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Arithmetische Formel für die n-te Zahl. Arithmetische Folge. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019). Differenzverlauf und seine willkürlichen Elemente

In der Mathematik wird jede auf irgendeine Weise organisierte Ansammlung aufeinander folgender Zahlen als Folge bezeichnet. Von allen existierenden Zahlenfolgen werden zwei interessante Fälle unterschieden: algebraische und geometrische Folgen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Es sollte gleich gesagt werden, dass die algebraische Progression oft als Arithmetik bezeichnet wird, da ihre Eigenschaften vom Zweig der Mathematik – der Arithmetik – untersucht werden.

Diese Progression ist eine Zahlenfolge, bei der sich jedes nächste Mitglied um eine bestimmte konstante Zahl vom vorherigen unterscheidet. Man nennt es die Differenz einer algebraischen Folge. Der Bestimmtheit halber bezeichnen wir es mit dem lateinischen Buchstaben d.

Ein Beispiel für eine solche Folge könnte die folgende sein: 3, 5, 7, 9, 11 ..., hier sieht man, dass die Zahl 5 um 2 größer als die Zahl 3 ist, 7 um 2 größer als 5 ist und bald. Somit ist im dargestellten Beispiel d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Welche Arten von arithmetischen Folgen gibt es?

Die Art dieser geordneten Zahlenfolgen wird maßgeblich durch das Vorzeichen der Zahl d bestimmt. Folgende Arten algebraischer Progressionen werden unterschieden:

zunehmend, wenn d positiv ist (d>0);
konstant, wenn d = 0;
abnehmend, wenn d negativ ist (d<0).

Das im vorherigen Absatz gegebene Beispiel zeigt einen zunehmenden Verlauf. Ein Beispiel für eine absteigende Folge ist die folgende Zahlenfolge: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Eine konstante Folge ist, wie aus ihrer Definition hervorgeht, eine Ansammlung identischer Zahlen.

n. Semester der Progression

Aufgrund der Tatsache, dass sich jede nachfolgende Zahl in der betrachteten Folge um eine Konstante d von der vorherigen unterscheidet, kann ihr n-ter Term leicht bestimmt werden. Dazu müssen Sie nicht nur d, sondern auch a 1 kennen – den ersten Term der Progression. Mit einem rekursiven Ansatz kann man eine algebraische Progressionsformel zum Finden des n-ten Termes erhalten. Es sieht so aus: a n = a 1 + (n-1)*d. Diese Formel ist recht einfach und intuitiv zu verstehen.

Es ist auch nicht schwer zu bedienen. Beispielsweise definieren wir in der oben angegebenen Progression (d=2, a 1 =3) ihren 35. Term. Nach der Formel ist es gleich: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Formel für Menge

Bei einer gegebenen arithmetischen Folge ist die Summe ihrer ersten n Terme ein häufig auftretendes Problem, ebenso wie die Bestimmung des Wertes des n-ten Termes. Die Formel für die Summe einer algebraischen Folge lautet wie folgt: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, hier zeigt das Symbol ∑ n 1 an, dass der 1. bis n-te Term summiert wird.

Der obige Ausdruck kann durch Rückgriff auf die Eigenschaften derselben Rekursion erhalten werden, es gibt jedoch einen einfacheren Weg, seine Gültigkeit zu beweisen. Schreiben wir die ersten 2 und letzten 2 Terme dieser Summe auf und drücken sie in den Zahlen a 1, a n und d aus, und wir erhalten: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Beachten Sie nun, dass, wenn wir den ersten Term zum letzten addieren, dieser genau der Summe des zweiten und vorletzten Termes entspricht, also a 1 +a n. Auf ähnliche Weise kann gezeigt werden, dass die gleiche Summe durch Addition des dritten und vorletzten Termes usw. erhalten werden kann. Bei einem Zahlenpaar in der Folge erhalten wir n/2 Summen, die jeweils gleich a 1 +a n sind. Das heißt, wir erhalten die obige algebraische Progressionsformel für die Summe: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Für eine ungepaarte Anzahl von Termen n erhält man eine ähnliche Formel, wenn man der beschriebenen Argumentation folgt. Denken Sie daran, den verbleibenden Begriff hinzuzufügen, der in der Mitte der Progression steht.

Lassen Sie uns zeigen, wie die obige Formel am Beispiel einer einfachen Progression verwendet wird, die oben eingeführt wurde (3, 5, 7, 9, 11 ...). Beispielsweise ist es notwendig, die Summe seiner ersten 15 Terme zu bestimmen. Definieren wir zunächst eine 15. Mit der Formel für den n-ten Term (siehe vorheriger Absatz) erhalten wir: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Jetzt können wir die Formel für anwenden die Summe einer algebraischen Folge: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Es ist interessant, eine interessante historische Tatsache zu zitieren. Die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge wurde erstmals von Carl Gauß (dem berühmten deutschen Mathematiker des 18. Jahrhunderts) ermittelt. Als er erst 10 Jahre alt war, bat ihn sein Lehrer, die Summe der Zahlen von 1 bis 100 zu ermitteln. Es heißt, der kleine Gauß habe dieses Problem in wenigen Sekunden gelöst, indem er die Zahlen vom Anfang und Ende der Folge summierte in Paaren kommt man immer auf 101, und da es 50 solcher Summen gibt, gab er schnell die Antwort: 50*101 = 5050.

Beispiel einer Problemlösung

Um das Thema der algebraischen Progression zu vervollständigen, geben wir ein Beispiel für die Lösung eines weiteren interessanten Problems und stärken so das Verständnis des betrachteten Themas. Gegeben sei eine bestimmte Progression, für die die Differenz d = -3 bekannt ist, sowie ihr 35. Term a 35 = -114. Es ist notwendig, den 7. Term der Progression a 7 zu finden.

Wie aus den Bedingungen des Problems hervorgeht, ist der Wert von a 1 unbekannt, daher wird es nicht möglich sein, die Formel für den n-ten Term direkt zu verwenden. Auch die Rekursionsmethode ist unpraktisch, manuell schwer umzusetzen und es besteht eine hohe Fehlerwahrscheinlichkeit. Gehen wir wie folgt vor: Schreiben Sie die Formeln für a 7 und a 35 auf, wir haben: a 7 = a 1 + 6*d und a 35 = a 1 + 34*d. Subtrahieren Sie den zweiten vom ersten Ausdruck, erhalten Sie: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Daraus folgt: a 7 = a 35 - 28*d. Es bleibt, die bekannten Daten aus der Problemstellung zu ersetzen und die Antwort aufzuschreiben: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Geometrischer Verlauf

Um das Thema des Artikels genauer zu verdeutlichen, geben wir eine kurze Beschreibung einer anderen Art von Progression – der geometrischen. Unter diesem Namen versteht man in der Mathematik eine Zahlenfolge, bei der sich jeder nachfolgende Term um einen bestimmten Faktor vom vorherigen unterscheidet. Bezeichnen wir diesen Faktor mit dem Buchstaben r. Man nennt ihn den Nenner der betrachteten Progressionsart. Ein Beispiel für diese Zahlenfolge wäre: 1, 5, 25, 125, ...

Wie aus der obigen Definition hervorgeht, sind algebraische und geometrische Verläufe ideell ähnlich. Der Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass sich der erste langsamer ändert als der zweite.

Der geometrische Verlauf kann auch steigend, konstant oder fallend sein. Sein Typ hängt vom Wert des Nenners r ab: Wenn r>1, dann gibt es eine zunehmende Progression, wenn r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Geometrische Progressionsformeln

Wie im Fall der Algebra beschränken sich die Formeln einer geometrischen Folge darauf, ihren n-ten Term und die Summe von n Termen zu bestimmen. Nachfolgend finden Sie diese Ausdrücke:

a n = a 1 *r (n-1) – diese Formel folgt aus der Definition der geometrischen Progression.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Es ist wichtig zu beachten, dass die obige Formel bei r = 1 eine Unsicherheit mit sich bringt und daher nicht verwendet werden kann. In diesem Fall ist die Summe von n Termen gleich dem einfachen Produkt a 1 *n.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Summe von nur 10 Termen der Folge 1, 5, 25, 125, ... ermitteln. Wenn wir wissen, dass a 1 = 1 und r = 5, erhalten wir: ∑ 10 1 = 1*(5 · 10 -1 )/4 = 2441406. Der resultierende Wert ist ein klares Beispiel dafür, wie schnell die geometrische Progression wächst.

Die vielleicht erste Erwähnung dieses Fortschritts in der Geschichte ist die Legende mit dem Schachbrett, als ein Freund eines Sultans, nachdem er ihm das Schachspielen beigebracht hatte, um Getreide für seine Dienste bat. Darüber hinaus hätte die Getreidemenge wie folgt sein müssen: Auf dem ersten Feld des Schachbretts musste ein Korn platziert werden, auf dem zweiten doppelt so viel wie auf dem ersten, auf dem dritten doppelt so viel wie auf dem zweiten und so weiter . Der Sultan stimmte bereitwillig zu, dieser Bitte nachzukommen, aber er wusste nicht, dass er alle Mülleimer seines Landes leeren musste, um sein Wort zu halten.

Online-Rechner.
Eine arithmetische Folge lösen.
Gegeben: a n , d, n
Finden Sie: eine 1

Dieses mathematische Programm findet \(a_1\) einer arithmetischen Folge basierend auf benutzerdefinierten Zahlen \(a_n, d\) und \(n\).
Die Zahlen \(a_n\) und \(d\) können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden. Darüber hinaus kann die Bruchzahl in Form eines Dezimalbruchs (\(2,5\)) und in Form eines gewöhnlichen Bruchs (\(-5\frac(2)(7)\)) eingegeben werden.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Prozess der Lösungsfindung an.

Dieser Online-Rechner kann für Gymnasiasten in weiterführenden Schulen bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen und für Eltern bei der Kontrolle der Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra nützlich sein. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie Ihre Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben einfach so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

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Wenn Sie mit den Regeln zur Zahleneingabe nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe von Zahlen

Die Zahlen \(a_n\) und \(d\) können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden.
Die Zahl \(n\) kann nur eine positive ganze Zahl sein.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzzahligen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalbrüche wie 2,5 oder 2,5 eingeben

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Eingang:
Ergebnis: \(-\frac(2)(3)\)

Der ganze Teil wird durch das kaufmännische Und-Zeichen vom Bruch getrennt: &
Eingang:
Ergebnis: \(-1\frac(2)(3)\)

Geben Sie die Zahlen a n , d, n ein Finden Sie eine 1

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Eine kleine Theorie.

Zahlenfolge

In der alltäglichen Praxis wird die Nummerierung verschiedener Gegenstände häufig verwendet, um die Reihenfolge ihrer Anordnung anzuzeigen. Beispielsweise sind die Häuser in jeder Straße nummeriert. In der Bibliothek werden die Leserabonnements nummeriert und dann in speziellen Karteikarten in der Reihenfolge der zugewiesenen Nummern geordnet.

Bei einer Sparkasse können Sie anhand der persönlichen Kontonummer des Einlegers dieses Konto leicht finden und sehen, welche Einlage sich darauf befindet. Angenommen, Konto Nr. 1 enthält eine Einzahlung von a1 Rubel, Konto Nr. 2 enthält eine Einzahlung von a2 Rubel usw. Es stellt sich heraus Zahlenfolge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
wobei N die Anzahl aller Konten ist. Dabei ist jeder natürlichen Zahl n von 1 bis N eine Zahl a n zugeordnet.

Hat auch Mathematik studiert unendliche Zahlenfolgen:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Es heißt die Zahl a 1 erstes Glied der Folge, Nummer a 2 - zweites Glied der Folge, Nummer a 3 - drittes Glied der Folge usw.
Die Zahl a n wird aufgerufen n-tes (n-tes) Mitglied der Sequenz, und die natürliche Zahl n ist ihre Nummer.

Beispielsweise ist in der Folge der Quadrate der natürlichen Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, ... n 2, (n + 1) 2, ... und 1 = 1 der erste Term der Folge; und n = n 2 ist der n-te Term der Folge; a n+1 = (n + 1) 2 ist der (n + 1)-te (n plus erste) Term der Folge. Oft kann eine Folge durch die Formel ihres n-ten Termes angegeben werden. Beispielsweise definiert die Formel \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) die Folge \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Arithmetische Folge

Die Länge des Jahres beträgt etwa 365 Tage. Ein genauerer Wert ist \(365\frac(1)(4)\) Tage, sodass sich alle vier Jahre ein Fehler von einem Tag ansammelt.

Um diesen Fehler auszugleichen, wird zu jedem vierten Jahr ein Tag hinzugefügt, und das verlängerte Jahr wird als Schaltjahr bezeichnet.

Im dritten Jahrtausend sind beispielsweise die Jahre 2004, 2008, 2012, 2016, ... Schaltjahre.

In dieser Sequenz ist jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen, addiert zur gleichen Zahl 4. Solche Sequenzen werden aufgerufen arithmetische Progressionen.

Definition.
Die Zahlenfolge a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... heißt arithmetische Folge, wenn für alle natürlichen n die Gleichheit gilt
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
wobei d eine Zahl ist.

Aus dieser Formel folgt, dass a n+1 - a n = d. Die Zahl d heißt Differenz arithmetische Folge.

Per Definition einer arithmetischen Folge gilt:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Wo
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), wobei \(n>1 \)

Somit ist jedes Glied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel seiner beiden benachbarten Glieder. Dies erklärt den Namen „arithmetische“ Progression.

Beachten Sie, dass bei Angabe von a 1 und d die verbleibenden Terme der arithmetischen Folge mithilfe der wiederkehrenden Formel a n+1 = a n + d berechnet werden können. Auf diese Weise ist es nicht schwer, die ersten Terme der Progression zu berechnen, allerdings erfordert beispielsweise eine 100 bereits viele Berechnungen. Typischerweise wird hierfür die n-te Termformel verwendet. Per Definition der arithmetischen Folge
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
usw.
Überhaupt,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
denn der n-te Term einer arithmetischen Folge ergibt sich aus dem ersten Term durch Addition des (n-1)-fachen der Zahl d.
Diese Formel heißt Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge.

Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Finden Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100.
Schreiben wir diesen Betrag auf zwei Arten:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Fügen wir diese Gleichungen Term für Term hinzu:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Diese Summe hat 100 Begriffe
Daher ist 2S = 101 * 100, also S = 101 * 50 = 5050.

Betrachten wir nun eine beliebige arithmetische Folge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Sei S n die Summe der ersten n Terme dieser Folge:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Dann die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge ist gleich
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Da \(a_n=a_1+(n-1)d\), dann erhalten wir durch Ersetzen eines n in dieser Formel eine andere Formel zum Finden Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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Arithmetische Folge eine Zahlenfolge benennen (Begriffe einer Folge)

Dabei unterscheidet sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen durch einen neuen Begriff, der auch genannt wird Schritt- oder Fortschrittsunterschied.

Indem Sie also den Fortschrittsschritt und seinen ersten Term angeben, können Sie jedes seiner Elemente mithilfe der Formel finden

Eigenschaften einer arithmetischen Folge

1) Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Mitglieds der Folge

Das Gegenteil gilt auch. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerader) Terme einer Folge gleich dem dazwischen stehenden Term ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Folge. Mit dieser Anweisung ist es sehr einfach, jede beliebige Reihenfolge zu überprüfen.

Aufgrund der Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel auch wie folgt verallgemeinert werden

Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn Sie die Begriffe rechts vom Gleichheitszeichen schreiben

Es wird in der Praxis häufig verwendet, um Berechnungen bei Problemen zu vereinfachen.

2) Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird mit der Formel berechnet

Merken Sie sich die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge gut; sie ist für Berechnungen unverzichtbar und kommt in einfachen Lebenssituationen häufig vor.

3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe, sondern einen Teil der Folge ab ihrem k-ten Term finden müssen, ist die folgende Summenformel hilfreich

4) Von praktischem Interesse ist es, die Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu ermitteln. Verwenden Sie dazu die Formel

Damit ist das theoretische Material abgeschlossen und es wird mit der Lösung häufiger Probleme in der Praxis fortgefahren.

Beispiel 1. Finden Sie den vierzigsten Term der arithmetischen Folge 4;7;...

Lösung:

Je nach dem Zustand, den wir haben

Lassen Sie uns den Fortschrittsschritt bestimmen

Mit einer bekannten Formel ermitteln wir den vierzigsten Term der Progression

Beispiel 2. Eine arithmetische Folge ist durch ihr drittes und siebtes Glied gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression und die Summe von zehn.

Lösung:

Schreiben wir die vorgegebenen Elemente der Progression anhand der Formeln auf

Wir subtrahieren die erste von der zweiten Gleichung und ermitteln so den Fortschrittsschritt

Wir setzen den gefundenen Wert in eine der Gleichungen ein, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden

Wir berechnen die Summe der ersten zehn Terme der Progression

Ohne komplexe Berechnungen haben wir alle benötigten Mengen gefunden.

Beispiel 3. Eine arithmetische Folge ist durch den Nenner und einen seiner Terme gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression, die Summe seiner 50 Terme beginnend bei 50 und die Summe der ersten 100.

Lösung:

Schreiben wir die Formel für das hundertste Element der Progression auf

und finde den ersten

Basierend auf dem ersten finden wir das 50. Glied der Progression

Ermitteln der Summe des Teils der Progression

und die Summe der ersten 100

Der Fortschrittsbetrag beträgt 250.

Beispiel 4.

Ermitteln Sie die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge, wenn:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lösung:

Schreiben wir die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Progressionsschritt und bestimmen wir sie

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Terme in der Summe zu bestimmen

Wir führen Vereinfachungen durch

und löse die quadratische Gleichung

Von den beiden gefundenen Werten passt nur die Zahl 8 zu den Problembedingungen. Somit beträgt die Summe der ersten acht Terme der Progression 111.

Beispiel 5.

Löse die Gleichung

1+3+5+...+x=307.

Lösung: Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Schreiben wir den ersten Term auf und finden den Unterschied im Verlauf heraus

Anweisungen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge der Form a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d Schritt Fortschreiten.Es ist offensichtlich, dass das Allgemeine eines beliebigen n-ten Termes der Arithmetik ist Fortschreiten hat die Form: An = A1+(n-1)d. Dann kennt man eines der Mitglieder Fortschreiten, Mitglied Fortschreiten und Schritt Fortschreiten, Sie können also die Nummer des Fortschrittsmitglieds angeben. Offensichtlich wird es durch die Formel n = (An-A1+d)/d bestimmt.

Lassen Sie uns nun den m-ten Term kennen Fortschreiten und ein weiteres Mitglied Fortschreiten- n-ter, aber n , wie im vorherigen Fall, aber es ist bekannt, dass n und m nicht zusammenfallen Fortschreiten kann mit der Formel berechnet werden: d = (An-Am)/(n-m). Dann ist n = (An-Am+md)/d.

Wenn die Summe mehrerer Elemente einer arithmetischen Gleichung bekannt ist Fortschreiten, sowie sein erstes und letztes, dann kann auch die Anzahl dieser Elemente bestimmt werden Die Summe der Arithmetik Fortschreiten wird gleich sein: S = ((A1+An)/2)n. Dann ist n = 2S/(A1+An) - chdenov Fortschreiten. Unter Verwendung der Tatsache, dass An = A1+(n-1)d, kann diese Formel wie folgt umgeschrieben werden: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Daraus können wir n ausdrücken, indem wir eine quadratische Gleichung lösen.

Eine arithmetische Folge ist eine geordnete Menge von Zahlen, deren jedes Mitglied, mit Ausnahme des ersten, sich um den gleichen Betrag vom vorherigen unterscheidet. Dieser konstante Wert wird als Differenz der Progression oder ihres Schrittes bezeichnet und kann aus den bekannten Termen der arithmetischen Progression berechnet werden.

Anweisungen

Wenn die Werte des ersten und zweiten oder eines anderen Paares benachbarter Terme aus den Bedingungen des Problems bekannt sind, subtrahieren Sie zur Berechnung der Differenz (d) einfach den vorherigen vom nachfolgenden Term. Der resultierende Wert kann entweder eine positive oder eine negative Zahl sein – es hängt davon ab, ob die Progression zunimmt. Schreiben Sie in allgemeiner Form die Lösung für ein beliebiges Paar (aᵢ und aᵢ₊₁) benachbarter Terme der Progression wie folgt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Für ein Termpaar einer solchen Folge, von dem einer der erste (a₁) und der andere ein beliebiger anderer ist, ist es auch möglich, eine Formel zur Ermittlung der Differenz (d) zu erstellen. Allerdings muss in diesem Fall die Seriennummer (i) eines beliebigen ausgewählten Mitglieds der Sequenz bekannt sein. Um die Differenz zu berechnen, addieren Sie beide Zahlen und dividieren das resultierende Ergebnis durch die um eins reduzierte Ordnungszahl eines beliebigen Termes. Im Allgemeinen schreiben Sie diese Formel wie folgt: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Wenn neben einem beliebigen Glied einer arithmetischen Folge mit der Ordnungszahl i noch ein weiteres Glied mit der Ordnungszahl u bekannt ist, ändern Sie die Formel aus dem vorherigen Schritt entsprechend. In diesem Fall ist die Differenz (d) der Progression die Summe dieser beiden Terme dividiert durch die Differenz ihrer Ordnungszahlen: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Die Formel zur Berechnung der Differenz (d) wird etwas komplizierter, wenn die Problembedingungen den Wert ihres ersten Termes (a₁) und die Summe (Sᵢ) einer gegebenen Zahl (i) der ersten Terme der arithmetischen Folge angeben. Um den gewünschten Wert zu erhalten, dividieren Sie die Summe durch die Anzahl der Terme, aus denen sie besteht, subtrahieren Sie den Wert der ersten Zahl in der Folge und verdoppeln Sie das Ergebnis. Teilen Sie den resultierenden Wert durch die Anzahl der Terme, aus denen die Summe besteht, reduziert um eins. Im Allgemeinen schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Diskriminante wie folgt: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Wenn für jede natürliche Zahl N einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein , . . . .

Die Zahlenfolge ist also eine Funktion des natürlichen Arguments.

Nummer A 1 angerufen erstes Glied der Folge , Nummer A 2 — zweites Glied der Folge , Nummer A 3 — dritte usw. Nummer ein angerufen n-tes Mitglied der Sequenz und eine natürliche Zahl N — seine Nummer .

Von zwei benachbarten Mitgliedern ein Und ein +1 Sequenzmitglied ein +1 angerufen anschließend (in Richtung ein ), A ein — vorherige (in Richtung ein +1 ).

Um eine Sequenz zu definieren, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied der Sequenz mit einer beliebigen Nummer finden können.

Oftmals wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Mitglied einer Folge anhand seiner Nummer bestimmen können.

Zum Beispiel,

Eine Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden

ein= 2N- 1,

und die Reihenfolge des Wechselns 1 Und -1 - Formel

B N = (-1)N +1 . ◄

Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, bis hin zu den vorherigen (einem oder mehreren) Mitgliedern.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 1 , A ein +1 = ein + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Wenn eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Terme der Zahlenfolge wie folgt ermittelt:

eine 1 = 1,

eine 2 = 1,

eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,

eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,

eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenzen können sein Finale Und endlos .

Die Sequenz wird aufgerufen ultimativ , wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos , wenn es unendlich viele Mitglieder hat.

Zum Beispiel,

Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Finale.

Folge der Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endlos. ◄

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer als das vorherige ist.

Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.

Zum Beispiel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — zunehmende Reihenfolge;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — absteigende Reihenfolge. ◄

Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Abfolge .

Insbesondere monotone Folgen sind steigende Folgen und fallende Folgen.

Arithmetische Folge

Arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, zu dem die gleiche Zahl hinzugefügt wird.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein, . . .

ist eine arithmetische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

ein +1 = ein + D,

Wo D - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist die Differenz zwischen dem nachfolgenden und dem vorherigen Term einer bestimmten arithmetischen Folge immer konstant:

eine 2 - A 1 = eine 3 - A 2 = . . . = ein +1 - ein = D.

Nummer D angerufen Unterschied der arithmetischen Progression.

Um eine arithmetische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 3, D = 4 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

eine 1 =3,

eine 2 = eine 1 + D = 3 + 4 = 7,

eine 3 = eine 2 + D= 7 + 4 = 11,

eine 4 = eine 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Term A 1 und der Unterschied D ihr N

ein = eine 1 + (N- 1)D.

Zum Beispiel,

Finden Sie das dreißigste Glied der arithmetischen Folge

1, 4, 7, 10, . . .

eine 1 =1, D = 3,

ein 30 = eine 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ein n-1 = eine 1 + (N- 2)D,

ein= eine 1 + (N- 1)D,

ein +1 = A 1 + nd,

dann offensichtlich

ein=	a n-1 + a n+1
	2

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder.

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer arithmetischen Folge, wenn einer von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der anderen beiden ist.

Zum Beispiel,

ein = 2N- 7 ist eine arithmetische Folge.

Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

ein = 2N- 7,

ein n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Somit,

ein n+1 + ein n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = ein,
2		2

◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden A 1 , aber auch alle vorherigen ein k

ein = ein k + (N- k)D.

Zum Beispiel,

Für A 5 kann aufgeschrieben werden

eine 5 = eine 1 + 4D,

eine 5 = eine 2 + 3D,

eine 5 = eine 3 + 2D,

eine 5 = eine 4 + D. ◄

ein = a n-k + kd,

ein = ein n+k - kd,

dann offensichtlich

ein=	A n-k +a n+k
	2

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der gleichabständigen Mitglieder dieser arithmetischen Folge.

Darüber hinaus gilt für jede arithmetische Folge die folgende Gleichheit:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als

eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,

eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ein,

Erste N Terme einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Extremterme und der Anzahl der Terme:

Daraus folgt insbesondere, dass Sie die Terme summieren müssen

ein k, ein k +1 , . . . , ein,

dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Wenn eine arithmetische Folge angegeben ist, dann die Mengen A 1 , ein, D, N UndS N verbunden durch zwei Formeln:

Sind also die Werte von drei dieser Größen gegeben, so werden aus diesen Formeln die entsprechenden Werte der beiden anderen Größen ermittelt, zusammengefasst zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:

Wenn D > 0 , dann nimmt es zu;
Wenn D < 0 , dann nimmt es ab;
Wenn D = 0 , dann ist die Folge stationär.

Geometrischer Verlauf

Geometrischer Verlauf ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen multipliziert mit derselben Zahl ist.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

ist eine geometrische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

b n +1 = b n · Q,

Wo Q ≠ 0 - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist das Verhältnis des nachfolgenden Termes einer gegebenen geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nummer Q angerufen Nenner der geometrischen Progression.

Um eine geometrische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 und Nenner Q ihr N Der te Term kann mit der Formel ermittelt werden:

b n = B 1 · qn -1 .

Zum Beispiel,

Finden Sie den siebten Term der geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

dann offensichtlich

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieds.

Da auch das Umgekehrte gilt, gilt folgende Aussage:

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, das heißt, eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.

Zum Beispiel,

Beweisen wir, dass die durch die Formel gegebene Folge vorliegt b n= -3 2 N ist eine geometrische Folge. Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Somit,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

was die gewünschte Aussage beweist. ◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden B 1 , sondern auch jedes frühere Mitglied b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden

b n = b k · qn - k.

Zum Beispiel,

Für B 5 kann aufgeschrieben werden

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

dann offensichtlich

b n 2 = b n - k· b n + k

das Quadrat eines beliebigen Termes einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem Produkt der Terme dieser Folge, die gleich weit davon entfernt sind.

Darüber hinaus gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Erste N Mitglieder einer geometrischen Folge mit Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:

Und wann Q = 1 - nach der Formel

S n= nb 1

Beachten Sie Folgendes: Wenn Sie die Terme summieren müssen

b k, b k +1 , . . . , b n,

dann wird die Formel verwendet:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Wenn ein geometrischer Verlauf gegeben ist, dann die Mengen B 1 , b n, Q, N Und S n verbunden durch zwei Formeln:

Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt und zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst.

Für eine geometrische Folge mit dem ersten Term B 1 und Nenner Q Folgendes geschieht Eigenschaften der Monotonie :

Die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und Q> 1;

B 1 < 0 Und 0 < Q< 1;

Der Verlauf nimmt ab, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Und Q> 1.

Wenn Q< 0 , dann ist die geometrische Folge alternierend: Ihre Terme mit ungeraden Zahlen haben das gleiche Vorzeichen wie ihr erster Term, und Terme mit geraden Zahlen haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.

Produkt der ersten N Terme einer geometrischen Folge können mit der Formel berechnet werden:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Zum Beispiel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf wird als unendliche geometrische Folge bezeichnet, deren Nennermodul kleiner ist 1 , also

|Q| < 1 .

Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge möglicherweise keine abnehmende Folge ist. Es passt zum Anlass

1 < Q< 0 .

Bei einem solchen Nenner ist die Reihenfolge alternierend. Zum Beispiel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, der sich die Summe der ersten unbegrenzt nähert N Mitglieder einer Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl N . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt