Potenzfunktionsgleichungen und Beispiele. Exponentialgleichungen. Wie löst man Exponentialgleichungen? Eigenschaften der Exponentialfunktion
Vorlesung: „Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen.“
1 . Exponentielle Gleichungen.
Gleichungen, die Unbekannte in Exponenten enthalten, werden Exponentialgleichungen genannt. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0, a ≠ 1.
1) Bei b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine eindeutige Wurzel. Um es zu finden, muss b in der Form b = aс, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.
Exponentialgleichungen führen durch algebraische Transformationen zu Standardgleichungen, die mit folgenden Methoden gelöst werden:
1) Methode der Reduktion auf eine Basis;
2) Bewertungsmethode;
3) grafische Methode;
4) Methode zur Einführung neuer Variablen;
5) Faktorisierungsmethode;
6) Exponential – Potenzgleichungen;
7) demonstrativ mit einem Parameter.
2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.
Die Methode basiert auf der folgenden Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d. h. man muss versuchen, die Gleichung auf die Form zu reduzieren
Beispiele. Löse die Gleichung:
1 . 3x = 81;
Stellen wir die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 dar und schreiben wir die Gleichung, die dem Original entspricht: 3 x = 34; x = 4. Antwort: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">und kommen wir zur Gleichung für die Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Antwort: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 darstellen. Machen wir uns dies zunutze und transformieren die ursprüngliche Gleichung wie folgt:
,
woraus 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.
5. 3x = 5. Per Definition des Logarithmus x = log35. Antwort: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Schreiben wir die Gleichung in der Form 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8 um, also.png" width="181" height="49 src="> Daher x – 4 =0, x = 4. Antwort: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Potenzeigenschaften schreiben wir die Gleichung in der Form 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, dann 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, also x+1 = 2, x =1. Antwort 1.
Problembank Nr. 1.
Löse die Gleichung:
Test Nr. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln |
1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test Nr. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Bewertungsmethode.
Wurzelsatz: Wenn die Funktion f(x) im Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, den f in diesem Intervall annimmt, dann hat die Gleichung f(x) = a eine einzige Wurzel im Intervall I.
Bei der Lösung von Gleichungen mit der Schätzmethode werden dieser Satz und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.
Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 – x.
Lösung. Schreiben wir die Gleichung als 4x +x = 5 um.
1. Wenn x = 1, dann ist 41+1 = 5, 5 = 5 wahr, was bedeutet, dass 1 die Wurzel der Gleichung ist.
Funktion f(x) = 4x – wächst auf R und g(x) = x – wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R, als Summe der steigenden Funktionen, dann ist x = 1 die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.
2.
Lösung. Schreiben wir die Gleichung im Formular um 
.
1. wenn x = -1, dann 
, 3 = 3 ist wahr, was bedeutet, dass x = -1 die Wurzel der Gleichung ist.
2. Beweisen Sie, dass er der Einzige ist.
3. Funktion f(x) = - nimmt auf R ab, und g(x) = - x – nimmt auf R ab => h(x) = f(x)+g(x) – nimmt auf R ab, als Summe von abnehmende Funktionen. Das bedeutet, dass nach dem Wurzelsatz x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung ist. Antwort 1.
Problembank Nr. 2. Löse die Gleichung
a) 4x + 1 =6 – x;
B) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Methode zur Einführung neuer Variablen.
Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Gleichungsglieder. Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiele.
R Löse die Gleichung: 1.
.
Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45“>
Lösung. Schreiben wir die Gleichung anders um: 
Nennen wir https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationale Gleichung. Das bemerken wir 
Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, was bedeutet, dass 2,5 die Wurzel der Gleichung ist. Antwort: 2.5.
Lösung. Schreiben wir die Gleichung in der Form um und dividieren beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0. Wir erhalten die Gleichung
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Lösung . Schreiben wir die Gleichung im Formular um
und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.
Teilen Sie die Gleichung durch 42x, wir erhalten 
Ersetzen wir https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Antwort: 0; 0,5.
Problembank Nr. 3. Löse die Gleichung
B) 
G) 
Test Nr. 3 mit einer Auswahl an Antworten. Mindestniveau.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test Nr. 4 mit einer Auswahl an Antworten. Allgemeines Niveau.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln |
5. Faktorisierungsmethode.
1. Lösen Sie die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Lösung..png" width="169" height="69"> , von wo
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Lösung. Setzen wir 6x in Klammern auf die linke Seite der Gleichung und 2x auf die rechte Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Da 2x >0 für alle x gilt, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.
3. 
Lösung. Lösen wir die Gleichung mit der Faktorisierungsmethode.
Wählen wir das Quadrat des Binomials aus 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.
Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test Nr. 6 Allgemeines Niveau.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponential – Potenzgleichungen.
Den Exponentialgleichungen benachbart sind die sogenannten Exponentialpotenzgleichungen, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Wenn bekannt ist, dass f(x)>0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzung der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.
Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle bei der Lösung einer Exponentialgleichung berücksichtigen.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Lösung. x2 +2x-8 – macht für jedes x Sinn, da es ein Polynom ist, was bedeutet, dass die Gleichung der Gesamtheit entspricht
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
B) 
7. Exponentialgleichungen mit Parametern.
1. Für welche Werte des Parameters p hat Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?
Lösung. Führen wir die Ersetzung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)
Diskriminante der Gleichung (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Wurzel hat. Dies ist in den folgenden Fällen möglich.
1. Wenn D = 0, also p = 1, dann nimmt Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0 an, daher ist t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.
2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Bedingungen des Problems werden von einer Menge von Systemen erfüllt
Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, erhalten wir
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Lösung. Lassen 
dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)
Finden wir die Werte des Parameters a, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.
Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn
D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 an.
Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Somit hat Gleichung (4) für a 0 eine einzige positive Wurzel 
. Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung 
Wenn ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;
wenn a 0, dann
Vergleichen wir die Methoden zur Lösung der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein perfektes Quadrat ist; Daher wurden die Wurzeln der Gleichung (2) sofort mit der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnet und anschließend wurden Rückschlüsse auf diese Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es bei der Lösung von Gleichung (3) ratsam, Sätze über die Lage der Wurzeln eines quadratischen Trinoms zu verwenden und ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) mit dem Satz von Vieta gelöst werden kann.
Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.
Aufgabe 3: Lösen Sie die Gleichung 
Lösung. ODZ: x1, x2.
Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis von Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Finden wir die Werte von a, für die mindestens eine Wurzel von die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Antwort: wenn a > – 13, a 11, a 5, dann wenn a – 13,
a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.
Literaturverzeichnis.
1. Guzeevs Grundlagen der Bildungstechnologie.
2. Guzeev-Technologie: von der Rezeption zur Philosophie.
M. „Schuldirektor“ Nr. 4, 1996
3. Guzeev und Organisationsformen der Ausbildung.
4. Guzeev und die Praxis integraler Bildungstechnologie.
M. „Öffentliche Bildung“, 2001
5. Guzeev aus den Formen eines Unterrichts - Seminars.
Mathematik in der Schule Nr. 2, 1987 S. 9–11.
6. Bildungstechnologien von Seleuko.
M. „Öffentliche Bildung“, 1998
7. Episheva-Schulkinder lernen Mathematik.
M. „Aufklärung“, 1990
8. Ivanova bereitet Unterrichtsstunden vor – Workshops.
Mathematik in der Schule Nr. 6, 1990 S. 37 – 40.
9. Smirnovs Modell des Mathematikunterrichts.
Mathematik in der Schule Nr. 1, 1997 S. 32 – 36.
10. Tarasenkos Möglichkeiten zur Organisation der praktischen Arbeit.
Mathematik in der Schule Nr. 1, 1993 S. 27 – 28.
11. Über eine der Arten individueller Arbeit.
Mathematik in der Schule Nr. 2, 1994, S. 63–64.
12. Khazankin kreative Fähigkeiten von Schulkindern.
Mathematik in der Schule Nr. 2, 1989 S. 10.
13. Scanavi. Verlag, 1997
14. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis. Didaktische Materialien für
15. Krivonogov-Aufgaben in der Mathematik.
M. „Erster September“, 2002
16. Tscherkasow. Handbuch für Gymnasiasten und
Eintritt in Universitäten. „A S T – Presseschule“, 2002
17. Zhevnyak für Studienanfänger.
Minsk und die Russische Föderation „Review“, 1996
18. Schriftlich D. Wir bereiten uns auf die Prüfung in Mathematik vor. M. Rolf, 1999
19. usw. Lernen, Gleichungen und Ungleichungen zu lösen.
M. „Intellekt – Zentrum“, 2003
20. usw. Bildungs- und Schulungsmaterialien zur Vorbereitung auf die EGE.
M. „Intelligence – Center“, 2003 und 2004.
21 und andere. Testzentrum des Verteidigungsministeriums der Russischen Föderation, 2002, 2003.
22. Goldberg-Gleichungen. „Quantum“ Nr. 3, 1971
23. Volovich M. Wie man erfolgreich Mathematik unterrichtet.
Mathematik, 1997 Nr. 3.
24 Okunev für die Lektion, Kinder! M. Bildung, 1988
25. Yakimanskaya – orientiertes Lernen in der Schule.
26. Limits arbeiten im Unterricht. M. Wissen, 1975
Diese Lektion richtet sich an diejenigen, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit der Definition und einfachen Beispielen.
Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben – linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können ist unbedingt notwendig, um nicht in der nun behandelten Thematik „hängenzubleiben“.
Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele nennen:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Einige davon mögen Ihnen komplexer erscheinen, während andere im Gegenteil zu einfach sind. Eines haben sie jedoch alle gemeinsam: Ihre Notation enthält die Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lassen Sie uns daher die Definition einführen:
Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d. h. Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten – Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.
Gut. Wir haben die Definition geklärt. Die Frage ist nun: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist sowohl einfach als auch komplex.
Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit dem Unterrichten vieler Studenten kann ich sagen, dass die meisten von ihnen Exponentialgleichungen viel einfacher finden als die gleichen Logarithmen und vor allem die Trigonometrie.
Aber es gibt eine schlechte Nachricht: Manchmal werden die Verfasser von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ getroffen und ihr von Drogen berauschtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass ihre Lösung nicht nur für Schüler, sondern sogar für viele Lehrer problematisch wird bleibe bei solchen Problemen hängen.
Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jedes davon zu lösen.
Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, auf welche Potenz muss man die Zahl 2 erhöhen, um die Zahl 4 zu erhalten? Wahrscheinlich der zweite? Schließlich ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ – und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d. h. tatsächlich $x=2$. Nun, danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte :).
Schauen wir uns die folgende Gleichung an:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Aber hier ist es etwas komplizierter. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ die Multiplikationstabelle ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen eine Definition negativer Potenzen ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Schließlich erkennen nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und zu folgendem Ergebnis führen:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Daher wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Aber das ist schon völlig lösbar! Links in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, rechts in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, außer ihnen gibt es nirgendwo etwas anderes. Daher können wir die Grundlagen „verwerfen“ und die Indikatoren dummerweise gleichsetzen:
Wir haben die einfachste lineare Gleichung erhalten, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „Lineare Gleichungen“ zurück und wiederholen Sie es. Denn ohne ein klares Verständnis dieses Themas ist es zu früh, sich mit Exponentialgleichungen auseinanderzusetzen.
\[((9)^(x))=-3\]
Wie können wir das also lösen? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, daher kann die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
Dann erinnern wir uns daran, dass bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert werden:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Und für eine solche Entscheidung erhalten wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn mit dem Gleichmut eines Pokémon haben wir das Minuszeichen vor die Drei in die Potenz dieser Drei gesetzt. Aber das kannst du nicht tun. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen der Drei an:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]
Bei der Zusammenstellung dieser Tafel habe ich nichts verfälscht: Ich habe positive Potenzen und negative Potenzen und sogar gebrochene Potenzen berücksichtigt ... Nun, wo ist hier mindestens eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte an (egal wie viel eins durch zwei multipliziert oder dividiert wird, es wird immer noch a sein positive Zahl), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!
Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Aber auf keinen Fall: Es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen den quadratischen Gleichungen sehr ähnlich – es darf auch keine Wurzeln geben. Wenn aber in quadratischen Gleichungen die Anzahl der Wurzeln durch die Diskriminante bestimmt wird (positive Diskriminante – 2 Wurzeln, negativ – keine Wurzeln), dann hängt bei exponentiellen Gleichungen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.
Formulieren wir also die wichtigste Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, das Problem zu lösen oder sofort aufzuschreiben, dass es keine Wurzeln gibt?
Dieses Wissen wird uns oft helfen, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. Jetzt aber genug der Texte – es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.
So lösen Sie Exponentialgleichungen
Formulieren wir also das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Gemäß dem „naiven“ Algorithmus, den wir zuvor verwendet haben, ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:
Wenn außerdem anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck vorhanden ist, erhalten wir eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]
Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90 % der Fälle. Was ist dann mit den restlichen 10 %? Die restlichen 10 % sind leicht „schizophrene“ Exponentialgleichungen der Form:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Nun, auf welche Potenz muss man 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? Erste? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. Zweite? Nein auch nicht: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Welches denn?
Versierte Studierende haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es nicht möglich ist, „schön“ zu lösen, kommt die „schwere Artillerie“ – Logarithmen – ins Spiel. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mit Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (außer einer) dargestellt werden kann:
Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich immer: Diese Formel (die auch die grundlegende logarithmische Identität oder, wenn Sie so wollen, die Definition eines Logarithmus ist) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie ist aufgetaucht. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite reduzieren möchten, erhalten wir Folgendes:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]
Wir haben eine etwas seltsame Antwort erhalten: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele an einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hätte? Ich beeile mich, Ihnen zu gefallen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine völlig typische Situation. Also gewöhne dich daran :)
Nun lösen wir die verbleibenden beiden Gleichungen analog:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]
Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:
Wir haben einen Multiplikator zum Argument des Logarithmus eingeführt. Aber niemand hält uns davon ab, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:
Darüber hinaus sind alle drei Optionen richtig – es handelt sich lediglich um unterschiedliche Schreibweisen derselben Zahl. Welche Sie in dieser Lösung auswählen und aufschreiben möchten, liegt bei Ihnen.
Somit haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ streng positiv sind. Die harte Realität unserer Welt ist jedoch, dass solch einfache Aufgaben sehr, sehr selten anzutreffen sind. Meistens werden Sie auf so etwas stoßen:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]
Wie können wir das also lösen? Lässt sich das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?
Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebrakurs merken. Und natürlich gibt es keine Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen. Das alles erzähle ich euch jetzt :)
Exponentialgleichungen umwandeln
Das Erste, woran man sich erinnern sollte: Jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie auch sein mag, muss auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden – diejenigen, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zur Lösung einer beliebigen Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:
- Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Mach irgendeinen seltsamen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens „Gleichung umwandeln“;
- Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke der Form $((4)^(x))=4$ oder etwas Ähnliches. Darüber hinaus kann eine Ausgangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig ergeben.
Mit dem ersten Punkt ist alles klar – sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt Papier schreiben. Auch der dritte Punkt scheint mehr oder weniger klar zu sein – wir haben oben bereits eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.
Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was für Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?
Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich Folgendes anmerken. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:
- Die Gleichung besteht aus Exponentialfunktionen mit derselben Basis. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.
Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs – sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei der Lösung wird uns eine Technik wie das Hervorheben stabiler Ausdrücke helfen.
Einen stabilen Ausdruck isolieren
Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Was sehen wir? Die vier sind unterschiedlich stark angehoben. Aber alle diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher ist es notwendig, sich an die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen zu erinnern:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]
Einfach ausgedrückt kann die Addition in ein Potenzprodukt umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Grade aus unserer Gleichung anzuwenden:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]
Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]
Es bleibt noch, beide Seiten der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, d.h. im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]
Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf ihre einfachste Form reduziert und die endgültige Antwort erhalten.
Gleichzeitig haben wir im Lösungsprozess den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und ihn sogar aus der Klammer genommen) – das ist ein stabiler Ausdruck. Sie kann als neue Variable bezeichnet werden oder Sie können sie einfach sorgfältig ausdrücken und die Antwort erhalten. Das Kernprinzip der Lösung lautet jedenfalls wie folgt:
Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die sich leicht von allen Exponentialfunktionen unterscheiden lässt.
Die gute Nachricht ist, dass Sie mit fast jeder Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck isolieren können.
Die schlechte Nachricht ist jedoch, dass diese Ausdrücke ziemlich knifflig und schwer zu identifizieren sein können. Schauen wir uns also ein weiteres Problem an:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft?“ Hier gibt es verschiedene Basen – 5 und 0,2.“ Versuchen wir aber, die Potenz auf die Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden, indem wir ihn auf einen regulären Bruch reduzieren:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Wie Sie sehen können, kam die Zahl 5 immer noch vor, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator in negativ umgeschrieben. Erinnern wir uns nun an eine der wichtigsten Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Hier habe ich natürlich ein wenig gelogen. Denn zum vollständigen Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit Brüchen zu arbeiten:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Aber in diesem Fall müssen Sie in der Lage sein, eine Potenz auf eine andere Potenz zu erhöhen (ich möchte Sie daran erinnern: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht „umkehren“ – vielleicht ist das für einige einfacher :)
In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung wie folgt umgeschrieben:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]
Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher gelöst werden kann als die zuvor betrachtete: Hier muss nicht einmal ein stabiler Ausdruck ausgewählt werden – alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]
Das ist die Lösung! Wir haben die endgültige Antwort erhalten: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich eine Technik erwähnen, die uns alle Berechnungen erheblich vereinfacht hat:
Achten Sie bei Exponentialgleichungen darauf, Dezimalbrüche loszuwerden und sie in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Dadurch können Sie die gleichen Gradzahlen sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.
Kommen wir nun zu komplexeren Gleichungen, in denen es verschiedene Basen gibt, die sich mit Potenzen überhaupt nicht auf einander reduzieren lassen.
Verwenden der Degrees-Eigenschaft
Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]
Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welcher Grundlage gegeben werden soll. Wo sind die stabilen Ausdrücke? Wo sind die gleichen Gründe? Davon gibt es nichts.
Aber versuchen wir, einen anderen Weg zu gehen. Wenn es keine vorgefertigten identischen Basen gibt, können Sie versuchen, diese durch Faktorisieren der vorhandenen Basen zu finden.
Beginnen wir mit der ersten Gleichung:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]
Sie können aber auch das Gegenteil tun – aus den Zahlen 7 und 3 die Zahl 21 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]
Das ist alles! Sie haben den Exponenten außerhalb des Produkts genommen und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.
Schauen wir uns nun die zweite Gleichung an. Hier ist alles viel komplizierter:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden konnte, reduzieren Sie es unbedingt. Oftmals tauchen interessante Gründe auf, mit denen man bereits arbeiten kann.
Leider hat sich für uns nichts Besonderes ergeben. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:
Ich möchte Sie daran erinnern: Um das Minuszeichen im Indikator zu entfernen, müssen Sie nur den Bruch „umdrehen“. Nun, schreiben wir die ursprüngliche Gleichung um:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]
In der zweiten Zeile haben wir einfach den Gesamtexponenten aus dem Produkt aus der Klammer nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) entnommen \cdot b \right))^ (x))$, und im letzten haben sie einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.
Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, es ist offensichtlich: Es handelt sich um Potenzen gleicher Zahl! Wir haben:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]
Daher wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
In diesem Fall erhalten Sie rechts auch einen Grad mit der gleichen Basis, für den es genügt, den Bruch einfach „umzudrehen“:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Unsere Gleichung wird schließlich die Form annehmen:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Das ist die Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass wir auch bei unterschiedlichen Grundlagen versuchen, diese Grundlagen auf Biegen und Brechen auf das Gleiche zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Umformungen von Gleichungen und Regeln für die Arbeit mit Potenzen.
Aber welche Regeln und wann sind sie anzuwenden? Wie verstehen Sie, dass Sie in einer Gleichung beide Seiten durch etwas dividieren müssen und in einer anderen die Basis der Exponentialfunktion faktorisieren müssen?
Die Antwort auf diese Frage wird mit der Erfahrung kommen. Versuchen Sie sich zunächst an einfachen Gleichungen und verkomplizieren Sie die Probleme dann nach und nach – und schon bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede beliebige Exponentialgleichung aus demselben Einheitlichen Staatsexamen oder einer unabhängigen Prüfungsarbeit zu lösen.
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