1 oszillierende Bewegung. Von Natur aus. Die Bedeutung von Schwingungen in Wissenschaft und Technologie

Oszillierend sind Prozesse, bei denen die Parameter, die den Zustand des Schwingungssystems charakterisieren, über die Zeit eine gewisse Wiederholbarkeit aufweisen. Solche Prozesse können beispielsweise tägliche und jährliche Schwankungen der Temperatur der Atmosphäre und der Erdoberfläche, Pendelschwingungen usw. sein.

Wenn die Zeitintervalle, in denen sich der Zustand des Systems wiederholt, gleich sind, spricht man von Schwingungen periodisch und das Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden identischen Zuständen des Systems beträgt Schwingungsdauer.

Bei periodischen Schwingungen wiederholt sich die Funktion, die den Zustand des Schwingsystems bestimmt, über die Schwingungsperiode:

Unter den periodischen Schwingungen nehmen Schwingungen eine Sonderstellung ein harmonisch, d.h. Schwingungen, bei denen sich die Bewegungseigenschaften des Systems nach einem harmonischen Gesetz ändern, zum Beispiel:

(308)

Die größte Aufmerksamkeit, die in der Schwingungstheorie den in der Praxis häufig vorkommenden harmonischen Prozessen gewidmet wird, erklärt sich sowohl aus der Tatsache, dass der Analyseapparat für sie am besten entwickelt ist, als auch aus der Tatsache, dass alle periodischen Schwingungen (und nicht nur periodische) kann in Form einer bestimmten Kombination harmonischer Komponenten betrachtet werden. Aus diesen Gründen werden im Folgenden überwiegend harmonische Schwingungen betrachtet. Im analytischen Ausdruck für harmonische Schwingungen (308) wird die Größe x der Abweichung eines materiellen Punktes von der Gleichgewichtslage genannt Verschiebung.

Offensichtlich beträgt die maximale Abweichung eines Punktes von der Gleichgewichtslage a, man nennt diese Größe Amplitude der Schwingungen. Physikalische Größe gleich:

und die Bestimmung des Zustands des schwingenden Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt wird aufgerufen Schwingungsphase. Der Phasenwert zum Zeitpunkt des Beginns der Zeitzählung

angerufen Anfangsphase der Schwingungen. Der Wert w in Bezug auf die Schwingungsphase, der die Geschwindigkeit des Schwingungsvorgangs bestimmt, wird als seine kreisförmige oder zyklische Schwingungsfrequenz bezeichnet.

Der Bewegungszustand bei periodischen Schwingungen muss sich in Abständen wiederholen, die der Schwingungsperiode T entsprechen. In diesem Fall muss sich natürlich die Phase der Schwingungen um 2p (Periode der harmonischen Funktion) ändern, d. h.:

Daraus folgt, dass die Schwingungsdauer und die zyklische Frequenz durch die Beziehung zueinander in Beziehung stehen:

Auch die Geschwindigkeit des Punktes, dessen Bewegungsgesetz durch (301) bestimmt ist, ändert sich nach dem harmonischen Gesetz

(309)

Beachten Sie, dass die Verschiebung und die Geschwindigkeit eines Punktes nicht gleichzeitig verschwinden oder Maximalwerte annehmen, d. h. Mischung und Geschwindigkeit unterscheiden sich in der Phase.

Ebenso finden wir, dass die Beschleunigung des Punktes gleich ist:

Der Ausdruck für die Beschleunigung zeigt, dass sie in Bezug auf Weg und Geschwindigkeit phasenverschoben ist. Obwohl Weg und Beschleunigung gleichzeitig den Nullpunkt durchlaufen, haben sie zu diesem Zeitpunkt entgegengesetzte Richtungen, d. h. um p verschoben. Diagramme der Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung über der Zeit während harmonischer Schwingungen sind in Abb. 81 im herkömmlichen Maßstab dargestellt.

Schwingungseigenschaften

Phase bestimmt den Zustand des Systems, nämlich Koordinaten, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie usw.

Zyklische Häufigkeit charakterisiert die Änderungsrate der Schwingungsphase.

Der Ausgangszustand des Schwingungssystems wird charakterisiert durch Anfangsphase

Schwingungsamplitude A- Dies ist die größte Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition

Periode T- Dies ist der Zeitraum, in dem der Punkt eine vollständige Schwingung ausführt.

Schwingungsfrequenz ist die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit t.

Frequenz, zyklische Frequenz und Schwingungsdauer hängen zusammen

Arten von Vibrationen

Schwingungen, die in geschlossenen Systemen auftreten, nennt man frei oder eigen Schwankungen. Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, die unter dem Einfluss äußerer Kräfte auftreten gezwungen. es gibt auch Selbstschwingungen(automatisch erzwungen).

Wenn wir Schwingungen nach sich ändernden Eigenschaften (Amplitude, Frequenz, Periode usw.) betrachten, können sie unterteilt werden in harmonisch, Fading, wachsend(sowie Sägezahn, rechteckig, komplex).

Bei freien Schwingungen in realen Systemen kommt es immer zu Energieverlusten. Mechanische Energie wird beispielsweise für die Verrichtung von Arbeiten zur Überwindung von Luftwiderstandskräften aufgewendet. Unter dem Einfluss der Reibung nimmt die Amplitude der Schwingungen ab und nach einiger Zeit hören die Schwingungen auf. Offensichtlich hören die Schwingungen umso schneller auf, je größer der Widerstand gegen eine Bewegung ist.

Erzwungene Vibrationen. Resonanz

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpft. Daher ist es notwendig, die Energieverluste für jede Schwingungsperiode auszugleichen. Dazu ist es notwendig, den Schwingkörper mit einer periodisch wechselnden Kraft zu beeinflussen. Erzwungene Schwingungen treten mit einer Frequenz auf, die der Häufigkeit von Änderungen der äußeren Kraft entspricht.

Erzwungene Vibrationen

Die Amplitude erzwungener mechanischer Schwingungen erreicht ihren größten Wert, wenn die Frequenz der Antriebskraft mit der Frequenz des Schwingsystems übereinstimmt. Dieses Phänomen nennt man Resonanz.

Wenn wir beispielsweise regelmäßig an der Schnur im Takt ihrer eigenen Schwingungen ziehen, werden wir eine Zunahme der Amplitude ihrer Schwingungen bemerken.

Wenn Sie mit einem nassen Finger über den Rand eines Glases fahren, erzeugt das Glas klingelnde Geräusche. Obwohl es nicht wahrnehmbar ist, bewegt sich der Finger intermittierend und überträgt in kurzen Stößen Energie auf das Glas, wodurch das Glas vibriert

Auch die Wände des Glases beginnen zu vibrieren, wenn eine Schallwelle mit einer Frequenz gleich ihrer eigenen auf sie gerichtet wird. Wird die Amplitude sehr groß, kann es sogar zum Bruch des Glases kommen. Aufgrund der Resonanz zitterten (resonierten) die Kristallanhänger der Kronleuchter, als F.I. Schaljapin sang. Auch im Badezimmer ist das Auftreten von Resonanzen zu beobachten. Wenn Sie Töne unterschiedlicher Frequenz leise singen, entsteht bei einer der Frequenzen eine Resonanz.

Bei Musikinstrumenten übernehmen Teile ihres Körpers die Rolle von Resonatoren. Der Mensch verfügt auch über einen eigenen Resonator – die Mundhöhle, der die erzeugten Geräusche verstärkt.

Das Phänomen der Resonanz muss in der Praxis berücksichtigt werden. In manchen Fällen kann es nützlich sein, in anderen kann es schädlich sein. Resonanzphänomene können in verschiedenen mechanischen Systemen, beispielsweise schlecht konstruierten Brücken, irreversible Schäden verursachen. So stürzte 1905 die Ägyptische Brücke in St. Petersburg ein, als ein Pferdegeschwader sie überquerte, und 1940 stürzte die Tacoma-Brücke in den USA ein.

Das Resonanzphänomen wird genutzt, wenn mit Hilfe einer kleinen Kraft eine große Steigerung der Schwingungsamplitude erreicht werden soll. Beispielsweise kann die schwere Zunge einer großen Glocke durch Aufbringen einer relativ kleinen Kraft mit einer Frequenz geschwungen werden, die der Eigenfrequenz der Glocke entspricht.

Schwingungen gehören zu den häufigsten Vorgängen in Natur und Technik.

Die Flügel von Insekten und Vögeln schwingen im Flug, Hochhäuser und Hochspannungsleitungen schwingen unter dem Einfluss des Windes, das Pendel einer aufgezogenen Uhr und eines gefederten Autos während der Fahrt, der Flusspegel im Jahresverlauf und die Temperatur des menschlichen Körpers im Krankheitsfall.

Schall sind Schwankungen der Luftdichte und des Luftdrucks, Radiowellen sind periodische Änderungen der Stärke elektrischer und magnetischer Felder, sichtbares Licht sind ebenfalls elektromagnetische Schwingungen, nur mit geringfügig unterschiedlichen Wellenlängen und Frequenzen.

Erdbeben – Bodenvibrationen, Ebbe und Flut – Veränderungen des Pegels von Meeren und Ozeanen, die durch die Anziehungskraft des Mondes verursacht werden und in einigen Gebieten 18 Meter erreichen, Pulsschlag – periodische Kontraktionen des menschlichen Herzmuskels usw.

Der Wechsel von Wachheit und Schlaf, Arbeit und Ruhe, Winter und Sommer ... Auch unser täglicher Weg zur Arbeit und die Rückkehr nach Hause fällt unter die Definition von Schwankungen, die als Prozesse interpretiert werden, die sich in regelmäßigen Abständen genau oder annähernd wiederholen.

Schwingungen können mechanischer, elektromagnetischer, chemischer, thermodynamischer und anderer Natur sein. Trotz dieser Vielfalt haben sie alle viel gemeinsam und werden daher durch die gleichen Gleichungen beschrieben.

Freie Schwingungen sind Schwingungen, die durch die anfängliche Energiezufuhr an den schwingenden Körper entstehen.

Damit der Körper freie Schwingungen ausführen kann, ist es notwendig, ihn aus dem Gleichgewichtszustand zu bringen.

MUSS WISSEN

Ein spezieller Zweig der Physik – die Schwingungstheorie – untersucht die Gesetze dieser Phänomene. Schiffs- und Flugzeugbauer, Industrie- und Transportspezialisten sowie Hersteller von Funktechnik und akustischer Ausrüstung müssen sie kennen.

Die ersten Wissenschaftler, die Schwingungen untersuchten, waren Galileo Galilei (1564...1642) und Christian Huygens (1629...1692). (Galileo soll den Zusammenhang zwischen der Länge eines Pendels und der Zeit, die es braucht, um jedes Mal zu schwingen, entdeckt haben. Eines Tages beobachtete er in der Kirche, wie ein riesiger Kronleuchter schwang, und maß die Zeit, indem er seinen Puls ablas. Später entdeckte er, dass die Zeit Die Zeit, die zum einmaligen Schwingen benötigt wird, hängt von der Länge des Pendels ab. Die Zeit verkürzt sich um die Hälfte, wenn das Pendel um drei Viertel verkürzt wird.
Huygens erfand die erste Pendeluhr (1657) und untersuchte in der zweiten Auflage seiner Monographie „Pendulum Clocks“ (1673) eine Reihe von Problemen im Zusammenhang mit der Bewegung eines Pendels, insbesondere fand er den Schwungpunkt eines Körpergewichts Pendel.

Viele Wissenschaftler haben einen großen Beitrag zur Erforschung von Schwingungen geleistet: Englisch – W. Thomson (Lord Kelvin) und J. Rayleigh, Russisch – A.S. Popov und P.N. Lebedew und andere

Der Schwerkraftvektor ist in Rot dargestellt, die Reaktionskraft in Blau, die Widerstandskraft in Gelb und die resultierende Kraft in Burgunderrot. Um das Pendel anzuhalten, klicken Sie im Fenster „Steuerung“ auf die Schaltfläche „Stopp“ oder klicken Sie im Hauptprogrammfenster auf die Maustaste. Um die Bewegung fortzusetzen, wiederholen Sie die Schritte.

Es kommt zu weiteren Schwingungen des aus dem Gleichgewicht gebrachten Fadenpendels
unter der Wirkung der resultierenden Kraft, die die Summe zweier Vektoren ist: Schwerkraft
und elastische Kräfte.
Die resultierende Kraft wird in diesem Fall als Rückstellkraft bezeichnet.

FOUCAULT-PENDEL IM PARIS PANTHEON

Was hat Jean Foucault bewiesen?

Mit dem Foucaultschen Pendel lässt sich die Rotation der Erde um ihre Achse demonstrieren. An einem langen Kabel hängt ein schwerer Ball. Es schwingt über einer runden Plattform mit Unterteilungen hin und her.
Nach einiger Zeit beginnt es für das Publikum zu scheinen, dass das Pendel über anderen Sparten schwingt. Es scheint, dass sich das Pendel gedreht hat, aber das ist nicht der Fall. Es war der Kreis selbst, der sich mit der Erde drehte!

Für jeden ist die Tatsache der Erdrotation offensichtlich, schon allein deshalb, weil der Tag auf die Nacht folgt, das heißt, der Planet macht in 24 Stunden eine vollständige Umdrehung um seine Achse. Die Rotation der Erde kann durch viele physikalische Experimente nachgewiesen werden. Das berühmteste davon war das Experiment, das Jean Bernard Leon Foucault 1851 im Pariser Pantheon in Anwesenheit von Kaiser Napoleon durchführte. Unter der Kuppel des Gebäudes hängte der Physiker eine 28 kg schwere Metallkugel an einem 67 m langen Stahldraht. Eine Besonderheit dieses Pendels war, dass es frei in alle Richtungen schwingen konnte. Darunter wurde ein Zaun mit einem Radius von 6 m errichtet, in den Sand gegossen wurde, dessen Oberfläche von der Pendelspitze berührt wurde. Nachdem das Pendel in Bewegung gesetzt wurde, wurde deutlich, dass sich die Schwingebene relativ zum Boden im Uhrzeigersinn drehte. Dies ergab sich aus der Tatsache, dass die Spitze des Pendels bei jedem weiteren Schwung eine Markierung machte, die 3 mm weiter entfernt war als die vorherige. Diese Abweichung erklärt, dass sich die Erde um ihre Achse dreht.

Im Jahr 1887 wurde das Prinzip des Pendels in der St. Isaaks-Kathedrale in St. Petersburg demonstriert. Obwohl es heute nicht mehr zu sehen ist, da es jetzt im Museums-Denkmal-Fonds aufbewahrt wird. Dies geschah, um die ursprüngliche Innenarchitektur der Kathedrale wiederherzustellen.

MACHEN SIE SELBST EIN FOUCAULT-PENDULUM-MODELL

Drehen Sie den Hocker um und platzieren Sie eine Art Latten an den Enden seiner Beine (diagonal). Und hängen Sie ein kleines Gewicht (z. B. eine Mutter) oder einen Faden in die Mitte. Lassen Sie ihn so schwingen, dass die Schwungebene zwischen den Beinen des Hockers verläuft. Drehen Sie nun den Hocker langsam um seine Hochachse. Sie werden feststellen, dass das Pendel in eine andere Richtung schwingt. Tatsächlich schwingt es immer noch auf die gleiche Weise, und die Veränderung erfolgte aufgrund der Rotation des Stuhls selbst, der in diesem Experiment die Rolle der Erde spielt.

TORSIONALPENDEL

Dies ist das Maxwellsche Pendel; es ermöglicht uns, eine Reihe interessanter Bewegungsmuster eines starren Körpers zu identifizieren. Fäden werden an einer auf einer Achse montierten Scheibe befestigt. Wenn Sie den Faden um die Achse drehen, steigt die Scheibe. Nun lassen wir das Pendel los und es beginnt eine periodische Bewegung: Die Scheibe senkt sich, der Faden wickelt sich ab. Am unteren Punkt angelangt, dreht sich die Scheibe aufgrund der Trägheit weiter, verdreht nun aber den Faden und steigt nach oben.

Typischerweise wird in mechanischen Armbanduhren ein Torsionspendel verwendet. Die Unruh dreht sich unter der Wirkung einer Feder in die eine oder andere Richtung. Seine gleichmäßigen Bewegungen gewährleisten die Genauigkeit der Uhr.

MACHEN SIE SELBST EIN TORSIONALPENDEL

Schneiden Sie aus dickem Karton einen kleinen Kreis mit einem Durchmesser von 6–8 cm aus. Zeichnen Sie auf einer Seite des Kreises ein offenes Notizbuch und auf der anderen Seite die Zahl „5“. Machen Sie mit einer Nadel auf beiden Seiten des Kreises 4 Löcher und fädeln Sie 2 starke Fäden ein. Befestigen Sie sie so, dass sie nicht durch Knoten herausspringen. Als nächstes müssen Sie den Kreis nur noch 20 bis 30 Umdrehungen drehen und die Fäden zur Seite ziehen. Durch die Drehung sehen Sie das Bild „5 in meinem Notizbuch“.
Hübsch?

Merkur-Herz

Ein kleiner Tropfen – eine Quecksilberpfütze, deren Oberfläche in der Mitte einen Eisendraht – eine Nadel – berührt, ist mit einer schwachen wässrigen Salzsäurelösung gefüllt, in der das Quecksilber in der Salzsäure gelöst ist Die Lösung erhält eine elektrische Ladung und die Oberflächenspannung an der Grenze der Kontaktflächen nimmt ab. Wenn die Nadel mit der Quecksilberoberfläche in Kontakt kommt, nimmt die Ladung ab und infolgedessen ändert sich die Oberflächenspannung. In diesem Fall nimmt der Tropfen eine eher kugelförmige Form an. Die Spitze des Tropfens kriecht auf die Nadel und springt dann unter dem Einfluss der Schwerkraft von ihr ab. Äußerlich erweckt das Phänomen den Eindruck eines zitternden Quecksilbers. Dieser erste Impuls löst Schwingungen aus, der Tropfen schwankt und das „Herz“ beginnt zu pulsieren. Das Quecksilber-„Herz“ ist kein Perpetuum Mobile! Mit der Zeit nimmt die Länge der Nadel ab und sie muss erneut mit der Oberfläche des Quecksilbers in Kontakt gebracht werden.

Neben translatorischen und rotatorischen Bewegungen spielen auch oszillierende Bewegungen im Makro- und Mikrokosmos eine wichtige Rolle.

Es gibt chaotische und periodische Schwingungen. Periodische Schwingungen zeichnen sich dadurch aus, dass das Schwingsystem in bestimmten gleichen Zeitabständen die gleichen Positionen durchläuft. Ein Beispiel ist ein menschliches Kardiogramm, bei dem Schwankungen der elektrischen Signale des Herzens aufgezeichnet werden (Abb. 2.1). Auf dem Kardiogramm kann man unterscheiden Schwingungsdauer diese. Zeit T eine vollständige Schwingung. Aber Periodizität ist kein ausschließliches Merkmal von Schwingungen; sie weist sie auch auf. Das Vorhandensein einer Gleichgewichtsposition ist ein Merkmal der mechanischen Schwingungsbewegung, während die Rotation durch das sogenannte indifferente Gleichgewicht gekennzeichnet ist (ein gut ausbalanciertes Rad oder Rouletterad bleibt beim Drehen in jeder Position mit gleicher Wahrscheinlichkeit stehen). Bei mechanischen Schwingungen in jeder anderen Position als der Gleichgewichtsposition entsteht eine Kraft, die dazu neigt, das schwingende System in seine Ausgangsposition zurückzubringen, d. h. Wiederherstellungskräfte immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet. Das Vorhandensein aller drei Zeichen unterscheidet mechanische Vibrationen von anderen Bewegungsarten.

Reis. 2.1.

Betrachten wir konkrete Beispiele mechanischer Schwingungen.

Spannen wir ein Ende des Stahllineals in einen Schraubstock, schieben wir das andere, freie Ende zur Seite und lassen es los. Unter Einwirkung elastischer Kräfte kehrt das Lineal in seine ursprüngliche Position, die Gleichgewichtsposition, zurück. Beim Durchlaufen dieser Position (die die Gleichgewichtsposition ist) haben alle Punkte des Lineals (mit Ausnahme des eingespannten Teils) eine bestimmte Geschwindigkeit und eine bestimmte Menge an kinetischer Energie. Aufgrund der Trägheit überschreitet der oszillierende Teil des Lineals die Gleichgewichtsposition und verrichtet aufgrund der Abnahme der kinetischen Energie Arbeit gegen die inneren elastischen Kräfte. Dies führt zu einer Erhöhung der potentiellen Energie des Systems. Wenn die kinetische Energie vollständig erschöpft ist, erreicht die potentielle Energie ihr Maximum. Die auf jeden Schwingpunkt wirkende elastische Kraft erreicht ebenfalls ein Maximum und wird in Richtung der Gleichgewichtslage gerichtet. Dies wird in den Unterabschnitten 1.2.5 (Beziehung (1.58)), 1.4.1 und auch in 1.4.4 (siehe Abb. 1.31) in der Sprache der Potentialkurven beschrieben. Dies wird wiederholt, bis die gesamte mechanische Energie des Systems in innere Energie (die Schwingungsenergie der Teilchen eines Festkörpers) umgewandelt wird und in den umgebenden Raum zerstreut wird (denken Sie daran, dass Widerstandskräfte dissipative Kräfte sind).

Somit kommt es in der betrachteten Bewegung zu einer Wiederholung von Zuständen und es wirken Kräfte (Elastizitätskräfte), die dazu neigen, das System in eine Gleichgewichtslage zurückzuführen. Dadurch führt das Lineal eine oszillierende Bewegung aus.

Ein weiteres bekanntes Beispiel ist die Schwingung eines Pendels. Die Gleichgewichtslage des Pendels entspricht der tiefsten Lage seines Schwerpunkts (in dieser Lage ist die potentielle Energie aufgrund der Schwerkraft minimal). In einer ausgelenkten Position wirkt auf das Pendel relativ zur Drehachse ein Kraftmoment, das dazu neigt, das Pendel in seine Gleichgewichtsposition zurückzuführen. Auch in diesem Fall liegen alle Anzeichen einer oszillierenden Bewegung vor. Es ist klar, dass in Abwesenheit der Schwerkraft (im Zustand der Schwerelosigkeit) die oben genannten Bedingungen nicht erfüllt sind: Im Zustand der Schwerelosigkeit gibt es keine Schwerkraft und das zurückkehrende Moment dieser Kraft. Und hier wird sich das Pendel, nachdem es einen Stoß erhalten hat, im Kreis bewegen, das heißt, es wird keine oszillierende, sondern eine rotierende Bewegung ausführen.

Vibrationen können nicht nur mechanisch sein. So können wir beispielsweise von Ladungsschwingungen auf den Platten eines parallel zu einer Induktivität geschalteten Kondensators (in einem Schwingkreis) oder der elektrischen Feldstärke in einem Kondensator sprechen. Ihre zeitliche Veränderung wird durch eine Gleichung beschrieben, die derjenigen ähnelt, die die mechanische Auslenkung eines Pendels aus der Gleichgewichtslage bestimmt. Aufgrund der Tatsache, dass dieselben Gleichungen Schwingungen einer Vielzahl physikalischer Größen beschreiben können, erweist es sich als sehr praktisch, Schwingungen unabhängig davon zu berücksichtigen, welche physikalische Größe schwingt. Dadurch entsteht ein System von Analogien, insbesondere eine elektromechanische Analogie. Der Sicherheit halber betrachten wir vorerst mechanische Schwingungen. Betrachtet werden ausschließlich periodische Schwingungen, bei denen sich die Werte physikalischer Größen, die sich während des Schwingungsvorgangs ändern, in regelmäßigen Abständen wiederholen.

Der Kehrwert der Periode T Schwingungen (sowie die Zeit einer vollen Umdrehung während der Rotation) drückt die Anzahl der pro Zeiteinheit durchgeführten vollständigen Schwingungen aus und wird aufgerufen Frequenz(Dies ist nur die Frequenz, sie wird in Hertz oder s -1 gemessen)

(Bei Schwingungen dasselbe wie bei Drehbewegungen).

Die Winkelgeschwindigkeit hängt mit der durch die Gleichung (2.1) eingeführten Frequenz v der Formel zusammen

gemessen in rad/s oder s -1.

Es ist naheliegend, die Analyse von Schwingungsprozessen mit den einfachsten Fällen von Schwingungssystemen mit einem Freiheitsgrad zu beginnen. Anzahl der Freiheitsgrade- Dies ist die Anzahl unabhängiger Variablen, die erforderlich sind, um die Position aller Teile eines bestimmten Systems im Raum vollständig zu bestimmen. Sind beispielsweise die Schwingungen eines Pendels (Gewicht auf einer Saite usw.) durch die Ebene begrenzt, in der sich nur das Pendel bewegen kann, und ist die Pendelsaite nicht dehnbar, dann reicht es aus, nur einen Winkel anzugeben Abweichung der Saite von der Vertikalen oder nur der Betrag der Verschiebung aus der Gleichgewichtslage – damit eine auf einer Feder entlang einer Richtung schwingende Masse ihre Lage vollständig bestimmt. In diesem Fall sagen wir, dass das betrachtete System einen Freiheitsgrad hat. Dasselbe Pendel hat zwei Freiheitsgrade, wenn es eine beliebige Position auf der Oberfläche der Kugel einnehmen kann, auf der die Flugbahn seiner Bewegung liegt. Auch dreidimensionale Schwingungen sind möglich, wie es beispielsweise bei thermischen Schwingungen von Atomen in einem Kristallgitter der Fall ist (siehe Unterabschnitt 10.3). Um einen Prozess in einem realen physikalischen System zu analysieren, wählen wir sein Modell aus, nachdem wir die Untersuchung zuvor auf eine Reihe von Bedingungen beschränkt haben.

• Hier und im Folgenden wird die Schwingungsdauer mit demselben Buchstaben wie die kinetische Energie bezeichnet – T (nicht zu verwechseln!).
• In Kapitel 4, „Molekularphysik“, wird eine weitere Definition der Anzahl der Freiheitsgrade gegeben.