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Schneller Kopfrechenkurs. Einige schnelle Zähltechniken

Warum im Kopf zählen, wenn man jedes Rechenproblem mit einem Taschenrechner lösen kann? Moderne Medizin und Psychologie beweisen, dass Kopfrechnen eine Übung für die grauen Zellen ist. Die Durchführung einer solchen Gymnastik ist für die Entwicklung des Gedächtnisses und der mathematischen Fähigkeiten notwendig.

Es gibt viele Techniken, um mentale Berechnungen zu vereinfachen. Jeder, der Bogdanov-Belskys berühmtes Gemälde „Oral Abacus“ gesehen hat, ist immer wieder überrascht – wie lösen Bauernkinder ein so schwieriges Problem wie das Teilen der Summe von fünf Zahlen, die zuerst quadriert werden müssen?

Es stellt sich heraus, dass diese Kinder Schüler des berühmten Mathematiklehrers Sergei Aleksandrovich Rachitsky sind (er ist auch auf dem Bild abgebildet). Das sind keine Wunderkinder – Grundschüler einer Dorfschule aus dem 19. Jahrhundert. Aber sie alle wissen bereits, wie man arithmetische Berechnungen vereinfacht und haben das Einmaleins gelernt! Daher sind diese Kinder durchaus in der Lage, ein solches Problem zu lösen!

Geheimnisse des mentalen Zählens

Es gibt mentale Zähltechniken - einfache Algorithmen, die in die Automatisierung integriert werden sollen. Nachdem Sie einfache Techniken gemeistert haben, können Sie mit der Beherrschung komplexerer Techniken fortfahren.

Addiere die Zahlen 7,8,9

Um die Berechnungen zu vereinfachen, müssen die Zahlen 7,8,9 zunächst auf 10 gerundet und dann subtrahiert werden. Um beispielsweise 9 zu einer zweistelligen Zahl zu addieren, müssen Sie zuerst 10 addieren und dann 1 subtrahieren usw.

Beispiele :

Fügen Sie schnell zweistellige Zahlen hinzu

Wenn die letzte Ziffer einer zweistelligen Zahl größer als fünf ist, runden Sie sie auf. Wir führen die Addition durch und subtrahieren die „Addition“ vom resultierenden Betrag.

Beispiele :

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Wenn die letzte Ziffer einer zweistelligen Zahl kleiner als fünf ist, addieren Sie nach Ziffern: Fügen Sie zuerst Zehner und dann Einsen hinzu.

Beispiel :

57+32=57+30+2=89

Wenn Sie die Begriffe vertauschen, können Sie die Zahl 57 zunächst auf 60 runden und dann 3 von der Summe subtrahieren:

32+57=32+60-3=89

Dreistellige Zahlen im Kopf hinzufügen

Schnelles Zählen und Addieren von dreistelligen Zahlen – geht das? Ja. Dazu müssen Sie dreistellige Zahlen in Hunderter, Zehner und Einer zerlegen und diese einzeln addieren.

Beispiel :

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Merkmale der Subtraktion: Reduktion auf runde Zahlen

Wir runden die subtrahierten Zahlen auf 10, also auf 100. Wenn Sie eine zweistellige Zahl subtrahieren müssen, müssen Sie sie auf 100 runden, subtrahieren und dann die Korrektur zum Rest addieren. Dies ist relevant, wenn die Änderung gering ist.

Beispiele :

576-88=576-100+12=488

Subtrahieren Sie dreistellige Zahlen im Kopf

Wenn die Zusammensetzung der Zahlen von 1 bis 10 einmal gut beherrscht wurde, kann die Subtraktion in Teilen und in der angegebenen Reihenfolge erfolgen: Hunderter, Zehner, Einer.

Beispiel :

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Multiplizieren und dividieren

Sofort im Kopf multiplizieren und dividieren? Dies ist möglich, aber Sie können es nicht tun, ohne die Multiplikationstabellen zu kennen. - das ist der goldene Schlüssel zum schnellen Kopfrechnen! Es wird sowohl bei der Multiplikation als auch bei der Division verwendet. Erinnern wir uns daran, dass die Kinder in den Grundschulklassen einer Dorfschule in der vorrevolutionären Provinz Smolensk (das Gemälde „Mündliche Berechnung“) die Fortsetzung der Multiplikationstabelle kannten – von 11 bis 19!

Obwohl es meiner Meinung nach ausreicht, die Tabelle von 1 bis 10 zu kennen, um größere Zahlen multiplizieren zu können. Zum Beispiel:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Multiplizieren und dividieren Sie durch 4, 6, 8, 9

Wenn Sie die Multiplikationstabelle mit 2 und 3 bis zur Automatisierung beherrschen, wird das Durchführen anderer Berechnungen so einfach sein wie das Schälen von Birnen.

Um zwei- und dreistellige Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren, verwenden wir einfache Techniken:

Mit 4 multiplizieren wird zweimal mit 2 multipliziert;

mit 6 multiplizieren – das bedeutet, mit 2 und dann mit 3 multiplizieren;

Mit 8 multiplizieren wird dreimal mit 2 multipliziert;

Mit 9 zu multiplizieren bedeutet, zweimal mit 3 zu multiplizieren.

Zum Beispiel :

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2) 3=824 3=2472

Ebenfalls:

geteilt durch 4 wird zweimal durch 2 geteilt;

durch 6 dividieren bedeutet, zuerst durch 2 und dann durch 3 zu dividieren;

geteilt durch 8 wird dreimal durch 2 geteilt;

Durch 9 dividieren heißt zweimal durch 3 dividieren.

Zum Beispiel :

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Wie man mit 5 multipliziert und dividiert

Die Zahl 5 ist die Hälfte von 10 (10:2). Daher multiplizieren wir zunächst mit 10 und teilen das Ergebnis dann durch die Hälfte.

Beispiel :

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Die Regel zum Teilen durch 5 ist noch einfacher: Zuerst mit 2 multiplizieren und dann das Ergebnis durch 10 dividieren.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Mit 9 multiplizieren

Um eine Zahl mit 9 zu multiplizieren, ist es nicht notwendig, sie zweimal mit 3 zu multiplizieren. Es reicht aus, sie mit 10 zu multiplizieren und die multiplizierte Zahl von der resultierenden Zahl zu subtrahieren. Vergleichen wir, was schneller ist:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Außerdem sind seit langem bestimmte Muster aufgefallen, die die Multiplikation zweistelliger Zahlen mit 11 oder 101 deutlich vereinfachen. So scheint sich die zweistellige Zahl bei der Multiplikation mit 11 auseinander zu bewegen. Die Zahlen, aus denen es besteht, bleiben an den Rändern und ihre Summe befindet sich in der Mitte. Beispiel: 24*11=264. Bei der Multiplikation mit 101 genügt es, das Gleiche zur zweistelligen Zahl zu addieren. 24*101= 2424. Die Einfachheit und Logik solcher Beispiele ist bewundernswert. Solche Probleme kommen sehr selten vor – das sind unterhaltsame Beispiele, sogenannte kleine Tricks.

An den Fingern zählen

Auch heute noch gibt es viele Befürworter der „Fingergymnastik“ und der Methode des mentalen Abzählens an den Fingern. Wir sind davon überzeugt, dass das Erlernen des Addierens und Subtrahierens durch Beugen und Beugen unserer Finger sehr anschaulich und praktisch ist. Der Umfang solcher Berechnungen ist sehr begrenzt. Sobald die Berechnungen über den Rahmen einer Operation hinausgehen, treten Schwierigkeiten auf: Sie müssen die nächste Technik beherrschen. Und es ist irgendwie unwürdig, im Zeitalter der iPhones die Finger zu verbiegen.

Zur Verteidigung der „Finger“-Methode wird beispielsweise die Technik der Multiplikation mit 9 angeführt. Der Trick der Technik ist wie folgt:

Um eine beliebige Zahl innerhalb der ersten zehn mit 9 zu multiplizieren, müssen Sie Ihre Handflächen zu sich drehen.
Zählen Sie von links nach rechts und beugen Sie den Finger entsprechend der zu multiplizierenden Zahl. Um beispielsweise 5 mit 9 zu multiplizieren, müssen Sie den kleinen Finger Ihrer linken Hand beugen.
Die verbleibende Anzahl der Finger auf der linken Seite entspricht den Zehnern, auf der rechten Seite den Einer. In unserem Beispiel - 4 Finger links und 5 rechts. Antwort: 45.

Ja, tatsächlich, die Lösung ist schnell und klar! Aber das ist aus dem Bereich der Tricks. Die Regel gilt nur beim Multiplizieren mit 9. Ist es nicht einfacher, die Multiplikationstabelle zu lernen, um 5 mit 9 zu multiplizieren? Dieser Trick wird vergessen sein, aber eine gut erlernte Multiplikationstabelle wird für immer bleiben.

Es gibt auch viele weitere ähnliche Techniken, bei denen Finger für einzelne mathematische Operationen verwendet werden. Dies ist jedoch relevant, während Sie sie verwenden, und vergisst sofort, wenn Sie sie nicht mehr verwenden. Daher ist es besser, Standardalgorithmen zu erlernen, die ein Leben lang bestehen bleiben.

Mündliches Zählen an einer Maschine

Zunächst müssen Sie über gute Kenntnisse über die Zusammensetzung von Zahlen und das Einmaleins verfügen.

Zweitens müssen Sie sich die Techniken zur Vereinfachung von Berechnungen merken. Wie sich herausstellte, gibt es nicht so viele solcher mathematischen Algorithmen.

Drittens müssen Sie, damit die Technik zu einer praktischen Fähigkeit wird, ständig kurze „Brainstorming“-Sitzungen durchführen – mentale Berechnungen mit dem einen oder anderen Algorithmus üben.

Das Training sollte kurz sein: Lösen Sie im Kopf drei bis vier Beispiele mit derselben Technik und fahren Sie dann mit dem nächsten fort. Wir müssen danach streben, jede freie Minute sinnvoll und nicht langweilig zu nutzen. Durch einfaches Training werden schließlich alle Berechnungen blitzschnell und fehlerfrei durchgeführt. Dies wird im Leben sehr nützlich sein und in schwierigen Situationen helfen.

Lektion 1. Aufmerksamkeit und Konzentration

Um das Zählen im Kopf wirklich schnell zu lernen, muss man sich auf ein konkretes Beispiel konzentrieren können. Diese Fähigkeit ist nicht nur für die Durchführung mathematischer Operationen nützlich, sondern auch für die Lösung von Lebensproblemen. Die Fähigkeit, im richtigen Moment aufmerksam zu sein, zeichnet große Wissenschaftler, Sportler und Politiker aus und wird zweifellos auch Ihnen von Nutzen sein.

Abfolge arithmetischer Operationen im Kopf

Versuchen Sie zunächst, das folgende Problem in Ihrem Kopf zu lösen und schreiben Sie die Antwort in das Feld rechts:

Nehmen Sie 3000. Addieren Sie 30. Addieren Sie weitere 2000. Addieren Sie weitere 10. Plus 2000. Addieren Sie weitere 20. Plus 1000. Und plus 30. Plus 1000. Und plus 10. Ihre Antwort:

Überprüfen Sie Ihre Lösung →

Antwort: 9.100. Wenn Sie das Problem richtig und schnell gelöst haben, konnten Sie sich auf die Zahlen konzentrieren und der Versuchung widerstehen, eine schöne Antwort zu erhalten. Dies ist genau der Ansatz, der für das mentale Zählen erforderlich ist.

Versuchen Sie, andere ähnliche Probleme zu lösen, um Subtraktion, Division und Multiplikation im Kopf zu üben.

Aufgaben für Aufmerksamkeit

3000 – 700 - 60 – 500 - 40 – 300 -20 – 100 Ihre Antwort: 1*2*3*4*3*2*1 Ihre Antwort: 100:2:2*3*2 + 50 – 100 + 200 – 30 Ihre Antwort: 26+88+13+19 Ihre Antwort:

Überprüfen Sie Ihre Lösung →

Antworten: 1280, 144, 270, 146

Trainieren Sie die Aufmerksamkeit beim Zählen im Kopf

Wenn Ihnen das Lösen dieser Beispiele schwerfällt, können Sie spezielle Übungen und Techniken nutzen, um Ihre Konzentration zu fördern. Viele dieser Techniken finden Sie in anderen Schulungen. Hier beschreiben wir genau die Techniken, die für die Konzentration der Aufmerksamkeit beim Prozess des mentalen Zählens nützlich sind.

Visualisierung. Beim Kopfrechnen ist es wichtig, ein klares Bild von dem zu lösenden Beispiel zu haben. Sie müssen sich Zwischenergebnisse nicht nach Gehör merken, sondern danach, wie sie aussehen, wenn Sie sie aufschreiben. Sie können Ihre visuelle Wahrnehmung auf unterschiedliche Weise trainieren. Ein Teil der Visualisierung einer Lösung erfordert Erfahrung. Darüber hinaus helfen die unten beschriebenen Techniken auch dabei, Ihre Fähigkeit zu verbessern, die notwendigen arithmetischen Operationen beim Lösen eines Beispiels zu visualisieren.

Spiele. Versuchen Sie, in Ihrer Routine immer etwas Interessantes zu finden und jede Aktion in ein Spiel zu verwandeln. Das tun gute Eltern, die wollen, dass ihr Kind langweilige Arbeit erledigt. Spiele sind für viele Lebewesen charakteristisch; sie sind auf genetischer Ebene in uns verankert. Spannung ist im Spiel wichtig!

Aufregung(Französisch Hasard) - Leidenschaft, Begeisterung, Leidenschaft, übermäßige Begeisterung. Um ein Glücksspiel zu erstellen, müssen Sie die Regeln dieses Spiels festlegen und klare Bedingungen für den Gewinn dieses Spiels festlegen. Dann wird Sie Ihre Aufregung dazu zwingen, aufmerksamer und konzentrierter zu sein.

Wettbewerbsfähigkeit. Die überwiegende Mehrheit der Menschen versucht leidenschaftlich, „besser“ zu sein als ihr Gegner. Daher ist der Einzelunterricht nicht so effektiv wie der Gruppenunterricht. Und beim mündlichen Zählen können Sie sich einen Gegner suchen und versuchen, ihn zu übertreffen.

Persönliche Aufzeichnungen. Ein weiterer Faktor, der beim Zählen für Aufregung sorgt, kann der Kampf mit sich selbst sein, ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen. Persönliche Rekorde können in der Zählgeschwindigkeit, der Anzahl gelöster Beispiele und vielem mehr aufgestellt werden.

Langweilige Arbeit. Manche Experten raten dazu, bei langweiliger Arbeit aus dem Fenster zu schauen oder auf den Uhrzeiger zu achten. Wenn Sie also versuchen, jeden Tag eine Zeit lang eine sehr langweilige Arbeit zu erledigen, wird Ihr Körper selbst nach Möglichkeiten suchen, sich an diese Routine anzupassen.

Äußere Reize. Manche Menschen haben eine sehr wichtige Fähigkeit: Sie können etwas tun, wenn um sie herum Lärm und Aufruhr herrscht. Dies ist oft eine Gewohnheitssache, zum Beispiel wenn jemand in einer kleinen Wohnung oder einem Wohnheim lebt und sich an schwierige Bedingungen anpassen und lernen muss, ohne auf irgendetwas zu achten. Schwierige Bedingungen machen einen Menschen aufmerksamer, lehren ihn, sich von äußeren Reizen zu lösen und das zu tun, was er braucht. Versuchen Sie, künstlich schwierige Bedingungen für sich selbst zu schaffen und konzentrieren Sie sich darauf, im Kopf zu zählen, wenn Sie Musik hören, wenn Leute herumlaufen, wenn der Fernseher läuft.

Ein Zustand der Trance, nach den Beobachtungen des Hypnosespezialisten M. Erickson, zeichnet sich durch erhöhte Aufmerksamkeit, die Fähigkeit, nicht auf äußere Reize zu reagieren, sowie die Fähigkeit aus, Signale einiger Sinne zu ignorieren. So kann eine Person im Trancezustand eine Position einnehmen, die im Normalzustand unangenehm ist, und längere Zeit in dieser Position verbringen. Wenn wir beispielsweise ein interessantes Buch lesen und die Beine übereinander schlagen, stellen wir nach einer halben Stunde Pause möglicherweise fest, dass ein Bein sehr taub ist. Aber beim Lesen haben Sie nicht an Ihr Bein gedacht, Sie waren in einem Zustand erhöhter Aufmerksamkeit für das Buch, Ihre visuelle Wahrnehmung funktionierte so stark, dass die Signale der anderen Sinne vom Gehirn einfach nicht wahrgenommen wurden.

Quadratische Summe, quadrierte Differenz

Um eine zweistellige Zahl zu quadrieren, können Sie die Formeln „Quadratsumme“ oder „Quadratdifferenz“ verwenden. Zum Beispiel:

23 2 = (20+3) 2 = 20 2 + 2*3*20 + 3 2 = 400+120+9 = 529

69 2 = (70-1) 2 = 70 2 – 70*2*1 + 1 2 = 4 900-140+1 = 4 761

Quadrieren von Zahlen, die auf 5 enden

Zum Quadratieren von Zahlen, die auf 5 enden. Der Algorithmus ist einfach. Die Zahl bis zu den letzten fünf multiplizieren Sie mit derselben Zahl plus eins. Addiere 25 zur verbleibenden Zahl.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225

25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625

85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Dies gilt auch für komplexere Beispiele:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Zahlen bis 20 multiplizieren

1 Schritt. Nehmen wir zum Beispiel zwei Zahlen – 16 und 18. Zu einer der Zahlen addieren wir die Anzahl der Einheiten der zweiten – 16+8=24

Schritt 2. Wir multiplizieren die resultierende Zahl mit 10 – 24*10=240

Die Technik zum Multiplizieren von Zahlen bis 20 ist sehr einfach:

Um es kurz aufzuschreiben:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Die Richtigkeit dieser Methode zu beweisen ist einfach: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6* 8. Der letzte Ausdruck ist eine Demonstration der oben beschriebenen Methode.

Im Wesentlichen handelt es sich bei dieser Methode um eine spezielle Art der Verwendung von Referenznummern (die im Link zur nächsten Lektion besprochen wird). In diesem Fall ist die Referenzzahl 10. Im letzten Ausdruck des Beweises können wir sehen, dass wir die Klammer mit 10 multiplizieren. Aber auch jede andere Zahl kann als Referenzzahl verwendet werden, die praktischsten davon sind 20, 25, 50, 100... Mehr über die Methode zur Verwendung einer Referenzzahl erfahren Sie in der nächsten Lektion.

Referenznummer

Schauen Sie sich das Wesentliche dieser Methode am Beispiel der Multiplikation von 15 und 18 an. Hier ist es zweckmäßig, die Referenzzahl 10 zu verwenden. 15 ist mehr als zehn mal 5 und 18 ist mehr als zehn mal 8. Um ihre herauszufinden Um das Produkt zu installieren, müssen Sie die folgenden Vorgänge ausführen:

Addieren Sie zu jedem der Faktoren die Zahl, um die der zweite Faktor größer als der Referenzfaktor ist. Das heißt, addieren Sie 8 zu 15 oder 5 zu 18. Im ersten und zweiten Fall ist das Ergebnis dasselbe: 23.
Dann multiplizieren wir 23 mit der Referenzzahl, also mit 10. Antwort: 230
Zu 230 addieren wir das Produkt 5*8. Antwort: 270.

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Lektion 5. Referenzzahl beim Multiplizieren von Zahlen bis 100

Die beliebteste Technik zum Multiplizieren großer Zahlen im Kopf ist die Technik der sogenannten Referenznummer. Als wir in der letzten Lektion gezeigt haben, wie man eine Zahl bis 20 multipliziert, haben wir im Wesentlichen die Referenzzahl 10 verwendet. Es ist auch erwähnenswert, dass Sie im Buch „“ von Bill mehr über die Methode zur Verwendung der Referenzzahl erfahren können Handley.

Allgemeine Regeln für die Verwendung einer Referenznummer

Die Referenzzahl ist nützlich, wenn Sie nahe beieinander liegende Zahlen multiplizieren und quadrieren. Sie haben bereits aus der letzten Lektion verstanden, wie Sie die Referenznummernmethode verwenden können. Jetzt fassen wir alles zusammen, was gesagt wurde.

Die Referenzzahl für die Multiplikation ist die Zahl, bei der beide Faktoren nahe beieinander liegen und mit der man bequem multiplizieren kann. Bei der Multiplikation von Zahlen bis 100 mit Referenzzahlen empfiehlt es sich, alle Zahlen zu verwenden, die ein Vielfaches von 10 sind, insbesondere 10, 20, 50 und 100.

Die Methode zur Verwendung der Referenzzahl hängt davon ab, ob die Faktoren größer oder kleiner als die Referenzzahl sind. Hier gibt es drei mögliche Fälle. Wir zeigen alle 3 Methoden anhand von Beispielen.

Beide Zahlen sind kleiner als die Referenz (unterhalb der Referenz)

Nehmen wir an, wir möchten 48 mit 47 multiplizieren. Diese Zahlen liegen nahe genug an der Zahl 50 und daher ist es praktisch, 50 als Referenzzahl zu verwenden.

So multiplizieren Sie 48 mit 47 unter Verwendung der Referenzzahl 50:

Subtrahieren Sie von 47 so viel, wie 48 fehlt, von 50, also 2. Sie erhalten 45 (oder subtrahieren Sie 3 von 48 – es ist immer das Gleiche).
Als nächstes multiplizieren wir 45 mit 50 = 2250
Dann addieren wir 2*3 zu diesem Ergebnis und voilà – 2.256!

Es ist praktisch, sich die folgende Tabelle schematisch vorzustellen.

(Referenznummer)

(48-3)*50 = 45*50 = 2 250

(oder (47-2)*50 = 45*50 Denken Sie daran, dass eine Multiplikation mit 5 dasselbe ist wie eine Division durch 2.)

Antwort:

2 250 + 6 = 2 256

Die Referenznummer schreiben wir links neben das Produkt. Wenn die Zahlen kleiner als die Referenzzahl sind, wird die Differenz zwischen ihnen und der Referenz unter diesen Zahlen geschrieben. Rechts von 48*47 schreiben wir die Rechnung mit der Referenznummer, rechts von den Resten 2 und 3 schreiben wir ihr Produkt.

Wenn wir ein vereinfachtes Schema verwenden, sieht die Lösung so aus: 47*48=45*50 + 6= 2.256

Schauen wir uns andere Beispiele an:

Multiplizieren Sie 18*19

(Referenznummer)

(18-1)*20 = 340

Antwort:

342

Kurzer Eintrag: 18*19 = 20*17+2 = 342

Multiplizieren Sie 8*7

(Referenznummer)

(8-3)*10 = 50

Antwort:

Kurzer Eintrag: 8*7 = 10*5+6 = 56

Multiplizieren Sie 98*95

(Referenznummer)

(95-2)*100 = 9300

+10

Antwort:

9310

Kurzer Eintrag: 98*95 = 100*93 + 10 = 9 310

Multiplizieren Sie 98*71

(Referenznummer)

(71-2)*100 = 6900

+58

Antwort:

6958

Kurzer Eintrag: 98*71 = 100*69 + 58 = 6 958

Beide Zahlen sind größer als die Referenz (über der Referenz)

Nehmen wir an, wir möchten 54 mit 53 multiplizieren. Diese Zahlen liegen nahe genug an der Zahl 50 und daher ist es praktisch, 50 als Referenzzahl zu verwenden. Aber im Gegensatz zu früheren Beispielen sind diese Zahlen größer als die Referenzzahl. Tatsächlich ändert sich das Modell ihrer Multiplikation nicht, aber jetzt müssen Sie Reste addieren, anstatt sie zu subtrahieren.

Zu 54 addiere so viel wie 53 mehr als 50, also 3. Es ergibt sich 57 (oder addiere 4 zu 53 – es ist immer das Gleiche)
Als nächstes multiplizieren wir 57 mit 50 = 2.850 (die Multiplikation mit 50 ähnelt der Division durch 2)
Addieren Sie dann 4*3 zu diesem Ergebnis. Antwort: 2862

+12

(Referenznummer)

(54+3)*50 = 2 850

oder (53+4)*50 = 57*50 (denken Sie daran, dass eine Multiplikation mit 5 dasselbe ist wie eine Division durch 2)

Antwort:

2 862

Die Kurzlösung sieht so aus: 50*57+12 = 2.862

Zur Verdeutlichung finden Sie nachfolgend Beispiele:

Multiplizieren Sie 23*27

+21

(Referenznummer)

(23+7)*20 = 600

Antwort:

621

Kurzer Eintrag: Kurzschreibweise: 23*27 = 20*30 + 21 = 621

Multiplizieren Sie 51*63

+13

(Referenznummer)

(63+1)*50 = 3 200

Antwort:

3 213

Kurzer Eintrag: Kurzschreibweise: 51*63 = 64*50 + 13 = 3.213

Eine Zahl steht unter der Referenz, die andere darüber

Der dritte Fall der Verwendung einer Referenznummer liegt vor, wenn eine Zahl größer als die Referenznummer und die andere kleiner ist. Solche Beispiele sind nicht schwieriger zu lösen als die vorherigen.

Multiplizieren Sie 45*52

Das Produkt 45*52 berechnet sich wie folgt:

Wir subtrahieren 5 von 52 oder addieren 2 zu 45. In beiden Fällen erhalten wir: 47
Als nächstes multiplizieren wir 47 mit 50 = 2.350 (die Multiplikation mit 50 ähnelt der Division durch 2)
Dann subtrahieren wir (und addieren nicht wie zuvor!) 2*5. Antwort: 2 340

(Referenznummer)

(45+2)*50 = 2 350

-10

Antwort:

2 340

Kurzschreibweise: 45*52 = 47*50-10 = 2.340

Dasselbe machen wir auch mit ähnlichen Beispielen:

Multiplizieren Sie 91*103

(Referenznummer)

103

(91+3)*100 = 9400

-27

Antwort:

9 373

Nur eine Zahl liegt nahe an der Referenznummer, die andere nicht

Wie Sie bereits anhand der Beispiele gesehen haben, ist die Verwendung der Referenznummer praktisch, wenn auch nur eine Nummer nahe an der Referenznummer liegt. Es ist wünschenswert, dass die Differenz zwischen dieser Zahl und der Referenzzahl nicht mehr als 2-x oder 3-x beträgt oder einer Zahl entspricht, die sich bequem multiplizieren lässt (z. B. 5, 10, 25 – siehe zweite Lektion).

Multiplizieren Sie 48*73

(Referenznummer)

(73-2)*50 = 3 550

-46

Antwort:

3 504

Kurze Lösung: 48*73 = 71*50 – 23*2 = 3 504

Multiplizieren Sie 23*69

147

(Referenznummer)

(3+69)*20 = 1440

Antwort:

1 587

Kurzer Eintrag: Kurzlösung: 23*69 = 72*20 + 147 = 1.587 – etwas komplizierter

Multiplizieren Sie 98*41

(Referenznummer)

(41-2)*100 = 3900

+118

Antwort:

4018

Kurzer Eintrag: Kurzschreibweise: 98*41 = 100*39 + 118 = 4.018

Somit ist es durch die Verwendung einer einzigen Referenznummer möglich, eine große Kombination zweistelliger Zahlen zu multiplizieren. Wenn Sie gut mit 30, 40, 60, 70 oder 80 multiplizieren können, können Sie mit dieser Technik beliebige Zahlen (bis zu 100 und sogar mehr) multiplizieren.

Verwendung mehrerer Referenznummern

Die Multiplikationstechnik mit Referenzzahlen ermöglicht die Verwendung von 2 Referenzzahlen. Dies ist praktisch, wenn die Referenznummer eines Faktors durch die Referenznummer eines anderen Faktors ausgedrückt werden kann. Beispielsweise ist es im Produkt „23 * 88“ praktisch, die Referenzzahl 20 für 23 und 80 für 88 zu verwenden. Die Multiplikation dieser Zahlen mit zwei Referenzen ist praktisch, weil 20 = 80:4.

Die Technik von 2 Referenzzahlen besteht darin, dass wir zuerst 88 durch 4 dividieren und 22 erhalten, 23 mit 22 multiplizieren und das Produkt erneut mit 4 multiplizieren. Das heißt, wir dividieren zuerst das Produkt durch 4 und multiplizieren es dann mit 4. Es stellt sich heraus : 23*22 = 250*2+6= 506 und 506*4 = 2024 – das ist die Antwort!

Zur Visualisierung können Sie das bereits bekannte Diagramm verwenden. Das Produkt 23*88 berechnet sich wie folgt:

Wir schreiben eine praktische Referenzzahl „20“ auf und fügen daneben einen Faktor von 4 hinzu, mit dem wir 80 in Form von 20 ausdrücken können.
Dann schreiben wir wie zuvor, um wie viel 23 20 (3) und 88 80 (8) überschreitet.
Über dem Tripel schreiben wir das Produkt 3 mal 4 (also 3 mal Referenzmultiplikator).
Zu 88 addieren wir das Produkt von 3 mal 4 und multiplizieren es mit der Referenz (20), wir erhalten 100*20 = 2000
Wir addieren zu 2000 das Produkt aus 3 und 8. Ergebnis: 2024

3*4=12

+24

(Referenznummer)

(88+12)*20 = 2 000

Antwort:

2 024

Kurzer Eintrag: 23*88 = (88+3*4)*20 + 24 = 2024

Versuchen wir nun, 23*88 mit der Referenzzahl 100 für 88 und 25 für 23 zu multiplizieren. In diesem Fall ist die Hauptreferenzzahl 100. Und 25 kann als 100:4=25 geschrieben werden

(Referenznummer)

(23-3)*100 = 2 000

+24

12:4=3

Antwort:

2 024

Kurzer Eintrag: 23*88 = (23+12:4)*100 + 24 = 2024

Wie Sie sehen, ist die Antwort dieselbe.

Die Methode mit zwei Referenznummern ist etwas komplizierter und erfordert zusätzliche Schritte. Zunächst müssen Sie verstehen, welche zwei Referenznummern Sie gerne verwenden. Zweitens müssen Sie eine zusätzliche Aktion ausführen, um die Zahl zu finden, die mit der Referenz multipliziert werden muss.

Es ist besser, diese Technik anzuwenden, wenn Sie die Multiplikation mit einer Referenzzahl bereits recht gut beherrschen.

Warum brauchen wir Kopfrechnen, wenn wir uns im 21. Jahrhundert befinden und alle möglichen Geräte in der Lage sind, beliebige Rechenoperationen nahezu blitzschnell auszuführen? Sie müssen nicht einmal mit dem Finger auf Ihr Smartphone zeigen, sondern geben einen Sprachbefehl und erhalten sofort die richtige Antwort. Mittlerweile gelingt dies auch Grundschülern, die zu faul sind, alleine zu dividieren, zu multiplizieren, zu addieren und zu subtrahieren.

Aber diese Münze hat auch eine Kehrseite: Wissenschaftler warnen davor, dass er faul wird und ablehnt, wenn man nicht trainiert, sich nicht mit Arbeit überlastet und ihm Aufgaben erleichtert. Ebenso werden unsere Muskeln ohne körperliches Training schwächer.

Auch Michail Wassiljewitsch Lomonossow sprach über die Vorteile der Mathematik und nannte sie die schönste aller Wissenschaften: „Man muss die Mathematik lieben, weil sie den Geist in Ordnung bringt.“

Mündliches Rechnen fördert Aufmerksamkeit und Reaktionsgeschwindigkeit. Nicht umsonst tauchen immer mehr neue Methoden des schnellen Kopfrechnens auf, die sowohl für Kinder als auch für Erwachsene gedacht sind. Eines davon ist das japanische mentale Zählsystem, das den alten japanischen Soroban-Abakus verwendet. Die Technik selbst wurde vor 25 Jahren in Japan entwickelt und wird heute in einigen unserer Schulen für mentales Zählen erfolgreich eingesetzt. Es werden visuelle Bilder verwendet, die jeweils einer bestimmten Zahl entsprechen. Ein solches Training entwickelt die rechte Gehirnhälfte, die für das räumliche Denken, die Konstruktion von Analogien usw. verantwortlich ist.

Es ist merkwürdig, dass Schüler solcher Schulen (sie nehmen Kinder im Alter von 4 bis 11 Jahren auf) in nur zwei Jahren lernen, arithmetische Operationen mit zweistelligen und sogar dreistelligen Zahlen durchzuführen. Kinder, die das Einmaleins nicht kennen, können hier multiplizieren. Sie addieren und subtrahieren große Zahlen, ohne sie aufzuschreiben. Aber natürlich ist das Ziel des Trainings die ausgewogene Entwicklung von rechts und links.

Sie können das Kopfrechnen auch mit Hilfe des Problembuchs „1001 Probleme für das Kopfrechnen in der Schule“ beherrschen, das bereits im 19. Jahrhundert von einem Landlehrer und berühmten Pädagogen Sergei Aleksandrovich Rachinsky zusammengestellt wurde. Für dieses Problembuch spricht die Tatsache, dass es mehrere Auflagen erlebt hat. Dieses Buch kann im Internet gefunden und heruntergeladen werden.

Menschen, die schnelles Zählen üben, empfehlen Yakov Trachtenbergs Buch „The Quick Counting System“. Die Entstehungsgeschichte dieses Systems ist sehr ungewöhnlich. Um das Konzentrationslager, in das er 1941 von den Nazis geschickt wurde, zu überleben und seine geistige Klarheit nicht zu verlieren, begann ein Zürcher Mathematikprofessor, Algorithmen für mathematische Operationen zu entwickeln, die es ihm ermöglichten, schnell im Kopf zu zählen. Und nach dem Krieg schrieb er ein Buch, in dem das Schnellzählsystem so anschaulich und verständlich dargestellt wird, dass es bis heute gefragt ist.

Es gibt auch gute Rezensionen zu Yakov Perelmans Buch „Quick Counting. Dreißig einfache Beispiele für mentales Zählen. Die Kapitel dieses Buches widmen sich der Multiplikation mit ein- und zweistelligen Zahlen, insbesondere der Multiplikation mit 4 und 8, 5 und 25, mit 11/2, 11/4, *, der Division durch 15, dem Quadrieren und der Formel Berechnungen.

Die einfachsten Methoden des mentalen Zählens

Menschen, die über bestimmte Fähigkeiten verfügen, werden diese Fähigkeit schneller beherrschen, nämlich: die Fähigkeit, logisch zu denken, die Fähigkeit, sich zu konzentrieren und mehrere Bilder gleichzeitig im Kurzzeitgedächtnis zu speichern.

Nicht weniger wichtig ist die Kenntnis spezieller Aktionsalgorithmen und einiger mathematischer Gesetze, die dies ermöglichen, sowie die Fähigkeit, für eine bestimmte Situation den effektivsten auszuwählen.

Und natürlich geht es nicht ohne regelmäßiges Training!

Einige der gebräuchlichsten Schnellzähltechniken sind:

1. Multiplikation einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl

Der einfachste Weg, eine zweistellige Zahl mit einer einstelligen Zahl zu multiplizieren, besteht darin, sie in zwei Komponenten aufzuteilen. Zum Beispiel 45 – mit 40 und 5. Als nächstes multiplizieren wir jede Komponente einzeln mit der erforderlichen Zahl, zum Beispiel mit 7. Wir erhalten: 40 × 7 = 280; 5 × 7 = 35. Dann addieren wir die resultierenden Ergebnisse: 280 + 35 = 315.

2. Eine dreistellige Zahl multiplizieren

Auch das Multiplizieren einer dreistelligen Zahl im Kopf gelingt viel einfacher, wenn man sie in ihre Bestandteile zerlegt, den Multiplikanden aber so darstellt, dass man damit einfacher mathematische Operationen durchführen kann. Zum Beispiel müssen wir 137 mit 5 multiplizieren.

Wir stellen 137 als 140 − 3 dar. Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir jetzt nicht 137, sondern 140 − 3 mit 5 multiplizieren müssen. Oder (140 − 3) x 5.

Wenn Sie das Einmaleins innerhalb von 19 x 9 kennen, können Sie noch schneller zählen. Wir zerlegen die Zahl 137 in 130 und 7. Als nächstes multiplizieren wir mit 5, zuerst 130 und dann 7, und addieren die Ergebnisse. Das heißt, 137 × 5 = 130 × 5 + 7 × 5 = 650 + 35 = 685.

Sie können nicht nur den Multiplikanden, sondern auch den Multiplikator erweitern. Zum Beispiel müssen wir 235 mit 6 multiplizieren. Wir erhalten sechs, indem wir 2 mit 3 multiplizieren. Daher multiplizieren wir zuerst 235 mit 2 und erhalten 470 und dann multiplizieren wir 470 mit 3. Insgesamt 1410.

Dieselbe Aktion kann anders ausgeführt werden, indem 235 als 200 und 35 dargestellt wird. Es ergibt sich 235 × 6 = (200 + 35) × 6 = 200 × 6 + 35 × 6 = 1200 + 210 = 1410.

Auf die gleiche Weise können Sie durch die Zerlegung von Zahlen in ihre Bestandteile Additionen, Subtraktionen und Divisionen durchführen.

3. Multiplikation mit 10

Jeder weiß, wie man mit 10 multipliziert: Addiere einfach Null zum Multiplikanden. Zum Beispiel 15 × 10 = 150. Auf dieser Grundlage ist es nicht weniger einfach, mit 9 zu multiplizieren. Zuerst addieren wir 0 zum Multiplikanden, multiplizieren ihn also mit 10, und subtrahieren dann den Multiplikanden von der resultierenden Zahl: 150 × 9 = 150 × 10 = 1500 − 150 = 1.350.

4. Multiplikation mit 5

Es ist einfach, mit 5 zu multiplizieren. Sie müssen lediglich die Zahl mit 10 multiplizieren und das resultierende Ergebnis durch 2 dividieren.

5. Multiplikation mit 11

Es ist interessant, zweistellige Zahlen mit 11 zu multiplizieren. Nehmen Sie zum Beispiel 18. Erweitern Sie gedanklich 1 und 8 und schreiben Sie dazwischen die Summe dieser Zahlen: 1 + 8. Wir erhalten 1 (1 + 8) 8. Oder 198.

6. Mit 1,5 multiplizieren

Wenn Sie eine Zahl mit 1,5 multiplizieren müssen, dividieren Sie sie durch zwei und addieren Sie die resultierende Hälfte zum Ganzen: 24 × 1,5 = 24 / 2 + 24 = 36.

Dies sind nur die einfachsten Methoden des mentalen Zählens, mit denen wir unser Gehirn im Alltag trainieren können. Zum Beispiel die Kosten für Einkäufe zählen, während man an der Kasse in der Schlange steht. Oder führen Sie mathematische Operationen mit Nummern auf den Nummernschildern vorbeifahrender Autos durch. Wer gerne mit Zahlen „spielt“ und sein Denkvermögen weiterentwickeln möchte, kann auf die Bücher der oben genannten Autoren zurückgreifen.

So sehr ich mich auch schämte, mit 30 wurde mir klar, dass ich sehr schlecht darin war, Grundzahlen im Kopf zu zählen, und viel Zeit damit verschwendete. Ich beschloss, diesen Mangel zu beheben und fand im Internet Tools, mit denen ich lernen konnte, im Kopf zu zählen.

Es gibt Schlüsselmuster in der Arithmetik, die automatisiert werden müssen.

Subtraktion 7,8,9 Um 9 von einer beliebigen Zahl zu subtrahieren, müssen Sie 10 davon subtrahieren und 1 addieren. Um 8 von einer beliebigen Zahl zu subtrahieren, müssen Sie 10 davon subtrahieren und 2 addieren. Um 7 von einer beliebigen Zahl zu subtrahieren, müssen Sie 10 davon subtrahieren und addieren Sie 3. Wenn Sie normalerweise anders denken, müssen Sie sich für ein besseres Ergebnis an diese neue Methode gewöhnen.

Mit 9 multiplizieren. Eine schnelle Möglichkeit, eine beliebige Zahl mit 9 zu multiplizieren, besteht darin, die Zahl zunächst mit 10 zu multiplizieren (fügen Sie am Ende einfach eine 0 hinzu) und dann die Zahl selbst vom Ergebnis zu subtrahieren. Zum Beispiel 89*9=890-89=801. Dieser Vorgang muss automatisiert werden.

Mit 2 multiplizieren. Für das mentale Zählen ist es sehr wichtig, eine beliebige Zahl schnell mit 2 multiplizieren zu können. Um mit zwei nicht runden Zahlen zu multiplizieren, versuchen Sie, sie auf die nächste, bequemere Zahl zu runden. Es ist also einfacher, 139*2 zu berechnen, wenn Sie zuerst 140*2 multiplizieren (140*2=280). und dann 1*2=2 subtrahieren (genau 1 muss zu 139 addiert werden, um 140 zu erhalten) Gesamt: 140*2-1*2=278

Durch 2 dividieren. Für das mentale Zählen ist es außerdem wichtig, eine beliebige Zahl schnell durch 2 dividieren zu können. Obwohl Multiplikation und Division durch 2 für viele Menschen recht einfach sind, versuchen Sie in schwierigen Fällen auch, Zahlen zu runden. Um beispielsweise 198 durch 2 zu dividieren, müssen Sie zuerst 200 (das ist 198+2) durch 2 dividieren und 1 subtrahieren (wir erhalten 1, indem wir die addierten 2 durch 2 dividieren). Gesamt: 198/2=200/2-2/ 2=100- 1=99.

Division und Multiplikation durch 4 und 8. Division (oder Multiplikation) durch 4 und 8 sind doppelte oder dreifache Division (oder Multiplikation) durch 2. Es ist praktisch, diese Operationen nacheinander auszuführen. Beispiel: 46*4=46*2*2=922*2=184

Mit 5 multiplizieren. Mit 5 zu multiplizieren ist sehr einfach. Multiplizieren mit 5 und Dividieren durch 2 sind praktisch dasselbe. Also 88*5=440 und 88/2=44, also multiplizieren Sie eine Zahl immer mit 5, indem Sie die Zahl durch 2 dividieren und mit 10 multiplizieren.

Multiplikation mit einstelligen Zahlen. Um schnell im Kopf zählen zu können, ist es hilfreich, zwei- und dreistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren zu können. Dazu müssen Sie eine zwei- oder dreistellige Zahl Stück für Stück multiplizieren. Lassen Sie uns zum Beispiel 83*7 multiplizieren. Dazu multiplizieren Sie zunächst 8 mit 7 (und addieren 0, da 8 die Zehnerstelle ist) und addieren zu dieser Zahl das Produkt aus 3 und 7. Somit ergibt sich 83*7=80*7+3*7=560+21 =581. Nehmen wir ein komplexeres Beispiel 236*3. Also multiplizieren wir die komplexe Zahl bitweise mit 3: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Definition von Bereichen. Um sich nicht in den Algorithmen zu verwirren und versehentlich eine völlig falsche Antwort zu geben, ist es wichtig, einen ungefähren Antwortbereich konstruieren zu können. Wenn man also einstellige Zahlen miteinander multipliziert, kann das Ergebnis nicht mehr als 90 (9*9=81) ergeben, zweistellige Zahlen nicht mehr als 10.000 (99*99 =9801), dreistellige Zahlen nicht mehr als 1.000.000 (999*999=998001)

Teilen von 1000 durch 2,4,8,16 Und schließlich ist es nützlich, die Division von Zahlen, die ein Vielfaches von 10 sind, durch Zahlen zu kennen, die ein Vielfaches von zwei sind: 100=2*500=4*250=8*125= 16*62,5

Wie!

Viele Leute fragen, wie man lernt, schnell im Kopf zu zählen, damit es unauffällig und nicht dumm aussieht. Schließlich ermöglichen uns moderne Technologien, unser Gedächtnis und unsere geistigen Fähigkeiten weniger zu nutzen. Aber manchmal sind diese Technologien nicht zur Hand und manchmal ist es einfacher und schneller, etwas im Kopf zu berechnen. Viele Leute haben angefangen, selbst grundlegende Dinge auf einem Taschenrechner oder Telefon zu zählen, was ebenfalls nicht sehr gut ist. Die Fähigkeit, im Kopf zu zählen, bleibt für den modernen Menschen eine nützliche Fähigkeit, obwohl er über alle möglichen Geräte verfügt, die für ihn zählen können. Die Fähigkeit, auf spezielle Geräte zu verzichten und eine Rechenaufgabe schnell und zum richtigen Zeitpunkt zu lösen, ist nicht der einzige Nutzen dieser Fähigkeit. Zusätzlich zu ihrem nützlichen Zweck ermöglichen Ihnen mentale Berechnungstechniken zu lernen, wie Sie sich in verschiedenen Lebenssituationen organisieren können. Darüber hinaus wird sich die Fähigkeit, im Kopf zu zählen, zweifellos positiv auf das Bild Ihrer intellektuellen Fähigkeiten auswirken und Sie von den umliegenden „Humanisten“ unterscheiden.

Schnelle Zählmethoden

Es gibt eine Reihe einfacher Rechenregeln und -muster, die man nicht nur zum mentalen Rechnen kennen, sondern auch ständig im Auge behalten muss, um schnell und zum richtigen Zeitpunkt den effektivsten Algorithmus anzuwenden. Dazu ist es notwendig, ihre Verwendung zur Automatisierung zu bringen und im mechanischen Gedächtnis zu konsolidieren, damit Sie von der Lösung der einfachsten Beispiele erfolgreich zu komplexeren Rechenoperationen übergehen können. Hier sind die grundlegenden Algorithmen, die Sie kennen, sich merken und sofort und automatisch anwenden müssen:

Subtraktion 7, 8, 9

Um 9 von einer beliebigen Zahl zu subtrahieren, müssen Sie 10 davon subtrahieren und 1 addieren. Um 8 von einer beliebigen Zahl zu subtrahieren, müssen Sie 10 davon subtrahieren und 2 addieren. Um 7 von einer beliebigen Zahl zu subtrahieren, müssen Sie 10 davon subtrahieren und addieren Sie 3. Wenn Sie normalerweise anders denken, müssen Sie sich für ein besseres Ergebnis an diese neue Methode gewöhnen.

Mit 9 multiplizieren

Mit den Fingern können Sie jede Zahl schnell mit 9 multiplizieren.

Division und Multiplikation durch 4 und 8

Division (oder Multiplikation) durch 4 und 8 sind doppelte oder dreifache Division (oder Multiplikation) durch 2. Es ist zweckmäßig, diese Operationen nacheinander auszuführen.

Beispiel: 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

Mit 5 multiplizieren

Mit 5 zu multiplizieren ist sehr einfach. Multiplizieren mit 5 und Dividieren durch 2 sind praktisch dasselbe. Also 88*5=440 und 88/2=44, also multiplizieren Sie immer mit 5, indem Sie die Zahl durch 2 dividieren und mit 10 multiplizieren.

Mit 25 multiplizieren

Die Multiplikation mit 25 ist dasselbe wie die Division durch 4 (gefolgt von der Multiplikation mit 100). Also 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

Multiplikation mit einzelnen Ziffern

Lassen Sie uns zum Beispiel 83*7 multiplizieren.

Dazu multiplizieren Sie zunächst 8 mit 7 (und addieren Null, da 8 die Zehnerstelle ist) und addieren zu dieser Zahl das Produkt aus 3 und 7. Somit ergibt sich 83*7=80*7 +3*7= 560+ 21=581 .

Nehmen wir ein komplexeres Beispiel: 236*3.

Also multiplizieren wir die komplexe Zahl bitweise mit 3: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Bereiche definieren

Um sich nicht in den Algorithmen zu verwirren und versehentlich eine völlig falsche Antwort zu geben, ist es wichtig, einen ungefähren Antwortbereich konstruieren zu können. So kann die Multiplikation einstelliger Zahlen miteinander ein Ergebnis von nicht mehr als 90 (9*9=81) ergeben, zweistellige Zahlen nicht mehr als 10.000 (99*99=9801), dreistellige Zahlen nicht mehr - 1.000.000 (999*999=998001).

Anordnung der Zehner und Einer

Die Methode besteht darin, beide Faktoren durch Zehner und Einer zu dividieren und die resultierenden vier Zahlen dann zu multiplizieren. Diese Methode ist recht einfach, erfordert jedoch die Fähigkeit, bis zu drei Zahlen gleichzeitig im Speicher zu halten und gleichzeitig Rechenoperationen parallel auszuführen.

Zum Beispiel:

63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Solche Beispiele lassen sich einfach in 3 Schritten lösen:

1. Zunächst werden Zehner miteinander multipliziert.
2. Addieren Sie dann 2 Produkte aus Einer und Zehner.
3. Dann wird das Produkt der Einheiten addiert.

Schematisch lässt sich dies wie folgt beschreiben:

Erste Aktion: 60*80 = 4800 – denken Sie daran
- Zweite Aktion: 60*5+3*80 = 540 – merken
- Dritte Aktion: (4800+540)+3*5= 5355 - Antwort

Für den schnellstmöglichen Effekt benötigen Sie gute Kenntnisse des Einmaleins für Zahlen bis 10, die Fähigkeit, Zahlen (bis zu drei Ziffern) zu addieren, sowie die Fähigkeit, die Aufmerksamkeit schnell von einer Aktion zur anderen zu lenken und dabei zu bleiben das vorherige Ergebnis im Hinterkopf. Es ist praktisch, die letzte Fähigkeit zu trainieren, indem man die ausgeführten Rechenoperationen visualisiert, wobei man sich ein Bild seiner Lösung sowie Zwischenergebnisse vorstellen sollte.

Geistige Visualisierung der Spaltenmultiplikation

56*67 – Zählung in einer Spalte. Wahrscheinlich enthält das Zählen in einer Spalte die maximale Anzahl an Aktionen und erfordert die ständige Berücksichtigung der Hilfszahlen.

Aber es lässt sich vereinfachen:
Erste Aktion: 56*7 = 350+42=392
Zweite Aktion: 56*6=300+36=336 (oder 392-56)
Dritte Aktion: 336*10+392=3360+392=3.752

Private Techniken zum Multiplizieren zweistelliger Zahlen bis 30

Der Vorteil der drei Methoden der Multiplikation zweistelliger Zahlen für das Kopfrechnen besteht darin, dass sie für alle Zahlen universell sind und Sie mit guten Kopfrechenfähigkeiten schnell zur richtigen Antwort gelangen können. Allerdings kann die Effizienz der Multiplikation einiger zweistelliger Zahlen im Kopf aufgrund der geringeren Anzahl an Schritten bei Verwendung spezieller Algorithmen höher sein.

Mit 11 multiplizieren

Um eine zweistellige Zahl mit 11 zu multiplizieren, müssen Sie die Summe der ersten und zweiten Ziffern zwischen der ersten und zweiten Ziffer der zu multiplizierenden Zahl eingeben.

Zum Beispiel: 23*11, schreiben Sie 2 und 3 und fügen Sie dazwischen die Summe (2+3) ein. Oder kurz gesagt, dass 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Wenn die Summe der Zahlen in der Mitte ein Ergebnis größer als 10 ergibt, addieren Sie eins zur ersten Ziffer und schreiben anstelle der zweiten Ziffer die Summe der Ziffern der zu multiplizierenden Zahl minus 10.

Zum Beispiel: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Sie können nicht nur zweistellige Zahlen, sondern auch beliebige andere Zahlen schnell mündlich mit 11 multiplizieren.

Beispiel: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564

Quadratische Summe, quadrierte Differenz

Um eine zweistellige Zahl zu quadrieren, können Sie die Formeln „Quadratsumme“ oder „Quadratdifferenz“ verwenden. Zum Beispiel:

23²= (20+3)2 = 202 + 2*3*20 + 32 = 400+120+9 = 529

69² = (70-1)2 = 702 - 70*2*1 + 12 = 4.900-140+1 = 4.761

Zahlen, die mit 5 enden, quadrieren. Zahlen, die mit 5 enden, quadrieren. Der Algorithmus ist einfach. Die Zahl bis zu den letzten fünf multiplizieren Sie mit derselben Zahl plus eins. Addiere 25 zur verbleibenden Zahl.

25² = (2*(2+1)) 25 = 625

85² = (8*(8+1)) 25 = 7.225

Dies gilt auch für komplexere Beispiele:

155² = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24.025

Die Technik zum Multiplizieren von Zahlen bis 20 ist sehr einfach:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Die Richtigkeit dieser Methode zu beweisen ist einfach: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. Der letzte Ausdruck ist eine Demonstration der oben beschriebenen Methode. Im Grunde handelt es sich bei dieser Methode um eine spezielle Art der Verwendung von Referenznummern. In diesem Fall ist die Referenzzahl 10. Im letzten Ausdruck des Beweises können wir sehen, dass wir die Klammer mit 10 multiplizieren. Aber auch jede andere Zahl kann als Referenzzahl verwendet werden, am praktischsten sind 20, 25, 50, 100...

Referenznummer

Schauen Sie sich das Wesentliche dieser Methode am Beispiel der Multiplikation von 15 und 18 an. Hier ist es zweckmäßig, die Referenzzahl 10 zu verwenden. 15 ist größer als zehn mal 5 und 18 ist größer als zehn mal 8.

Um ihr Produkt herauszufinden, müssen Sie die folgenden Vorgänge ausführen:

1. Addieren Sie zu einem der Faktoren die Zahl, um die der zweite Faktor größer als der Referenzfaktor ist. Das heißt, addieren Sie 8 zu 15 oder 5 zu 18. Im ersten und zweiten Fall ist das Ergebnis dasselbe: 23.
2. Dann multiplizieren wir 23 mit der Referenzzahl, also mit 10. Antwort: 230
3. Zu 230 addieren wir das Produkt 5*8. Antwort: 270.

Die Referenzzahl beim Multiplizieren von Zahlen bis 100. Die beliebteste Technik, große Zahlen im Kopf zu multiplizieren, ist die Technik der sogenannten Referenzzahl
Referenznummer für die Multiplikation- Dies ist die Zahl, bei der beide Faktoren nahe beieinander liegen und mit der man sie bequem multiplizieren kann. Bei der Multiplikation von Zahlen bis 100 mit Referenzzahlen empfiehlt es sich, alle Zahlen zu verwenden, die ein Vielfaches von 10 sind, insbesondere 10, 20, 50 und 100.
Die Technik zur Verwendung der Referenzzahl hängt davon ab, ob die Faktoren größer oder kleiner als die Referenzzahl sind. Hier gibt es drei mögliche Fälle. Wir zeigen alle 3 Methoden anhand von Beispielen.
Beide Zahlen sind kleiner als die Referenz (unterhalb der Referenz). Nehmen wir an, wir möchten 48 mit 47 multiplizieren.
Diese Zahlen liegen nahe genug an der Zahl 50 und daher ist es praktisch, 50 als Referenzzahl zu verwenden.
So multiplizieren Sie 48 mit 47 unter Verwendung der Referenzzahl 50:

1. Subtrahieren Sie von 47 die fehlende Zahl 48 von 50, also 2. Es ergibt sich 45 (bzw
subtrahiere 3 von 48 - es ist immer das Gleiche)
2. Als nächstes multiplizieren wir 45 mit 50 = 2250
3. Addieren Sie dann 2*3 zu diesem Ergebnis – 2.256

50 (Referenznummer)

3(50-47) 2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Wenn die Zahlen kleiner als die Referenzzahl sind, subtrahieren wir vom ersten Faktor die Differenz zwischen der Referenzzahl und dem zweiten Faktor. Sind die Zahlen größer als die Referenzzahl, addieren wir zum ersten Faktor die Differenz zwischen der Referenzzahl und dem zweiten Faktor.

50 (Referenznummer)

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

Eine Zahl steht unter der Referenz, die andere darüber. Der dritte Fall der Verwendung einer Referenznummer liegt vor, wenn eine Zahl größer als die Referenznummer und die andere kleiner ist. Solche Beispiele sind nicht schwieriger zu lösen als die vorherigen. Wir erhöhen den kleineren Faktor um die Differenz zwischen dem zweiten Faktor und der Referenzzahl, multiplizieren das Ergebnis mit der Referenzzahl und subtrahieren das Produkt der Differenzen zwischen Referenzzahl und den Faktoren. Oder wir reduzieren den größeren Faktor um die Differenz zwischen dem zweiten Faktor und der Referenzzahl, multiplizieren das Ergebnis mit der Referenzzahl und subtrahieren das Produkt der Differenzen zwischen Referenzzahl und den Faktoren.

50 (Referenznummer)

5(50-45) 2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 oder (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

Bei der Multiplikation zweistelliger Zahlen aus verschiedenen Zehnern ist es bequemer, eine Referenzzahl zu verwenden
Nehmen Sie eine runde Zahl, die größer als der größere Faktor ist.

90 (Referenznummer)

63 (90-27) 1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Somit ist es durch die Verwendung einer einzigen Referenznummer möglich, eine große Kombination zweistelliger Zahlen zu multiplizieren. Die oben beschriebenen Methoden können in universelle (für beliebige Zahlen geeignet) und spezifische (für bestimmte Fälle praktische) unterteilt werden.

Als letzten Ausweg können Sie ein „Bauern“-Konto verwenden. Um eine Zahl mit einer anderen zu multiplizieren, beispielsweise 21*75, müssen wir die Zahlen in zwei Spalten schreiben. Die erste Zahl in der linken Spalte ist 21, die erste Zahl in der rechten Spalte ist 75. Teilen Sie dann die Zahlen in der linken Spalte durch 2 und verwerfen Sie den Rest, bis wir eins erhalten, und multiplizieren Sie die Zahlen in der rechten Spalte mit 2. Streichen Sie alle Zeilen mit geraden Zahlen in der linken Spalte durch und addieren Sie die restlichen Zahlen in der rechten Spalte, wir erhalten das genaue Ergebnis.

Abschluss

Wie alle Berechnungsmethoden haben auch diese schnellen Berechnungsmethoden ihre Vor- und Nachteile:

VORTEILE:

1. Mit Hilfe verschiedener Methoden schneller Berechnungen kann selbst die am wenigsten gebildete Person zählen.
2. Schnelle Zählmethoden können dabei helfen, eine komplexe Aktion loszuwerden, indem sie durch mehrere einfachere ersetzt werden.
3.Schnelle Zählmethoden sind in Situationen nützlich, in denen die Spaltenmultiplikation nicht verwendet werden kann.
4. Schnelle Zählmethoden können die Berechnungszeit verkürzen.
5. Kopfrechnen fördert die geistige Aktivität, die hilft, schwierige Lebenssituationen schnell zu meistern.
6. Die mentale Rechentechnik macht den Rechenvorgang unterhaltsamer und interessanter.

Nachteile:

1. Das Lösen eines Beispiels mit Schnellberechnungsmethoden erweist sich oft als länger als das einfache Multiplizieren mit der Spalte, da Sie eine größere Anzahl von Aktionen ausführen müssen, von denen jede einfacher ist als die ursprüngliche.
2. Es gibt Situationen, in denen eine Person aus Aufregung oder aus anderen Gründen die Methoden des schnellen Zählens vergisst oder sogar darin verwirrt ist; In solchen Fällen ist die Antwort falsch und die Methoden sind tatsächlich nutzlos.
3.Schnelle Zählmethoden wurden nicht für alle Fälle entwickelt.
4. Beim Rechnen mit der Schnellzähltechnik müssen Sie viele Antworten im Kopf behalten, was zu Verwirrung und einem falschen Ergebnis führen kann.

Zweifellos spielt Übung eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung jeder Fähigkeit. Doch die Fähigkeit zur mentalen Berechnung beruht nicht allein auf Erfahrung. Das beweisen Menschen, die komplexe Beispiele im Kopf abzählen können. Solche Leute können zum Beispiel dreistellige Zahlen multiplizieren und dividieren, arithmetische Operationen ausführen, die nicht jeder in einer Spalte zählen kann. Was muss ein gewöhnlicher Mensch wissen und können, um solch eine phänomenale Fähigkeit zu beherrschen? Heutzutage gibt es verschiedene Techniken, mit denen Sie schnell lernen können, im Kopf zu zählen.

Nachdem wir viele Ansätze zur mündlichen Vermittlung der Zählfähigkeit untersucht haben, können wir hervorheben 3 Hauptkomponenten dieser Fähigkeit:

1. Fähigkeiten. Die Konzentrationsfähigkeit und die Fähigkeit, mehrere Dinge gleichzeitig im Kurzzeitgedächtnis festzuhalten. Veranlagung zu Mathematik und logischem Denken.

2. Algorithmen. Kenntnis spezieller Algorithmen und die Fähigkeit, in jeder spezifischen Situation schnell den notwendigen und effektivsten Algorithmus auszuwählen.

3. Ausbildung und Erfahrung, deren Bedeutung für keine Fertigkeit aufgehoben wurde. Durch ständiges Training und die schrittweise Verkomplizierung gelöster Probleme und Übungen können Sie die Geschwindigkeit und Qualität des mentalen Rechnens verbessern. Es ist zu beachten, dass der dritte Faktor von zentraler Bedeutung ist. Ohne die nötige Erfahrung werden Sie andere nicht mit einem schnellen Ergebnis überraschen können, selbst wenn Sie den bequemsten Algorithmus kennen. Unterschätzen Sie jedoch nicht die Bedeutung der ersten beiden Komponenten, denn wenn Sie über die Fähigkeiten und die notwendigen Algorithmen verfügen, können Sie selbst den erfahrensten „Buchhalter“ überraschen, vorausgesetzt, Sie haben die gleiche Zeit trainiert .

Typ