Die Bedeutung des Studiums des Themas Exponentialgleichungen und Ungleichungen. Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion. Graph einer Exponentialfunktion

Lektion und Präsentation zum Thema: „Exponentielle Gleichungen und exponentielle Ungleichungen“

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Definition von Exponentialgleichungen

Leute, wir haben Exponentialfunktionen studiert, ihre Eigenschaften gelernt und Graphen erstellt, Beispiele für Gleichungen analysiert, in denen Exponentialfunktionen gefunden wurden. Heute werden wir Exponentialgleichungen und Ungleichungen untersuchen.

Definition. Gleichungen der Form: $a^(f(x))=a^(g(x))$, wobei $a>0$, $a≠1$ werden Exponentialgleichungen genannt.

Unter Hinweis auf die Sätze, die wir im Thema „Exponentialfunktion“ untersucht haben, können wir einen neuen Satz einführen:
Satz. Die Exponentialgleichung $a^(f(x))=a^(g(x))$, wobei $a>0$, $a≠1$ ist äquivalent zur Gleichung $f(x)=g(x) $.

Beispiele für Exponentialgleichungen

Beispiel.
Gleichungen lösen:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Lösung.
a) Wir wissen genau, dass $27=3^3$.
Schreiben wir unsere Gleichung um: $3^(3x-3)=3^3$.
Unter Verwendung des obigen Satzes stellen wir fest, dass sich unsere Gleichung auf die Gleichung $3x-3=3$ reduziert; wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir $x=2$.
Antwort: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Dann kann unsere Gleichung umgeschrieben werden: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 x + 0,2 = 0,2 $.
$x=0$.
Antwort: $x=0$.

C) Die ursprüngliche Gleichung entspricht der Gleichung: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ und $x_2=-3$.
Antwort: $x_1=6$ und $x_2=-3$.

Beispiel.
Lösen Sie die Gleichung: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Lösung:
Lassen Sie uns nacheinander eine Reihe von Aktionen ausführen und beide Seiten unserer Gleichung auf die gleichen Grundlagen bringen.
Lassen Sie uns auf der linken Seite eine Reihe von Operationen ausführen:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Kommen wir zur rechten Seite:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Die ursprüngliche Gleichung entspricht der Gleichung:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Antwort: $x=0$.

Beispiel.
Lösen Sie die Gleichung: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Lösung:
Schreiben wir unsere Gleichung um: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Nehmen wir eine Änderung der Variablen vor, sei $a=3^x$.
In den neuen Variablen hat die Gleichung die Form: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ und $a_2=3$.
Führen wir die umgekehrte Änderung der Variablen durch: $3^x=-12$ und $3^x=3$.
In der letzten Lektion haben wir gelernt, dass Exponentialausdrücke nur positive Werte annehmen können. Denken Sie an den Graphen. Das bedeutet, dass die erste Gleichung keine Lösungen hat, die zweite Gleichung hat eine Lösung: $x=1$.
Antwort: $x=1$.

Erinnern wir uns noch einmal daran, wie man Exponentialgleichungen löst:
1. Grafische Methode. Wir stellen beide Seiten der Gleichung in Form von Funktionen dar und erstellen ihre Graphen, finden die Schnittpunkte der Graphen. (Wir haben diese Methode in der letzten Lektion verwendet).
2. Der Grundsatz der Gleichheit der Indikatoren. Das Prinzip basiert auf der Tatsache, dass zwei Ausdrücke mit denselben Basen genau dann gleich sind, wenn die Grade (Exponenten) dieser Basen gleich sind. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Methode zum Ersetzen von Variablen. Diese Methode sollte verwendet werden, wenn die Gleichung beim Ersetzen von Variablen ihre Form vereinfacht und viel einfacher zu lösen ist.

Beispiel.
Lösen Sie das Gleichungssystem: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (Fälle)$.
Lösung.
Betrachten wir beide Gleichungen des Systems getrennt:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Betrachten Sie die zweite Gleichung:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Lassen Sie uns die Methode zum Ändern von Variablen verwenden, sei $y=2^(x+y)$.
Dann nimmt die Gleichung die Form an:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ und $y_2=-3$.
Kommen wir zu den Anfangsvariablen. Aus der ersten Gleichung erhalten wir $x+y=2$. Die zweite Gleichung hat keine Lösungen. Dann ist unser anfängliches Gleichungssystem äquivalent zu dem System: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (Fälle)$.
Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, erhalten wir: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (Fälle)$.
$\begin (Fälle) y=-1, \\ x=3. \end (Fälle)$.
Antwort: $(3;-1)$.

Exponentielle Ungleichheiten

Kommen wir zu den Ungleichheiten. Bei der Lösung von Ungleichungen muss auf die Grundlage des Abschlusses geachtet werden. Es gibt zwei mögliche Szenarien für die Entwicklung von Ereignissen bei der Lösung von Ungleichungen.

Satz. Wenn $a>1$, dann ist die exponentielle Ungleichung $a^(f(x))>a^(g(x))$ äquivalent zur Ungleichung $f(x)>g(x)$.
Wenn $0 a^(g(x))$ ist äquivalent zur Ungleichung $f(x)

Beispiel.
Ungleichungen lösen:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Lösung.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Unsere Ungleichheit ist gleichbedeutend mit Ungleichheit:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) In unserer Gleichung ist die Basis der Grad kleiner als 1 ist, dann ist es beim Ersetzen einer Ungleichung durch eine äquivalente erforderlich, das Vorzeichen zu ändern.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Unsere Ungleichung entspricht der Ungleichung:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Verwenden wir die Intervalllösungsmethode:
Antwort: $(-∞;-5]U)