So ermitteln Sie die Summe der Umfänge von Quadraten. Umfang, Fläche und Volumen. Maßeinheiten für die Landfläche

Die Beziehung zwischen dem Radius eines Kreises und der Seitenlänge eines Quadrats. Der Abstand vom Mittelpunkt des umschriebenen Kreises bis zum Scheitelpunkt des darin eingeschriebenen Quadrats ist gleich dem Radius des Kreises. Um die Seite eines Quadrats zu finden S, müssen Sie das Quadrat diagonal in 2 rechtwinklige Dreiecke teilen. Jedes dieser Dreiecke hat gleiche Seiten A Und B und gemeinsame Hypotenuse Mit, gleich dem doppelten Radius des umschriebenen Kreises ( 2r).

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Seite eines Quadrats zu ermitteln. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck mit Schenkeln A Und B und Hypotenuse Mit: a 2 + b 2 = c 2. Da in unserem Fall A = B(Denken Sie daran, dass wir ein Quadrat betrachten!) und das wissen wir c = 2r, dann können wir diese Gleichung umschreiben und vereinfachen:

• a 2 + a 2 = (2r) 2 ""; Vereinfachen wir nun diese Gleichung:
• 2a 2 = 4(r) 2; Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 2:
• (a 2) = 2(r) 2; Ziehen wir nun die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung:
• a = √(2r). Somit ist s = √ (2r).

1. Multiplizieren Sie die gefundene Seite des Quadrats mit 4, um seinen Umfang zu ermitteln. In diesem Fall beträgt der Umfang des Quadrats: P = 4√(2r). Diese Formel kann wie folgt umgeschrieben werden: Р = 4√2 * 4√r = 5,657r, wobei r der Radius des umschriebenen Kreises ist.

2. Beispiel. Betrachten Sie ein Quadrat, das in einen Kreis mit dem Radius 10 eingeschrieben ist. Das bedeutet, dass die Diagonale des Quadrats 2 * 10 = 20 beträgt. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir: 2(a 2) = 20 2, also 2a 2 = 400. Nun dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 2 und erhalten: a 2 = 200. Ziehen wir nun die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung und erhalten: a = 14,142. Multiplizieren Sie diesen Wert mit 4 und berechnen Sie den Umfang des Quadrats: P=56,57.

   • Beachten Sie, dass Sie das gleiche Ergebnis erhalten könnten, indem Sie einfach radius(10) mit 5,657 multiplizieren: 10 * 5,567 = 56,57 ; Diese Methode ist jedoch schwer zu merken, daher ist es besser, den oben beschriebenen Berechnungsprozess zu verwenden.

Ein Quadrat ist ein positives Viereck (oder eine Raute), bei dem alle Winkel rechtwinklig und die Seiten gleich sind. Wie jedes andere regelmäßige Polygon, Quadrat rechnen dürfen Umfang und Bereich. Wenn Bereich Quadrat bereits berühmt, dann entdecken Sie seine Seiten und danach Umfang wird nicht schwierig sein.

Anweisungen

1. Quadrat Quadrat wird durch die Formel gefunden: S = a? Dies bedeutet, dass, um die Fläche zu berechnen Quadrat, müssen Sie die Längen der beiden Seiten miteinander multiplizieren. Als Konsequenz, wenn Sie die Gegend kennen Quadrat Wenn Sie dann die Wurzel aus einem bestimmten Wert ziehen, können Sie die Länge der Seite ermitteln Quadrat.Beispiel: Fläche Quadrat 36 cm?, um die Seite davon herauszufinden Quadrat, müssen Sie die Quadratwurzel des Flächenwerts ziehen. Somit ist die Länge der Seite eines gegebenen Quadrat 6 cm

2. Finden Umfang A Quadrat Sie müssen die Längen aller Seiten addieren. Mit Hilfe einer Formel lässt sich dies wie folgt ausdrücken: P = a+a+a+a Wenn man die Wurzel aus dem Flächenwert zieht Quadrat, und addieren Sie danach den resultierenden Wert viermal, dann können Sie erkennen Umfang Quadrat .

3. Beispiel: Gegeben sei ein Quadrat mit einer Fläche von 49 cm?. Muss es entdecken Umfang.Lösung: Zuerst müssen Sie die Wurzel des Bereichs extrahieren Quadrat: ?49 = 7 cmDann wird die Länge der Seite berechnet Quadrat, ist es möglich, zu berechnen und Umfang: 7+7+7+7 = 28 cmAntwort: Umfang Quadrat Fläche 49 cm? beträgt 28 cm

Bei geometrischen Problemen ist es oft notwendig, die Länge der Seite eines Quadrats zu ermitteln, wenn seine anderen Parameter bekannt sind – wie Fläche, Diagonale oder Umfang.

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• Taschenrechner

Anweisungen

1. Wenn die Fläche eines Quadrats bekannt ist, müssen Sie zum Ermitteln der Seite des Quadrats die Quadratwurzel aus dem numerischen Wert der Fläche ziehen (da die Fläche des Quadrats gleich dem Quadrat ist). seiner Seite): a =? S, wobei a die Länge der Seite des Quadrats ist; Flächeneinheit. Sagen wir, wenn die Fläche eines Quadrats in Quadratzentimetern angegeben wird, dann wird die Länge seiner Seite primitiv in Zentimetern angegeben. Beispiel: Die Fläche eines Quadrats beträgt 9 Quadratmeter Quadrat. Lösung: a =? 9 = 3 Antwort: Die Seite eines Quadrats beträgt 3 Meter.

2. Wenn der Umfang des Quadrats bekannt ist, muss zur Bestimmung der Seitenlänge der Zahlenwert des Umfangs durch vier geteilt werden (da das Quadrat vier Seiten gleicher Länge hat): a = P/4, Dabei ist: a die Länge der Quadratseite; P der Umfang des Quadrats. Die Maßeinheit für die Seite eines Quadrats ist dieselbe lineare Längeneinheit wie der Umfang. Wenn beispielsweise der Umfang eines Quadrats in Zentimetern angegeben wird, wird auch die Länge seiner Seite in Zentimetern angegeben. Beispiel: Der Umfang eines Quadrats beträgt 20 Meter. Lösung: a = 20/4 = 5 Antwort: Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 5 Meter.

3. Wenn die Länge der Diagonale eines Quadrats bekannt ist, ist die Länge seiner Seite gleich der Länge seiner Diagonale dividiert durch die Quadratwurzel aus 2 (gemäß dem Satz des Pythagoras, da die benachbarten Seiten des Quadrats und der Diagonale die Form haben). ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck): a = d/?2 (da . a^2+a^2=d^2), wobei: a die Länge der Seite des Quadrats ist; d die Länge der Diagonale des Quadrats ist Die Maßeinheit für die Seite des Quadrats ist dieselbe Längeneinheit wie die Diagonale. Wenn die Diagonale eines Quadrats beispielsweise in Zentimetern gemessen wird, beträgt die Diagonale eines Quadrats 10 Meter. Lösung: a = 10 /?2, also etwa: 7,071 Antwort: Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 10/?2, also etwa 1,071 Meter.

Ein Quadrat ist eine schöne und einfache flache geometrische Figur. Dies ist ein Rechteck mit gleichen Seiten. So erkennen Sie Umfang Quadrat, wenn die Länge seiner Seite bekannt ist?

Anweisungen

1. Es lohnt sich, vor allen anderen daran zu denken Umfang ist nichts anderes als die Summe der Seitenlängen einer geometrischen Figur. Das Quadrat, das wir betrachten, hat vier Seiten. Darüber hinaus per Definition Quadrat, alle diese Seiten sind einander gleich Aus diesen Prämissen folgt eine einfache Formel zum Finden Umfang A Quadrat – Umfang Quadrat gleich der Seitenlänge Quadrat, multipliziert mit vier: P = 4a, wobei a die Länge der Seite ist Quadrat .

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Der Umfang wird Universal genannt Länge Die Grenzen der Figur sind häufiger als jede einzelne auf der Ebene. Ein Quadrat ist ein positives Viereck oder eine Raute, bei der alle Winkel rechtwinklig sind, oder ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten und Winkel gleich sind.

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• Kenntnisse der Geometrie.

Anweisungen

1. Umfang Quadrat gleich der Summe der Längen seiner Seiten. Da ein Quadrat im Wesentlichen ein Viereck ist, hat es vier Seiten, was bedeutet, dass der Umfang gleich der Summe der Längen der vier Seiten ist oder P = a+b+c+d.

2. Ein Quadrat ist, wie aus der Definition hervorgeht, eine regelmäßige geometrische Figur, das heißt, alle seine Seiten sind gleich. Also a=b=c=d. Folglich ist P = a+a+a+a oder P = 4*a.

3. Lass die Seite Quadrat ist gleich 4, also a=3. Dann der Umfang oder die Länge Quadrat, gemäß der resultierenden Formel, ist gleich P = 4*3 oder P=12. Die Zahl 12 ist die Länge oder, was dasselbe ist, der Umfang Quadrat .

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Beachten Sie!
Der Umfang eines Quadrats ist wie jede andere Länge immer der richtige Wert.

Hilfreicher Rat
Ebenso ist es möglich, den Umfang einer Raute zu bestimmen, da ein Quadrat ein Sonderfall einer Raute mit rechten Winkeln ist.

Der Umfang charakterisiert die Länge der geschlossenen Silhouette. Wie die Fläche kann sie anhand anderer in der Problemstellung angegebener Größen ermittelt werden. Probleme bei der Ermittlung des Umfangs treten in schulischen Mathematikkursen äußerst häufig auf.

Anweisungen

1. Wenn Sie den Umfang und die Seite einer Figur kennen, können Sie sowohl ihre andere Seite als auch ihre Fläche entdecken. Der Umfang selbst wiederum kann je nach Problemlage entlang mehrerer vorgegebener Seiten oder entlang eines Winkels und von Seiten erfasst werden. In einigen Fällen wird es auch durch die Fläche ausgedrückt. Der Umfang eines Rechtecks ​​ist besonders primitiv. Zeichnen Sie ein Rechteck mit einer Seite gleich a und einer Diagonale gleich d. Wenn Sie diese beiden Größen kennen, verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die andere Seite zu ermitteln, nämlich die Breite des Rechtecks. Nachdem Sie die Breite des Rechtecks ​​ermittelt haben, berechnen Sie seinen Umfang wie folgt: p=2(a+b). Diese Formel ist für alle Rechtecke objektiv, da jedes von ihnen vier Seiten hat.

2. Beachten Sie, dass der Umfang eines Dreiecks bei den meisten Problemen nur dann ermittelt werden kann, wenn nur Informationen zu einem seiner Winkel vorliegen. Es gibt jedoch auch Probleme, bei denen alle Seiten des Dreiecks bekannt sind und dann der Umfang durch einfache Summation ohne Verwendung trigonometrischer Berechnungen berechnet werden kann: p=a+b+c, wobei a, b und c sind die Seiten. In Lehrbüchern findet man solche Probleme jedoch selten, weil die Methode zu ihrer Lösung klar ist. Lösen Sie Schritt für Schritt schwierigere Probleme beim Ermitteln des Umfangs eines Dreiecks. Nehmen wir an, Sie zeichnen ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis und Winkel bekannt sind. Um seinen Umfang zu ermitteln, ermitteln Sie zunächst die Seiten a und b wie folgt: b=c/2cos?. Machen Sie aus der Tatsache, dass a=b (gleichschenkliges Dreieck), ein weiteres Ergebnis: a=b=c/2cos?.

3. Berechnen Sie den Umfang des Polygons auf ähnliche Weise, indem Sie die Längen aller seiner Seiten addieren: p=a+b+c+d+e+f und so weiter. Wenn das Polygon positiv ist und in einen Kreis eingeschrieben oder um ihn herum beschrieben ist, berechnen Sie die Länge einer seiner Seiten und multiplizieren Sie sie dann mit deren Anzahl. Nehmen wir an, um die Seiten eines in einen Kreis eingeschriebenen Sechsecks zu finden, gehen Sie wie folgt vor: a=R, wobei a die Seite des Sechsecks ist, die dem Radius des umschriebenen Kreises entspricht. Wenn dementsprechend das Sechseck korrekt ist, dann ist sein Umfang gleich: p=6a=6R. Wenn ein Kreis in ein Sechseck eingeschrieben ist, dann ist die Seite des Sechsecks gleich: a=2r?3/3. Ermitteln Sie dementsprechend den Umfang einer solchen Figur auf folgende Weise: p=12r?3/3.

Obwohl das Wort „Umfang“ von der griechischen Bezeichnung für einen Kreis stammt, bezieht es sich üblicherweise auf die Gesamtlänge der Grenzen jeder flachen geometrischen Figur, einschließlich eines Quadrats. Die Berechnung dieses Parameters ist wie üblich nicht schwierig und kann je nach bekannten Ausgangsdaten mit mehreren Methoden durchgeführt werden.

Anweisungen

1. Wenn Sie die Länge der Seite des Quadrats (t) kennen, erhöhen Sie diesen Wert einfach um das Vierfache, um seinen Umfang (p) zu ermitteln: p=4*t.

2. Wenn die Seitenlänge unbekannt ist, aber unter den Bedingungen des Problems die Länge der Diagonale (c) angegeben ist, reicht dies aus, um die Seitenlänge und damit den Umfang (p) des Polygons zu berechnen. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, der besagt, dass das Quadrat der Länge der langen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks (der Hypotenuse) gleich der Summe der Quadrate der Längen der kurzen Seiten (der Schenkel) ist. In einem rechtwinkligen Dreieck, das aus zwei benachbarten Seiten eines Quadrats und den Endpunkten eines diese verbindenden Segments besteht, fällt die Hypotenuse mit der Diagonale des Vierecks zusammen. Daraus folgt, dass die Seitenlänge eines Quadrats gleich dem Verhältnis der Länge der Diagonale zur Quadratwurzel aus zwei ist. Verwenden Sie diesen Ausdruck in der Formel, um den Umfang aus dem vorherigen Schritt zu berechnen: p=4*c/?2.

3. Wenn nur die Fläche (S) eines durch den Umfang des Quadrats begrenzten Abschnitts der Ebene angegeben wird, reicht dies aus, um die Länge einer Seite zu bestimmen. Da die Fläche eines Rechtecks ​​gleich dem Produkt der Längen seiner angrenzenden Seiten ist, ziehen Sie zur Ermittlung des Umfangs (p) die Quadratwurzel der Fläche und vervierfachen Sie die Summe: p=4*?S.

4. Wenn der Radius des in der Nähe des Quadrats beschriebenen Kreises bekannt ist (R), dann multiplizieren Sie ihn mit acht und teilen Sie die resultierende Summe durch die Quadratwurzel von zwei, um den Umfang des Polygons (p) zu ermitteln: p=8*R/ ?2.

5. Wenn der Kreis, dessen Radius einem Quadrat eingeschrieben ist, dann seinen Umfang (p) berechnet, indem man einfach den Radius (r) mit acht multipliziert: P=8*r.

6. Wenn das betreffende Quadrat in den Problembedingungen durch die Koordinaten seiner Eckpunkte beschrieben wird, benötigen Sie zur Berechnung des Umfangs nur Daten zu 2 Eckpunkten, die zu einer der Seiten der Figur gehören. Bestimmen Sie die Länge dieser Seite auf der Grundlage desselben Satzes des Pythagoras für ein Dreieck, das aus sich selbst und seinen Projektionen auf die Koordinatenachsen besteht, und erhöhen Sie die resultierende Summe um das Vierfache. Da die Längen der Projektionen auf die Koordinatenachsen gleich dem Modul der Differenzen zwischen den entsprechenden Koordinaten zweier Punkte (X?;Y? und X?;Y?) sind, kann die Formel wie folgt geschrieben werden: p= 4*?((X?-X?)? +(Y?-Y?)?).

Im Allgemeinen ist der Umfang die Länge der Linie, die eine geschlossene Figur begrenzt. Bei Polygonen ist der Umfang die Summe aller Seitenlängen. Dieser Wert lässt sich messen und für viele Figuren leicht berechnen, wenn die Längen der entsprechenden Elemente bekannt sind.

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• – Lineal oder Maßband;
• – starker Faden;
• – Rollenentfernungsmesser.

Anweisungen

1. Um den Umfang eines beliebigen Polygons zu messen, messen Sie mit einem Lineal oder einem anderen Messgerät alle Seiten und ermitteln Sie dann deren Summe. Wenn Sie ein Viereck mit Seitenlängen von 5, 3, 7 und 4 cm erhalten, die mit einem Lineal gemessen werden, ermitteln Sie den Umfang, indem Sie sie addieren: P=5+3+7+4=19 cm.

2. Wenn die Figur willkürlich ist und mehr als nur gerade Linien enthält, messen Sie ihren Umfang mit einem herkömmlichen Seil oder Faden. Positionieren Sie es dazu so, dass es allen Begrenzungslinien der Figur folgt, und machen Sie nach Möglichkeit eine Markierung darauf. Schneiden Sie es grob ab, um Verwechslungen zu vermeiden. Messen Sie anschließend mit einem Maßband oder Lineal die Länge des Fadens. Sie entspricht dem Umfang dieser Figur. Stellen Sie sicher, dass der Faden der Linie so genau wie möglich folgt, um eine höhere Genauigkeit des Ergebnisses zu erzielen.

3. Messen Sie den Umfang einer schwierigen geometrischen Figur mit einem Rollenentfernungsmesser (Krümmungsmesser). Dazu wird auf einer Linie ein Punkt markiert, an dem die Entfernungsmesserrolle montiert wird, und entlang dieser gerollt, bis sie zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Der vom Rollenentfernungsmesser gemessene Abstand entspricht dem Umfang der Figur.

4. Berechnen Sie den Umfang einiger geometrischer Formen. Um beispielsweise den Umfang eines positiven Polygons (eines konvexen Polygons mit gleichen Seiten) zu ermitteln, multiplizieren Sie die Länge der Seite mit der Anzahl der Winkel oder Seiten (sie sind gleich). Um den Umfang eines regelmäßigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 4 cm zu ermitteln, multiplizieren Sie diese Zahl mit 3 (P = 4? 3 = 12 cm).

5. Um den Umfang eines beliebigen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die Längen aller seiner Seiten. Wenn nicht alle Seiten angegeben sind, zwischen ihnen aber Winkel bestehen, ermitteln Sie diese mithilfe des Sinus- oder Kosinussatzes. Wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, ermitteln Sie die dritte mit dem Satz des Pythagoras und ermitteln Sie deren Summe. Nehmen wir an, wenn bekannt ist, dass die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich 3 und 4 cm sind, dann ist die Hypotenuse gleich?(3?+4?)=5 cm. Dann ist der Umfang P=3+4+ 5=12 cm.

6. Um den Umfang eines Kreises zu ermitteln, ermitteln Sie den Umfang, der ihn begrenzt. Multiplizieren Sie dazu seinen Radius r mit der Zahl 3,14 und der Zahl 2 (P=L=2???r). Wenn der Durchmesser bekannt ist, gehen Sie davon aus, dass er zwei Radien entspricht.

Umfang Polygon bezeichnet eine geschlossene gestrichelte Linie, die aus allen Seiten besteht. Um die Länge dieses Parameters zu ermitteln, kommt es darauf an, die Längen der Seiten zu summieren. Wenn alle Segmente, die den Umfang einer solchen zweidimensionalen geometrischen Figur bilden, identische Abmessungen haben, wird das Polygon als wahr bezeichnet. In diesem Fall ist die Berechnung des Umfangs viel einfacher.

Anweisungen

1. Im einfachsten Fall, wenn die Länge der Seite (a) korrekt ist Polygon und die Anzahl der darin enthaltenen Eckpunkte (n). Um die Länge des Umfangs (P) zu berechnen, multiplizieren Sie einfach diese beiden Größen: P = a*n. Nehmen wir an, die Umfangslänge eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 15 cm sollte 15 * 6 = 90 cm betragen.

2. Berechnen Sie den Umfang davon Polygon entlang des bekannten Radius (R) des um ihn beschriebenen Kreises ist ebenfalls zulässig. Dazu müssen Sie zunächst die Länge der Seite durch den Radius und die Anzahl der Scheitelpunkte (n) ausdrücken und dann den resultierenden Wert mit der Anzahl der Seiten multiplizieren. Um die Seitenlänge zu berechnen, multiplizieren Sie den Radius mit dem Sinus von Pi dividiert durch die Anzahl der Scheitelpunkte und verdoppeln Sie die Summe: R*sin(?/n)*2. Wenn Sie die trigonometrische Funktion bequemer in Grad berechnen möchten, ersetzen Sie Pi durch 180°: R*sin(180°/n)*2. Berechnen Sie den Umfang, indem Sie den resultierenden Wert mit der Anzahl der Eckpunkte multiplizieren: P = R*sin(?/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Wenn beispielsweise ein Sechseck in einen Kreis mit einem Radius von 50 cm eingeschrieben ist, hat sein Umfang eine Länge von 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0,5*12 = 300 cm.

3. Mit einer ähnlichen Methode können Sie den Umfang berechnen, ohne die Länge der positiven Seite zu kennen Polygon, wenn es um einen Kreis mit einem berühmten Radius (r) beschrieben wird. In diesem Fall unterscheidet sich die Formel zur Berechnung der Seitengröße einer Figur von der vorherigen nur in der beteiligten trigonometrischen Funktion. Ersetzen Sie in der Formel den Sinus durch den Tangens, um den folgenden Ausdruck zu erhalten: r*tg(?/n)*2. Oder für Berechnungen in Grad: r*tg(180°/n)*2. Um den Umfang zu berechnen, erhöhen Sie den resultierenden Wert um ein Vielfaches, das der Anzahl der Scheitelpunkte entspricht Polygon: P = r*tg(?/n)*2*n = r*tg(180°/n)*2*n. Nehmen wir an, der Umfang eines Achtecks, das in der Nähe eines Kreises mit einem Radius von 40 cm beschrieben wird, beträgt ungefähr 40*tg(180°/8)*2*8? 40*0,414*16 = 264,96 cm.

Ein Quadrat ist eine geometrische Figur, die aus vier Seiten gleicher Länge und vier rechten Winkeln besteht, die jeweils 90° betragen. Flächenbestimmung bzw Umfang Ein Viereck jeglicher Art ist nicht nur bei der Lösung von Geometrieproblemen, sondern auch im Alltag erforderlich. Dieses Wissen kann beispielsweise bei Reparaturen bei der Berechnung der benötigten Materialmenge – Beläge für Böden, Wände oder Decken, sowie beim Anlegen von Rasenflächen und Beeten etc. – von Nutzen sein.

Anweisungen

1. Um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen, multiplizieren Sie die Länge mit der Breite. Da bei einem Quadrat Länge und Breite identisch sind, reicht der Wert einer Seite aus, um quadriert zu werden. Somit ist die Fläche eines Quadrats gleich der Länge seiner quadratischen Seite. Die Maßeinheit für die Fläche kann Quadratmillimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter, Kilometer sein. Um die Fläche eines Quadrats zu bestimmen, können Sie die Formel S = aa verwenden, wobei S die Fläche des Quadrats ist, und ist die Seite des Quadrats.

2. Beispiel Nr. 1. Der Raum hat die Form eines Quadrats. Wie viel Laminat (in m²) wird benötigt, um den Boden vollständig zu bedecken, wenn die Länge einer Seite des Raums 5 Meter beträgt? Schreiben Sie die Formel auf: S = aa. Ersetzen Sie die in der Bedingung angegebenen Daten darin. Da a = 5 m ist, beträgt die Fläche S (Räume) = 5x5 = 25 m², was bedeutet, dass S (Laminat) = 25 m² ist.

3. Der Umfang ist die Gesamtlänge des Formrandes. Bei einem Quadrat ist der Umfang die Länge aller vier identischen Seiten. Das heißt, der Umfang eines Quadrats ist die Summe aller seiner vier Seiten. Um den Umfang eines Quadrats zu berechnen, reicht es aus, die Länge einer seiner Seiten zu kennen. Der Umfang wird in Millimetern, Zentimetern, Dezimetern, Metern und Kilometern gemessen. Zur Bestimmung des Umfangs gibt es eine Formel: P = a + a + a + a oder P = 4a, wobei P der Umfang und a die Länge ist Seite.

4. Beispiel Nr. 2. Für Abschlussarbeiten in einem quadratischen Raum sind Deckensockel erforderlich. Berechnen Sie die Gesamtlänge (Umfang) der Fußleisten, wenn die Größe einer Seite des Raums 6 Meter beträgt. Schreiben Sie die Formel P = 4a auf. Setzen Sie darin die in der Bedingung angegebenen Daten ein: P (Räume) = 4 x 6 = 24 Meter. Folglich beträgt die Länge der Deckensockel auch 24 Meter.

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Beachten Sie!
Die folgenden Definitionen sind für ein Quadrat objektiv: Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen Seiten untereinander gleich sind. Ein Quadrat ist eine spezielle Art von Raute, bei der alle Winkel gleich 90 Grad sind Ein Kreis kann um ein Quadrat beschrieben oder eingeschrieben werden. Der Radius eines in ein Quadrat eingeschriebenen Kreises kann mit der Formel R = t/2 ermittelt werden, wobei t die Seite des Quadrats ist. Wenn der Kreis umschrieben wird, ergibt sich sein Radius wie folgt: R = ( ?2*t)/2 Basierend auf diesen Formeln ist es möglich, neue Formeln abzuleiten, um den Umfang eines Quadrats zu ermitteln: P = 8*R, wobei R der Radius des eingeschriebenen Kreises ist; , wobei R der Radius des eingeschriebenen Kreises ist. Das Quadrat ist eine einzigartige geometrische Figur, da es sicherlich symmetrisch ist, unabhängig davon, wie und wo die Symmetrieachse gezeichnet wird.

Dieses Material enthält geometrische Formen mit Maßen. Die angegebenen Maße sind Näherungswerte und stimmen möglicherweise nicht mit den tatsächlichen Maßen überein. Unterrichtsinhalte

Umfang einer geometrischen Figur

Der Umfang einer geometrischen Figur ist die Summe aller ihrer Seiten. Um den Umfang zu berechnen, müssen Sie jede Seite messen und die Maße addieren.

Berechnen wir den Umfang der folgenden Abbildung:

Das ist ein Rechteck. Wir werden später ausführlicher auf diese Zahl eingehen. Berechnen wir nun einfach den Umfang dieses Rechtecks. Seine Länge beträgt 9 cm und die Breite 4 cm.

Ein Rechteck hat gegenüberliegende Seiten, die gleich sind. Dies ist in der Abbildung zu sehen. Wenn die Länge 9 cm und die Breite 4 cm beträgt, sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils 9 cm und 4 cm groß:

Finden wir den Umfang. Fügen wir dazu alle Seiten hinzu. Sie können sie in beliebiger Reihenfolge hinzufügen, da eine Neuanordnung der Begriffe die Summe nicht verändert. Der Umfang wird oft durch einen lateinischen Großbuchstaben angegeben P(Englisch) Umfänge). Dann erhalten wir:

P= 9 cm + 4 cm + 9 cm + 4 cm = 26 cm.

Da die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks ​​gleich sind, wird die Bestimmung des Umfangs kürzer geschrieben – addieren Sie die Länge und die Breite und multiplizieren Sie sie mit 2, was bedeutet „Länge und Breite zweimal wiederholen“

P= 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 cm.

Ein Quadrat ist dasselbe wie ein Rechteck, aber alle Seiten sind gleich. Lassen Sie uns zum Beispiel den Umfang eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 5 cm ermitteln „mit einer Seite 5cm" Ich muss verstehen, wie „Die Länge jeder Seite des Quadrats ist gleich 5cm"

Um den Umfang zu berechnen, addieren Sie alle Seiten:

P= 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

Da jedoch alle Seiten gleich sind, kann die Umfangsberechnung als Produkt geschrieben werden. Die Seite des Quadrats beträgt 5 cm, und es gibt 4 solcher Seiten. Dann muss diese Seite, die 5 cm entspricht, viermal wiederholt werden

P= 5 cm × 4 = 20 cm

Fläche einer geometrischen Figur

Die Fläche einer geometrischen Figur ist eine Zahl, die die Größe dieser Figur charakterisiert.

Es sollte klargestellt werden, dass es sich in diesem Fall um eine Fläche in einer Ebene handelt. In der Geometrie ist eine Ebene jede ebene Fläche, zum Beispiel: ein Blatt Papier, ein Grundstück, eine Tischoberfläche.

Die Fläche wird in Quadrateinheiten gemessen. Unter Quadrateinheiten versteht man Quadrate, deren Seiten gleich eins sind. Zum Beispiel 1 Quadratzentimeter, 1 Quadratmeter oder 1 Quadratkilometer.

Die Fläche einer Figur zu messen bedeutet herauszufinden, wie viele Quadrateinheiten in dieser Figur enthalten sind.

Die Fläche des folgenden Rechtecks ​​beträgt beispielsweise drei Quadratzentimeter:

Dies liegt daran, dass dieses Rechteck drei Quadrate enthält, von denen jedes eine Seite von einem Zentimeter hat:

Rechts ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 cm (in diesem Fall handelt es sich um eine quadratische Einheit). Wenn wir uns ansehen, wie oft dieses Quadrat in das links gezeigte Rechteck passt, werden wir feststellen, dass es dreimal hineinpasst.

Das folgende Rechteck hat eine Fläche von sechs Quadratzentimetern:

Dies liegt daran, dass dieses Rechteck sechs Quadrate enthält, von denen jedes eine Seite von einem Zentimeter hat:

Nehmen wir an, Sie müssten die Fläche des folgenden Raums messen:

Lassen Sie uns entscheiden, in welchen Quadraten wir die Fläche messen. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Fläche in Quadratmetern zu messen:

Unsere Aufgabe besteht also darin, zu bestimmen, wie viele solcher Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 m im ursprünglichen Raum enthalten sind. Füllen wir den gesamten Raum mit diesem Quadrat:

Wir sehen, dass ein Quadratmeter zwölfmal in einem Raum enthalten ist. Das bedeutet, dass die Fläche des Raumes 12 Quadratmeter beträgt.

Fläche eines Rechtecks

Im vorherigen Beispiel haben wir die Fläche des Raums berechnet, indem wir nacheinander überprüft haben, wie oft er ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter enthält. Die Fläche betrug 12 Quadratmeter.

Der Raum war ein Rechteck. Die Fläche eines Rechtecks ​​kann durch Multiplikation seiner Länge und Breite berechnet werden.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen, müssen Sie dessen Länge und Breite multiplizieren.

Kehren wir zum vorherigen Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben die Länge des Raumes mit einem Maßband gemessen und es stellte sich heraus, dass die Länge 4 Meter betrug:

Jetzt messen wir die Breite. Lass es 3 Meter sein:

Multiplizieren Sie die Länge (4 m) mit der Breite (3 m).

4 × 3 = 12

Wie beim letzten Mal bekommen wir zwölf Quadratmeter. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass wir durch die Längenmessung herausfinden, wie oft ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter in diese Länge eingefügt werden kann. Passen wir vier Quadrate in diese Länge ein:

Dann bestimmen wir, wie oft diese Länge mit gestapelten Quadraten wiederholt werden kann. Das finden wir heraus, indem wir die Breite des Rechtecks ​​messen:

Quadratischer Bereich

Ein Quadrat ist dasselbe wie ein Rechteck, aber alle Seiten sind gleich. Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 3 cm „ein Quadrat mit einer Seite 3cm" bedeutet, dass alle Seiten 3 cm groß sind

Die Fläche eines Quadrats wird auf die gleiche Weise berechnet wie die Fläche eines Rechtecks ​​– die Länge wird mit der Breite multipliziert.

Berechnen Sie die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 3 cm. Multiplizieren Sie die Länge 3 cm mit der Breite 3 cm

In diesem Fall galt es herauszufinden, wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm im ursprünglichen Quadrat enthalten sind. Das ursprüngliche Quadrat enthält neun Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm. Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 cm tritt neunmal in das ursprüngliche Quadrat ein:

Durch Multiplikation der Länge mit der Breite erhalten wir den Ausdruck 3 × 3, und dieser ist das Produkt zweier identischer Faktoren, von denen jeder gleich 3 ist. Mit anderen Worten: Der Ausdruck 3 × 3 stellt die zweite Potenz der Zahl dar 3. Dies bedeutet, dass der Prozess der Berechnung der Fläche eines Quadrats als Potenz 3 2 geschrieben werden kann.

Daher heißt die zweite Potenz der Zahl Quadriere die Zahl. Bei der Berechnung der zweiten Potenz einer Zahl A, eine Person findet dadurch die Fläche eines Quadrats mit Seite A. Die Operation, eine Zahl in die zweite Potenz zu erhöhen, wird auch genannt quadrieren.

Bezeichnungen

Das Gebiet wird durch einen lateinischen Großbuchstaben gekennzeichnet S(Englisch) Quadrat- Quadrat). Dann die Fläche eines Quadrats mit Seite A cm werden nach folgender Regel berechnet

S = a 2

Wo A- Länge der Seite des Quadrats. Der zweite Grad gibt an, dass zwei identische Faktoren multipliziert werden, nämlich Länge und Breite. Früher wurde gesagt, dass alle Seiten eines Quadrats gleich sind, was bedeutet, dass Länge und Breite des Quadrats gleich sind, ausgedrückt durch den Buchstaben A .

Soll ermittelt werden, wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm im ursprünglichen Quadrat enthalten sind, so sind als Flächeneinheiten cm 2 anzugeben. Diese Bezeichnung ersetzt die Phrase "Quadratzentimeter" .

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 2 cm.

Das bedeutet, dass ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 2 cm eine Fläche von vier Quadratzentimetern hat:

Soll ermittelt werden, wie viele Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 m im ursprünglichen Quadrat enthalten sind, so ist als Maßeinheit m 2 anzugeben. Diese Bezeichnung ersetzt die Phrase "Quadratmeter" .

Berechnen Sie die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 3 Metern

Das bedeutet, dass ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 3 m eine Fläche von neun Quadratmetern hat:

Eine ähnliche Notation wird bei der Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​​​verwendet. Allerdings können Länge und Breite des Rechtecks ​​unterschiedlich sein, daher werden sie beispielsweise mit unterschiedlichen Buchstaben bezeichnet A Und B. Dann die Fläche eines Rechtecks ​​mit der Länge A und Breite B wird nach folgender Regel berechnet:

S = a × b

Wie bei einem Quadrat können die Maßeinheiten für die Fläche eines Rechtecks ​​​​cm 2, m 2, km 2 sein. Diese Bezeichnungen ersetzen Phrasen „Quadratzentimeter“, „Quadratmeter“, „Quadratkilometer“ jeweils.

Berechnen wir zum Beispiel die Fläche eines Rechtecks ​​mit einer Länge von 6 cm und einer Breite von 3 cm

Das bedeutet, dass ein Rechteck von 6 cm Länge und 3 cm Breite eine Fläche von achtzehn Quadratzentimetern hat:

Es ist erlaubt, die Phrase als Maßeinheit zu verwenden „quadratische Einheiten“ . Zum Beispiel aufzeichnen S = 3 Quadrateinheiten bedeutet, dass die Fläche eines Quadrats oder Rechtecks ​​drei Quadraten entspricht, von denen jedes eine Einheitsseite (1 cm, 1 m oder 1 km) hat.

Umrechnung von Flächeneinheiten

Flächeneinheiten können von einer Maßeinheit in eine andere umgerechnet werden. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1. Drücken Sie 1 Quadratmeter in Quadratzentimetern aus.

1 Quadratmeter ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 m. Das heißt, alle vier Seiten haben eine Länge von einem Meter.

Aber 1 m = 100 cm. Dann haben auch alle vier Seiten eine Länge von 100 cm

Berechnen wir die neue Fläche dieses Quadrats. Multiplizieren Sie die Länge von 100 cm mit der Breite von 100 cm oder quadrieren Sie die Zahl 100

S = 100 2 = 10.000 cm 2

Es stellt sich heraus, dass es auf einen Quadratmeter zehntausend Quadratzentimeter sind.

1 m2 = 10.000 cm2

Dadurch können Sie künftig eine beliebige Quadratmeterzahl mit 10.000 multiplizieren und erhalten die Fläche in Quadratzentimetern ausgedrückt.

Um Quadratmeter in Quadratzentimeter umzurechnen, müssen Sie die Quadratmeterzahl mit 10.000 multiplizieren.

Um Quadratzentimeter in Quadratmeter umzurechnen, müssen Sie hingegen die Anzahl der Quadratzentimeter durch 10.000 teilen.

Rechnen wir zum Beispiel 100.000 cm 2 in Quadratmeter um. In diesem Fall können Sie so argumentieren: „ Wenn 10.000 cm² Das ist ein Quadratmeter, dann wie oft 100.000 cm² wird beinhalten 10.000 cm 2 "

100.000 cm 2: 10.000 cm 2 = 10 m 2

Andere Maßeinheiten können auf die gleiche Weise umgerechnet werden. Rechnen wir zum Beispiel 2 km 2 in Quadratmeter um.

Ein Quadratkilometer ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1 km. Das heißt, alle vier Seiten haben eine Länge von einem Kilometer. Aber 1 km = 1000 m. Das bedeutet, dass alle vier Seiten des Quadrats ebenfalls gleich 1000 m sind. Lassen Sie uns die neue Fläche des Platzes ermitteln, ausgedrückt in Quadratmetern. Multiplizieren Sie dazu die Länge von 1000 m mit der Breite von 1000 m oder quadrieren Sie die Zahl 1000

S = 1000 2 = 1.000.000 m2

Es stellt sich heraus, dass auf einen Quadratkilometer eine Million Quadratmeter kommen:

1 km 2 = 1.000.000 m 2

Dadurch ist es künftig möglich, eine beliebige Anzahl von Quadratkilometern mit 1.000.000 zu multiplizieren und so die Fläche in Quadratmetern zu erhalten.

Um Quadratkilometer in Quadratmeter umzurechnen, müssen Sie die Anzahl der Quadratkilometer mit 1.000.000 multiplizieren.

Kehren wir also zu unserer Aufgabe zurück. Es war notwendig, 2 km 2 in Quadratmeter umzurechnen. Multiplizieren Sie 2 km 2 mit 1.000.000

2 km 2 × 1.000.000 = 2.000.000 m2

Und um Quadratmeter in Quadratkilometer umzurechnen, müssen Sie im Gegenteil die Quadratmeterzahl durch 1.000.000 dividieren.

Rechnen wir zum Beispiel 3.500.000 m2 in Quadratkilometer um. In diesem Fall können Sie so argumentieren: „ Wenn 1.000.000 m2 Das ist ein Quadratkilometer, dann wie oft 3.500.000 m2 wird beinhalten 1.000.000 m2"

3.500.000 m2: 1.000.000 m2 = 3,5 km2

Beispiel 2. Drücken Sie 7 m2 in Quadratzentimetern aus.

Multiplizieren Sie 7 m2 mit 10.000

7 m 2 = 7 m 2 × 10.000 = 70.000 cm 2

Beispiel 3. Drücken Sie 5 m 2 13 cm 2 in Quadratzentimetern aus.

5 m 2 13 cm 2 = 5 m 2 × 10.000 + 13 cm 2 = 50.013 cm 2

Beispiel 4. Express 550.000 cm 2 in Quadratmetern.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 550.000 cm 2 10.000 cm 2 enthalten. Teilen Sie dazu 550.000 cm 2 durch 10.000 cm 2

550.000 cm 2: 10.000 cm 2 = 55 m 2

Beispiel 5. Drücken Sie 7 km 2 in Quadratmetern aus.

Multiplizieren Sie 7 km 2 mit 1.000.000

7 km 2 × 1.000.000 = 7.000.000 m2

Beispiel 6. Drücken Sie 8.500.000 m2 in Quadratkilometern aus.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 8.500.000 m2 1.000.000 m2 enthalten. Teilen Sie dazu 8.500.000 m2 durch 1.000.000 m2

8.500.000 m2 × 1.000.000 m2 = 8,5 km2

Maßeinheiten für die Landfläche

Es ist praktisch, die Fläche kleiner Grundstücke in Quadratmetern zu messen.

Die Flächen größerer Grundstücke werden in Ar und Hektar gemessen.

Ar(abgekürzt: A) ist eine Fläche von einhundert Quadratmetern (100 m2). Aufgrund der häufigen Verteilung einer solchen Fläche (100 m2) wurde sie als separate Maßeinheit verwendet.

Wenn zum Beispiel gesagt wird, dass die Fläche eines Feldes 3 a beträgt, dann müssen Sie verstehen, dass es sich um drei Quadrate mit einer Fläche von jeweils 100 m2 handelt, das heißt:

3 a = 100 m 2 × 3 = 300 m 2

unter den Leuten ar rufe oft an hundert, da ap einem Quadrat mit einer Fläche von 100 m 2 entspricht. Beispiele:

100 Quadratmeter = 100 m 2

2 Acres = 200 m 2

10 Acres = 1000 m2

Hektar(abgekürzt: ha) ist eine Fläche von 10.000 m 2. Wenn beispielsweise gesagt wird, dass die Fläche eines Waldes 20 Hektar beträgt, dann müssen Sie verstehen, dass es sich um zwanzig Quadrate mit einer Fläche von jeweils 10.000 m2 handelt, das heißt:

20 ha = 10.000 m 2 × 20 = 200.000 m 2

Rechteckiges Parallelepiped und Würfel

Ein rechteckiges Parallelepiped ist eine geometrische Figur, die aus Flächen, Kanten und Eckpunkten besteht. Die Abbildung zeigt ein rechteckiges Parallelepiped:

Wird in Gelb angezeigt Kanten quaderförmig, schwarz - Rippen, Rot - Gipfel.

Ein rechteckiges Parallelepiped hat Länge, Breite und Höhe. Die Abbildung zeigt, wo Länge, Breite und Höhe liegen:

Ein Parallelepiped, dessen Länge, Breite und Höhe gleich sind, heißt. Die Abbildung zeigt einen Würfel:

Volumen einer geometrischen Figur

Volumen einer geometrischen Figur ist eine Zahl, die die Kapazität einer bestimmten Figur charakterisiert.

Das Volumen wird in Kubikeinheiten gemessen. Kubische Einheiten bedeuten Würfel mit einer Länge von 1, einer Breite von 1 und einer Höhe von 1. Beispielsweise 1 Kubikzentimeter oder 1 Kubikmeter.

Das Volumen einer Figur zu messen bedeutet herauszufinden, wie viele Kubikeinheiten in diese Figur passen.

Das Volumen des folgenden rechteckigen Parallelepipeds beträgt beispielsweise zwölf Kubikzentimeter:

Denn in dieses Parallelepiped passen zwölf Würfel von 1 cm Länge, 1 cm Breite und 1 cm Höhe:

Das Volumen wird durch einen lateinischen Großbuchstaben angegeben V. Eine der Einheiten zur Volumenmessung ist Kubikzentimeter (cm3). Dann die Lautstärke V Das von uns betrachtete Parallelepiped ist 12 cm 3 groß

V= 12 cm 3

Das Volumen eines beliebigen Parallelepipeds wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie seine Länge, Breite und Höhe.

Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus Länge, Breite und Höhe.

V=abc

Wo, A- Länge, B- Breite, C- Höhe

Im vorherigen Beispiel haben wir also visuell festgestellt, dass das Volumen des Parallelepipeds 12 cm 3 beträgt. Sie können jedoch die Länge, Breite und Höhe eines bestimmten Parallelepipeds messen und die Messergebnisse multiplizieren. Wir werden das gleiche Ergebnis erhalten

Das Volumen wird auf die gleiche Weise berechnet wie das Volumen rechteckiges Parallelepiped- Länge, Breite und Höhe multiplizieren.

Berechnen wir zum Beispiel das Volumen eines Würfels mit einer Länge von 3 cm. Länge, Breite und Höhe eines Würfels sind gleich. Wenn die Länge 3 cm beträgt, entsprechen Breite und Höhe des Würfels denselben drei Zentimetern:

Wir multiplizieren Länge, Breite und Höhe und erhalten ein Volumen von siebenundzwanzig Kubikzentimetern:

V= 3 × 3 × 3 = 27 cm³

Tatsächlich enthält der Originalwürfel 27 Würfel mit einer Länge von 1 cm

Bei der Berechnung des Volumens eines bestimmten Würfels haben wir Länge, Breite und Höhe multipliziert. Das Ergebnis ist das Produkt 3 × 3 × 3. Dies ist das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich 3 ist. Mit anderen Worten: Das Produkt 3 × 3 × 3 ist die dritte Potenz der Zahl 3 und kann geschrieben werden als 3 3.

V= 3 3 = 27 cm 3

Daher heißt die dritte Potenz einer Zahl Würfelzahlen. Bei der Berechnung der dritten Potenz einer Zahl A, eine Person findet dadurch das Volumen eines Würfels, die Länge A. Die Operation, eine Zahl in die dritte Potenz zu erhöhen, wird auch genannt gewürfelt.

Somit berechnet sich das Volumen eines Würfels nach folgender Regel:

V=a 3

Wo A- Würfellänge.

Kubikdezimeter. Kubikmeter

Nicht alle Objekte auf unserer Welt werden praktischerweise in Kubikzentimetern gemessen. Bequemer ist es beispielsweise, das Volumen eines Raumes oder Hauses in Kubikmetern (m3) zu messen. Und bequemer ist es, das Volumen eines Tanks, Aquariums oder Kühlschranks in Kubikdezimetern (dm 3) zu messen.

Ein anderer Name für einen Kubikdezimeter ist ein Liter.

1 dm 3 = 1 Liter

Umrechnung von Volumeneinheiten

Volumeneinheiten können von einer Maßeinheit in eine andere umgerechnet werden. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1. Drücken Sie 1 Kubikmeter in Kubikzentimeter aus.

Ein Kubikmeter ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 1 m. Länge, Breite und Höhe dieses Würfels entsprechen einem Meter.

Aber 1 m = 100 cm. Das bedeutet, dass Länge, Breite und Höhe ebenfalls 100 cm betragen

Berechnen wir das neue Volumen des Würfels, ausgedrückt in Kubikzentimetern. Multiplizieren Sie dazu Länge, Breite und Höhe. Oder würfeln wir die Zahl 100:

V = 100 3 = 1.000.000 cm 3

Es stellt sich heraus, dass es pro Kubikmeter eine Million Kubikzentimeter gibt:

1 m 3 = 1.000.000 cm 3

Dadurch können Sie in Zukunft eine beliebige Anzahl Kubikmeter mit 1.000.000 multiplizieren und erhalten das Volumen in Kubikzentimetern ausgedrückt.

Um Kubikmeter in Kubikzentimeter umzurechnen, müssen Sie die Anzahl der Kubikmeter mit 1.000.000 multiplizieren.

Und um Kubikzentimeter in Kubikmeter umzurechnen, müssen Sie im Gegenteil die Anzahl der Kubikzentimeter durch 1.000.000 dividieren.

Rechnen wir zum Beispiel 300.000.000 cm 3 in Kubikmeter um. In diesem Fall können Sie so argumentieren: „ Wenn 1.000.000 cm 3 Das ist ein Kubikmeter, dann wie oft 300.000.000 cm3 wird beinhalten 1.000.000 cm 3 "

300.000.000 cm 3: 1.000.000 cm 3 = 300 m 3

Beispiel 2. Drücken Sie 3 m 3 in Kubikzentimetern aus.

Multiplizieren Sie 3 m 3 mit 1.000.000

3 m 3 × 1.000.000 = 3.000.000 cm 3

Beispiel 3. Express 60.000.000 cm 3 in Kubikmetern.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 60.000.000 cm 3 1.000.000 cm 3 enthalten. Teilen Sie dazu 60.000.000 cm 3 durch 1.000.000 cm 3

60.000.000 cm 3: 1.000.000 cm 3 = 60 m 3

Das Fassungsvermögen eines Tanks, einer Dose oder eines Kanisters wird in Litern gemessen. Ein Liter ist auch eine Volumeneinheit. Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter.

1 Liter = 1 dm 3

Wenn beispielsweise das Fassungsvermögen eines Glases 1 Liter beträgt, bedeutet dies, dass das Volumen dieses Glases 1 dm 3 beträgt. Bei der Lösung einiger Probleme kann es nützlich sein, Liter in Kubikdezimeter umrechnen zu können und umgekehrt. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Konvertieren Sie 5 Liter in Kubikdezimeter.

Um 5 Liter in Kubikdezimeter umzurechnen, multiplizieren Sie einfach 5 mit 1

5 l × 1 = 5 dm 3

Beispiel 2. Rechne 6000 Liter in Kubikmeter um.

Sechstausend Liter sind sechstausend Kubikdezimeter:

6000 l × 1 = 6000 dm 3

Nun rechnen wir diese 6000 dm 3 in Kubikmeter um.

Die Länge, Breite und Höhe eines Kubikmeters entsprechen 10 dm

Wenn wir das Volumen dieses Würfels in Dezimetern berechnen, erhalten wir 1000 dm 3

V= 10 3 = 1000 dm 3

Es stellt sich heraus, dass tausend Kubikdezimeter einem Kubikmeter entsprechen. Und um zu bestimmen, wie viele Kubikmeter sechstausend ml Kubikdezimeter entsprechen, müssen Sie herausfinden, wie oft 6.000 dm 3 1.000 dm 3 enthalten

6.000 dm 3 : 1.000 dm 3 = 6 m 3

Das bedeutet 6000 l = 6 m3.

Tabelle der Quadrate

Im Leben muss man oft die Fläche verschiedener Quadrate ermitteln. Dazu müssen Sie jedes Mal die ursprüngliche Zahl auf die zweite Potenz erhöhen.

Die Quadrate der ersten 99 natürlichen Zahlen wurden bereits berechnet und in eine spezielle Tabelle namens eingetragen Tabelle der Quadrate.

Die erste Zeile dieser Tabelle (Zahlen von 0 bis 9) ist die ursprüngliche Zahl und die erste Spalte (Zahlen von 1 bis 9) ist die ursprüngliche Zahl.

Lassen Sie uns beispielsweise mithilfe dieser Tabelle das Quadrat der Zahl 24 ermitteln. Die Zahl 24 besteht aus den Ziffern 2 und 4. Genauer gesagt besteht die Zahl 24 aus zwei Zehnern und vier Einern.

Wir wählen also die Zahl 2 in der ersten Spalte der Tabelle (Zehnerspalte) und die Zahl 4 in der ersten Zeile (Einerzeile) aus. Wenn wir uns dann von Nummer 2 nach rechts und von Nummer 4 nach unten bewegen, finden wir den Schnittpunkt. Als Ergebnis befinden wir uns in der Position, in der sich die Zahl 576 befindet. Das bedeutet, dass das Quadrat der Zahl 24 die Zahl 576 ist

24 2 = 576

Würfeltisch

Wie bei Quadraten sind auch hier die Kuben der ersten 99 natürlichen Zahlen bereits berechnet und in eine Tabelle mit dem Namen eingetragen Tisch mit Würfeln.

Berechnen Sie das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds mit einer Länge von 6 cm, einer Breite von 4 cm und einer Höhe von 3 cm. Aufgabe 7. Die mit Weizen und Flachs bepflanzten Flächen sind proportional zu den Zahlen 4 und 5. Auf welcher Fläche befindet sich Weizen? gesät, wenn 15 Hektar unter Flachs gesät werden?

Lösung

Die Zahl 4 gibt die mit Weizen gesäte Fläche wieder. Und die Zahl 5 spiegelt die mit Flachs gesäte Fläche wider.
Es wird gesagt, dass die mit Weizen und Flachs gesäten Flächen proportional zu diesen Zahlen sind.

Einfach ausgedrückt, um wie oft ändern sich die Zahlen 4 oder 5, um wie oft ändert sich die mit Weizen oder Flachs besäte Fläche. 15 Hektar sind mit Flachs bepflanzt. Das heißt, die Zahl 5, die die mit Flachs gesäte Fläche angibt, hat sich dreimal geändert.

Dann muss die Zahl 4, die die mit Weizen gesäte Fläche widerspiegelt, verdreifacht werden

4 × 3 = 12 Hektar

Antwort: 12 Hektar sind mit Weizen besät.

Aufgabe 8. Die Länge des Getreidespeichers beträgt 42 m, die Breite entspricht der Länge und die Höhe beträgt das 0,1-fache der Länge. Bestimmen Sie, wie viele Tonnen Getreide der Getreidespeicher aufnehmen kann, wenn 1 m3 740 kg wiegt.

Lösung

Bestimmen wir, wie viele Liter pro Minute durch das zweite Rohr fließen:

25 l/min × 0,75 = 18,75 l/min

Lassen Sie uns ermitteln, wie viele Liter pro Minute durch beide Rohre in den Pool fließen:

25 l/min + 18,75 l/min = 43,75 l/min

Lassen Sie uns bestimmen, wie viele Liter Wasser in 13 Stunden und 32 Minuten in den Pool gegossen werden

43,75 × 13 Std. 32 Min. = 43,75 × 812 Min. = 35.525 l

1 l = 1 dm 3

35.525 l = 35.525 dm 3

Lassen Sie uns Kubikdezimeter in Kubikmeter umrechnen. Dadurch können Sie das Volumen des Pools berechnen:

35.525 dm 3: 1000 dm 3 = 35,525 m 3

Wenn Sie das Volumen des Beckens kennen, können Sie die Höhe des Beckens berechnen. Setzen wir es in die wörtliche Gleichung ein V=abc die Werte, die wir haben. Dann erhalten wir:

V = 35,525
A = 5.8
B = 3.5
C= X

35,525 = 5,8 × 3,5 × X
35,525 = 20,3 × X
X= 1,75 m

c = 1,75

Antwort: Die Höhe (Tiefe) des Beckens beträgt 1,75 m.

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Der Umfang einer zweidimensionalen Figur ist die Gesamtlänge ihres Randes, gleich der Summe der Längen der Seiten der Figur. Ein Quadrat ist eine Figur mit vier gleich langen Seiten, die sich in einem Winkel von 90° schneiden. Da alle Seiten eines Quadrats gleich lang sind, ist es sehr einfach, seinen Umfang zu berechnen. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Umfang eines Quadrats ausgehend von einer bestimmten Seite, einer bestimmten Fläche und einem bestimmten Radius eines Kreises berechnen, der das Quadrat umschreibt.

Der Umfang ist ein numerischer Indikator, der mithilfe der Formel 4x ermittelt wird, wobei x die Länge der Seite der geometrischen Figur und 4 die Anzahl der Seiten der Figur ist. Betrachten wir mehrere Methoden für diese Berechnung.

Methode 1: Berechnen Sie den Umfang auf einer bestimmten Seite

Wenn die Abmessungen der Fläche bekannt sind, kann aus einem gegebenen Wert der Umfang des Quadrats ermittelt werden. Dazu müssen Sie die Quadratwurzel ziehen, also die Länge der Seite ermitteln und den Endwert mithilfe der angegebenen Formel berechnen. Wenn Sie den Umfang eines Quadrats entlang einer diagonalen Linie ermitteln müssen, müssen Sie die Pythagoras-Tabelle verwenden.

Eine geometrische Figur wird durch eine Diagonale in gleichschenklige Dreiecke mit rechten Winkeln unterteilt. Wenn die Diagonale bekannt ist, muss der Wert der Seiten der geometrischen Figur mit der Formel berechnet werden, bei der das Quadrat von z (Diagonale) gleich dem Doppelten ist das Quadrat der Seite u. Als Ergebnis erhalten wir den folgenden Wert: u ist gleich der Quadratwurzel, die aus dem halben Quadrat der Hypotenuse gezogen wurde. Als nächstes sollten Sie den Endwert mit dem Vierfachen multiplizieren und so den Umfang der geometrischen Figur, also eines Quadrats, erhalten.

Methode 2: Berechnung des Umfangs für eine bestimmte Fläche

Formel zur Berechnung der Fläche eines Quadrats. Die Fläche eines Rechtecks ​​(und ein Quadrat ist ein Sonderfall eines Rechtecks) ist gleich dem Produkt aus seiner Länge und seiner Breite. Da Länge und Breite des Quadrats gleich sind, wird seine Fläche nach der Formel A = s*s = s2 berechnet, wobei s die Länge der Seite des Quadrats ist.

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Fläche, um die Seite des Quadrats zu ermitteln. Verwenden Sie dazu in den meisten Fällen einen Taschenrechner (geben Sie den Flächenwert ein und drücken Sie die Taste „√“). Sie können die Quadratwurzel auch von Hand berechnen.

Wenn die Fläche eines Quadrats 20 beträgt, dann ist seine Seite: s = √20 = 4,472.

Wenn die Fläche des Quadrats 25 beträgt, dann ist s = √25 = 5.

Multiplizieren Sie die gefundene Seite mit 4, um den Umfang zu ermitteln. Setzen Sie den berechneten Seitenwert in die Formel ein, um den Umfang zu ermitteln: P = 4s. Sie finden den Umfang des Quadrats.

In unserem ersten Beispiel: P = 4 * 4,472 = 17,888.

Der Umfang eines Quadrats mit einer Fläche von 25 und einer Seitenlänge von 5 beträgt P = 4 * 5 = 20.

3. Methode: Berechnung des Umfangs anhand des gegebenen Radius eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises

Ein beschriftetes Quadrat ist ein Quadrat, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen.

Die Beziehung zwischen dem Radius eines Kreises und der Seitenlänge eines Quadrats. Der Abstand vom Mittelpunkt des umschriebenen Kreises bis zum Scheitelpunkt des darin eingeschriebenen Quadrats ist gleich dem Radius des Kreises. Um die Seitenlänge eines Quadrats zu ermitteln, müssen Sie das Quadrat diagonal in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. Jedes dieser Dreiecke hat gleiche Seiten a und b und eine gemeinsame Hypotenuse c, die dem Doppelten des Zirkumradius (2r) entspricht.

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Seite eines Quadrats zu ermitteln. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Schenkeln a und b und der Hypotenuse c gilt: a2 + b2 = c2. Da in unserem Fall a = b (denken Sie daran, dass wir ein Quadrat betrachten!) und wir wissen, dass c = 2r, können wir diese Gleichung umschreiben und vereinfachen:

a2 + a2 = (2r)2″‘; Vereinfachen wir nun diese Gleichung:

2a2 = 4(r)2; Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 2:

(a2) = 2(r)2; Ziehen wir nun die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung:

a = √(2r). Somit ist s = √(2r).

Multiplizieren Sie die gefundene Seite des Quadrats mit 4, um seinen Umfang zu ermitteln. In diesem Fall ist der Umfang des Quadrats: P = 4√(2r). Diese Formel kann wie folgt umgeschrieben werden: P = 4√2 * 4√r = 5,657r, wobei r der Radius des umschriebenen Kreises ist.

Beispiel. Betrachten Sie ein Quadrat, das in einen Kreis mit dem Radius 10 eingeschrieben ist. Das bedeutet, dass die Diagonale des Quadrats 2 * 10 = 20 beträgt. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir: 2(a2) = 202, also 2a2 = 400. Teilen Sie nun beiden Seiten der Gleichung durch 2 und wir erhalten: a2 = 200. Nun ziehen wir die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung und erhalten: a = 14,142. Multiplizieren wir diesen Wert mit 4 und berechnen wir den Umfang des Quadrats: P = 56,57.

Beachten Sie, dass Sie das gleiche Ergebnis erhalten könnten, indem Sie einfach den Radius (10) mit 5,657 multiplizieren: 10 * 5,567 = 56,57; Diese Methode ist jedoch schwer zu merken, daher ist es besser, den oben beschriebenen Berechnungsprozess zu verwenden.

Den Umfang eines Quadrats zu berechnen ist eine wichtige Fähigkeit. Und es geht nicht nur um Schulaufgaben. Denn mit Hilfe einfacher mathematischer Operationen lässt sich die Menge des benötigten Baumaterials ganz einfach berechnen. Zum Beispiel, um einen Zaun um den Umfang einer quadratischen Fläche anzubringen oder eine Tapete in einem quadratischen Raum zu installieren.

Um den Umfang eines Quadrats zu ermitteln, müssen Sie den Wert einer der Seiten, die Fläche oder den Radius des umschriebenen Kreises kennen. Betrachten wir diese Methoden genauer.

So ermitteln Sie den Umfang eines Quadrats bei gegebener Seite des Quadrats

• Der Umfang einer Figur ist die Summe aller ihrer Seiten. Da ein Quadrat nur vier Seiten hat, beträgt sein Umfang:
  P = a + b + c + d,
  wobei P der Umfang ist,
  a, b, c, d - Seiten.
• Da wir wissen, dass alle Seiten eines Quadrats gleich sind, vereinfachen wir die Formel:
  P = 4a,
  wobei a eine der Seiten ist,
  4 ist die Summe der Seiten.
• Beispiellösung: Wenn die Seite 7 ist, dann
  P = 4*7 = 28.

So ermitteln Sie den Umfang eines Quadrats anhand der Fläche des Quadrats

• Die Fläche des Quadrats wird nach folgender Formel berechnet:
  S = a*a = a²,
  wobei S die Fläche ist,
  a - jede Seite.
• Schreiben wir die Formel um:
  a² = S,
  a = √S.
  Beispiellösung: Wenn die Fläche 121 beträgt, dann
  a = √121 = 11.
• Wenn wir die Seite des Quadrats kennen, können wir den Umfang ermitteln:
  P = 4*a.
• Beispiellösung: P = 4*11 = 44.

So ermitteln Sie den Umfang eines Quadrats anhand des Radius des umschriebenen Kreises

Angenommen, wir erhalten ein Quadrat und kennen den Radius des Kreises, der es auf allen Seiten beschreibt. Wenn wir eine Diagonale zwischen den gegenüberliegenden Ecken des Quadrats zeichnen, erhalten wir 2 Dreiecke mit rechten Winkeln. In diesem Fall wäre es eine Sünde, den Satz des Pythagoras nicht anzuwenden, der besagt: „Die Summe der Quadrate der Längen der Beine ist gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.“

Was wissen wir sonst noch:

• Die Seiten b und c der beiden Dreiecke sind gleich, da es sich um die Seiten eines Quadrats handelt. Sie sind auch Beine.
• Dreiecke haben eine gemeinsame Hypotenuse a, die auch dem Durchmesser des Kreises entspricht.
• Der Durchmesser entspricht zwei Radien (2r).

Beginnen wir mit der Suche nach dem Umfang:

• Nach dem Satz des Pythagoras:
  b² + c² = a²,
  wobei b und c die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind,
  a ist die Hypotenuse.
• Da wir wissen, dass a (Hypotenuse) = 2r und b = c, vereinfachen wir die Formel:
  ² + ² = (2r)²,
  2в² = 4(r)², um 2 reduzieren:
  in² = 2(r)²,
  в = √2r, wo
  c ist die Seite des Quadrats.
• Da der Umfang eines Quadrats gleich der Summe der Seiten ist, ändern wir die Formel:
  Р = 4√2r,
  wobei P der gewünschte Umfang ist,
  4 - Seitensumme,
  √2r - Seitenlänge.
• Vereinfachen wir die Formel:
  Р = 4√2 * 4√r,
  P = 5,657r,
  wobei P der gewünschte Umfang ist,
  r ist der Radius des Kreises.

Beispiellösung:

Wenn der Radius des Kreises 20 beträgt:

P = 5,657*20 = 113,14.

Die Zahlen sind schnell vergessen, aber das Problem lässt sich immer mit dem Satz des Pythagoras lösen:

in² + in² = (2*20)²,
2² = 40²,
2² = 1600, dividiere durch 2:
in² = 800,
in = √800,
in = 28,28,
wo drin ist eine Seite.
Also,
P = 4*28,29,
P = 113,14.

Es gibt viele Möglichkeiten, den Umfang eines Quadrats zu ermitteln, aber alle laufen darauf hinaus, dass der Umfang gleich der Summe aller Seiten ist.