Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit lautet: Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung.
Beispiele für Lösungen

In der dritten Lektion werden wir uns mit verschiedenen Problemen befassen, die die direkte Anwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition betreffen. Um die Materialien in diesem Artikel effektiv zu studieren, empfehle ich Ihnen, sich mit den Grundkonzepten vertraut zu machen Wahrscheinlichkeitstheorie Und Grundlagen der Kombinatorik. Die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit auf klassische Weise mit einer Wahrscheinlichkeit, die gegen eins tendiert, zu bestimmen, wird in Ihrer unabhängigen/Kontrollarbeit auf Terver vorhanden sein, also machen wir uns bereit für ernsthafte Arbeit. Sie fragen sich vielleicht: Was ist daran so ernst? ...nur eine primitive Formel. Ich warne Sie vor Frivolität – thematische Aufgaben sind sehr vielfältig und viele davon können Sie leicht verwirren. Versuchen Sie in diesem Zusammenhang zusätzlich zur Durcharbeitung der Hauptlektion, zusätzliche Aufgaben zum Thema zu studieren, die sich im Sparschwein befinden vorgefertigte Lösungen für höhere Mathematik. Lösungstechniken sind Lösungstechniken, aber „Freunde“ müssen trotzdem „vom Sehen her erkannt werden“, denn selbst eine reiche Vorstellungskraft ist begrenzt und es gibt auch genügend Standardaufgaben. Nun, ich werde versuchen, so viele wie möglich in guter Qualität auszusortieren.

Erinnern wir uns an die Klassiker des Genres:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Test auftritt, ist gleich dem Verhältnis, wobei:

– Gesamtzahl aller gleichermaßen möglich, elementar Ergebnisse dieses Tests, die sich bilden vollständige Veranstaltungsgruppe;

- Menge elementar günstige Ergebnisse für die Veranstaltung.

Und sofort ein sofortiger Boxenstopp. Verstehen Sie die unterstrichenen Begriffe? Das bedeutet klares, nicht intuitives Verständnis. Wenn nicht, ist es immer noch besser, zum ersten Artikel über zurückzukehren Wahrscheinlichkeitstheorie und erst danach weitermachen.

Bitte überspringen Sie nicht die ersten Beispiele – darin wiederhole ich einen grundsätzlich wichtigen Punkt und erkläre Ihnen außerdem, wie Sie eine Lösung richtig formatieren und auf welche Weise dies möglich ist:

Problem 1

In einer Urne befinden sich 15 weiße, 5 rote und 10 schwarze Kugeln. 1 Ball wird zufällig gezogen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er a) weiß, b) rot, c) schwarz ist.

Lösung: Die wichtigste Voraussetzung für die Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ist Fähigkeit, die Gesamtzahl der Ergebnisse zu zählen.

Es gibt insgesamt 15 + 5 + 10 = 30 Kugeln in der Urne, und offensichtlich sind die folgenden Fakten wahr:

– Das Zurückholen eines beliebigen Balls ist ebenfalls möglich (Chancengleichheit Ergebnisse), während die Ergebnisse elementar und Form vollständige Veranstaltungsgruppe (d. h. als Ergebnis des Tests wird definitiv einer der 30 Bälle entfernt).

Somit ist die Gesamtzahl der Ergebnisse:

Betrachten Sie das Ereignis: – Aus der Urne wird eine weiße Kugel gezogen. Diese Veranstaltung wird bevorzugt elementar Ergebnisse also nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird.

Seltsamerweise kann man selbst bei einer so einfachen Aufgabe eine gravierende Ungenauigkeit machen, auf die ich bereits im ersten Artikel hingewiesen habe Wahrscheinlichkeitstheorie. Wo liegt hier die Falle? Es ist falsch, hier so zu argumentieren „Da die Hälfte der Kugeln weiß ist, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass eine weiße Kugel gezogen wird» . Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf ELEMENTAR Ergebnisse, und der Bruch muss aufgeschrieben werden!

Betrachten Sie bei anderen Punkten in ähnlicher Weise die folgenden Ereignisse:

– Aus der Urne wird eine rote Kugel gezogen;
– Aus der Urne wird eine schwarze Kugel gezogen.

Ein Ereignis wird durch 5 elementare Ergebnisse begünstigt, und ein Ereignis wird durch 10 elementare Ergebnisse begünstigt. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind also:

Eine typische Überprüfung vieler Serveraufgaben erfolgt mit Sätze über die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden. In unserem Fall bilden die Ereignisse eine vollständige Gruppe, was bedeutet, dass die Summe der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zwangsläufig gleich eins sein muss: .

Schauen wir mal, ob das stimmt: Das wollte ich sicherstellen.

Antwort:

Im Prinzip lässt sich die Antwort ausführlicher aufschreiben, aber ich persönlich bin es gewohnt, dort nur Zahlen anzugeben – denn wenn man anfängt, Probleme in Hunderten und Tausenden auszumerzen, versucht man, das Schreiben von zu reduzieren die Lösung so weit wie möglich. Übrigens, zur Kürze: In der Praxis ist die Designoption „Hochgeschwindigkeit“ üblich Lösungen:

Gesamt: 15 + 5 + 10 = 30 Kugeln in der Urne. Nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel aus der Urne gezogen wird;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel aus der Urne gezogen wird.

Antwort:

Wenn die Bedingung jedoch mehrere Punkte enthält, ist es oft bequemer, die Lösung auf die erste Art und Weise zu formulieren, die etwas mehr Zeit in Anspruch nimmt, aber gleichzeitig „alles in die Regale legt“ und es einfacher macht um das Problem zu navigieren.

Lasst uns aufwärmen:

Problem 2

Das Geschäft erhielt 30 Kühlschränke, von denen fünf einen Herstellungsfehler aufwiesen. Ein Kühlschrank wird zufällig ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es fehlerfrei ist?

Wählen Sie die entsprechende Designoption aus und sehen Sie sich das Beispiel unten auf der Seite an.

In den einfachsten Beispielen liegen die Anzahl der gemeinsamen und die Anzahl der günstigen Ergebnisse an der Oberfläche, aber in den meisten Fällen muss man die Kartoffeln selbst ausgraben. Eine kanonische Reihe von Problemen über einen vergesslichen Abonnenten:

Problem 3

Beim Wählen einer Telefonnummer hat der Teilnehmer die letzten beiden Ziffern vergessen, merkt sich aber, dass eine davon Null und die andere ungerade ist. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die richtige Nummer wählt.

Notiz : Null ist eine gerade Zahl (ohne Rest durch 2 teilbar)

Lösung: Zuerst ermitteln wir die Gesamtzahl der Ergebnisse. Bedingt durch die Bedingung merkt sich der Teilnehmer, dass eine der Ziffern Null und die andere Ziffer ungerade ist. Hier ist es rationaler, bei der Kombinatorik und der Anwendung nicht zu kompliziert zu sein Methode der direkten Auflistung von Ergebnissen . Das heißt, wenn wir eine Lösung finden, schreiben wir einfach alle Kombinationen auf:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Und wir zählen sie – insgesamt: 10 Ergebnisse.

Es gibt nur ein günstiges Ergebnis: die richtige Zahl.

Nach der klassischen Definition:
– Wahrscheinlichkeit, dass der Teilnehmer die richtige Nummer wählt

Antwort: 0,1

Dezimalbrüche sehen in der Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus angemessen aus, Sie können sich aber auch an den traditionellen Wyschmatow-Stil halten und nur mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten.

Erweiterte Aufgabe zur eigenständigen Lösung:

Problem 4

Der Abonnent hat den PIN-Code seiner SIM-Karte vergessen, erinnert sich aber, dass dieser drei „Fünfer“ enthält und eine der Zahlen entweder eine „Sieben“ oder eine „Acht“ ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Autorisierung beim ersten Versuch?

Hier können Sie auch eine Vorstellung davon entwickeln, wie wahrscheinlich es ist, dass der Abonnent mit einem Puk-Code bestraft wird, aber leider würde die Begründung den Rahmen dieser Lektion sprengen

Die Lösung und Antwort finden Sie unten.

Manchmal erweist sich das Auflisten von Kombinationen als sehr mühsame Aufgabe. Dies ist insbesondere bei der nächsten, nicht minder beliebten Aufgabengruppe der Fall, bei der mit 2 Würfeln gewürfelt wird (seltener - größere Mengen):

Problem 5

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen von zwei Würfeln die Gesamtzahl beträgt:

a) fünf Punkte;
b) nicht mehr als vier Punkte;
c) von 3 bis einschließlich 9 Punkten.

Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:

Möglichkeiten, wie die Seite des ersten Würfels herausfallen kann Und auf unterschiedliche Weise kann die Seite des 2. Würfels herausfallen; Von Regel zum Multiplizieren von Kombinationen, Gesamt: mögliche Kombinationen. Mit anderen Worten, jede die Fläche des 1. Würfels kann sein bestellt ein Paar mit jedem die Kante des 2. Würfels. Lassen Sie uns vereinbaren, ein solches Paar in der Form zu schreiben, wobei die Zahl ist, die auf dem 1. Würfel erscheint, und die Zahl ist, die auf dem 2. Würfel erscheint. Zum Beispiel:

– der erste Würfel brachte 3 Punkte, der zweite Würfel brachte 5 Punkte, Gesamtpunktzahl: 3 + 5 = 8;
– der erste Würfel brachte 6 Punkte, der zweite Würfel brachte 1 Punkt, Gesamtpunktzahl: 6 + 1 = 7;
– 2 Punkte auf beiden Würfeln gewürfelt, Summe: 2 + 2 = 4.

Offensichtlich wird der kleinste Betrag durch ein Paar und der größte durch zwei „Sechser“ angegeben.

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Wenn Sie zwei Würfel werfen, erscheinen 5 Punkte. Lassen Sie uns die Ergebnisse aufschreiben und zählen, die für dieses Ereignis sprechen:

Insgesamt: 4 positive Ergebnisse. Nach der klassischen Definition:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Es werden nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt. Das heißt, entweder 2 oder 3 oder 4 Punkte. Wieder listen wir die günstigen Kombinationen auf und zählen sie, links schreibe ich die Gesamtpunktzahl auf und nach dem Doppelpunkt die passenden Paare:

Insgesamt: 6 günstige Kombinationen. Auf diese Weise:
– die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt werden.

c) Betrachten Sie das Ereignis: – Es werden 3 bis einschließlich 9 Punkte gewürfelt. Hier können Sie die gerade Straße nehmen, aber... aus irgendeinem Grund möchten Sie das nicht. Ja, einige Paare wurden bereits in den vorherigen Absätzen aufgeführt, aber es gibt noch viel zu tun.

Wie gehe ich am besten vor? In solchen Fällen erweist sich ein Umweg als sinnvoll. Lassen Sie uns überlegen entgegengesetztes Ereignis: – Es werden 2 oder 10 oder 11 oder 12 Punkte gewürfelt.

Was ist der Punkt? Das Gegenteil wird von einer deutlich geringeren Zahl von Paaren favorisiert:

Insgesamt: 7 positive Ergebnisse.

Nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass Sie weniger als drei oder mehr als 9 Punkte würfeln.

Neben der direkten Auflistung und Zählung der Ergebnisse sind verschiedene kombinatorische Formeln. Und wieder ein episches Problem mit dem Aufzug:

Problem 7

Drei Personen betraten den Aufzug eines 20-stöckigen Gebäudes im ersten Stock. Und los geht's. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) Sie werden auf verschiedenen Etagen aussteigen
b) zwei werden auf derselben Etage aussteigen;
c) Alle steigen auf derselben Etage aus.

Unsere aufregende Lektion ist zu Ende, und zum Schluss empfehle ich noch einmal dringend: Wenn nicht, lösen Sie es, dann finden Sie es zumindest heraus zusätzliche Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung. Wie ich bereits erwähnt habe, ist auch die „Handpolsterung“ wichtig!

Im weiteren Verlauf des Kurses - Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit Und Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze und... Hauptsache Glück!

Lösungen und Antworten:

Aufgabe 2: Lösung: 30 – 5 = 25 Kühlschränke haben keinen Defekt.

– die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kühlschrank keinen Defekt aufweist.
Antwort :

Aufgabe 4: Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:
Möglichkeiten, den Ort auszuwählen, an dem sich die zweifelhafte Nummer befindet und auf jedem Von diesen 4 Stellen können 2 Ziffern (sieben oder acht) lokalisiert werden. Gemäß der Regel der Multiplikation von Kombinationen beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse: .
Alternativ kann die Lösung einfach alle Ergebnisse auflisten (zum Glück gibt es nur wenige davon):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Es gibt nur ein positives Ergebnis (richtiger PIN-Code).
Nach der klassischen Definition gilt also:
– Wahrscheinlichkeit, dass sich der Abonnent beim ersten Versuch anmeldet
Antwort :

Aufgabe 6: Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:
Zahlen auf 2 Würfeln können auf unterschiedliche Weise erscheinen.

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Wenn Sie zwei Würfel werfen, ist das Produkt der Punkte gleich sieben. Gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition gibt es für ein bestimmtes Ereignis keine günstigen Ergebnisse:
, d.h. Dieses Ereignis ist unmöglich.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Beim Würfeln mit zwei Würfeln beträgt das Produkt der Punkte mindestens 20. Folgende Ergebnisse sind für dieses Ereignis günstig:

Gesamt: 8
Nach der klassischen Definition:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

c) Betrachten Sie die gegenteiligen Ereignisse:
– das Produkt der Punkte wird gerade sein;
– Das Produkt der Punkte wird ungerade sein.
Lassen Sie uns alle für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse auflisten:

Insgesamt: 9 positive Ergebnisse.
Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:
Gegensätzliche Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe, daher:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

Antwort :

Problem 8: Lösung: Berechnen wir die Gesamtzahl der Ergebnisse: 10 Münzen können auf unterschiedliche Weise fallen.
Ein anderer Weg: Wie die 1. Münze fallen kann Und Wie die 2. Münze fallen kann Und … Und Wie die 10. Münze fallen kann. Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen können 10 Münzen fallen Wege.
a) Betrachten Sie das Ereignis: – Auf allen Münzen erscheinen Köpfe. Dieses Ereignis wird gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition durch ein einzelnes Ergebnis begünstigt: .
b) Betrachten Sie das Ereignis: – 9 Münzen ergeben „Kopf“ und eine Münze erhält „Zahl“.
Es gibt Münzen, die auf dem Kopf landen können. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: .
c) Betrachten Sie das Ereignis: – Auf der Hälfte der Münzen erscheinen Köpfe.
Existiert einzigartige Kombinationen aus fünf Münzen, die Kopf landen können. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:
Antwort :

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine mathematische Wissenschaft, die Muster in zufälligen Phänomenen untersucht. Die Entstehung der Theorie geht auf die Mitte des 17. Jahrhunderts zurück und ist mit den Namen Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli verbunden.

Wir werden unzerlegbare Ergebnisse einiger experimenteller Elementarereignisse und ihrer Gesamtheit nennen

(endlicher) Raum elementarer Ereignisse oder Raum der Ergebnisse.

Beispiel 21. a) Beim Würfeln besteht der Raum der Elementarereignisse aus sechs Punkten:

b) Wirf dann zweimal hintereinander eine Münze

Dabei ist G das „Wappen“, P das „Gitter“ und die Gesamtzahl der Ergebnisse

c) Wirf eine Münze, bis das „Wappen“ zum ersten Mal erscheint

In diesem Fall spricht man von einem diskreten Raum elementarer Ereignisse.

Normalerweise interessiert es nicht, welches spezifische Ergebnis als Ergebnis eines Versuchs auftritt, sondern ob das Ergebnis zu der einen oder anderen Teilmenge aller Ergebnisse gehört. Alle Teilmengen, für die gemäß den experimentellen Bedingungen eine Reaktion einer von zwei Arten möglich ist: „Ergebnis“ oder „Ergebnis“, werden wir als Ereignisse bezeichnen.

Im Beispiel 21 b) ist die Menge = (GG, GR, RG) das Ereignis, dass mindestens ein „Wappen“ erscheint. Das Ereignis besteht daher aus drei elementaren Ergebnissen des Weltraums

Die Summe zweier Ereignisse ist das Ereignis, das aus der Erfüllung eines Ereignisses oder Ereignisses besteht.

Die Produktion von Veranstaltungen ist eine Veranstaltung, die aus der gemeinsamen Durchführung einer Veranstaltung und einer Veranstaltung besteht.

Das Gegenteil eines Ereignisses ist ein Ereignis, das im Nichterscheinen besteht und dieses daher ergänzt.

Eine Menge wird als zuverlässiges Ereignis bezeichnet, eine leere Menge als unmöglich.

Wenn jedes Vorkommen eines Ereignisses von einem Vorkommnis begleitet wird, dann schreiben und sagen sie, was vorausgeht oder nach sich zieht.

Ereignisse und gelten als äquivalent, wenn und.

Definition. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine Zahl, die dem Verhältnis der Anzahl der Elementarergebnisse, aus denen das Ereignis besteht, zur Anzahl aller Elementarergebnisse entspricht

Der Fall gleich wahrscheinlicher Ereignisse (genannt „klassisch“, daher die Wahrscheinlichkeit).

als „klassisch“ bezeichnet.

Elementare Ereignisse (Erfahrungsergebnisse), die in das Ereignis einbezogen werden, werden als „günstig“ bezeichnet.

Eigenschaften der klassischen Wahrscheinlichkeit:

Wenn (und inkompatible Ereignisse sind).

Beispiel 22 (Huygens-Problem). In der Urne befinden sich 2 weiße und 4 schwarze Kugeln. Ein Spieler wettet mit einem anderen, dass unter den 3 gezogenen Kugeln genau eine weiße sein wird. In welchem ​​Verhältnis stehen die Chancen der Streitparteien?

Lösung 1 (traditionell). In diesem Fall ist der Test = (Herausnehmen von 3 Bällen) und das Ereignis ist für einen der Streitparteien günstig:

= (erhalte genau eine weiße Kugel).

Da die Reihenfolge, in der die drei Kugeln gezogen werden, nicht wichtig ist

In Kisten kann man eine weiße Kugel erhalten, in zwei schwarzen – und dann nach der Grundregel der Kombinatorik. Daher und aufgrund der fünften Wahrscheinlichkeitseigenschaft

Lösung 2. Erstellen wir einen probabilistischen Ergebnisbaum:

Beispiel 23. Stellen Sie sich ein Sparschwein vor, in dem noch vier Münzen übrig sind – drei von jeweils 2 Rubel. und einer für 5 Rubel. Wir nehmen zwei Münzen heraus.

Lösung. a) Zwei aufeinanderfolgende Extraktionen (mit Rückgabe) können zu folgenden Ergebnissen führen:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit jedes dieser Ergebnisse?

Die Tabelle zeigt alle sechzehn möglichen Fälle.

Somit,

Der folgende Baum führt zu den gleichen Ergebnissen:

b) Zwei aufeinanderfolgende Extraktionen (ohne Wiederholung) können zu den folgenden drei Ergebnissen führen:

Die Tabelle zeigt alle möglichen Ergebnisse:

Somit,

Der entsprechende Baum führt zu den gleichen Ergebnissen:

Beispiel 24 (De-Mere-Problem). Zwei Personen spielen ein Wurfspiel mit bis zu fünf Siegen. Das Spiel wird beendet, wenn der Erste vier Spiele und der Zweite drei gewonnen hat. Wie sollte in diesem Fall der anfängliche Einsatz aufgeteilt werden?

Lösung. Sei event = (der erste Spieler sein, der einen Preis gewinnt). Dann sieht der probabilistische Auszahlungsbaum für den ersten Spieler wie folgt aus:

Daher sollten drei Teile der Wette an den ersten Spieler und ein Teil an den zweiten gegeben werden.

Lassen Sie uns die Wirksamkeit der Lösung probabilistischer Probleme mithilfe von Diagrammen anhand des folgenden Beispiels demonstrieren, das wir in §1 (Beispiel 2) betrachtet haben.

Beispiel 25. Ist die Auswahl anhand der „Zähltabelle“ fair?

Lösung. Lassen Sie uns einen probabilistischen Ergebnisbaum erstellen:

und deshalb ist es bei „Zählspielen“ profitabler, Zweiter zu werden.

Die letzte Lösung verwendet Graphinterpretationen der Additions- und Multiplikationssätze von Wahrscheinlichkeiten:

und besonders

Wenn und inkompatible Ereignisse sind

und, wenn und - unabhängige Ereignisse.

Statische Wahrscheinlichkeit

Die klassische Definition stößt bei der Betrachtung komplexer Probleme auf Schwierigkeiten unüberwindlicher Natur. Insbesondere ist es in manchen Fällen möglicherweise nicht möglich, gleichwahrscheinliche Fälle zu identifizieren. Auch bei einer Münze besteht, wie wir wissen, eine offensichtlich nicht gleich wahrscheinliche Möglichkeit des Herausfallens des „Randes“, was aus theoretischen Überlegungen nicht abgeschätzt werden kann (man kann nur sagen, dass es unwahrscheinlich ist und dass diese Überlegung eher zutrifft). praktisch). Daher wurde bereits zu Beginn der Entstehung der Wahrscheinlichkeitstheorie eine alternative „Häufigkeits“-Definition der Wahrscheinlichkeit vorgeschlagen. Formal kann die Wahrscheinlichkeit nämlich als die Grenze der Beobachtungshäufigkeit des Ereignisses A definiert werden, wobei die Homogenität der Beobachtungen (d. h. die Gleichheit aller Beobachtungsbedingungen) und ihre Unabhängigkeit voneinander vorausgesetzt werden:

Dabei ist die Anzahl der Beobachtungen und die Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses.

Auch wenn diese Definition eher eine Möglichkeit angibt, eine unbekannte Wahrscheinlichkeit abzuschätzen – durch eine große Anzahl homogener und unabhängiger Beobachtungen – spiegelt diese Definition dennoch den Inhalt des Wahrscheinlichkeitsbegriffs wider. Wenn nämlich einem Ereignis eine bestimmte Wahrscheinlichkeit als objektives Maß für seine Möglichkeit zugeordnet wird, dann bedeutet dies, dass wir unter festgelegten Bedingungen und wiederholten Wiederholungen eine Häufigkeit seines Auftretens nahe bei (je näher, je mehr Beobachtungen es gibt) erhalten sollten. Tatsächlich ist dies die ursprüngliche Bedeutung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Es basiert auf einer objektivistischen Sicht auf Naturphänomene. Im Folgenden betrachten wir die sogenannten Gesetze der großen Zahlen, die (im Rahmen des unten skizzierten modernen axiomatischen Ansatzes) eine theoretische Grundlage bieten, auch für die Häufigkeitsschätzung der Wahrscheinlichkeit.

Wahrscheinlichkeit Ereignis ist das Verhältnis der Anzahl elementarer Ergebnisse, die für ein bestimmtes Ereignis günstig sind, zur Anzahl aller gleichermaßen möglichen Ergebnisse der Erfahrung, in der dieses Ereignis auftreten kann. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird mit P(A) bezeichnet (hier ist P der erste Buchstabe des französischen Wortes probabilite – Wahrscheinlichkeit). Laut Definition
(1.2.1)
wo ist die Anzahl der Elementarergebnisse, die für Ereignis A günstig sind; - die Anzahl aller gleich möglichen elementaren Ergebnisse des Experiments, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden.
Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als klassisch bezeichnet. Es entstand in der Anfangsphase der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hat folgende Eigenschaften:
1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins. Bezeichnen wir ein zuverlässiges Ereignis mit dem Buchstaben . Für ein bestimmtes Ereignis also
(1.2.2)
2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null. Bezeichnen wir ein unmögliches Ereignis mit dem Buchstaben . Für ein unmögliches Ereignis also
(1.2.3)
3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses wird als positive Zahl kleiner als eins ausgedrückt. Da für ein zufälliges Ereignis die Ungleichungen , oder , erfüllt sind, dann
(1.2.4)
4. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfüllt die Ungleichungen
(1.2.5)
Dies folgt aus den Beziehungen (1.2.2) - (1.2.4).

Beispiel 1. Eine Urne enthält 10 gleich große und gleich schwere Kugeln, davon 4 rote und 6 blaue. Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel blau ist?

Lösung. Das Ereignis „Der gezogene Ball stellte sich als blau heraus“ bezeichnen wir mit dem Buchstaben A. Dieser Test hat 10 gleich mögliche Elementarausgänge, von denen 6 das Ereignis A begünstigen. Gemäß Formel (1.2.1) erhalten wir

Beispiel 2. Alle natürlichen Zahlen von 1 bis 30 werden auf identische Karten geschrieben und in eine Urne gelegt. Nach gründlichem Mischen der Karten wird eine Karte aus der Urne entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl auf der gezogenen Karte ein Vielfaches von 5 ist?

Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Die Zahl auf der genommenen Karte ist ein Vielfaches von 5.“ Bei diesem Test gibt es 30 gleichermaßen mögliche Elementarausgänge, von denen Ereignis A durch 6 Ausfälle (die Zahlen 5, 10, 15, 20, 25, 30) begünstigt wird. Somit,

Beispiel 3. Es werden zwei Würfel geworfen und die Summe der Punkte auf den Oberseiten berechnet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B, sodass die Oberseiten der Würfel insgesamt 9 Punkte haben.

Lösung. In diesem Test gibt es nur 6 2 = 36 gleich mögliche Elementarergebnisse. Ereignis B wird daher durch 4 Ergebnisse begünstigt: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3).

Beispiel 4. Eine natürliche Zahl, die nicht größer als 10 ist, wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist?

Lösung. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben C das Ereignis „die gewählte Zahl ist eine Primzahl“. In diesem Fall ist n = 10, m = 4 (Primzahlen 2, 3, 5, 7). Daher die erforderliche Wahrscheinlichkeit

Beispiel 5. Es werden zwei symmetrische Münzen geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf der Oberseite beider Münzen Zahlen befinden?

Lösung. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben D das Ereignis „Auf der Oberseite jeder Münze befindet sich eine Zahl.“ In diesem Test gibt es 4 gleichermaßen mögliche elementare Ergebnisse: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Die Notation (G, C) bedeutet, dass die erste Münze ein Wappen hat, die zweite eine Nummer). Ereignis D wird durch ein Elementarergebnis (C, C) begünstigt. Da m = 1, n = 4, dann

Beispiel 6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte zweistellige Zahl die gleichen Ziffern hat?

Lösung. Zweistellige Zahlen sind Zahlen von 10 bis 99; Insgesamt gibt es 90 solcher Zahlen. 9 Zahlen haben identische Ziffern (das sind die Zahlen 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Da in diesem Fall m = 9, n = 90, dann
,
Dabei ist A das Ereignis „Zahl mit identischen Ziffern“.

Beispiel 7. Aus den Buchstaben des Wortes Differential Ein Buchstabe wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Buchstabe a) ein Vokal, b) ein Konsonant, c) ein Buchstabe ist? H?

Lösung. Das Wortdifferential besteht aus 12 Buchstaben, davon sind 5 Vokale und 7 Konsonanten. Briefe H es gibt kein in diesem Wort. Bezeichnen wir die Ereignisse: A – „Vokalbuchstabe“, B – „Konsonantenbuchstabe“, C – „Buchstabe“. H". Die Anzahl der günstigen Elementarergebnisse: - für Ereignis A, - für Ereignis B, - für Ereignis C. Da n = 12, dann
, Und .

Beispiel 8. Es werden zwei Würfel geworfen und die Augenzahl auf der Oberseite jedes Würfels wird notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel die gleiche Augenzahl zeigen.

Lösung. Bezeichnen wir dieses Ereignis mit dem Buchstaben A. Ereignis A wird durch 6 elementare Ergebnisse begünstigt: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Die Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen Elementarergebnisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, in diesem Fall n=6 2 =36. Dies bedeutet, dass die erforderliche Wahrscheinlichkeit

Beispiel 9. Das Buch hat 300 Seiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig geöffnete Seite eine durch 5 teilbare Seriennummer hat?

Lösung. Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass alle gleich möglichen elementaren Ergebnisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, n = 300 sein werden. Davon begünstigen m = 60 das Eintreten des angegebenen Ereignisses. Tatsächlich hat eine Zahl, die ein Vielfaches von 5 ist, die Form 5k, wobei k eine natürliche Zahl ist und , woher . Somit,
, wobei A – das „Seite“-Ereignis eine Sequenznummer hat, die ein Vielfaches von 5 ist.

Beispiel 10. Es werden zwei Würfel geworfen und die Summe der Punkte auf den Oberseiten berechnet. Was ist wahrscheinlicher – eine Gesamtpunktzahl von 7 oder 8 zu erreichen?

Lösung. Bezeichnen wir die Ereignisse: A – „7 Punkte werden gewürfelt“, B – „8 Punkte werden gewürfelt“. Ereignis A wird durch 6 elementare Ergebnisse begünstigt: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), und Ereignis B wird begünstigt durch 5 Ergebnisse: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Alle gleichermaßen möglichen Elementarergebnisse sind n = 6 · 2 = 36. Daher gilt: Und .

Es gilt also P(A)>P(B), d. h. das Erreichen von insgesamt 7 Punkten ist ein wahrscheinlicheres Ereignis als das Erreichen von insgesamt 8 Punkten.

Aufgaben

1. Eine natürliche Zahl, die 30 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Vielfaches von 3 ist?
2. In der Urne A Rot und B blaue Kugeln, identisch in Größe und Gewicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dieser Urne gezogene Kugel blau ist?
3. Es wird zufällig eine Zahl ausgewählt, die 30 nicht überschreitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Teiler von 30 ist?
4. In der Urne A blau und B rote Kugeln, identisch in Größe und Gewicht. Aus dieser Urne wird eine Kugel entnommen und beiseite gelegt. Es stellte sich heraus, dass dieser Ball rot war. Anschließend wird eine weitere Kugel aus der Urne gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Ball ebenfalls rot ist.
5. Eine nationale Zahl, die 50 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist?
6. Drei Würfel werden geworfen und die Summe der Punkte auf den Oberseiten wird berechnet. Was ist wahrscheinlicher – insgesamt 9 oder 10 Punkte zu erreichen?
7. Es werden drei Würfel geworfen und die Summe der gewürfelten Punkte berechnet. Was ist wahrscheinlicher – insgesamt 11 (Event A) oder 12 Punkte (Event B)?

Antworten

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 – Wahrscheinlichkeit, insgesamt 9 Punkte zu erhalten; p 2 = 27/216 – Wahrscheinlichkeit, insgesamt 10 Punkte zu erreichen; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Fragen

1. Wie nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses?
4. Wo liegen die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses?
5. Wo liegen die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
6. Welche Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als klassisch bezeichnet?

Um Ereignisse entsprechend dem Grad ihrer Möglichkeit quantitativ miteinander vergleichen zu können, ist es natürlich notwendig, jedem Ereignis eine bestimmte Zahl zuzuordnen, die umso größer ist, je wahrscheinlicher das Ereignis ist. Wir nennen diese Zahl die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Auf diese Weise, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein numerisches Maß für den Grad der objektiven Möglichkeit dieses Ereignisses.

Die erste Wahrscheinlichkeitsdefinition ist als die klassische zu betrachten, die aus der Analyse des Glücksspiels entstand und zunächst intuitiv angewendet wurde.

Die klassische Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung basiert auf dem Konzept gleichermaßen möglicher und unvereinbarer Ereignisse, die das Ergebnis einer bestimmten Erfahrung sind und eine vollständige Gruppe unvereinbarer Ereignisse bilden.

Das einfachste Beispiel für gleichermaßen mögliche und unvereinbare Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, ist das Erscheinen der einen oder anderen Kugel aus einer Urne, die mehrere Kugeln gleicher Größe, gleichen Gewichts und anderer greifbarer Eigenschaften enthält, die sich nur in der Farbe unterscheiden und vor dem Entfernen gründlich gemischt werden.

Daher soll ein Test, dessen Ergebnisse eine vollständige Gruppe inkompatibler und gleichermaßen möglicher Ereignisse bilden, auf ein Urnenmuster oder ein Fallmuster reduzierbar sein oder in das klassische Muster passen.

Ebenso mögliche und unvereinbare Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, werden einfach Fälle oder Zufälle genannt. Darüber hinaus können in jedem Experiment neben den einzelnen Fällen auch komplexere Ereignisse auftreten.

Beispiel: Beim Würfeln können wir neben den Fällen A i – der Verlust von i-Punkten auf der Oberseite, auch Ereignisse wie B – den Verlust einer geraden Anzahl von Punkten, C – den Verlust einer Anzahl von Punkten berücksichtigen Punkte, die ein Vielfaches von drei sind...

In Bezug auf jedes Ereignis, das während des Experiments auftreten kann, werden Fälle in unterteilt günstig, in dem dieses Ereignis eintritt, und ungünstig, in dem das Ereignis nicht eintritt. Im vorherigen Beispiel wird Ereignis B durch die Fälle A 2, A 4, A 6 begünstigt; Ereignis C - Fälle A 3, A 6.

Klassische Wahrscheinlichkeit Das Eintreten eines bestimmten Ereignisses wird als Verhältnis der Anzahl der für das Eintreten dieses Ereignisses günstigen Fälle zur Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen, inkompatiblen Fälle bezeichnet, die in einem bestimmten Experiment die Gesamtgruppe bilden:

Wo P(A)- Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A; M- die Anzahl der Fälle, die für Ereignis A günstig sind; N- Gesamtzahl der Fälle.

Beispiele:

1) (siehe Beispiel oben) P(B)= , P(C) =.

2) Die Urne enthält 9 rote und 6 blaue Kugeln. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder zwei zufällig gezogene Kugeln rot sind.

A- eine zufällig gezogene rote Kugel:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- zwei zufällig gezogene rote Kugeln:

Aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition (zeigen Sie sich) ergeben sich folgende Eigenschaften:

1) Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0;

2) Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses beträgt 1;

3) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen 0 und 1;

4) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das dem Ereignis A entgegengesetzt ist,

Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition geht davon aus, dass die Anzahl der Ergebnisse eines Versuchs endlich ist. In der Praxis kommt es sehr häufig zu Tests, deren Anzahl möglicher Fälle unendlich ist. Darüber hinaus besteht die Schwäche der klassischen Definition darin, dass es sehr oft unmöglich ist, das Ergebnis eines Tests in Form einer Reihe elementarer Ereignisse darzustellen. Noch schwieriger ist es, die Gründe anzugeben, die dafür sprechen, dass die elementaren Ergebnisse eines Tests gleichermaßen als möglich angesehen werden. Üblicherweise wird aus Symmetrieüberlegungen auf die Gleichmöglichkeit elementarer Testergebnisse geschlossen. Allerdings kommen solche Aufgaben in der Praxis nur sehr selten vor. Aus diesen Gründen werden neben der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit auch andere Definitionen der Wahrscheinlichkeit verwendet.

Statistische Wahrscheinlichkeit Ereignis A ist die relative Häufigkeit des Auftretens dieses Ereignisses in den durchgeführten Tests:

wo ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A;

Relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A;

Die Anzahl der Versuche, in denen Ereignis A auftrat;

Gesamtzahl der Versuche.

Im Gegensatz zur klassischen Wahrscheinlichkeit ist die statistische Wahrscheinlichkeit ein Merkmal der experimentellen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel: Um die Qualität von Produkten aus einer Charge zu kontrollieren, wurden 100 Produkte zufällig ausgewählt, von denen sich 3 Produkte als fehlerhaft herausstellten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer Heirat.

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Die statistische Methode zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung ist nur auf Ereignisse anwendbar, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

Die betrachteten Ereignisse sollten nur die Ergebnisse von Tests sein, die unter den gleichen Bedingungen unbegrenzt oft reproduziert werden können.

Ereignisse müssen statistische Stabilität (oder Stabilität der relativen Häufigkeiten) aufweisen. Dies bedeutet, dass sich in verschiedenen Testreihen die relative Häufigkeit des Ereignisses kaum ändert.

Die Anzahl der Versuche, die zu Ereignis A führen, muss ziemlich groß sein.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die sich aus der klassischen Definition ergeben, auch in der statistischen Definition der Wahrscheinlichkeit erhalten bleiben.