Logarithmische Ungleichungen mit gleichen Basen. Logarithmische Ungleichungen. Der umfassende Leitfaden (2019)

Unter der ganzen Vielfalt logarithmischer Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis gesondert untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund in der Schule selten gelehrt wird:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Anstelle des Kontrollkästchens „∨“ können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass in beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind.

Auf diese Weise beseitigen wir Logarithmen und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln entstehen. Um sie abzuschneiden, reicht es aus, den Bereich akzeptabler Werte zu ermitteln. Wenn Sie die ODZ eines Logarithmus vergessen haben, empfehle ich dringend, sie zu wiederholen – siehe „Was ist ein Logarithmus“.

Alles, was mit dem Bereich akzeptabler Werte zusammenhängt, muss separat ausgeschrieben und gelöst werden:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt sein. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, müssen Sie ihn nur noch mit der Lösung der rationalen Ungleichung schneiden – und schon ist die Antwort fertig.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Schreiben wir zunächst die ODZ des Logarithmus auf:

Die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch erfüllt, die letzte muss jedoch ausgeschrieben werden. Da das Quadrat einer Zahl genau dann Null ist, wenn die Zahl selbst Null ist, gilt:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Jetzt lösen wir die Hauptungleichung:

Wir machen den Übergang von der logarithmischen zur rationalen Ungleichung. Die ursprüngliche Ungleichung hat ein „Kleiner-als“-Zeichen, was bedeutet, dass die resultierende Ungleichung auch ein „Kleiner-als“-Zeichen haben muss. Wir haben:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Die Nullstellen dieses Ausdrucks sind: x = 3; x = −3; x = 0. Darüber hinaus ist x = 0 eine Wurzel der zweiten Multiplizität, was bedeutet, dass sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchlaufen nicht ändert. Wir haben:

Wir erhalten x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Diese Menge ist vollständig in der ODZ des Logarithmus enthalten, was bedeutet, dass dies die Antwort ist.

Logarithmische Ungleichungen umwandeln

Oftmals unterscheidet sich die ursprüngliche Ungleichung von der oben genannten. Dies lässt sich leicht mit den Standardregeln für die Arbeit mit Logarithmen korrigieren – siehe „Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen“. Nämlich:

1. Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer bestimmten Basis dargestellt werden;
2. Die Summe und Differenz von Logarithmen gleicher Basis kann durch einen Logarithmus ersetzt werden.

Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da es in der ursprünglichen Ungleichung mehrere Logarithmen geben kann, ist es erforderlich, die VA für jeden von ihnen zu ermitteln. Das allgemeine Schema zur Lösung logarithmischer Ungleichungen lautet daher wie folgt:

1. Finden Sie die VA jedes in der Ungleichung enthaltenen Logarithmus.
2. Reduzieren Sie die Ungleichung auf eine Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden.
3. Lösen Sie die resultierende Ungleichung mit dem oben angegebenen Schema.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Finden wir den Definitionsbereich (DO) des ersten Logarithmus:

Wir lösen mit der Intervallmethode. Finden der Nullstellen des Zählers:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Dann - die Nullen des Nenners:

x − 1 = 0;
x = 1.

Wir markieren Nullen und Vorzeichen auf dem Koordinatenpfeil:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Der zweite Logarithmus hat die gleiche VA. Wenn Sie es nicht glauben, können Sie es überprüfen. Jetzt transformieren wir den zweiten Logarithmus so, dass die Basis zwei ist:

Wie Sie sehen, wurden die Dreien an der Basis und vor dem Logarithmus reduziert. Wir haben zwei Logarithmen mit derselben Basis. Addieren wir sie:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Wir haben die logarithmische Standardungleichung erhalten. Mit der Formel werden wir Logarithmen los. Da die ursprüngliche Ungleichung ein „Kleiner-als“-Zeichen enthält, muss der resultierende rationale Ausdruck ebenfalls kleiner als Null sein. Wir haben:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Wir haben zwei Sets bekommen:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatenantwort: x ∈ (−1; 3).

Es bleibt noch, diese Mengen zu schneiden – wir erhalten die eigentliche Antwort:

Uns interessiert der Schnittpunkt von Mengen, daher wählen wir Intervalle aus, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – alle Punkte sind punktiert.

Logarithmische Ungleichungen

In früheren Lektionen haben wir uns mit logarithmischen Gleichungen vertraut gemacht und wissen jetzt, was sie sind und wie man sie löst. Die heutige Lektion ist dem Studium logarithmischer Ungleichungen gewidmet. Was sind diese Ungleichungen und was ist der Unterschied zwischen der Lösung einer logarithmischen Gleichung und einer Ungleichung?

Logarithmische Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen eine Variable unter dem Logarithmuszeichen oder an ihrer Basis erscheint.

Wir können auch sagen, dass eine logarithmische Ungleichung eine Ungleichung ist, bei der ihr unbekannter Wert, wie in einer logarithmischen Gleichung, unter dem Vorzeichen des Logarithmus erscheint.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen haben die folgende Form:

wobei f(x) und g(x) einige Ausdrücke sind, die von x abhängen.

Schauen wir uns das anhand dieses Beispiels an: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logarithmische Ungleichungen lösen

Bevor logarithmische Ungleichungen gelöst werden, ist es erwähnenswert, dass sie, wenn sie gelöst werden, exponentiellen Ungleichungen ähneln, nämlich:

Wenn wir von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen übergehen, müssen wir zunächst auch die Basis des Logarithmus mit eins vergleichen;

Zweitens müssen wir beim Lösen einer logarithmischen Ungleichung mithilfe einer Variablenänderung Ungleichungen in Bezug auf die Änderung lösen, bis wir die einfachste Ungleichung erhalten.

Aber Sie und ich haben ähnliche Aspekte der Lösung logarithmischer Ungleichungen betrachtet. Lassen Sie uns nun auf einen ziemlich bedeutenden Unterschied achten. Sie und ich wissen, dass die logarithmische Funktion einen begrenzten Definitionsbereich hat. Daher müssen wir beim Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen den Bereich zulässiger Werte (ADV) berücksichtigen.

Das heißt, es sollte berücksichtigt werden, dass Sie und ich beim Lösen einer logarithmischen Gleichung zunächst die Wurzeln der Gleichung finden und dann diese Lösung überprüfen können. Aber das Lösen einer logarithmischen Ungleichung wird auf diese Weise nicht funktionieren, da beim Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen die ODZ der Ungleichung notiert werden muss.

Darüber hinaus ist zu bedenken, dass die Ungleichungstheorie aus reellen Zahlen, also positiven und negativen Zahlen, sowie der Zahl 0 besteht.

Wenn beispielsweise die Zahl „a“ positiv ist, müssen Sie die folgende Notation verwenden: a >0. In diesem Fall sind sowohl die Summe als auch das Produkt dieser Zahlen ebenfalls positiv.

Das Hauptprinzip zur Lösung einer Ungleichung besteht darin, sie durch eine einfachere Ungleichung zu ersetzen, aber die Hauptsache ist, dass sie der gegebenen Ungleichung äquivalent ist. Darüber hinaus haben wir auch eine Ungleichung erhalten und diese wiederum durch eine einfachere Form usw. ersetzt.

Wenn Sie Ungleichungen mit einer Variablen lösen, müssen Sie alle Lösungen finden. Wenn zwei Ungleichungen dieselbe Variable x haben, dann sind diese Ungleichungen äquivalent, sofern ihre Lösungen übereinstimmen.

Wenn Sie Aufgaben zur Lösung logarithmischer Ungleichungen lösen, müssen Sie bedenken, dass bei a > 1 die logarithmische Funktion zunimmt und bei 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Methoden zur Lösung logarithmischer Ungleichungen

Schauen wir uns nun einige der Methoden an, die bei der Lösung logarithmischer Ungleichungen zum Einsatz kommen. Zum besseren Verständnis und zur Aufnahme werden wir versuchen, sie anhand konkreter Beispiele zu verstehen.

Wir alle wissen, dass die einfachste logarithmische Ungleichung die folgende Form hat:

In dieser Ungleichung ist V – eines der folgenden Ungleichheitszeichen:<,>, ≤ oder ≥.

Wenn die Basis eines bestimmten Logarithmus größer als eins ist (a>1) und der Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Logarithmuszeichen erfolgt, bleibt in dieser Version das Ungleichheitszeichen erhalten und die Ungleichung hat die folgende Form:

was diesem System entspricht:

Wenn die Basis des Logarithmus größer als Null und kleiner als Eins ist (0

Dies entspricht diesem System:

Schauen wir uns weitere Beispiele für die Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichungen an, die im Bild unten gezeigt werden:

Beispiele lösen

Übung. Versuchen wir, diese Ungleichung zu lösen:

Lösung des Bereichs akzeptabler Werte.

Versuchen wir nun, die rechte Seite zu multiplizieren mit:

Mal sehen, was uns einfällt:

Kommen wir nun zur Konvertierung sublogarithmischer Ausdrücke. Aufgrund der Tatsache, dass die Basis des Logarithmus 0 ist< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Daraus folgt, dass das Intervall, das wir erhalten haben, vollständig zur ODZ gehört und eine Lösung für eine solche Ungleichung darstellt.

Hier ist die Antwort, die wir bekommen haben:

Was wird benötigt, um logarithmische Ungleichungen zu lösen?

Versuchen wir nun zu analysieren, was wir brauchen, um logarithmische Ungleichungen erfolgreich zu lösen?

Konzentrieren Sie zunächst Ihre ganze Aufmerksamkeit und versuchen Sie, bei der Durchführung der in dieser Ungleichung angegebenen Transformationen keine Fehler zu machen. Außerdem ist zu bedenken, dass bei der Lösung solcher Ungleichungen Erweiterungen und Kontraktionen der Ungleichungen vermieden werden müssen, die zum Verlust oder zur Übernahme fremder Lösungen führen können.

Zweitens müssen Sie beim Lösen logarithmischer Ungleichungen lernen, logisch zu denken und den Unterschied zwischen Konzepten wie einem System von Ungleichungen und einer Reihe von Ungleichungen zu verstehen, damit Sie leicht Lösungen für die Ungleichung auswählen können und sich dabei an deren DL orientieren können.

Drittens muss jeder von Ihnen alle Eigenschaften elementarer Funktionen genau kennen und ihre Bedeutung klar verstehen, um solche Ungleichungen erfolgreich zu lösen. Zu diesen Funktionen gehören nicht nur logarithmische, sondern auch rationale, Potenz-, trigonometrische usw., kurz gesagt, alle Funktionen, die Sie in der Algebra in der Schule gelernt haben.

Wie Sie nach dem Studium des Themas der logarithmischen Ungleichungen sehen können, ist die Lösung dieser Ungleichungen nicht schwierig, vorausgesetzt, Sie sind bei der Erreichung Ihrer Ziele vorsichtig und beharrlich. Um Probleme bei der Lösung von Ungleichungen zu vermeiden, müssen Sie so viel wie möglich üben, verschiedene Aufgaben lösen und sich gleichzeitig an die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Ungleichungen und deren Systeme erinnern. Wenn es Ihnen nicht gelingt, logarithmische Ungleichungen zu lösen, sollten Sie Ihre Fehler sorgfältig analysieren, um in Zukunft nicht noch einmal darauf zurückzukommen.

Hausaufgaben

Um das Thema besser zu verstehen und den behandelten Stoff zu festigen, lösen Sie die folgenden Ungleichungen:

Glauben Sie, dass bis zum Einheitlichen Staatsexamen noch Zeit ist und Sie Zeit haben werden, sich vorzubereiten? Vielleicht ist das so. Aber je früher der Student mit der Vorbereitung beginnt, desto erfolgreicher besteht er die Prüfungen. Heute haben wir beschlossen, den logarithmischen Ungleichungen einen Artikel zu widmen. Dies ist eine der Aufgaben und bietet die Möglichkeit, zusätzliche Credits zu erhalten.

Wissen Sie schon, was ein Logarithmus ist? Das hoffen wir wirklich. Aber auch wenn Sie auf diese Frage keine Antwort haben, ist das kein Problem. Es ist sehr einfach zu verstehen, was ein Logarithmus ist.

Warum 4? Sie müssen die Zahl 3 auf diese Potenz erhöhen, um 81 zu erhalten. Sobald Sie das Prinzip verstanden haben, können Sie mit komplexeren Berechnungen fortfahren.

Sie haben vor ein paar Jahren Ungleichheiten erlebt. Und seitdem begegnet man ihnen in der Mathematik immer wieder. Wenn Sie Probleme beim Lösen von Ungleichungen haben, lesen Sie den entsprechenden Abschnitt.
Nachdem wir uns nun mit den Konzepten im Einzelnen vertraut gemacht haben, gehen wir dazu über, sie im Allgemeinen zu betrachten.

Die einfachste logarithmische Ungleichung.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen sind nicht auf dieses Beispiel beschränkt; es gibt noch drei weitere, nur mit unterschiedlichen Vorzeichen. Warum ist das notwendig? Um besser zu verstehen, wie man Ungleichungen mit Logarithmen löst. Lassen Sie uns nun ein anwendbareres Beispiel geben, das immer noch recht einfach ist. Wir werden komplexe logarithmische Ungleichungen für später aufheben.

Wie kann man das lösen? Alles beginnt mit ODZ. Es lohnt sich, mehr darüber zu wissen, wenn Sie Ungleichungen immer einfach lösen möchten.

Was ist ODZ? ODZ für logarithmische Ungleichungen

Die Abkürzung steht für den Bereich akzeptabler Werte. Diese Formulierung kommt häufig in Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen vor. ODZ wird Ihnen nicht nur bei logarithmischen Ungleichungen nützlich sein.

Schauen Sie sich noch einmal das obige Beispiel an. Wir werden die darauf basierende ODZ betrachten, damit Sie das Prinzip verstehen und die Lösung logarithmischer Ungleichungen keine Fragen aufwirft. Aus der Definition eines Logarithmus folgt, dass 2x+4 größer als Null sein muss. In unserem Fall bedeutet dies Folgendes.

Diese Zahl muss per Definition positiv sein. Lösen Sie die oben dargestellte Ungleichung. Dies kann sogar mündlich erfolgen; hier ist klar, dass X nicht kleiner als 2 sein kann. Die Lösung der Ungleichung wird die Definition des Bereichs akzeptabler Werte sein.
Kommen wir nun zur Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichung.

Wir verwerfen die Logarithmen selbst auf beiden Seiten der Ungleichung. Was bleibt uns dabei? Einfache Ungleichheit.

Es ist nicht schwer zu lösen. X muss größer als -0,5 sein. Nun kombinieren wir die beiden erhaltenen Werte zu einem System. Auf diese Weise,

Dies ist der Bereich akzeptabler Werte für die betrachtete logarithmische Ungleichung.

Warum brauchen wir überhaupt ODZ? Dies ist eine Gelegenheit, falsche und unmögliche Antworten auszusortieren. Wenn die Antwort nicht im Bereich akzeptabler Werte liegt, ergibt die Antwort einfach keinen Sinn. Daran sollte man sich noch lange erinnern, da im Einheitlichen Staatsexamen häufig nach ODZ gesucht werden muss und es sich dabei nicht nur um logarithmische Ungleichungen handelt.

Algorithmus zur Lösung logarithmischer Ungleichungen

Die Lösung besteht aus mehreren Schritten. Zunächst müssen Sie den Bereich akzeptabler Werte ermitteln. In der ODZ wird es zwei Werte geben, die wir oben besprochen haben. Als nächstes müssen wir die Ungleichung selbst lösen. Die Lösungsmethoden sind wie folgt:

• Multiplikator-Ersetzungsmethode;
• Zersetzung;
• Rationalisierungsmethode.

Je nach Situation lohnt es sich, eine der oben genannten Methoden anzuwenden. Kommen wir direkt zur Lösung. Lassen Sie uns die beliebteste Methode vorstellen, die in fast allen Fällen zur Lösung von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens geeignet ist. Als nächstes werden wir uns die Zerlegungsmethode ansehen. Es kann hilfreich sein, wenn Sie auf eine besonders knifflige Ungleichung stoßen. Also ein Algorithmus zur Lösung logarithmischer Ungleichungen.

Beispiele für Lösungen :

Nicht umsonst haben wir genau diese Ungleichung angenommen! Achten Sie auf die Basis. Denken Sie daran: Wenn er größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen beim Ermitteln des Bereichs akzeptabler Werte gleich. V ansonsten Sie müssen das Ungleichheitszeichen ändern.

Als Ergebnis erhalten wir die Ungleichung:

Jetzt reduzieren wir die linke Seite auf die Form der Gleichung gleich Null. Anstelle des „kleiner als“-Zeichens setzen wir „gleich“ und lösen die Gleichung. Somit finden wir die ODZ. Wir hoffen, dass Sie keine Probleme haben werden, eine so einfache Gleichung zu lösen. Die Antworten sind -4 und -2. Das ist nicht alles. Sie müssen diese Punkte in der Grafik anzeigen, indem Sie „+“ und „-“ platzieren. Was muss hierfür getan werden? Setzen Sie die Zahlen aus den Intervallen in den Ausdruck ein. Bei positiven Werten setzen wir dort „+“.

Antwort: x kann nicht größer als -4 und kleiner als -2 sein.

Wir haben den Bereich akzeptabler Werte nur für die linke Seite gefunden; jetzt müssen wir den Bereich akzeptabler Werte für die rechte Seite ermitteln. Das ist viel einfacher. Antwort: -2. Wir schneiden beide resultierenden Bereiche.

Und erst jetzt beginnen wir, uns mit der Ungleichheit selbst zu befassen.

Vereinfachen wir es so weit wie möglich, damit es einfacher zu lösen ist.

In der Lösung verwenden wir erneut die Intervallmethode. Lassen Sie uns die Berechnungen überspringen; aus dem vorherigen Beispiel ist bereits alles klar. Antwort.

Diese Methode ist jedoch geeignet, wenn die logarithmische Ungleichung die gleichen Basen hat.

Die Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen mit unterschiedlichen Basen erfordert zunächst eine Reduktion auf die gleiche Basis. Als nächstes verwenden Sie die oben beschriebene Methode. Aber es gibt einen komplizierteren Fall. Betrachten wir eine der komplexesten Arten logarithmischer Ungleichungen.

Logarithmische Ungleichungen mit variabler Basis

Wie löst man Ungleichungen mit solchen Merkmalen? Ja, und solche Leute können im Einheitlichen Staatsexamen gefunden werden. Die Lösung von Ungleichheiten auf die folgende Weise wird sich auch positiv auf Ihren Bildungsprozess auswirken. Schauen wir uns das Problem im Detail an. Verwerfen wir die Theorie und gehen direkt zur Praxis über. Um logarithmische Ungleichungen zu lösen, genügt es, sich einmal mit dem Beispiel vertraut zu machen.

Um eine logarithmische Ungleichung der dargestellten Form zu lösen, ist es notwendig, die rechte Seite auf einen Logarithmus mit derselben Basis zu reduzieren. Das Prinzip ähnelt äquivalenten Übergängen. Infolgedessen wird die Ungleichung so aussehen.

Eigentlich bleibt nur noch die Schaffung eines Systems von Ungleichungen ohne Logarithmen. Mit der Rationalisierungsmethode gelangen wir zu einem äquivalenten Ungleichungssystem. Sie werden die Regel selbst verstehen, wenn Sie die entsprechenden Werte ersetzen und deren Änderungen verfolgen. Das System weist die folgenden Ungleichungen auf.

Wenn Sie beim Lösen von Ungleichungen die Rationalisierungsmethode verwenden, müssen Sie Folgendes beachten: Eins muss von der Basis subtrahiert werden, x wird per Definition des Logarithmus von beiden Seiten der Ungleichung (rechts von links) subtrahiert, zwei Ausdrücke werden multipliziert und unter das ursprüngliche Vorzeichen in Bezug auf Null gesetzt.

Die weitere Lösung erfolgt nach der Intervallmethode, hier ist alles einfach. Es ist wichtig, dass Sie die Unterschiede in den Lösungsmethoden verstehen, dann wird alles reibungslos funktionieren.

Bei logarithmischen Ungleichungen gibt es viele Nuancen. Die einfachsten davon sind recht einfach zu lösen. Wie können Sie jedes davon ohne Probleme lösen? Alle Antworten haben Sie bereits in diesem Artikel erhalten. Jetzt liegt eine lange Übung vor Ihnen. Üben Sie ständig das Lösen verschiedener Aufgaben in der Prüfung und Sie werden in der Lage sein, die höchste Punktzahl zu erreichen. Viel Glück bei Ihrer schwierigen Aufgabe!

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