Handlungen mit Wurzeln ungeraden Grades. Eine Anmerkung zur Reihenfolge der Operationen. Erweiterung der Potenzreihen

Herzlichen Glückwunsch: Heute analysieren wir die Wurzeln - eines der umwerfendsten Themen der 8. Klasse. :)

Viele Menschen sind verwirrt über die Wurzeln, nicht weil sie komplex sind (was kompliziert ist – ein paar Definitionen und ein paar weitere Eigenschaften), sondern weil in den meisten Schulbüchern die Wurzeln durch solche Wildzeichen definiert sind, dass nur die Autoren der Lehrbücher selbst dies können verstehe dieses Gekritzel. Und selbst dann nur mit einer guten Flasche Whisky. :)

Deshalb werde ich jetzt die richtigste und kompetenteste Definition der Wurzel geben - die einzige, an die Sie sich wirklich erinnern müssen. Und erst dann werde ich erklären: warum das alles notwendig ist und wie man es in der Praxis anwendet.

Aber erinnern Sie sich zuerst an einen wichtigen Punkt, den viele Autoren von Lehrbüchern aus irgendeinem Grund „vergessen“ haben:

Wurzeln können geraden Grad (unser Lieblings-$\sqrt(a)$, sowie jedes $\sqrt(a)$ und gerade $\sqrt(a)$) und ungeraden Grad (jedes $\sqrt(a)$) haben , $\sqrt(a)$ usw.). Und die Definition der Wurzel eines ungeraden Grades unterscheidet sich etwas von der geraden.

Hier in diesem verdammten „etwas anderen“ verstecken sich wahrscheinlich 95% aller Fehler und Missverständnisse, die mit den Wurzeln verbunden sind. Klären wir also ein für alle Mal die Terminologie auf:

Definition. Sogar Wurzel n aus der Zahl $a$ ist beliebig nicht negativ eine Zahl $b$ mit $((b)^(n))=a$. Und die Wurzel eines ungeraden Grades aus derselben Zahl $a$ ist im Allgemeinen jede Zahl $b$, für die dieselbe Gleichheit gilt: $((b)^(n))=a$.

In jedem Fall wird die Wurzel so bezeichnet:

\(a)\]

Die Zahl $n$ in einer solchen Notation wird Wurzelexponent genannt, und die Zahl $a$ wird Wurzelausdruck genannt. Insbesondere erhalten wir für $n=2$ unsere „Lieblings“-Quadratwurzel (das ist übrigens eine Wurzel mit geradem Grad), und für $n=3$ bekommen wir eine Kubikwurzel (einen ungeraden Grad), die auch oft in Problemen und Gleichungen zu finden ist.

Beispiele. Klassische Beispiele für Quadratwurzeln:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Übrigens, $\sqrt(0)=0$ und $\sqrt(1)=1$. Dies ist ziemlich logisch, da $((0)^(2))=0$ und $((1)^(2))=1$.

Kubische Wurzeln sind auch üblich - haben Sie keine Angst davor:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Nun, ein paar "exotische Beispiele":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was der Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Grad ist, lesen Sie die Definition noch einmal. Es ist sehr wichtig!

In der Zwischenzeit werden wir ein unangenehmes Merkmal der Wurzeln betrachten, aufgrund dessen wir eine separate Definition für gerade und ungerade Exponenten einführen mussten.

Warum brauchen wir überhaupt Wurzeln?

Nach dem Lesen der Definition werden viele Schüler fragen: „Was haben die Mathematiker geraucht, als sie darauf kamen?“ Und wirklich: Wozu brauchen wir all diese Wurzeln?

Um diese Frage zu beantworten, gehen wir kurz zurück in die Grundschule. Denken Sie daran: In jenen fernen Zeiten, als die Bäume grüner und die Knödel schmackhafter waren, ging es uns vor allem darum, die Zahlen richtig zu multiplizieren. Naja, irgendwas im Sinne von "fünf mal fünf - fünfundzwanzig", das ist alles. Aber man kann Zahlen ja nicht paarweise multiplizieren, sondern in Drillingen, Vierern und generell ganzen Sätzen:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Dies ist jedoch nicht der Punkt. Der Trick ist ein anderer: Mathematiker sind faule Menschen, also mussten sie die Multiplikation von zehn Fünfern so aufschreiben:

Also kamen sie auf Abschlüsse. Warum schreiben Sie die Anzahl der Faktoren nicht hochgestellt statt als lange Zeichenfolge? Wie dieser:

Es ist sehr bequem! Alle Berechnungen werden um ein Vielfaches reduziert, und Sie können nicht einen Haufen Pergamentblätter von Notizbüchern ausgeben, um etwa 5 183 aufzuschreiben. Ein solcher Eintrag wurde als Grad einer Zahl bezeichnet, darin wurden eine Reihe von Eigenschaften gefunden, aber das Glück erwies sich als kurzlebig.

Nach einem grandiosen Schnaps, der gerade um die „Entdeckung“ von Graden organisiert wurde, fragte plötzlich ein besonders bekiffter Mathematiker: „Was ist, wenn wir den Grad einer Zahl kennen, aber wir kennen die Zahl selbst nicht?“ In der Tat, wenn wir wissen, dass eine bestimmte Zahl $b$ zum Beispiel 243 hoch 5 ergibt, wie können wir dann erraten, was die Zahl $b$ selbst gleich ist?

Dieses Problem stellte sich als viel globaler heraus, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Denn es stellte sich heraus, dass es für die meisten „vorgefertigten“ Abschlüsse keine solchen „Anfangs“-Nummern gibt. Urteile selbst:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Was ist, wenn $((b)^(3))=50$? Es stellt sich heraus, dass Sie eine bestimmte Zahl finden müssen, die, wenn sie dreimal mit sich selbst multipliziert wird, 50 ergibt. Aber was ist diese Zahl? Sie ist deutlich größer als 3, weil 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. D.h. diese Zahl liegt irgendwo zwischen drei und vier, aber was es gleich ist - FIG, werden Sie verstehen.

Genau aus diesem Grund kamen Mathematiker auf $n$-te Wurzeln. Deshalb wurde das Radikal-Icon $\sqrt(*)$ eingeführt. Um die gleiche Zahl $b$ zu bezeichnen, die uns mit der angegebenen Potenz einen zuvor bekannten Wert gibt

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Ich behaupte nicht: Oft sind diese Wurzeln leicht zu berücksichtigen - wir haben oben mehrere solcher Beispiele gesehen. Aber dennoch, in den meisten Fällen, wenn Sie an eine willkürliche Zahl denken und dann versuchen, die Wurzel eines willkürlichen Grades daraus zu ziehen, werden Sie in eine grausame Panne geraten.

Was ist dort! Selbst das einfachste und bekannteste $\sqrt(2)$ kann nicht in unserer üblichen Form dargestellt werden - als Ganzzahl oder Bruch. Und wenn Sie diese Zahl in einen Taschenrechner eingeben, sehen Sie Folgendes:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Wie Sie sehen, folgt hinter dem Komma eine endlose Folge von Zahlen, die keiner Logik gehorchen. Sie können diese Zahl natürlich runden, um sie schnell mit anderen Zahlen zu vergleichen. Zum Beispiel:

\[\sqrt(2)=1.4142...\approx 1.4 \lt 1.5\]

Oder hier noch ein Beispiel:

\[\sqrt(3)=1,73205...\ungefähr 1,7 \gt 1,5\]

Aber alle diese Rundungen sind erstens ziemlich grob; und zweitens müssen Sie auch mit ungefähren Werten arbeiten können, sonst können Sie sich einen Haufen nicht offensichtlicher Fehler einfangen (die Fähigkeit zum Vergleichen und Runden wird übrigens unbedingt in der Profilprüfung überprüft).

Daher kommt man in der ernsthaften Mathematik nicht ohne Wurzeln aus – sie sind die gleichen gleichwertigen Vertreter der Menge aller reellen Zahlen $\mathbb(R)$, wie Brüche und ganze Zahlen, die wir seit langem kennen.

Die Unmöglichkeit, die Wurzel als Bruch der Form $\frac(p)(q)$ darzustellen, bedeutet, dass diese Wurzel keine rationale Zahl ist. Solche Zahlen werden irrational genannt und können nur mit Hilfe eines Radikals oder anderer speziell dafür entwickelter Konstruktionen (Logarithmen, Grade, Grenzwerte usw.) genau dargestellt werden. Aber dazu ein andermal mehr.

Betrachten Sie einige Beispiele, bei denen nach all den Berechnungen immer noch irrationale Zahlen in der Antwort verbleiben.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Durch das Aussehen der Wurzel ist es natürlich fast unmöglich zu erraten, welche Zahlen nach dem Komma kommen werden. Es ist jedoch möglich, mit einem Taschenrechner zu rechnen, aber selbst der fortschrittlichste Datumsrechner gibt uns nur die ersten paar Ziffern einer irrationalen Zahl. Daher ist es viel korrekter, die Antworten als $\sqrt(5)$ und $\sqrt(-2)$ zu schreiben.

Dafür wurden sie erfunden. Um das Aufschreiben von Antworten zu erleichtern.

Warum werden zwei Definitionen benötigt?

Dem aufmerksamen Leser ist sicher schon aufgefallen, dass alle in den Beispielen angegebenen Quadratwurzeln aus positiven Zahlen gezogen werden. Naja, zumindest von Null. Aber Kubikwurzeln werden ruhig aus absolut jeder Zahl gezogen - sogar positiv, sogar negativ.

Warum passiert das? Schauen Sie sich den Graphen der Funktion $y=((x)^(2))$ an:

Der Graph einer quadratischen Funktion ergibt zwei Wurzeln: positiv und negativ

Lassen Sie uns versuchen, $\sqrt(4)$ mit diesem Diagramm zu berechnen. Dazu wird in den Graphen eine horizontale Linie $y=4$ (rot markiert) gezeichnet, die die Parabel an zwei Punkten schneidet: $((x)_(1))=2$ und $((x) _(2)) =-2$. Das ist ganz logisch, da

Mit der ersten Zahl ist alles klar - sie ist positiv, also die Wurzel:

Aber was tun mit dem zweiten Punkt? Hat die 4 zwei Wurzeln gleichzeitig? Wenn wir die Zahl −2 quadrieren, erhalten wir schließlich auch 4. Warum schreiben wir dann nicht $\sqrt(4)=-2$? Und warum schauen sich Lehrer solche Platten an, als wollten sie dich fressen? :)

Das Problem ist, dass, wenn keine zusätzlichen Bedingungen auferlegt werden, die vier zwei Quadratwurzeln haben - positiv und negativ. Und jede positive Zahl hat auch zwei davon. Aber negative Zahlen haben überhaupt keine Wurzeln - dies ist aus demselben Diagramm ersichtlich, da die Parabel niemals unter die Achse fällt j, d.h. nimmt keine negativen Werte an.

Ein ähnliches Problem tritt bei allen Wurzeln mit geradem Exponenten auf:

1. Genau genommen hat jede positive Zahl zwei Wurzeln mit einem geraden Exponenten $n$;
2. Aus negativen Zahlen wird die Wurzel mit geradem $n$ gar nicht gezogen.

Aus diesem Grund schreibt die Definition einer geraden Wurzel $n$ ausdrücklich vor, dass die Antwort eine nicht negative Zahl sein muss. So beseitigen wir Unklarheiten.

Aber für ungerade $n$ gibt es dieses Problem nicht. Um dies zu sehen, werfen wir einen Blick auf den Graphen der Funktion $y=((x)^(3))$:

Die kubische Parabel nimmt jeden Wert an, also kann die Kubikwurzel aus jeder Zahl gezogen werden

Aus dieser Grafik lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:

1. Die Äste einer kubischen Parabel gehen im Gegensatz zur üblichen in beide Richtungen ins Unendliche - sowohl nach oben als auch nach unten. Daher wird sich diese Linie auf jeder Höhe, in der wir eine horizontale Linie zeichnen, definitiv mit unserem Diagramm schneiden. Daher kann die Kubikwurzel immer gezogen werden, absolut aus jeder Zahl;
2. Darüber hinaus ist eine solche Kreuzung immer eindeutig, sodass Sie nicht darüber nachdenken müssen, welche Zahl Sie als „richtige“ Wurzel betrachten und welche Sie werten möchten. Deshalb ist die Definition von Wurzeln für einen ungeraden Grad einfacher als für einen geraden (es gibt keine Nicht-Negativitätsanforderung).

Schade, dass diese einfachen Dinge in den meisten Lehrbüchern nicht erklärt werden. Stattdessen beginnen unsere Gehirne mit allen möglichen arithmetischen Wurzeln und ihren Eigenschaften zu explodieren.

Ja, ich behaupte nicht: Was ist eine arithmetische Wurzel - Sie müssen es auch wissen. Und darüber werde ich in einer separaten Lektion ausführlich sprechen. Heute werden wir auch darüber sprechen, denn ohne sie wären alle Überlegungen zu den Wurzeln der $n$-ten Vielheit unvollständig.

Aber zuerst müssen Sie die Definition, die ich oben gegeben habe, klar verstehen. Sonst fängt aufgrund der Fülle an Begriffen in deinem Kopf ein solches Durcheinander an, dass du am Ende gar nichts mehr verstehst.

Und alles, was Sie verstehen müssen, ist der Unterschied zwischen geraden und ungeraden Zahlen. Deshalb sammeln wir noch einmal alles, was Sie wirklich über die Wurzeln wissen müssen:

1. Eine gerade Wurzel besteht nur aus einer nicht negativen Zahl und ist selbst immer eine nicht negative Zahl. Für negative Zahlen ist eine solche Wurzel undefiniert.
2. Aber die Wurzel eines ungeraden Grades besteht aus jeder Zahl und kann selbst jede Zahl sein: Für positive Zahlen ist sie positiv und für negative Zahlen, wie die Großbuchstaben andeuten, ist sie negativ.

Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Klar? Ja, es ist offensichtlich! Deshalb werden wir jetzt ein wenig mit den Berechnungen üben.

Grundlegende Eigenschaften und Einschränkungen

Wurzeln haben viele seltsame Eigenschaften und Einschränkungen - dies wird eine separate Lektion sein. Daher betrachten wir jetzt nur den wichtigsten "Chip", der nur für Wurzeln mit geradem Exponenten gilt. Wir schreiben diese Eigenschaft in Form einer Formel:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\rechts|\]

Mit anderen Worten, wenn wir eine Zahl in eine gerade Potenz erheben und daraus die Wurzel desselben Grades ziehen, erhalten wir nicht die ursprüngliche Zahl, sondern ihren Modul. Dies ist ein einfacher Satz, der leicht zu beweisen ist (es genügt, nicht-negative $x$ separat zu betrachten und dann negative separat zu betrachten). Lehrer sprechen ständig darüber, es steht in jedem Schulbuch. Aber sobald es darum geht, irrationale Gleichungen (also Gleichungen, die das Wurzelzeichen enthalten) zu lösen, vergessen die Schüler gemeinsam diese Formel.

Um das Problem im Detail zu verstehen, vergessen wir für eine Minute alle Formeln und versuchen, zwei Zahlen vorauszuzählen:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Dies sind sehr einfache Beispiele. Das erste Beispiel wird von den meisten Leuten gelöst, aber beim zweiten bleiben viele dran. Um solchen Mist ohne Probleme zu lösen, bedenken Sie immer das Verfahren:

1. Zunächst wird die Zahl in die vierte Potenz erhoben. Nun, es ist irgendwie einfach. Es wird eine neue Zahl erhalten, die sogar im Einmaleins zu finden ist;
2. Und jetzt muss aus dieser neuen Zahl die Wurzel des vierten Grades gezogen werden. Diese. Es gibt keine "Reduktion" von Wurzeln und Graden - dies sind sequentielle Aktionen.

Betrachten wir den ersten Ausdruck: $\sqrt(((3)^(4)))$. Offensichtlich müssen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel berechnen:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Dann ziehen wir die vierte Wurzel aus der Zahl 81:

Machen wir jetzt dasselbe mit dem zweiten Ausdruck. Zuerst potenzieren wir die Zahl −3 in die vierte Potenz, wofür wir sie viermal mit sich selbst multiplizieren müssen:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ links(-3 \rechts)=81\]

Wir haben eine positive Zahl erhalten, da die Gesamtzahl der Minuspunkte im Produkt 4 Stück beträgt und sich alle gegenseitig aufheben (immerhin ergibt ein Minus durch ein Minus ein Plus). Als nächstes extrahieren Sie die Wurzel erneut:

Im Prinzip könnte diese Zeile nicht geschrieben werden, da es ein Kinderspiel ist, dass die Antwort die gleiche sein wird. Diese. Eine gerade Wurzel mit der gleichen geraden Leistung "verbrennt" die Minuspunkte, und in diesem Sinne ist das Ergebnis nicht vom üblichen Modul zu unterscheiden:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Diese Berechnungen stimmen gut mit der Definition der Wurzel eines geraden Grads überein: Das Ergebnis ist immer nicht negativ, und das Wurzelzeichen ist auch immer eine nicht negative Zahl. Andernfalls ist die Wurzel nicht definiert.

Hinweis zur Reihenfolge der Operationen

1. Die Notation $\sqrt(((a)^(2)))$ bedeutet, dass wir zuerst die Zahl $a$ quadrieren und dann die Quadratwurzel aus dem Ergebnis ziehen. Daher können wir sicher sein, dass eine nicht negative Zahl immer unter dem Wurzelzeichen steht, da $((a)^(2))\ge 0$ sowieso;
2. Die Notation $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ hingegen bedeutet, dass wir zuerst die Wurzel aus einer bestimmten Zahl $a$ ziehen und erst dann das Ergebnis quadrieren. Daher darf die Zahl $a$ auf keinen Fall negativ sein - dies ist eine zwingende Anforderung, die in die Definition eingebettet ist.

Man sollte also auf keinen Fall gedankenlos Wurzeln und Grade reduzieren und damit den ursprünglichen Ausdruck vermeintlich „vereinfachen“. Denn wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht und ihr Exponent gerade ist, bekommen wir viele Probleme.

All diese Probleme sind jedoch nur für gerade Indikatoren relevant.

Entfernen eines Minuszeichens unter dem Wurzelzeichen

Natürlich haben auch Wurzeln mit ungeraden Exponenten eine Eigenheit, die es bei geraden im Prinzip nicht gibt. Nämlich:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kurz gesagt, Sie können ein Minus unter dem Zeichen der Wurzeln eines ungeraden Grades herausnehmen. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, mit der Sie alle Minuspunkte "wegwerfen" können:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Diese einfache Eigenschaft vereinfacht viele Berechnungen erheblich. Jetzt brauchen Sie sich keine Sorgen zu machen: Was ist, wenn ein negativer Ausdruck unter die Wurzel gelangt ist und sich herausstellt, dass der Grad an der Wurzel gleichmäßig ist? Es reicht aus, alle Minuspunkte außerhalb der Wurzeln „auszuwerfen“, danach können sie miteinander multipliziert, geteilt und im Allgemeinen viele verdächtige Dinge tun, die uns im Fall von „klassischen“ Wurzeln garantiert zu einem Fehler führen .

Und hier kommt eine andere Definition ins Spiel – diejenige, mit der die meisten Schulen das Studium irrationaler Ausdrücke beginnen. Und ohne die unsere Argumentation unvollständig wäre. Treffen!

arithmetische Wurzel

Nehmen wir für einen Moment an, dass unter dem Wurzelzeichen nur positive Zahlen oder im Extremfall Null stehen können. Lassen Sie uns mit geraden / ungeraden Indikatoren punkten, mit allen oben angegebenen Definitionen punkten - wir werden nur mit nicht negativen Zahlen arbeiten. Was dann?

Und dann bekommen wir die arithmetische Wurzel - sie überschneidet sich teilweise mit unseren "Standard" -Definitionen, unterscheidet sich aber immer noch von ihnen.

Definition. Eine arithmetische Wurzel vom $n$ten Grad einer nicht-negativen Zahl $a$ ist eine nicht-negative Zahl $b$, so dass $((b)^(n))=a$.

Wie Sie sehen können, sind wir nicht mehr an Parität interessiert. Stattdessen trat eine neue Einschränkung auf: Der Wurzelausdruck ist jetzt immer nicht-negativ, und die Wurzel selbst ist auch nicht-negativ.

Um besser zu verstehen, wie sich die arithmetische Wurzel von der üblichen unterscheidet, werfen Sie einen Blick auf die uns bereits bekannten Diagramme der quadratischen und kubischen Parabel:

Root-Suchbereich - nicht negative Zahlen

Wie Sie sehen, interessieren uns ab jetzt nur noch die Graphenstücke, die sich im ersten Koordinatenviertel befinden – wo die Koordinaten $x$ und $y$ positiv (oder zumindest null) sind. Sie müssen nicht mehr auf den Indikator schauen, um zu verstehen, ob wir das Recht haben, eine negative Zahl zu rooten oder nicht. Denn negative Zahlen werden grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt.

Sie mögen fragen: „Nun, warum brauchen wir eine solche kastrierte Definition?“ Oder: "Warum kommen wir nicht mit der oben angegebenen Standarddefinition aus?"

Nun, ich werde nur eine Eigenschaft angeben, aufgrund derer die neue Definition angemessen wird. Zum Beispiel die Potenzierungsregel:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Bitte beachten Sie: Wir können den Wurzelausdruck beliebig potenzieren und gleichzeitig den Wurzelexponenten mit derselben Potenz multiplizieren - und das Ergebnis ist dieselbe Zahl! Hier sind einige Beispiele:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Nun, was ist daran falsch? Warum konnten wir das nicht früher? Hier ist der Grund. Betrachten Sie einen einfachen Ausdruck: $\sqrt(-2)$ ist eine Zahl, die in unserem klassischen Sinne ganz normal ist, aber aus Sicht der arithmetischen Wurzel absolut inakzeptabel ist. Versuchen wir es umzuwandeln:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Wie Sie sehen können, haben wir im ersten Fall das Minus unter dem Radikal entfernt (wir haben jedes Recht, weil der Indikator ungerade ist), und im zweiten Fall haben wir die obige Formel verwendet. Diese. Aus mathematischer Sicht geschieht alles nach den Regeln.

WTF?! Wie kann dieselbe Zahl sowohl positiv als auch negativ sein? Auf keinen Fall. Es ist nur so, dass die Potenzierungsformel, die für positive Zahlen und Null hervorragend funktioniert, im Fall von negativen Zahlen anfängt, völlige Häresie zu geben.

Um solche Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, haben sie sich hier arithmetische Wurzeln ausgedacht. Ihnen ist eine separate große Lektion gewidmet, in der wir alle ihre Eigenschaften im Detail betrachten. Also werden wir uns jetzt nicht damit befassen - die Lektion erwies sich sowieso als zu lang.

Algebraische Wurzel: für diejenigen, die mehr wissen wollen

Ich habe lange überlegt: dieses Thema in einem eigenen Absatz zu machen oder nicht. Am Ende habe ich mich entschieden, hier wegzugehen. Dieses Material ist für diejenigen gedacht, die die Wurzeln noch besser verstehen wollen – nicht mehr auf dem durchschnittlichen „Schul“-Niveau, sondern auf dem Niveau nahe der Olympiade.

Also: neben der „klassischen“ Definition der Wurzel des $n$-ten Grades aus einer Zahl und der damit verbundenen Unterteilung in gerade und ungerade Indikatoren gibt es eine eher „erwachsene“ Definition, die nicht auf Parität und Parität angewiesen ist andere Feinheiten überhaupt. Dies wird als algebraische Wurzel bezeichnet.

Definition. Eine algebraische $n$-te Wurzel von $a$ ist die Menge aller Zahlen $b$ mit $((b)^(n))=a$. Es gibt keine etablierte Bezeichnung für solche Wurzeln, also setzen Sie einfach einen Bindestrich oben drauf:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Der grundlegende Unterschied zur Standarddefinition zu Beginn der Lektion besteht darin, dass die algebraische Wurzel keine bestimmte Zahl, sondern eine Menge ist. Und da wir mit reellen Zahlen arbeiten, besteht diese Menge nur aus drei Typen:

1. Leeres Set. Tritt auf, wenn es erforderlich ist, eine algebraische Wurzel mit geradem Grad aus einer negativen Zahl zu finden;
2. Eine Menge, die aus einem einzigen Element besteht. Alle Wurzeln ungerader Potenzen sowie Wurzeln gerader Potenzen von Null fallen in diese Kategorie;
3. Schließlich kann die Menge zwei Zahlen enthalten – dieselben $((x)_(1))$ und $((x)_(2))=-((x)_(1))$, die wir auf der gesehen haben Diagramm quadratische Funktion. Dementsprechend ist eine solche Ausrichtung nur möglich, wenn die Wurzel eines geraden Grades aus einer positiven Zahl gezogen wird.

Der letzte Fall verdient eine eingehendere Betrachtung. Lassen Sie uns ein paar Beispiele zählen, um den Unterschied zu verstehen.

Beispiel. Ausdrücke berechnen:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Lösung. Der erste Ausdruck ist einfach:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Es sind zwei Zahlen, die Teil des Sets sind. Weil jeder von ihnen quadriert eine Vier ergibt.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Hier sehen wir eine Menge, die nur aus einer Zahl besteht. Das ist ziemlich logisch, da der Exponent der Wurzel ungerade ist.

Zum Schluss der letzte Ausdruck:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Wir haben ein leeres Set. Weil es keine einzige reelle Zahl gibt, die uns, wenn sie in die vierte (also gerade!) Potenz erhoben wird, eine negative Zahl –16 gibt.

Schlussbemerkung. Bitte beachten Sie: Nicht zufällig habe ich überall festgestellt, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. Denn es gibt auch komplexe Zahlen - da kann man durchaus $\sqrt(-16)$ und viele andere merkwürdige Sachen berechnen.

Im modernen Schullehrplan für Mathematik sind komplexe Zahlen jedoch fast nie zu finden. Sie wurden in den meisten Lehrbüchern weggelassen, weil unsere Beamten das Thema für "zu schwer verständlich" halten.

Dieser Artikel ist eine Sammlung von Detailinformationen, die sich mit dem Thema Eigenschaften von Wurzeln beschäftigt. In Anbetracht des Themas werden wir mit den Eigenschaften beginnen, alle Formulierungen studieren und Beweise liefern. Um das Thema zu festigen, betrachten wir die Eigenschaften des n-ten Grades.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Root-Eigenschaften

Wir werden über Eigenschaften sprechen.

1. Eigentum multiplizierte Zahlen a und b, die als Gleichheit a · b = a · b dargestellt wird. Sie kann als Multiplikatoren dargestellt werden, positiv oder gleich Null a 1 , a 2 , … , ein k als ein 1 ein 2 … ein k = ein 1 ein 2 … ein k ;
2. von privat a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, es kann auch so geschrieben werden a b = a b ;
3. Eigentum aus der Potenz einer Zahl a mit geradem Exponenten a 2 m = a m für eine beliebige Zahl a, zum Beispiel eine Eigenschaft aus dem Quadrat einer Zahl a 2 = a .

In jeder der vorgestellten Gleichungen können Sie die Teile vor und nach dem Bindestrich vertauschen, zum Beispiel wird die Gleichheit a · b = a · b umgewandelt in a · b = a · b . Gleichheitseigenschaften werden häufig verwendet, um komplexe Gleichungen zu vereinfachen.

Der Beweis der ersten Eigenschaften basiert auf der Definition der Quadratwurzel und den Eigenschaften von Potenzen mit natürlichem Exponenten. Zur Begründung der dritten Eigenschaft muss auf die Definition des Moduls einer Zahl verwiesen werden.

Zunächst müssen die Eigenschaften der Quadratwurzel a · b = a · b bewiesen werden. Gemäß der Definition muss berücksichtigt werden, dass a b eine Zahl ist, positiv oder gleich Null, die gleich sein wird ein b während der Konstruktion in ein Quadrat. Der Wert des Ausdrucks a · b ist als Produkt nicht negativer Zahlen positiv oder gleich Null. Die Eigenschaft des Grades multiplizierter Zahlen erlaubt es uns, Gleichheit in der Form (a · b) 2 = a 2 · b 2 darzustellen. Nach der Definition der Quadratwurzel a 2 \u003d a und b 2 \u003d b, dann a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

In ähnlicher Weise kann man das am Produkt nachweisen k Multiplikatoren a 1 , a 2 , … , ein k ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Faktoren. Tatsächlich ist a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Aus dieser Gleichheit folgt a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, um das Thema zu vertiefen.

Beispiel 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 und 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) .

Es ist notwendig, die Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quotienten zu beweisen: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Mit der Eigenschaft können Sie die Gleichheit a: b 2 = a 2: b 2 und a 2: b 2 = a: b schreiben, während a: b eine positive Zahl oder gleich Null ist. Dieser Ausdruck wird der Beweis sein.

Beispiel: 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 und 30, 121 = 30, 121.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Quadratwurzel aus dem Quadrat einer Zahl. Es kann als Gleichheit geschrieben werden als a 2 = a Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist es notwendig, mehrere Gleichheiten für genau zu betrachten a ≥ 0 und bei a< 0 .

Offensichtlich gilt für a ≥ 0 die Gleichheit a 2 = a. Bei a< 0 die Gleichheit a 2 = - a wird wahr sein. Eigentlich in diesem Fall − a > 0 und (− a) 2 = a 2 . Wir können daraus schließen, dass a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 2

5 2 = 5 = 5 und - 0 , 36 2 = - 0 , 36 = 0 , 36 .

Die bewiesene Eigenschaft wird helfen, a 2 m = am zu rechtfertigen, wobei a- echt und m-natürliche Zahl. Tatsächlich erlaubt uns die Potenzierungseigenschaft, den Grad zu ersetzen ein 2 m Ausdruck (am) 2, dann a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Beispiel 3

3 8 = 3 4 = 3 4 und (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Zuerst müssen Sie die Haupteigenschaften der Wurzeln des n-ten Grades berücksichtigen:

1. Eigenschaft aus dem Produkt von Zahlen a und b, die positiv oder gleich Null sind, als Gleichheit a b n = a n b n ausgedrückt werden können, gilt diese Eigenschaft für das Produkt k Zahlen a 1 , a 2 , … , ein k als ein 1 ein 2 … ein k n = ein 1 n ein 2 n … ein k n ;
2. aus einer Bruchzahl hat die Eigenschaft a b n = a n b n , wobei a eine beliebige reelle Zahl ist, die positiv oder gleich Null ist, und b ist eine positive reelle Zahl;
3. Für alle a und gerade Zahlen n = 2m a 2 m 2 m = a ist wahr, und für ungerade n = 2 m − 1 die Gleichheit a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a ist erfüllt.
4. Extraktionseigenschaft von a m n = a n m , wobei a- eine beliebige Zahl, positiv oder gleich Null, n und m natürliche Zahlen sind, kann diese Eigenschaft auch dargestellt werden als . . ein n k n 2 n 1 = ein n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Für jedes nicht negative a und willkürlich n und m, die natürlich sind, kann man auch die faire Gleichheit a m n · m = a n ;
6. Grad Eigenschaft n aus der Potenz einer Zahl a, die positiv oder gleich Null ist, in Form von Sachleistungen m, definiert durch die Gleichheit a m n = a n m ;
7. Vergleichseigenschaft, die dieselben Exponenten haben: für beliebige positive Zahlen a und b so dass a< b , die Ungleichung a n< b n ;
8. Eigenschaft von Vergleichen, die unter der Wurzel die gleichen Zahlen haben: if m und n- natürliche Zahlen, die m > n, dann bei 0 < a < 1 die Ungleichung a m > a n gilt, und für a > 1 bin< a n .

Die obigen Gleichungen gelten, wenn die Teile vor und nach dem Gleichheitszeichen vertauscht werden. Sie können auch in dieser Form verwendet werden. Dies wird häufig während der Vereinfachung oder Transformation von Ausdrücken verwendet.

Der Beweis der obigen Eigenschaften der Wurzel basiert auf der Definition, den Eigenschaften des Grades und der Definition des Moduls einer Zahl. Diese Eigenschaften müssen nachgewiesen werden. Aber alles ist in Ordnung.

1. Zunächst beweisen wir die Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades aus dem Produkt a · b n = a n · b n . Zum a und b, was sind positiv oder null , der Wert a n · b n ist ebenfalls positiv oder gleich Null, da er eine Folge der Multiplikation nicht negativer Zahlen ist. Die Eigenschaft eines natürlichen Potenzprodukts erlaubt es uns, die Gleichheit a n · b n n = a n n · b n n zu schreiben. Per Definition von root n Grad a n n = a und b n n = b , also a n · b n n = a · b . Die resultierende Gleichheit ist genau das, was bewiesen werden musste.

Diese Eigenschaft wird in ähnlicher Weise für das Produkt bewiesen k Faktoren: für nicht negative Zahlen a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Hier sind Beispiele für die Verwendung der Root-Eigenschaft n Potenz aus dem Produkt: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 und 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Beweisen wir die Eigenschaft der Wurzel des Quotienten a b n = a n b n . Bei a ≥ 0 und b > 0 die Bedingung a n b n ≥ 0 erfüllt ist und a n b n n = a n n b n n = a b .

Lassen Sie uns Beispiele zeigen:

Beispiel 4

8 27 3 = 8 3 27 3 und 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Für den nächsten Schritt gilt es, die Eigenschaften des n-ten Grades von der Zahl bis zum Grad zu beweisen n. Wir stellen dies als Gleichheit a 2 m 2 m = a und a 2 m - 1 2 m - 1 = a für jede reelle Zahl dar a und natürlich m. Bei a ≥ 0 wir erhalten a = a und a 2 m = a 2 m , was die Gleichheit a 2 m 2 m = a beweist, und die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a ist offensichtlich. Bei a< 0 wir erhalten jeweils a = - a und a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Die letzte Transformation der Zahl gilt gemäß der Eigenschaft des Grades. Dies beweist die Gleichheit a 2 m 2 m \u003d a, und a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a wird wahr sein, da - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m als ungerade betrachtet wird Grad - 1 für eine beliebige Zahl c , positiv oder gleich Null.

Um die erhaltenen Informationen zu konsolidieren, betrachten Sie einige Beispiele, die die Eigenschaft verwenden:

Beispiel 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 und (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Beweisen wir die folgende Gleichheit a m n = a n · m . Dazu müssen Sie die Zahlen vor und nach dem Gleichheitszeichen stellenweise a n · m = a m n ändern. Dies zeigt den korrekten Eintrag an. Zum a , was positiv ist oder gleich Null , von der Form a m n ist eine positive Zahl oder gleich Null. Wenden wir uns der Eigenschaft, eine Potenz zu potenzieren, und der Definition zu. Mit ihrer Hilfe können Sie Gleichungen in die Form a m n n · m = a m n n m = a m m = a umwandeln. Dies beweist die betrachtete Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel.

Andere Eigenschaften werden ähnlich bewiesen. Wirklich, . . . ein n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . ein n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . ein nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = ein n k n k = ein .

Beispiel: 7 3 5 = 7 5 3 und 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Beweisen wir die folgende Eigenschaft a m n · m = a n . Dazu muss gezeigt werden, dass a n eine Zahl ist, die positiv oder gleich Null ist. Potenziert ist n m bin. Wenn Zahl a ist dann positiv oder null n Grad darunter a eine positive Zahl oder gleich Null ist Außerdem gilt a n · m n = a n n m , was zu beweisen war.

Betrachten Sie einige Beispiele, um das erworbene Wissen zu festigen.

1. Lassen Sie uns die folgende Eigenschaft beweisen – die Eigenschaft der Wurzel der Potenz der Form a m n = a n m . Es ist offensichtlich, dass bei a ≥ 0 der Grad a n m ist eine nicht negative Zahl. Außerdem sie n-ten Grades ist gleich bin, tatsächlich, ein n m n = ein n m · n = ein n n m = ein m . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft des Grades.

Beispiel: 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Wir müssen das für alle positiven Zahlen beweisen a und B a< b . Betrachten Sie die Ungleichung a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Daher ein n< b n при a< b .

Zum Beispiel geben wir 12 4< 15 2 3 4 .

1. Betrachten Sie die Root-Eigenschaft n-ten Grades. Betrachten Sie zunächst den ersten Teil der Ungleichung. Bei m > n und 0 < a < 1 wahr am > ein n . Angenommen, ein m ≤ ein n . Eigenschaften vereinfachen den Ausdruck zu a n m · n ≤ a m m · n . Dann ist gemäß den Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten die Ungleichung a n m n m n ≤ a m m n m n erfüllt, d. h. ein n ≤ ein m. Der erhaltene Wert bei m > n und 0 < a < 1 stimmt nicht mit den oben genannten Eigenschaften überein.

Genauso kann man das beweisen m > n und a > 1 Bedingung m< a n .

Betrachten Sie einige spezifische Beispiele, um die obigen Eigenschaften zu konsolidieren. Betrachten Sie Ungleichungen mit bestimmten Zahlen.

Beispiel 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 78. Wurzel P Potenz einer negativen Zahl-a

Satz 1.

Mit anderen Worten, die Gleichung

X 2k = - ein (a > 0)

hat keine wirklichen Wurzeln.

Wir laden die Schüler ein, diesen Satz selbst zu beweisen.

Satz 2. Außerdem gibt es nur eine ungerade Wurzel negativer Zahlen, und diese Wurzel ist negativ.

Mit anderen Worten, die Gleichung

X 2k+ 1 = - ein (a > 0)

hat eine einzige Wurzel. Diese Wurzel ist negativ.

Nachweisen. Zunächst zeigen wir, dass die Wurzel eines ungeraden Grades von 2 ist k a kann nicht positiv sein. Wenn diese Wurzel (wir bezeichnen sie mit b ) war positiv, dann gleich b 2k+ 1 = - ein die linke Seite wäre positiv und die rechte Seite wäre negativ.

Nun zeigen wir, dass die negative Wurzel ungeraden Grades 2 k + 1 von einer negativen Zahl - a existiert.

Nummer a positiv und hat daher eine positive Wurzel vom Grad 2 k + 1 (Satz 1, § 76). Bezeichnen wir es mit b .

b 2k+ 1 = ein .

Daraus folgt das

(-b ) 2k+ 1 = -b 2k+ 1 = -a .

Das bedeutet aber auch, dass eine negative Zahl - b ist eine Wurzel vom Grad 2 k + 1 von einer negativen Zahl - a .

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass es höchstens eine negative Wurzel ungeraden Grades 2 gibt k + 1 von - a .

Um dies zu beweisen, nehmen wir das Gegenteil an, d.h. es gibt mehrere solcher Wurzeln. Lassen - b und - Mit sind zwei solche Wurzeln. Dann

(-b ) 2k+ 1 = -a , (-c ) 2k+ 1 = -a . (1)

Aber seit der Nummer 2 k + 1 ist ungerade, dann (- b ) 2k+ 1 = -b 2k+ 1 ; (-c ) 2k+ 1 = -c 2k+ eines . Also folgt aus (1) das

b 2k+ 1 = a , c 2k+ 1 = a .

Und dies wiederum bedeutet, dass eine positive Zahl a hat zwei unterschiedliche positive Wurzeln vom Grad 2 k + 1: b und Mit ; aber dies widerspricht Theorem 2, § 76.

Der Satz ist vollständig bewiesen. Wenn wir die Sätze 1 und 2 kombinieren, kommen wir zu der folgenden Schlussfolgerung.

Es gibt keine geraden Wurzeln einer negativen Zahl.

Es gibt genau eine ungerade Wurzel einer negativen Zahl. Diese Wurzel ist negativ.

Wurzeln 4 √-81; 100 √-25 existiert nicht; 5 √- 32 = -2; 3 √-125 = -5.

Übungen

552. (bestimmt) Welche dieser Ausdrücke ergeben keinen Sinn:

√-9 ; 3 √-8 ; √-0,25 ; 4 √-81 ; 7 √- 2 ?

553. Finden Sie die Domänen der folgenden Funktionen:

a) bei = √x -eines ; G) bei = 8 √(X + 2)(X - 7) ;

b) bei = 5 √x -1 e) bei = 6 √X 2 + X + 1 ;

in) bei = 12 √3X 2 +5X -2e) bei = 3 √3-x + 4 √5X -5 .

553. a) X > eines; b) die Menge aller reellen Zahlen; in) X < - 2 und X > 1 / 3 ;

G) X < -2 und X > 7; e) die Menge aller reellen Zahlen; e) X > 1.

Die Haupteigenschaften der Potenzfunktion werden angegeben, einschließlich Formeln und Eigenschaften der Wurzeln. Vorgestellt werden die Ableitung, das Integral, die Potenzreihenentwicklung und die Darstellung mittels komplexer Zahlen der Potenzfunktion.

Definition

Definition
Potenzfunktion mit Exponent p ist die Funktion f (x) = xp, deren Wert am Punkt x gleich dem Wert der Exponentialfunktion mit Basis x am Punkt p ist.
Außerdem f (0) = 0 p = 0 für p> 0 .

Für natürliche Werte des Exponenten ist die Potenzfunktion das Produkt von n Zahlen gleich x:
.
Es ist für alle reellen definiert.

Für positive rationale Werte des Exponenten ist die Potenzfunktion das Produkt von n Wurzeln vom Grad m aus der Zahl x:
.
Für ungerades m ist es für alle reellen x definiert. Für gerades m ist die Potenzfunktion für nicht-negativ definiert.

Für negativ wird die Potenzfunktion durch die Formel definiert:
.
Daher ist es an der Stelle nicht definiert.

Für irrationale Werte des Exponenten p wird die Exponentialfunktion durch die Formel bestimmt:
,
wobei a eine beliebige positive Zahl ungleich eins ist: .
Für ist es für definiert.
Für ist die Potenzfunktion für definiert.

Kontinuität. Eine Potenzfunktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

Eigenschaften und Formeln der Potenzfunktion für x ≥ 0

Hier betrachten wir die Eigenschaften einer Potenzfunktion für nicht negative Werte des Arguments x . Wie oben erwähnt, ist für einige Werte des Exponenten p die Exponentialfunktion auch für negative Werte von x definiert. In diesem Fall können seine Eigenschaften aus den Eigenschaften unter unter Verwendung von gerader oder ungerader Parität erhalten werden. Diese Fälle werden auf der Seite "" ausführlich besprochen und illustriert.

Eine Potenzfunktion, y = x p , mit Exponent p hat die folgenden Eigenschaften:
(1.1) definiert und kontinuierlich am Set
bei ,
bei ;
(1.2) hat viele Bedeutungen
bei ,
bei ;
(1.3) streng erhöht sich bei ,
streng nimmt an ab;
(1.4) bei ;
bei ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Der Beweis der Eigenschaften wird auf der Seite Potenzfunktion (Beweis der Kontinuität und Eigenschaften) gegeben.

Wurzeln - Definition, Formeln, Eigenschaften

Definition
Wurzel von x hoch n ist die Zahl, deren Potenzierung mit n x ergibt:
.
Hier n = 2, 3, 4, ... ist eine natürliche Zahl größer als eins.

Man kann auch sagen, dass die Wurzel der Zahl x vom Grad n die Wurzel (also die Lösung) der Gleichung ist
.
Beachten Sie, dass die Funktion die Umkehrung der Funktion ist.

Die Quadratwurzel von x ist eine Wurzel vom Grad 2: .

Kubikwurzel von x ist eine Wurzel vom Grad 3: .

Sogar Grad

Für gerade Potenzen n = 2 m, ist die Wurzel für x ≥ definiert 0 . Eine häufig verwendete Formel gilt sowohl für positive als auch für negative x :
.
Für Quadratwurzel:
.

Die Reihenfolge, in der die Operationen ausgeführt werden, ist hier wichtig – das heißt, zuerst wird quadriert, was zu einer nicht negativen Zahl führt, und dann wird daraus die Wurzel gezogen (aus einer nicht negativen Zahl können Sie die Quadratwurzel ziehen). ). Wenn wir die Reihenfolge ändern: , dann wäre für negatives x die Wurzel undefiniert und damit der gesamte Ausdruck undefiniert.

ungerade Grad

Für ungerade Potenzen ist die Wurzel für alle x definiert:
;
.

Eigenschaften und Formeln von Wurzeln

Die Wurzel von x ist eine Potenzfunktion:
.
Für x ≥ 0 es gelten folgende Formeln:
;
;
, ;
.

Diese Formeln können auch für negative Werte der Variablen angewendet werden. Es ist nur darauf zu achten, dass der radikale Ausdruck gerader Kräfte nicht negativ ist.

Private Werte

Die Wurzel von 0 ist 0: .
Die Wurzel von 1 ist 1: .
Die Quadratwurzel von 0 ist 0: .
Die Quadratwurzel von 1 ist 1: .

Beispiel. Wurzel aus Wurzel

Betrachten Sie das Beispiel der Quadratwurzel aus Wurzeln:
.
Konvertieren Sie die interne Quadratwurzel mit den obigen Formeln:
.
Lassen Sie uns nun die ursprüngliche Wurzel transformieren:
.
So,
.

y = x p für verschiedene Werte des Exponenten p .

Hier sind die Graphen der Funktion für nicht negative Werte des x-Arguments. Diagramme der Potenzfunktion, die für negative Werte von x definiert sind, finden Sie auf der Seite "Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Diagramme".

Umkehrfunktion

Die Inverse einer Potenzfunktion mit Exponent p ist eine Potenzfunktion mit Exponent 1/p .

Wenn, dann .

Ableitung der Potenzfunktion

Ableitung n-ter Ordnung:
;

Ableitung von Formeln > > >

Integral einer Potenzfunktion

P≠- 1 ;
.

Erweiterung der Potenzreihen

Bei - 1 < x < 1 es findet folgende Zerlegung statt:

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie eine Funktion einer komplexen Variablen z :
f (z) = z t.
Wir drücken die komplexe Variable z durch den Modul r und das Argument φ aus (r = |z| ):
z = r e ich φ .
Wir stellen die komplexe Zahl t als Real- und Imaginärteil dar:
t = p + ich q .
Wir haben:

Außerdem berücksichtigen wir, dass das Argument φ nicht eindeutig definiert ist:
,

Betrachten Sie den Fall, wenn q = 0 , das heißt, der Exponent ist eine reelle Zahl, t = p. Dann
.

Wenn p eine ganze Zahl ist, dann ist auch kp eine ganze Zahl. Dann gilt aufgrund der Periodizität trigonometrischer Funktionen:
.
Das heißt, die Exponentialfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten hat für ein gegebenes z nur einen Wert und ist daher einwertig.

Wenn p irrational ist, dann ergeben die Produkte von kp für kein k eine ganze Zahl. Da k eine unendliche Reihe von Werten durchläuft k = 0, 1, 2, 3, ..., dann hat die Funktion z p unendlich viele Werte. Immer wenn das Argument z erhöht wird 2pi(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion.

Wenn p rational ist, kann es wie folgt dargestellt werden:
, wo m, n sind ganze Zahlen ohne gemeinsame Teiler. Dann
.
Die ersten n Werte, für k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, gib n verschiedene Werte von kp an:
.
Nachfolgende Werte ergeben jedoch Werte, die sich von den vorherigen um eine ganze Zahl unterscheiden. Zum Beispiel für k = k 0+n wir haben:
.
Trigonometrische Funktionen, deren Argumente sich um ein Vielfaches unterscheiden 2pi, haben gleiche Werte. Daher erhalten wir bei einer weiteren Erhöhung von k die gleichen Werte von z p wie für k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Somit ist eine Exponentialfunktion mit einem rationalen Exponenten mehrwertig und hat n Werte (Zweige). Immer wenn das Argument z erhöht wird 2pi(eine Umdrehung) bewegen wir uns zu einem neuen Zweig der Funktion. Nach n solchen Runden kehren wir zum ersten Zweig zurück, von dem aus der Countdown begann.

Insbesondere hat eine Wurzel vom Grad n n Werte. Betrachten Sie als Beispiel die n-te Wurzel einer reellen positiven Zahl z = x. In diesem Fall φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Für die Quadratwurzel ist also n = 2 ,
.
Für gerade k, (- 1 ) k = 1. Für ungerades k, (- 1 ) k = - 1.
Das heißt, die Quadratwurzel hat zwei Bedeutungen: + und -.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer c ist n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

Zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.