Kreislinie. Umfang: allgemeines Konzept und grundlegende Formeln. Ein Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben und um dieses herum umschrieben ist

Um eine allgemeine Vorstellung davon zu bekommen, was ein Kreis ist, schauen Sie sich einen Ring oder Reifen an. Du kannst auch ein rundes Glas und eine Tasse nehmen, sie verkehrt herum auf ein Blatt Papier legen und mit einem Bleistift umkreisen. Bei mehrfacher Vergrößerung wird die resultierende Linie dick und nicht ganz gleichmäßig, und ihre Ränder werden verschwommen. Der Kreis als geometrische Figur hat keine Eigenschaft wie Dicke.

Kreis: Definition und wichtigstes Mittel der Beschreibung

Ein Kreis ist eine geschlossene Kurve, die aus vielen Punkten besteht, die in derselben Ebene liegen und vom Mittelpunkt des Kreises gleich weit entfernt sind. In diesem Fall liegt der Mittelpunkt in derselben Ebene. In der Regel wird es mit dem Buchstaben O bezeichnet.

Der Abstand von einem beliebigen Punkt des Kreises zum Mittelpunkt wird als Radius bezeichnet und mit dem Buchstaben R bezeichnet.

Wenn Sie zwei beliebige Punkte des Kreises verbinden, wird das resultierende Segment als Akkord bezeichnet. Die durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufende Sehne ist der Durchmesser, der mit dem Buchstaben D bezeichnet wird. Der Durchmesser teilt den Kreis in zwei gleiche Bögen und ist doppelt so lang wie der Radius. Somit ist D = 2R oder R = D/2.

Akkordeigenschaften

1. Wenn eine Sehne durch zwei beliebige Punkte des Kreises gezogen wird und dann ein Radius oder Durchmesser senkrecht zu letzterem gezogen wird, dann wird dieses Segment sowohl die Sehne als auch den von ihr abgeschnittenen Bogen in zwei gleiche Teile teilen. Umgekehrt gilt auch: Wenn der Radius (Durchmesser) die Sehne halbiert, dann steht er senkrecht dazu.
2. Wenn zwei parallele Akkorde innerhalb desselben Kreises gezeichnet werden, sind die von ihnen abgeschnittenen und zwischen ihnen eingeschlossenen Bögen gleich.
3. Zeichne zwei Akkorde PR und QS, die sich innerhalb eines Kreises bei Punkt T schneiden. Das Produkt der Segmente eines Akkords ist immer gleich dem Produkt der Segmente des anderen Akkords, d. h. PT x TR = QT x TS.

Umfang: allgemeines Konzept und grundlegende Formeln

Eines der grundlegenden Merkmale dieser geometrischen Figur ist der Umfang. Die Formel leitet sich aus Werten wie Radius, Durchmesser und der Konstanten „π“ ab, die die Konstanz des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser widerspiegelt.

Somit ist L = πD oder L = 2πR, wobei L der Umfang, D der Durchmesser und R der Radius ist.

Die Kreisumfangsformel kann als Ausgangsformel zur Ermittlung des Radius bzw. Durchmessers bei gegebenem Kreisumfang angesehen werden: D = L/π, R = L/2π.

Was ist ein Kreis: grundlegende Postulate

• haben keine gemeinsamen Punkte;
• einen gemeinsamen Punkt haben, während die Linie Tangente genannt wird: Wenn Sie einen Radius durch den Mittelpunkt und den Kontaktpunkt ziehen, dann wird er senkrecht zur Tangente sein;
• haben zwei gemeinsame Punkte, und die Gerade heißt Sekante.

2. Durch drei beliebige Punkte, die in derselben Ebene liegen, kann höchstens ein Kreis gezogen werden.

3. Zwei Kreise können sich nur an einem Punkt berühren, der sich auf dem Segment befindet, das die Mittelpunkte dieser Kreise verbindet.

4. Bei jeder Drehung um den Mittelpunkt geht der Kreis in sich selbst über.

5. Was ist ein Kreis in Bezug auf Symmetrie?

• die gleiche Krümmung der Linie an jedem der Punkte;
• relativ zu Punkt O;
• Spiegelsymmetrie um den Durchmesser.

6. Wenn Sie zwei beliebige einbeschriebene Winkel basierend auf demselben Kreisbogen konstruieren, sind sie gleich. Der Winkel, der auf einem halben Bogen basiert, dh durch einen Sehnendurchmesser abgeschnitten wird, ist immer gleich 90 °.

7. Wenn wir geschlossene gekrümmte Linien gleicher Länge vergleichen, stellt sich heraus, dass der Kreis den Schnitt der Ebene mit der größten Fläche begrenzt.

Ein Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben und um dieses herum umschrieben ist

Die Vorstellung davon, was ein Kreis ist, wird ohne eine Beschreibung der Merkmale dieser Beziehung zu Dreiecken unvollständig sein.

1. Wenn Sie einen Kreis konstruieren, der in ein Dreieck eingeschrieben ist, fällt sein Mittelpunkt immer mit dem Schnittpunkt des Dreiecks zusammen.
2. Der Mittelpunkt eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises befindet sich am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu jeder der Seiten des Dreiecks.
3. Wenn Sie einen Kreis beschreiben, befindet sich sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse, dh letzterer ist der Durchmesser.
4. Die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises befinden sich am selben Punkt, wenn die Basis für die Konstruktion vorhanden ist

Grundaussagen zu Kreis und Viereck

1. Ein konvexes Viereck kann nur dann umschrieben werden, wenn die Summe seiner gegenüberliegenden Innenwinkel 180° beträgt.
2. Es ist möglich, einen Kreis zu konstruieren, der einem konvexen Viereck einbeschrieben ist, wenn die Summe der Längen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich ist.
3. Es ist möglich, einen Kreis um ein Parallelogramm zu beschreiben, wenn seine Winkel richtig sind.
4. Ein Kreis kann in ein Parallelogramm eingeschrieben werden, wenn alle seine Seiten gleich sind, das heißt, es ist eine Raute.
5. Es ist nur möglich, einen Kreis durch die Winkel eines Trapezes zu konstruieren, wenn es gleichschenklig ist. In diesem Fall befindet sich der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises am Schnittpunkt des Vierecks und der seitlich gezeichneten Mittelsenkrechten.

Kreis ist eine Figur, die aus allen Punkten der Ebene besteht, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind.

Grundlegendes Konzept:

Kreismitte ist ein Punkt, der von den Punkten des Kreises gleich weit entfernt ist.

Radius- Dies ist der Abstand von den Punkten des Kreises zu seinem Mittelpunkt (entspricht dem halben Durchmesser, Abb. 1).

Durchmesser ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft (Abb. 1).

Akkord- Dies ist ein Segment, das zwei Punkte des Kreises verbindet (Abb. 1).

Tangente ist eine Gerade, die nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat. Verläuft durch einen Punkt des Kreises senkrecht zum Durchmesser, der zu diesem Punkt gezogen wird (Abb. 1).

Sekante ist eine Gerade, die durch zwei verschiedene Punkte des Kreises verläuft (Abb. 1).

Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist.

Bogen eines Kreises ist der Teil des Kreises, der durch zwei nicht zusammenfallende Punkte auf dem Kreis geteilt wird.

1 Radiant- Dies ist der Winkel, der durch den Kreisbogen gebildet wird und gleich der Länge des Radius ist (Abb. 4).
1 Bogenmaß = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Zentrale Ecke ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises. Sie ist gleich dem Gradmaß des Bogens, auf dem sie ruht (Abb. 2).

Eingeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden. Er entspricht dem halben Gradmaß des Bogens, auf dem er ruht (Abb. 3).

Zwei Kreise, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, werden genannt konzentrisch.

Zwei Kreise, die sich rechtwinklig schneiden, nennt man senkrecht.

Umfang und Fläche eines Kreises:

Bezeichnungen:
Umfang - C
Durchmesser Länge - d
Radiuslänge - r

Bedeutungπ :
Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zur Länge seines Durchmessers wird mit dem griechischen Buchstaben π (pi) bezeichnet.

22
π = -
7

Umfangsformel:

C = πd oder C = 2πr

Kreisflächenformeln:

C r
S = --
2

π D 2
S=---
4

Fläche von Kreissektor und Kreissegment.

Kreisgleichung in kartesischen Koordinatenx, j zentriert am Punkt (a; b):

(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2

Ein um ein Dreieck umschriebener Kreis (Abb. 4).

Ein Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist (Abb. 5).

In einen Kreis eingeschriebene Winkel (Abb. 3).

Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden, heißt Winkel in einen Kreis eingeschrieben.

Grundlegendes Konzept:

Ein Winkel teilt die Ebene in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird aufgerufen flache Ecke.

Ebene Winkel mit gemeinsamen Seiten werden genannt zusätzlich.

Ein flacher Winkel mit einem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises wird genannt zentrale Ecke(Abb.2)

Proportionalität von Akkordsegmenten und Sekantenkreisen.

Sonderfälle und Formeln:

1) Von einem Punkt C, der außerhalb des Kreises liegt, ziehen wir eine Tangente an den Kreis und bezeichnen den Punkt ihrer Berührung mit dem Buchstaben D.

Dann zeichnen wir vom selben Punkt C aus eine Sekante und die Schnittpunkte der Sekante und des Kreises werden mit den Buchstaben A und B bezeichnet (Abb. 8).

In diesem Fall:

CD2=Wechselstrom ·BC

2) Zeichnen Sie einen Durchmesser AB in einem Kreis. Dann zeichnen wir vom Punkt C, der sich auf dem Kreis befindet, eine Senkrechte zu diesem Durchmesser und bezeichnen das resultierende Segment CD (Abb. 9).

In diesem Fall:

CD2=ANZEIGE ·B.D.

Kreis ist eine Figur, die aus allen Punkten auf der Ebene besteht, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind. Dieser Punkt wird Kreismittelpunkt genannt.

Ein Kreis mit Radius Null (ein degenerierter Kreis) ist ein Punkt, manchmal wird dieser Fall von der Definition ausgeschlossen.

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Kreis und seine Eigenschaften (bezbotvy)

Eingeschriebener und umschriebener Kreis - von bezbotvy

Mathematik: Vorbereitung auf die OGE und das Einheitliche Staatsexamen. Planimetrie. Kreise und ihre Eigenschaften

Mathematik 26. Kompasse. Kreis und Kreis - Shishkin-Schule

GLEICHUNG DES KREISES. AUFGABE 18 (С5). ARTHUR SCHARIFOW

Untertitel

Bezeichnung

Wenn ein Kreis beispielsweise durch die Punkte A, B, C verläuft, wird er durch Angabe dieser Punkte in Klammern gekennzeichnet: (A, B, C). Dann wird der Bogen eines Kreises, der durch die Punkte A, B, C verläuft, als Bogen ABC (oder Bogen AC) sowie als υ ABC (oder υ AC) bezeichnet.

Andere Definitionen

• Durchmesser Kreis AB A, B AB im rechten Winkel sichtbar (Definition durch einen Winkel bezogen auf den Durchmesser eines Kreises).

• Kreis mit Akkord AB ist eine gepunktete Figur A, B und alle Punkte der Ebene, aus denen das Segment AB in einem konstanten Winkel auf einer Seite gesehen, gleich einbeschriebener Bogenwinkel AB, und in einem anderen konstanten Winkel auf der anderen Seite gleich 180 Grad minus einbeschriebener Bogenwinkel AB oben (definiert als einbeschriebener Winkel).
• Eine Figur, die aus solchen Punkten besteht X , (\displaystyle X,) wie ist das Verhältnis der Längen der Segmente AXT und BX ständig: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) ist ein Kreis (definiert in Bezug auf den Kreis von Apollonius).
• Eine Figur, die aus all solchen Punkten besteht, für die jeweils die Summe der quadrierten Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten gleich einem gegebenen Wert ist, der größer ist als das halbe Quadrat der Distanz zwischen den gegebenen Punkten, ist ebenfalls ein Kreis (Definition durch die Satz des Pythagoras für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck, das einem Kreis mit einer Hypotenuse einbeschrieben ist, die der Durchmesser des Kreises ist).
• M Zeichne irgendwelche Akkorde hinein AB, CD, EF usw., dann gelten die Gleichheiten: EIN M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Die Gleichheit wird immer gelten, unabhängig von der Wahl des Punktes M und die Richtungen der durchgezogenen Akkorde (Definition durch sich kreuzende Akkorde).
• Ein Kreis ist eine geschlossene, sich selbst nicht schneidende Figur mit der folgenden Eigenschaft. Wenn durch einen beliebigen Punkt M Zeichnen Sie außerhalb davon zwei Tangenten an die Punkte ihrer Berührung mit dem Kreis, z. B. EIN und B, dann sind ihre Längen immer gleich: MA = MB (\displaystyle MA=MB). Gleichheit wird immer gelten, unabhängig von der Wahl des Punktes M(Definition in Bezug auf gleiche Tangenten).
• Ein Kreis ist eine geschlossene, sich selbst nicht schneidende Figur mit der folgenden Eigenschaft. Das Verhältnis der Länge eines seiner Akkorde zum Sinus eines seiner Akkorde eingeschriebener Winkel, basierend auf dieser Sehne, ist ein konstanter Wert gleich dem Durchmesser dieses Kreises (Definition durch den Sinussatz).
• Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse, bei der der Abstand zwischen Brennpunkten Null ist (Definition in Bezug auf eine entartete Ellipse).

Verwandte Definitionen für einen einzelnen Kreis

• Der Ort der Punkte in der Ebene, dessen Abstand zu einem gegebenen Punkt nicht größer als ein gegebener Wert ungleich Null ist, wird genannt um .
• Radius- nicht nur der Entfernungswert, sondern auch das Segment, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem seiner Punkte verbindet. Der Radius ist immer die Hälfte Durchmesser Kreise.
• Der Radius ist immer senkrecht zur Tangente, die an den Kreis an seinem gemeinsamen Punkt mit dem Kreis gezogen wird. Das heißt, der Radius ist auch die Normale zum Kreis.
• Der Kreis wird aufgerufen Single wenn sein Radius gleich eins ist. Einheitskreis ist eines der grundlegenden Objekte der Trigonometrie.
• Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird aufgerufen Akkord. Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser.
• Zwei beliebige Punkte auf dem Kreis, die nicht zusammenfallen, teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird aufgerufen Bogen Kreis. Der Bogen wird aufgerufen Halbkreis wenn das seine Enden verbindende Segment ein Durchmesser ist.
• Die Länge eines Einheitshalbkreises wird mit bezeichnet.

• Eine Gerade, die genau einen Punkt mit einem Kreis gemeinsam hat, heißt Tangente zum Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt heißt Berührungspunkt der Linie und des Kreises.
• Tangente zu einem Kreis ist immer senkrecht zu seinem Radius (und Durchmesser), der am Kontaktpunkt gezeichnet wird, der ist normal an dieser Stelle gezogen.
• Eine Linie, die durch zwei verschiedene Punkte auf einem Kreis verläuft, heißt Sekante.

Definition von Dreiecken für einen Kreis

• Dreieck ABC heißt in einen Kreis eingeschrieben(A,B,C), wenn alle drei seiner Ecken A, B und C auf diesem Kreis liegen. Der Kreis wird aufgerufen umschriebener Kreis Dreieck ABC (Siehe umschriebener Kreis).
• Tangente zu einem Kreis, der durch eine beliebige Ecke eines darin einbeschriebenen Dreiecks gezogen wird, ist antiparallel zu der Seite des Dreiecks, die der gegebenen Ecke gegenüberliegt.
• Dreieck ABC heißt um einen Kreis herum umschrieben(A", B", C"), wenn alle drei seiner Seiten AB, BC und CA diesen Kreis an einigen Punkten C", A" bzw. B" berühren. Der Kreis wird aufgerufen eingeschriebener Kreis Dreieck ABC (Siehe eingeschriebener Kreis).

Definitionen von Winkeln für einen Kreis

• Der Winkel, der durch einen Kreisbogen gebildet wird, dessen Länge gleich dem Radius ist, wird als 1 angenommen Bogenmaß.

• Zentral Winkel - ein Winkel mit einem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises. Der Mittelpunktswinkel ist gleich dem Bogenmaß / Gradmaß des Bogens, auf dem er ruht (siehe Abb.).
• Eingeschrieben Winkel - ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten diesen Kreis schneiden. Eingeschriebener Winkel gleich dem halben Gradmaß des Bogens, auf dem es ruht (siehe Abb.).
• äußere Ecke zum eingeschrieben Winkel - der Winkel, der von einer Seite und der Verlängerung der anderen Seite gebildet wird eingeschrieben Winkel (siehe Abb. Winkel θ Braune Farbe). äußere Ecke denn der Winkel des auf der anderen Seite eingeschriebenen Kreises hat denselben Wert θ .
• Winkel zwischen Kreis und Linie- der Winkel zwischen der Linie und der Tangente an den Kreis am Schnittpunkt der Linie und des Kreises. Beide Winkel zwischen dem sich schneidenden Kreis und der Linie sind gleich.
• Winkel basierend auf dem Durchmesser eines Kreises- der in diesen Kreis eingeschriebene Winkel, dessen Seiten die Enden des Durchmessers enthalten. Er ist immer direkt.

Verwandte Definitionen für zwei Kreise

• Zwei Kreise, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, werden genannt konzentrisch.
• Man nennt zwei Kreise, die nur einen gemeinsamen Punkt haben betreffendäußerlich, wenn ihre Kreise keine anderen gemeinsamen Punkte haben, und innerlich, wenn ihre Kreise ineinander liegen.
• Zwei Kreise, die zwei Punkte gemeinsam haben, werden aufgerufen schneiden. Ihre Kreise (von ihnen begrenzt) schneiden sich in einem Bereich, der als Doppelkreissegment bezeichnet wird.
• Ecke zwischen zwei sich schneidenden (oder tangentialen) Kreisen wird der Winkel zwischen ihren Tangenten genannt, die an einem gemeinsamen Schnittpunkt (oder Tangente) gezogen werden.
• Ebenfalls Ecke zwischen zwei sich schneidenden (oder tangentialen) Kreisen kann man den Winkel zwischen ihren Radien (Durchmessern) betrachten, die an einem gemeinsamen Schnittpunkt (oder Tangente) gezeichnet sind.
• Da für jeden Kreis sein Radius (oder Durchmesser) und die durch jeden Punkt des Kreises gezogene Tangente senkrecht aufeinander stehen, kann der Radius (oder Durchmesser) berücksichtigt werden normal zu einem an einem gegebenen Punkt konstruierten Kreis. Daher sind die beiden Arten von Winkeln, die in den beiden vorherigen zwei Absätzen definiert sind, immer gleich, als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten.
• rechter Winkel werden genannt senkrecht. Kreise können gezählt werden senkrecht wenn sie einen rechten Winkel miteinander bilden.
• Radikalachse zweier Kreise- geometrischer Ort von Punkten, deren Grad in Bezug auf zwei gegebene Kreise gleich sind. Mit anderen Worten, die Längen von vier Tangenten, die von jedem Punkt aus an zwei gegebene Kreise gezogen werden, sind gleich M gegebener geometrischer Ort von Punkten .

Winkeldefinitionen für zwei Kreise

• Winkel zwischen zwei sich schneidenden Kreisen- der Winkel zwischen den Tangenten an die Kreise am Schnittpunkt dieser Kreise. Beide Winkel zwischen zwei sich schneidenden Kreisen sind gleich.
• Winkel zwischen zwei sich nicht schneidenden Kreisen- der Winkel zwischen zwei gemeinsamen Tangenten an zwei Kreise, gebildet am Schnittpunkt dieser beiden Tangenten. Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten muss zwischen den beiden Kreisen liegen und nicht auf der Seite eines von ihnen (dieser Winkel wird nicht berücksichtigt). Beide Vertikalwinkel zwischen zwei sich nicht schneidenden Kreisen sind gleich.

Orthogonalität

• Zwei Kreise, die sich rechtwinklig schneiden, nennt man senkrecht. Kreise können gezählt werden senkrecht wenn sie einen rechten Winkel miteinander bilden.
• Zwei Kreise, die sich in den Punkten A und B mit den Mittelpunkten O und O" schneiden, werden genannt senkrecht, wenn OAO" und OBO" rechte Winkel sind. Es ist diese Bedingung, die garantiert rechter Winkel zwischen Kreisen. In diesem Fall stehen die Radien (Normalen) der beiden zum Schnittpunkt gezogenen Kreise senkrecht zueinander. Daher sind die Tangenten zweier Kreise, die an ihren Schnittpunkt gezogen werden, auch senkrecht. Die Tangente des Kreises steht senkrecht auf dem Radius (Normale), der zum Kontaktpunkt gezogen wird. Normalerweise ist der Winkel zwischen Kurven der Winkel zwischen ihren Tangenten, die am Schnittpunkt gezeichnet werden.
• Es kann eine weitere zusätzliche Bedingung geben. Zwei Kreise, die sich an den Punkten A und B schneiden, haben Mittelpunkte sich schneidender Bögen an den Punkten C und D, das heißt, der Bogen AC ist gleich dem Bogen CB, der Bogen AD ist gleich dem Bogen DB. Dann werden diese Kreise aufgerufen senkrecht wenn CAD und CBD rechte Winkel sind.

Verwandte Definitionen für drei Kreise

• Drei Kreise heißen gegenseitig tangential (sich schneidend), wenn sich zwei von ihnen berühren (sich schneiden).
• In der Geometrie radikales Zentrum drei Kreise ist der Schnittpunkt der drei Radikalachsen von Kreispaaren. Wenn das Radikalzentrum außerhalb aller drei Kreise liegt, dann ist es das Zentrum des einzigen Kreises ( radikaler Kreis), die drei vorgegebene Kreise schneidet orthogonal.

Lemma von Archimedes

Nachweisen

Lassen G (\displaystyle G)- Homothetie, einen kleinen Kreis in einen großen übersetzen. Dann ist das klar A 1 (\displaystyle A_(1)) ist das Zentrum dieser Homothetie. Dann die Linie BC (\ displaystyle BC) geht in eine gerade Linie ein (\displaystyle ein) Berühren des großen Kreises, und A 2 (\displaystyle A_(2)) wird zu einem Punkt auf dieser Linie gehen und zu dem großen Kreis gehören. Wenn wir uns daran erinnern, dass Homothetie Linien in parallele Linien umwandelt, verstehen wir das a ∥ BC (\displaystyle a\parallel BC). Lassen G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) und D (\ displaystyle D)- auf eine Linie zeigen ein (\displaystyle ein), so dass scharf ist, und E (\displaystyle E)- ein solcher Punkt auf der Linie ein (\displaystyle ein), was ∠ B EIN 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- würzig. Dann seit ein (\displaystyle ein)- Tangente an den Großkreis ∠ C EIN 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\ displaystyle \ angle CBA_ (3))= ∠ B. EIN 3 E. = ∠ B. C. EIN 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Folglich △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3)) gleichschenklig, das heißt ∠ B EIN 1 EIN 3 = ∠ C EIN 1 EIN 3 (\ displaystyle \ angle BA_ (1) A_ (3) = \ angle CA_ (1) A_ (3)), also A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- Winkelhalbierende ∠ B EIN 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

Der Satz von Descartes für die Radien von vier paarweise tangentialen Kreisen

Satz von Descartes" besagt, dass die Radien von vier sich gegenseitig berührenden Kreisen eine bestimmte quadratische Gleichung erfüllen. Sie werden manchmal Soddy-Kreise genannt.

Eigenschaften

Gleichung eines Kreises, der durch Punkte geht (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\right),\left(x_(3),y_(3)\right),) nicht auf einer Geraden liegen (unter Verwendung der Determinante):

In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Kreis kein Graph einer Funktion, aber er kann als Vereinigung der Graphen der folgenden zwei Funktionen beschrieben werden:

Wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Ursprung zusammenfällt, nehmen die Funktionen die Form an:

Polar Koordinaten

Kreisradius R (\displaystyle R) auf einen Punkt zentriert (ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).

Kreis- eine geometrische Figur, die aus allen Punkten der Ebene besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden.

Dieser Punkt (O) wird aufgerufen Kreismittelpunkt.
Kreisradius ist ein Liniensegment, das den Mittelpunkt mit einem Punkt auf dem Kreis verbindet. Alle Radien haben (per Definition) die gleiche Länge.
Akkord Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises geht, wird aufgerufen Durchmesser. Der Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelpunkt jedes Durchmessers.
Zwei beliebige Punkte auf dem Kreis teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile wird aufgerufen Kreisbogen. Der Bogen wird aufgerufen Halbkreis wenn das seine Enden verbindende Segment ein Durchmesser ist.
Die Länge eines Einheitshalbkreises wird mit bezeichnet π .
Die Summe der Gradmaße zweier Kreisbögen mit gemeinsamen Enden ist 360º.
Der durch einen Kreis begrenzte Teil der Ebene wird genannt um.
Kreissektor- ein Teil eines Kreises, der von einem Bogen und zwei Radien begrenzt wird, die die Enden des Bogens mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden. Der Bogen, der den Sektor begrenzt, wird aufgerufen Sektorbogen.
Zwei Kreise, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, werden genannt konzentrisch.
Zwei Kreise, die sich rechtwinklig schneiden, nennt man senkrecht.

Gegenseitige Anordnung einer Geraden und eines Kreises

1. Ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Kreisradius ( d), dann haben die Linie und der Kreis zwei gemeinsame Punkte. In diesem Fall wird die Leitung aufgerufen Sekante in Bezug auf den Kreis.
2. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie gleich dem Radius des Kreises ist, dann haben die Linie und der Kreis nur einen gemeinsamen Punkt. Eine solche Linie heißt Tangente zum Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt heißt Berührungspunkt zwischen einer Linie und einem Kreis.
3. Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie größer ist als der Radius des Kreises, dann die Linie und der Kreis haben keine gemeinsamen Punkte
.

Zentrale und eingeschriebene Winkel

Zentrale Ecke ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises.
Eingeschriebener Winkel Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden.

Einbeschriebener Winkelsatz

Ein einbeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, den er schneidet.

• Folge 1.
  Einbeschriebene Winkel, die demselben Bogen gegenüberliegen, sind gleich.


• Folge 2.
  Ein einbeschriebener Winkel, der einen Halbkreis schneidet, ist ein rechter Winkel.

Satz über das Produkt von Segmenten sich schneidender Akkorde.

Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.

Grundlegende Formeln

• Umfang:

• Bogenlänge:

• Durchmesser:

• Bogenlänge:

• Fläche eines Kreises:

• Kreissektorbereich:

Kreisgleichung

• In einem rechteckigen Koordinatensystem die Gleichung für einen Kreis mit Radius r auf einen Punkt zentriert C(x o; y o) hat die Form:

• Die Gleichung für einen Kreis mit Radius r, der im Ursprung zentriert ist, lautet:

Lassen Sie uns zuerst den Unterschied zwischen einem Kreis und einem Kreis verstehen. Um diesen Unterschied zu sehen, reicht es aus, sich die beiden Figuren anzusehen. Dies ist eine unendliche Anzahl von Punkten in der Ebene, die sich in gleichem Abstand von einem einzigen zentralen Punkt befinden. Besteht der Kreis aber auch aus Innenraum, dann gehört er nicht zum Kreis. Es stellt sich heraus, dass ein Kreis sowohl ein Kreis ist, der ihn begrenzt (o-Kreis (g)ness), als auch eine unzählbare Anzahl von Punkten, die sich innerhalb des Kreises befinden.

Für jeden auf dem Kreis liegenden Punkt L gilt die Gleichung OL=R. (Die Länge des Segments OL ist gleich dem Radius des Kreises).

Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, ist Akkord.

Eine Sehne, die direkt durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, ist Durchmesser dieser Kreis (D) . Der Durchmesser kann nach folgender Formel berechnet werden: D=2R

Umfang berechnet nach der Formel: C=2\pi R

Fläche eines Kreises: S=\pi R^(2)

Bogen eines Kreises nennt man den Teil davon, der sich zwischen zwei seiner Punkte befindet. Diese beiden Punkte definieren zwei Kreisbögen. Die Akkord-CD umfasst zwei Bögen: CMD und CLD. Dieselben Akkorde unterspannen dieselben Bögen.

Zentrale Ecke ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Bogenlänge findet man mit der Formel:

1. Abschlüsse verwenden: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Mit einem Bogenmaß: CD = \alpha R

Der Durchmesser, der senkrecht zur Sehne steht, halbiert die Sehne und die Bögen, die sie überspannt.

Wenn sich die Sehnen AB und CD des Kreises im Punkt N schneiden, dann sind die Produkte der Sehnensegmente, die durch den Punkt N getrennt sind, einander gleich.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangente zum Kreis

Tangente an einen Kreis Es ist üblich, eine gerade Linie, die einen gemeinsamen Punkt hat, mit einem Kreis zu bezeichnen.

Wenn eine Gerade zwei Punkte gemeinsam hat, heißt sie Sekante.

Wenn Sie am Berührungspunkt einen Radius zeichnen, steht dieser senkrecht zur Tangente des Kreises.

Lassen Sie uns zwei Tangenten von diesem Punkt zu unserem Kreis ziehen. Es stellt sich heraus, dass die Segmente der Tangenten einander gleich sind und der Mittelpunkt des Kreises auf der Winkelhalbierenden mit dem Scheitelpunkt an diesem Punkt liegt.

AC=CB

Nun ziehen wir von unserem Punkt aus eine Tangente und eine Sekante an den Kreis. Wir erhalten, dass das Quadrat der Länge des Tangentensegments gleich dem Produkt des gesamten Sekantensegments mit seinem äußeren Teil ist.

AC^(2) = CD \cdot BC

Wir können schlussfolgern: Das Produkt eines ganzzahligen Segments der ersten Sekante mit ihrem äußeren Teil ist gleich dem Produkt eines ganzzahligen Segments der zweiten Sekante mit ihrem äußeren Teil.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Winkel im Kreis

Die Gradmaße des Mittelpunktswinkels und des Bogens, auf dem er ruht, sind gleich.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Eingeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitel auf einem Kreis liegt und dessen Seiten Sehnen enthalten.

Sie können es berechnen, indem Sie die Größe des Bogens kennen, da sie der Hälfte dieses Bogens entspricht.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Basierend auf Durchmesser, einbeschriebenem Winkel, gerade.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Einbeschriebene Winkel, die sich auf denselben Bogen stützen, sind identisch.

Die einbeschriebenen Winkel, die auf derselben Sehne basieren, sind identisch oder ihre Summe ist gleich 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Auf demselben Kreis liegen die Ecken von Dreiecken mit identischen Winkeln und einer gegebenen Basis.

Ein Winkel mit einem Scheitel innerhalb des Kreises, der zwischen zwei Sehnen liegt, ist identisch mit der Hälfte der Summe der Winkelbeträge der Kreisbögen, die innerhalb der gegebenen und vertikalen Winkel liegen.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ein Winkel mit einem Scheitelpunkt außerhalb des Kreises, der zwischen zwei Sekanten liegt, ist identisch mit der halben Differenz der Winkelgrößen der Kreisbögen, die innerhalb des Winkels liegen.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Eingeschriebener Kreis

Eingeschriebener Kreis ist ein Kreis, der die Seiten des Polygons tangiert.

An dem Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden des Polygons schneiden, befindet sich sein Mittelpunkt.

Nicht jedem Vieleck darf ein Kreis eingeschrieben sein.

Die Fläche eines Polygons mit einem einbeschriebenen Kreis ergibt sich aus der Formel:

S=pr,

p ist der Halbumfang des Polygons,

r ist der Radius des Inkreises.

Daraus folgt, dass der Radius des einbeschriebenen Kreises ist:

r = \frac(S)(p)

Die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten sind identisch, wenn der Kreis in ein konvexes Viereck eingeschrieben ist. Und umgekehrt: Ein Kreis ist einem konvexen Viereck einbeschrieben, wenn die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten darin identisch sind.

AB+DC=AD+BC

In jedes der Dreiecke kann ein Kreis eingeschrieben werden. Nur eine einzige. An dem Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel der Figur schneiden, wird der Mittelpunkt dieses einbeschriebenen Kreises liegen.

Der Radius des einbeschriebenen Kreises wird nach folgender Formel berechnet:

r = \frac(S)(p) ,

wobei p = \frac(a + b + c)(2)

Umschriebener Kreis

Wenn ein Kreis durch jeden Eckpunkt eines Polygons geht, wird ein solcher Kreis genannt umschrieben um ein Polygon.

Am Schnittpunkt der senkrechten Winkelhalbierenden der Seiten dieser Figur befindet sich der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises.

Der Radius kann ermittelt werden, indem man ihn als Radius eines Kreises berechnet, der um ein Dreieck herumbeschrieben wird, das durch 3 beliebige Eckpunkte des Polygons definiert wird.

Es gilt folgende Bedingung: Ein Viereck kann nur dann von einem Kreis umschrieben werden, wenn die Summe seiner gegenüberliegenden Winkel gleich 180^(\circ) ist.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

In der Nähe jedes Dreiecks kann man einen Kreis beschreiben, und zwar einen und nur einen. Der Mittelpunkt eines solchen Kreises befindet sich an dem Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden der Seiten des Dreiecks schneiden.

Der Radius des umschriebenen Kreises kann nach den Formeln berechnet werden:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c sind die Seitenlängen des Dreiecks,

S ist die Fläche des Dreiecks.

Satz des Ptolemäus

Betrachten Sie schließlich den Satz von Ptolemäus.

Der Satz von Ptolemäus besagt, dass das Produkt der Diagonalen identisch ist mit der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten eines einbeschriebenen Vierecks.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD