ihre Achse, die Rotation des Mondes um die Erde und die Bewegung der Erde um die Sonne. Die unterschiedlichen Zeitvorstellungen hängen davon ab, welches dieser Phänomene der Zeitmessung zugrunde liegt. Die Astronomie weiß es herausragend Zeit, sonnig Zeit, lokal Zeit, Taille Zeit, Mutterschaftsurlaub Zeit, atomar Zeit usw.

Die Sonne nimmt wie alle anderen Leuchten an der Bewegung über den Himmel teil. Zusätzlich zur täglichen Bewegung hat die Sonne eine sogenannte jährliche Bewegung, und als wird der gesamte Weg der jährlichen Bewegung der Sonne über den Himmel bezeichnet Ekliptik. Wenn wir beispielsweise zu einer bestimmten Abendstunde die Lage der Sternbilder bemerken und diese Beobachtung dann jeden Monat wiederholen, dann erscheint vor uns ein anderes Bild des Himmels. Das Erscheinungsbild des Sternenhimmels verändert sich ständig: Jede Jahreszeit hat ihr eigenes Muster an Abendkonstellationen, und jedes dieser Muster wiederholt sich jedes Jahr. Folglich kehrt die Sonne nach einem Jahr an ihren ursprünglichen Platz relativ zu den Sternen zurück.

Um die Orientierung in der Sternenwelt zu erleichtern, haben Astronomen den gesamten Himmel in 88 Sternbilder unterteilt. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Namen. Von den 88 Sternbildern nehmen diejenigen, durch die die Ekliptik verläuft, einen besonderen Platz in der Astronomie ein. Diese Sternbilder haben neben ihren Eigennamen auch einen allgemeinen Namen – Tierkreis(vom griechischen Wort „zoop“ = Tier) sowie weltweit bekannte Symbole (Zeichen) und verschiedene allegorische Bilder, die in Kalendersystemen enthalten sind.

Es ist bekannt, dass die Sonne bei ihrer Bewegung entlang der Ekliptik 13 Sternbilder durchquert. Astronomen hielten es jedoch für notwendig, den Lauf der Sonne nicht in 13, sondern in 12 Teile zu unterteilen und die Sternbilder Skorpion und Ophiuchus unter dem allgemeinen Namen Skorpion zu einem einzigen zu vereinen (warum?).

Die Probleme der Zeitmessung werden von einer speziellen Wissenschaft namens behandelt Chronologie. Es liegt allen von der Menschheit geschaffenen Kalendersystemen zugrunde. Die Erstellung von Kalendern gehörte in der Antike zu den wichtigsten Aufgaben der Astronomie.

Was ist ein „Kalender“ und welche Arten gibt es? Kalendersysteme? Wort Kalender kommt vom lateinischen Wort Kalender, was wörtlich „Schuldenbuch“ bedeutet; in solchen Büchern wurden die ersten Tage jedes Monats angegeben - Kalenden, bei dem im antiken Rom Schuldner Zinsen zahlten.

In den Ländern Ost- und Südostasiens wurde bei der Erstellung von Kalendern seit der Antike großer Wert auf die Periodizität der Bewegungen von Sonne, Mond usw. gelegt Jupiter Und Saturn, zwei Riesenplaneten des Sonnensystems. Es gibt Grund zu der Annahme, dass die Idee des Schaffens Jupiter-Kalender mit himmlischer Symbolik des 12-jährigen Tierzyklus, der mit der Rotation verbunden ist Jupiter um die Sonne, die in etwa 12 Jahren (11,862 Jahren) einen vollständigen Umlauf um die Sonne macht. Andererseits ist er der zweite Riesenplanet des Sonnensystems Saturn macht in etwa 30 Jahren (29,458 Jahren) einen vollständigen Umlauf um die Sonne. Um die Bewegungszyklen der Riesenplaneten zu harmonisieren, kamen die alten Chinesen auf die Idee, einen 60-Jahres-Zyklus des Sonnensystems einzuführen. Während dieses Zyklus macht Saturn zwei volle Umdrehungen um die Sonne und Jupiter fünf Umdrehungen.

Bei der Erstellung von Jahreskalendern werden astronomische Phänomene genutzt: der Wechsel von Tag und Nacht, wechselnde Mondphasen und wechselnde Jahreszeiten. Die Nutzung verschiedener astronomischer Phänomene führte bei verschiedenen Völkern zur Schaffung von drei Arten von Kalendern: Mond, basierend auf der Bewegung des Mondes, sonnig, basierend auf der Bewegung der Sonne und lunisolar.

Struktur des ägyptischen Kalenders

Einer der ersten Sonnenkalender war ägyptisch, entstanden im 4. Jahrtausend v. Chr. Das ursprüngliche ägyptische Kalenderjahr bestand aus 360 Tagen. Das Jahr war in 12 Monate zu je genau 30 Tagen unterteilt. Später stellte sich jedoch heraus, dass diese Länge des Kalenderjahres nicht der astronomischen entspricht. Und dann fügten die Ägypter dem Kalenderjahr noch 5 Tage hinzu, die allerdings keine Tage des Monats waren. Dies waren 5 Feiertage, die benachbarte Kalenderjahre miteinander verbanden. Somit hatte das ägyptische Kalenderjahr die folgende Struktur: 365 = 12ґ 30 + 5. Beachten Sie, dass der ägyptische Kalender der Prototyp des modernen Kalenders ist.

Es stellt sich die Frage: Warum teilten die Ägypter das Kalenderjahr in 12 Monate ein? Schließlich gab es Kalender mit einer unterschiedlichen Anzahl von Monaten im Jahr. Im Maya-Kalender beispielsweise bestand das Jahr aus 18 Monaten mit 20 Tagen pro Monat. Die nächste Frage zum ägyptischen Kalender: Warum hatte jeder Monat genau 30 Tage (genauer gesagt Tage)? Einige Fragen können auch zum ägyptischen System der Zeitmessung aufgeworfen werden, insbesondere hinsichtlich der Wahl von Zeiteinheiten wie Stunde, Minute, Sekunde. Insbesondere stellt sich die Frage: Warum wurde die Stundeneinheit so gewählt, dass sie genau 24 Mal in einen Tag passt, also 1 Tag = 24 (2½ 12) Stunden? Weiter: Warum 1 Stunde = 60 Minuten und 1 Minute = 60 Sekunden? Die gleichen Fragen gelten für die Wahl der Einheiten von Winkelgrößen, insbesondere: Warum wird der Kreis in 360° unterteilt, also warum 2p =360° =12ґ 30°? Zu diesen Fragen kommen noch weitere hinzu, insbesondere: Warum hielten es Astronomen für sinnvoll zu glauben, dass es zwölf gibt? Tierkreis Zeichen, obwohl die Sonne während ihrer Bewegung entlang der Ekliptik tatsächlich 13 Sternbilder durchquert? Und noch eine „seltsame“ Frage: Warum hatte das babylonische Zahlensystem eine sehr ungewöhnliche Basis – die Zahl 60?

Der Zusammenhang zwischen dem ägyptischen Kalender und den numerischen Eigenschaften des Dodekaeders

Bei der Analyse des ägyptischen Kalenders sowie der ägyptischen Systeme zur Messung von Zeit und Winkelwerten stellen wir fest, dass sich vier Zahlen mit erstaunlicher Konstanz wiederholen: 12, 30, 60 und die daraus abgeleitete Zahl 360 = 12ґ 30. Es stellt sich die Frage: ist Gibt es denn eine grundlegende wissenschaftliche Idee, die eine einfache und logische Erklärung für die Verwendung dieser Zahlen in ägyptischen Systemen liefern könnte?

Um diese Frage zu beantworten, wenden wir uns noch einmal zu Dodekaeder, dargestellt in Abb. 1-d. Erinnern wir uns daran, dass alle geometrischen Verhältnisse des Dodekaeders auf dem Goldenen Schnitt basieren.

Kannten die Ägypter das Dodekaeder? Mathematikhistoriker geben zu, dass die alten Ägypter Informationen über regelmäßige Polyeder hatten. Aber kannten sie insbesondere alle fünf regulären Polyeder? Dodekaeder Und Ikosaeder Was sind die schwierigsten? Der antike griechische Mathematiker Proklos führt die Konstruktion regelmäßiger Polyeder auf Pythagoras zurück. Aber viele mathematische Theoreme und Ergebnisse (insbesondere Satz des Pythagoras) Pythagoras nahm während seiner sehr langen „Geschäftsreise“ nach Ägypten Anleihen bei den alten Ägyptern (einigen Informationen zufolge lebte Pythagoras 22 Jahre in Ägypten!). Daher können wir davon ausgehen, dass Pythagoras das Wissen über regelmäßige Polyeder möglicherweise auch von den alten Ägyptern übernommen hat (und vielleicht von den alten Babyloniern, denn der Legende nach lebte Pythagoras 12 Jahre im alten Babylon). Aber es gibt noch andere, überzeugendere Beweise dafür, dass die Ägypter Informationen über alle fünf regulären Polyeder hatten. Insbesondere das British Museum beherbergt einen Stempel aus der ptolemäischen Zeit, der die Form hat Ikosaeder, also der „platonische Körper“, dual Dodekaeder. All diese Tatsachen geben uns das Recht, die Hypothese aufzustellen, dass Das Dodekaeder war den Ägyptern bekannt. Und wenn dem so ist, dann ergibt sich aus dieser Hypothese ein sehr harmonisches System, das es uns ermöglicht, den Ursprung des ägyptischen Kalenders und gleichzeitig den Ursprung des ägyptischen Systems zur Messung von Zeitintervallen und geometrischen Winkeln zu erklären.

Zuvor haben wir festgestellt, dass das Dodekaeder 12 Flächen, 30 Kanten und 60 flache Winkel auf seiner Oberfläche hat (Tabelle 1). Basierend auf der Hypothese, dass die Ägypter es wussten Dodekaeder und seine numerischen Eigenschaften sind 12, 30, 60. Was war dann ihre Überraschung, als sie entdeckten, dass dieselben Zahlen die Zyklen des Sonnensystems ausdrücken, nämlich den 12-Jahres-Zyklus von Jupiter, den 30-Jahres-Zyklus von Saturn und schließlich der 60-jährige Sommerzyklus des Sonnensystems. Also zwischen einer so perfekten Raumfigur wie Dodekaeder, und das Sonnensystem, es gibt eine tiefe mathematische Verbindung! Diese Schlussfolgerung wurde von alten Wissenschaftlern gezogen. Dies führte dazu, dass Dodekaeder wurde als „Hauptfigur“ angenommen, die symbolisierte Harmonie des Universums. Und dann entschieden die Ägypter, dass alle ihre Hauptsysteme (Kalendersystem, Zeitmesssystem, Winkelmesssystem) numerischen Parametern entsprechen sollten Dodekaeder! Da nach Ansicht der Alten die Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik streng kreisförmig war, koordinierten die Ägypter die jährliche Bewegung der Sonne überraschend schön, indem sie 12 Tierkreiszeichen wählten, deren Bogenabstand genau 30° betrug entlang der Ekliptik mit der Struktur ihres Kalenderjahres: Ein Monat entsprach der Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik zwischen zwei benachbarten Tierkreiszeichen! Darüber hinaus entsprach die Bewegung der Sonne um ein Grad einem Tag im ägyptischen Kalenderjahr! In diesem Fall wurde die Ekliptik automatisch in 360° geteilt. Nachdem die Ägypter jeden Tag entsprechend dem Dodekaeder in zwei Teile geteilt hatten, teilten sie dann jede Tageshälfte in 12 Teile (12 Gesichter) ein Dodekaeder) und damit eingeführt Stunde- die wichtigste Zeiteinheit. Eine Stunde in 60 Minuten aufteilen (60 ebene Winkel auf der Oberfläche). Dodekaeder), führten die Ägypter auf diese Weise ein Minute– die nächste wichtige Zeiteinheit. Auf die gleiche Weise stellten sie vor gib mir eine Sekunde- die kleinste Zeiteinheit für diesen Zeitraum.

Also wählen Dodekaeder Als wichtigste „harmonische“ Figur des Universums und streng nach den numerischen Eigenschaften des Dodekaeders 12, 30, 60 gelang es den Ägyptern, einen äußerst harmonischen Kalender sowie Systeme zur Messung von Zeit- und Winkelwerten zu bauen. Diese Systeme stimmten voll und ganz mit ihrer „Theorie der Harmonie“ überein, die auf dem goldenen Verhältnis beruhte, da dieses Verhältnis zugrunde liegt Dodekaeder.

Dies sind die überraschenden Schlussfolgerungen, die sich aus dem Vergleich ergeben: Dodekaeder mit dem Sonnensystem. Und wenn unsere Hypothese richtig ist (möge jemand versuchen, sie zu widerlegen), dann folgt daraus, dass die Menschheit seit vielen Jahrtausenden lebt im Zeichen des Goldenen Schnitts! Und jedes Mal schauen wir auf das Zifferblatt unserer Uhr, die ebenfalls auf der Verwendung numerischer Merkmale basiert Dodekaeder 12, 30 und 60 berühren wir das wichtigste „Geheimnis des Universums“ – den Goldenen Schnitt, ohne es überhaupt zu wissen!

Am 12. November 1984 lieferte ein kurzer Artikel des israelischen Physikers Dan Shechtman, der in der renommierten Zeitschrift Physical Review Letters veröffentlicht wurde, experimentelle Beweise für die Existenz einer Metalllegierung mit außergewöhnlichen Eigenschaften. Bei der Untersuchung mit Elektronenbeugungsmethoden zeigte diese Legierung alle Anzeichen eines Kristalls. Sein Beugungsmuster besteht aus hellen und regelmäßig verteilten Punkten, genau wie bei einem Kristall. Dieses Bild zeichnet sich jedoch durch das Vorhandensein einer „ikosaedrischen“ oder „pentangonalen“ Symmetrie aus, die im Kristall aus geometrischen Gründen strengstens verboten ist. Solche ungewöhnlichen Legierungen wurden genannt Quasikristalle. In weniger als einem Jahr wurden viele weitere Legierungen dieser Art entdeckt. Es gab so viele davon, dass der quasikristalline Zustand viel häufiger vorkam, als man sich vorstellen konnte.

Der israelische Physiker Dan Shechtman

Das Konzept eines Quasikristalls ist von grundlegendem Interesse, da es die Definition eines Kristalls verallgemeinert und vervollständigt. Die auf diesem Konzept basierende Theorie ersetzt die uralte Idee einer „strikt periodisch im Raum wiederholten Struktureinheit“ durch den Schlüsselbegriff Fernauftrag. Wie im Artikel „Quasikristalle“ des berühmten Physikers D. Gratia betont, „Dieses Konzept führte zur Ausweitung der Kristallographie, deren neu entdeckte Reichtümer wir gerade erst zu erforschen beginnen. Seine Bedeutung in der Welt der Mineralien kann mit der Hinzufügung des Begriffs der irrationalen Zahlen zu den rationalen Zahlen in der Mathematik gleichgesetzt werden.“

Was ist ein Quasikristall? Welche Eigenschaften hat es und wie lässt es sich beschreiben? Wie oben erwähnt, gem Grundgesetz der Kristallographie Der Kristallstruktur unterliegen strenge Beschränkungen. Nach klassischen Konzepten besteht ein Kristall bis ins Unendliche aus einer einzelnen Zelle, die die gesamte Ebene ohne Einschränkungen dicht (von Angesicht zu Angesicht) „bedecken“ sollte.

Bekanntermaßen kann eine dichte Füllung der Ebene mit durchgeführt werden Dreiecke(Abb.7-a), Quadrate(Abb.7-b) und Sechsecke(Abb.7-d). Mit Hilfe Fünfecke (Fünfecke) ist eine solche Befüllung nicht möglich (Abb. 7-c).


A)	B)	V)	G)

Abbildung 7. Eine dichte Füllung der Ebene kann mit Dreiecken (a), Quadraten (b) und Sechsecken (d) erfolgen.

Dies waren die Grundsätze der traditionellen Kristallographie, die vor der Entdeckung einer ungewöhnlichen Legierung aus Aluminium und Mangan, einem sogenannten Quasikristall, existierten. Eine solche Legierung entsteht durch ultraschnelles Abkühlen der Schmelze mit einer Geschwindigkeit von 10 6 K pro Sekunde. Darüber hinaus erscheint während einer Beugungsstudie einer solchen Legierung auf dem Bildschirm ein geordnetes Muster, das für die Symmetrie eines Ikosaeders charakteristisch ist, das die berühmten verbotenen Symmetrieachsen 5. Ordnung aufweist.

In den nächsten Jahren untersuchten mehrere wissenschaftliche Gruppen auf der ganzen Welt diese ungewöhnliche Legierung mithilfe hochauflösender Elektronenmikroskopie. Sie alle bestätigten die ideale Homogenität der Substanz, in der die Symmetrie 5. Ordnung in makroskopischen Bereichen mit Abmessungen nahe denen von Atomen (mehrere zehn Nanometer) erhalten blieb.

Nach modernen Ansichten wurde das folgende Modell zur Ermittlung der Kristallstruktur eines Quasikristalls entwickelt. Dieses Modell basiert auf dem Konzept eines „Grundelements“. Nach diesem Modell ist ein inneres Ikosaeder aus Aluminiumatomen von einem äußeren Ikosaeder aus Manganatomen umgeben. Ikosaeder sind durch Oktaeder aus Manganatomen verbunden. Das „Grundelement“ enthält 42 Aluminiumatome und 12 Manganatome. Während des Erstarrungsprozesses kommt es zur schnellen Bildung von „Grundelementen“, die durch starre oktaedrische „Brücken“ schnell miteinander verbunden werden. Denken Sie daran, dass die Flächen des Ikosaeders gleichseitige Dreiecke sind. Damit sich eine oktaedrische Manganbrücke bilden kann, ist es notwendig, dass zwei solcher Dreiecke (eines in jeder Zelle) nahe genug beieinander liegen und parallel ausgerichtet sind. Als Ergebnis eines solchen physikalischen Prozesses entsteht eine quasikristalline Struktur mit „ikosaedrischer“ Symmetrie.

In den letzten Jahrzehnten wurden viele Arten quasikristalliner Legierungen entdeckt. Neben solchen mit „ikosaedrischer“ Symmetrie (5. Ordnung) gibt es auch Legierungen mit dekagonaler Symmetrie (10. Ordnung) und zwölfeckiger Symmetrie (12. Ordnung). Die physikalischen Eigenschaften von Quasikristallen werden erst seit kurzem untersucht.

Welche praktische Bedeutung hat die Entdeckung von Quasikristallen? Wie in Gratias oben erwähntem Artikel erwähnt, „Die mechanische Festigkeit quasikristalliner Legierungen nimmt stark zu; das Fehlen von Periodizität führt zu einer Verlangsamung der Ausbreitung von Versetzungen im Vergleich zu herkömmlichen Metallen... Diese Eigenschaft ist von großer praktischer Bedeutung: Die Verwendung der Ikosaederphase ermöglicht die Herstellung leichter und sehr fester Legierungen durch Einbringen kleiner Partikel von Quasikristalle in die Aluminiummatrix.“

Welche methodische Bedeutung hat die Entdeckung von Quasikristallen? Erstens ist die Entdeckung der Quasikristalle ein Moment des großen Triumphs der „Dodekaeder-Ikosaeder-Doktrin“, die die gesamte Geschichte der Naturwissenschaften durchdringt und die Quelle tiefgreifender und nützlicher wissenschaftlicher Ideen ist. Zweitens zerstörten Quasikristalle die traditionelle Vorstellung einer unüberwindbaren Kluft zwischen der Welt der Mineralien, in der die „fünfeckige“ Symmetrie verboten war, und der Welt der belebten Natur, in der die „fünfeckige“ Symmetrie eine der häufigsten ist. Und wir sollten nicht vergessen, dass der Hauptanteil des Ikosaeders der „Goldene Schnitt“ ist. Und die Entdeckung von Quasikristallen ist eine weitere wissenschaftliche Bestätigung dafür, dass möglicherweise der „goldene Anteil“, der sich sowohl in der Welt der belebten Natur als auch in der Welt der Mineralien manifestiert, den Hauptanteil des Universums darstellt.

Als Dan Shekhtman experimentelle Beweise für die Existenz von Quasikristallen lieferte Ikosaeder-Symmetrie, Physiker auf der Suche nach einer theoretischen Erklärung für das Phänomen der Quasikristalle, machten auf eine mathematische Entdeckung aufmerksam, die der englische Mathematiker Roger Penrose zehn Jahre zuvor gemacht hatte. Als „flaches Analogon“ von Quasikristallen haben wir uns entschieden Penrose-Fliesen Dabei handelt es sich um aperiodische, regelmäßige Strukturen, die aus „dicken“ und „dünnen“ Rauten bestehen und den Proportionen des „Goldenen Schnitts“ entsprechen. genau Penrose-Fliesen wurden von Kristallographen übernommen, um das Phänomen zu erklären Quasikristalle. Gleichzeitig ist die Rolle Penrose-Diamanten im Raum der Dreidimensionalität begann zu spielen Ikosaeder, mit deren Hilfe die dichte Füllung des dreidimensionalen Raums erfolgt.

Schauen wir uns das Fünfeck in Abb. genauer an. 8.

Abbildung 8. Pentagon

Nach dem Einzeichnen von Diagonalen kann das ursprüngliche Fünfeck als eine Reihe von drei Arten geometrischer Figuren dargestellt werden. In der Mitte befindet sich ein neues Fünfeck, das durch die Schnittpunkte der Diagonalen gebildet wird. Darüber hinaus ist das Pentagon in Abb. 8 enthält fünf gleichschenklige Dreiecke in gelber Farbe und fünf gleichschenklige Dreiecke in roter Farbe. Gelbe Dreiecke sind „golden“, weil das Verhältnis der Hüfte zur Basis dem Goldenen Schnitt entspricht; Sie haben spitze Winkel von 36° an der Spitze und spitze Winkel von 72° an der Basis. Rote Dreiecke sind ebenfalls „golden“, da das Verhältnis von Hüfte zu Basis dem Goldenen Schnitt entspricht; Sie haben an der Spitze einen stumpfen Winkel von 108° und an der Basis einen spitzen Winkel von 36°.

Verbinden wir nun zwei gelbe Dreiecke und zwei rote Dreiecke mit ihren Basen. Als Ergebnis erhalten wir zwei „goldene“ Raute. Der erste von ihnen (gelb) hat einen spitzen Winkel von 36° und einen stumpfen Winkel von 144° (Abb. 9).


(A)	(B)

Abbildung 9. " Goldene“ Rauten: a) „dünne“ Raute; (b) „dicke“ Raute

Diamant in Abb. Wir nennen es 9 dünne Raute, und die Raute in Abb. 9-b – dicke Raute.

Der englische Mathematiker und Physiker Rogers Penrose verwendete in Abb. „goldene“ Diamanten. 9 für den Bau von „goldenem“ Parkett, das so genannt wurde Penrose-Fliesen. Penrose-Kacheln sind eine Kombination aus dicken und dünnen Diamanten, wie in Abb. 10.

Abbildung 10. Penrose-Kacheln

Es ist wichtig, das zu betonen Penrose-Fliesen haben „fünfeckige“ Symmetrie oder Symmetrie 5. Ordnung, und das Verhältnis der Anzahl dicker zu dünnen Rauten tendiert zum goldenen Verhältnis!

Lassen Sie uns nun über eine weitere herausragende moderne Entdeckung auf dem Gebiet der Chemie sprechen. Diese Entdeckung wurde 1985 gemacht, also einige Jahre nach Quasikristallen. Die Rede ist von den sogenannten „Fullerenen“. Unter dem Begriff „Fullerene“ versteht man geschlossene Moleküle vom Typ C 60, C 70, C 76, C 84, bei denen sich alle Kohlenstoffatome auf einer sphärischen oder kugelförmigen Oberfläche befinden. In diesen Molekülen sind die Kohlenstoffatome an den Ecken regelmäßiger Sechsecke oder Fünfecke angeordnet, die die Oberfläche einer Kugel oder eines Sphäroids bedecken. Den zentralen Platz unter den Fullerenen nimmt das C 60-Molekül ein, das sich durch die größte Symmetrie und damit die größte Stabilität auszeichnet. In diesem Molekül, das dem Reifen eines Fußballs ähnelt und die Struktur eines regelmäßigen Ikosaederstumpfes hat (Abb. 2-e und Abb. 3), befinden sich die Kohlenstoffatome auf einer Kugeloberfläche an den Ecken von 20 regelmäßigen Sechsecken und 12 regelmäßige Fünfecke, sodass jedes Sechseck von drei Sechsecken und drei Fünfecken begrenzt wird und jedes Fünfeck von Sechsecken begrenzt wird.

Der Begriff „Fulleren“ geht auf den Namen des amerikanischen Architekten Buckminster Fuller zurück, der, wie sich herausstellte, solche Strukturen beim Bau von Gebäudekuppeln verwendete (eine weitere Verwendung des Ikosaederstumpfes!).

„Fullerene“ sind im Wesentlichen „künstliche“ Strukturen, die aus der physikalischen Grundlagenforschung hervorgegangen sind. Sie wurden erstmals von den Wissenschaftlern G. Croto und R. Smalley synthetisiert (die für diese Entdeckung 1996 den Nobelpreis erhielten). Aber sie wurden unerwartet in Gesteinen der präkambrischen Zeit entdeckt, das heißt, Fullerene erwiesen sich nicht nur als „menschengemachte“, sondern als natürliche Formationen. Mittlerweile werden Fullerene in Laboren verschiedener Länder intensiv untersucht und versucht, die Bedingungen für ihre Entstehung, Struktur, Eigenschaften und mögliche Anwendungsgebiete zu ermitteln. Der am besten untersuchte Vertreter der Fullerenfamilie ist Fulleren-60 (C 60) (manchmal auch Buckminster-Fulleren genannt). Fullerene C 70 und C 84 sind ebenfalls bekannt. Fulleren C 60 wird durch Verdampfen von Graphit in einer Heliumatmosphäre gewonnen. Dadurch entsteht ein feines, rußartiges Pulver, das 10 % Kohlenstoff enthält; wenn es in Benzol gelöst wird, ergibt das Pulver eine rote Lösung, aus der C 60-Kristalle wachsen. Fullerene haben ungewöhnliche chemische und physikalische Eigenschaften. So entsteht bei hohem Druck C 60 hart, wie Diamant. Seine Moleküle bilden eine kristalline Struktur, als ob sie aus ideal glatten Kugeln bestünden, die in einem kubisch-flächenzentrierten Gitter frei rotieren. Dank dieser Eigenschaft kann C 60 als Festschmierstoff verwendet werden. Fullerene haben auch magnetische und supraleitende Eigenschaften.

Russische Wissenschaftler A.V. Eletsky und B.M. Smirnov weist in seinem Artikel „Fullerenes“, veröffentlicht in der Zeitschrift „Uspekhi Fizicheskikh Nauk“ (1993, Band 163, Nr. 2), darauf hin „Fullerene, deren Existenz nachgewiesen ist Mitte der 1980er Jahre wurde eine wirksame Isolationstechnologie entwickelt, für die 1990 eine wirksame Isolationstechnologie entwickelt wurde. Heute ist sie Gegenstand intensiver Forschung von Dutzenden wissenschaftlicher Gruppen. Die Ergebnisse dieser Studien werden von Anwendungsfirmen genau überwacht. Da diese Modifikation des Kohlenstoffs den Wissenschaftlern eine Reihe von Überraschungen beschert hat, wäre es unklug, die Prognosen und möglichen Konsequenzen der Untersuchung von Fullerenen im nächsten Jahrzehnt zu diskutieren, aber man sollte auf neue Überraschungen vorbereitet sein.“

Anzahl der Kantenseiten M

Die Anzahl der Flächen, die sich an einem Scheitelpunkt treffen N

Anzahl der Gesichter

Anzahl der Eckpunkte

Anzahl der Rippen

Anzahl der flachen Winkel auf der Oberfläche

Hexaeder (Würfel)

Dodekaeder

Matjuska Teja Krasek erhielt ihren BA in Malerei von der Hochschule für Bildende Künste (Ljubljana, Slowenien) und ist freiberufliche Künstlerin. Lebt und arbeitet in Ljubljana. Der Schwerpunkt ihrer theoretischen und praktischen Arbeit liegt auf der Symmetrie als Brückenkonzept zwischen Kunst und Wissenschaft. Ihre künstlerischen Arbeiten wurden auf zahlreichen internationalen Ausstellungen präsentiert und in internationalen Magazinen veröffentlicht (Leonardo Journal, Leonardo online).

M.T. Krašek bei seiner Ausstellung „Kaleidoskopische Düfte“, Ljubljana, 2005

Die künstlerische Kreativität von Mutter Teia Krashek ist mit verschiedenen Arten von Symmetrie, Penrose-Kacheln und -Rhomben, Quasikristallen, dem Goldenen Schnitt als Hauptelement der Symmetrie, Fibonacci-Zahlen usw. verbunden. Mit Hilfe von Reflexion, Vorstellungskraft und Intuition versucht sie dies Wählen Sie neue Beziehungen, neue Strukturebenen, neue und andere Ordnungsarten in diesen Elementen und Strukturen aus. In ihrer Arbeit nutzt sie in großem Umfang Computergrafiken als sehr nützliches Werkzeug zur Schaffung von Kunstwerken, die eine Verbindung zwischen Wissenschaft, Mathematik und Kunst darstellen.

In Abb. 11 zeigt die Zusammensetzung von T.M. Krashek bezog sich auf Fibonacci-Zahlen. Wenn wir eine der Fibonacci-Zahlen (z. B. 21 cm) für die Seitenlänge des Penrose-Diamanten in dieser spürbar instabilen Komposition wählen, können wir beobachten, wie die Längen einiger Segmente in der Komposition eine Fibonacci-Folge bilden.

Abbildung 11. Mutter Teia Krashek „Fibonacci-Zahlen“, Leinwand, 1998.

Ein Großteil der künstlerischen Kompositionen des Künstlers ist Shechtman-Quasikristallen und Penrose-Gittern gewidmet (Abb. 12).


(A)	(B)


(V)	(G)

Abbildung 12. Die Welt von Teia Krashek: (a) Die Welt der Quasikristalle. Computergrafik, 1996.
(b) Sterne. Computergrafik, 1998 (c) 10/5. Leinwand, 1998 (d) Quasi-Würfel. Leinwand, 1999

Die Komposition Biogenesis, 2005 (Abb. 13) von Mutter Theia Krashek und Clifford Pickover zeigt ein Zehneck aus Penrose-Diamanten. Die Beziehungen zwischen Petroses Rauten können beobachtet werden; Jeweils zwei benachbarte Penrose-Diamanten bilden einen fünfeckigen Stern.

Abbildung 13. Mutter Theia Krashek und Clifford Pickover. Biogenese, 2005.

In dem Bild Double Star GA(Abbildung 14) Wir sehen, wie sich die Penrose-Kacheln zu einer zweidimensionalen Darstellung eines potenziell hyperdimensionalen Objekts mit einer zehneckigen Basis verbinden. Bei der Darstellung des Gemäldes verwendete der Künstler die von Leonardo da Vinci vorgeschlagene Methode der starren Kante. Es ist diese Darstellungsweise, die es ermöglicht, in der Projektion des Bildes auf eine Ebene eine große Anzahl von Fünfecken und Pentakeln zu sehen, die durch die Projektionen einzelner Kanten von Penrose-Rhombussen gebildet werden. Darüber hinaus sehen wir in der Projektion des Bildes auf eine Ebene ein Zehneck, das aus den Kanten von 10 benachbarten Penrose-Rhombussen gebildet wird. Im Wesentlichen hat Mutter Teia Krashek auf diesem Bild ein neues regelmäßiges Polyeder gefunden, das möglicherweise tatsächlich in der Natur existiert.

Abbildung 14. Mutter Teia Krashek. Double Star GA

In Krasheks Komposition „Stars for Donald“ (Abb. 15) können wir das endlose Zusammenspiel von Penrose-Rauten, Pentagrammen und Fünfecken beobachten, die zum Mittelpunkt der Komposition hin abnehmen. Der Goldene Schnitt wird auf unterschiedlichen Skalen auf vielfältige Weise dargestellt.

Abbildung 15. Mutter Theia Krashek „Stars for Donald“, Computergrafik, 2005.

Die künstlerischen Kompositionen von Mutter Teia Krashek erregten große Aufmerksamkeit bei Vertretern von Wissenschaft und Kunst. Ihre Kunst wird mit der Kunst von Maurits Escher gleichgesetzt und der slowenische Künstler wird als „osteuropäischer Escher“ und „slowenisches Geschenk“ an die Weltkunst bezeichnet.

Stakhov A.P. „Der Da Vinci-Code“, platonische und archimedische Körper, Quasikristalle, Fullerene, Penrose-Gitter und die künstlerische Welt von Mutter Teia Krashek // „Akademie des Trinitarismus“, M., El Nr. 77-6567, Veröffentlichung 12561, 07.11. 2005

Ein regelmäßiges Polygon ist eine flache Figur, die durch gerade Linien mit gleichen Seiten und gleichen Innenwinkeln begrenzt wird. Es ist klar, dass es unendlich viele solcher Figuren gibt. Ein Analogon eines regelmäßigen Vielecks im dreidimensionalen Raum ist ein regelmäßiges Polyeder: eine räumliche Figur mit identischen Flächen in Form regelmäßiger Vielecke und identischen Polyederwinkeln an den Eckpunkten. Auf den ersten Blick mag es scheinen, als gäbe es auch unendlich viele Polyeder, aber in Wirklichkeit sind es, wie Lewis Carroll es einmal ausdrückte, „trotzig wenige“. Es gibt nur fünf regelmäßige konvexe Polyeder: regelmäßiges Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (Abb. 90).

Die erste systematische Untersuchung der fünf regelmäßigen Körper wurde offenbar in der Antike von den Pythagoräern durchgeführt. Ihrer Ansicht nach liegen Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Ikosaeder den traditionellen vier Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser zugrunde. Aus unbekannten Gründen identifizierten die Pythagoräer Dodekaer mit dem gesamten Universum. Da die Ansichten der Pythagoräer in Platons Dialog Timaios ausführlich dargelegt werden, werden regelmäßige Polyeder üblicherweise als platonische Körper bezeichnet. Die Schönheit und die erstaunlichen mathematischen Eigenschaften der fünf regulären Körper haben auch nach Platon immer wieder die Aufmerksamkeit von Wissenschaftlern auf sich gezogen. Die Analyse der platonischen Körper ist der Höhepunkt des letzten Buches von Euklids Elementen. In seiner Jugend glaubte Johannes Kepler, dass man die Abstände zwischen den Bahnen der sechs zu seiner Zeit bekannten Planeten ermitteln könne, indem man fünf regelmäßige Körper in einer bestimmten Reihenfolge in die Umlaufbahn des Saturn einschreibe. Heutzutage schreiben Mathematiker den platonischen Körpern keine mystischen Eigenschaften zu, sondern untersuchen die Symmetrieeigenschaften regelmäßiger Polyeder mit Methoden der Gruppentheorie. Platonische Körper spielen auch in der Spaßmathematik eine herausragende Rolle. Betrachten wir zumindest kurz einige damit zusammenhängende Probleme.

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, einen versiegelten Umschlag auszuschneiden und zu einem Tetraeder zu falten. Hier ist die einfachste davon. Zeichnen Sie auf beiden Seiten des Umschlags an derselben Kante ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 91) und schneiden Sie den Umschlag entlang der gestrichelten Linie. Wir brauchen seine rechte Hälfte nicht, aber wir biegen die linke Hälfte entlang der Seiten des gezeichneten Dreiecks (auf beiden Seiten des Umschlags) und kombinieren die Punkte A und B. Das Tetraeder ist fertig!

Das in Abb. 92, hängt auch mit dem Tetraeder zusammen. Der in Abb. gezeigte Scan. 92 links, kann aus Kunststoff oder dickem Papier geschnitten werden. Machen Sie zwei solcher Scans. (In der Zeichnung sind alle gestrichelten Linien bis auf eine, die deutlich länger ist als die anderen, gleich lang.) Falten wir den Scan und biegen ihn entlang der in der Zeichnung angegebenen Linien. Die Kanten, die sich entlang der in der Zeichnung als durchgezogene Linie dargestellten Kanten kreuzen, werden mit Klebeband zusammengeklebt. Als Ergebnis erhalten wir den in Abb. gezeigten geometrischen Körper. 92 auf der rechten Seite. Sie müssen versuchen, aus zwei solchen Körpern ein Tetraeder zu bilden. Ein Mathematiker, den ich kenne, nervt seine Freunde gerne mit einem eher platten Witz. Er setzt zwei Modelle aus zwei Mustern zusammen, formt daraus ein Tetraeder, legt es auf den Tisch und hält das dritte Muster diskret in der Hand. Dann drückt er mit einem Handschlag das Tetraeder flach und legt gleichzeitig die dritte Entwicklung auf den Tisch. Es liegt auf der Hand, dass seine Freunde keinen Tetraeder aus drei Blöcken zusammensetzen können.

Von den verschiedenen interessanten Problemen, die mit dem Würfel verbunden sind, möchte ich nur das Rätsel der Berechnung der Impedanz eines Stromkreises erwähnen, der durch die Kanten eines Drahtwürfels gebildet wird, und die erstaunliche Tatsache, dass der Würfel durch ein Loch in einem kleineren Würfel passen kann. Wenn Sie den Würfel tatsächlich so nehmen, dass eine seiner Spitzen direkt auf Sie gerichtet ist und die Kanten ein regelmäßiges Sechseck bilden, werden Sie feststellen, dass im Schnitt senkrecht zur Sichtlinie genügend Platz für ein quadratisches Loch ist ist etwas größer als die Kante des Würfels selbst. Das elektrische Rätsel beinhaltet die in Abb. gezeigte Schaltung. 93. Der Widerstand jeder Kante eines Würfels beträgt ein Ohm. Wie groß ist der Widerstand des gesamten Stromkreises, wenn Strom von A nach B fließt? Elektroingenieure haben viel Papier damit verschwendet, dieses Problem zu lösen, obwohl es mit dem richtigen Ansatz nicht schwierig ist, eine Lösung zu finden.

Alle fünf platonischen Körper wurden als Würfel verwendet. Nach dem Würfel wurden die Würfel in Oktaederform am beliebtesten. Wie man einen solchen Knochen herstellt, ist in Abb. dargestellt. 94. Nachdem der Streifen gezeichnet und ausgeschnitten und die Kanten nummeriert wurden, wird er entlang der Kanten gefaltet und die „offenen“ Kanten werden mit transparentem Klebeband zusammengeklebt. Dadurch entsteht ein Miniatur-Oktaeder. Die Summe der Punkte auf gegenüberliegenden Seiten eines oktaedrischen Würfels beträgt wie bei einem regulären kubischen Würfel sieben. Wenn Sie möchten, können Sie mit einem neuen Würfel einen lustigen Trick ausführen und die gewünschte Zahl erraten. Bitten Sie jemanden, eine beliebige Zahl von 0 bis 7 zu erraten. Legen Sie das Oktaeder so auf den Tisch, dass der Ratende nur die Seiten mit den Zahlen 1, 3, 5 und 7 sehen kann, und fragen Sie, ob er die Zahl, die er im Kopf hat, sehen kann. Antwortet er mit „Ja“, merken Sie sich die Zahl 1. Anschließend drehen Sie das Oktaeder um, sodass der Ratende die Gesichter mit den Zahlen 2, 3, 6 und 7 sehen kann, und stellen die gleiche Frage noch einmal. Diesmal bedeutet eine bejahende Antwort, dass Sie sich die Zahl 2 merken müssen. Zum dritten (und letzten) Mal wiederholen Sie Ihre Frage und drehen das Oktaeder so, dass der Ratende die Gesichter mit den Zahlen 4, 5, 6 und sehen kann 7. Die bejahende Antwort wird in diesem Fall auf 4 geschätzt. Durch Addition der Punkte aller drei Antworten erhalten Sie die Zahl, die Ihr Freund im Sinn hat. Dieser Trick kann von jedem, der mit dem binären Zahlensystem vertraut ist, leicht erklärt werden. Um es einfacher zu machen, die gewünschten Positionen des Oktaeders zu finden, markieren Sie irgendwie die drei Eckpunkte, die Ihnen zugewandt sein sollten, wenn Sie dem Betrachter gegenüberstehen (der die Zahl im Kopf hat).

Es gibt andere, ebenso interessante Möglichkeiten, die Flächen eines oktaedrischen Würfels zu nummerieren. Beispielsweise können die Zahlen 1 bis 8 so angeordnet werden, dass die Summe der Zahlen auf den vier Flächen, die an einem gemeinsamen Scheitelpunkt zusammenlaufen, konstant ist. Diese Summe ist immer gleich 18, aber es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, die Flächen zu nummerieren (wir berücksichtigen nicht Knochen, die sich bei Drehungen und Spiegelungen ineinander verwandeln), um unterschiedlich zu sein und die obige Bedingung zu erfüllen.

Eine elegante Möglichkeit, ein Dodekaeder zu konstruieren, wird in Hugo Steinhaus‘ Buch „Mathematisches Kaleidoskop“* vorgeschlagen. Aus dickem Karton müssen Sie zwei in Abb. gezeigte Formen ausschneiden. 95. Die Seiten der Fünfecke sollten ungefähr sein 2,5-3 cm. Schneiden Sie den Karton mit der Klinge eines Messers vorsichtig entlang der Seiten des inneren Fünfecks ein, sodass sich die Entwicklung leicht zur Seite biegen lässt. Nachdem wir die zweite Reibahle auf die gleiche Weise vorbereitet haben, platzieren wir sie so auf der ersten, dass die Vorsprünge der zweiten Reibahle den Aussparungen der ersten gegenüberliegen. Halten Sie beide Reibahlen mit der Hand und befestigen Sie sie mit einem Gummiband, indem Sie es abwechselnd über das hervorstehende Ende der einen Reibahle und dann unter das hervorstehende Ende der anderen führen. Wenn Sie den Druck Ihrer Hand auf die Kehrwalzen nachlassen, werden Sie sehen, wie wie von Geisterhand ein Dodekaeder vor Ihren Augen erscheint.

* (Dieses Spielzeug war nur in der ersten Ausgabe des Buches enthalten. G. Steinhaus. Es kommt nicht in weiteren Auflagen vor, auch nicht in der russischen (1949). Notiz Hrsg. )

Lassen Sie uns das Dodekaedermodell so einfärben, dass jedes Gesicht nur mit einer Farbe bemalt wird. Wie viele Farben kann man mindestens zum Färben eines Dodekaeders verwenden, wenn zwei benachbarte Flächen unterschiedliche Farben haben müssen? Antwort: Die kleinste Anzahl an Farben beträgt vier. Es ist leicht zu erkennen, dass es vier verschiedene Möglichkeiten gibt, ein Dodekaeder am wirtschaftlichsten einzufärben (in diesem Fall sind zwei farbige Dodekaeder Spiegelbilder der beiden anderen). Zum Färben eines Tetraeders sind ebenfalls vier Farben erforderlich, es gibt jedoch nur zwei Färbemöglichkeiten, wobei sich ein Tetraeder beim Spiegeln in ein anderes verwandelt. Ein Würfel kann mit drei Farben gefärbt werden, ein Oktaeder mit zwei Farben. Für jede dieser Karosserien gibt es nur eine Möglichkeit, sie am wirtschaftlichsten zu lackieren. Sie können das Ikosaeder mit nur drei Farben einfärben, dies ist jedoch auf nicht weniger als 144 Arten möglich. Nur bei sechs von ihnen stimmen die farbigen Ikosaeder mit ihren Spiegelreflexionen überein.

Betrachten wir ein weiteres Problem. Angenommen, eine Fliege, die an den 12 Kanten des Ikosaeders entlangläuft, kriecht mindestens einmal an jeder davon entlang. Was ist die kürzeste Distanz, die eine Fliege zurücklegen muss, um alle Kanten des Ixaeders zu erreichen? Es ist nicht notwendig, zum Ausgangspunkt zurückzukehren; Einige Kanten muss die Fliege zweimal durchlaufen (von allen fünf platonischen Körpern hat nur das Oktaeder die Eigenschaft, dass seine Kanten umgangen werden können, indem man jede von ihnen nur einmal besucht). Zur Lösung des Problems kann die Projektion des Ikosaeders auf eine Ebene beitragen (Abb. 96). Bedenken Sie jedoch, dass die Länge aller Rippen gleich ist.

Da es immer noch Spinner gibt, die versuchen, Lösungen für die Probleme der Winkeldreiteilung und der Quadratur eines Kreises zu finden, obwohl längst bewiesen ist, dass weder das eine noch das andere unmöglich ist, erscheint es seltsam, dass niemand versucht, sie zu finden neue reguläre Polyeder jenseits der bereits bekannten fünf platonischen Körper. Einer der Gründe für diese paradoxe Situation ist, dass es äußerst leicht zu verstehen ist, warum es nicht mehr als fünf reguläre Körper gibt. Der folgende einfache Beweis für die Existenz von höchstens fünf regulären Körpern geht auf Euklid zurück.

Ein Polyederwinkel eines regelmäßigen Körpers muss durch mindestens drei Flächen gebildet werden. Betrachten wir die einfachste aller Flächen: ein gleichseitiges Dreieck. Ein Polyederwinkel kann konstruiert werden, indem drei, vier oder fünf solcher Dreiecke nebeneinander platziert werden. Wenn die Anzahl der Dreiecke mehr als fünf beträgt, beträgt die Summe der an den Scheitelpunkt des Polyeders angrenzenden Ebenenwinkel 360° oder sogar mehr, und daher können solche Dreiecke keinen Polyederwinkel bilden. Es gibt also nur drei Möglichkeiten, ein regelmäßiges konvexes Polyeder mit dreieckigen Flächen zu konstruieren. Wenn wir versuchen, einen polyedrischen Winkel aus quadratischen Flächen zu konstruieren, werden wir sehen, dass dies mit nur drei Flächen möglich ist. Mit ähnlichen Überlegungen ist es nicht schwer zu zeigen, dass drei und nur drei fünfeckige Flächen an einem Scheitelpunkt eines regelmäßigen Vielecks zusammenlaufen können. Die Flächen dürfen nicht die Form von Polygonen mit mehr als 5 Seiten haben, da wir beispielsweise durch die Aneinanderreihung von drei Sechsecken einen Gesamtwinkel von 360° erhalten.

Die gerade dargelegte Begründung beweist nicht die Möglichkeit der Konstruktion von fünf regulären Körpern; sie erklärt nur, warum es nicht mehr als fünf solcher Körper geben kann. Eine subtilere Überlegung führt uns zu dem Schluss, dass es im vierdimensionalen Raum nur sechs reguläre Polytope gibt (diese werden als Analoga dreidimensionaler regulärer Körper bezeichnet). Es ist interessant festzustellen, dass es in einem Raum mit beliebig vielen Dimensionen größer als 4 nur drei reguläre Polytope gibt: Analoga des Tetraeders, des Würfels und des Oktaeders.

Die Schlussfolgerung liegt unwillkürlich nahe. Die Mathematik schränkt die Vielfalt der Strukturen, die in der Natur existieren können, stark ein. Bewohner weiter als die am weitesten entfernte Galaxie können nicht würfeln, da diese die Form eines uns unbekannten regelmäßigen konvexen Polyeders haben. Einige Theologen gaben ehrlich zu, dass nicht einmal Gott selbst den sechsten platonischen Körper im dreidimensionalen Raum errichten konnte. Ebenso setzt die Geometrie der Vielfalt der Kristallstrukturen unüberwindbare Grenzen. Vielleicht wird der Tag kommen, an dem Physiker die mathematischen Beschränkungen entdecken, denen die Anzahl der Elementarteilchen und die Grundgesetze der Natur genügen müssen. Natürlich hat heute niemand mehr die geringste Ahnung, wie die Mathematik diese oder jene Struktur namens „Leben“ unmöglich machen kann (sofern die Mathematik überhaupt in diesen Kreis von Phänomenen involviert ist). Es ist beispielsweise durchaus möglich, dass das Vorhandensein von Kohlenstoffverbindungen eine unabdingbare Voraussetzung für die Entstehung von Leben ist. Wie dem auch sei, die Menschheit bereitet sich im Voraus auf die Idee der Möglichkeit der Existenz von Leben auf anderen Planeten vor. Die platonischen Körper erinnern daran, dass Mars und Venus möglicherweise nicht viel von dem enthalten, woran unsere Weisen denken.

Antworten

Der Gesamtwiderstand des durch die Kanten des Würfels gebildeten Stromkreises (der Widerstand jeder Kante). 1 Ohm) Ist 5 / 6 Ohm. Schließen wir die drei Eckpunkte des Würfels, die A am nächsten liegen, kurz und machen dasselbe mit den drei Eckpunkten, die B am nächsten liegen. Wir erhalten zwei Dreiecksketten. In keinem von ihnen fließt Strom, da sie Äquipotentialpunkte verbinden. Es ist leicht zu erkennen, dass zwischen Scheitelpunkt A und dem ihm am nächsten liegenden Dreieckskreis drei Widerstände parallel geschaltet sind 1 Omu(totaler Widerstand 1/3 Ohm), zwischen zwei Dreieckskreisen sind 6 Widerstände parallel geschaltet 1 Omu(Gesamtwiderstand dieses Abschnitts des Stromkreises 1/6 Ohm) und zwischen dem zweiten Dreieckskreis und Punkt B sind 3 parallel geschaltete Leiter entlang 1 Omu(also insgesamt 1/3 Ohm). Somit ist der Gesamtwiderstand des Stromkreises zwischen den Punkten A und B gleich 5 / 6 Ohm.

Sowohl die Problembedingung als auch die Lösungsmethode lassen sich leicht auf den Fall einer Kette verallgemeinern, die aus den Kanten der vier verbleibenden platonischen Körper besteht.

Lassen Sie uns drei Möglichkeiten zur Nummerierung der Flächen eines Oktaeders auflisten, die die Bedingung erfüllen: Die Summe der Zahlen auf den Flächen neben einem beliebigen Scheitelpunkt muss gleich 18 sein. Die Zahlen, die beim Umrunden (im oder gegen den Uhrzeigersinn) um einen Scheitelpunkt auftreten: 6 , 7, 2, 3; beim Umrunden des gegenüberliegenden Scheitelpunkts: 1, 4, 5, 8 (6 neben 1, 7 neben 4 usw.); beim Umrunden der restlichen Eckpunkte: 1, 7, 2, 8 und 4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 und 6, 1, 8, 3. Ein einfacher Beweis dafür, dass das Oktaeder der einzige der fünf regulären Körper ist, dessen Flächen so nummeriert werden können, dass die Summe der Zahlen auf den Flächen neben jedem Scheitelpunkt ist ist, kann im Buch nachgelesen werden W. W. Rosenball * .

* (W. W. Rouse Ball, Mathematische Erholungen und Essays, London, MacMillan, New York, St. Martin's Press, 1956, S. 418.)

Die kürzeste Distanz, die eine Fliege zurücklegen muss, um alle Kanten des Ikosaeders zu besuchen, beträgt 35 Einheiten (eine entspricht der Länge der Kante des Ikosaeders). Durch das Löschen von fünf Kanten des Ikosaeders (z. B. Kanten FM, BE, JA, ID und HC in Abb. 96) erhalten wir einen Graphen, in dem eine ungerade Anzahl von Kanten nur in zwei Punkten G und K konvergieren. Daher ist a Die Fliege kann diesen gesamten Graphen durchqueren (indem sie ihren Weg zum Punkt G beginnt und ihn am Punkt K beendet), wobei sie jede Kante nur einmal passiert. Die von der Fliege zurückgelegte Strecke beträgt 25 Einheiten. Dies ist der längste Weg, bei dem alle Abschnitte einmal zurückgelegt werden. Wenn eine Fliege auf ihrem Weg auf gelöschte Kanten stößt, fügen wir diese einfach dem Weg von G nach K hinzu, vorausgesetzt, die Fliege passiert sie zweimal (in entgegengesetzter Richtung). Fünf gelöschte Kanten, die zweimal durchlaufen werden, ergeben eine Addition von 10 Einheiten zum bereits zurückgelegten Weg. Insgesamt sind es 35 Einheiten.

Anmerkung

Der herausragende russische Philosoph Alexei Losev, ein Forscher der Ästhetik der Antike und der Renaissance, formulierte das „goldene“ Paradigma der alten Griechen mit folgenden Worten: „Aus der Sicht Platons, und zwar aus der Sicht von In der gesamten antiken Kosmologie ist die Welt eine Art proportionales Ganzes, das dem Gesetz der harmonischen Teilung unterliegt – dem Goldenen Schnitt.“ Die neuesten Entdeckungen der modernen Wissenschaft, basierend auf den platonischen Körpern, dem Goldenen Schnitt, Fibonacci-Zahlen: Fullerene, Nobelpreis – 1996; Quasikristalle, Nobelpreis – 2011; experimenteller Nachweis der Existenz der Harmonie des „Goldenen Schnitts“ in der Quantenwelt; Erkennung des Fibonacci-Musters im Periodensystem; „Proklos‘ Hypothese“ und ein neuer Blick auf Euklids „Elemente“ und die Entwicklungsgeschichte der Mathematik, beginnend mit Euklid; hyperbolische Fibonacci-Funktionen und die neue geometrische Theorie der Phyllotaxis; Pascals Dreieck und verallgemeinerte Fibonacci-Zahlen; verallgemeinerte goldene Proportionen und das Gesetz der strukturellen Harmonie von Systemen; Lambda-Fibonacci-Zahlen als neue Klasse ganzzahliger Folgen mit einzigartigen mathematischen Eigenschaften; „metallische Proportionen“ und die allgemeine Theorie harmonischer hyperbolischer Funktionen; Lösung von Hilberts viertem Problem und Suche nach harmonischen hyperbolischen Naturwelten; „goldene“ Matrizen, Fibonacci-Lorentz-Transformationen und die „goldene“ Interpretation der speziellen Relativitätstheorie; „goldene“ Genmatrizen; algorithmische Messtheorie, Fibonacci-Codes und Computer; Zahlensysteme mit irrationalen Grundlagen, ternäre spiegelsymmetrische Arithmetik und „goldene“ Zahlentheorie als neue Richtung in der Zahlentheorie; verallgemeinerte Fibonacci-Matrizen und neue Kodierungstheorie; schließlich „Mathematik der Harmonie“ als neue interdisziplinäre Richtung, die auf Euklids „Prinzipien“ zurückgeht – all dies sind „Gesichter göttlichen Ausmaßes“ in der modernen Wissenschaft, die ein allgemeines Bild ihrer Bewegung in Richtung der „goldenen“ wissenschaftlichen Revolution zeichnen, die zusammen einen der wichtigsten Trends in der Entwicklung der modernen Wissenschaft widerspiegeln – eine Rückkehr zu Pythagoras, Platon und Euklid.

TeilIII

„Die Mathematik besitzt nicht nur Wahrheit, sondern auch hohe Schönheit – Schönheit, die geschärft und streng, erhaben rein und nach wahrer Vollkommenheit strebend ist, die nur für die größten Beispiele der Kunst charakteristisch ist.“

Bertrand Russell

Vorwort

Jeder von uns musste mehr als einmal darüber nachdenken, warum die Natur so erstaunliche ästhetische Strukturen schaffen kann, die das Auge erfreuen und erfreuen. Warum schaffen Künstler, Dichter, Komponisten und Architekten von Jahrhundert zu Jahrhundert erstaunliche Kunstwerke? Was ist das Geheimnis und welche Gesetze liegen diesen harmonischen Geschöpfen zugrunde? Was ist „Harmonie“? Und hat es einen mathematischen Ausdruck? Es wurde geschaffen, um die „Welt der Harmonie“ in der Antike, vor allem im antiken Griechenland, nachzubilden Mathematik der Harmonie, Elemente davon wurden in der modernen Wissenschaft in vielen Büchern wiederbelebt, darunter auch im Buch Alexej Stachow “ Der Mathematik von Harmonie. Aus Euklid Zu Zeitgenössisch Mathematik Und Computer Wissenschaft” , erschienen 2009 bei einem der renommiertesten Wissenschaftsverlage der Welt, „World Scientific“.

Der Zweck dieser Veröffentlichung, die sich an ein breites Publikum richtet, besteht darin, das Konzept der „Harmonie“, das zu Beginn der Entwicklung der menschlichen Zivilisation in die Wissenschaft eingeführt wurde, allgemein zu erklären und über die Geschichte dieses Trends in der Antike zu berichten , das Mittelalter, die Renaissance, im 19. und 20. Jahrhundert und führen in das Spektrum der Ideen und Anwendungen der modernen „Mathematik der Harmonie“ ein, die sich im 21. Jahrhundert aktiv weiterentwickelt. . Natürlich ist die „Mathematik der Harmonie“ ein Teilgebiet der Mathematik; Daher konnten die Autoren in dem dieser mathematischen Disziplin gewidmeten Artikel nicht vollständig auf mathematische Formeln verzichten. Allerdings ist „Mathematik der Harmonie“ eine ziemlich einfache (man könnte sagen „elementare“) Mathematik, die mathematische Formeln verwendet, die für Gymnasiasten zugänglich sind. Und die Autoren hoffen auf die Nachsicht unserer Leser.

Der Artikel besteht aus 4 Teilen:

Teil III. Platonische Körper, die „Proclus-Hypothese“, ein neuer Blick auf Euklids „Elemente“, Fullerene und Quasikristalle

Teil IV. Die Rolle der „Mathematik der Harmonie“ in der Entwicklung der modernen Wissenschaft

TeilIII. Platonische Körper, die „Proclus-Hypothese“, ein neuer Blick auf Euklids „Elemente“, Fullerene und Quasikristalle

7. Platonische Körper

Regelmäßige Vielecke und Polyeder

Was ist ein Polygon und ein Polyeder? Um diese Frage zu beantworten, erinnern wir uns daran, dass Geometrie selbst manchmal als die Wissenschaft des Raums und der räumlichen Figuren – zweidimensional und dreidimensional – definiert wird. Eine zweidimensionale Figur kann als eine Reihe gerader Segmente definiert werden, die einen Teil einer Ebene begrenzen. Eine solche flache Figur nennt man Polygon. Daraus folgt, dass ein Polyeder als eine Menge von Polygonen definiert werden kann, die einen Teil des dreidimensionalen Raums begrenzen. Die Polygone, die ein Polyeder bilden, werden seine Flächen genannt.

Wissenschaftler interessieren sich seit langem für ideale oder regelmäßige Vielecke, also Vielecke mit gleichen Seiten und gleichen Winkeln. Es kann das einfachste regelmäßige Vieleck betrachtet werden gleichseitiges Dreieck, da es die geringste Anzahl von Seiten hat, die einen Teil der Ebene begrenzen können. Das allgemeine Bild der regelmäßigen Vielecke, die uns neben dem gleichseitigen Dreieck interessieren, ist: Quadrat(vier Seiten) Pentagon(fünf Seiten) Hexagon(sechs Seiten) Achteck(acht Seiten) Zehneck(zehn Seiten) usw. Offensichtlich gibt es theoretisch keine Beschränkungen hinsichtlich der Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Vielecks, das heißt, die Anzahl der regelmäßigen Vielecke ist unendlich.

Was ist es regelmäßiges Polyeder? Ein regelmäßiges Polyeder ist ein solches Polyeder, dessen Flächen alle gleich (oder kongruent) sind und gleichzeitig regelmäßige Vielecke sind. Wie viele regelmäßige Polyeder gibt es? Auf den ersten Blick ist die Antwort auf diese Frage sehr einfach: Es gibt so viele regelmäßige Vielecke wie es gibt. Dies ist jedoch nicht der Fall. In Euklids Elementen finden wir einen strengen Beweis dafür, dass es nur fünf konvexe regelmäßige Polyeder gibt und ihre Flächen nur drei Arten regelmäßiger Polyeder sein können: Dreiecke, Quadrate und Fünfecke.

Regelmäßige Polyeder in Euklids Elementen

Viele Bücher widmen sich der Theorie der Polyeder. Eines der bekanntesten ist das Buch des englischen Mathematikers M. Wenninger „Models of Polyhedra“. Das Buch beginnt mit einer Beschreibung des sogenannten regelmäßige Polyeder, also Polyeder, die aus den einfachsten regelmäßigen Vielecken desselben Typs bestehen. Diese Polyeder werden üblicherweise aufgerufen Platonische Körper, benannt nach dem antiken griechischen Philosophen Platon, der in seiner Kosmologie regelmäßige Polyeder verwendete. Wir beginnen unsere Betrachtung mit regelmäßigen Polyedern, deren Flächen gleichseitige Dreiecke sind (Abb. 21).

Abb.21. Platonische Körper: Tetraeder, Oktaeder, Würfel, Dodekaeder, Ikosaeder

Das erste (und einfachste) unter den regulären Polyedern ist Tetraeder. In einem Tetraeder treffen sich drei gleichseitige Dreiecke an einem Eckpunkt; gleichzeitig bilden ihre Basen ein neues gleichseitiges Dreieck. Das Tetraeder hat die kleinste Anzahl an Flächen unter den platonischen Körpern und ist das dreidimensionale Analogon eines flachen regelmäßigen Dreiecks, das unter den regelmäßigen Vielecken die kleinste Anzahl an Seiten hat.

Der nächste Körper, der aus gleichseitigen Dreiecken besteht, wird aufgerufen Oktaeder. In einem Oktaeder treffen sich vier Dreiecke an einer Ecke; Das Ergebnis ist eine Pyramide mit viereckiger Grundfläche. Wenn man zwei solcher Pyramiden mit ihren Grundflächen verbindet, erhält man einen symmetrischen Körper mit acht dreieckigen Flächen – Oktaeder.

Jetzt können Sie versuchen, fünf gleichseitige Dreiecke an einem Punkt zu verbinden. Das Ergebnis wird eine Figur mit 20 dreieckigen Flächen sein - Ikosaeder.

Die folgende regelmäßige Polygonform ist Quadrat. Wenn wir drei Quadrate an einem Punkt verbinden und dann drei weitere hinzufügen, erhalten wir eine perfekte Form mit sechs Seiten namens Hexaeder oder Würfel.

Schließlich gibt es noch eine weitere Möglichkeit, ein regelmäßiges Polyeder zu konstruieren, basierend auf der Verwendung des folgenden regelmäßigen Polyeders: Pentagon. Wenn wir 12 Fünfecke so zusammenfassen, dass sich in jedem Punkt drei Fünfecke treffen, erhalten wir einen weiteren platonischen Körper, genannt Dodekaeder.

Das nächste reguläre Polygon ist Hexagon. Wenn wir jedoch drei Sechsecke an einem Punkt verbinden, erhalten wir eine Ebene, das heißt, es ist unmöglich, aus Sechsecken eine dreidimensionale Figur zu bauen. Alle anderen regulären Polygone über einem Sechseck können überhaupt keine Körper bilden. Im Wesentlichen wiederholten wir die Argumentation, die Euklid in Buch XIII seiner Elemente ausführte. Dieses Buch ist der Darstellung der abgeschlossenen geometrischen Theorie platonischer Körper gewidmet. Und genau aus diesen Argumenten folgt, dass es nur fünf konvexe regelmäßige Polyeder gibt, deren Flächen nur gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Fünfecke sein können.

Numerische Eigenschaften platonischer Körper. Die wichtigsten numerischen Merkmale der platonischen Körper sind die Anzahl der Seiten einer Fläche m, die Anzahl der Flächen n, die an jedem Scheitelpunkt zusammenlaufen, die Anzahl der Flächen G, Anzahl der Eckpunkte IN, Anzahl der Kanten R und Anzahl der flachen Winkel U Auf der Oberfläche eines Polyeders entdeckte und bewies Euler die berühmte Formel:

IN - P+ G = 2 ,

Verbinden der Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen eines beliebigen konvexen Polyeders. Die oben genannten numerischen Eigenschaften sind in Tabelle 2 aufgeführt.

Tabelle 2. Numerische Eigenschaften platonischer Körper

Es ist angebracht, auf die Immobilie zu achten Dualität, welches die platonischen Körper verbindet. Aus Tabelle 2 folgt, dass für ein Hexaeder (Würfel) und ein Oktaeder die Anzahl der Kanten P = 12 und die Anzahl der flachen Winkel auf der Oberfläche Y = 24 übereinstimmen. Aber die Anzahl der Flächen des G=6-Würfels stimmt mit der Anzahl der Eckpunkte des B=6-Oktaeders überein, und die Anzahl der Eckpunkte des B=8-Würfels stimmt mit der Anzahl der Flächen des G=8-Oktaeders überein. Außerdem die Anzahl der Seiten einer Würfelfläche M= 4 stimmt mit der Anzahl der Flächen des Oktaeders überein, die sich an der Spitze treffen, N=4, während die Anzahl der Flächen des Würfels konvergiert N=3, stimmt mit der Anzahl der Seiten der Oktaederfläche überein M= 3. Eine ähnliche Situation ist beim Ikosaeder und Dodkaeder zu beobachten. In solchen Fällen reden wir darüber Dualität entsprechende Platnov-Wärme, also Würfel Dual Oktaeder und Ikosaeder Dual Dodekaeder. Beachten Sie das in der Eigenschaft Dualität die „verborgene“ Harmonie der platonischen Körper wird reflektiert.

Goldener Schnitt im Dodekaeder und Ikosaeder. Unter den platonischen Körpern nehmen das Dodekaeder und sein duales Ikosaeder eine Sonderstellung ein. Zunächst muss betont werden, dass die Geometrie von Dodekaeder und Ikosaeder in direktem Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt steht. Tatsächlich sind die Flächen des Dodekaeders Fünfecke, also regelmäßige Fünfecke basierend auf dem Goldenen Schnitt. Schaut man sich das Ikosaeder genau an, erkennt man, dass sich an jeder seiner Ecken fünf Dreiecke treffen, deren Außenseiten ein Fünfeck bilden. Allein diese Tatsachen reichen aus, um uns davon zu überzeugen, dass der Goldene Schnitt eine entscheidende Rolle bei der Gestaltung dieser beiden platonischen Körper spielt.

Aber es gibt tiefere Beweise für die tiefe mathematische Verbindung des Goldenen Schnitts mit dem Ikosaeder und Dodekaeder. Und dieser Zusammenhang führt dazu, dass Dodekaeder und Ikosaeder die Harmonie des Goldenen Schnitts in „versteckter“ Form zum Ausdruck bringen.

9. Proklos‘ Hypothese: ein neuer Blick auf Euklids Elemente und die Entwicklungsgeschichte der Mathematik

Zu welchem Zweck schrieb Euklid seine Elemente?

Auf den ersten Blick scheint die Antwort auf diese Frage sehr einfach zu sein: Euklids Hauptziel bestand darin, die wichtigsten Errungenschaften der griechischen Mathematik in den 300 Jahren vor Euklid darzustellen, indem er die „axiomatische Methode“ der Präsentation des Materials verwendete. Tatsächlich sind Euklids Elemente das Hauptwerk der griechischen Wissenschaft, das sich der axiomatischen Konstruktion von Geometrie und Mathematik widmet. Diese Sichtweise der Principia ist in der modernen Mathematik am weitesten verbreitet.

Neben der „axiomatischen“ Sichtweise gibt es jedoch noch eine andere Sichtweise auf die Motive, die Euklid beim Schreiben von „Elemente“ geleitet haben. Diesen Standpunkt vertrat der griechische Philosoph und Mathematiker Proklos Diadochos(412-485), einer der ersten Kommentatoren der Elemente.

Zunächst ein paar Worte zu Proclus. Proklos wurde in Byzanz in die Familie eines wohlhabenden Anwalts aus Lykien hineingeboren. Mit der Absicht, in die Fußstapfen seines Vaters zu treten, ging er als Teenager nach Alexandria, wo er zunächst Rhetorik studierte, sich dann für Philosophie interessierte und Schüler des alexandrinischen Neuplatonikers Olympiodorus dem Jüngeren wurde. Von ihm begann Proklos, die logischen Abhandlungen des Aristoteles zu studieren. Im Alter von 20 Jahren zog Proklos nach Athen, wo die platonische Akademie damals von Plutarch von Athen geleitet wurde. Bereits im Alter von 28 Jahren verfasste Proklos eines seiner bedeutendsten Werke, einen Kommentar zu Platons Timaios. Um 450 wurde Proklos Leiter der platonischen Akademie.

Unter den mathematischen Werken von Proklos ist sein Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen das berühmteste. In diesem Kommentar stellt er die folgende ungewöhnliche Hypothese vor, die „Hypothese des Proklos“ genannt wird. Sein Wesen ist wie folgt. Wie Sie wissen, ist das XIII., also das letzte Buch der „Elemente“, der Darstellung der Theorie der fünf regulären Polyeder gewidmet, die in „Platons Kosmologie“ eine dominierende Rolle spielten und in der modernen Wissenschaft als die bekannt sind Platonische Körper. Genau auf diesen Umstand macht Proklos aufmerksam. Wie Eduard Soroko betont, laut Proklos, Euklid „erstellte die Principia angeblich nicht zu dem Zweck, die Geometrie als solche darzustellen, sondern um eine vollständig systematisierte Theorie des Aufbaus der fünf „platonischen Körper“ zu geben und gleichzeitig einige der neuesten Errungenschaften der Mathematik hervorzuheben.“

Die Bedeutung der Proklos-Hypothese für die Entwicklung der Mathematik. Die wichtigste Schlussfolgerung aus der „Proclus-Hypothese“ ist, dass Euklids Elemente, das größte griechische mathematische Werk, von Euklid unter dem direkten Einfluss der griechischen „Idee der Harmonie“ geschrieben wurde, die mit den platonischen Körpern in Verbindung gebracht wurde. Die „Proclus-Hypothese“ lässt uns daher vermuten, dass die „Pythagoras-Lehre von der numerischen Harmonie des Universums“ und „Platons Kosmologie“, die in der antiken Wissenschaft bekannt sind und auf regelmäßigen Polyedern basieren, im größten mathematischen Werk des Griechischen verkörpert waren Mathematik, Euklids „Elemente“. Unter diesem Gesichtspunkt können wir Euklids „Prinzipien“ als den ersten Versuch betrachten, eine „mathematische Theorie der Harmonie des Universums“ zu schaffen, die in der antiken Wissenschaft mit den platonischen Körpern in Verbindung gebracht wurde. Und Das war die Hauptidee der griechischen Wissenschaft! Dies ist das Hauptgeheimnis von Euklids „Principia“, das zu einer Revision der Entstehungsgeschichte der Mathematik führt, beginnend mit Euklid.

Leider wurde Proklos‘ ursprüngliche Hypothese über Euklids wahre Ziele beim Schreiben der Elemente von vielen modernen Mathematikhistorikern ignoriert, was zu einer verzerrten Sicht auf die Struktur der Mathematik und der gesamten mathematischen Ausbildung führte. Und das ist einer der größten „strategischen Fehler“ in der Entwicklung der Mathematik.

„Proklos‘ Hypothese“ und die „Schlüssel“probleme der antiken Mathematik. Wie Sie wissen, identifizierte der Akademiker Kolmogorov in seinem Buch zwei Hauptprobleme, d. h. „Schlüsselprobleme“, die die Entwicklung der Mathematik in der Anfangsphase stimulierten: Kontoproblem Und Messproblem. Aus der „Proclus-Hypothese“ ergibt sich jedoch ein weiteres „zentrales“ Problem: Problem der Harmonie, die mit den „Platonischen Körpern“ und dem „Goldenen Schnitt“ in Verbindung gebracht wurde – einer der wichtigsten mathematischen Entdeckungen der antiken Mathematik (Satz II.11 von Euklids „Elementen“). Es war dieses Problem, das Euklid als Grundlage für seine „Elemente“ verwendete, deren Hauptziel die Schaffung einer geometrischen Theorie der „platonischen Körper“ war, die in „Platons Kosmologie“ die Harmonie des Universums zum Ausdruck brachte. Diese Idee führt zu einer neuen Sicht auf die Geschichte der Mathematik, dargestellt in Abbildung 22.

Reis. 22. „Schlüssel“probleme der alten Mathematik und neue Richtungen in Mathematik, theoretischer Physik und Informatik

Der in Abb. 22 dargestellte Ansatz wurde erstmals in der Arbeit skizziert. Es basiert auf der folgenden Überlegung. Bereits zu Beginn der Mathematik wurden eine Reihe wichtiger mathematischer Entdeckungen gemacht, die die Entwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften insgesamt grundlegend beeinflussten. Die wichtigsten davon sind:

1. Positionsprinzip der Zahlendarstellung, hergestellt von babylonischen Mathematikern im 2. Jahrtausend v. Chr. und von ihnen im babylonischen 60-teiligen Zahlensystem verkörpert. Diese wichtige mathematische Entdeckung liegt allen nachfolgenden Positionszahlensystemen zugrunde, insbesondere dem Dezimalsystem und dem Binärsystem – den Grundlagen moderner Computer. Diese Entdeckung führte letztendlich zur Entstehung des Konzepts natürliche Zahl- das wichtigste Konzept, das der Mathematik zugrunde liegt.

2. Beweis für die Existenz inkommensurabler Segmente. Diese Entdeckung, die in der wissenschaftlichen Schule des Pythagoras gemacht wurde, führte zu einem Umdenken in der frühen pythagoräischen Mathematik, die auf dem „Prinzip der Verhältnismäßigkeit von Mengen“ basierte, und zur Einführung irrationale Zahlen- das zweite (nach den natürlichen Zahlen) Grundkonzept der Mathematik. Letztendlich waren diese beiden Konzepte (natürliche und irrationale Zahlen) die Grundlage der „klassischen Mathematik“.

3. Aufteilung eines Segments in extreme und mittlere Verhältnisse („Goldener Schnitt“). Eine Beschreibung dieser mathematischen Entdeckung findet sich in Euklids Elementen (Satz II.11). Dieser Vorschlag wurde von Euklid mit dem Ziel eingebracht, eine vollständige geometrische Theorie der „platonischen Körper“ (insbesondere des Dodekaeders) zu schaffen, deren Präsentation dem letzten (XIII) Buch von Euklids „Elementen“ gewidmet ist.

Der oben formulierte Ansatz (Abb. 22) führt zu einer Schlussfolgerung, die für viele Mathematiker möglicherweise unerwartet ist. Es stellt sich heraus, dass parallel dazu „Klassische Mathematik“ In der Wissenschaft begann sich, beginnend mit den alten Griechen, eine andere mathematische Richtung zu entwickeln – „Mathematik der Harmonie“ die wie die klassische Mathematik auf Euklids Elemente zurückgeht, ihre Aufmerksamkeit jedoch nicht auf den „axiomatischen Ansatz“, sondern auf das geometrische „Problem der Teilung eines Segments in extremes und mittleres Verhältnis“ (Satz II.11) und auf die Theorie richtet regelmäßiger Polyeder, dargelegt in Buch XIII von Euklids Elementen. An der Entwicklung der „Mathematik der Harmonie“ waren über mehrere Jahrtausende herausragende Denker, Wissenschaftler und Mathematiker beteiligt: Pythagoras, Platon, Euklid, Fibonacci, Pacioli, Kepler, Cassini, Binet, Lucas, Klein und im 20. Jahrhundert die Berühmten Mathematiker Coxeter, Vorobyov, Hoggatt und Vayda. Und wir können diese historische Tatsache nicht ignorieren.

Ursprünge der Lehre

Laut einem Kommentator der neuesten Ausgabe von Platons Werken hat er dies getan „Alle kosmische Proportionalität beruht auf dem Prinzip der goldenen Teilung oder harmonischen Proportion.“ Wie bereits erwähnt, basiert Platons Kosmologie auf regelmäßigen Polyedern, den sogenannten platonischen Körpern. Die Idee der „Ende-zu-Ende“-Harmonie des Universums war unweigerlich mit seiner Verkörperung in diesen fünf regelmäßigen Polyedern verbunden, die die Idee der universellen Vollkommenheit der Welt zum Ausdruck brachten. Und die Tatsache, dass die wichtigste „kosmische“ Figur – das Dodekaeder, das den Körper der Welt und die universelle Seele symbolisiert – auf dem Goldenen Schnitt basierte, verlieh diesem einen besonderen Reiz, die Bedeutung des Hauptanteils des Universums.

Platons Kosmologie wurde zum Beginn des sogenannten Ikosaeder-Dodekaeder-Lehre, das seit der Antike ein roter Faden ist, der sich durch die gesamte menschliche Wissenschaft zieht. Der Kern dieser Lehre besteht darin, dass Dodekaeder und Ikosaeder typische Formen der Natur in all ihren Erscheinungsformen sind, vom Weltraum bis zum Mikrokosmos.

Form der Erde

Die Frage nach der Form der Erde beschäftigte die Wissenschaftler der Antike ständig. Und als die Hypothese über die Kugelform der Erde bestätigt wurde, entstand die Idee, dass die Erde in ihrer Form existiert Dodekaeder. Sokrates schrieb also bereits:

„Die Erde sieht von oben aus wie eine Kugel aus 12 Lederstücken.“

Diese Hypothese des Sokrates fand in den Werken von Physikern, Mathematikern und Geologen eine weitere wissenschaftliche Weiterentwicklung. Also der französische Geologe de Beamon und berühmter Mathematiker Poincaré glaubte, dass die Form der Erde ein deformiertes Dodekaeder sei.

Auch der russische Geologe S. Kislitsin teilte die Meinung über die Dodekaederform der Erde. Er stellte die Hypothese auf, dass sich die dodekaedrische Geosphäre vor 400–500 Millionen Jahren in ein Geo-Ikosaeder verwandelte. Ein solcher Übergang erwies sich jedoch als unvollständig und unvollständig, wodurch sich das Geododekaeder in die Struktur des Ikosaeders einschrieb. Detailliertere Informationen zu dieser Hypothese finden Sie im Buch.

Das Geheimnis des ägyptischen Kalenders

Einer der ersten Sonnenkalender war ägyptisch, entstanden im 4. Jahrtausend v. Chr. Das ursprüngliche ägyptische Kalenderjahr bestand aus 360 Tagen. Das Jahr war in 12 Monate zu je genau 30 Tagen unterteilt. Später stellte sich jedoch heraus, dass diese Länge des Kalenderjahres nicht mit astronomischen Daten übereinstimmt. Und dann fügten die Ägypter dem Kalenderjahr weitere 5 Tage hinzu, die jedoch nicht als Tage des Monats galten. Dies waren 5 Feiertage, die benachbarte Kalenderjahre miteinander verbanden. Somit hatte das ägyptische Kalenderjahr die folgende Struktur: 365=12 x 30+5. Beachten Sie, dass der ägyptische Kalender der Prototyp des modernen Kalenders ist.

Es stellt sich die Frage: Warum teilten die Ägypter das Kalenderjahr in 12 Monate ein? Schließlich gab es Kalender mit einer unterschiedlichen Anzahl von Monaten im Jahr. Im Maya-Kalender beispielsweise bestand das Jahr aus 18 Monaten mit 20 Tagen pro Monat. Die nächste Frage zum ägyptischen Kalender: Warum hatte jeder Monat genau 30 Tage (genauer gesagt Tage)? Es können auch einige Fragen zum Zeitmesssystem aufgeworfen werden, das möglicherweise in späteren Zeiten entstanden ist. Insbesondere stellt sich die Frage: Warum wurde die Stundeneinheit so gewählt, dass sie genau 24 Mal in einen Tag passt, also 1 Tag = 24 (2 x 12) Stunden? Weiter: Warum 1 Stunde = 60 Minuten und 1 Minute = 60 Sekunden? Die gleichen Fragen gelten für die Wahl der Einheiten von Winkelgrößen, insbesondere: Warum wird der Kreis in 360° unterteilt, also warum 2p=360°=12 x 30°? Zu diesen Fragen kommen noch weitere hinzu, insbesondere: Warum hielten es Astronomen für sinnvoll zu glauben, dass es zwölf gibt? Tierkreis Zeichen, obwohl die Sonne während ihrer Bewegung entlang der Ekliptik tatsächlich 13 Sternbilder durchquert? Und noch eine „seltsame“ Frage: Warum hatte das babylonische Zahlensystem eine sehr ungewöhnliche Basis – die Zahl 60?

Bei der Analyse des ägyptischen Kalenders sowie der Systeme zur Messung von Zeit- und Winkelwerten stellen wir fest, dass sich vier Zahlen mit erstaunlicher Konsistenz wiederholen: 12, 30, 60 und ihre Ableitungszahl 360 = 12´30. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine grundlegende wissenschaftliche Idee, die eine einfache und logische Erklärung für die Verwendung dieser Zahlen im ägyptischen Kalender und in den ägyptischen Systemen liefern könnte?

Wenden wir uns dem Dodekaeder zu (Abb. 21). Aus Tabelle 1 folgt, dass das Dodekaeder auf seiner Oberfläche 12 Flächen, 30 Kanten und 60 flache Winkel hat. Stellen Sie sich die Überraschung der alten Ägypter vor, als sie entdeckten, dass die gleichen Zahlen die Zyklen des Sonnensystems ausdrückten, nämlich den 12-Jahres-Zyklus des Jupiter, den 30-Jahres-Zyklus des Saturn und schließlich den 60-Jahres-Zyklus des Sonnensystems Sonnensystem. Also zwischen einer so perfekten Raumfigur wie Dodekaeder, und das Sonnensystem, es gibt eine tiefe mathematische Verbindung! Diese Schlussfolgerung wurde von alten Wissenschaftlern gezogen. Dies führte dazu, dass Dodekaeder wurde als „Hauptfigur“ angenommen, die symbolisierte Harmonie des Universums. Da nach Ansicht der Alten die Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik streng kreisförmig war, koordinierten die Ägypter die jährliche Bewegung der Sonne überraschend schön, indem sie 12 Tierkreiszeichen wählten, deren Bogenabstand genau 30° betrug entlang der Ekliptik mit der Struktur ihres Kalenderjahres: Ein Monat entsprach der Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik zwischen zwei benachbarten Tierkreiszeichen! Darüber hinaus entsprach die Bewegung der Sonne um ein Grad einem Tag im ägyptischen Kalenderjahr! In diesem Fall wurde die Ekliptik automatisch in 360° geteilt. Dieselbe wissenschaftliche Idee wurde später von den Erfindern des Zeitmesssystems genutzt. Teilen Sie jede Tageshälfte in 12 Teile (12 Seiten). Dodekaeder) führte zur Einleitung Std.- die wichtigste Zeiteinheit. Einteilung einer Stunde in 60 Minuten (60 flache Winkel auf der Oberfläche). Dodekaeder) führte zur Einleitung Protokoll- die nächste wichtige Zeiteinheit. Auf die gleiche Weise wurde es eingeführt zweite(1 Minute = 60 Sekunden).

Also wählen Dodekaeder Als wichtigste „harmonische“ Figur des Universums und unter strikter Einhaltung der numerischen Eigenschaften des Dodekaeders 12, 30, 60 gelang es den Wissenschaftlern, einen äußerst harmonischen Kalender sowie Systeme zur Messung von Zeit- und Winkelwerten zu entwickeln.

Dies sind die überraschenden Schlussfolgerungen, die sich aus dem Vergleich ergeben: Dodekaeder mit dem Sonnensystem. Und wenn unsere Hypothese richtig ist (möge jemand versuchen, sie zu widerlegen), dann folgt daraus, dass die Menschheit seit vielen Jahrtausenden im Zeichen des „Goldenen Schnitts“ lebt (der dem Dodkaeder zugrunde liegt)! Und jedes Mal, wenn wir auf das Zifferblatt unserer Uhr schauen, die ebenfalls auf den numerischen Eigenschaften der Dodekaeder 12, 30 und 60 basiert, berühren wir das wichtigste „Geheimnis des Universums“ – Goldener Schnitt, ohne es zu wissen! Anscheinend handelt es sich bei dieser Hypothese des ägyptischen Kalenders um ein „verborgenes“ Geheimnis des Sonnensystems, das mit dem „Goldenen Schnitt“ zusammenhängt.

Johannes Kepler und Felix Klein

„Misterium Cosmographicum“. Johannes Kepler begann seine wissenschaftliche Laufbahn in der österreichischen Kleinstadt Graz, wohin er nach seinem Abschluss an der Tübinger Akademie als Mathematiklehrer an das Gymnasium geschickt wurde.

Machen wir einen „lyrischen Exkurs“. Vom 15. bis 19. Juli 1996 fand in Graz die 7. Internationale Konferenz zu Fibonacci-Zahlen und ihren Anwendungen statt. Auf dieser Konferenz hielt Alexey Stakhov einen Bericht “ DerGoldenAbschnittUndModernHarmonieMathematik” , von dem aus im Wesentlichen die Entwicklung der modernen „Mathematik der Harmonie“ als neue interdisziplinäre Richtung der modernen Wissenschaft begann. Der Bericht stieß bei Fibonacci-Mathematikern auf großes Interesse und wurde zur Veröffentlichung in der Sammlung „Applications of Fibonacci Numbers“ (1998) ausgewählt. Während seines Aufenthaltes in Graz war Prof. Alexey Stakhov machte ein Foto in der Nähe des Denkmals für Johannes Kepler, das in einem der Grazer Parks aufgestellt wurde.

Alexey Stakhov neben dem Denkmal für Johannes Kepler

(Graz, Juli 1996)

Keplers erstes astronomisches Werk, geschrieben in Graz, war ein kleines Buch mit folgendem Titel: „Der Vorbote der kosmographischen Forschung, das das Geheimnis des Universums über die wunderbaren Proportionen zwischen den Himmelskreisen und die wahren Ursachen, die Anzahl und Größe der Himmelskreise“ enthält Himmelssphären sowie die periodischen Bewegungen der fünf regulären Körper von Johannes Kepler aus Württemberg, einem Mathematiker aus der berühmten Steiermark. Er selbst nannte dieses 1597 veröffentlichte Buch „Misterium Cosmographicum“ („Das Geheimnis der Kosmographie“).

Wenn man Keplers Erstlingswerk „Misterium Cosmographicum“ („Das Geheimnis der Kosmographie“) liest, kommt man immer wieder aus dem Staunen über seine Fantasie. Die tiefe Überzeugung von der Existenz von Harmonie in der Welt hat Keplers gesamtes Denken geprägt. Kepler formulierte den Zweck seiner Forschung, dargelegt in „Das Geheimnis der Kosmographie“, im Vorwort:

« Lieber Leser! In diesem Buch möchte ich beweisen, dass der allgütige und allmächtige Gott bei der Erschaffung unserer bewegten Welt und bei der Anordnung der Himmelsbahnen die fünf regelmäßigen Körper als Grundlage gewählt hat, die seit der Zeit von Pythagoras und Platon gelten Da sie heute so große Berühmtheit erlangt haben, wurden die Anzahl und Proportionen der Himmelsbahnen sowie die Beziehungen zwischen den Bewegungen entsprechend der Natur regelmäßiger Körper gewählt. Die Essenz von drei Dingen – warum sie so angeordnet sind und nicht anders – hat mich besonders interessiert, nämlich: die Anzahl, die Abmessungen und die Bewegungen der Himmelsbahnen.

Das Geheimnis des Universums zu enthüllen bedeutete laut Kepler, die Frage zu beantworten, die er sich zum ersten Mal in der Geschichte der Astronomie stellte. In dem Buch „Das Geheimnis der Kosmographie“ gelang es Kepler, wie es ihm schien, dieses Geheimnis zu lüften. Sein Wesen ist laut Kepler wie folgt:

„Die Erde (Erdumlaufbahn) ist das Maß aller Umlaufbahnen. Beschreiben wir ein Dodekaeder darum herum. Die vom Dodekaeder umschriebene Kugel ist die Marskugel. Beschreiben wir einen Tetraeder um die Marskugel. Die vom Tetraeder umschriebene Kugel ist die Jupiterkugel. Beschreiben wir einen Würfel um die Jupiterkugel. Die vom Tetraeder umschriebene Kugel ist die Saturnkugel. Fügen wir ein Ikosaeder in die Erdkugel ein. Die darin eingeschriebene Kugel ist die Kugel der Venus. Fügen wir ein Oktaeder in die Kugel der Venus ein. Die darin eingeschriebene Sphäre ist die Sphäre des Merkur.“

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