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Formel für rechte und linke Rechtecke. Numerische Integration

1. Einleitung. Darstellung des Problems……..…………………………2p.

2. Herleitung der Formel…………………………………………….3 Seiten.

3. Zusätzlicher Term in der Formel der Rechtecke……….5pp.

4. Beispiele……………………………………………………..7p.

5. Fazit……………………………………………………..9p.

6. Referenzliste……………………………………………………...10 Seiten.

Formulierung des Problems.

Das Problem der Integralberechnung stellt sich in vielen Bereichen der angewandten Mathematik. In den meisten Fällen gibt es bestimmte Integrale von Funktionen, deren Stammfunktionen nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Darüber hinaus muss man sich in Anwendungen mit bestimmten Integralen befassen; die Integranden selbst sind nicht elementar. Es gibt auch häufige Fälle, in denen die Integrandenfunktion durch ein Diagramm oder eine Tabelle experimentell ermittelter Werte angegeben wird. In solchen Situationen kommen verschiedene Methoden der numerischen Integration zum Einsatz, die darauf basieren, dass das Integral als Grenze der Integralsumme (Flächensumme) dargestellt wird und es ermöglichen, diese Summe mit akzeptabler Genauigkeit zu bestimmen. Angenommen, wir müssen das Integral unter der Bedingung berechnen, dass a und b endlich sind und f(x) eine kontinuierliche Funktion über das gesamte Intervall (a, b) ist. Der Wert des Integrals I stellt die Fläche dar, die durch die Kurve f(x), die x-Achse und die Linien x=a, x=b begrenzt wird. Die Berechnung von I erfolgt durch Aufteilen des Intervalls von a bis b in viele kleinere Intervalle, das ungefähre Ermitteln der Fläche jedes Streifens, der sich aus einer solchen Aufteilung ergibt, und anschließendes Summieren der Flächen dieser Streifen.

Herleitung der Formel für Rechtecke.

Bevor wir zur Rechteckformel übergehen, machen wir die folgende Bemerkung:

Bemerkung: Die Funktion f(x) sei stetig auf der Strecke und

Einige Segmentpunkte. Dann gibt es auf diesem Segment einen Punkt, der dem arithmetischen Mittel entspricht .

Tatsächlich bezeichnen wir mit m und M die genauen Flächen der Funktion f(x) auf dem Segment. Dann gelten für jede Zahl k die Ungleichungen. Wenn wir diese Ungleichungen über alle Zahlen summieren und das Ergebnis durch n dividieren, erhalten wir

Da eine stetige Funktion jeden Zwischenwert zwischen m und M annimmt, gibt es auf dem Segment einen solchen Punkt

Die ersten Formeln zur Näherungsberechnung bestimmter Integrale lassen sich am einfachsten aus geometrischen Überlegungen gewinnen. Indem wir das bestimmte Integral als die durch eine Kurve begrenzte Fläche einer bestimmten Figur interpretieren, stellen wir uns die Aufgabe, diese Fläche zu bestimmen.

Wenn wir diese Idee ein zweites Mal anwenden, was zum eigentlichen Konzept eines bestimmten Integrals führte, können wir zunächst die gesamte Figur (Abb. 1) beispielsweise in Streifen gleicher Breite unterteilen und dann jeden Streifen ungefähr durch ersetzen ein Rechteck, dessen Höhe aus seinen Ordinaten als was -oder angenommen wird. Damit sind wir bei der Formel

Wo , und R ist ein zusätzlicher Term. Hier wird die gewünschte Fläche einer krummlinigen Figur durch die Fläche einer bestimmten Stufenfigur aus Rechtecken ersetzt (oder, wenn Sie es vorziehen, ein bestimmtes Integral durch eine Integralsumme ersetzt). Diese Formel wird Rechteckformel genannt.

In der Praxis dauern sie normalerweise ; wenn die entsprechende mittlere Ordinate gekennzeichnet durch , dann wird die Formel in das Formular umgeschrieben

Ein zusätzlicher Term in der Rechteckformel.

Fahren wir mit der Suche nach einem zusätzlichen Term in der Formel der Rechtecke fort.

Die folgende Aussage ist wahr:

Aussage: Wenn eine Funktion f(x) eine stetige zweite Ableitung auf einer Strecke hat, dann gibt es einen solchen Punkt auf dieser Strecke

Dass der zusätzliche Term R in Formel (1) gleich ist

(2)

Nachweisen.

Lassen Sie uns abschätzen, vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) eine stetige zweite Ableitung auf der Strecke [-h, h] hat. Dazu unterziehen wir jedes der folgenden beiden Integrale einer doppelten partiellen Integration:

Für das erste dieser Integrale erhalten wir

Für das zweite Integral erhalten wir analog

Die Halbsumme der für und erhaltenen Ausdrücke führt zu folgender Formel:

(3)

Schätzen wir die Menge ab, indem wir die Mittelwertformel auf die Integrale anwenden und die Nichtnegativität der Funktionen und berücksichtigen. Wir erhalten, dass es einen Punkt auf dem Segment [-h, 0] und einen Punkt auf dem Segment gibt

So dass

Aufgrund der bewährten Bemerkung gibt es einen Punkt auf dem Segment [-h, h], so dass

Daher erhalten wir für die Halbsumme den folgenden Ausdruck:

Wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir Folgendes

(4)

. (5)

Da es sich bei der Menge um die Fläche eines bestimmten Rechtecks mit Grundfläche handelt (Abb. 1), beweisen die Formeln (4) und (5), dass der Fehler beim Ersetzen der angegebenen Fläche in der Größenordnung liegt

Also die Formel Je kleiner h ist, desto genauer ist es. Um das Integral zu berechnen, ist es daher selbstverständlich, dieses Integral als Summe einer ausreichend großen Anzahl n von Integralen darzustellen

Und wenden Sie Formel (4) auf jedes dieser Integrale an. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Länge des Segments gleich ist, erhalten wir die Rechteckformel (1), in der

Hier . Für die Funktion haben wir die in der Aussage bewiesene Formel verwendet

Beispiele für die Berechnung bestimmter Integrale

mit der Rechteckformel.

Nehmen wir als Beispiel Integrale, die wir zunächst mit der Newton-Leibniz-Formel und dann mit der Rechteckformel berechnen.

Beispiel 1. Angenommen, Sie müssen das Integral berechnen.

Mit der Newton-Leibniz-Formel erhalten wir

Wenden wir nun die Rechteckformel an

Auf diese Weise, .

In diesem Beispiel gibt es keine Ungenauigkeit in den Berechnungen. Das bedeutet, dass die Formel der Rechtecke für diese Funktion die genaue Berechnung des bestimmten Integrals ermöglichte.

Beispiel 2. Berechnen wir das Integral mit einer Genauigkeit von 0,001.

Wenn wir die Newton-Leibniz-Formel anwenden, erhalten wir .

Jetzt verwenden wir die Rechteckformel.

Da haben wir (wenn, dann

Wenn wir n=10 annehmen, lautet der zusätzliche Term unserer Formel Wir müssen einen weiteren Fehler einführen, indem wir die Funktionswerte runden; Wir werden versuchen sicherzustellen, dass sich die Grenzen dieses neuen Fehlers um weniger als unterscheiden. Zu diesem Zweck reicht es aus, den Wert der Funktion mit vier Vorzeichen und einer Genauigkeit von 0,00005 zu berechnen. Wir haben:

Betrag 6,9284.

Wenn man bedenkt, dass die Korrektur zu jeder Ordinate (und damit zu ihrem arithmetischen Mittel) zwischen liegt, und auch unter Berücksichtigung der Schätzung des zusätzlichen Termes, finden wir, was zwischen den Grenzen und und damit umso mehr zwischen 0,692 liegt und 0,694. Auf diese Weise, .

Abschluss.

Die obige Methode zur Berechnung bestimmter Integrale enthält einen klar formulierten Algorithmus zur Durchführung der Berechnungen. Ein weiteres Merkmal der vorgestellten Methode ist die stereotype Natur der Rechenoperationen, die bei jedem einzelnen Schritt durchgeführt werden müssen. Diese beiden Merkmale gewährleisten die weite Verbreitung der vorgestellten Methode zur Durchführung von Berechnungen auf modernen Hochgeschwindigkeitsrechnern.

Oben für eine ungefähre Berechnung des Integrals der Funktion f(x)

Wir gingen davon aus, das Hauptsegment in eine ausreichend große Anzahl n gleicher Teilsegmente gleicher Länge h zu zerlegen und anschließend die Funktion f(x) auf jedem Teilsegment durch ein Polynom nullter bzw. erster bzw. zweiter Ordnung zu ersetzen .

Der Fehler, der bei diesem Ansatz entsteht, berücksichtigt nicht die individuellen Eigenschaften der Funktion f(x). Daher entsteht natürlich die Idee, die Aufteilungspunkte des Hauptsegments in n, allgemein gesprochen, ungleiche Teilsegmente zu variieren, was den minimalen Fehlerwert dieser Näherungsformel gewährleisten würde.

Referenzliste.

1. Fikhtengolts G.M. Kurs zur Differential- und Integralrechnung in 3 Bänden, Band II. (§§ 332, 335).

2. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Grundlagen der mathematischen Analyse, Teil I. Moskau „Wissenschaft“, 1982. (Kapitel 12, Absätze 1, 2, 5).

Und das Paradoxe ist, dass dies der Grund ist (scheinbar) es kommt in der Praxis recht selten vor. Es ist nicht verwunderlich, dass dieser Artikel mehrere Jahre erschien, nachdem ich über die allgemeineren Themen gesprochen hatte Trapez- und Simpson-Methode, wo ich Rechtecke nur am Rande erwähnt habe. Heute jedoch der Abschnitt über Integrale ist fast abgeschlossen und daher ist es an der Zeit, diese kleine Lücke zu schließen. Lesen, verstehen und schauen Sie sich das Video an! ….worüber? Über Integrale natürlich =)

Die Problemstellung wurde bereits in der obigen Lektion dargelegt, und jetzt aktualisieren wir das Material schnell:

Betrachten wir das Integral. Er ist unzerbrechlich. Andererseits aber auch die Integrandenfunktion kontinuierlich auf dem Segment, was bedeutet Endbereich existiert. Wie berechnet man es? Etwa. Und heute, wie Sie sich vorstellen können, mit der Rechteckmethode.

Wir teilen das Integrationsintervall in 5, 10, 20 oder mehr Gleiche auf (obwohl dies nicht erforderlich ist) Je mehr Segmente, desto genauer ist die Näherung. Auf jedem Segment konstruieren wir ein Rechteck, dessen eine Seite auf der Achse liegt und dessen gegenüberliegende Seite den Graphen des Integranden schneidet. Wir berechnen die Fläche der resultierenden Stufenfigur, die eine ungefähre Schätzung der Fläche darstellt gebogenes Trapez(im 1. Bild schattiert).

Natürlich können Rechtecke auf viele Arten konstruiert werden, aber normalerweise werden drei Modifikationen in Betracht gezogen:

1) Methode des linken Rechtecks;
2) Methode des rechten Rechtecks;
3) Methode der durchschnittlichen Rechtecke.

Lassen Sie uns im Rahmen einer „vollwertigen“ Aufgabe weitere Berechnungen erstellen:

Beispiel 1

Berechnen Sie das bestimmte Integral ungefähr:
a) die Methode des linken Rechtecks;
b) die Methode der rechten Rechtecke.

Teilen Sie das Integrationsintervall in gleiche Segmente auf und runden Sie die Berechnungsergebnisse auf 0,001

Lösung: Ich gebe gleich zu, ich habe bewusst einen so kleinen Wert gewählt – aus Gründen, damit in der Zeichnung alles zu sehen ist – wofür ich für die Genauigkeit der Näherungen bezahlen musste.

Rechnen wir Schritt Partitionen (Länge jedes Zwischensegments):

Methode linke Rechtecke hat seinen Namen, weil

Was HÖHEN Rechtecke auf Zwischensegmenten sind gleich Funktionswerte in der linken Enden dieser Segmente:

Wir vergessen auf keinen Fall, dass auf drei Dezimalstellen gerundet werden sollte – Dies ist eine wesentliche Voraussetzung der Bedingung, und „Amateuraktivität“ ist hier mit der Bemerkung „Formatieren Sie die Aufgabe richtig“ behaftet.

Berechnen wir die Fläche der Stufenfigur, die der Summe der Flächen der Rechtecke entspricht:

So ist die Gegend gebogenes Trapez: . Ja, der Ansatz ist ungeheuer grob (Die Übertreibung ist in der Zeichnung deutlich zu erkennen), aber auch ein Beispiel, ich wiederhole, eine Demonstration. Es ist absolut klar, dass durch die Berücksichtigung einer größeren Anzahl von Zwischensegmenten (Verfeinerung der Partition) die Stufenfigur einem gebogenen Trapez viel ähnlicher wird und wir ein besseres Ergebnis erhalten.

Bei Verwendung der „richtigen“ Methode HÖHEN Rechtecke sind gleich Funktionswerte rechts Enden der Zwischensegmente:

Berechnen wir den fehlenden Wert und die Fläche der Stufenfigur:

– hier wird erwartungsgemäß die Näherung stark unterschätzt:

Schreiben wir die Formeln in allgemeiner Form. Wenn die Funktion auf der Strecke stetig ist und in gleiche Teile geteilt wird: , dann kann das bestimmte Integral näherungsweise mit den Formeln berechnet werden:
– linke Rechtecke;
– rechte Rechtecke;
(Formel in der nächsten Aufgabe)– mittlere Rechtecke,
Wo ist der Partitionierungsschritt?

Was ist ihr formaler Unterschied? In der ersten Formel gibt es keinen Term und in der zweiten -

In der Praxis ist es praktisch, die berechneten Werte in eine Tabelle einzutragen:

und die Berechnungen selbst werden in Excel durchgeführt. Und zwar schnell und fehlerfrei:

Antwort:

Sie wissen wahrscheinlich bereits, was die Methode des mittleren Rechtecks ist:

Beispiel 2

Berechnen Sie ein annähernd bestimmtes Integral mit der Rechteckmethode mit einer Genauigkeit von 0,01. Beginnen Sie mit der Aufteilung des Integrationsintervalls in Segmente.

Lösung: Bitte beachten Sie zunächst, dass das Integral berechnet werden muss auf 0,01 genau. Was bedeutet diese Formulierung?

Wenn die vorherige Aufgabe erforderlich ist einfach aufrunden Ergebnisse auf 3 Dezimalstellen genau (Und wie wahr sie sein werden, ist nicht wichtig), dann sollte der gefundene Näherungswert der Fläche nicht mehr als von der Wahrheit abweichen.

Und zweitens sagt die Problemstellung nicht, welche Modifikation der Rechteckmethode zur Lösung verwendet werden soll. Und wirklich, welches?

Verwenden Sie standardmäßig immer die Methode der mittleren Rechtecke

Warum? Und wenn alle anderen Dinge gleich sind, er (gleiche Partition) ergibt eine viel genauere Näherung. Das ist theoretisch streng begründet und in der Zeichnung sehr deutlich zu erkennen:

Hier werden die Höhen der Rechtecke genommen Funktionswerte, berechnet mitten drin Zwischensegmente, und im Allgemeinen wird die Formel für Näherungsberechnungen wie folgt geschrieben:
, wobei der Schritt der Standardpartition „gleiches Segment“ ist.

Es sollte beachtet werden, dass die Formel für mittlere Rechtecke auf verschiedene Arten geschrieben werden kann, aber um Verwirrung zu vermeiden, werde ich mich auf die einzige Option konzentrieren, die Sie oben sehen.

Es ist praktisch, die Berechnungen wie im vorherigen Beispiel in einer Tabelle zusammenzufassen. Die Länge der Zwischensegmente ist natürlich gleich: - und es ist offensichtlich, dass der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Segmente gleich der gleichen Zahl ist. Da die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen beträgt, müssen die Werte „mit einer Marge“ gerundet werden – 4-5 Dezimalstellen:

Berechnen wir die Fläche der Stufenfigur:

Sehen wir uns an, wie Sie diesen Prozess automatisieren können:

Somit gilt nach der Formel der mittleren Rechtecke:

Wie kann die Genauigkeit der Näherung beurteilt werden? Mit anderen Worten: Wie weit ist das Ergebnis von der Wahrheit entfernt? (Fläche eines gebogenen Trapezes)? Es gibt eine spezielle Formel zur Fehlerabschätzung, deren Anwendung in der Praxis jedoch oft schwierig ist, weshalb wir die „angewandte“ Methode verwenden:

Berechnen wir eine genauere Näherung – mit der doppelten Anzahl an Partitionssegmenten: . Der Lösungsalgorithmus ist genau derselbe: .

Suchen wir die Mitte des ersten Zwischensegments und addieren Sie dann 0,3 zum resultierenden Wert. Die Tabelle kann in der „Economy-Klasse“ gestaltet werden, es ist jedoch besser, den Kommentar darüber, was sich von 0 auf 10 ändert, nicht zu überspringen:

In Excel werden Berechnungen „in einer Zeile“ durchgeführt (übrigens üben), aber in einem Notizbuch muss die Tabelle höchstwahrscheinlich zweistöckig gestaltet werden (es sei denn, Sie haben natürlich eine superkleine Handschrift).

Berechnen wir die Gesamtfläche von zehn Rechtecken:

Eine genauere Näherung ist also:

Was ich Ihnen empfehle, zu studieren!

Beispiel 3: Lösung: Berechnen Sie den Partitionsschritt:
Füllen wir die Berechnungstabelle aus:

Berechnen wir das Integral näherungsweise mit der folgenden Methode:
1) linke Rechtecke:
;
2) rechte Rechtecke:
;
3) mittlere Rechtecke:
.

Berechnen wir das Integral genauer mit der Newton-Leibniz-Formel:

und die entsprechenden absoluten Rechenfehler:

Antwort :

Allgemein Formel für das linke Rechteck auf dem Segment wie folgt (21) :

In dieser Formel X 0 =a, x N =b, da jedes Integral im Allgemeinen wie folgt aussieht: (siehe Formel 18 ).

h kann mit der Formel berechnet werden 19 .

j 0 , ja 1 ,..., j n-1 X 0 , X 1 ,..., X n-1 (X ich =x i-1 +h).

Formel für rechte Rechtecke.

Allgemein Formel für das rechte Rechteck auf dem Segment wie folgt (22) :

In dieser Formel X 0 =a, x N =b(siehe Formel für linke Rechtecke).

h kann mit der gleichen Formel wie in der Formel für die linken Rechtecke berechnet werden.

j 1 , ja 2 ,..., j N sind die Werte der entsprechenden Funktion f(x) an Punkten X 1 , X 2 ,..., X N (X ich =x i-1 +h).

Formel für mittlere Rechtecke.

Allgemein mittlere Rechteckformel auf dem Segment wie folgt (23) :

Wo X ich =x i-1 +h.

In dieser Formel, wie auch in den vorherigen, ist h erforderlich, um die Summe der Werte der Funktion f(x) zu multiplizieren, jedoch nicht einfach durch Ersetzen der entsprechenden Werte X 0 ,X 1 ,...,X n-1 in die Funktion f(x) und Addition zu jedem dieser Werte h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) und dann nur noch deren Einsetzen in die gegebene Funktion.

h kann mit der gleichen Formel wie in der Formel für die linken Rechtecke berechnet werden.“ [ 6 ]

In der Praxis werden diese Methoden wie folgt umgesetzt:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

Um das Integral mithilfe der Formel der durchschnittlichen Rechtecke in Excel zu berechnen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

Arbeiten Sie im selben Dokument weiter wie bei der Berechnung des Integrals mit den Formeln für linke und rechte Rechtecke.

Geben Sie in Zelle E6 den Text xi+h/2 und in F6 - f(xi+h/2) ein.

Geben Sie die Formel =B7+$B$4/2 in Zelle E7 ein und kopieren Sie diese Formel, indem Sie sie in den Zellbereich E8:E16 ziehen

Geben Sie die Formel =ROOT(E7^4-E7^3+8) in Zelle F7 ein und kopieren Sie diese Formel, indem Sie sie in den Zellbereich F8:F16 ziehen

Geben Sie die Formel =SUM(F7:F16) in Zelle F18 ein.

Geben Sie die Formel =B4*F18 in Zelle F19 ein.

Geben Sie die Textdurchschnitte in Zelle F20 ein.

Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

Antwort: Der Wert des angegebenen Integrals beträgt 13,40797.

Basierend auf den erhaltenen Ergebnissen können wir den Schluss ziehen, dass die Formel der mittleren Rechtecke genauer ist als die Formeln der rechten und linken Rechtecke.

1. Monte-Carlo-Methode

„Die Hauptidee der Monte-Carlo-Methode besteht darin, Zufallstests mehrmals zu wiederholen. Ein charakteristisches Merkmal der Monte-Carlo-Methode ist die Verwendung von Zufallszahlen (numerische Werte einer Zufallsvariablen). Solche Zahlen können mit erhalten werden Zufallszahlensensoren gibt es beispielsweise in der Programmiersprache Turbo Pascal zufällig, deren Werte gleichmäßig über das Segment verteilte Zufallszahlen sind . Dies bedeutet, dass, wenn Sie das angegebene Segment in eine bestimmte Anzahl gleicher Intervalle unterteilen und den Wert der Zufallsfunktion viele Male berechnen, in jedes Intervall ungefähr die gleiche Anzahl von Zufallszahlen fällt. In der Programmiersprache des Beckens ist ein ähnlicher Sensor die RND-Funktion. Im MS Excel-Tabellenkalkulationsprogramm die Funktion RAND gibt eine gleichmäßig verteilte Zufallszahl zurück, die größer oder gleich 0 und kleiner als 1 ist (ändert sich bei Neuberechnung)“ [ 7 ].

Um es zu berechnen, müssen Sie die Formel verwenden () :

Wobei (i=1, 2, …, n) Zufallszahlen sind, die im Intervall liegen .

Um solche Zahlen basierend auf einer Folge von Zufallszahlen x i zu erhalten, die gleichmäßig im Intervall verteilt sind, reicht es aus, die Transformation x i =a+(b-a)x i durchzuführen.

In der Praxis wird diese Methode wie folgt umgesetzt:

Um das Integral mit der Monte-Carlo-Methode in Excel zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte durchführen:

Geben Sie in Zelle B1 den Text n= ein.

Geben Sie in Zelle B2 den Text a= ein.

Geben Sie in Zelle B3 den Text b= ein.

Geben Sie die Zahl 10 in Zelle C1 ein.

Geben Sie in Zelle C2 die Zahl 0 ein.

Geben Sie in Zelle C3 die Zahl 3.2 ein.

Geben Sie I in Zelle A5, xi in B5 und f(xi) in C5 ein.

Füllen Sie die Zellen A6:A15 mit den Zahlen 1,2,3, ...,10 – da n=10.

Geben Sie die Formel =RAND()*3.2 in die Zelle B6 ein (es werden Zahlen im Bereich von 0 bis 3,2 generiert), kopieren Sie diese Formel, indem Sie sie in den Bereich der Zellen B7:B15 ziehen.

Geben Sie die Formel =ROOT(B6^4-B6^3+8) in Zelle C6 ein und kopieren Sie diese Formel, indem Sie sie in den Zellbereich C7:C15 ziehen.

Geben Sie den Text „Betrag“ in Zelle B16, „(b-a)/n“ in B17 und „I=“ in B18 ein.

Geben Sie die Formel =SUM(C6:C15) in Zelle C16 ein.

Geben Sie die Formel =(C3-C2)/C1 in Zelle C17 ein.

Geben Sie die Formel =C16*C17 in Zelle C18 ein.

Als Ergebnis erhalten wir:

Antwort: Der Wert des angegebenen Integrals beträgt 13,12416.

Die Berechnung bestimmter Integrale mit der Newton-Leibniz-Formel ist nicht immer möglich. Viele Integranden haben keine Stammfunktionen in Form von Elementarfunktionen, daher können wir in vielen Fällen den genauen Wert des bestimmten Integrals mit der Newton-Leibniz-Formel nicht ermitteln. Andererseits ist der genaue Wert nicht immer erforderlich. In der Praxis reicht es oft aus, den Näherungswert eines bestimmten Integrals mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu kennen (z. B. mit einer Genauigkeit von einem Tausendstel). In diesen Fällen helfen uns numerische Integrationsmethoden wie die Rechteckmethode, die Trapezmethode, die Simpson-Methode (Parabeln) usw.

In diesem Artikel werden wir die näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals im Detail analysieren.

Lassen Sie uns zunächst auf das Wesentliche dieser Methode der numerischen Integration eingehen, die Formel für Rechtecke ableiten und eine Formel zur Schätzung des absoluten Fehlers der Methode erhalten. Als nächstes betrachten wir unter Verwendung desselben Schemas Modifikationen der Rechteckmethode, wie z. B. die Methode des rechten Rechtecks und die Methode des linken Rechtecks. Abschließend betrachten wir eine detaillierte Lösung typischer Beispiele und Probleme mit den notwendigen Erläuterungen.

Seitennavigation.

Die Essenz der Rechteckmethode.

Die Funktion y = f(x) sei auf dem Intervall stetig. Wir müssen das bestimmte Integral berechnen.

Wie Sie sehen, weicht der genaue Wert des bestimmten Integrals um weniger als sechs Hundertstel von dem mit der Rechteckmethode für n = 10 erhaltenen Wert ab.

Grafische Illustration.

Beispiel.

Berechnen Sie den ungefähren Wert des bestimmten Integrals Methoden für linke und rechte Rechtecke mit einer Genauigkeit von einem Hundertstel.

Lösung.

Gemäß der Bedingung gilt a = 1, b = 2, .

Um die Formeln für rechte und linke Rechtecke anzuwenden, müssen wir den Schritt h kennen, und um den Schritt h zu berechnen, müssen wir wissen, in wie viele Segmente n das Integrationssegment unterteilt werden soll. Da uns in der Problemstellung eine Berechnungsgenauigkeit von 0,01 gegeben wird, können wir die Zahl n ermitteln, indem wir den absoluten Fehler der Methoden für das linke und rechte Rechteck schätzen.

Wir wissen das . Wenn wir also n finden, für das die Ungleichung gilt , dann wird die erforderliche Genauigkeit erreicht.

Finden wir den größten Wert des Moduls der ersten Ableitung des Integranden auf dem Segment. In unserem Beispiel ist dies ganz einfach zu bewerkstelligen.

Der Graph der Funktion der Ableitung des Integranden ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind und deren Graph entlang des Segments monoton abnimmt. Daher reicht es aus, die Absolutwerte der Ableitung an den Enden des Segments zu berechnen und den größten zu wählen:

Für Beispiele mit komplexen Integranden benötigen Sie möglicherweise die Partitionstheorie.

Auf diese Weise:

Nummer n kann kein Bruchteil sein (da n eine natürliche Zahl ist – die Anzahl der Segmente der Partition des Integrationsintervalls). Um eine Genauigkeit von 0,01 mit der Methode des rechten oder linken Rechtecks zu erreichen, können wir daher jedes beliebige n = 9, 10, 11, ... annehmen. Zur Vereinfachung der Berechnungen nehmen wir n = 10.

Die Formel für die linken Rechtecke sieht so aus , und die richtigen Rechtecke . Um sie nutzen zu können, müssen wir h und finden für n = 10.

Also,

Die Teilungspunkte eines Segments werden als definiert.

Für i = 0 wir haben und .

Für i = 1 wir haben und .

Es ist zweckmäßig, die erzielten Ergebnisse in Form einer Tabelle darzustellen:

Wir setzen die linken Rechtecke in die Formel ein:

Wir setzen die richtigen Rechtecke in die Formel ein:

Berechnen wir den genauen Wert des bestimmten Integrals mithilfe der Newton-Leibniz-Formel:

Selbstverständlich bleibt die Hundertstelgenauigkeit erhalten.

Grafische Illustration.

Kommentar.

In vielen Fällen ist das Ermitteln des größten Werts des Moduls der ersten Ableitung (oder der zweiten Ableitung bei der Methode der durchschnittlichen Rechtecke) des Integranden im Integrationsintervall ein sehr arbeitsintensives Verfahren.

Daher ist es möglich, ohne die Verwendung von Ungleichungen zur Schätzung des absoluten Fehlers numerischer Integrationsmethoden vorzugehen. Obwohl Schätzungen vorzuziehen sind.

Für die Methoden des rechten und linken Rechtecks können Sie das folgende Diagramm verwenden.

Wir nehmen ein beliebiges n (zum Beispiel n = 5) und berechnen den Näherungswert des Integrals. Als nächstes verdoppeln wir die Anzahl der Segmente der Division des Integrationsintervalls, nehmen also n = 10 und berechnen erneut den Näherungswert des bestimmten Integrals. Wir finden die Differenz zwischen den erhaltenen Näherungswerten für n = 5 und n = 10. Wenn der Absolutwert dieser Differenz die erforderliche Genauigkeit nicht überschreitet, nehmen wir als Näherungswert eines bestimmten Integrals den Wert bei n = 10, nachdem wir ihn zuvor auf die Genauigkeitsordnung gerundet haben. Wenn der Absolutwert der Differenz die erforderliche Genauigkeit überschreitet, verdoppeln wir n erneut und vergleichen die Näherungswerte der Integrale für n = 10 und n = 20. Und so machen wir weiter, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.

Für die Methode der durchschnittlichen Rechtecke gehen wir ähnlich vor, berechnen jedoch bei jedem Schritt ein Drittel des Absolutwerts der Differenz zwischen den erhaltenen ungefähren Integralwerten für n und 2n. Diese Methode wird Runge-Regel genannt.

Berechnen wir das bestimmte Integral aus dem vorherigen Beispiel mit einer Genauigkeit von einem Tausendstel mithilfe der Methode des linken Rechtecks.

Auf die Berechnungen gehen wir nicht näher ein.

Für n = 5 gilt , für n = 10 gilt .

Da, dann nehmen wir n = 20. In diesem Fall .

Da, dann nehmen wir n = 40. In diesem Fall .

Da wir also 0,01686093 auf Tausendstel runden, behaupten wir, dass es sich um den Wert des bestimmten Integrals handelt entspricht 0,017 mit einem absoluten Fehler von 0,001.

Abschließend werden wir näher auf die Fehler der Methoden für das linke, rechte und mittlere Rechteck eingehen.

Aus den Abschätzungen des absoluten Fehlers geht klar hervor, dass die Methode des mittleren Rechtecks für ein gegebenes n eine höhere Genauigkeit liefert als die Methode des linken und rechten Rechtecks. Gleichzeitig ist die Anzahl der Berechnungen gleich, daher ist die Verwendung der Methode des durchschnittlichen Rechtecks vorzuziehen.

Wenn wir von kontinuierlichen Integranden sprechen, tendiert der Näherungswert des bestimmten Integrals theoretisch mit einer unendlichen Zunahme der Anzahl der Teilungspunkte des Integrationssegments zum exakten Wert. Der Einsatz numerischer Integrationsverfahren erfordert den Einsatz von Computertechnologie. Daher ist zu bedenken, dass sich der Rechenfehler im Großen und Ganzen zu häufen beginnt.

Beachten Sie außerdem, dass Sie Zwischenberechnungen mit höherer Genauigkeit durchführen müssen, wenn Sie ein bestimmtes Integral mit einiger Genauigkeit berechnen müssen. Beispielsweise müssen Sie ein bestimmtes Integral mit einer Genauigkeit von einem Hundertstel berechnen und dann Zwischenberechnungen mit einer Genauigkeit von mindestens 0,0001 durchführen.

Zusammenfassen.

Bei der Berechnung des bestimmten Integrals nach der Methode der Rechtecke (Methode der durchschnittlichen Rechtecke) verwenden wir die Formel und schätzen Sie den absoluten Fehler als .

Für die Methode des linken und rechten Rechtecks verwenden wir die Formeln Und jeweils. Wir schätzen den absoluten Fehler als .

Formel für das linke Rechteck:

Methode des mittleren Rechtecks

Teilen wir das Segment in n gleiche Teile, d.h. in n Elementarsegmente. Die Länge jedes Elementarsegments. Die Teilungspunkte sind: x 0 =a; x 1 =a+h; x 2 =a+2Х h,., x n-1 =a+ (n-1) Х h; x n =b. Wir nennen diese Nummern Knoten. Berechnen wir die Werte der Funktion f (x) an den Knoten und bezeichnen sie mit y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Daher ist y 0 =f (a), y 1 =f (x 1),y 2 =f (x 2),., y n =f (b). Die Zahlen y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n sind die Ordinaten der Punkte auf dem Funktionsgraphen, die der Abszisse x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n entsprechen. Die Fläche eines gekrümmten Trapezes wird näherungsweise durch die Fläche eines aus n Rechtecken zusammengesetzten Polygons ersetzt. Somit reduziert sich die Berechnung eines bestimmten Integrals auf die Ermittlung der Summe von n elementaren Rechtecken.

Formel für mittlere Rechtecke

Methode des rechten Rechtecks

Formel für ein rechtes Rechteck

Simpson-Methode

Geometrisch gesehen besteht die Veranschaulichung der Simpson-Formel darin, dass wir auf jedem der doppelten Teilsegmente den Bogen einer gegebenen Kurve durch den Bogen des Graphen eines quadratischen Trinoms ersetzen.

Teilen wir das Integrationssegment in 2 x n gleiche Längenteile. Bezeichnen wir die Punkte der Partition x 0 =a; x 1 =x 0 +h,., x i =x 0 +iХ h,., x 2n =b. Die Werte der Funktion f an den Punkten x i werden mit y i bezeichnet, d.h. y i =f (x i). Dann nach Simpsons Methode

Trapezmethode

Trapezformel:

Die Formel bedeutet, dass die Fläche eines krummlinigen Trapezes durch die Fläche eines Polygons aus n Trapezen ersetzt wird (Abb. 5); in diesem Fall wird die Kurve durch eine eingeschriebene gestrichelte Linie ersetzt.