Finden Sie die Parität oder Ungeradezahl einer Funktion heraus. So identifizieren Sie gerade und ungerade Funktionen. Allgemeines Schema zum Zeichnen von Funktionen

Verwenden Sie dazu Millimeterpapier oder einen Grafiktaschenrechner. Wählen Sie eine beliebige Anzahl unabhängiger Variablenwerte aus x (\displaystyle x) und fügen Sie sie in die Funktion ein, um die Werte der abhängigen Variablen zu berechnen y (\displaystyle y). Tragen Sie die gefundenen Koordinaten der Punkte auf der Koordinatenebene ein und verbinden Sie diese Punkte dann, um einen Graphen der Funktion zu erstellen.

• Ersetzen Sie positive numerische Werte in der Funktion x (\displaystyle x) und entsprechende negative numerische Werte. Zum Beispiel gegeben die Funktion . Ersetzen Sie die folgenden Werte darin x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Funktionsnullstellen
Der Nullpunkt einer Funktion ist der Wert X, bei dem die Funktion zu 0 wird, d. h. f(x)=0.

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Achse Oh.

Funktionsparität
Eine Funktion wird auch dann aufgerufen, wenn sie für welche gilt X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit f(-x) = f(x).

Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur Achse OU

Ungerade Paritätsfunktion
Eine Funktion heißt ungerade wenn überhaupt X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit f(-x) = -f(x).

Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
Eine Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, heißt allgemeine Funktion.

Zunehmende Funktion
Eine Funktion f(x) heißt steigend, wenn ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion entspricht, d. h.

Absteigende Funktion
Eine Funktion f(x) heißt abnehmend, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht, d. h.

Es werden Intervalle aufgerufen, über die die Funktion entweder nur abnimmt oder nur zunimmt Intervalle der Monotonie. Die Funktion f(x) hat 3 Intervalle der Monotonie:

Finden Sie Intervalle der Monotonie mit dem Dienst Intervalle steigender und fallender Funktion

Lokales Maximum
Punkt x 0 wird als lokaler Maximalpunkt bezeichnet, wenn überhaupt X aus der Nähe eines Punktes x 0 Es gilt die Ungleichung: f(x 0) > f(x)

Lokales Minimum
Punkt x 0 wird als lokaler Minimalpunkt bezeichnet, wenn überhaupt X aus der Nähe eines Punktes x 0 Ungleichung gilt: f(x 0)< f(x).

Lokale Maximalpunkte und lokale Minimalpunkte werden lokale Extrempunkte genannt.

lokale Extrempunkte.

Funktionsfrequenz
Die Funktion f(x) heißt periodisch, mit einem Punkt T, wenn überhaupt X es gilt die Gleichung f(x+T) = f(x).

Intervalle der Vorzeichenkonstanz
Intervalle, in denen die Funktion entweder nur positiv oder nur negativ ist, werden Intervalle mit konstantem Vorzeichen genannt.

Kontinuität der Funktion
Eine Funktion f(x) heißt stetig an einem Punkt x 0, wenn der Grenzwert der Funktion als x → x 0 gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt ist, d.h. .

Haltepunkte
Die Punkte, an denen die Kontinuitätsbedingung verletzt wird, werden Funktionsunterbrechungspunkte genannt.

x 0- Bruchstelle.

Allgemeines Schema zum Zeichnen von Funktionen

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D(y).

2. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

3. Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade.

4. Untersuchen Sie die Funktion auf Periodizität.

5. Finden Sie Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion.

6. Finden Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion.

7. Finden Sie die Asymptoten der Funktion.

8. Erstellen Sie basierend auf den Forschungsergebnissen ein Diagramm.

Beispiel: Erkunden Sie die Funktion und zeichnen Sie sie grafisch auf: y = x 3 – 3x

1) Die Funktion ist auf der gesamten numerischen Achse definiert, d. h. ihr Definitionsbereich ist D(y) = (-∞; +∞).

2) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

mit der OX-Achse: Lösen Sie die Gleichung x 3 – 3x = 0

mit OY-Achse: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade oder ungerade ist:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Daraus folgt, dass die Funktion ungerade ist.

4) Die Funktion ist nicht periodisch.

5) Finden wir die Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion: y’ = 3x 2 - 3.

Kritische Punkte: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Finden Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion: y'' = 6x

Kritische Punkte: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Die Funktion ist stetig, sie hat keine Asymptoten.

8) Basierend auf den Ergebnissen der Studie erstellen wir einen Graphen der Funktion.

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Methoden zur Angabe einer Funktion

Die Funktion sei durch die Formel gegeben: y=2x^(2)-3. Indem Sie der unabhängigen Variablen x beliebige Werte zuweisen, können Sie mit dieser Formel die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y berechnen. Wenn beispielsweise x=-0,5 ist, finden wir mithilfe der Formel, dass der entsprechende Wert von y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 ist.

Wenn Sie einen beliebigen Wert des Arguments x in der Formel y=2x^(2)-3 nehmen, können Sie nur einen Wert der entsprechenden Funktion berechnen. Die Funktion kann als Tabelle dargestellt werden:

Anhand dieser Tabelle können Sie sehen, dass für den Argumentwert −1 der Funktionswert −3 entspricht; und der Wert x=2 entspricht y=0 usw. Es ist auch wichtig zu wissen, dass jeder Argumentwert in der Tabelle nur einem Funktionswert entspricht.

Mithilfe von Diagrammen können weitere Funktionen spezifiziert werden. Anhand eines Diagramms wird ermittelt, welcher Wert der Funktion mit einem bestimmten Wert x korreliert. In den meisten Fällen handelt es sich dabei um einen Näherungswert der Funktion.

Gerade und ungerade Funktion

Die Funktion ist gleiche Funktion, wenn f(-x)=f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch zur Oy-Achse.

Die Funktion ist komische Funktion, wenn f(-x)=-f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch zum Ursprung O (0;0) .

Die Funktion ist nicht mal, weder seltsam und heißt allgemeine Funktion, wenn es keine Symmetrie um die Achse oder den Ursprung aufweist.

Untersuchen wir die folgende Funktion auf Parität:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) mit einem symmetrischen Definitionsbereich relativ zum Ursprung. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Das bedeutet, dass die Funktion f(x)=3x^(3)-7x^(7) ungerade ist.

Periodische Funktion

Es wird eine Funktion y=f(x) aufgerufen, in deren Definitionsbereich für jedes x die Gleichheit f(x+T)=f(x-T)=f(x) gilt periodische Funktion mit Periode T \neq 0 .

Wiederholen des Graphen einer Funktion auf einem beliebigen Segment der x-Achse mit der Länge T.

Die Intervalle, in denen die Funktion positiv ist, also f(x) > 0, sind Segmente der Abszissenachse, die den Punkten des Funktionsgraphen entsprechen, die über der Abszissenachse liegen.

f(x) > 0 auf (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalle, in denen die Funktion negativ ist, d. h. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Eingeschränkte Funktion

Von unten begrenzt Es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X aufzurufen, wenn es eine Zahl A gibt, für die die Ungleichung f(x) \geq A für jedes x \in X gilt.

Ein Beispiel für eine von unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1+x^(2)) da y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 für jedes x .

Von oben begrenzt Eine Funktion y=f(x), x \in X wird aufgerufen, wenn es eine Zahl B gibt, für die für jedes x \in X die Ungleichung f(x) \neq B gilt.

Ein Beispiel für eine unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] da y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 für jedes x \in [-1;1] .

Begrenzt Es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X aufzurufen, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, für die die Ungleichung \left | gilt f(x)\right | \neq K für jedes x \in X .

Ein Beispiel für eine eingeschränkte Funktion: y=\sin x ist auf der gesamten Zahlenachse begrenzt, da \left | \sin x \right | \neq 1.

Zunehmende und abnehmende Funktion

Es ist üblich, von einer Funktion zu sprechen, die im betrachteten Intervall zunimmt als zunehmende Funktion dann, wenn ein größerer Wert von x einem größeren Wert der Funktion y=f(x) entspricht. Daraus folgt, dass bei zwei beliebigen Werten des Arguments x_(1) und x_(2) aus dem betrachteten Intervall mit x_(1) > x_(2) das Ergebnis y(x_(1)) > ist y(x_(2)).

Eine Funktion, die im betrachteten Intervall abnimmt, wird aufgerufen abnehmende Funktion wenn ein größerer Wert von x einem kleineren Wert der Funktion y(x) entspricht. Daraus folgt, dass das Ergebnis y(x_(1)) sein wird, wenn man aus dem betrachteten Intervall zwei beliebige Werte des Arguments x_(1) und x_(2) und x_(1) > x_(2) nimmt.< y(x_{2}) .

Funktionswurzeln Es ist üblich, die Punkte, an denen die Funktion F=y(x) schneidet, mit der Abszissenachse zu bezeichnen (sie werden durch Lösen der Gleichung y(x)=0 erhalten).

a) Wenn für x > 0 eine gerade Funktion zunimmt, dann nimmt sie für x ab< 0

b) Wenn eine gerade Funktion bei x > 0 abnimmt, nimmt sie bei x zu< 0

c) Wenn eine ungerade Funktion bei x > 0 zunimmt, dann nimmt sie auch bei x zu< 0

d) Wenn eine ungerade Funktion für x > 0 abnimmt, dann nimmt sie auch für x ab< 0

Extrema der Funktion

Minimaler Punkt der Funktion y=f(x) wird üblicherweise ein Punkt x=x_(0) genannt, in dessen Umgebung es andere Punkte gibt (außer dem Punkt x=x_(0)), und für diese gilt dann die Ungleichung f(x) > f erfüllt (x_(0)) . y_(min) – Bezeichnung der Funktion am Min-Punkt.

Maximaler Punkt der Funktion y=f(x) wird üblicherweise ein Punkt x=x_(0) genannt, in dessen Umgebung es andere Punkte gibt (außer dem Punkt x=x_(0)), für die dann die Ungleichung f(x) erfüllt ist< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Voraussetzung

Nach dem Satz von Fermat gilt: f"(x)=0, wenn die Funktion f(x), die am Punkt x_(0) differenzierbar ist, an diesem Punkt ein Extremum hat.

Ausreichender Zustand

1. Wenn die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist x_(0) der Minimalpunkt;
2. x_(0) – ist nur dann ein Maximalpunkt, wenn die Ableitung beim Durchgang durch den stationären Punkt x_(0) das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem Intervall

Berechnungsschritte:

1. Gesucht wird die Ableitung f"(x);
2. Es werden stationäre und kritische Punkte der Funktion gefunden und diejenigen ausgewählt, die zum Segment gehören;
3. Die Werte der Funktion f(x) liegen an stationären und kritischen Punkten und Enden des Segments. Das kleinere der erzielten Ergebnisse wird ausfallen der kleinste Wert der Funktion, und mehr - das größte.

Die Ihnen bis zu einem gewissen Grad bekannt waren. Dort wurde auch darauf hingewiesen, dass der Bestand an Funktionsimmobilien sukzessive wieder aufgefüllt wird. In diesem Abschnitt werden zwei neue Eigenschaften besprochen.

Definition 1.

Die Funktion y = f(x), x є X, wird auch dann aufgerufen, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) = f (x) gilt.

Definition 2.

Die Funktion y = f(x), x є X, heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) = -f (x) gilt.

Beweisen Sie, dass y = x 4 eine gerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Aber(-x) 4 = x 4. Das bedeutet, dass für jedes x die Gleichheit f(-x) = f(x) gilt, d.h. die Funktion ist gerade.

Ebenso lässt sich beweisen, dass die Funktionen y - x 2, y = x 6, y - x 8 gerade sind.

Beweisen Sie, dass y = x 3 ~ eine ungerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Aber (-x) 3 = -x 3. Das bedeutet, dass für jedes x die Gleichheit f (-x) = -f (x) gilt, d.h. Die Funktion ist seltsam.

Ebenso lässt sich beweisen, dass die Funktionen y = x, y = x 5, y = x 7 ungerade sind.

Sie und ich waren bereits mehr als einmal davon überzeugt, dass neue Begriffe in der Mathematik meist einen „irdischen“ Ursprung haben, d.h. Sie können irgendwie erklärt werden. Dies ist sowohl bei geraden als auch bei ungeraden Funktionen der Fall. Siehe: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sind ungerade Funktionen, während y = x 2, y = x 4, y = x 6 gerade Funktionen sind. Und im Allgemeinen können wir für jede Funktion der Form y = x" (im Folgenden werden wir diese Funktionen speziell untersuchen), bei der n eine natürliche Zahl ist, schließen: Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist die Funktion y = x". seltsam; Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist die Funktion y = xn gerade.

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Dies ist zum Beispiel die Funktion y = 2x + 3. Tatsächlich ist f(1) = 5 und f (-1) = 1. Wie Sie sehen können, ist hier also weder die Identität f(-x) = f ( x), noch die Identität f(-x) = -f(x).

Eine Funktion kann also gerade, ungerade oder keines von beidem sein.

Die Untersuchung, ob eine gegebene Funktion gerade oder ungerade ist, wird üblicherweise als Untersuchung der Parität bezeichnet.

In den Definitionen 1 und 2 wir reden überüber die Werte der Funktion an den Punkten x und -x. Dies setzt voraus, dass die Funktion sowohl am Punkt x als auch am Punkt -x definiert ist. Dies bedeutet, dass Punkt -x gleichzeitig mit Punkt x zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Wenn eine Zahlenmenge X zusammen mit jedem ihrer Elemente x auch das Gegenelement -x enthält, dann heißt X eine symmetrische Menge. Nehmen wir an, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sind symmetrische Mengen, während )