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Stammfunktion von Nullstellen einer Funktion. Stammfunktion der Funktion. Die Haupteigenschaft der Stammfunktion

Funktion F(X ) angerufen Stammfunktion für Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit

F"(X ) = F(X ) .

Zum Beispiel die Funktion F(x) = x 2 F(X ) = 2X , als

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Die Haupteigenschaft der Stammfunktion

Wenn F(x) - Stammfunktion einer Funktion f(x) in einem gegebenen Intervall, dann die Funktion f(x) hat unendlich viele Stammfunktionen, und alle diese Stammfunktionen können in der Form geschrieben werden F(x) + C, Wo MIT ist eine beliebige Konstante.

Zum Beispiel.

Funktion F(x) = x 2 + 1 ist eine Stammfunktion der Funktion

F(X ) = 2X , als F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

Funktion F(x) = x 2 - 1 ist eine Stammfunktion der Funktion

F(X ) = 2X , als F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

Funktion F(x) = x 2 - 3 ist eine Stammfunktion der Funktion

F(X) = 2X , als F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

jede Funktion F(x) = x 2 + MIT , Wo MIT - eine beliebige Konstante, und nur eine solche Funktion ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = 2X . ◄

Regeln zur Berechnung von Stammfunktionen

Wenn F(x) - Stammfunktion für f(x) , A G(x) - Stammfunktion für g(x) , Das F(x) + G(x) - Stammfunktion für f(x) + g(x) . Mit anderen Worten, die Stammfunktion der Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen .
Wenn F(x) - Stammfunktion für f(x) , Und k - also konstant k · F(x) - Stammfunktion für k · f(x) . Mit anderen Worten, Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden .
Wenn F(x) - Stammfunktion für f(x) , Und k,B- konstant, und k ≠ 0 , Das 1 / k F( k x+ B ) - Stammfunktion für F(k x+ B) .

Unbestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) Ausdruck genannt F(x) + C, also die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f(x) . Das unbestimmte Integral wird wie folgt bezeichnet:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- Sie rufen Integrandenfunktion ;

f(x) dx- Sie rufen Integrand ;

X - Sie rufen Integrationsvariable ;

F(x) - eine der primitiven Funktionen f(x) ;

MIT ist eine beliebige Konstante.

Zum Beispiel, ∫ 2 x dx =X 2 + MIT , ∫ cosx dx = Sünde X + MIT usw. ◄

Das Wort „Integral“ kommt vom lateinischen Wort ganze Zahl , was „wiederhergestellt“ bedeutet. Betrachtet man das unbestimmte Integral von 2 X, wir scheinen die Funktion wiederherzustellen X 2 , dessen Ableitung gleich ist 2 X. Das Wiederherstellen einer Funktion aus ihrer Ableitung oder, was dasselbe ist, das Finden eines unbestimmten Integrals über einem gegebenen Integranden nennt man Integration diese Funktion. Die Integration ist die Umkehroperation der Differenzierung. Um zu überprüfen, ob die Integration korrekt durchgeführt wurde, genügt es, das Ergebnis zu differenzieren und den Integranden zu erhalten.

Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

Der konstante Faktor des Integranden lässt sich aus dem Integralzeichen entnehmen:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

Das Integral der Summe (Differenz) der Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale dieser Funktionen:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

Wenn k,B- konstant, und k ≠ 0 , Das

∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .

Tabelle der Stammfunktionen und unbestimmten Integrale

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ICH.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Die in dieser Tabelle angegebenen Stammfunktionen und unbestimmten Integrale werden üblicherweise aufgerufen tabellarische Stammfunktionen Und Tabellenintegrale .

Bestimmtes Integral

Zwischendurch lassen [A; B] eine stetige Funktion ist gegeben y = f(x) , Dann bestimmtes Integral von a nach b Funktionen f(x) heißt das Inkrement der Stammfunktion F(x) diese Funktion, das ist

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Zahlen A Und B heißen entsprechend untere Und Spitze Grenzen der Integration.

Grundregeln zur Berechnung des bestimmten Integrals

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ wobei k - konstant;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx$;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, wobei f(x) - gleiche Funktion;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, wobei f(x) ist eine seltsame Funktion.

Kommentar . In allen Fällen wird davon ausgegangen, dass die Integranden in numerischen Intervallen integrierbar sind, deren Grenzen die Grenzen der Integration sind.

Geometrische und physikalische Bedeutung des bestimmten Integrals

Geometrische Bedeutung bestimmtes Integral	Physikalische Bedeutung bestimmtes Integral

Quadrat S krummliniges Trapez (eine Figur, die durch den Graphen eines kontinuierlichen Positivs im Intervall begrenzt wird). [A; B] Funktionen f(x) , Achse Ochse und gerade x=a , x=b ) wird nach der Formel berechnet $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Weg S, die der materielle Punkt überwunden hat, und bewegt sich geradlinig mit einer gesetzmäßig variierenden Geschwindigkeit v(t) , für einen Zeitraum a ; B] , dann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und Geraden begrenzt wird x = a , x = b , wird nach der Formel berechnet $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Zum Beispiel. Berechnen wir die Fläche der durch Linien begrenzten Figur y = x 2 Und y= 2-X . Lassen Sie uns die Diagramme dieser Funktionen schematisch darstellen und die Figur, deren Fläche gefunden werden muss, in einer anderen Farbe hervorheben. Um die Grenzen der Integration zu finden, lösen wir die Gleichung: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumen eines Rotationskörpers

Wenn ein Körper durch Drehung um eine Achse entsteht Ochse krummliniges Trapez, das durch einen kontinuierlichen und nicht negativen Graphen im Intervall begrenzt wird [A; B] Funktionen y = f(x) und gerade x = a Und x = b , dann heißt es Rotationskörper .

Das Volumen eines Rotationskörpers wird nach der Formel berechnet

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Wenn ein Rotationskörper als Ergebnis der Drehung einer nach oben und unten durch Funktionsgraphen begrenzten Figur entsteht y = f(x) Und y = g(x) , dementsprechend also

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Zum Beispiel. Berechnen wir das Volumen eines Kegels mit Radius R und Höhe H .

Positionieren wir den Kegel in einem rechtwinkligen Koordinatensystem so, dass seine Achse mit der Achse übereinstimmt Ochse , und die Mitte der Basis befand sich im Ursprung. Generatordrehung AB definiert einen Kegel. Da die Gleichung AB

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

und für das Volumen des Kegels haben wir

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄

51. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=f "(x)- Ableitung einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (− 4; 6). Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft y=f(x) parallel zur Linie y=3x oder fällt damit zusammen.

Antwort: 5

52. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) f(x) f(x) positiv?

Antwort: 7

53. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x) und auf der x-Achse sind acht Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion f(x) Negativ?

Antwort: 3

54. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x) und auf der x-Achse sind zehn Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion f(x) positiv?

Antwort: 6

55. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x f(x), definiert auf dem Intervall (− 7; 5). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)=0 auf dem Segment [− 5; 2].

Antwort: 3

56. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f (X), definiert auf dem Intervall (− 8; 7). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)= 0 auf dem Intervall [− 5; 5].

Antwort: 4

57. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(X) eine der Stammfunktionen einer Funktion F(X), definiert auf dem Intervall (1;13). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung F (X)=0 auf dem Segment .

Antwort: 4

58. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x)(zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt). Berechnen Sie anhand der Zahl F(−1)−F(−8), Wo F(x) f(x).

Antwort: 20

59. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x) (zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt). Berechnen Sie anhand der Zahl F(−1)−F(−9), Wo F(x)- eine der primitiven Funktionen f(x).

Antwort: 24

60. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x). Funktion

-eine der primitiven Funktionen f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Antwort: 6

61. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x). Funktion

Eine der primitiven Funktionen f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Antwort: 14.5

parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen

Antwort:0,5

Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Antwort 1

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden C.

Antwort: 20

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden A.

Antwort: 0,125

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden B, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Abszisse des Tangentenpunkts größer als 0 ist.

Antwort: -33

67. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X T- Zeit in Sekunden, gemessen ab dem Moment, in dem die Bewegung begann. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 96 m/s?

Antwort: 18

68. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab dem Moment, in dem die Bewegung begann. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 48 m/s?

Antwort: 9

69. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X T T=6 Mit.

Antwort: 20

70. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Ermitteln Sie die aktuelle Geschwindigkeit (in m/s). T=3 Mit.

Antwort: 59

Ziel:

Bildung des Konzepts der Stammfunktion.
Vorbereitung auf die Wahrnehmung des Integrals.
Ausbildung von Computerkenntnissen.
Den Sinn für Schönheit kultivieren (die Fähigkeit, Schönheit im Ungewöhnlichen zu sehen).

Die mathematische Analyse ist eine Reihe von Zweigen der Mathematik, die sich mit der Untersuchung von Funktionen und ihren Verallgemeinerungen mithilfe von Methoden der Differential- und Integralrechnung befassen.

Bisher haben wir einen Zweig der mathematischen Analyse namens Differentialrechnung studiert, dessen Kern die Untersuchung einer Funktion im „Kleinen“ ist.

Diese. Untersuchung einer Funktion in ausreichend kleinen Umgebungen jedes Definitionspunkts. Eine der Operationen der Differenzierung besteht darin, die Ableitung (Differential) zu finden und sie auf das Studium von Funktionen anzuwenden.

Das umgekehrte Problem ist nicht weniger wichtig. Wenn das Verhalten einer Funktion in der Nähe jedes Punkts ihrer Definition bekannt ist, wie kann man dann die Funktion als Ganzes rekonstruieren, d. h. im gesamten Umfang seiner Definition. Dieses Problem ist Gegenstand der Untersuchung der sogenannten Integralrechnung.

Integration ist die umgekehrte Wirkung der Differenzierung. Oder Wiederherstellen der Funktion f(x) aus einer gegebenen Ableitung f`(x). Das lateinische Wort „integro“ bedeutet Wiederherstellung.

Beispiel Nr. 1.

Sei (x)`=3x 2.
Finden wir f(x).

Lösung:

Basierend auf der Differenzierungsregel ist es nicht schwer zu erraten, dass f(x) = x 3, weil (x 3)` = 3x 2
Man kann jedoch leicht erkennen, dass f(x) nicht eindeutig gefunden wird.
Als f(x) können wir nehmen
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 usw.

Weil die Ableitung von jedem von ihnen gleich 3x 2 ist. (Die Ableitung einer Konstante ist 0). Alle diese Funktionen unterscheiden sich durch einen konstanten Term voneinander. Daher kann die allgemeine Lösung des Problems als f(x) = x 3 + C geschrieben werden, wobei C eine beliebige konstante reelle Zahl ist.

Jede der gefundenen Funktionen f(x) wird aufgerufen PRIMODIUM für die Funktion F`(x)= 3x 2

Definition. Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion für eine Funktion f(x) auf einem gegebenen Intervall J, wenn für alle x aus diesem Intervall F`(x)= f(x) gilt. Die Funktion F(x)=x 3 ist also Stammfunktion für f(x)=3x 2 auf (- ∞ ; ∞).
Da für alle x ~R die Gleichheit gilt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Wie wir bereits bemerkt haben, hat diese Funktion unendlich viele Stammfunktionen (siehe Beispiel Nr. 1).

Beispiel Nr. 2. Die Funktion F(x)=x ist Stammfunktion für alle f(x)= 1/x auf dem Intervall (0; +), weil Für alle x aus diesem Intervall gilt Gleichheit.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Beispiel Nr. 3. Die Funktion F(x)=tg3x ist eine Stammfunktion für f(x)=3/cos3x auf dem Intervall (-n/ 2; P/ 2),
Weil F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Beispiel Nr. 4. Die Funktion F(x)=3sin4x+1/x-2 ist Stammfunktion für f(x)=12cos4x-1/x 2 auf dem Intervall (0;∞)
Weil F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Vorlesung 2.

Thema: Stammfunktion. Die Haupteigenschaft einer Stammfunktion.

Beim Studium der Stammfunktion stützen wir uns auf die folgende Aussage. Konstanzzeichen einer Funktion: Wenn auf dem Intervall J die Ableitung Ψ(x) der Funktion gleich 0 ist, dann ist die Funktion Ψ(x) auf diesem Intervall konstant.

Diese Aussage lässt sich geometrisch beweisen.

Es ist bekannt, dass Ψ`(x)=tgα, γde α der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion Ψ(x) am Punkt mit der Abszisse x 0 ist. Wenn Ψ`(υ)=0 an irgendeinem Punkt im Intervall J, dann ist tanα=0 δfür jede Tangente an den Graphen der Funktion Ψ(x). Dies bedeutet, dass die Tangente an den Funktionsgraphen an jedem Punkt parallel zur Abszissenachse verläuft. Daher fällt im angegebenen Intervall der Graph der Funktion Ψ(x) mit dem Geradensegment y=C zusammen.

Die Funktion f(x)=c ist also im Intervall J konstant, wenn f`(x)=0 in diesem Intervall.

Tatsächlich können wir für ein beliebiges x 1 und x 2 aus dem Intervall J unter Verwendung des Satzes über den Mittelwert einer Funktion schreiben:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), weil f`(c)=0, dann f(x 2)= f(x 1)

Satz: (Die Haupteigenschaft der Stammfunktion)

Wenn F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) im Intervall J ist, dann hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form: F(x)+C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.

Nachweisen:

Sei F`(x) = f (x), dann ist (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), für x Є J.
Angenommen, es existiert Φ(x) – eine weitere Stammfunktion für f (x) im Intervall J, d. h. Φ`(x) = f (x),
dann ist (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, für x Є J.
Das bedeutet, dass Φ(x) - F(x) im Intervall J konstant ist.
Daher ist Φ(x) - F(x) = C.
Von wo aus Φ(x)= F(x)+C.
Das heißt, wenn F(x) eine Stammfunktion für eine Funktion f (x) im Intervall J ist, dann hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form: F(x)+C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.
Folglich unterscheiden sich zwei beliebige Stammfunktionen einer gegebenen Funktion um einen konstanten Term voneinander.

Beispiel: Finden Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion f (x) = cos x. Zeichnen Sie Diagramme der ersten drei.

Lösung: Sin x ist eine der Stammfunktionen für die Funktion f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – die Menge aller Stammfunktionen.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrische Darstellung: Der Graph jeder Stammfunktion F(x)+C kann aus dem Graphen der Stammfunktion F(x) durch Parallelübertragung von r (0;c) erhalten werden.

Beispiel: Finden Sie für die Funktion f (x) = 2x eine Stammfunktion, deren Graph durch t.M (1;4) verläuft.

Lösung: F(x)=x 2 +C – die Menge aller Stammfunktionen, F(1)=4 – entsprechend den Bedingungen des Problems.
Daher ist 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Hallo Freunde! In diesem Artikel werden wir uns mit Aufgaben für Stammfunktionen befassen. Diese Aufgaben sind Teil des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Trotz der Tatsache, dass die Abschnitte selbst – Differenzierung und Integration – im Algebrakurs recht umfangreich sind und einen verantwortungsvollen Umgang mit dem Verständnis erfordern, werden die Aufgaben selbst, die in der offenen Aufgabenbank der Mathematik enthalten sind, im Unified äußerst einfach sein Staatsexamen und kann in ein oder zwei Schritten gelöst werden.

Es ist wichtig, das Wesen der Stammfunktion und insbesondere die geometrische Bedeutung des Integrals genau zu verstehen. Betrachten wir kurz die theoretischen Grundlagen.

Geometrische Bedeutung des Integrals

Über das Integral können wir kurz sagen: Das Integral ist die Fläche.

Definition: Auf der Koordinatenebene sei ein Graph einer auf dem Segment definierten positiven Funktion f gegeben. Ein Untergraph (oder krummliniges Trapez) ist eine Figur, die durch den Graphen einer Funktion f, die Linien x = a und x = b und die x-Achse begrenzt wird.

Definition: Gegeben sei eine positive Funktion f, definiert auf einer endlichen Strecke. Das Integral einer Funktion f auf einem Segment ist die Fläche seines Untergraphen.

Wie bereits gesagt: F′(x) = f (x).Was können wir daraus schließen?

Es ist einfach. Wir müssen bestimmen, wie viele Punkte es auf diesem Graphen gibt, an denen F′(x) = 0 ist. Wir wissen, dass an den Punkten die Tangente an den Graphen der Funktion parallel zur x-Achse verläuft. Lassen Sie uns diese Punkte im Intervall [–2;4] zeigen:

Dies sind die Extrempunkte einer gegebenen Funktion F (x). Es gibt zehn davon.

Antwort: 10

323078. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y = f (x) (zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Startpunkt). Berechnen Sie anhand der Abbildung F (8) – F (2), wobei F (x) eine der Stammfunktionen der Funktion f (x) ist.

Schreiben wir das Newton-Leibniz-Theorem noch einmal auf:Sei f eine gegebene Funktion, F ihre beliebige Stammfunktion. Dann

Und dies ist, wie bereits gesagt, die Fläche des Untergraphen der Funktion.

Das Problem besteht also darin, die Fläche des Trapezes zu finden (Intervall von 2 bis 8):

Es ist nicht schwer, es anhand von Zellen zu berechnen. Wir erhalten 7. Das Vorzeichen ist positiv, da sich die Figur oberhalb der x-Achse (bzw. in der positiven Halbebene der y-Achse) befindet.

Auch in diesem Fall könnte man sagen: Die Differenz der Werte der Stammfunktionen an den Punkten ist die Fläche der Figur.

Antwort: 7

323079. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y = f (x). Die Funktion F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 ist eine der Stammfunktionen der Funktion y = f (x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Wie bereits zur geometrischen Bedeutung des Integrals gesagt wurde, handelt es sich dabei um die Fläche der Figur, die durch den Graphen der Funktion f(x), die Geraden x = a und x = b sowie die Ochsenachse begrenzt wird.

Satz (Newton–Leibniz):

Die Aufgabe besteht also darin, das bestimmte Integral einer bestimmten Funktion im Intervall von –11 bis –9 zu berechnen, oder mit anderen Worten, wir müssen den Unterschied in den Werten der Stammfunktionen ermitteln, die an den angegebenen Punkten berechnet wurden:

Antwort: 6

323080. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y = f (x).

Funktion F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 ist eine der Stammfunktionen der Funktion f (x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Satz (Newton–Leibniz):

Das Problem besteht darin, das bestimmte Integral einer gegebenen Funktion über das Intervall von –10 bis –8 zu berechnen:

Antwort: 4 Sie können sehen .

Ableitungen und Differenzierungsregeln sind ebenfalls enthalten. Man muss sie kennen, nicht nur um solche Aufgaben zu lösen.

Sie können sich auch die Hilfeinformationen auf der Website ansehen und.

Sehen Sie sich ein kurzes Video an, dies ist ein Ausschnitt aus dem Film „The Blind Side“. Wir können sagen, dass dies ein Film über Bildung ist, über Barmherzigkeit, über die Bedeutung vermeintlich „zufälliger“ Begegnungen in unserem Leben ... Aber diese Worte werden nicht ausreichen, ich empfehle, den Film selbst anzuschauen, ich kann ihn nur wärmstens empfehlen.

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Eine der Operationen der Differenzierung besteht darin, die Ableitung (Differential) zu finden und sie auf das Studium von Funktionen anzuwenden.

Integration ist die umgekehrte Wirkung der Differenzierung. Oder Wiederherstellen der Funktion f(x) aus einer gegebenen Ableitung f`(x). Das lateinische Wort „integro“ bedeutet Wiederherstellung.

Beispiel Nr. 1.

Sei (f(x))’ = 3x 2. Finden wir f(x).

Lösung:

Basierend auf der Differenzierungsregel ist es nicht schwer zu erraten, dass f(x) = x 3, weil

(x 3)’ = 3x 2 Sie können jedoch leicht erkennen, dass f(x) nicht eindeutig gefunden wird. Als f(x) können Sie f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 usw. annehmen.

Weil die Ableitung von jedem von ihnen ist 3x 2. (Die Ableitung einer Konstante ist 0). Alle diese Funktionen unterscheiden sich durch einen konstanten Term voneinander. Daher kann die allgemeine Lösung des Problems als f(x) = x 3 + C geschrieben werden, wobei C eine beliebige konstante reelle Zahl ist.

Jede der gefundenen Funktionen f(x) wird aufgerufen Stammfunktion für die Funktion F`(x)= 3x 2

Definition.

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion für eine Funktion f(x) auf einem gegebenen Intervall J, wenn für alle x aus diesem Intervall F`(x)= f(x) gilt. Die Funktion F(x)=x 3 ist also Stammfunktion für f(x)=3x 2 auf (- ∞ ; ∞). Da für alle x ~R die Gleichheit gilt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Wie wir bereits bemerkt haben, hat diese Funktion unendlich viele Stammfunktionen.

Beispiel Nr. 2.

Die Funktion ist Stammfunktion für alle im Intervall (0; +∞), weil Für alle h aus diesem Intervall gilt Gleichheit.

Die Aufgabe der Integration besteht darin, alle ihre Stammfunktionen für eine gegebene Funktion zu finden. Bei der Lösung dieses Problems wichtige Rolle Die folgende Aussage wird abgespielt:

Ein Zeichen für die Konstanz der Funktion. Wenn F"(x) = 0 in einem Intervall I ist, dann ist die Funktion F in diesem Intervall konstant.

Nachweisen.

Lassen Sie uns ein x 0 aus dem Intervall I festlegen. Dann können wir für jede Zahl x aus einem solchen Intervall aufgrund der Lagrange-Formel eine Zahl c angeben, die zwischen x und x 0 liegt, so dass

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Bedingung: F‘ (c) = 0, da c ∈1, also

F(x) - F(x 0) = 0.

Also für alle x aus dem Intervall I

das heißt, die Funktion F behält einen konstanten Wert bei.

Alle Stammfunktionen f können mit einer Formel geschrieben werden, die aufgerufen wird allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion F. Der folgende Satz ist wahr ( Haupteigenschaft von Stammfunktionen):

Satz. Jede Stammfunktion für eine Funktion f im Intervall I kann in der Form geschrieben werden

F(x) + C, (1) wobei F (x) eine der Stammfunktionen für die Funktion f (x) im Intervall I ist und C eine beliebige Konstante ist.

Erläutern wir diese Aussage, indem wir zwei Eigenschaften der Stammfunktion kurz formulieren:

Welche Zahl wir auch immer anstelle von C in Ausdruck (1) einsetzen, wir erhalten die Stammfunktion für f im Intervall I;
Unabhängig davon, welche Stammfunktion Ф für f im Intervall I verwendet wird, ist es möglich, eine Zahl C auszuwählen, so dass für alle x aus dem Intervall I die Gleichheit gilt

Nachweisen.

Gemäß der Bedingung ist die Funktion F eine Stammfunktion für f im Intervall I. Daher ist F"(x)= f (x) für jedes x∈1, also (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), d. h. F(x) + C ist die Stammfunktion für die Funktion f.
Sei Ф (x) eine der Stammfunktionen für die Funktion f auf demselben Intervall I, d. h. Ф "(x) = f (х) für alle x∈I.

Dann ist (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Von hier aus folgt c. die Potenz des Konstanzzeichens der Funktion, dass die Differenz Ф(х) - F(х) eine Funktion ist, die im Intervall I einen konstanten Wert C annimmt.

Somit gilt für alle x aus dem Intervall I die Gleichheit Ф(x) - F(x)=С, was bewiesen werden musste. Der Haupteigenschaft der Stammfunktion kann eine geometrische Bedeutung gegeben werden: Graphen zweier beliebiger Stammfunktionen für die Funktion f werden durch Parallelverschiebung entlang der Oy-Achse voneinander erhalten