Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas. Satz über die Mantelfläche eines geraden Prismas

Definition. Prisma ist ein Polyeder, dessen Eckpunkte alle in zwei parallelen Ebenen liegen, und in diesen beiden Ebenen liegen zwei Flächen des Prismas, die gleiche Polygone mit entsprechend parallelen Seiten sind, und alle Kanten, die nicht in diesen Ebenen liegen, sind parallel.

Es werden zwei gleiche Gesichter aufgerufen Prismenbasen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle anderen Flächen des Prismas werden aufgerufen Seitenflächen(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle Seitenflächen bilden sich Seitenfläche des Prismas .

Alle Seitenflächen des Prismas sind Parallelogramme .

Die Kanten, die nicht an den Basen liegen, werden Seitenkanten des Prismas genannt ( AA 1, BB 1, CC 1, TT 1, EE 1).

Prismendiagonale ist ein Segment, dessen Enden zwei Eckpunkte eines Prismas sind, die nicht auf derselben Fläche liegen (AD 1).

Die Länge des Segments, das die Basen des Prismas verbindet und gleichzeitig senkrecht zu beiden Basen steht, wird als bezeichnet Prismenhöhe .

Bezeichnung:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Zuerst werden in der Reihenfolge der Durchquerung die Scheitelpunkte einer Basis angegeben und dann in derselben Reihenfolge die Scheitelpunkte einer anderen; die Enden jeder Seitenkante werden mit denselben Buchstaben bezeichnet, nur die Scheitelpunkte, die in einer Basis liegen, werden bezeichnet nach Buchstaben ohne Index und zum anderen - mit Index)

Der Name des Prismas hängt mit der Anzahl der Winkel in der Figur zusammen, die an seiner Basis liegen. In Abbildung 1 befindet sich beispielsweise ein Fünfeck an der Basis, daher wird das Prisma genannt fünfeckiges Prisma. Aber weil Ein solches Prisma hat also 7 Flächen Heptaeder(2 Flächen – die Basen des Prismas, 5 Flächen – Parallelogramme, – seine Seitenflächen)

Unter den geraden Prismen sticht ein besonderer Typ hervor: regelmäßige Prismen.

Ein gerades Prisma heißt richtig, wenn seine Basen regelmäßige Vielecke sind.

Parallelepiped

Rechteckiges Parallelepiped- ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

Eigenschaften und Theoreme:

,

wobei d die Diagonale des Quadrats ist;
a ist die Seite des Quadrats.

Eine Vorstellung von einem Prisma ergibt sich aus:

• verschiedene architektonische Strukturen;
• Kinderspielzeug;
• Verpackungskartons;
• Designerartikel usw.

Die Fläche der Gesamt- und Seitenfläche des Prismas

S voll = S Seite + 2S Haupt,

Wo S voll- Gesamtfläche, S-Seite-Seitenfläche, S-Basis- Grundfläche

Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.

S-Seite= P basisch * h,

Wo S-Seite-Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas,

P main - Umfang der Basis eines geraden Prismas,

h ist die Höhe des geraden Prismas, gleich der Seitenkante.

Prismenvolumen

Das Volumen eines Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

Definition 1. Prismatische Oberfläche
Satz 1. Auf parallelen Abschnitten einer prismatischen Oberfläche
Definition 2. Senkrechter Abschnitt einer prismatischen Oberfläche
Definition 3. Prisma
Definition 4. Prismenhöhe
Definition 5. Rechtes Prisma
Satz 2. Seitenfläche des Prismas

Parallelepiped:
Definition 6. Parallelepiped
Satz 3. Über den Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelepipeds
Definition 7. Rechter Parallelepiped
Definition 8. Rechteckiges Parallelepiped
Definition 9. Maße eines Parallelepipeds
Definition 10. Würfel
Definition 11. Rhomboeder
Satz 4. Auf den Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds
Satz 5. Volumen eines Prismas
Satz 6. Volumen eines geraden Prismas
Satz 7. Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds

Prisma ist ein Polyeder, dessen zwei Flächen (Grundflächen) in parallelen Ebenen liegen und dessen Kanten, die nicht in diesen Flächen liegen, parallel zueinander sind.
Andere Flächen als die Basen werden aufgerufen seitlich.
Die Seiten der Seitenflächen und Basen werden aufgerufen Prismenrippen, die Enden der Kanten heißen die Spitzen des Prismas. Seitliche Rippen Kanten, die nicht zu den Basen gehören, werden aufgerufen. Die Vereinigung von Seitenflächen heißt Seitenfläche des Prismas, und die Vereinigung aller Gesichter wird genannt die gesamte Oberfläche des Prismas. Prismenhöhe nennt man die Senkrechte, die vom Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis fällt, oder die Länge dieser Senkrechten. Gerades Prisma ein Prisma genannt, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächenebenen stehen. Richtig ein gerades Prisma genannt (Abb. 3), an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt.

Bezeichnungen:
l - Seitenrippe;
P – Basisumfang;
S o - Grundfläche;
H - Höhe;
P^ - Umfang des senkrechten Abschnitts;
S b – seitliche Oberfläche;
V – Volumen;
S p ist die Fläche der Gesamtoberfläche des Prismas.

Definition 2 . Ein senkrechter Abschnitt einer prismatischen Oberfläche ist ein Abschnitt dieser Oberfläche durch eine Ebene senkrecht zu ihren Kanten. Basierend auf dem vorherigen Satz sind alle senkrechten Abschnitte derselben prismatischen Oberfläche gleiche Polygone.

Definition 3 . Ein Prisma ist ein Polyeder, das durch eine prismatische Oberfläche und zwei zueinander parallele Ebenen (jedoch nicht parallel zu den Kanten der prismatischen Oberfläche) begrenzt wird.
Die in diesen letzten Ebenen liegenden Gesichter werden aufgerufen Prismenbasen; Flächen, die zur prismatischen Oberfläche gehören - Seitenflächen; Kanten der prismatischen Oberfläche - Seitenrippen des Prismas. Aufgrund des vorherigen Satzes ist die Basis des Prismas gleiche Polygone. Alle Seitenflächen des Prismas - Parallelogramme; alle Seitenrippen sind einander gleich.
Wenn die Basis des Prismas ABCDE und eine der Kanten AA" in Größe und Richtung angegeben sind, ist es natürlich möglich, ein Prisma zu konstruieren, indem die Kanten BB", CC", ... gleich und parallel zur Kante AA" gezeichnet werden. .

Definition 4 . Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen (HH").

Definition 5 . Ein Prisma heißt gerade, wenn seine Grundflächen senkrechte Abschnitte der Prismenfläche sind. In diesem Fall ist die Höhe des Prismas natürlich gleich seitliche Rippe; Die Seitenkanten werden sein Rechtecke.
Prismen können nach der Anzahl der Seitenflächen klassifiziert werden, die der Anzahl der Seiten des Polygons entspricht, das als Basis dient. Somit können Prismen dreieckig, viereckig, fünfeckig usw. sein.

Satz 2 . Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ist gleich dem Produkt aus Seitenkante und Umfang des senkrechten Abschnitts.
Sei ABCDEA"B"C"D"E" ein gegebenes Prisma und abcde seinen senkrechten Abschnitt, so dass die Segmente ab, bc, .. senkrecht zu seinen Seitenkanten stehen. Die Fläche ABA"B" ist ein Parallelogramm; ihre Fläche ist gleich dem Produkt der Basis AA " mit einer Höhe, die mit ab übereinstimmt; die Fläche der Fläche ВСВ „С“ ist gleich dem Produkt der Grundfläche ВВ“ mit der Höhe bc usw. Folglich ist die Seitenfläche (d. h. die Summe der Flächen der Seitenflächen) gleich dem Produkt der Seitenkante, also die Gesamtlänge der Segmente AA", ВВ", .., für den Betrag ab+bc+cd+de+ea.

Verschiedene Prismen unterscheiden sich voneinander. Gleichzeitig haben sie viele Gemeinsamkeiten. Um die Grundfläche des Prismas zu ermitteln, müssen Sie verstehen, um welchen Typ es sich handelt.

Allgemeine Theorie

Ein Prisma ist ein Polyeder, dessen Seiten die Form eines Parallelogramms haben. Darüber hinaus kann seine Basis jedes Polyeder sein – vom Dreieck bis zum N-Eck. Darüber hinaus sind die Grundflächen des Prismas immer gleich. Was für die Seitenflächen nicht gilt, ist, dass diese in ihrer Größe stark variieren können.

Bei der Lösung von Problemen wird nicht nur die Fläche der Prismenbasis berücksichtigt. Möglicherweise ist die Kenntnis der Seitenfläche erforderlich, also aller Flächen, die keine Basen sind. Die vollständige Oberfläche ist die Vereinigung aller Flächen, aus denen das Prisma besteht.

Manchmal hängen Probleme mit der Körpergröße zusammen. Es steht senkrecht zu den Basen. Die Diagonale eines Polyeders ist ein Segment, das zwei beliebige Eckpunkte paarweise verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Es ist zu beachten, dass die Grundfläche eines geraden oder geneigten Prismas nicht vom Winkel zwischen ihnen und den Seitenflächen abhängt. Wenn sie auf der Ober- und Unterseite die gleichen Figuren haben, sind ihre Flächen gleich.

Dreieckiges Prisma

An seiner Basis befindet sich eine Figur mit drei Spitzen, also ein Dreieck. Wie Sie wissen, kann es anders sein. Wenn ja, genügt es, sich daran zu erinnern, dass seine Fläche durch die Hälfte des Produkts der Beine bestimmt wird.

Die mathematische Notation sieht so aus: S = ½ av.

Um die Fläche der Basis im Allgemeinen herauszufinden, sind die Formeln nützlich: Heron und die, bei der die Hälfte der Seite durch die darauf gezeichnete Höhe gebildet wird.

Die erste Formel sollte wie folgt geschrieben werden: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Diese Notation enthält einen Halbumfang (p), also die Summe von drei Seiten geteilt durch zwei.

Zweitens: S = ½ n a * a.

Wenn Sie die Grundfläche eines dreieckigen Prismas ermitteln möchten, die regelmäßig ist, stellt sich heraus, dass das Dreieck gleichseitig ist. Dafür gibt es eine Formel: S = ¼ a 2 * √3.

Viereckiges Prisma

Seine Basis ist eines der bekannten Vierecke. Es kann ein Rechteck oder ein Quadrat, ein Parallelepiped oder eine Raute sein. Um die Grundfläche des Prismas zu berechnen, benötigen Sie jeweils eine eigene Formel.

Wenn die Grundfläche ein Rechteck ist, wird seine Fläche wie folgt bestimmt: S = ab, wobei a, b die Seiten des Rechtecks ​​sind.

Bei einem viereckigen Prisma wird die Grundfläche eines regelmäßigen Prismas anhand der Formel für ein Quadrat berechnet. Denn er ist es, der das Fundament bildet. S = a 2.

Wenn die Basis ein Parallelepiped ist, ist die folgende Gleichheit erforderlich: S = a * n a. Es kommt vor, dass die Seite eines Parallelepipeds und einer der Winkel angegeben sind. Um die Höhe zu berechnen, müssen Sie dann eine zusätzliche Formel verwenden: n a = b * sin A. Darüber hinaus grenzt der Winkel A an die Seite „b“ und die Höhe n ist diesem Winkel entgegengesetzt.

Wenn sich an der Basis des Prismas eine Raute befindet, benötigen Sie zur Bestimmung seiner Fläche die gleiche Formel wie für ein Parallelogramm (da es sich um einen Sonderfall davon handelt). Sie können aber auch Folgendes verwenden: S = ½ d 1 d 2. Hier sind d 1 und d 2 zwei Diagonalen der Raute.

Regelmäßiges fünfeckiges Prisma

In diesem Fall wird das Polygon in Dreiecke unterteilt, deren Flächen sich leichter ermitteln lassen. Es kommt zwar vor, dass Figuren eine unterschiedliche Anzahl von Eckpunkten haben können.

Da die Grundfläche des Prismas ein regelmäßiges Fünfeck ist, kann es in fünf gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Dann ist die Fläche der Basis des Prismas gleich der Fläche eines solchen Dreiecks (die Formel ist oben zu sehen), multipliziert mit fünf.

Regelmäßiges sechseckiges Prisma

Mit dem für ein fünfeckiges Prisma beschriebenen Prinzip ist es möglich, das Sechseck der Grundfläche in 6 gleichseitige Dreiecke zu unterteilen. Die Formel für die Grundfläche eines solchen Prismas ähnelt der vorherigen. Nur sollte es mit sechs multipliziert werden.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: S = 3/2 a 2 * √3.

Aufgaben

Nr. 1. Bei einer regelmäßigen Geraden beträgt ihre Diagonale 22 cm, die Höhe des Polyeders beträgt 14 cm. Berechnen Sie die Fläche der Basis des Prismas und der gesamten Oberfläche.

Lösung. Die Grundfläche des Prismas ist quadratisch, seine Seite ist jedoch unbekannt. Sie können seinen Wert aus der Diagonale des Quadrats (x) ermitteln, die mit der Diagonale des Prismas (d) und seiner Höhe (h) zusammenhängt. x 2 = d 2 - n 2. Andererseits ist dieses Segment „x“ die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Schenkel gleich der Seite des Quadrats sind. Das heißt, x 2 = a 2 + a 2. Somit stellt sich heraus, dass a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Ersetzen Sie die Zahl 22 anstelle von d und ersetzen Sie „n“ durch den Wert - 14. Es stellt sich heraus, dass die Seite des Quadrats 12 cm beträgt. Finden Sie nun einfach die Fläche der Basis heraus: 12 * 12 = 144 cm 2.

Um die Fläche der gesamten Oberfläche zu ermitteln, müssen Sie die doppelte Grundfläche addieren und die Seitenfläche vervierfachen. Letzteres lässt sich leicht mit der Formel für ein Rechteck ermitteln: Multiplizieren Sie die Höhe des Polyeders und die Seite der Grundfläche. Das heißt, 14 und 12, diese Zahl entspricht 168 cm 2. Die Gesamtoberfläche des Prismas beträgt 960 cm 2.

Antwort. Die Grundfläche des Prismas beträgt 144 cm 2. Die Gesamtfläche beträgt 960 cm 2.

Nr. 2. An der Basis befindet sich ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 6 cm. In diesem Fall beträgt die Diagonale der Seitenfläche 10 cm.

Lösung. Da das Prisma regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Daher ist seine Fläche gleich 6 zum Quadrat, multipliziert mit ¼ und der Quadratwurzel aus 3. Eine einfache Berechnung führt zu dem Ergebnis: 9√3 cm 2. Dies ist die Fläche einer Basis des Prismas.

Alle Seitenflächen sind gleich und sind Rechtecke mit Seitenlängen von 6 und 10 cm. Um ihre Flächen zu berechnen, multiplizieren Sie einfach diese Zahlen. Dann multipliziere sie mit drei, denn das Prisma hat genau so viele Seitenflächen. Dann beträgt die Fläche der Seitenfläche der Wunde 180 cm 2.

Antwort. Flächen: Basis - 9√3 cm 2, Seitenfläche des Prismas - 180 cm 2.

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