Beweisen Sie per Definition, dass der Grenzwert gleich ist. Allgemeine Bezeichnung für den Grenzwert von Folgen. Was sind Folgen und wo liegt ihre Grenze?

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Probleme. Um ein Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungsmethoden genau diejenige auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, sondern wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie versteht man die Grenzen in der höheren Mathematik? Verständnis geht mit Erfahrung einher, daher werden wir gleichzeitig mehrere detaillierte Beispiele zur Lösung von Grenzen mit Erläuterungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist diese Grenze und die Grenze wovon? Wir können über die Grenzen numerischer Folgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da dies das ist, was Studierende am häufigsten antreffen. Doch zunächst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt einen variablen Wert. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess unbegrenzt einer bestimmten Zahl nähert A , Das A – die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y Eine solche Zahl wird als Grenzwert bezeichnet A , zu dem die Funktion tendiert, wenn X , tendiert zu einem bestimmten Punkt A . Punkt A gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Bestimmung des Grenzwerts, aber wir werden hier nicht auf die Theorie eingehen, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X tendiert zu einem bestimmten Wert, das bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich dieser unendlich nahe annähert.

Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben. Die Aufgabe besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion umwandeln. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie Interesse haben, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In den Beispielen X kann zu jedem Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel, wann X tendiert zur Unendlichkeit:

Intuitiv gilt: Je größer die Zahl im Nenner, desto kleiner ist der Wert, den die Funktion annimmt. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x wird abnehmen und gegen Null gehen.

Wie Sie sehen, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts lediglich den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder Unendlichkeit/Unendlichkeit . Was ist in solchen Fällen zu tun? Greifen Sie zu Tricks!

Unsicherheiten im Inneren

Unsicherheit der Form Unendlichkeit/Unendlichkeit

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir Unendlichkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass die Auflösung solcher Unsicherheiten ein gewisses Kunststück darstellt: Man muss erkennen, wie man die Funktion so umwandeln kann, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Oberstufenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits diskutierten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann lautet die Lösung des Grenzwerts:

Zur Lösung von Typunsicherheiten Unendlichkeit/Unendlichkeit Teilen Sie Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Werte in die Funktion einsetzen x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir im Zähler eine quadratische Gleichung haben. Lasst uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also mit Typunsicherheit konfrontiert sind 0/0 – Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, präsentieren wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft im Inneren

Eine weitere wirksame Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheit zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, bilden Sie die Ableitung von Zähler und Nenner ab, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von L'Hopital sieht folgendermaßen aus:

Wichtiger Punkt : Der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner anstelle von Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt - ein echtes Beispiel:

Es herrscht typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, Unsicherheit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und die Antwort auf die Frage „Wie löst man Grenzwerte in der höheren Mathematik“ finden? Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen, aber für diese Arbeit absolut keine Zeit haben, wenden Sie sich für eine schnelle und detaillierte Lösung an einen professionellen Studentenservice.

Funktionsgrenze- Nummer A wird die Grenze einer variablen Größe sein, wenn sich diese variable Größe im Verlauf ihrer Änderung auf unbestimmte Zeit nähert A.

Oder mit anderen Worten: die Zahl A ist der Grenzwert der Funktion y = f(x) am Punkt x 0, wenn für irgendeine Folge von Punkten aus dem Definitionsbereich der Funktion ungleich x 0, und die zum Punkt konvergiert x 0 (lim x n = x0), konvergiert die Folge der entsprechenden Funktionswerte zur Zahl A.

Der Graph einer Funktion, deren Grenzwert bei gegebenem Argument, das gegen Unendlich tendiert, gleich ist L:

Bedeutung A Ist Grenze (Grenzwert) der Funktion f(x) am Punkt x 0 im Fall einer beliebigen Folge von Punkten , was konvergiert zu x 0, die aber nicht enthält x 0 als eines seiner Elemente (d. h. in der punktierten Umgebung). x 0), Folge von Funktionswerten konvergiert zu A.

Grenzwert einer Funktion nach Cauchy.

Bedeutung A wird sein Grenze der Funktion f(x) am Punkt x 0 wenn für eine nicht-negative Zahl im Voraus genommen ε die entsprechende nichtnegative Zahl wird gefunden δ = δ(ε) so dass für jedes Argument X, die Bedingung erfüllend 0 < | x - x0 | < δ , wird die Ungleichung erfüllt sein | f(x)A |< ε .

Es wird sehr einfach sein, wenn Sie das Wesen des Grenzwerts und die Grundregeln für dessen Ermittlung verstehen. Was ist die Grenze der Funktion? F (X) bei X streben nach A gleicht A, wird so geschrieben:

Darüber hinaus der Wert, zu dem die Variable tendiert X, kann nicht nur eine Zahl sein, sondern auch Unendlich (∞), manchmal +∞ oder -∞, oder es kann überhaupt keine Grenze geben.

Um zu verstehen, wie Finden Sie die Grenzen einer Funktion Schauen Sie sich am besten Lösungsbeispiele an.

Es ist notwendig, die Grenzen der Funktion zu finden F (x) = 1/X bei:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Lassen Sie uns eine Lösung für das erste Limit finden. Dazu können Sie einfach ersetzen X die Zahl, zu der es tendiert, d.h. 2, wir erhalten:

Finden wir den zweiten Grenzwert der Funktion. Ersetzen Sie hier stattdessen die reine 0 X es ist unmöglich, weil Sie können nicht durch 0 dividieren. Aber wir können Werte nahe Null annehmen, zum Beispiel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 usw. und der Wert der Funktion F (X) wird erhöht: 100; 1000; 10000; 100.000 und so weiter. Somit kann es verstanden werden, wann X→ 0 Der Wert der Funktion, die unter dem Grenzwertzeichen steht, erhöht sich unbegrenzt, d. h. Strebe nach Unendlichkeit. Was bedeutet:

Bezüglich der dritten Grenze. Die gleiche Situation wie im vorherigen Fall kann nicht ersetzt werden ∞ in seiner reinsten Form. Wir müssen den Fall einer unbegrenzten Erhöhung betrachten X. Wir ersetzen 1000 nacheinander; 10000; 100000 und so weiter, das ist der Wert der Funktion F (x) = 1/X wird abnehmen: 0,001; 0,0001; 0,00001; und so weiter, gegen Null tendierend. Deshalb:

Es ist notwendig, den Grenzwert der Funktion zu berechnen

Beginnen wir mit der Lösung des zweiten Beispiels, sehen wir Unsicherheit. Von hier aus finden wir den höchsten Grad des Zählers und Nenners – das ist x 3, wir nehmen es aus den Klammern im Zähler und Nenner und reduzieren es dann um:

Antwort

Der erste Schritt hinein diese Grenze finden, ersetzen Sie stattdessen den Wert 1 X, was zu Unsicherheit führt. Um es zu lösen, faktorisieren wir den Zähler und tun dies mit der Methode zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Der Zähler lautet also:

Antwort

Dies ist die Definition seines spezifischen Werts oder eines bestimmten Bereichs, in den die Funktion fällt, der durch den Grenzwert begrenzt ist.

Um Grenzen zu lösen, befolgen Sie die Regeln:

Das Wesentliche und Wesentliche verstanden haben Regeln zur Lösung des Grenzwertes erhalten Sie ein grundlegendes Verständnis für die Lösung dieser Probleme.

Mathematik ist die Wissenschaft, die die Welt aufbaut. Sowohl der Wissenschaftler als auch der einfache Mann – niemand kann darauf verzichten. Erst lernt man kleine Kinder zu zählen, dann addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren; in der Mittelstufe kommen Buchstabensymbole ins Spiel, und in der Oberstufe kommt man nicht mehr um sie herum.

Aber heute werden wir darüber sprechen, worauf die gesamte bekannte Mathematik basiert. Über eine Zahlengemeinschaft namens „Sequenzgrenzen“.

Was sind Folgen und wo liegt ihre Grenze?

Die Bedeutung des Wortes „Sequenz“ ist nicht schwer zu interpretieren. Dabei handelt es sich um eine Anordnung von Dingen, bei der sich jemand oder etwas in einer bestimmten Reihenfolge oder Warteschlange befindet. Beispielsweise ist die Warteschlange für Eintrittskarten für den Zoo eine Sequenz. Und es kann nur einen geben! Schaut man sich zum Beispiel die Warteschlange im Laden an, ist das eine Sequenz. Und wenn plötzlich eine Person aus dieser Warteschlange weggeht, dann ist das eine andere Warteschlange, eine andere Reihenfolge.

Auch das Wort „Grenze“ ist leicht zu interpretieren – es ist das Ende von etwas. In der Mathematik sind die Grenzen von Folgen jedoch diejenigen Werte auf der Zahlengeraden, zu denen eine Zahlenfolge tendiert. Warum strebt es danach und endet nicht? Es ist ganz einfach, der Zahlenstrahl hat kein Ende und die meisten Folgen haben, wie auch Strahlen, nur einen Anfang und sehen so aus:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Daher ist die Definition einer Folge eine Funktion des natürlichen Arguments. Einfacher ausgedrückt ist dies eine Reihe von Mitgliedern einer bestimmten Menge.

Wie ist die Zahlenfolge aufgebaut?

Ein einfaches Beispiel für eine Zahlenfolge könnte so aussehen: 1, 2, 3, 4, …n…

In den meisten Fällen werden Folgen aus praktischen Gründen aus Zahlen gebildet, und jedes nächste Mitglied der Reihe, nennen wir es X, hat seinen eigenen Namen. Zum Beispiel:

x 1 ist das erste Mitglied der Sequenz;

x 2 ist der zweite Term der Folge;

x 3 ist der dritte Term;

x n ist der n-te Term.

Bei praktischen Methoden wird die Reihenfolge durch eine allgemeine Formel angegeben, in der es eine bestimmte Variable gibt. Zum Beispiel:

X n =3n, dann sieht die Zahlenreihe selbst so aus:

Denken Sie daran, dass Sie beim Schreiben von Sequenzen im Allgemeinen alle lateinischen Buchstaben verwenden können, nicht nur X. Zum Beispiel: y, z, k usw.

Arithmetische Folge als Teil von Folgen

Bevor man nach den Grenzen von Folgen sucht, empfiehlt es sich, tiefer in das eigentliche Konzept einer solchen Zahlenreihe einzutauchen, mit dem jeder in der Mittelschule in Berührung kam. Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der die Differenz zwischen benachbarten Termen konstant ist.

Problem: „Sei a 1 = 15 und der Fortschrittsschritt der Zahlenreihe d = 4. Konstruieren Sie die ersten vier Terme dieser Reihe.

Lösung: a 1 = 15 (nach Bedingung) ist der erste Term der Progression (Zahlenreihe).

und 2 = 15+4=19 ist der zweite Term der Progression.

und 3 =19+4=23 ist der dritte Term.

und 4 =23+4=27 ist der vierte Term.

Allerdings ist es mit dieser Methode schwierig, große Werte zu erreichen, beispielsweise bis zu 125. . Speziell für solche Fälle wurde eine praxisgerechte Formel abgeleitet: a n =a 1 +d(n-1). In diesem Fall ist a 125 =15+4(125-1)=511.

Arten von Sequenzen

Die meisten Sequenzen sind endlos, es lohnt sich, sie für den Rest Ihres Lebens im Gedächtnis zu behalten. Es gibt zwei interessante Arten von Zahlenreihen. Die erste ergibt sich aus der Formel a n =(-1) n. Mathematiker nennen diese Sequenz oft einen Flasher. Warum? Schauen wir uns die Zahlenreihe an.

1, 1, -1, 1, -1, 1 usw. Anhand eines Beispiels wie diesem wird deutlich, dass Zahlen in Folgen leicht wiederholt werden können.

Faktorielle Folge. Es ist leicht zu erraten – die Formel, die die Sequenz definiert, enthält eine Fakultät. Zum Beispiel: a n = (n+1)!

Dann sieht die Sequenz so aus:

ein 2 = 1x2x3 = 6;

und 3 = 1x2x3x4 = 24 usw.

Eine durch eine arithmetische Folge definierte Folge heißt unendlich abnehmend, wenn die Ungleichung -1 für alle ihre Glieder erfüllt ist

und 3 = - 1/8 usw.

Es gibt sogar eine Folge, die aus derselben Nummer besteht. Also besteht n =6 aus unendlich vielen Sechsern.

Bestimmung des Sequenzlimits

Sequenzgrenzen gibt es in der Mathematik schon lange. Natürlich verdienen sie ein eigenes kompetentes Design. Es ist also Zeit, die Definition von Sequenzgrenzen zu lernen. Schauen wir uns zunächst den Grenzwert für eine lineare Funktion im Detail an:

1. Alle Grenzwerte werden mit lim abgekürzt.
2. Die Notation eines Grenzwertes besteht aus der Abkürzung lim, einer beliebigen Variablen, die zu einer bestimmten Zahl, Null oder Unendlich, tendiert, sowie der Funktion selbst.

Es ist leicht zu verstehen, dass die Definition des Grenzwerts einer Folge wie folgt formuliert werden kann: Dies ist eine bestimmte Zahl, der sich alle Glieder der Folge unendlich nähern. Ein einfaches Beispiel: a x = 4x+1. Dann sieht die Sequenz selbst so aus.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Somit wächst diese Folge auf unbestimmte Zeit, was bedeutet, dass ihr Grenzwert gleich unendlich ist, da x→∞, und sie sollte wie folgt geschrieben werden:

Wenn wir eine ähnliche Folge nehmen, aber x gegen 1 tendiert, erhalten wir:

Und die Zahlenreihe sieht so aus: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 usw. Jedes Mal müssen Sie die Zahl ersetzen, die näher bei eins liegt (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Aus dieser Reihe geht klar hervor, dass der Grenzwert der Funktion fünf beträgt.

In diesem Teil lohnt es sich, sich an den Grenzwert einer Zahlenfolge, die Definition und die Methode zur Lösung einfacher Probleme zu erinnern.

Allgemeine Bezeichnung für den Grenzwert von Folgen

Nachdem Sie den Grenzwert einer Zahlenfolge, seine Definition und Beispiele untersucht haben, können Sie zu einem komplexeren Thema übergehen. Absolut alle Grenzen von Folgen lassen sich mit einer Formel formulieren, die üblicherweise im ersten Semester analysiert wird.

Was bedeutet also dieser Satz aus Buchstaben, Modulen und Ungleichheitszeichen?

∀ ist ein universeller Quantor, der die Ausdrücke „für alle“, „für alles“ usw. ersetzt.

∃ ist ein Existenzquantor, in diesem Fall bedeutet es, dass es einen Wert N gibt, der zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Ein langer vertikaler Stab hinter N bedeutet, dass die gegebene Menge N „so dass“ ist. In der Praxis kann es „so dass“, „so dass“ usw. bedeuten.

Um das Material zu verstärken, lesen Sie die Formel laut vor.

Unsicherheit und Gewissheit der Grenze

Die oben besprochene Methode zur Ermittlung des Grenzwerts von Folgen ist zwar einfach anzuwenden, in der Praxis jedoch nicht so rational. Versuchen Sie, den Grenzwert für diese Funktion zu finden:

Wenn wir unterschiedliche Werte von „x“ ersetzen (jedes Mal steigend: 10, 100, 1000 usw.), dann erhalten wir ∞ im Zähler, aber auch ∞ im Nenner. Daraus ergibt sich ein ziemlich seltsamer Bruch:

Aber ist das wirklich so? Die Berechnung des Grenzwerts einer Zahlenfolge scheint in diesem Fall recht einfach zu sein. Es wäre möglich, alles so zu belassen, wie es ist, da die Antwort fertig ist und unter angemessenen Bedingungen eingegangen ist, aber es gibt speziell für solche Fälle einen anderen Weg.

Suchen wir zunächst den höchsten Grad im Zähler des Bruchs – dieser ist 1, da x als x 1 dargestellt werden kann.

Suchen wir nun den höchsten Grad im Nenner. Auch 1.

Teilen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner bis zum höchsten Grad durch die Variable. Teilen Sie in diesem Fall den Bruch durch x 1.

Als nächstes werden wir herausfinden, zu welchem ​​Wert jeder Term, der eine Variable enthält, tendiert. In diesem Fall werden Brüche berücksichtigt. Da x→∞ tendiert der Wert jedes Bruchs gegen Null. Wenn Sie Ihre Arbeit schriftlich einreichen, sollten Sie folgende Fußnoten machen:

Daraus ergibt sich folgender Ausdruck:

Natürlich wurden Brüche, die x enthielten, nicht zu Nullen! Ihr Wert ist jedoch so gering, dass es durchaus zulässig ist, ihn bei Berechnungen nicht zu berücksichtigen. Tatsächlich wird x in diesem Fall niemals gleich 0 sein, da eine Division durch Null nicht möglich ist.

Was ist eine Nachbarschaft?

Angenommen, der Professor verfügt über eine komplexe Folge, die offensichtlich durch eine ebenso komplexe Formel gegeben ist. Der Professor hat die Antwort gefunden, aber ist sie richtig? Schließlich machen alle Menschen Fehler.

Auguste Cauchy hat einmal eine hervorragende Möglichkeit gefunden, die Grenzen von Sequenzen zu beweisen. Seine Methode hieß Nachbarschaftsmanipulation.

Angenommen, es gibt einen bestimmten Punkt a, dessen Nachbarschaft in beiden Richtungen auf der Zahlengeraden gleich ε („Epsilon“) ist. Da die letzte Variable die Entfernung ist, ist ihr Wert immer positiv.

Definieren wir nun eine Folge x n und gehen wir davon aus, dass der zehnte Term der Folge (x 10) in der Umgebung von a enthalten ist. Wie können wir diese Tatsache in mathematischer Sprache beschreiben?

Nehmen wir an, x 10 liegt rechts vom Punkt a, dann ist der Abstand x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Jetzt ist es an der Zeit, die oben besprochene Formel in der Praxis zu erklären. Es ist fair, eine bestimmte Zahl a als Endpunkt einer Folge zu bezeichnen, wenn für einen ihrer Grenzwerte die Ungleichung ε>0 erfüllt ist und die gesamte Umgebung ihre eigene natürliche Zahl N hat, so dass alle Mitglieder der Folge mit höheren Zahlen wird innerhalb der Sequenz |x n - a| sein< ε.

Mit diesem Wissen ist es einfach, die Folgengrenzen zu lösen und eine vorgefertigte Antwort zu beweisen oder zu widerlegen.

Theoreme

Sätze über die Grenzen von Folgen sind ein wichtiger Bestandteil der Theorie, ohne die die Praxis nicht möglich ist. Es gibt nur vier Hauptsätze, deren Erinnerung den Lösungs- oder Beweisprozess erheblich erleichtern kann:

1. Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge. Jede Sequenz kann nur einen oder keinen Grenzwert haben. Das gleiche Beispiel mit einer Warteschlange, die nur ein Ende haben kann.
2. Wenn eine Zahlenreihe eine Grenze hat, dann ist die Folge dieser Zahlen begrenzt.
3. Der Grenzwert der Summe (Differenz, Produkt) von Folgen ist gleich der Summe (Differenz, Produkt) ihrer Grenzwerte.
4. Der Grenzwert des Quotienten der Division zweier Folgen ist genau dann gleich dem Quotienten der Grenzwerte, wenn der Nenner nicht verschwindet.

Beweis von Sequenzen

Manchmal muss man ein inverses Problem lösen, um einen gegebenen Grenzwert einer Zahlenfolge zu beweisen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der durch die Formel gegebenen Folge Null ist.

Gemäß der oben diskutierten Regel gilt für jede Folge die Ungleichung |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Drücken wir n durch „epsilon“ aus, um die Existenz einer bestimmten Zahl zu zeigen und das Vorhandensein eines Grenzwerts der Folge zu beweisen.

An dieser Stelle ist es wichtig zu bedenken, dass „epsilon“ und „en“ positive Zahlen sind und nicht gleich Null sind. Nun ist es möglich, weitere Transformationen mit dem im Gymnasium erworbenen Wissen über Ungleichheiten fortzusetzen.

Wie kommt es, dass n > -3 + 1/ε. Da es sich um natürliche Zahlen handelt, kann das Ergebnis gerundet werden, indem man es in eckige Klammern setzt. Somit wurde bewiesen, dass für jeden Wert der „Epsilon“-Umgebung des Punktes a = 0 ein Wert gefunden wurde, der die anfängliche Ungleichung erfüllt. Von hier aus können wir mit Sicherheit sagen, dass die Zahl a der Grenzwert einer gegebenen Folge ist. Q.E.D.

Mit dieser praktischen Methode lässt sich der Grenzwert einer Zahlenfolge beweisen, egal wie komplex diese auf den ersten Blick auch sein mag. Die Hauptsache ist, nicht in Panik zu geraten, wenn Sie die Aufgabe sehen.

Oder ist er vielleicht nicht da?

Das Vorhandensein einer Konsistenzgrenze ist in der Praxis nicht erforderlich. Man kann leicht auf Zahlenreihen stoßen, die wirklich kein Ende haben. Zum Beispiel das gleiche „Blinklicht“ x n = (-1) n. Es ist offensichtlich, dass eine Folge, die nur aus zwei zyklisch wiederholten Ziffern besteht, keine Grenze haben kann.

Die gleiche Geschichte wiederholt sich mit Folgen, die aus einer Zahl oder gebrochenen Zahlen bestehen und bei Berechnungen Unsicherheiten beliebiger Ordnung aufweisen (0/0, ∞/∞, ∞/0 usw.). Es ist jedoch zu bedenken, dass es auch zu Fehlberechnungen kommen kann. Manchmal hilft es Ihnen, die Sequenzgrenze zu ermitteln, indem Sie Ihre eigene Lösung noch einmal überprüfen.

Monotone Folge

Oben wurden mehrere Beispiele für Folgen und Methoden zu deren Lösung besprochen. Versuchen wir nun, einen spezifischeren Fall zu betrachten und ihn als „monotone Folge“ zu bezeichnen.

Definition: Jede Folge kann mit Recht monoton wachsend genannt werden, wenn für sie die strenge Ungleichung x n gilt< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Neben diesen beiden Bedingungen gibt es auch ähnliche nichtstrikte Ungleichungen. Dementsprechend ist x n ≤ x n +1 (nicht abnehmende Folge) und x n ≥ x n +1 (nicht steigende Folge).

Aber es ist einfacher, dies anhand von Beispielen zu verstehen.

Die durch die Formel x n = 2+n gegebene Folge bildet die folgende Zahlenreihe: 4, 5, 6 usw. Dies ist eine monoton steigende Folge.

Und wenn wir x n =1/n nehmen, erhalten wir die Reihe: 1/3, ¼, 1/5 usw. Dies ist eine monoton fallende Folge.

Grenzwert einer konvergenten und beschränkten Folge

Eine begrenzte Folge ist eine Folge, die eine Grenze hat. Eine konvergente Folge ist eine Reihe von Zahlen mit einem infinitesimalen Grenzwert.

Somit ist der Grenzwert einer beschränkten Folge eine beliebige reelle oder komplexe Zahl. Denken Sie daran, dass es nur eine Grenze geben kann.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eine infinitesimale (reelle oder komplexe) Größe. Wenn Sie ein Sequenzdiagramm zeichnen, scheint es an einem bestimmten Punkt zu konvergieren und tendiert dazu, sich in einen bestimmten Wert umzuwandeln. Daher der Name – konvergente Folge.

Grenze einer monotonen Folge

Für eine solche Reihenfolge kann es eine Grenze geben oder auch nicht. Zunächst ist es hilfreich zu verstehen, wann eine Grenze vorliegt. Von hier aus können Sie mit dem Nachweis des Fehlens einer Grenze beginnen.

Bei monotonen Folgen werden konvergente und divergente Folgen unterschieden. Konvergent ist eine Folge, die durch die Menge x gebildet wird und in dieser Menge einen reellen oder komplexen Grenzwert hat. Divergent ist eine Folge, deren Menge keine Grenze hat (weder reell noch komplex).

Darüber hinaus konvergiert die Folge, wenn in einer geometrischen Darstellung ihre Ober- und Untergrenze konvergieren.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge kann in vielen Fällen Null sein, da jede Infinitesimalfolge einen bekannten Grenzwert (Null) hat.

Welche konvergente Folge Sie auch nehmen, sie sind alle beschränkt, aber nicht alle beschränkten Folgen konvergieren.

Die Summe, Differenz und das Produkt zweier konvergenter Folgen ist ebenfalls eine konvergente Folge. Allerdings kann der Quotient auch konvergent sein, wenn er definiert ist!

Verschiedene Aktionen mit Grenzen

Sequenzgrenzen sind (in den meisten Fällen) genauso wichtig wie Ziffern und Zahlen: 1, 2, 15, 24, 362 usw. Es stellt sich heraus, dass einige Operationen mit Grenzen ausgeführt werden können.

Erstens können die Grenzen jeder Folge wie Ziffern und Zahlen addiert und subtrahiert werden. Basierend auf dem dritten Satz über die Grenzen von Folgen gilt folgende Gleichheit: Der Grenzwert der Summe der Folgen ist gleich der Summe ihrer Grenzen.

Zweitens gilt basierend auf dem vierten Satz über die Grenzen von Folgen die folgende Gleichheit: Der Grenzwert des Produkts der n-ten Anzahl von Folgen ist gleich dem Produkt ihrer Grenzwerte. Das Gleiche gilt für die Division: Der Grenzwert des Quotienten zweier Folgen ist gleich dem Quotienten ihrer Grenzwerte, sofern der Grenzwert nicht Null ist. Denn wenn die Grenze der Folgen gleich Null ist, ergibt sich eine Division durch Null, was unmöglich ist.

Eigenschaften von Folgegrößen

Es scheint, dass die Grenze der Zahlenfolge bereits ausführlich besprochen wurde, Phrasen wie „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen werden jedoch mehr als einmal erwähnt. Wenn es offensichtlich eine Folge 1/x gibt, mit x→∞, dann ist ein solcher Bruch unendlich klein, und wenn die gleiche Folge, aber der Grenzwert gegen Null tendiert (x→0), dann wird der Bruch zu einem unendlich großen Wert. Und solche Mengen haben ihre eigenen Eigenschaften. Die Eigenschaften des Grenzwerts einer Folge mit beliebigen kleinen oder großen Werten sind wie folgt:

1. Die Summe beliebig vieler kleiner Mengen wird ebenfalls eine kleine Menge sein.
2. Die Summe einer beliebigen Anzahl großer Mengen wird eine unendlich große Menge sein.
3. Das Produkt beliebig kleiner Mengen ist unendlich klein.
4. Das Produkt beliebig vieler großer Zahlen ist unendlich groß.
5. Wenn die ursprüngliche Folge zu einer unendlich großen Zahl tendiert, dann ist ihre Umkehrung unendlich klein und tendiert gegen Null.

Tatsächlich ist die Berechnung des Grenzwerts einer Folge keine so schwierige Aufgabe, wenn Sie einen einfachen Algorithmus kennen. Doch die Grenzen der Beständigkeit sind ein Thema, das höchste Aufmerksamkeit und Ausdauer erfordert. Natürlich reicht es aus, einfach den Kern der Lösung solcher Ausdrücke zu erfassen. Wenn Sie klein anfangen, können Sie mit der Zeit große Höhen erreichen.

(X) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0
2) für jede Sequenz (xn), konvergierend zu x 0 :
, deren Elemente zur Nachbarschaft gehören,
Folge (f(xn)) konvergiert zu:
.

Hier x 0 und a können entweder endliche Zahlen oder Punkte im Unendlichen sein. Die Nachbarschaft kann entweder zweiseitig oder einseitig sein.

.

Zweite Definition des Grenzwertes einer Funktion (nach Cauchy)

Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 , auf dem die Funktion definiert ist;
2) für jede positive Zahl ε > 0 es gibt eine solche Zahl δ ε > 0 , abhängig von ε, dass für alle x, die zum punktierten δ gehören ε - Umgebung des Punktes x 0 :
,
Funktionswerte f (X) gehören zur ε-Umgebung von Punkt a:
.

Punkte x 0 und a können entweder endliche Zahlen oder Punkte im Unendlichen sein. Die Nachbarschaft kann auch entweder zweiseitig oder einseitig sein.

Schreiben wir diese Definition mit den logischen Symbolen von Existenz und Universalität:
.

Diese Definition verwendet Nachbarschaften mit äquidistanten Enden. Eine äquivalente Definition kann unter Verwendung beliebiger Punktumgebungen gegeben werden.

Definition unter Verwendung beliebiger Nachbarschaften
Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
Wenn
1) Es gibt eine solche punktierte Umgebung des Punktes x 0 , auf dem die Funktion definiert ist;
2) für jede Nachbarschaft U (A) von Punkt a gibt es eine solche punktierte Umgebung von Punkt x 0 das für alle x, die zur punktierten Umgebung des Punktes x gehören 0 :
,
Funktionswerte f (X) gehören zur Nachbarschaft U (A) Punkte a:
.

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann diese Definition wie folgt geschrieben werden:
.

Einseitige und zweiseitige Grenzen

Die oben genannten Definitionen sind in dem Sinne universell, dass sie für jede Art von Nachbarschaft verwendet werden können. Wenn wir als linksseitige punktierte Umgebung den Endpunkt verwenden, erhalten wir die Definition eines linksseitigen Grenzwerts. Wenn wir die Umgebung eines Punktes im Unendlichen als Umgebung verwenden, erhalten wir die Definition des Grenzwerts im Unendlichen.

Um das Heine-Limit zu bestimmen, kommt es darauf an, dass einer beliebigen Folge, die gegen konvergiert, eine zusätzliche Einschränkung auferlegt wird: Ihre Elemente müssen zur entsprechenden punktierten Umgebung des Punktes gehören.

Um die Cauchy-Grenze zu bestimmen, ist es in jedem Fall notwendig, die Ausdrücke und in Ungleichungen umzuwandeln, wobei die entsprechenden Definitionen der Umgebung eines Punktes verwendet werden.
Siehe „Nachbarschaft eines Punktes“.

Die Bestimmung dieses Punktes a ist nicht der Grenzwert einer Funktion

Es wird oft notwendig, die Bedingung zu verwenden, dass Punkt a nicht der Grenzwert der Funktion bei ist. Konstruieren wir Negationen zu den obigen Definitionen. In ihnen gehen wir davon aus, dass die Funktion f (X) ist auf einer punktierten Umgebung des Punktes x definiert 0 . Punkte a und x 0 können entweder endliche Zahlen oder unendlich weit entfernt sein. Alles Nachfolgende gilt sowohl für bilaterale als auch für unilaterale Grenzwerte.

Laut Heine.
Nummer a ist nicht Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 : ,
wenn eine solche Sequenz existiert (xn), konvergierend zu x 0 :
,
deren Elemente zur Nachbarschaft gehören,
Wie ist die Reihenfolge? (f(xn)) konvergiert nicht zu:
.
.

Laut Cauchy.
Nummer a ist nicht Grenzwert der Funktion f (X) am Punkt x 0 :
,
wenn es eine solche positive Zahl ε gibt > 0 , also für jede positive Zahl δ > 0 , existiert ein x, das zur punktierten δ-Umgebung des Punktes x gehört 0 :
,
dass der Wert der Funktion f (X) gehört nicht zur ε-Umgebung von Punkt a:
.
.

Wenn Punkt a nicht der Grenzwert einer Funktion bei ist, heißt das natürlich nicht, dass es keinen Grenzwert geben kann. Es kann eine Grenze geben, aber diese ist nicht gleich a. Es ist auch möglich, dass die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes definiert ist, bei jedoch keine Grenze hat.

Funktion f(x) = sin(1/x) hat keine Grenze, da x → 0.

Beispielsweise ist eine Funktion unter definiert, es gibt jedoch keine Begrenzung. Um es zu beweisen, nehmen wir die Sequenz. Es konvergiert zu einem Punkt 0 : . Weil dann .
Nehmen wir die Reihenfolge. Es konvergiert auch auf den Punkt 0 : . Aber seitdem.
Dann kann der Grenzwert keiner Zahl a entsprechen. Tatsächlich gibt es für , eine Folge mit . Daher ist jede Zahl ungleich Null kein Grenzwert. Aber es ist auch keine Grenze, da es eine Reihenfolge gibt, mit der .

Äquivalenz der Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts

Satz
Die Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts einer Funktion sind äquivalent.

Nachweisen

Im Beweis gehen wir davon aus, dass die Funktion in einer punktierten Umgebung eines Punktes (endlich oder im Unendlichen) definiert ist. Punkt a kann auch endlich oder im Unendlichen liegen.

Heines Beweis ⇒ Cauchys

Die Funktion soll in einem Punkt gemäß der ersten Definition (nach Heine) einen Grenzwert a haben. Das heißt, für jede Folge, die zu einer Umgebung eines Punktes gehört und einen Grenzwert hat
(1) ,
Der Grenzwert der Folge ist a:
(2) .

Zeigen wir, dass die Funktion an einem Punkt einen Cauchy-Grenzwert hat. Das heißt, für jeden ist etwas dabei.

Nehmen wir das Gegenteil an. Die Bedingungen (1) und (2) seien erfüllt, aber die Funktion habe keinen Cauchy-Grenzwert. Das heißt, es gibt etwas, das für jeden existiert
.

Nehmen wir , wobei n eine natürliche Zahl ist. Dann existiert , und
.
Somit haben wir eine Folge konstruiert, die gegen konvergiert, aber der Grenzwert der Folge ist nicht gleich a. Dies widerspricht den Bedingungen des Satzes.

Der erste Teil ist bewiesen.

Cauchys Beweis ⇒ Heines

Die Funktion soll in einem Punkt gemäß der zweiten Definition (nach Cauchy) einen Grenzwert a haben. Das heißt, für jeden gibt es das
(3) für alle .

Zeigen wir, dass die Funktion nach Heine an einem Punkt einen Grenzwert a hat.
Nehmen wir eine beliebige Zahl. Nach Cauchys Definition existiert die Zahl, also gilt (3).

Nehmen wir eine beliebige Folge, die zur punktierten Umgebung gehört und gegen konvergiert. Nach der Definition einer konvergenten Folge existiert diese für jede
bei .
Aus (3) folgt dann Folgendes
bei .
Da dies also für jeden gilt
.

Der Satz ist bewiesen.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.