So geben Sie gültige Variablenwerte an. Grundlegendes Konzept. Warum es wichtig ist, DPD zu berücksichtigen, wenn Veränderungen vorangetrieben werden

Bei der Lösung verschiedener Probleme müssen wir sehr oft identische Transformationen von Ausdrücken durchführen. Es kommt jedoch vor, dass in einigen Fällen eine Transformation akzeptabel ist, in anderen jedoch nicht. Wesentliche Hilfestellung bei der Überwachung der Zulässigkeit laufender Umwandlungen leistet das ODZ. Schauen wir uns das genauer an.

Der Kern des Ansatzes ist wie folgt: Die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck wird mit der ODZ der Variablen für den Ausdruck verglichen, die als Ergebnis identischer Transformationen erhalten wurde, und basierend auf den Vergleichsergebnissen werden entsprechende Schlussfolgerungen gezogen.

Im Allgemeinen können Identitätstransformationen

• DL nicht beeinflussen;
• zur Erweiterung der ODZ führen;
• zu einer Verengung der ODZ führen.

Lassen Sie uns jeden Fall anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Betrachten Sie den Ausdruck x 2 +x+3·x, die ODZ der Variablen x für diesen Ausdruck ist die Menge R. Lassen Sie uns nun die folgende identische Transformation mit diesem Ausdruck durchführen – wir stellen ähnliche Begriffe dar, als Ergebnis wird er die Form x 2 +4·x annehmen. Offensichtlich ist die Variable x dieses Ausdrucks auch eine Menge R. Somit hat die durchgeführte Transformation die DZ nicht verändert.

Lass uns weitermachen. Nehmen wir den Ausdruck x+3/x−3/x. In diesem Fall wird die ODZ durch die Bedingung x≠0 bestimmt, die der Menge (−∞, 0)∪(0, +∞) entspricht. Auch dieser Ausdruck enthält ähnliche Terme, nach deren Reduktion wir zum Ausdruck x gelangen, für den die ODZ R ist. Was wir sehen: Durch die Transformation wurde die ODZ erweitert (die Zahl Null wurde zur ODZ der Variablen x für den ursprünglichen Ausdruck hinzugefügt).

Es bleibt ein Beispiel für die Einengung des Bereichs akzeptabler Werte nach Transformationen zu betrachten. Nehmen wir den Ausdruck . Die ODZ der Variablen x wird durch die Ungleichung (x−1)·(x−3)≥0 bestimmt, für deren Lösung ist sie beispielsweise geeignet, als Ergebnis haben wir (−∞, 1]∪∪; editiert von S. A. Telyakovsky. - 17. Auflage - M.: Education, 2008. - 240 Seiten: Abb. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Jeder Ausdruck mit einer Variablen verfügt dort, wo er vorhanden ist, über einen eigenen Bereich gültiger Werte. ODZ muss bei Entscheidungen stets berücksichtigt werden. Fehlt es, erhalten Sie möglicherweise ein falsches Ergebnis.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie ODZ richtig finden und Beispiele verwenden. Auch die Bedeutung der Angabe der DZ bei der Entscheidungsfindung wird thematisiert.

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Gültige und ungültige Variablenwerte

Diese Definition bezieht sich auf die zulässigen Werte der Variablen. Wenn wir die Definition einführen, wollen wir sehen, zu welchem ​​Ergebnis sie führen wird.

Ab der 7. Klasse beginnen wir mit Zahlen und numerischen Ausdrücken zu arbeiten. Bei den anfänglichen Definitionen mit Variablen geht es um die Bedeutung von Ausdrücken mit ausgewählten Variablen.

Wenn Ausdrücke mit ausgewählten Variablen vorhanden sind, erfüllen einige davon möglicherweise nicht die Anforderungen. Zum Beispiel ein Ausdruck der Form 1: a, wenn a = 0, dann macht es keinen Sinn, da eine Division durch Null unmöglich ist. Das heißt, der Ausdruck muss Werte haben, die in jedem Fall geeignet sind und eine Antwort geben. Mit anderen Worten: Sie machen mit den vorhandenen Variablen Sinn.

Definition 1

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht er nur dann Sinn, wenn der Wert durch deren Ersetzung berechnet werden kann.

Definition 2

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht es keinen Sinn, wenn beim Ersetzen der Variablen der Wert nicht berechnet werden kann.

Das heißt, dies impliziert eine vollständige Definition

Definition 3

Vorhandene zulässige Variablen sind diejenigen Werte, für die der Ausdruck sinnvoll ist. Und wenn es keinen Sinn ergibt, gelten sie als inakzeptabel.

Um das Obige zu verdeutlichen: Wenn mehr als eine Variable vorhanden ist, kann es ein Paar geeigneter Werte geben.

Beispiel 1

Betrachten Sie beispielsweise einen Ausdruck der Form 1 x - y + z, bei dem es drei Variablen gibt. Andernfalls können Sie es als x = 0, y = 1, z = 2 schreiben, während ein anderer Eintrag die Form (0, 1, 2) hat. Diese Werte werden als gültig bezeichnet, was bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks gefunden werden kann. Wir erhalten 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Daraus sehen wir, dass (1, 1, 2) inakzeptabel sind. Die Substitution führt zu einer Division durch Null, also 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Was ist ODZ?

Der Bereich akzeptabler Werte ist ein wichtiges Element bei der Bewertung algebraischer Ausdrücke. Daher lohnt es sich, bei Berechnungen darauf zu achten.

Definition 4

ODZ-Bereich ist die Menge der für einen bestimmten Ausdruck zulässigen Werte.

Schauen wir uns einen Beispielausdruck an.

Beispiel 2

Wenn wir einen Ausdruck der Form 5 z - 3 haben, dann hat die ODZ die Form (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Dies ist der Bereich gültiger Werte, der die Variable z für einen bestimmten Ausdruck erfüllt.

Wenn es Ausdrücke der Form z x - y gibt, dann ist klar, dass x ≠ y, z nimmt einen beliebigen Wert an. Dies nennt man ODZ-Ausdrücke. Dies muss berücksichtigt werden, um beim Ersetzen keine Division durch Null zu erhalten.

Der zulässige Wertebereich und der Definitionsbereich haben die gleiche Bedeutung. Nur der zweite von ihnen wird für Ausdrücke verwendet, und der erste wird für Gleichungen oder Ungleichungen verwendet. Mit Hilfe von DL ergibt der Ausdruck bzw. die Ungleichung einen Sinn. Der Definitionsbereich der Funktion fällt mit dem Bereich zulässiger Werte der Variablen x für den Ausdruck f (x) zusammen.

Wie finde ich ODZ? Beispiele, Lösungen

Das Finden der ODZ bedeutet, alle gültigen Werte zu finden, die zu einer bestimmten Funktion oder Ungleichung passen. Die Nichterfüllung dieser Bedingungen kann zu falschen Ergebnissen führen. Um die ODZ zu finden, ist es oft notwendig, Transformationen in einem bestimmten Ausdruck durchzuführen.

Es gibt Ausdrücke, bei denen ihre Berechnung unmöglich ist:

• wenn es eine Division durch Null gibt;
• Ziehen der Wurzel einer negativen Zahl;
• das Vorhandensein eines negativen Integer-Indikators – nur für positive Zahlen;
• Berechnen des Logarithmus einer negativen Zahl;
• Definitionsbereich des Tangens π 2 + π · k, k ∈ Z und des Kotangens π · k, k ∈ Z;
• Ermitteln des Werts von Arkussinus und Arkuskosinus einer Zahl für einen Wert, der nicht zu [-1; 1 ] .

All dies zeigt, wie wichtig es ist, ODZ zu haben.

Beispiel 3

Finden Sie den ODZ-Ausdruck x 3 + 2 x y − 4 .

Lösung

Jede Zahl kann gewürfelt werden. Dieser Ausdruck hat keinen Bruch, daher können die Werte von x und y beliebig sein. Das heißt, ODZ ist eine beliebige Zahl.

Antwort: x und y – beliebige Werte.

Beispiel 4

Finden Sie die ODZ des Ausdrucks 1 3 - x + 1 0.

Lösung

Es ist ersichtlich, dass es einen Bruch gibt, dessen Nenner Null ist. Das bedeutet, dass wir für jeden Wert von x eine Division durch Null erhalten. Dies bedeutet, dass wir den Schluss ziehen können, dass dieser Ausdruck als undefiniert gilt, das heißt, er hat keine zusätzliche Haftung.

Antwort: ∅ .

Beispiel 5

Finden Sie die ODZ des gegebenen Ausdrucks x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Lösung

Das Vorhandensein einer Quadratwurzel bedeutet, dass dieser Ausdruck größer oder gleich Null sein muss. Wenn es negativ ist, hat es keine Bedeutung. Dies bedeutet, dass es notwendig ist, eine Ungleichung der Form x + 2 · y + 3 ≥ 0 zu schreiben. Das heißt, dies ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte.

Antwort: Menge von x und y, wobei x + 2 y + 3 ≥ 0.

Beispiel 6

Bestimmen Sie den ODZ-Ausdruck der Form 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Lösung

Aufgrund der Bedingung haben wir einen Bruch, daher sollte sein Nenner nicht gleich Null sein. Wir erhalten, dass x + 1 - 1 ≠ 0. Der Wurzelausdruck ist immer dann sinnvoll, wenn er größer oder gleich Null ist, also x + 1 ≥ 0. Da es einen Logarithmus hat, muss sein Ausdruck streng positiv sein, d. h. x 2 + 3 > 0. Die Basis des Logarithmus muss ebenfalls einen positiven Wert haben und von 1 verschieden sein, dann fügen wir die Bedingungen x + 8 > 0 und x + 8 ≠ 1 hinzu. Daraus folgt, dass die gewünschte ODZ die Form annimmt:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Mit anderen Worten spricht man von einem System von Ungleichungen mit einer Variablen. Die Lösung führt zur folgenden ODZ-Notation [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Antwort: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Warum ist es wichtig, DPD zu berücksichtigen, wenn Veränderungen vorangetrieben werden?

Bei Identitätstransformationen ist es wichtig, die ODZ zu finden. Es gibt Fälle, in denen die Existenz einer ODZ nicht vorliegt. Um zu verstehen, ob ein gegebener Ausdruck eine Lösung hat, müssen Sie die VA der Variablen des ursprünglichen Ausdrucks und die VA des resultierenden Ausdrucks vergleichen.

Identitätstransformationen:

• hat möglicherweise keinen Einfluss auf DL;
• kann zur Erweiterung oder Hinzufügung von DZ führen;
• kann die DZ eingrenzen.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 7

Wenn wir einen Ausdruck der Form x 2 + x + 3 · x haben, dann ist seine ODZ über den gesamten Definitionsbereich definiert. Auch wenn ähnliche Begriffe herangezogen und der Ausdruck vereinfacht wird, ändert sich an der ODZ nichts.

Beispiel 8

Nehmen wir das Beispiel des Ausdrucks x + 3 x − 3 x, dann liegen die Dinge anders. Wir haben einen Bruchausdruck. Und wir wissen, dass eine Division durch Null nicht akzeptabel ist. Dann hat die ODZ die Form (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Es ist ersichtlich, dass Null keine Lösung ist, also fügen wir sie mit einer Klammer hinzu.

Betrachten wir ein Beispiel mit dem Vorhandensein eines radikalen Ausdrucks.

Beispiel 9

Wenn es x - 1 · x - 3 gibt, dann sollten Sie auf die ODZ achten, da diese als Ungleichung (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 geschrieben werden muss. Es ist möglich, mit der Intervallmethode zu lösen, dann stellen wir fest, dass die ODZ die Form (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) annimmt. Nach der Transformation von x - 1 · x - 3 und der Anwendung der Wurzeleigenschaft haben wir, dass die ODZ ergänzt werden kann und alles in Form eines Ungleichungssystems der Form x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ geschrieben werden kann 0. Bei der Lösung stellen wir fest, dass [ 3 , + ∞) . Das bedeutet, dass die ODZ vollständig wie folgt geschrieben wird: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformationen, die die DZ einengen, müssen vermieden werden.

Beispiel 10

Betrachten wir ein Beispiel für den Ausdruck x - 1 · x - 3, wenn x = - 1. Beim Ersetzen erhalten wir Folgendes: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Wenn wir diesen Ausdruck transformieren und in die Form x - 1 · x - 3 bringen, dann stellen wir bei der Berechnung fest, dass 2 - 1 · 2 - 3 der Ausdruck keinen Sinn ergibt, da der Wurzelausdruck nicht negativ sein sollte.

Es ist notwendig, identische Transformationen einzuhalten, damit sich die ODZ nicht ändert.

Wenn es Beispiele gibt, die dies erweitern, sollte es dem DL hinzugefügt werden.

Beispiel 11

Schauen wir uns das Beispiel eines Bruchs der Form x x 3 + x an. Wenn wir um x kürzen, erhalten wir 1 x 2 + 1. Dann erweitert sich die ODZ und wird zu (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Außerdem arbeiten wir beim Rechnen bereits mit dem zweiten vereinfachten Bruch.

Bei Logarithmen ist die Situation etwas anders.

Beispiel 12

Wenn es einen Ausdruck der Form ln x + ln (x + 3) gibt, wird er basierend auf der Eigenschaft des Logarithmus durch ln (x · (x + 3)) ersetzt. Daraus können wir erkennen, dass die ODZ von (0 , + ∞) bis (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) ist. Um die ODZ ln (x · (x + 3)) zu bestimmen, müssen daher Berechnungen für die ODZ, also die Menge (0, + ∞), durchgeführt werden.

Beim Lösen muss immer auf die Struktur und Art des durch die Bedingung gegebenen Ausdrucks geachtet werden. Wenn der Definitionsbereich korrekt gefunden wird, ist das Ergebnis positiv.

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48. Arten algebraischer Ausdrücke.

Algebraische Ausdrücke werden aus Zahlen und Variablen unter Verwendung der Vorzeichen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung, Wurzelziehen und Klammern konstruiert.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

Wenn ein algebraischer Ausdruck keine Division in Variablen und keine Extraktion von Wurzeln aus Variablen enthält (insbesondere Potenzierung mit einem gebrochenen Exponenten), wird er als ganze Zahl bezeichnet. Von den oben geschriebenen Ausdrücken sind die Ausdrücke 1, 2 und 6 ganze Zahlen.

Wenn ein algebraischer Ausdruck aus Zahlen und Variablen unter Verwendung der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten und Division zusammengesetzt ist und eine Division in Ausdrücke mit Variablen verwendet wird, wird er als Bruch bezeichnet. Von den oben geschriebenen Ausdrücken sind also die Ausdrücke 3 und 4 gebrochen.

Ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke werden als rationale Ausdrücke bezeichnet. Von den oben beschriebenen rationalen Ausdrücken sind also die Ausdrücke 1, 2, 3, 4 und 6.

Wenn ein algebraischer Ausdruck darin besteht, die Wurzel von Variablen zu ziehen (oder Variablen auf eine gebrochene Potenz zu erhöhen), dann wird ein solcher algebraischer Ausdruck als irrational bezeichnet. Daher sind von den oben geschriebenen Ausdrücken 5 und 7 irrational.

Algebraische Ausdrücke können also rational und irrational sein. Rationale Ausdrücke wiederum werden in ganze Zahlen und Brüche unterteilt.

49. Gültige Werte von Variablen. Der Definitionsbereich eines algebraischen Ausdrucks.

Die Werte der Variablen, für die der algebraische Ausdruck Sinn ergibt, nennt man zulässige Werte der Variablen. Die Menge aller zulässigen Werte von Variablen wird als Definitionsbereich eines algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Der gesamte Ausdruck ist für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll. Für beliebige Werte der Variablen sind also die gesamten Ausdrücke 1, 2, 6 aus Absatz 48 sinnvoll.

Bruchausdrücke machen keinen Sinn für die Werte der Variablen, die den Nenner zu Null machen. Daher ist der Bruchausdruck 3 aus Absatz 48 für alle o, außer , sinnvoll, und der Bruchausdruck 4 ist für alle a, b, c, außer den Werten von a, sinnvoll

Der irrationale Ausdruck macht keinen Sinn für die Werte der Variablen, die den Ausdruck, der unter dem Vorzeichen der Wurzel einer geraden Potenz oder unter dem Vorzeichen der Potenzierung in eine gebrochene Potenz steht, in eine negative Zahl umwandeln. Somit ist der irrationale Ausdruck 5 nur für diejenigen a, b sinnvoll, für die und der irrationale Ausdruck 7 nur für und sinnvoll ist (siehe Absatz 48).

Wenn in einem algebraischen Ausdruck den Variablen gültige Werte zugewiesen werden, erhält man einen numerischen Ausdruck; sein Wert wird als Wert des algebraischen Ausdrucks für die ausgewählten Werte der Variablen bezeichnet.

Beispiel. Finden Sie den Wert des Ausdrucks when

Lösung. Wir haben

50. Das Konzept der identischen Transformation eines Ausdrucks. Identität.

Betrachten wir zwei Ausdrücke. Wenn wir haben. Die Zahlen 0 und 3 werden als ihre jeweiligen Werte bezeichnet. Ausdrücke für Lassen Sie uns die entsprechenden Werte derselben Ausdrücke für finden

Die entsprechenden Werte zweier Ausdrücke können einander gleich sein (z. B. im betrachteten Beispiel ist Gleichheit wahr) oder sie können sich voneinander unterscheiden (z. B. im betrachteten Beispiel).

Diese Lektion behandelt das Konzept eines algebraischen Bruchs. Brüche begegnen Menschen in den einfachsten Lebenssituationen: wenn es darum geht, einen Gegenstand in mehrere Teile zu teilen, beispielsweise um einen Kuchen gleichmäßig auf zehn Personen aufzuteilen. Natürlich bekommt jeder ein Stück vom Kuchen. In diesem Fall haben wir es mit dem Konzept eines numerischen Bruchs zu tun, aber es ist auch eine Situation möglich, in der ein Objekt in eine unbekannte Anzahl von Teilen geteilt wird, beispielsweise durch x. In diesem Fall entsteht das Konzept eines gebrochenen Ausdrucks. Ganze Ausdrücke (ohne Aufteilung in Ausdrücke mit Variablen) und deren Eigenschaften haben Sie bereits in der 7. Klasse kennengelernt. Als nächstes betrachten wir das Konzept eines rationalen Bruchs sowie akzeptable Werte von Variablen.

Rationale Ausdrücke werden unterteilt in ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke.

Definition.Rationeller Bruch ist ein Bruchausdruck der Form , wobei es sich um Polynome handelt. - Zähler Nenner.

Beispielerationale Ausdrücke:- Bruchausdrücke; - ganze Ausdrücke. Im ersten Ausdruck ist beispielsweise der Zähler und der Nenner.

Bedeutung algebraischer Bruch wie jeder andere Algebraischer Ausdruck, hängt vom numerischen Wert der darin enthaltenen Variablen ab. Insbesondere hängt im ersten Beispiel der Wert des Bruchs von den Werten der Variablen und ab, im zweiten Beispiel nur vom Wert der Variablen.

Betrachten wir die erste typische Aufgabe: die Berechnung des Wertes rationaler Bruch für unterschiedliche Werte der darin enthaltenen Variablen.

Beispiel 1. Berechnen Sie den Wert des Bruchs für a), b), c)

Lösung. Ersetzen wir die Werte der Variablen durch den angegebenen Bruch: a) , b) , c) - existiert nicht (da man nicht durch Null dividieren kann).

Antwort: a) 3; b) 1; c) existiert nicht.

Wie Sie sehen, treten für jeden Bruch zwei typische Probleme auf: 1) Berechnen des Bruchs, 2) Finden gültige und ungültige Werte Buchstabenvariablen.

Definition.Gültige Variablenwerte- Werte von Variablen, bei denen der Ausdruck Sinn ergibt. Die Menge aller möglichen Werte von Variablen wird aufgerufen ODZ oder Domain.

Der Wert literaler Variablen kann ungültig sein, wenn der Nenner des Bruchs bei diesen Werten Null ist. In allen anderen Fällen gelten die Werte der Variablen, da der Bruch berechnet werden kann.

Beispiel 2.

Lösung. Damit dieser Ausdruck einen Sinn ergibt, ist es notwendig und ausreichend, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist. Somit sind nur die Werte der Variablen ungültig, deren Nenner gleich Null ist. Der Nenner des Bruchs ist , also lösen wir die lineare Gleichung:

Daher hat der Bruch angesichts des Werts der Variablen keine Bedeutung.

Antwort: -5.

Aus der Lösung des Beispiels folgt die Regel zum Finden ungültiger Werte von Variablen: Der Nenner des Bruchs ist gleich Null und die Wurzeln der entsprechenden Gleichung werden gefunden.

Schauen wir uns einige ähnliche Beispiele an.

Beispiel 3. Stellen Sie fest, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn ergibt .

Lösung..

Antwort..

Beispiel 4. Stellen Sie fest, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn ergibt.

Lösung..

Es gibt andere Formulierungen dieses Problems - finden Sie Domain oder Bereich akzeptabler Ausdruckswerte (APV). Das bedeutet, alle gültigen Werte der Variablen zu finden. In unserem Beispiel sind das alles Werte außer . Es ist zweckmäßig, den Definitionsbereich auf einer Zahlenachse darzustellen.

Dazu schneiden wir darauf einen Punkt aus, wie in der Abbildung angedeutet:

Reis. 1

Auf diese Weise, Bruchdefinitionsbereich es werden alle Zahlen außer 3 sein.

Antwort..

Beispiel 5. Stellen Sie fest, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn ergibt.

Lösung..

Lassen Sie uns die resultierende Lösung auf der numerischen Achse darstellen:

Reis. 2

Antwort..

Beispiel 6.

Lösung.. Wir haben die Gleichheit zweier Variablen erhalten und geben numerische Beispiele: oder usw.

Stellen wir diese Lösung in einem Diagramm im kartesischen Koordinatensystem dar:

Reis. 3. Graph einer Funktion

Die Koordinaten eines Punktes, der in diesem Diagramm liegt, liegen nicht im Bereich akzeptabler Bruchwerte.

Antwort..

In den besprochenen Beispielen sind wir auf eine Situation gestoßen, in der eine Division durch Null erfolgte. Betrachten Sie nun den Fall, in dem sich bei der Typteilung eine interessantere Situation ergibt.

Beispiel 7. Stellen Sie fest, bei welchen Werten der Variablen der Bruch keinen Sinn ergibt.

Lösung..

Es stellt sich heraus, dass der Bruch keinen Sinn ergibt. Man könnte jedoch argumentieren, dass dies nicht der Fall ist, weil: .

Es mag den Anschein haben, dass, wenn der endgültige Ausdruck zum Zeitpunkt gleich 8 ist, der ursprüngliche Ausdruck auch berechnet werden kann und daher zum Zeitpunkt sinnvoll ist. Wenn wir es jedoch in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir – es macht keinen Sinn.

Antwort..

Um dieses Beispiel genauer zu verstehen, lösen wir das folgende Problem: Bei welchen Werten ist der angegebene Bruch gleich Null?