heim » Möbel » Komplexe Beispiele für Operationen mit Brüchen. Regeln für arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Ermitteln des Werts eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen

Komplexe Beispiele für Operationen mit Brüchen. Regeln für arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Ermitteln des Werts eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen

Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige geistige Qualitäten zu entwickeln und Ihre Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Mathematikkurs besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist das Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Vielen Studierenden fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.

So subtrahieren Sie Brüche, deren Nenner gleich sind

Brüche sind gleiche Zahlen, mit denen Sie verschiedene Operationen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie bei der Durchführung von Operationen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als dieselbe Zahl dargestellt werden. Die Durchführung dieser Aktion wird nicht schwierig sein, wenn Sie eine einfache Regel kennen:

Um eine Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des subtrahierten Bruchs vom Zähler des zu reduzierenden Bruchs zu subtrahieren. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k/m - b/m = (k-b)/m.

Beispiele für die Subtraktion von Brüchen, deren Nenner gleich sind

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Vom Zähler des Bruchs „7“ subtrahieren wir den Zähler des zu subtrahierenden Bruchs „3“, wir erhalten „4“. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und geben in den Nenner dieselbe Zahl ein, die im Nenner des ersten und zweiten Bruchs stand – „19“.

Das Bild unten zeigt mehrere weitere ähnliche Beispiele.

Betrachten wir ein komplexeres Beispiel, bei dem Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert werden:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vom Zähler des Bruchs wird „29“ reduziert, indem nacheinander die Zähler aller nachfolgenden Brüche subtrahiert werden – „3“, „8“, „2“, „7“. Als Ergebnis erhalten wir das Ergebnis „9“, das wir im Zähler der Antwort aufschreiben, und im Nenner schreiben wir die Zahl auf, die im Nenner aller dieser Brüche steht – „47“.

Brüche addieren, die den gleichen Nenner haben

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche erfolgt nach dem gleichen Prinzip.

Um Brüche zu addieren, deren Nenner gleich sind, müssen Sie die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe und der Nenner bleibt derselbe: k/m + b/m = (k + b)/m.

Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das aussieht:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Fügen Sie zum Zähler des ersten Termes des Bruchs – „1“ – den Zähler des zweiten Termes des Bruchs – „2“ hinzu. Das Ergebnis – „3“ – wird in den Zähler der Summe geschrieben und der Nenner bleibt derselbe wie der in den Brüchen vorhandene – „4“.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern und ihre Subtraktion

Die Operation mit Brüchen mit gleichem Nenner haben wir bereits betrachtet. Wie Sie sehen, ist das Lösen solcher Beispiele recht einfach, wenn man einfache Regeln kennt. Was aber, wenn Sie eine Operation mit Brüchen durchführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwer fallen, wenn Sie das Lösungsprinzip kennen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen sie auf den gleichen kleinsten Nenner reduziert werden.

Wir werden ausführlicher darüber sprechen, wie das geht.

Eigenschaft eines Bruchs

Um mehrere Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft eines Bruchs in der Lösung nutzen: Nachdem Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert oder multipliziert haben, erhalten Sie einen Bruch, der dem angegebenen entspricht.

So kann beispielsweise der Bruch 2/3 Nenner wie „6“, „9“, „12“ usw. haben, also die Form einer beliebigen Zahl haben, die ein Vielfaches von „3“ ist. Nachdem wir Zähler und Nenner mit „2“ multipliziert haben, erhalten wir den Bruch 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit „3“ multipliziert haben, erhalten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Operation mit der Zahl „4“ durchführen, erhalten wir 8/12. Eine Gleichheit kann wie folgt geschrieben werden:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

So wandeln Sie mehrere Brüche in denselben Nenner um

Schauen wir uns an, wie man mehrere Brüche auf denselben Nenner reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Zur Vereinfachung faktorisieren wir die vorhandenen Nenner.

Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner 7/9 hat zwei Faktoren 7/9 = 7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6 = 5/(2 x 3). Jetzt müssen wir bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche am kleinsten sind. Da der erste Bruch die Zahl „2“ im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss. Im Bruch 7/9 gibt es zwei Drillinge, was bedeutet, dass beide auch im Nenner vorhanden sein müssen. Unter Berücksichtigung des oben Gesagten stellen wir fest, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und gleich 3 x 2 x 3 = 18 ist.

Betrachten wir den ersten Bruch – 1/2. Im Nenner steht eine „2“, aber keine einzige „3“, sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripeln, aber entsprechend der Eigenschaft eines Bruchs müssen wir den Zähler mit zwei Tripeln multiplizieren:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Wir führen die gleichen Operationen mit den verbleibenden Brüchen durch.

2/3 – eins drei und eins zwei fehlen im Nenner:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 oder 7/(3 x 3) – im Nenner fehlt eine Zwei:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 oder 5/(2 x 3) – im Nenner fehlt eine Drei:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Alles in allem sieht es so aus:

So subtrahieren und addieren Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern

Wie oben erwähnt, müssen Brüche mit unterschiedlichen Nennern zum Addieren oder Subtrahieren auf denselben Nenner reduziert werden und anschließend die bereits besprochenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.

Schauen wir uns das als Beispiel an: 18.04. - 15.03.

Ermitteln des Vielfachen der Zahlen 18 und 15:

Die Zahl 18 besteht aus 3 x 2 x 3.
Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
Das gemeinsame Vielfache beträgt die folgenden Faktoren: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss der Faktor berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Teilen Sie dazu die von uns gefundene Zahl (das gemeinsame Vielfache) durch den Nenner des Bruchs, für den zusätzliche Faktoren ermittelt werden müssen.

90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl „6“ ist ein Multiplikator für 3/15.
90 geteilt durch 18. Die resultierende Zahl „5“ ist ein Multiplikator für 4/18.

Der nächste Schritt unserer Lösung besteht darin, jeden Bruch auf den Nenner „90“ zu reduzieren.

Wir haben bereits darüber gesprochen, wie das geht. Sehen wir uns an einem Beispiel an, wie das geschrieben wird:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Wenn die Brüche kleine Zahlen haben, können Sie den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten.

Das Gleiche gilt für diejenigen mit unterschiedlichen Nennern.

Subtraktion und ganzzahlige Teile

Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich besprochen. Aber wie subtrahiert man, wenn ein Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns noch einmal ein paar Regeln anwenden:

Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil haben, in unechte Brüche um. Mit einfachen Worten: Entfernen Sie ein ganzes Teil. Multiplizieren Sie dazu die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs und addieren Sie das resultierende Produkt zum Zähler. Die Zahl, die nach diesen Aktionen herauskommt, ist der Zähler des unechten Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert.
Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf den gleichen Nenner reduziert werden.
Führen Sie eine Addition oder Subtraktion mit denselben Nennern durch.
Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzen Teilen und Aktionen mit Brüchen getrennt ausgeführt und die Ergebnisse gemeinsam erfasst.

Das angegebene Beispiel besteht aus Brüchen, die den gleichen Nenner haben. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen Wert gebracht und dann die im Beispiel gezeigten Aktionen ausgeführt werden.

Brüche von ganzen Zahlen subtrahieren

Eine andere Art der Operation mit Brüchen ist der Fall, wenn ein Bruch subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick scheint ein solches Beispiel schwer zu lösen. Allerdings ist hier alles ganz einfach. Um es zu lösen, müssen Sie die ganze Zahl in einen Bruch umwandeln, und zwar mit demselben Nenner wie im subtrahierten Bruch. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit identischen Nennern durch. In einem Beispiel sieht es so aus:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Die in diesem Artikel vorgestellte Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in den folgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird anschließend zur Lösung von Funktionen, Ableitungen usw. verwendet. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Operationen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.

Brüche

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Brüche sind im Gymnasium kein großes Ärgernis. Vorerst. Bis Sie auf Potenzen mit rationalen Exponenten und Logarithmen stoßen. Und da... Sie drücken und drücken auf den Taschenrechner und er zeigt eine vollständige Anzeige einiger Zahlen an. Man muss wie in der dritten Klasse mit dem Kopf denken.

Lasst uns endlich Brüche herausfinden! Nun, wie sehr kann man darin verwirrt sein!? Darüber hinaus ist alles einfach und logisch. Also, Welche Arten von Brüchen gibt es?

Arten von Brüchen. Transformationen.

Es gibt drei Arten von Brüchen.

1. Gemeinsame Brüche , Zum Beispiel:

Manchmal wird anstelle einer horizontalen Linie ein Schrägstrich eingefügt: 1/2, 3/4, 19/5 usw. Hier werden wir diese Schreibweise oft verwenden. Die oberste Nummer wird angerufen Zähler, untere - Nenner. Wenn Sie diese Namen ständig verwechseln (es kommt vor...), sagen Sie sich den Satz: „ Zzzzz erinnern! Zzzzz Nenner - schau zzzzzäh!" Schauen Sie, alles wird zzz in Erinnerung bleiben.)

Der Strich, entweder horizontal oder geneigt, bedeutet Aufteilung von der oberen Zahl (Zähler) zur unteren (Nenner). Und alle! Anstelle eines Bindestrichs ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen – zwei Punkte.

Wenn eine vollständige Teilung möglich ist, muss dies erfolgen. Anstelle des Bruchs „32/8“ ist es also viel angenehmer, die Zahl „4“ zu schreiben. Diese. 32 wird einfach durch 8 geteilt.

32/8 = 32: 8 = 4

Ich spreche nicht einmal vom Bruch „4/1“. Was auch nur „4“ ist. Und wenn es nicht vollständig teilbar ist, belassen wir es als Bruch. Manchmal muss man den umgekehrten Vorgang ausführen. Wandeln Sie eine ganze Zahl in einen Bruch um. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalstellen , Zum Beispiel:

In diesem Formular müssen Sie die Antworten auf die Aufgaben „B“ aufschreiben.

3. Gemischte Zahlen , Zum Beispiel:

Gemischte Zahlen werden im Gymnasium praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber das muss man unbedingt können! Sonst stößt man bei einem Problem auf eine solche Nummer und friert ein... aus dem Nichts. Aber wir werden uns an diesen Vorgang erinnern! Etwas niedriger.

Am vielseitigsten gemeinsame Brüche. Beginnen wir mit ihnen. Wenn ein Bruch übrigens allerlei Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben enthält, ändert das übrigens nichts. In dem Sinne, dass alles Aktionen mit Bruchausdrücken unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen!

Die Haupteigenschaft eines Bruchs.

So lass uns gehen! Zunächst werde ich Sie überraschen. Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Haupteigenschaft eines Bruchs. Erinnern: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Es ist klar, dass man weiterschreiben kann, bis einem blau im Gesicht wird. Lassen Sie sich nicht von Sinus und Logarithmus verwirren, wir werden uns weiter damit befassen. Die Hauptsache ist, zu verstehen, dass es all diese verschiedenen Ausdrücke gibt der gleiche Bruch . 2/3.

Brauchen wir das, all diese Transformationen? Und wie! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die Grundeigenschaft eines Bruchs für verwenden Brüche reduzieren. Es scheint eine elementare Sache zu sein. Teilen Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, einen Fehler zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Du kannst überall einen Fehler machen! Vor allem, wenn Sie keinen Bruch wie 5/10 kürzen müssen, sondern einen Bruchausdruck mit allen möglichen Buchstaben.

Wie man Brüche ohne Mehraufwand richtig und schnell kürzen kann, lesen Sie im Sonderkapitel 555.

Ein normaler Schüler macht sich nicht die Mühe, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu dividieren! Er streicht einfach alles durch, was oben und unten gleich ist! Hier lauert ein typischer Fehler, ein Patzer, wenn man so will.

Beispielsweise müssen Sie den Ausdruck vereinfachen:

Hier gibt es nichts zu bedenken, streichen Sie oben den Buchstaben „a“ und unten die „2“ durch! Wir bekommen:

Alles ist richtig. Aber wirklich, du hast gespalten alle Zähler und alle der Nenner ist „a“. Wenn Sie es gewohnt sind, einfach das „a“ im Ausdruck zu streichen, können Sie es schnell streichen

und hol es dir wieder

Was absolut unwahr wäre. Denn hier alle der Zähler auf „a“ ist schon teilt nicht! Dieser Anteil kann nicht reduziert werden. Übrigens ist eine solche Reduzierung, ähm... eine ernsthafte Herausforderung für den Lehrer. Das ist nicht vergeben! Erinnerst du dich? Beim Reduzieren muss man dividieren alle Zähler und alle Nenner!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie erhalten irgendwo einen Bruchteil, zum Beispiel 375/1000. Wie kann ich jetzt weiterhin mit ihr zusammenarbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen wir, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, kürzen Sie es sorgfältig um fünf und um weitere fünf, und sogar... während es gekürzt wird, kurz gesagt. Holen wir uns 3/8! Viel schöner, oder?

Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt ohne Taschenrechner! Das ist wichtig für das Einheitliche Staatsexamen, oder?

So konvertieren Sie Brüche von einem Typ in einen anderen.

Mit Dezimalbrüchen ist alles einfach. So wie es gehört wird, so steht es auch geschrieben! Sagen wir 0,25. Das sind null Komma fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (wir dividieren Zähler und Nenner durch 25) und erhalten den üblichen Bruch: 1/4. Alle. Es passiert, und nichts wird reduziert. Wie 0,3. Das sind drei Zehntel, also 3/10.

Was ist, wenn die ganzen Zahlen nicht Null sind? Macht nichts. Wir schreiben den ganzen Bruch auf ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Zum Beispiel: 3.17. Das sind drei Komma siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner. Wir erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das bedeutet alles. Das ist die Antwort. Elementarer Watson! Aus allem Gesagten eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt werden .

Aber manche Leute können die umgekehrte Umrechnung vom Normalwert in den Dezimalwert ohne einen Taschenrechner nicht durchführen. Und es ist notwendig! Wie schreiben Sie die Antwort auf das Einheitliche Staatsexamen auf? Lesen Sie diesen Prozess sorgfältig durch und meistern Sie ihn.

Was ist das Merkmal eines Dezimalbruchs? Ihr Nenner ist Stets kostet 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 und so weiter. Wenn Ihr gemeinsamer Bruch einen solchen Nenner hat, ist das kein Problem. Zum Beispiel 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Was wäre, wenn die Antwort auf die Aufgabe in Abschnitt „B“ 1/2 wäre? Was werden wir als Antwort schreiben? Dezimalzahlen sind erforderlich...

Lass uns erinnern Haupteigenschaft eines Bruchs ! In der Mathematik ist es vorteilhaft, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens alles! Außer Null natürlich. Nutzen wir also diese Immobilie zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass daraus 10, 100 oder 1000 wird (kleiner ist natürlich besser...)? Natürlich um 5 Uhr. Fühlen Sie sich frei, den Nenner zu multiplizieren (dies ist uns notwendig) mit 5. Dann muss aber auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Das ist schon Mathematik Forderungen! Wir erhalten 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Das ist alles.

Es kommen jedoch alle möglichen Nenner vor. Sie werden zum Beispiel auf den Bruch 3/16 stoßen. Versuchen Sie herauszufinden, womit Sie 16 multiplizieren müssen, um 100 oder 1000 zu erhalten ... Funktioniert das nicht? Dann können Sie einfach 3 durch 16 dividieren. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie mit einer Ecke auf einem Blatt Papier dividieren, wie es in der Grundschule gelehrt wurde. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt auch sehr schlechte Nenner. Beispielsweise gibt es keine Möglichkeit, den Bruch 1/3 in eine gute Dezimalzahl umzuwandeln. Sowohl auf dem Taschenrechner als auch auf einem Blatt Papier erhalten wir 0,3333333... Das bedeutet, dass 1/3 ein exakter Dezimalbruch ist übersetzt nicht. Dasselbe wie 1/7, 5/6 und so weiter. Es gibt viele davon, unübersetzbar. Dies bringt uns zu einer weiteren nützlichen Schlussfolgerung. Nicht jeder Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden !

Das sind übrigens nützliche Informationen zum Selbsttest. Im Abschnitt „B“ müssen Sie in Ihrer Antwort einen Dezimalbruch notieren. Und du hast zum Beispiel 4/3 bekommen. Dieser Bruch lässt sich nicht in eine Dezimalzahl umwandeln. Das bedeutet, dass Sie unterwegs irgendwo einen Fehler gemacht haben! Gehen Sie zurück und überprüfen Sie die Lösung.

Also haben wir gewöhnliche und dezimale Brüche herausgefunden. Es bleibt nur noch, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie kann man das machen? Sie können einen Sechstklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer ist ein Sechstklässler zur Stelle ... Das müssen Sie selbst machen. Es ist nicht schwer. Sie müssen den Nenner des Bruchteils mit dem ganzen Teil multiplizieren und den Zähler des Bruchteils addieren. Dies ist der Zähler des gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt derselbe. Es klingt kompliziert, aber in Wirklichkeit ist alles einfach. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Angenommen, Sie waren entsetzt, als Sie die Zahl im Problem sahen:

Ruhig, ohne Panik, denken wir. Der gesamte Teil ist 1. Einheit. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner wird der Nenner des gewöhnlichen Bruchs sein. Wir zählen den Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (dem Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies ist der Zähler eines gemeinsamen Bruchs. Das ist alles. In mathematischer Notation sieht es noch einfacher aus:

Ist das klar? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! Konvertieren Sie in gewöhnliche Brüche. Sie sollten 10/7, 7/2, 23/10 und 21/4 erhalten.

Die umgekehrte Operation – die Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl – ist in der Oberstufe selten erforderlich. Na ja, wenn ja... Und wenn Sie nicht in der Highschool sind, können Sie einen Blick in den Sonderabschnitt 555 werfen. Dort erfahren Sie übrigens auch etwas über unechte Brüche.

Nun, das ist praktisch alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden Wie Übertragen Sie sie von einem Typ auf einen anderen. Bleibt die Frage: Wofür Tu es? Wo und wann kann dieses tiefe Wissen angewendet werden?

Ich antworte. Jedes Beispiel selbst legt die notwendigen Maßnahmen nahe. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen miteinander vermischt werden, wandeln wir alles in gewöhnliche Brüche um. Es ist immer machbar. Nun, wenn da etwa 0,8 + 0,3 steht, dann zählen wir es so, ohne Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen die Lösung, die für Sie am bequemsten ist uns !

Wenn es bei der Aufgabe nur um Dezimalbrüche geht, aber ähm ... irgendwelche bösen Brüche, gehen Sie zu den gewöhnlichen Brüchen und probieren Sie es aus! Schauen Sie, alles wird gut. Beispielsweise müssen Sie die Zahl 0,125 quadrieren. Es ist nicht so einfach, wenn Sie sich nicht an den Umgang mit einem Taschenrechner gewöhnt haben! Sie müssen nicht nur Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch darüber nachdenken, wo Sie das Komma einfügen! In deinem Kopf wird es definitiv nicht funktionieren! Was wäre, wenn wir zu einem gewöhnlichen Bruch übergehen würden?

0,125 = 125/1000. Wir reduzieren es um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal um 5. Wir bekommen 5/40. Oh, es schrumpft immer noch! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Wir können es leicht quadrieren (in unseren Gedanken!) und erhalten 1/64. Alle!

Fassen wir diese Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen. Gemeinsame, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen Stets kann in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Rückübertragung nicht immer verfügbar.

3. Die Wahl der Art der Brüche für die Arbeit mit einer Aufgabe hängt von der Aufgabe selbst ab. Wenn es in einer Aufgabe verschiedene Arten von Brüchen gibt, ist es am zuverlässigsten, auf gewöhnliche Brüche umzusteigen.

Jetzt können Sie üben. Wandeln Sie zunächst diese Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sie sollten Antworten wie diese erhalten (durcheinander!):

Lassen Sie uns hier fertig werden. In dieser Lektion haben wir unser Gedächtnis über wichtige Punkte zum Thema Brüche aufgefrischt. Es kommt jedoch vor, dass es nichts Besonderes zu aktualisieren gibt...) Wenn jemand es völlig vergessen hat oder es noch nicht beherrscht... Dann können Sie zu einem speziellen Abschnitt 555 gehen. Alle Grundlagen werden dort ausführlich behandelt. Viele plötzlich alles verstehen beginnen. Und sie lösen Brüche im Handumdrehen.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Fraktion- eine Form der Darstellung einer Zahl in der Mathematik. Der Bruchstrich bezeichnet die Divisionsoperation. Zähler Bruch heißt Dividende und Nenner- Teiler. Beispielsweise ist bei einem Bruch der Zähler 5 und der Nenner 7.

Richtig Man nennt einen Bruch, bei dem der Modul des Zählers größer ist als der Modul des Nenners. Wenn ein Bruch echt ist, dann ist der Modul seines Wertes immer kleiner als 1. Alle anderen Brüche sind es falsch.

Der Bruch heißt gemischt, wenn es als Ganzzahl und Bruch geschrieben wird. Dies ist dasselbe wie die Summe dieser Zahl und des Bruchs:

Die Haupteigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, d. h. zum Beispiel

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Um zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, benötigen Sie:

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten
Multiplizieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten
Ersetzen Sie die Nenner beider Brüche durch ihr Produkt

Operationen mit Brüchen

Zusatz. Um zwei Brüche zu addieren, benötigen Sie

Addieren Sie die neuen Zähler beider Brüche und lassen Sie den Nenner unverändert

Beispiel:

Subtraktion. Um einen Bruch von einem anderen zu subtrahieren, benötigen Sie

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
Subtrahieren Sie den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert

Beispiel:

Multiplikation. Um einen Bruch mit einem anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie deren Zähler und Nenner:

Aufteilung. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten:

Bruchausdrücke sind für ein Kind schwer zu verstehen. Die meisten Menschen haben Schwierigkeiten damit. Beim Studium des Themas „Addieren von Brüchen mit ganzen Zahlen“ verfällt das Kind in eine Benommenheit und hat Schwierigkeiten, das Problem zu lösen. In vielen Beispielen muss vor dem Ausführen einer Aktion eine Reihe von Berechnungen durchgeführt werden. Wandeln Sie beispielsweise Brüche um oder wandeln Sie einen unechten Bruch in einen echten Bruch um.

Erklären wir es dem Kind klar und deutlich. Nehmen wir drei Äpfel, von denen zwei ganz sind, und schneiden Sie den dritten in vier Teile. Trennen Sie eine Scheibe vom geschnittenen Apfel und legen Sie die restlichen drei neben zwei ganze Früchte. Wir bekommen ¼ eines Apfels auf der einen Seite und 2 ¾ auf der anderen. Wenn wir sie kombinieren, erhalten wir drei Äpfel. Versuchen wir, 2 ¾ Äpfel um ¼ zu reduzieren, das heißt, indem wir eine weitere Scheibe entfernen, erhalten wir 2 2/4 Äpfel.

Schauen wir uns Operationen mit Brüchen, die ganze Zahlen enthalten, genauer an:

Erinnern wir uns zunächst an die Rechenregel für gebrochene Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner:

Auf den ersten Blick ist alles einfach und unkompliziert. Dies gilt jedoch nur für Ausdrücke, die keiner Konvertierung bedürfen.

So finden Sie den Wert eines Ausdrucks, dessen Nenner unterschiedlich sind

Bei einigen Aufgaben müssen Sie die Bedeutung eines Ausdrucks herausfinden, dessen Nenner unterschiedlich sind. Schauen wir uns einen konkreten Fall an:
3 2/7+6 1/3

Lassen Sie uns den Wert dieses Ausdrucks ermitteln, indem wir einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche finden.

Für die Zahlen 7 und 3 ist das 21. Wir lassen die ganzzahligen Teile gleich und bringen die Nachkommateile auf 21, dazu multiplizieren wir den ersten Bruch mit 3, den zweiten mit 7, wir erhalten:
21.6.+21.7., vergessen Sie nicht, dass ganze Teile nicht konvertiert werden können. Als Ergebnis erhalten wir zwei Brüche mit demselben Nenner und berechnen deren Summe:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Was passiert, wenn das Ergebnis der Addition ein unechter Bruch ist, der bereits einen ganzzahligen Teil hat:
2 1/3+3 2/3
In diesem Fall addieren wir die ganzzahligen Teile und die gebrochenen Teile und erhalten:
5 3/3, wie Sie wissen, ist 3/3 eins, was 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6 bedeutet

Wenn wir die Summe finden, ist alles klar. Schauen wir uns die Subtraktion an:

Aus allem Gesagten folgt die Regel für Operationen mit gemischten Zahlen:

Wenn Sie eine ganze Zahl von einem Bruchausdruck subtrahieren müssen, müssen Sie die zweite Zahl nicht als Bruch darstellen; es reicht aus, die Operation nur an den ganzzahligen Teilen durchzuführen.

Versuchen wir, die Bedeutung der Ausdrücke selbst zu berechnen:

Schauen wir uns das Beispiel unter dem Buchstaben „m“ genauer an:

4 5/11-2 8/11, der Zähler des ersten Bruchs ist kleiner als der zweite. Dazu leihen wir eine ganze Zahl aus dem ersten Bruch und erhalten:
3 5/11+11/11=3 ganz 16/11, subtrahiere den zweiten vom ersten Bruch:
3 16/11-2 8/11=1 ganzer 8/11

Seien Sie beim Erledigen der Aufgabe vorsichtig. Vergessen Sie nicht, unechte Brüche in gemischte Brüche umzuwandeln und dabei den gesamten Teil hervorzuheben. Dazu müssen Sie den Wert des Zählers durch den Wert des Nenners dividieren. Dann wird der ganze Teil ersetzt, der Rest ist der Zähler, zum Beispiel:

19/4=4 ¾, prüfen wir: 4*4+3=19, der Nenner 4 bleibt unverändert.

Zusammenfassen:

Bevor Sie mit einer Aufgabe im Zusammenhang mit Brüchen beginnen, müssen Sie analysieren, um welche Art von Ausdruck es sich handelt und welche Transformationen am Bruch vorgenommen werden müssen, damit die Lösung korrekt ist. Suchen Sie nach einer rationaleren Lösung. Gehen Sie nicht den harten Weg. Planen Sie alle Aktionen, lösen Sie sie zunächst in Entwurfsform und übertragen Sie sie dann in Ihr Schulheft.

Um Verwirrung beim Lösen von Bruchausdrücken zu vermeiden, müssen Sie die Konsistenzregel befolgen. Entscheiden Sie alles sorgfältig und ohne Eile.

Lassen Sie uns zustimmen, dass „Aktionen mit Brüchen“ in unserer Lektion Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen bedeuten. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Bruch, der Attribute wie einen Zähler, eine Bruchlinie und einen Nenner aufweist. Dies unterscheidet einen gewöhnlichen Bruch von einer Dezimalzahl, die man aus einem gewöhnlichen Bruch erhält, indem man den Nenner auf ein Vielfaches von 10 reduziert. Der Dezimalbruch wird mit einem Komma geschrieben, das den ganzen Teil vom Bruchteil trennt. Wir werden über Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sprechen, da diese diejenigen sind, die den Schülern, die die Grundlagen dieses Themas vergessen haben, das in der ersten Hälfte des Schulmathematikkurses behandelt wurde, die größten Schwierigkeiten bereiten. Gleichzeitig werden bei der Umformung von Ausdrücken in der höheren Mathematik hauptsächlich Operationen mit gewöhnlichen Brüchen verwendet. Allein die Bruchabkürzungen sind es wert! Dezimalbrüche bereiten keine besonderen Schwierigkeiten. Also mach weiter!

Zwei Brüche heißen gleich, wenn .

Zum Beispiel seit

Brüche und (seit) und (seit) sind ebenfalls gleich.

Offensichtlich sind beide Brüche und gleich. Das heißt, wenn man Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert, erhält man einen Bruch, der der gegebenen Zahl entspricht: .

Diese Eigenschaft wird Grundeigenschaft eines Bruchs genannt.

Die Grundeigenschaft eines Bruchs kann genutzt werden, um die Vorzeichen von Zähler und Nenner eines Bruchs zu ändern. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit -1 multipliziert werden, erhalten wir . Das bedeutet, dass sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn gleichzeitig die Vorzeichen von Zähler und Nenner geändert werden. Wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert sich auch das Vorzeichen des Bruchs:

Brüche reduzieren

Mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs können Sie einen bestimmten Bruch durch einen anderen Bruch ersetzen, der dem angegebenen gleich ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist. Diese Substitution wird Bruchreduktion genannt.

Gegeben sei zum Beispiel ein Bruch. Die Zahlen 36 und 48 haben einen größten gemeinsamen Teiler von 12. Dann

Im Allgemeinen ist die Reduzierung eines Bruchs immer dann möglich, wenn Zähler und Nenner keine zueinander Primzahlen sind. Wenn Zähler und Nenner zueinander Primzahlen sind, heißt der Bruch irreduzibel.

Einen Bruch zu reduzieren bedeutet also, Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Faktor zu dividieren. Alle oben genannten Punkte gelten auch für gebrochene Ausdrücke, die Variablen enthalten.

Beispiel 1. Bruch reduzieren

Lösung. Um den Zähler zu faktorisieren, stellen Sie zunächst das Monom dar - 5 xy als Summe - 2 xy - 3xy, wir bekommen

Um den Nenner zu faktorisieren, verwenden wir die Quadratdifferenzformel:

Ergebend

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Seien zwei Brüche und . Sie haben unterschiedliche Nenner: 5 und 7. Mithilfe der grundlegenden Eigenschaft von Brüchen können Sie diese Brüche durch andere ersetzen, die ihnen gleich sind, und zwar so, dass die resultierenden Brüche denselben Nenner haben. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 7 multiplizieren, erhalten wir

Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 5 multiplizieren, erhalten wir

Also werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert:

Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung des Problems: Beispielsweise können diese Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner von 70 reduziert werden:

und im Allgemeinen auf jeden Nenner, der sowohl durch 5 als auch durch 7 teilbar ist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel: Bringen wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner. Wenn wir wie im vorherigen Beispiel argumentieren, erhalten wir

In diesem Fall ist es jedoch möglich, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, der kleiner ist als das Produkt der Nenner dieser Brüche. Finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 24 und 30: LCM(24, 30) = 120.

Da 120:4 = 5 ist, müssen Sie zum Schreiben eines Bruchs mit dem Nenner 120 sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 5 multiplizieren. Diese Zahl wird als zusätzlicher Faktor bezeichnet. Bedeutet .

Als nächstes erhalten wir 120:30=4. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit dem zusätzlichen Faktor 4 multiplizieren, erhalten wir .

Diese Brüche werden also auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner.

Bei Bruchausdrücken mit Variablen ist der gemeinsame Nenner ein Polynom, das durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.

Beispiel 2. Finden Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche und.

Lösung. Der gemeinsame Nenner dieser Brüche ist ein Polynom, da es sowohl durch als auch teilbar ist. Dieses Polynom ist jedoch nicht das einzige, das ein gemeinsamer Nenner dieser Brüche sein kann. Es kann auch ein Polynom sein und Polynom und Polynom usw. Normalerweise nehmen sie einen solchen gemeinsamen Nenner, dass jeder andere gemeinsame Nenner ohne Rest durch den gewählten geteilt wird. Dieser Nenner wird als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

In unserem Beispiel ist der kleinste gemeinsame Nenner. Bekommen:

;

Wir konnten Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren. Dies geschah durch Multiplikation von Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit . Polynome werden als zusätzliche Faktoren für den ersten bzw. zweiten Bruch bezeichnet.

Brüche addieren und subtrahieren

Die Addition von Brüchen ist wie folgt definiert:

Zum Beispiel,

Wenn B = D, Das

Das heißt, um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, genügt es, die Zähler zu addieren und den Nenner gleich zu lassen. Zum Beispiel,

Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, reduzieren Sie die Brüche normalerweise auf den kleinsten gemeinsamen Nenner und addieren dann die Zähler. Zum Beispiel,