Die Fläche eines Trapezes auf allen Seiten. Wie kann man die Fläche herausfinden, wenn alle Seiten der Figur bekannt sind? Wir verwenden die Pick-Formel
Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.
In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.
Was müssen Sie über das Trapez wissen?
Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Grundflächen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.
Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.
Trapezflächenformeln
Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.
Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.
Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht auf die folgende Form vereinfachen: S = m* h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.
Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Dies ist eine umständliche und komplexe Formel, die Sie sich jedoch für alle Fälle merken können: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Basen angrenzt.
Gleichschenkliges Trapez
Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, heißt gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes betrachten.
Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Basis einen spitzen Winkel α bilden. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.
Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.
Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h 2.
Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes
Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.
Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie eine mathematische Analyse anwenden und das Integral verwenden. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.
Beispielprobleme
Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.
Aufgabe 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine davon ist 12 cm lang, die zweite 9 cm.
Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.
Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.
Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.
All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.
Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.
Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zu RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt einer Linie, die durch den Punkt E parallel zu RK gezogen wird, mit der Basis KS.
Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).
Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Abschluss
Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.
Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.
Erzählen Sie unbedingt Ihren Klassenkameraden und Freunden in sozialen Netzwerken von diesem Artikel. Mögen es noch mehr gute Noten für das Einheitliche Staatsexamen und die Staatsexamen geben!
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Um sich im Geometrieunterricht sicher zu fühlen und Probleme erfolgreich zu lösen, reicht es nicht aus, die Formeln zu lernen. Sie müssen zuerst verstanden werden. Angst zu haben und noch mehr Formeln zu hassen, ist unproduktiv. In diesem Artikel werden in verständlicher Sprache verschiedene Möglichkeiten analysiert, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Um die entsprechenden Regeln und Theoreme besser zu verstehen, werden wir ihren Eigenschaften etwas Aufmerksamkeit schenken. Dies hilft Ihnen zu verstehen, wie die Regeln funktionieren und in welchen Fällen bestimmte Formeln angewendet werden sollten.
Ein Trapez definieren
Was ist das insgesamt für eine Zahl? Ein Trapez ist ein Polygon mit vier Ecken und zwei parallelen Seiten. Die anderen beiden Seiten des Trapezes können in unterschiedlichen Winkeln geneigt sein. Seine parallelen Seiten werden Basen genannt, und für nichtparallele Seiten wird die Bezeichnung „Seiten“ oder „Hüften“ verwendet. Solche Figuren sind im Alltag durchaus üblich. Die Konturen des Trapezes sind in den Silhouetten von Kleidung, Einrichtungsgegenständen, Möbeln, Geschirr und vielem mehr zu sehen. Es gibt verschiedene Arten von Trapezen: ungleichseitig, gleichseitig und rechteckig. Wir werden ihre Typen und Eigenschaften später in diesem Artikel genauer untersuchen.
Eigenschaften eines Trapezes
Lassen Sie uns kurz auf die Eigenschaften dieser Figur eingehen. Die Summe der an jede Seite angrenzenden Winkel beträgt immer 180°. Dabei ist zu beachten, dass sich alle Winkel eines Trapezes zu 360° addieren. Das Trapez hat das Konzept einer Mittellinie. Wenn Sie die Mittelpunkte der Seiten mit einem Segment verbinden, ist dies die Mittellinie. Es wird mit m bezeichnet. Die Mittellinie hat wichtige Eigenschaften: Sie verläuft immer parallel zu den Basen (wir erinnern uns, dass die Basen auch zueinander parallel sind) und gleich ihrer Halbsumme:
Diese Definition muss gelernt und verstanden werden, denn sie ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme!
Bei einem Trapez können Sie die Höhe jederzeit bis zur Basis senken. Eine Höhe ist eine Senkrechte, oft mit dem Symbol h bezeichnet, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zu einer anderen Basis oder deren Verlängerung verläuft. Mithilfe der Mittellinie und der Höhe können Sie die Fläche des Trapezes ermitteln. Solche Probleme treten im schulischen Geometrieunterricht am häufigsten auf und tauchen regelmäßig bei Prüfungs- und Prüfungsarbeiten auf.
Die einfachsten Formeln für die Fläche eines Trapezes
Schauen wir uns die beiden beliebtesten und einfachsten Formeln an, mit denen die Fläche eines Trapezes ermittelt wird. Es reicht aus, die Höhe mit der halben Summe der Grundflächen zu multiplizieren, um leicht zu finden, was Sie suchen:
S = h*(a + b)/2.
In dieser Formel bezeichnen a, b die Basen des Trapezes, h die Höhe. Zur besseren Lesbarkeit werden in diesem Artikel Multiplikationszeichen in Formeln mit einem Symbol (*) gekennzeichnet, obwohl in offiziellen Nachschlagewerken das Multiplikationszeichen normalerweise weggelassen wird.
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Gegeben: Ein Trapez mit zwei Grundflächen gleich 10 und 14 cm, die Höhe beträgt 7 cm. Wie groß ist die Fläche des Trapezes?
Schauen wir uns die Lösung für dieses Problem an. Mit dieser Formel müssen Sie zunächst die Halbsumme der Basen ermitteln: (10+14)/2 = 12. Die Halbsumme ist also gleich 12 cm. Jetzt multiplizieren wir die Halbsumme mit der Höhe: 12*7 = 84. Was wir suchen, ist gefunden. Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 84 Quadratmeter. cm.
Die zweite bekannte Formel besagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der Mittellinie und der Höhe des Trapezes. Das heißt, es folgt tatsächlich aus dem vorherigen Konzept der Mittellinie: S=m*h.
Verwendung von Diagonalen für Berechnungen
Eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, ist eigentlich nicht so kompliziert. Es ist mit seinen Diagonalen verbunden. Mit dieser Formel müssen Sie zum Ermitteln der Fläche das Halbprodukt seiner Diagonalen (d 1 d 2) mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren:
S = ½ d 1 d 2 sin A.
Betrachten wir ein Problem, das die Anwendung dieser Methode zeigt. Gegeben: ein Trapez mit einer Diagonalenlänge von 8 bzw. 13 cm. Der Winkel a zwischen den Diagonalen beträgt 30°. Finden Sie die Fläche des Trapezes.
Lösung. Mit der obigen Formel lässt sich der Bedarf leicht berechnen. Wie Sie wissen, beträgt sin 30° 0,5. Daher ist S = 8*13*0,5=52. Antwort: Die Fläche beträgt 52 Quadratmeter. cm.
Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes
Ein Trapez kann gleichschenklig (gleichschenklig) sein. Seine Seiten sind gleich und die Winkel an den Basen sind gleich, was durch die Abbildung gut veranschaulicht wird. Ein gleichschenkliges Trapez hat die gleichen Eigenschaften wie ein normales, zusätzlich zu einigen besonderen Eigenschaften. Um ein gleichschenkliges Trapez kann ein Kreis umschrieben werden, und darin kann ein Kreis eingeschrieben werden.
Welche Methoden gibt es, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen? Die folgende Methode erfordert viele Berechnungen. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Werte des Sinus (sin) und des Kosinus (cos) des Winkels an der Basis des Trapezes kennen. Um sie zu berechnen, benötigen Sie entweder Bradis-Tabellen oder einen technischen Taschenrechner. Hier ist die Formel:
S= C*Sünde A*(A - C*cos A),
Wo Mit- seitlicher Oberschenkel, A- Winkel an der unteren Basis.
Ein gleichseitiges Trapez hat gleich lange Diagonalen. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Trapez gleiche Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig. Daher die folgende Formel, um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln – das halbe Produkt aus dem Quadrat der Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen: S = ½ d 2 sin A.
Ermitteln der Fläche eines rechteckigen Trapezes
Ein Sonderfall eines rechteckigen Trapezes ist bekannt. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen eine Seite (sein Schenkel) im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt. Es hat die Eigenschaften eines regelmäßigen Trapezes. Darüber hinaus verfügt es über eine sehr interessante Funktion. Der Unterschied in den Quadraten der Diagonalen eines solchen Trapezes ist gleich dem Unterschied in den Quadraten seiner Grundflächen. Dabei kommen alle zuvor beschriebenen Methoden zur Flächenberechnung zum Einsatz.
Wir nutzen Einfallsreichtum
Es gibt einen Trick, der helfen kann, wenn Sie bestimmte Formeln vergessen. Schauen wir uns genauer an, was ein Trapez ist. Wenn wir es gedanklich in Teile zerlegen, erhalten wir bekannte und verständliche geometrische Formen: ein Quadrat oder Rechteck und ein Dreieck (eins oder zwei). Wenn die Höhe und die Seiten des Trapezes bekannt sind, können Sie die Formeln für die Fläche eines Dreiecks und eines Rechtecks verwenden und dann alle resultierenden Werte addieren.
Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Gegeben sei ein rechteckiges Trapez. Winkel C = 45°, Winkel A, D betragen 90°. Die obere Basis des Trapezes beträgt 20 cm, die Höhe beträgt 16 cm. Sie müssen die Fläche der Figur berechnen.
Diese Figur besteht offensichtlich aus einem Rechteck (wenn zwei Winkel gleich 90° sind) und einem Dreieck. Da das Trapez rechteckig ist, entspricht seine Höhe seiner Seite, also 16 cm. Wir haben ein Rechteck mit einer Seitenlänge von 20 bzw. 16 cm. Betrachten Sie nun ein Dreieck, dessen Winkel 45° beträgt. Wir wissen, dass eine Seite davon 16 cm beträgt. Da diese Seite auch die Höhe des Trapezes ist (und wir wissen, dass die Höhe im rechten Winkel zur Basis abfällt), beträgt der zweite Winkel des Dreiecks 90°. Daher beträgt der verbleibende Winkel des Dreiecks 45°. Die Konsequenz daraus ist, dass wir ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck erhalten, bei dem zwei Seiten gleich sind. Dies bedeutet, dass die andere Seite des Dreiecks gleich der Höhe ist, also 16 cm. Es bleibt die Fläche des Dreiecks und des Rechtecks zu berechnen und die resultierenden Werte zu addieren.
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Schenkel: S = (16*16)/2 = 128. Die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt aus seiner Breite und Länge: S = 20*16 = 320. Wir haben die erforderliche Fläche des Trapezes S = 128 + 320 = 448 Quadratfuß gefunden. Sehen Sie. Mit den obigen Formeln können Sie sich leicht selbst überprüfen, die Antwort wird identisch sein.
Wir verwenden die Pick-Formel
Abschließend stellen wir eine weitere Originalformel vor, die dabei hilft, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Sie wird als Pick-Formel bezeichnet. Es ist praktisch, wenn das Trapez auf kariertem Papier gezeichnet wird. Ähnliche Probleme treten häufig bei GIA-Materialien auf. Es sieht aus wie das:
S = M/2 + N - 1,
In dieser Formel ist M die Anzahl der Knoten, d.h. Schnittpunkte der Linien der Figur mit den Linien der Zelle an den Grenzen des Trapezes (orangefarbene Punkte in der Abbildung), N ist die Anzahl der Knoten innerhalb der Figur (blaue Punkte). Es ist am bequemsten, es zu verwenden, wenn Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons ermitteln. Je größer jedoch das Arsenal der verwendeten Techniken ist, desto weniger Fehler treten auf und desto besser sind die Ergebnisse.
Die bereitgestellten Informationen erschöpfen natürlich nicht die Arten und Eigenschaften eines Trapezes sowie Methoden zur Bestimmung seiner Fläche. Dieser Artikel gibt einen Überblick über seine wichtigsten Eigenschaften. Beim Lösen geometrischer Probleme ist es wichtig, schrittweise vorzugehen, mit einfachen Formeln und Problemen zu beginnen, das Verständnis konsequent zu festigen und zu einer anderen Komplexitätsebene überzugehen.
Zusammengenommen helfen die gängigsten Formeln den Schülern dabei, die verschiedenen Methoden zur Berechnung der Fläche eines Trapezes zu meistern und sich besser auf Tests und Aufgaben zu diesem Thema vorzubereiten.
Anweisungen
Um beide Methoden verständlicher zu machen, können wir einige Beispiele nennen.
Beispiel 1: Die Länge der Mittellinie des Trapezes beträgt 10 cm, seine Fläche beträgt 100 cm². Um die Höhe dieses Trapezes zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:
h = 100/10 = 10 cm
Antwort: Die Höhe dieses Trapezes beträgt 10 cm
Beispiel 2: Die Fläche des Trapezes beträgt 100 cm², die Längen der Basen betragen 8 cm und 12 cm. Um die Höhe dieses Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die folgende Aktion ausführen:
h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm
Antwort: Die Höhe dieses Trapezes beträgt 20 cm
beachten Sie
Es gibt verschiedene Arten von Trapezen:
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dessen Seiten einander gleich sind.
Ein rechtwinkliges Trapez ist ein Trapez, dessen Innenwinkel 90 Grad beträgt.
Es ist erwähnenswert, dass bei einem rechteckigen Trapez die Höhe mit der Länge der Seite im rechten Winkel übereinstimmt.
Sie können einen Kreis um ein Trapez zeichnen oder es in eine bestimmte Figur einfügen. Sie können einen Kreis nur dann einschreiben, wenn die Summe seiner Grundflächen gleich der Summe seiner gegenüberliegenden Seiten ist. Ein Kreis kann nur um ein gleichschenkliges Trapez beschrieben werden.
Hilfreicher Rat
Ein Parallelogramm ist ein Sonderfall eines Trapezes, da die Definition eines Trapezes in keiner Weise der Definition eines Parallelogramms widerspricht. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Bei einem Trapez bezieht sich die Definition nur auf ein Paar seiner Seiten. Daher ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez. Die umgekehrte Aussage ist nicht wahr.
Quellen:
- wie man die Fläche einer Trapezformel findet
Tipp 2: So ermitteln Sie die Höhe eines Trapezes, wenn die Fläche bekannt ist
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei seiner vier Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten sind die Basen der gegebenen Seite, die anderen beiden sind die lateralen Seiten der gegebenen Seite. Trapeze. Finden Höhe Trapeze, wenn bekannt Quadrat, es wird sehr einfach sein.
Anweisungen
Sie müssen herausfinden, wie man berechnet Quadrat Original Trapeze. Abhängig von den Ausgangsdaten gibt es hierfür mehrere Formeln: S = ((a+b)*h)/2, wobei a und b Basen sind Trapeze, und h ist seine Höhe (Height Trapeze- senkrecht, von einer Basis abgesenkt Trapeze zum anderen);
S = m*h, wobei m die Linie ist Trapeze(Die Mittellinie ist ein Segment mit Basen Trapeze und die Mittelpunkte seiner Seiten verbinden).
Zur Verdeutlichung können ähnliche Probleme betrachtet werden: Beispiel 1: Gegeben sei ein Trapez mit Quadrat 68 cm², dessen Mittellinie 8 cm beträgt, müssen Sie finden Höhe gegeben Trapeze. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie die zuvor abgeleitete Formel verwenden:
h = 68/8 = 8,5 cm Antwort: Höhe davon Trapeze beträgt 8,5 cmBeispiel 2: Sei y Trapeze Quadrat entspricht 120 cm², die Länge der Basen davon Trapeze 8 cm bzw. 12 cm müssen Sie finden Höhe Das Trapeze. Dazu müssen Sie eine der abgeleiteten Formeln anwenden:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmAntwort: gegebene Höhe Trapeze gleich 12 cm
Video zum Thema
beachten Sie
Jedes Trapez hat eine Reihe von Eigenschaften:
Die Mittellinie eines Trapezes entspricht der Hälfte der Summe seiner Basen;
Die Strecke, die die Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz seiner Grundflächen;
Zieht man eine Gerade durch die Mittelpunkte der Grundflächen, so schneidet sie den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes;
Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, wenn die Summe der Grundflächen des Trapezes gleich der Summe seiner Seiten ist.
Nutzen Sie diese Eigenschaften beim Lösen von Problemen.
Tipp 3: So ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes, wenn die Basen bekannt sind
Nach geometrischer Definition ist ein Trapez ein Viereck mit nur einem Paar paralleler Seiten. Diese Seiten gehören ihr Gründe dafür. Abstand zwischen Gründe dafür Höhe genannt Trapeze. Finden Quadrat Trapeze mit geometrischen Formeln möglich.
Anweisungen
Messen Sie die Basen und Trapeze A B C D. Normalerweise werden sie in Aufgaben gegeben. In diesem Beispielproblem sei die Basis AD (a) Trapeze beträgt 10 cm, Basis BC (b) - 6 cm, Höhe Trapeze BK (h) - 8 cm. Verwenden Sie die Geometrie, um die Fläche zu ermitteln Trapeze, wenn die Längen seiner Basen und Höhen bekannt sind - S= 1/2 (a+b)*h, wobei: - a - die Größe der Basis AD Trapeze ABCD, - b - der Wert der Basis BC, - h - der Wert der Höhe BK.
In der Mathematik sind verschiedene Arten von Vierecken bekannt: Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm. Darunter ist ein Trapez – eine Art konvexes Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden nicht. Die parallelen gegenüberliegenden Seiten werden als Basen und die anderen beiden als seitliche Seiten des Trapezes bezeichnet. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird Mittellinie genannt. Es gibt verschiedene Arten von Trapezen: gleichschenklig, rechteckig, gebogen. Für jeden Trapeztyp gibt es Formeln zur Flächenermittlung.
Bereich des Trapezes
Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Länge seiner Grundflächen und die Höhe kennen. Die Höhe eines Trapezes ist eine Strecke senkrecht zu den Grundflächen. Die obere Basis sei a, die untere Basis sei b und die Höhe sei h. Dann können Sie die Fläche S mit der Formel berechnen:
S = ½ * (a+b) * h
diese. Nehmen Sie die Hälfte der Summe der Basen multipliziert mit der Höhe.
Es wird auch möglich sein, die Fläche des Trapezes zu berechnen, wenn Höhe und Mittellinie bekannt sind. Bezeichnen wir die Mittellinie - m. Dann
Lösen wir ein komplizierteres Problem: Die Längen der vier Seiten des Trapezes sind bekannt – a, b, c, d. Dann wird die Fläche mit der Formel ermittelt:
Wenn die Längen der Diagonalen und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, wird die Fläche wie folgt durchsucht:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
wobei d mit den Indizes 1 und 2 Diagonalen sind. In dieser Formel geht der Sinus des Winkels in die Berechnung ein.
Unter Berücksichtigung der bekannten Längen der Grundflächen a und b sowie zweier Winkel an der unteren Grundfläche wird die Fläche wie folgt berechnet:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Fläche eines gleichschenkligen Trapezes
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Sonderfall eines Trapezes. Der Unterschied besteht darin, dass ein solches Trapez ein konvexes Viereck ist, dessen Symmetrieachse durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten verläuft. Seine Seiten sind gleich.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu ermitteln.
- Durch die Länge von drei Seiten. In diesem Fall stimmen die Längen der Seiten überein, daher werden sie durch einen Wert bezeichnet – c, und a und b – die Längen der Basen:
- Wenn die Länge der oberen Basis, die Seite und der Winkel an der unteren Basis bekannt sind, wird die Fläche wie folgt berechnet:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
wobei a die obere Basis und c die Seite ist.
- Wenn anstelle der oberen Basis die Länge der unteren Basis bekannt ist - b, wird die Fläche nach folgender Formel berechnet:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Wenn zwei Basen und der Winkel an der unteren Basis bekannt sind, wird die Fläche durch den Tangens des Winkels berechnet:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Die Fläche wird auch durch die Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen berechnet. In diesem Fall sind die Diagonalen gleich lang, daher bezeichnen wir jede mit dem Buchstaben d ohne Indizes:
S = ½ * d2 * sin α
- Berechnen wir die Fläche des Trapezes, indem wir die Länge der Seite, die Mittellinie und den Winkel an der unteren Basis kennen.
Sei die laterale Seite c, die Mittellinie m und der Winkel a, dann gilt:
S = m * c * sin α
Manchmal kann man einem gleichseitigen Trapez einen Kreis einschreiben, dessen Radius r ist.
Es ist bekannt, dass ein Kreis in jedes Trapez eingeschrieben werden kann, wenn die Summe der Grundlängen gleich der Summe der Seitenlängen ist. Dann lässt sich die Fläche durch den Radius des eingeschriebenen Kreises und den Winkel an der unteren Basis ermitteln:
S = 4r2 / sinα
Die gleiche Berechnung erfolgt anhand des Durchmessers D des eingeschriebenen Kreises (er stimmt übrigens mit der Höhe des Trapezes überein):
Unter Kenntnis der Basis und des Winkels wird die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wie folgt berechnet:
S = a * b / sin α
(Diese und die folgenden Formeln gelten nur für Trapeze mit einem eingeschriebenen Kreis).
Unter Verwendung der Grundflächen und des Radius des Kreises ergibt sich die Fläche wie folgt:
Wenn nur die Grundlagen bekannt sind, wird die Fläche nach der Formel berechnet:
Durch die Grundflächen und die Seitenlinie wird die Fläche des Trapezes mit dem eingeschriebenen Kreis und durch die Grundflächen und die Mittellinie - m wie folgt berechnet:
Fläche eines rechteckigen Trapezes
Ein Trapez heißt rechteckig, wenn eine seiner Seiten senkrecht zur Grundfläche steht. In diesem Fall stimmt die Seitenlänge mit der Höhe des Trapezes überein.
Ein rechteckiges Trapez besteht aus einem Quadrat und einem Dreieck. Nachdem Sie die Fläche jeder Figur ermittelt haben, addieren Sie die Ergebnisse und erhalten Sie die Gesamtfläche der Figur.
Auch allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes eignen sich zur Berechnung der Fläche eines rechteckigen Trapezes.
- Wenn die Längen der Basen und die Höhe (bzw. die senkrechte Seitenseite) bekannt sind, wird die Fläche nach folgender Formel berechnet:
S = (a + b) * h / 2
Die Seite c kann als h (Höhe) wirken. Dann sieht die Formel so aus:
S = (a + b) * c / 2
- Eine andere Möglichkeit, die Fläche zu berechnen, besteht darin, die Länge der Mittellinie mit der Höhe zu multiplizieren:
oder durch die Länge der seitlichen senkrechten Seite:
- Die nächste Berechnungsmethode besteht darin, das halbe Produkt der Diagonalen und den Sinus des Winkels zwischen ihnen zu verwenden:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Wenn die Diagonalen senkrecht sind, vereinfacht sich die Formel zu:
S = ½ * d1 * d2
- Eine andere Möglichkeit zur Berechnung besteht darin, den Halbumfang (die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten) und den Radius des eingeschriebenen Kreises zu verwenden.
Diese Formel gilt für Basen. Wenn wir die Längen der Seiten nehmen, dann ist eine davon gleich dem Doppelten des Radius. Die Formel sieht folgendermaßen aus:
S = (2r + c) * r
- Wenn ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist, wird die Fläche auf die gleiche Weise berechnet:
wobei m die Länge der Mittellinie ist.
Fläche eines gebogenen Trapezes
Ein krummliniges Trapez ist eine flache Figur, die durch den Graphen einer nicht negativen stetigen Funktion y = f(x) begrenzt wird, die auf dem Segment, der Abszissenachse und den Geraden x = a, x = b definiert ist. Im Wesentlichen sind zwei seiner Seiten parallel zueinander (die Basen), die dritte Seite verläuft senkrecht zu den Basen und die vierte ist eine Kurve, die dem Graphen der Funktion entspricht.
Die Fläche eines krummlinigen Trapezes wird durch das Integral unter Verwendung der Newton-Leibniz-Formel gesucht:
Auf diese Weise werden die Flächen verschiedener Trapeztypen berechnet. Zusätzlich zu den Eigenschaften der Seiten haben Trapeze jedoch die gleichen Winkeleigenschaften. Wie bei allen existierenden Vierecken beträgt die Summe der Innenwinkel eines Trapezes 360 Grad. Und die Summe der an die Seite angrenzenden Winkel beträgt 180 Grad.
