Positive und negative Zahlen addieren und subtrahieren. Subtrahieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Probleme beim Addieren negativer Zahlen
Regel zum Addieren negativer Zahlen
Wenn Sie sich an die Mathematikstunde und das Thema „Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren und subtrahieren“ erinnern, benötigen Sie zum Addieren zweier negativer Zahlen:
- das Hinzufügen ihrer Module durchführen;
- Fügen Sie dem erhaltenen Betrag ein „–“-Zeichen hinzu.
Nach der Additionsregel können wir schreiben:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Die Regel zum Addieren negativer Zahlen gilt für negative ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen.
Beispiel 1
Addieren Sie die negativen Zahlen $−185$ und $−23\789.$
Lösung.
Lassen Sie uns die Regel zum Addieren negativer Zahlen verwenden.
Finden wir die Module dieser Zahlen:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Addieren wir die resultierenden Zahlen:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Setzen wir das Zeichen $“–“$ vor die gefundene Zahl und erhalten wir $−23\974$.
Kurzlösung: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
Antwort: $−23 \ 974$.
Beim Addieren negativer rationaler Zahlen müssen diese in die Form natürlicher Zahlen, gewöhnlicher oder dezimaler Brüche, umgewandelt werden.
Beispiel 2
Addieren Sie die negativen Zahlen $-\frac(1)(4)$ und $−7,15$.
Lösung.
Gemäß der Regel zum Addieren negativer Zahlen müssen Sie zunächst die Summe der Module ermitteln:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Es ist praktisch, die erhaltenen Werte auf Dezimalbrüche zu reduzieren und ihre Addition durchzuführen:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Setzen wir das Zeichen „–“$ vor den resultierenden Wert und erhalten wir –7,4$.
Kurze Zusammenfassung der Lösung:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, $4.
Um eine positive und eine negative Zahl zu addieren, benötigen Sie:
- Berechnen Sie die Zahlenmodule;
- wenn sie gleich sind, dann sind die ursprünglichen Zahlen entgegengesetzt und ihre Summe ist Null;
- Wenn sie nicht gleich sind, müssen Sie sich das Vorzeichen der Zahl merken, deren Modul größer ist.
subtrahiere das kleinere vom größeren Modul;
- Tragen Sie vor dem resultierenden Wert das Vorzeichen der Zahl ein, deren Modul größer ist.
Vergleichen Sie die resultierenden Zahlen:
Das Addieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen kommt dem Subtrahieren einer kleineren negativen Zahl von einer größeren positiven Zahl gleich.
Die Regel zum Addieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen gilt für ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen.
Beispiel 3
Addiere die Zahlen $4$ und $−8$.
Lösung.
Sie müssen Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen addieren. Verwenden wir die entsprechende Additionsregel.
Finden wir die Module dieser Zahlen:
Der Modul der Zahl $−8$ ist größer als der Modul der Zahl $4$, d.h. Denken Sie an das Zeichen „-“$.
Setzen wir das Zeichen $“–“$, das wir uns gemerkt haben, vor die resultierende Zahl und wir erhalten $−4.$
Kurze Zusammenfassung der Lösung:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Antwort: $4+(−8)=−4$.
Um rationale Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen zu addieren, ist es zweckmäßig, sie in Form von gewöhnlichen Brüchen oder Dezimalbrüchen darzustellen.
Subtrahieren von Zahlen mit unterschiedlichen und negativen Vorzeichen
Regel zum Subtrahieren negativer Zahlen:
Um eine negative Zahl $b$ von einer Zahl $a$ zu subtrahieren, ist es notwendig, die Zahl $−b$ zum Minuend $a$ zu addieren, der das Gegenteil des Subtrahenden $b$ ist.
Nach der Subtraktionsregel können wir schreiben:
$a−b=a+(−b)$.
Diese Regel gilt für ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen. Die Regel kann verwendet werden, um eine negative Zahl von einer positiven Zahl, von einer negativen Zahl und von Null zu subtrahieren.
Beispiel 4
Subtrahieren Sie die negative Zahl $−5$ von der negativen Zahl $−28$.
Lösung.
Das Gegenstück zur Zahl $–5$ ist die Zahl $5$.
Nach der Regel zum Subtrahieren negativer Zahlen erhalten wir:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Addieren wir Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Antwort: $(−28)−(−5)=−23$.
Wenn Sie negative Brüche subtrahieren, müssen Sie die Zahlen in Brüche, gemischte Zahlen oder Dezimalzahlen umwandeln.
Addieren und Subtrahieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen
Die Regel zum Subtrahieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen ist dieselbe wie die Regel zum Subtrahieren negativer Zahlen.
Beispiel 5
Subtrahieren Sie die positive Zahl $7$ von der negativen Zahl $−11$.
Lösung.
Das Gegenteil von 7 $ ist –7 $.
Nach der Regel zum Subtrahieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen erhalten wir:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Fügen wir negative Zahlen hinzu:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Kurzlösung: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Antwort: $(−11)−7=−18$.
Beim Subtrahieren von Bruchzahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen ist es notwendig, die Zahlen in die Form gewöhnlicher oder dezimaler Brüche umzuwandeln.
Addition negativer Zahlen.
Die Summe negativer Zahlen ist eine negative Zahl. Der Modul der Summe ist gleich der Summe der Module der Terme.
Lassen Sie uns herausfinden, warum die Summe negativer Zahlen auch eine negative Zahl ist. Dabei hilft uns die Koordinatenlinie, auf der wir die Zahlen -3 und -5 addieren. Markieren wir einen Punkt auf der Koordinatenlinie, der der Zahl -3 entspricht.
Zur Zahl -3 müssen wir die Zahl -5 hinzufügen. Wohin gehen wir von dem Punkt, der der Zahl -3 entspricht? Das ist richtig, links! Für 5 Gerätesegmente. Wir markieren einen Punkt und schreiben die entsprechende Zahl. Diese Zahl ist -8.
Wenn wir also negative Zahlen mithilfe der Koordinatenlinie addieren, befinden wir uns immer links vom Ursprung. Daher ist klar, dass das Ergebnis der Addition negativer Zahlen auch eine negative Zahl ist.
Notiz. Wir haben die Zahlen -3 und -5 hinzugefügt, d.h. hat den Wert des Ausdrucks -3+(-5) gefunden. Normalerweise schreibt man beim Addieren rationaler Zahlen diese Zahlen einfach mit ihren Vorzeichen auf, als ob man alle Zahlen auflisten würde, die addiert werden müssen. Diese Notation wird algebraische Summe genannt. Wenden Sie (in unserem Beispiel) den Eintrag an: -3-5=-8.
Beispiel. Finden Sie die Summe der negativen Zahlen: -23-42-54. (Sind Sie der Meinung, dass dieser Eintrag kürzer und praktischer ist: -23+(-42)+(-54))?
Lass uns entscheiden Nach der Regel zum Addieren negativer Zahlen: Wir addieren die Module der Terme: 23+42+54=119. Das Ergebnis wird ein Minuszeichen haben.
Normalerweise schreiben sie es so: -23-42-54=-119.
Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
Die Summe zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat das Vorzeichen eines Termes mit großem Absolutwert. Um den Modul einer Summe zu ermitteln, müssen Sie den kleineren Modul vom größeren Modul subtrahieren..
Führen wir die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen anhand einer Koordinatenlinie durch.
1) -4+6. Sie müssen die Zahl 6 zur Zahl -4 addieren. Markieren wir die Zahl -4 mit einem Punkt auf der Koordinatenlinie. Die Zahl 6 ist positiv, was bedeutet, dass wir vom Punkt mit der Koordinate -4 um 6 Einheitssegmente nach rechts gehen müssen. Wir befanden uns um 2 Einheitssegmente rechts vom Ursprung (von Null).
Das Ergebnis der Summe der Zahlen -4 und 6 ist die positive Zahl 2:
- 4+6=2. Wie konntest du die Nummer 2 bekommen? Subtrahiere 4 von 6, d.h. subtrahiere das kleinere vom größeren Modul. Das Ergebnis hat das gleiche Vorzeichen wie der Term mit großem Modul.
2) Berechnen wir: -7+3 anhand der Koordinatenlinie. Markieren Sie den Punkt, der der Zahl -7 entspricht. Wir gehen für 3 Einheitssegmente nach rechts und erhalten einen Punkt mit der Koordinate -4. Wir waren und bleiben links vom Ursprung: Die Antwort ist eine negative Zahl.
— 7+3=-4. Dieses Ergebnis könnten wir folgendermaßen erhalten: Von dem größeren Modul subtrahieren wir das kleinere, d. h. 7-3=4. Als Ergebnis setzen wir das Vorzeichen des Termes mit dem größeren Modul: |-7|>|3|.
Beispiele. Berechnung: A) -4+5-9+2-6-3; B) -10-20+15-25.
In diesem Artikel werden wir darüber sprechen negative Zahlen hinzufügen. Zuerst geben wir die Regel zum Addieren negativer Zahlen an und beweisen sie. Anschließend schauen wir uns typische Beispiele für das Addieren negativer Zahlen an.
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Regel zum Addieren negativer Zahlen
Bevor wir die Regel zum Addieren negativer Zahlen formulieren, wenden wir uns dem Material im Artikel zu: positive und negative Zahlen. Dort haben wir erwähnt, dass negative Zahlen als Schulden wahrgenommen werden können und in diesem Fall die Höhe dieser Schulden bestimmen. Daher ist die Addition zweier negativer Zahlen die Addition zweier Schulden.
Diese Schlussfolgerung lässt uns erkennen Regel zum Addieren negativer Zahlen. Um zwei negative Zahlen zu addieren, benötigen Sie:
- falten Sie ihre Module;
- Setzen Sie vor dem erhaltenen Betrag ein Minuszeichen.
Schreiben wir die Regel zum Addieren negativer Zahlen −a und −b in Buchstabenform auf: (−a)+(−b)=−(a+b).
Es ist klar, dass die angegebene Regel die Addition negativer Zahlen auf die Addition positiver Zahlen reduziert (der Modul einer negativen Zahl ist eine positive Zahl). Es ist auch klar, dass das Ergebnis der Addition zweier negativer Zahlen eine negative Zahl ist, was durch das Minuszeichen vor der Summe der Module angezeigt wird.
Die Regel zum Addieren negativer Zahlen kann anhand von bewiesen werden Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen(oder die gleichen Eigenschaften von Operationen mit rationalen oder ganzen Zahlen). Dazu genügt es zu zeigen, dass die Differenz zwischen der linken und rechten Seite der Gleichung (−a)+(−b)=−(a+b) gleich Null ist.
Da das Subtrahieren einer Zahl dasselbe ist wie das Addieren der entgegengesetzten Zahl (siehe Regel zum Subtrahieren von ganzen Zahlen), dann (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Aufgrund der kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition gilt: (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Da die Summe der entgegengesetzten Zahlen gleich Null ist, gilt (−a+a)+(−b+b)=0+0 und 0+0=0 aufgrund der Eigenschaft, eine Zahl mit Null zu addieren. Dies beweist die Gleichheit (−a)+(−b)=−(a+b) und damit die Regel zum Addieren negativer Zahlen.
Es bleibt nur noch zu lernen, wie man die Regel der Addition negativer Zahlen in der Praxis anwendet, was wir im nächsten Absatz tun werden.
Beispiele für das Addieren negativer Zahlen
Lass es uns klären Beispiele für das Addieren negativer Zahlen. Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – der Addition negativer Ganzzahlen; wir führen die Addition gemäß der im vorherigen Absatz besprochenen Regel durch.
Beispiel.
Addieren Sie die negativen Zahlen −304 und −18.007.
Lösung.
Befolgen wir alle Schritte der Regel zum Addieren negativer Zahlen.
Zuerst finden wir die Module der zu addierenden Zahlen: und 
. Jetzt müssen Sie die resultierenden Zahlen addieren; hier ist es praktisch, die Spaltenaddition durchzuführen: 
Nun setzen wir der resultierenden Zahl ein Minuszeichen voran, als Ergebnis erhalten wir −18.311.
Schreiben wir die gesamte Lösung in Kurzform: (−304)+(−18.007)= −(304+18.007)=−18.311.
Antwort:
−18 311 .
Die Addition negativer rationaler Zahlen kann je nach den Zahlen selbst entweder auf die Addition natürlicher Zahlen oder auf die Addition gewöhnlicher Brüche oder auf die Addition dezimaler Brüche reduziert werden.
Beispiel.
Addiere eine negative Zahl und eine negative Zahl −4,(12) .
Lösung.
Gemäß der Regel zum Addieren negativer Zahlen müssen Sie zunächst die Summe der Module berechnen. Die Module der negativen Zahlen, die addiert werden, sind gleich 2/5 bzw. 4 (12). Die Addition der resultierenden Zahlen kann auf die Addition gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu wandeln wir den periodischen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um: . Somit ist 2/5+4,(12)=2/5+136/33. Jetzt lass es uns tun
Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Lassen Sie uns bestimmen, was der Ausdruck 2-5 ist. Ab Punkt +2 werden wir fünf Divisionen eintragen, zwei bis Null und drei unter Null. Bleiben wir bei Punkt -3. Das heißt, 2-5=-3. Beachten Sie nun, dass 2-5 überhaupt nicht gleich 5-2 ist. Wenn bei der Addition von Zahlen ihre Reihenfolge keine Rolle spielt, ist bei der Subtraktion alles anders. Die Reihenfolge der Zahlen ist wichtig.
Jetzt lasst uns gehen negativer Bereich Waage. Angenommen, wir müssen +5 zu -2 addieren. (Von nun an werden wir „+“-Zeichen vor positive Zahlen setzen und sowohl positive als auch negative Zahlen in Klammern setzen, um die Vorzeichen vor Zahlen nicht mit Additions- und Subtraktionszeichen zu verwechseln.) Jetzt kann unser Problem geschrieben werden als (-2)+ (+5). Um das Problem zu lösen, gehen wir von Punkt -2 aus fünf Divisionen nach oben und landen bei Punkt +3.
Hat diese Aufgabe irgendeine praktische Bedeutung? Natürlich gibt es. Nehmen wir an, Sie haben Schulden in Höhe von 2 USD und haben 5 USD verdient. Auf diese Weise bleiben Ihnen nach der Tilgung der Schulden noch 3 $ übrig.
Sie können sich auch im negativen Bereich der Skala nach unten bewegen. Angenommen, Sie müssen 5 von -2 oder (-2)-(+5) subtrahieren. Gehen Sie von Punkt -2 auf der Skala fünf Unterteilungen nach unten und landen Sie bei Punkt -7. Welche praktische Bedeutung hat diese Aufgabe? Nehmen wir an, Sie schuldeten 2 $ und mussten sich weitere 5 $ leihen. Sie schulden jetzt 7 $.
Wir sehen, dass wir mit negativen Zahlen dasselbe durchführen können Additions- und Subtraktionsoperationen, wie bei den positiven.
Zwar beherrschen wir noch nicht alle Operationen. Wir haben nur zu negativen Zahlen addiert und nur positive von negativen Zahlen subtrahiert. Was sollten Sie tun, wenn Sie negative Zahlen addieren oder negative Zahlen von negativen Zahlen subtrahieren müssen?
In der Praxis ähnelt dies den Schuldentransaktionen. Nehmen wir an, Ihnen wurden Schulden in Höhe von 5 US-Dollar in Rechnung gestellt. Das bedeutet dasselbe, als ob Sie 5 US-Dollar erhalten hätten. Wenn ich Sie andererseits irgendwie dazu zwinge, die Verantwortung für die 5-Dollar-Schulden eines anderen zu übernehmen, wäre das dasselbe, als würde ich Ihnen diese 5 Dollar wegnehmen. Das heißt, das Subtrahieren von -5 ist dasselbe wie das Addieren von +5. Und das Addieren von -5 ist dasselbe wie das Subtrahieren von +5.
Dadurch können wir auf die Subtraktionsoperation verzichten. Tatsächlich ist „5-2“ dasselbe wie (+5)-(+2) oder gemäß unserer Regel (+5)+(-2). In beiden Fällen erhalten wir das gleiche Ergebnis. Von Punkt +5 auf der Skala müssen wir zwei Divisionen nach unten gehen und erhalten +3. Im Fall von 5-2 ist dies offensichtlich, da die Subtraktion eine Abwärtsbewegung ist.
Im Fall von (+5)+(-2) ist dies weniger offensichtlich. Wir fügen eine Zahl hinzu, was bedeutet, dass wir auf der Skala nach oben gehen, aber wir fügen eine negative Zahl hinzu, was bedeutet, dass wir das Gegenteil bewirken, und diese beiden Faktoren zusammengenommen bedeuten, dass wir nicht auf der Skala nach oben gehen müssen, sondern im Gegenteil Richtung, das ist unten.
Somit erhalten wir wieder die Antwort +3.
Warum genau ist es notwendig? Ersetze die Subtraktion durch die Addition? Warum „im umgekehrten Sinne“ aufsteigen? Ist es nicht einfacher, einfach nach unten zu gehen? Der Grund dafür ist, dass die Reihenfolge der Terme bei der Addition keine Rolle spielt, bei der Subtraktion jedoch sehr wichtig ist.
Wir haben bereits früher herausgefunden, dass (+5)-(+2) überhaupt nicht dasselbe ist wie (+2)-(+5). Im ersten Fall lautet die Antwort +3, im zweiten Fall -3. Andererseits ergeben (-2)+(+5) und (+5)+(-2) +3. Durch den Wechsel zur Addition und den Verzicht auf Subtraktionsoperationen können wir somit zufällige Fehler vermeiden, die mit der Neuanordnung von Summanden einhergehen.
Dasselbe können Sie tun, wenn Sie ein Negativ subtrahieren. (+5)-(-2) ist dasselbe wie (+5)+(+2). In beiden Fällen erhalten wir die Antwort +7. Wir beginnen bei Punkt +5 und bewegen uns „in die entgegengesetzte Richtung nach unten“, also nach oben. Genauso würden wir bei der Lösung des Ausdrucks (+5)+(+2) vorgehen.
Wenn Schüler mit dem Studium der Algebra beginnen, verwenden sie aktiv das Ersetzen der Subtraktion durch die Addition, weshalb diese Operation aufgerufen wird „algebraische Addition“. Tatsächlich ist das nicht ganz fair, da eine solche Operation offensichtlich arithmetisch und keineswegs algebraisch ist.
Dieses Wissen bleibt für alle unverändert, sodass Sie diese Regeln auch dort anwenden können, wenn Sie über www.salls.ru eine Ausbildung in Österreich erhalten, obwohl ein Studium im Ausland höher geschätzt wird.
In diesem Artikel werden wir darüber sprechen negative Zahlen hinzufügen. Zuerst geben wir die Regel zum Addieren negativer Zahlen an und beweisen sie. Anschließend schauen wir uns typische Beispiele für das Addieren negativer Zahlen an.
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Bevor wir die Regel zum Addieren negativer Zahlen formulieren, wenden wir uns dem Material im Artikel zu: positive und negative Zahlen. Dort haben wir erwähnt, dass negative Zahlen als Schulden wahrgenommen werden können und der Modul der Zahl in diesem Fall die Höhe dieser Schulden bestimmt. Daher ist die Addition zweier negativer Zahlen die Addition zweier Schulden.
Diese Schlussfolgerung lässt uns erkennen Regel zum Addieren negativer Zahlen. Um zwei negative Zahlen zu addieren, benötigen Sie:
- falten Sie ihre Module;
- Setzen Sie vor dem erhaltenen Betrag ein Minuszeichen.
Schreiben wir die Regel zum Addieren negativer Zahlen −a und −b in Buchstabenform auf: (−a)+(−b)=−(a+b) .
Es ist klar, dass die angegebene Regel die Addition negativer Zahlen auf die Addition positiver Zahlen reduziert (der Modul einer negativen Zahl ist eine positive Zahl). Es ist auch klar, dass das Ergebnis der Addition zweier negativer Zahlen eine negative Zahl ist, was durch das Minuszeichen vor der Summe der Module angezeigt wird.
Die Regel zum Addieren negativer Zahlen kann anhand von bewiesen werden Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen(oder die gleichen Eigenschaften von Operationen mit rationalen oder ganzen Zahlen). Dazu genügt es zu zeigen, dass die Differenz zwischen der linken und rechten Seite der Gleichung (−a)+(−b)=−(a+b) gleich Null ist.
Da das Subtrahieren einer Zahl dasselbe ist wie das Addieren der entgegengesetzten Zahl (siehe die Regel zum Subtrahieren ganzer Zahlen), gilt (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b) . Aufgrund der kommutativen und kombinativen Eigenschaften der Addition gilt (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Da die Summe der entgegengesetzten Zahlen gleich Null ist, gilt (−a+a)+(−b+b)=0+0 und 0+0=0 aufgrund der Eigenschaft, eine Zahl mit Null zu addieren. Dies beweist die Gleichheit (−a)+(−b)=−(a+b) und damit die Regel zum Addieren negativer Zahlen.
Somit gilt diese Additionsregel sowohl für negative ganze Zahlen und rationale Zahlen als auch für reelle Zahlen.
Es bleibt nur noch zu lernen, wie man die Regel der Addition negativer Zahlen in der Praxis anwendet, was wir im nächsten Absatz tun werden.
Beispiele für das Addieren negativer Zahlen
Lass es uns klären Beispiele für das Addieren negativer Zahlen. Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – der Addition negativer Ganzzahlen; wir führen die Addition gemäß der im vorherigen Absatz besprochenen Regel durch.
Addieren Sie die negativen Zahlen −304 und −18.007.
Befolgen wir alle Schritte der Regel zum Addieren negativer Zahlen.
Zuerst finden wir die Module der zu addierenden Zahlen: und 
. Jetzt müssen Sie die resultierenden Zahlen addieren; hier ist es praktisch, die Spaltenaddition durchzuführen: 
Nun setzen wir der resultierenden Zahl ein Minuszeichen voran, als Ergebnis erhalten wir −18.311.
Schreiben wir die gesamte Lösung in Kurzform: (−304)+(−18.007)= −(304+18.007)=−18.311.
Die Addition negativer rationaler Zahlen kann je nach den Zahlen selbst entweder auf die Addition natürlicher Zahlen oder auf die Addition gewöhnlicher Brüche oder auf die Addition dezimaler Brüche reduziert werden.
Addiere eine negative Zahl und eine negative Zahl −4,(12) .
Gemäß der Regel zum Addieren negativer Zahlen müssen Sie zunächst die Summe der Module berechnen. Die Module der negativen Zahlen, die addiert werden, sind gleich 2/5 bzw. 4 (12). Die Addition der resultierenden Zahlen kann auf die Addition gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu wandeln wir den periodischen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um: . Somit ist 2/5+4,(12)=2/5+136/33. Nun führen wir die Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern durch: .
Es bleibt nur noch, der resultierenden Zahl ein Minuszeichen voranzustellen: . Damit ist die Addition der ursprünglichen negativen Zahlen abgeschlossen.
Mit der gleichen Regel zum Addieren negativer Zahlen werden auch negative reelle Zahlen addiert. Hierbei ist zu beachten, dass das Ergebnis der Addition reeller Zahlen sehr oft in Form eines numerischen Ausdrucks geschrieben wird und der Wert dieses Ausdrucks näherungsweise und dann nur bei Bedarf berechnet wird.
Lassen Sie uns zum Beispiel die Summe der negativen Zahlen und −5 ermitteln. Die Moduli dieser Zahlen sind gleich der Quadratwurzel aus drei bzw. fünf, und die Summe der ursprünglichen Zahlen ist gleich. So ist die Antwort geschrieben. Weitere Beispiele finden Sie im Artikel Addition reeller Zahlen.
www.cleverstudents.ru
Die Regel zum Addieren zweier negativer Zahlen
Aktionen mit negativen und positiven Zahlen
Absolutwert (Modul). Zusatz.
Subtraktion. Multiplikation. Aufteilung.
Absolutwert (Modul). Für negative Zahl– ist eine positive Zahl, die man erhält, indem man ihr Vorzeichen von „–“ zu „+“ ändert; Für positive Zahl und Null– das ist die Zahl selbst. Um den Absolutwert (Modul) einer Zahl anzugeben, werden zwei Geraden verwendet, innerhalb derer diese Zahl geschrieben wird.
BEISPIELE: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) Wenn man zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen addiert, addieren sie sich
ihre Absolutwerte und der Summe wird ein gemeinsames Vorzeichen vorangestellt.
2) Bei der Addition zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen ergeben sich deren Absolutwerte
Mengen werden subtrahiert (von den größeren kleineren) und das Vorzeichen gesetzt
Zahlen mit einem größeren Absolutwert.
Subtraktion. Sie können die Subtraktion zweier Zahlen durch eine Addition ersetzen, bei der der Minuend sein Vorzeichen behält und der Subtrahend mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Multiplikation. Bei der Multiplikation zweier Zahlen werden deren Absolutwerte multipliziert und das Produkt nimmt das Vorzeichen „+“ an, wenn die Vorzeichen der Faktoren gleich sind, und das Vorzeichen „–“, wenn die Vorzeichen der Faktoren unterschiedlich sind.
Das folgende Diagramm ist nützlich ( Regeln für Multiplikationszeichen):
Bei der Multiplikation mehrerer Zahlen (zwei oder mehr) hat das Produkt ein „+“-Zeichen, wenn die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist, und ein „–“-Zeichen, wenn ihre Anzahl ungerade ist.
Aufteilung. Bei der Division zweier Zahlen wird der Absolutwert des Dividenden durch den Absolutwert des Divisors dividiert, und der Quotient erhält das „+“-Zeichen, wenn die Vorzeichen von Dividend und Divisor gleich sind, und das „–“-Zeichen, wenn die Vorzeichen gleich sind Die Vorzeichen von Dividende und Divisor sind unterschiedlich.
Handeln Sie hier Das gleiche Die Vorzeichenregeln sind die gleichen wie bei der Multiplikation:
Negative Zahlen hinzufügen
Addition positiver und negativer Zahlen kann mithilfe der Zahlenachse analysiert werden.
Addieren von Zahlen mithilfe einer Koordinatenlinie
Es ist praktisch, die Addition kleiner Modulo-Zahlen auf einer Koordinatenlinie durchzuführen und sich dabei im Geiste vorzustellen, wie sich der Punkt, der die Zahl bezeichnet, entlang der Zahlenachse bewegt.
Nehmen wir eine Zahl, zum Beispiel 3. Bezeichnen wir es auf der Zahlenachse mit dem Punkt „A“.
Fügen wir der Zahl die positive Zahl 2 hinzu. Dies bedeutet, dass Punkt „A“ um zwei Einheitssegmente in die positive Richtung, also nach rechts, verschoben werden muss. Als Ergebnis erhalten wir Punkt „B“ mit der Koordinate 5.
Um die negative Zahl „−5“ zu einer positiven Zahl, beispielsweise zu 3, zu addieren, muss Punkt „A“ um 5 Längeneinheiten in negativer Richtung, also nach links, verschoben werden.
In diesem Fall ist die Koordinate des Punktes „B“ gleich „2“.
Die Reihenfolge beim Addieren rationaler Zahlen mithilfe der Zahlengeraden lautet also wie folgt:
Wenn wir uns von Punkt - 2 nach links bewegen (da vor 6 ein Minuszeichen steht), erhalten wir - 8.
Zahlen mit gleichen Vorzeichen addieren
Das Addieren rationaler Zahlen kann einfacher sein, wenn Sie das Konzept des Moduls verwenden.
Wir müssen Zahlen addieren, die die gleichen Vorzeichen haben.
Dazu verwerfen wir die Vorzeichen der Zahlen und nehmen die Module dieser Zahlen. Addieren wir die Module und setzen wir das Vorzeichen vor die Summe, die diesen Zahlen gemeinsam war.
Ein Beispiel für das Addieren negativer Zahlen.
Um Zahlen mit demselben Vorzeichen zu addieren, müssen Sie deren Module addieren und vor die Summe das Vorzeichen setzen, das vor den Termen stand.
Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren
Wenn die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben, verhalten wir uns etwas anders als beim Addieren von Zahlen mit gleichen Vorzeichen.
Beispiel für die Addition einer negativen und einer positiven Zahl.
Ein Beispiel für das Addieren gemischter Zahlen.
Zu Fügen Sie Zahlen verschiedener Zeichen hinzu notwendig:
- subtrahiere das kleinere Modul vom größeren Modul;
- Tragen Sie vor der resultierenden Differenz das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Modul ein.
- das Hinzufügen ihrer Module durchführen;
- Fügen Sie dem erhaltenen Betrag ein „–“-Zeichen hinzu.
- Berechnen Sie die Zahlenmodule;
- Vergleichen Sie die resultierenden Zahlen:
- subtrahiere das kleinere vom größeren Modul;
- Tragen Sie vor dem resultierenden Wert das Vorzeichen der Zahl ein, deren Modul größer ist.
Positive und negative Zahlen addieren und subtrahieren
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Regel zum Addieren negativer Zahlen
Um zwei negative Zahlen zu addieren, benötigen Sie:
Nach der Additionsregel können wir schreiben:
Die Regel zum Addieren negativer Zahlen gilt für negative ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen.
Addieren Sie die negativen Zahlen $−185$ und $−23\789.$
Lassen Sie uns die Regel zum Addieren negativer Zahlen verwenden.
Addieren wir die resultierenden Zahlen:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Setzen Sie das Zeichen „–“$ vor die gefundene Zahl und erhalten Sie −23.974$.
Kurzlösung: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
Beim Addieren negativer rationaler Zahlen müssen diese in die Form natürlicher Zahlen, gewöhnlicher oder dezimaler Brüche, umgewandelt werden.
Addieren Sie die negativen Zahlen $-\frac $ und $−7,15$.
Gemäß der Regel zum Addieren negativer Zahlen müssen Sie zunächst die Summe der Module ermitteln:
Es ist praktisch, die erhaltenen Werte auf Dezimalbrüche zu reduzieren und ihre Addition durchzuführen:
Setzen wir das Zeichen „–“$ vor den resultierenden Wert und erhalten wir –7,4$.
Kurze Zusammenfassung der Lösung:
Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen addieren
Regel zum Addieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen:
wenn sie gleich sind, dann sind die ursprünglichen Zahlen entgegengesetzt und ihre Summe ist Null;
Wenn sie nicht gleich sind, müssen Sie sich das Vorzeichen der Zahl merken, deren Modul größer ist.
Das Addieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen kommt dem Subtrahieren einer kleineren negativen Zahl von einer größeren positiven Zahl gleich.
Die Regel zum Addieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen gilt für ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen.
Addiere die Zahlen $4$ und $−8$.
Sie müssen Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen addieren. Verwenden wir die entsprechende Additionsregel.
Finden wir die Module dieser Zahlen:
Der Modul der Zahl $−8$ ist größer als der Modul der Zahl $4$, d.h. Denken Sie an das Zeichen „-“$.
Setzen wir das Zeichen $“–“$, das wir uns gemerkt haben, vor die resultierende Zahl und wir erhalten $−4.$
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Um rationale Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen zu addieren, ist es zweckmäßig, sie in Form von gewöhnlichen Brüchen oder Dezimalbrüchen darzustellen.
Negative Zahlen subtrahieren
Regel zum Subtrahieren negativer Zahlen:
Um eine negative Zahl $b$ von einer Zahl $a$ zu subtrahieren, ist es notwendig, die Zahl $−b$ zum Minuend $a$ zu addieren, der das Gegenteil des Subtrahenden $b$ ist.
Nach der Subtraktionsregel können wir schreiben:
Diese Regel gilt für ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen. Die Regel kann verwendet werden, um eine negative Zahl von einer positiven Zahl, von einer negativen Zahl und von Null zu subtrahieren.
Subtrahieren Sie die negative Zahl $−5$ von der negativen Zahl $−28$.
Das Gegenstück zur Zahl $–5$ ist die Zahl $5$.
Nach der Regel zum Subtrahieren negativer Zahlen erhalten wir:
Addieren wir Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen:
Kurzlösung: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Wenn Sie negative Brüche subtrahieren, müssen Sie die Zahlen in Brüche, gemischte Zahlen oder Dezimalzahlen umwandeln.
Subtrahieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen
Die Regel zum Subtrahieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen ist dieselbe wie die Regel zum Subtrahieren negativer Zahlen.
Subtrahieren Sie die positive Zahl $7$ von der negativen Zahl $−11$.
Das Gegenteil von 7 $ ist –7 $.
Nach der Regel zum Subtrahieren von Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen erhalten wir:
Fügen wir negative Zahlen hinzu:
Beim Subtrahieren von Bruchzahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen ist es notwendig, die Zahlen in die Form gewöhnlicher oder dezimaler Brüche umzuwandeln.
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Addition negativer Zahlen: Regel, Beispiele
In diesem Material werden wir ein so wichtiges Thema wie das Addieren negativer Zahlen ansprechen. Im ersten Absatz erklären wir Ihnen die Grundregel für diese Aktion und im zweiten schauen wir uns konkrete Beispiele zur Lösung solcher Probleme an.
Grundregel zum Addieren natürlicher Zahlen
Bevor wir die Regel ableiten, erinnern wir uns daran, was wir allgemein über positive und negative Zahlen wissen. Zuvor waren wir uns einig, dass negative Zahlen als Schulden und Verlust wahrgenommen werden sollten. Der Modul einer negativen Zahl drückt die genaue Größe dieses Verlusts aus. Dann kann die Addition negativer Zahlen als Addition zweier Verluste dargestellt werden.
Mit dieser Argumentation formulieren wir die Grundregel für die Addition negativer Zahlen.
Um es zu vervollständigen negative Zahlen hinzufügen, müssen Sie die Werte ihrer Module addieren und vor dem Ergebnis ein Minuszeichen setzen. In wörtlicher Form sieht die Formel wie folgt aus: (− a) + (− b) = − (a + b) .
Basierend auf dieser Regel können wir schließen, dass das Addieren negativer Zahlen dem Addieren positiver Zahlen ähnelt, nur dass wir am Ende eine negative Zahl erhalten müssen, da wir der Summe der Module ein Minuszeichen voranstellen müssen.
Welche Beweise können für diese Regel angeführt werden? Dazu müssen wir uns die grundlegenden Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen merken (oder mit ganzen Zahlen oder mit rationalen Zahlen – sie sind für alle diese Zahlentypen gleich). Um dies zu beweisen, müssen wir nur zeigen, dass die Differenz zwischen der linken und rechten Seite der Gleichung (− a) + (− b) = − (a + b) gleich 0 sein wird.
Das Subtrahieren einer Zahl von einer anderen ist dasselbe wie das Addieren derselben entgegengesetzten Zahl. Daher ist (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Denken Sie daran, dass numerische Ausdrücke mit Addition zwei Haupteigenschaften haben – assoziativ und kommutativ. Dann können wir schließen, dass (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Da wir durch Addition entgegengesetzter Zahlen immer 0 erhalten, ist (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 und 0 + 0 = 0. Unsere Gleichheit kann als bewiesen angesehen werden, was die Regel für bedeutet Negative Zahlen hinzufügen Wir haben es auch bewiesen.
Probleme beim Addieren negativer Zahlen
Im zweiten Absatz gehen wir auf konkrete Probleme ein, bei denen wir negative Zahlen addieren müssen, und versuchen, die erlernte Regel darauf anzuwenden.
Finden Sie die Summe zweier negativer Zahlen – 304 und – 18.007.
Lösung
Lassen Sie uns die Schritte Schritt für Schritt ausführen. Zuerst müssen wir die Module der addierten Zahlen finden: - 304 = 304, - 180007 = 180007. Als nächstes müssen wir die Additionsaktion ausführen, wofür wir die Spaltenzählmethode verwenden:
Wir müssen nur noch ein Minus vor das Ergebnis setzen und erhalten – 18.311.
Antwort: — — 18 311 .
Welche Zahlen wir haben, hängt davon ab, worauf wir die Addition reduzieren können: die Summe natürlicher Zahlen ermitteln, gewöhnliche Brüche oder Dezimalbrüche addieren. Lassen Sie uns das Problem mit diesen Zahlen analysieren.
Finden Sie die Summe zweier negativer Zahlen – 2 5 und − 4, (12).
Wir finden die Module der erforderlichen Zahlen und erhalten 2 5 und 4, (12). Wir haben zwei verschiedene Brüche. Reduzieren wir das Problem auf die Addition zweier gewöhnlicher Brüche, für die wir den periodischen Bruch in Form eines gewöhnlichen Bruchs darstellen:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Als Ergebnis haben wir einen Bruch erhalten, der sich leicht mit dem ersten Originalterm addieren lässt (wenn Sie vergessen haben, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern richtig addiert, wiederholen Sie das entsprechende Material).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Als Ergebnis erhalten wir eine gemischte Zahl, vor die wir nur noch ein Minus setzen müssen. Damit sind die Berechnungen abgeschlossen.
Antwort: — 4 86 105 .
Reale negative Zahlen addieren sich auf ähnliche Weise. Das Ergebnis einer solchen Aktion wird üblicherweise als numerischer Ausdruck niedergeschrieben. Sein Wert darf nicht berechnet oder auf Näherungswerte beschränkt werden. Wenn wir beispielsweise die Summe - 3 + (− 5) ermitteln müssen, schreiben wir die Antwort als - 3 − 5. Der Addition reeller Zahlen haben wir ein eigenes Material gewidmet, in dem Sie weitere Beispiele finden.
